二次函数与幂函数

D．与x有关，不确定
[解析]由题意知，函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，∴b
＝2，又 f(0)＝3，∴c＝3，则 bx＝2x，cx＝3x.易知 f(x)在(－∞，
1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若 x≥0，则 3x≥2x≥1，
∴f(3x)≥f(2x)；若 x＜0，则 3x＜2x＜1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)，
解：由 f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2 是偶函数，且它的值
b≠0， 域为(－∞，4]，则ab＋2a＝0， 解得 b＝
2a2＝4且b<0，
－2，2a2＝4.
故 f(x)＝－2x2＋4.故填－2x2＋4.
若方程 x2－11x＋30＋a＝0 的两个不等实根均
大于 5，则实数 a 的取值范围是________．
m<－12， m∈R， m<－12， m>－56.
所以－56<m<－12.
故 m 的取值范围为m－56＜m＜－12.
(2)由抛物线与 x 轴交点落在区间(0，1)内，作出函数 f(x)的大致图象，得
f（0）＝2m＋1>0， f（1）＝4m＋2>0，
Δ＝（2m）2－4（2m＋1）≥0，⇒ 0<－m<1.
⑥
Δ＝0， m<－2bBiblioteka Baidu<n.
⑦ f(m)·f(n)<0.
1．幂函数 (1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自 变量，α为常数．
(2)常见的5种幂函数的图象
排列特点：第一象限内，在直线x＝1右 侧，其指数越大，图象越高，即“指大 图高”. 图象规律：幂函数的图象一定会出现在 第一象限，一定不会出现在第四象 限．图象若与坐标轴有交点，一定交于 坐标原点． 三点注意：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似 于y＝x－1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大； (2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x轴，类似于y＝x12的图象； (3)当α>1时，函数图象倾向y轴，类似于y＝x3的图象，且在第 一象限内，逆时针方向指数在增大.
解：令 f(x)＝x2－11x＋30＋a.对称轴 x＝121，故只要
Δ＞0，
f（5）>0
即可，解得 0<a＜14.故填0，14.
(2)已知函数 f(x)＝xa2x＋2＋axx，，xx≤＞11，在 R 上单调递减，则实数 a 的
取值范围是( ) A．(－2，＋∞)
B．(－2，－1)
C．(－∞，－2]
因为 f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为 4， 令 x2－2x＋1＝4⇒x＝－1 或 3. 令 a＋2＝－1 或 a＝3，得 a＝－3 或 3，
故 a 的取值集合为{－3，3}．故选 C.
类型三 二次方程根的分布
已知关于 x 的二次方程 x2＋2mx＋2m＋ 1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间 (1，2)内，求 m 的取值范围；
• 2.4 二次函数与幂函数
一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布) 设 x1，x2 是实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的两实根，
则 x1，x2 的分布范围与系数之间的关系如表所示．
根的分布(m＜n ＜p 且 m，n，p
均为常数)
图象
x1＜x2＜m
m＜x1＜x2
满足的条件
＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得 m<－1.因此满足条件的
实数 m 的取值范围是(－∞，－1)．故填(－∞，－1)．
考法(三) 二次函数中的恒成立问题 [例3] 已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等 式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是_(_－__∞__，__－__1_) ． [解析] f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m， 即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m， 要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
D.－∞，－21
解：由函数 f(x)＝x2＋ax 在(－∞，1]上单调递减，得－a2≥1，
即 a≤－2；由函数 f(x)＝ax2＋x 在(1，＋∞)上单调递减，得 a<0 且
－21a≤1，即 a≤－12.而 12＋a×1＝a×12＋1，综上可知，a≤－2.
故选 C.
(3)(2018·辽宁期末)已知函数 f(x)＝－x2＋ 2ax＋1
f（0）>0， c>0，
域如图中阴影部分所示，A(2，0)，B(1，0)，C(3，2)，而 f(3)＝9＋3b＋c，令 9＋3b＋c＝z，c＝－3b－9＋z，平移 直线知过 C 点可得 z＝f(3)<20，过 B 点可得 z＝f(3)>12，
故 f(3)的取值范围是(12，20)．故选 C.
考点三 二次函数的性质及应用[全析考法过关]
－ a 在 区 间 [0 ， 1] 上 的 最 大 值 为 2 ， 则 a 的 值 为
()
A．2
B．－1 或－3
C．2 或－3
D．－1 或 2
解：函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 图象的对称轴为直线 x＝a，
开口向下．
①当 a≤0 时，f(x)在区间[0，1]上是减函数，所以 f(x)max＝f(0) ＝1－a，由 1－a＝2，得 a＝－1；
(2)(2018·吉林期末)如果函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区 间(－∞，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是( )
A.－14，＋∞
B.－14，＋∞
C.－14，0
D.－14，0
解：①当 a＝0 时，函数 f(x)＝2x－3 为一次函数，在(－ ∞，4)上单调递增；②当 a≠0 时，依题意知，a<0 且对称轴
②当 0<a≤1 时，f(x)在区间[0，a]上是增函数，在[a，1]上是 减函数，所以 f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，由 a2－a ＋1＝2，解得 a＝1＋2 5或 a＝1－2 5，因为 0<a≤1，所以两个值 都不满足；
③当 a>1 时，f(x)在区间[0，1]上是增函数，所以 f(x)max＝f(1) ＝－1＋2a＋1－a＝2，所以 a＝2.
即 f(bx)≤f(cx)．故选 A.
考法(二) 二次函数的最值问题 [例2] 若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[1,2]上有最大值4，
3 则a的值为____8____．
[解析] f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. ①当a＝0时，函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1，不符合 题意，舍去； ②当a>0时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，最大值为f(2) ＝8a＋1＝4，解得a＝38； ③当a＜0时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，最大值为 f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去． 综上可知，a的值为38.
－1a≥4，解得 a≥－14，又 a<0，故－14≤a<0.综上，－14≤a ≤0.故选 D.
(3)若函数 f(x)＝x2－2x＋1 在区间[a，a＋2]上的最小值为
4，则 a 的取值集合为( )
A．[－3，3]
B．[－1，3]
C．{－3，3}
D．{－1，－3，3}
解：函数 f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其图象的对称轴 方程为 x＝1.
4
2
1
(2016·全国卷Ⅲ)已知 a＝23，b＝33，c＝253，则
() A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b
42
2
2
2
解：因为 a＝23＝43，b＝33，c＝53，又 y＝x3在(0，＋∞)
上是增函数，所以 c>a>b.故选 A.
若函数 f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b 为常数，且 a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函 数的解析式 f(x)＝________.
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1. 由－m－1>0，得m＜－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
(2)已知函数 f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)
上单调递增；
③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单
调递减．
n
对于形如 f(x)＝x m (其中 m∈N*，n∈Z，m 与 n 互质)的幂函数： (1)当 n 为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于 y 轴对称； (2)当 m，n 都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当 m 为偶数时，x>0(或 x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只 在第一象限(或第一象限及原点处)．
函数值等数形结合求解(详见“考点梳理”)．
(1)如果方程(1－m2)x2＋2mx－1＝0 的 两个根一个小于零，另一个大于 1，则 m 的取值范围
为________．
解：令 f(x)＝(1－m2)x2＋2mx－1，因为 f(0)＝－1，所以
f(x)图象过定点(0，－1)，所以f1（－1m）2＞＜00，， 解得－1<m<0.
故填(－1，0)．
(2)(2018·衡水三模)已知二次函数 f(x)＝x2＋ bx＋c 的两
个零点分别在区间(－2，－1)和(－1，0)内，则 f(3)的取值范
围是( )
A．(8，18)
B．(12，18)
C．(12，20)
D．(18，20)
f（－2）>0， 4－2b＋c>0， 解：由题意得f（－1）<0，即1－b＋c<0， 作可行
a＜0， 由f(x)在[－1，＋∞)上递减知32－aa≤－1， 解得－3≤a＜0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
(2)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝
3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( A )
A．f(bx)≤f(cx)
B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx)
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的取值范围．
解：(1)条件说明抛物线 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 与 x 轴的交点分别在区间(－1，0) 和(1，2)内，作出函数 f(x)的大致图象，得
f（0）＝2m＋1<0， f（－1）＝2>0，
⇒
f（1）＝4m＋2<0， f（2）＝6m＋5>0
考法(一) 二次函数的单调性问题
[例1] (1)已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)
上是递减的，则实数a的取值范围是
(D)
A．[－3,0)
B．(－∞，－3]
C．[－2,0]
D．[－3,0]
[解析] 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满 足题意．当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝32－aa，
①
Δ －>2ba0<，m， f（m）>0.
②
Δ －>2ba0>，m， f（m）>0.
x1＜m＜x2
m＜x1＜x2＜n
m＜x1＜n＜x2 ＜p
③f(m)<0.
④ Δ>0，
m<－2ba<n， f（m）>0，
f（n）>0. ⑤
f（m）>0， f（n）<0， f（p）>0.
m<x1＝x2<n
只有一根在区 间(m，n)内
m>－12， m>－12，
所以－12<m≤1－ 2.
m≥1＋ 2或m≤1－ 2， －1<m<0.
故 m 的取值范围为m|－12＜m≤1－
2.
点 拨： 对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方 面：①根的个数问题，由判别式判断；②正负根问题， 由判别式及韦达定理判断；③根的分布问题，依函数与 方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点
f(x)>2x＋m 恒成立，则实数 m 的取值范围是________．
解：f(x)>2x＋m 等价于 x2－x＋1>2x＋m，即 x2 －3x＋1－m>0.令 g(x)＝x2－3x＋1－m，要使 g(x)>0 在[－ 1，1]上恒成立，只需使函数 g(x)在[－1，1]上的最小值大
于 0 即可．因为 g(x)在[－1，1]上单调递减，所以 g(x)min
综上可知，a＝－1 或 a＝2.故选 D.
点 拨： ①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定
区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题
的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要
依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．②二次函数
的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分
类讨论．