9.4对顶角
初中数学 什么是对顶角
初中数学什么是对顶角在几何学中，对顶角是指两个交叉的直线上，位于相对位置的两个角。
在本文中，我们将详细介绍对顶角的定义、性质、判定以及与其他角度的关系等内容。
一、对顶角的定义对顶角是指两个交叉的直线上，位于相对位置的两个角。
具体来说，如果两条直线交叉，并且它们的相交点将角分成两对相对的角，那么这两对相对的角就是对顶角。
二、对顶角的性质对顶角具有以下几个重要的性质：1. 对顶角的度数相等。
也就是说，如果两对角是对顶角关系，它们的度数是相等的。
2. 对顶角共享一个顶点。
这意味着两对对顶角有一个公共的顶点。
3. 对顶角的非公共边构成一条直线。
也就是说，对顶角的非公共边延长后可以构成一条直线。
4. 对顶角的补角互为对顶角。
补角是指两个角的度数之和等于180度。
因此，如果两对对顶角的度数之和等于180度，则它们互为补角。
三、对顶角的判定在几何学中，有几种方法可以判定两个角是否为对顶角：1. 使用直尺和量角器：通过直尺和量角器测量两个角的度数，并且确定它们有一个公共的顶点和非公共边构成一条直线，就可以判定为对顶角。
2. 使用角度的性质：如果两个角有一个公共的顶点和非公共边构成一条直线，那么它们是对顶角。
四、对顶角与其他角度的关系对顶角与其他角度之间有一些特殊的关系：1. 对顶角是补角的特殊情况。
如果两对角是对顶角，它们的度数之和等于180度，那么它们互为补角。
2. 对顶角与相邻角的关系：如果两对角是对顶角，并且它们有一个公共的顶点和一条边重合，那么它们互为相邻角。
综上所述，对顶角是几何学中的重要概念，具有特殊的性质和判定方法。
通过对对顶角的定义、性质、判定以及与其他角度的关系的了解，我们可以更好地理解和应用对顶角的知识。
9.4对顶角导学案
9.4《对顶角》导学案
一、教学目标
1．理解对顶角的概念，能在图形中辨认．
2．掌握对顶角的性质．经历在数学活动中探索对顶角相等的过程，培养学生的推理和逻辑思维能力．
3．会用对顶角的性质进行有关的推理和计算．
二、重点、难点
1、对顶角的概念和性质．
2、在较复杂的图形中准确辨认对顶角。
三、教具准备
三角尺
四、教学过程
（一）自主学习课本P13-14页内容，思考并讨论：
1.如下图，直线AB、CD 相交于点O，图中共形成了几个角？分别表示出来？
2.下图中有哪些对顶角？
3.什么是对顶角？
4.你能举出生活中对顶角的例子吗？
5.对顶角有什么性质？如何论证？
（二）巩固练习：
1.下列各图中，∠l和∠2是对顶角吗？为什么？（射线OA是活动的）
（三）拓展提升：
把例题中∠1＝40°这个条件换成如下条件，求∠l、∠2、∠3、∠4的度数．
（1）：把∠l＝40°变为∠2－∠1＝40°（2）：把∠1＝40°变为∠2是∠l的3倍（3）：把∠1＝40°变为∠1 ：∠2＝2：9 （4）：把∠1＝40°变为∠1＝平角
（四）达标检测：
（五）课堂小结
这节课你学到了什么？．
五、布置作业
课本第15页习题9.4A组第1、2、3题．。
2021年七年级数学下册 .4对顶角教案() 青岛版
2019-2020年七年级数学下册 9.4对顶角教案（1） 青岛版【课堂重点】1、如图，两条直线AB 、CD 交于点O ，形成了4个角：∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD .考虑∠AOC 和∠BOD ，它们有一个公共顶点O ，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角.图中除了∠AOC 和∠BOD 是对顶角还有没有其它的对顶角?注：（1）对顶角指的是 2 个角之间的相互关系，正如“互余”、“互补”一样，我们说∠AOC 和∠BOD 是一对对顶角，或者说∠AOC 是∠BOD 的对顶角. (2) 一对相交直线构成2 组对顶角. 2、你能举出生活中有关对顶角的例子吗？3、想一想：如上图，试猜想∠AOC 和∠BOD 的大小关系，并说明理由.由此，我们可以得到什么结论?4、三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， （1）请画出图形；（2）找出图中有多少对对顶角？分别表示出来.5、议一议：ACODB如图，直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOC，∠AOE=250,你能说出图中哪些角的度数？请与同学交流.6、例题解析例：如图，AB、CD相交于点O, ∠DOE=900, ∠AOC=720,求∠BOE的度数.【课后巩固】1、下列说法正确的是（）A、如果∠1=∠2,则∠1和∠2是对顶角B、如果∠1和∠2有公共的顶点,则∠1和∠2是对顶角C、对顶角都是锐角D、锐角的对顶角也是锐角2、两条直线相交形成_____对对顶角，三条直线相交成_____对对顶角.3、直线AB、CD相交于O，且∠AOC＋∠BOD=120 º，求∠AOC的度数.4、如图，直线AB、EF相交于点D，∠ADC=90 º.（1）∠ADE的对顶角是_____________；∠EDC的余角有__________________ .（2）若∠ADE与∠EDC的度数之比为1：4，求∠CDF、∠EDB的度数.5 ．下列各图中,∠1与∠2是对顶角的是: ECAOBDF EDCB A6．如图，三条直线AB、CD、EF相交于O，若∠BOE=4∠BOD，∠AOF=100°，则∠AOC=（） A．30° B．20°FCC．15° D．25°A BDE【达标测试】一、选择题:(每小题3分,共15分)1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )12121221A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于( • )A.150°B.180°C.210°D.120°OFE D CB A O DCBA 60︒30︒34l 3l 2l 112(1) (2) (3) 3.下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图2所示,直线AB 和CD 相交于点O,若∠AOD 与∠BOC 的和为236°,则∠AOC•的度数为( ) A.62° B.118° C.72° D.59°5.如图3所示,直线L 1,L 2,L 3相交于一点,则下列答案中,全对的一组是( ) A.∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°; B.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30C.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°;D.∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30° 二、填空题:(每小题2分,共16分)1. 如图4所示,AB 与CD 相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___.34D CBA 12OFED CB A OE D CBA(4) (5) (6) 2.如图4所示,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______.3.如图5所示,直线AB,CD,EF 相交于点O,则∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______.4.如图6所示,已知直线AB,CD 相交于O,OA 平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD=•______.5.对顶角的性质是______________________.6.如图7所示,直线AB,CD 相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____.ODC BA 12OE D CBA OE DCBA(7) (8) (9)7.如图8所示,直线AB,CD 相交于点O,OE 平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,•则∠EOB=______________.8.如图9所示,直线AB,CD 相交于点O,已知∠AOC=70°,OE 把∠BOD 分成两部分,• 且∠BOE:∠EOD=2:3,则∠EOD=________. 三、训练平台:(每小题10分,共20分)1. 如图所示,AB,CD,EF 交于点O,∠1=20°,∠BOC=80°,求∠2的度数.OF EDCBA 122. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.34l 3l 2l 112四、提高训练:(每小题6分,共18分)1. 如图所示,AB,CD 相交于点O,OE 平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD,∠AOE•的 度数.OE CBA2. 如图所示,直线AB 与CD 相交于点O,∠AOC:∠AOD=2:3,求∠BOD 的度数.ODCBA3. 如图所示,直线a,b,c 两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°,求∠4的度数.cba3412五、探索发现:(每小题8分,共16分)1. 若4条不同的直线相交于一点,则图中共有几对对顶角?若n 条不同的直线相交 于一点呢?2. 在一个平面内任意画出6条直线,最多可以把平面分成几个部分?n 条直线呢?•六、能力提高:(共10分)已知点O 是直线AB 上一点,OC,OD 是两条射线,且∠AOC=∠BOD,则∠AOC 与∠BOD 是 对顶角吗?为什么?【链接中考】1.（xx 湖南娄底）如图6，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，若∠BOD =100°，则∠AOE =_____.【答案】40°A CBDEO图6【课后巩固】参考答案1、D2、 2 63、60°4、（1）∠BDF ；∠ADE、∠BDF （2）∠CDF=108° ∠EDB=162°5、C6、D 【达标测试】参考答案一、1.A 2.B 3.B 4.A 5.D二、1.∠2和∠4 ∠3 2.155° 25° 155° 4.35° 5.对顶角相等 •6 .125° 55° 7.147.5° 8.42° 三、1.∠2=60° 2.∠4=36°四、1.∠BOD=120°,∠AOE=30° 2.∠BOD=72° 3.∠4=32.5° 五、1.4条不同的直线相交于一点,图中共有12对对顶角(平角除外),n 条不同的直线相交于一点,图中共有(n 2-n)对对顶角(平角除外).2.6条直线最多可以把平面分成22个部分,n 条直线最多可以把平面分成个部分.六、∠AOC 与∠BOD 不一定是对顶角.如图1所示,当射线OC,OD 位于直线AB 的一侧 时,不是对顶角;如图2所示,当射线OC,OD 位于直线AB 的两侧时,是对顶角.(1)D C BA21(2)O CB A$7d( 33018 80FA 胺b< '37930 942A 鐪>39547 9A7B驻)21325 534D 卍。
对顶角和互补角的相关概念
对顶角和互补角的相关概念对顶角和互补角是几何学中常见的概念。
下面将分别对它们的定义、性质以及应用进行介绍。
对顶角对于一个凸多边形，如果两个角的顶点并不相邻，且它们所对的边在直线的两侧，那么称这两个角为对顶角。
具体来说，对于一个四边形ABCD，角A和角C、角B和角D就是对顶角。
对顶角有以下性质：1. 对顶角相等：如果两个角是对顶角，那么这两个角的大小是相等的。
这个性质很容易通过证明得到，即利用同位角的性质，可以利用平行线、锐角三角形等各种方法证明。
2. 互补角有一个共同的对顶角：对于一个角的两个互补角，它们有一个共同的对顶角。
这个性质的证明也很简单，直接利用互补角定义，将其中一个角拆分为两个角度之和，再利用对顶角相等的性质即可。
3. 对顶角的正弦、余弦函数值相等：对于一个角A和它的对顶角C，它们的正弦和余弦函数值是相等的。
除此之外，对顶角还有很多应用。
例如，在平行四边形中，对顶角相等，可以帮助我们求出缺失的角度或边长；在三角形中，对于构成外角的两个角，它们的和等于第三个角，可以帮助我们解决各种三角形问题。
互补角互补角是指两个角的度数之和为90度的两个角。
例如，45度和45度、30度和60度、10度和80度就是互补角。
互补角有以下性质：1. 互补角相加等于90度：这是互补角定义的基本性质。
2. 对顶角有一个共同的互补角：对于一个角的两个对顶角，它们有一个共同的互补角。
这个性质的证明也可以通过拆分一个角为两个角度之和，然后将它们指向同一边来解决。
3. 互补角的正弦、余弦函数值相等：对于一个角A和它的互补角B，它们的正弦、余弦函数值也是相等的。
在实际应用中，互补角也有很多用途。
例如，在解决直角三角形问题时，如果已知一个角的大小和它的互补角的大小，我们就可以通过正弦、余弦函数来求出另一个角的大小和三角形的边长，这对于工程学、数学、物理学等方面都有重要的应用。
综上所述，对顶角和互补角是几何学中的两个重要概念，它们有各自的定义、性质和应用，理解它们可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识。
七年级数学《对顶角》优秀课件
性质，理解对顶角在图形中的位置关系。
练习题二
02
题目内容描述。本题旨在让学生运用对顶角的性质进行简单的
计算和证明，加深对知识点的理解。
练习题三
03
题目内容描述。通过此题的练习，学生可以进一步巩固对顶角
的应用，提高分析问题和解决问题的能力。
课后作业布置和要求
作业内容
布置与对顶角相关的计算题、证明题 和应用题，要求学生独立完成。
角度计算
实际问题中的应用
在建筑、工程等领域，经常需要测量 或计算角度。利用对顶角性质，可以 方便地解决这些问题。
结合图形中的其他已知条件，如平行 线、角的和差等，利用对顶角性质进 行角度计算。
利用对顶角证明线段相等或平行
证明线段相等
如果两条线段分别与第三条线段 构成对顶角，且这两个对顶角相
等，则这两条线段相等。
下一步学习计划建议
深入学习几何知识
加强练习和巩固
拓展应用领域
对顶角是几何学的基础知识之一， 为了更好地掌握几何学，我建议 继续深入学习其他相关的知识点， 如平行线、三角形、四边形等。
通过大量的练习和巩固，可以加 深对知识点的理解和记忆。因此， 我建议多做一些与对顶角相关的 练习题，并注意总结归纳解题方 法和技巧。
对顶角不仅在数学中有广泛的应 用，在其他学科和领域中也经常 涉及到。因此，我建议尝试将所 学的对顶角知识应用到其他学科 和领域中，以拓展自己的视野和 应用能力。
THANKS
感谢观看
知识掌握情况
通过本课件的学习，我深刻理解了对顶角的定义和性质，并能够在实际问题中灵活应用。我能够准确地识别对顶角，并运 用它们解决几何问题。
学习方法和策略
在学习过程中，我采用了多种方法和策略，如反复阅读课件、做笔记、与同学讨论等。这些方法和策略帮助我更好地理解 和记忆知识点，并提高了我的学习效率。
七年级数学下册《对顶角》教案、教学设计
（一）教学重点
1.对顶角的定义及其性质的理解与应用。
2.能够正确识别并运用对顶角解决实际问题。
3.掌握对顶角相等的证明过程，并能运用到几何证明中。
（二）教学难点
1.对顶角概念的理解，特别是对于空间想象力较弱的学生，如何让他们直观地理解对顶角。
2.对顶角性质的推导和证明，如何引导学生通过逻辑推理掌握证明方法。
针对教学难点，我还设想以下具体措施：
1.对于空间想象力较弱的学生，可以通过画图、制作模型等方法，帮助他们直观地理解对顶角。
2.在对顶角性质的推导和证明过程中，教师可以逐步引导学生运用已知角度知识，进行逻辑推理，掌握证明方法。
3.结合实际问题，教师可以设计一些具有挑战性的题目，引导学生运用对顶角知识进行分析、解答，提高解题能力。
七年级数学下册《对顶角》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解对顶角的定义，知道对顶角是在两条交叉直线上，位于交叉点两侧且不邻补的两组角。
2.能够识别并正确标记对顶角，运用对顶角的性质解决实际问题。
3.掌握对顶角相等的性质，理解其证明过程，并能够运用到几何证明题中。
4.学会运用对顶角性质进行角度计算，提高解决问题的能力。
3.在实际问题中，如何运用对顶角的知识进行问题分析，提高解题能力。
（三）教学设想
为了有效突破教学重难点，我设想以下教学策略：
1.引入生活实例，激发学生学习兴趣。通过展示实际生活中的对顶角例子，如交叉路口的红绿灯、桥梁结构等，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。
2.采用直观演示法，帮助学生建立空间观念。利用几何画板、实物模型等教学工具，直观展示对顶角的特点，让学生在观察、操作中理解对顶角的概念。
《对顶角》PPT优质课件
工程测量中
在工程测量中，对顶角的概念也被广泛应用。例如，在测量道路或桥梁的角度时，工程师可以使用对顶角的概念来确保测量的准确性和精度。
航海导航中
在航海导航中，对顶角的概念可以用来确定船只的航向和位置。例如，当船只行驶在海上时，航海员可以通过观察天体（如太阳或星星）的位置和角度来确定船只的航向和位置，这时就可以利用对顶角的概念来进行计算和验证。
当两条直线垂直相交时，形成的四个角都是直角，即90度。
在一些特定的图形中，如平行四边形等，对顶角也有特殊的关系和性质。
在解决一些复杂的几何问题时，可以利用对顶角的性质来简化问题或寻找解题思路。
特殊情况下的直线交点和对顶角
03
CHAPTER
三角形中的对顶角应用
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180度。
多边形内角和公式推导过程中涉及对顶角概念
正多边形各顶点处对顶角数量关系
正多边形定义
正多边形是指各边相等、各内角也相等的多边形。在正多边形中，每个顶点处的对顶角大小相等。
对顶角数量关系
在正n边形中，每个顶点处的对顶角大小为(n-2)×180°/n。由于正多边形的各内角大小相等，因此每个顶点处的对顶角也相等。
底边两端点所对顶角的性质
等腰三角形中底边两端点所对顶角性质
直角三角形有一个90度的直角，其余两个角之和为90度。
直角三角形的性质
在直角三角形中，斜边两端点所对的两个顶角互余，即它们的度数之和等于90度。同时，这两个顶角还分别与直角三角形的两个锐角相等。
斜边两端点所对顶角的性质
直角三角形中斜边两端点所对顶角性质
思路分析
根据对顶角的性质，我们知道如果两个角是对顶角，那么它们的度数相等。因此，如果∠EPG = ∠FPH，那么我们可以得出EF∥GH的结论。
青岛版9.4对顶角课件
第九章：角
北京菜户营立交桥
?
?
在两条直线相交所得的四个角
中，每两个角在顶点、边上各 有什么特点？
A
2O
D
1 )3
C
4
B
?
下图中的∠ 1和∠ 2是对顶 角吗？为什么？
练习1
C
1
A
O2 B
图1
D
?
下图中的∠ 1和∠ 2是对顶 角吗？为什么？
才能做到不重不漏？
动脑筋
C O
F
A
B
E D
?
课件简介
? 《对顶角》这节课间引导学生认真观察、思考、 概括认识对顶角的特点，从而能从动态角度分辨出对 顶角。进而引导学生动手画出对顶角，进一步增进学 生对顶角的理解。在此基础上通过度量、分析、操作 验证等多种方式得出对顶角的性质，课件重点演示了 旋转重合的实验方法让学生从理性上认识对顶角的性 质。在多处动态展示过程中充分体现了课件的直观性， 便于有效突破重难点。设计例题注意了考察前后知识 的联系，把相交线所形成的对顶角、邻补角形成一个 体系，便于学生理解和应用，从整体上把握这节课。 最后的动脑筋发散学生思维，有特殊到一般，符合学 生的认知规律。
?
E
如图，直线 AE、BD相交于点 O， ∠ AOB 的对顶角是 ∠ EOD ， ∠ BOE 的对顶角是 ∠ AOD .
?
A
3
1
)
C
4
对顶角在数量上有什么关系？ 你可以用那些方法进行验证？
D
B
猜想
?
对顶角相等?ຫໍສະໝຸດ （可以画图举例说明）?
例题
A
D
对顶角ppt
THANKS
利用对顶角的性质计算对顶角
总结词
对顶角的性质是指两个角如果是对顶角，则它们相等。这个性质可以用于计 算对顶角的大小。
详细描述
对顶角的性质可以用于计算两个对顶角的大小。对于两个对顶角α和β，有 α=β。这个性质可以用于几何学中的证明和计算。
利用几何学公式计算对顶角
总结词
几何学中有很多公式可以用于计算角度，其中一些公式涉及到对顶角。
对顶角ppt
xx年xx月xx日
contents
目录
• 对顶角的定义 • 对顶角的应用 • 对顶角的度量 • 对顶角的计算方法 • 对顶角的性质与定理证明 • 对顶角的相关问题与解答
01
对顶角的定义
定义与分类
定义
对顶角是指两个具有共同顶点的角，且它们的两边分别在对 方的内部。
分类
对顶角可以分为大对顶角和小对顶角两种类型，大对顶角是 指两个角都大于90度的对顶角，而小对顶角则是指两个角都 小于90度的对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
证明：根据定义，如果两个角是对顶角，那么它们有一个公共顶点，且 它们的两边互为反向延长线。因此，它们不会相等，也不会互补。所以 ，对顶角相等。
对顶角的定理证明
定理
如果两个角是对顶角，那么它们的补角也相等。
证明
假设两个角α和β是对顶角，那么根据对顶角的定义，它们的补角也是对顶角。因 此，它们的补角也相等。
在几何学中，对顶角是研究几何图形的基本要素之一。 通过对顶角可以确定图形的形状、大小和相对位置，因 此它在几何学中具有重要的作用。
对顶角相关问题的探讨与思考
如何证明对顶角相等？
证明对顶角相等的常见方法是通过等量代换和三 角形内角和定理来证明
初中数学 什么是对顶角
初中数学什么是对顶角
对顶角是指两条相交直线之间的两对相对角度。
在几何学中，对顶角是角度的一种特殊关系，它具有一些重要的性质和应用。
以下是关于对顶角的一些重要概念和性质：
1. 相交直线：对顶角是由两条相交直线形成的。
这意味着对顶角的两个角度位于两条相交直线之间。
2. 相对角度：对顶角是两对相对的角度。
这意味着对顶角的两个角度位于相交直线的不同侧。
3. 性质：对顶角具有一些特殊的性质。
其中最重要的性质是对顶角的度数相等。
换句话说，如果一个对顶角的度数是x度，那么它的对应对顶角的度数也是x度。
4. 应用：对顶角在解决几何问题中有广泛的应用。
例如，当我们知道一个对顶角的度数，可以通过求其对应的对顶角来得到另一个角度的度数。
对顶角也可以用来证明角度之间的关系，以及解决其他与角度有关的几何问题。
对顶角在几何学和实际应用中具有重要的意义。
它们帮助我们理解角度之间的关系，推导出未知角度的度数，并在解决几何问题时提供了有用的工具。
总之，对顶角是指两条相交直线之间的两对相对角度。
对顶角具有一些特殊的性质和应用，对于理解几何学和解决相关问题非常重要。
2024年七年级数学课件对顶角
七年级数学课件对顶角一、引言在七年级数学课程中，对顶角是一个重要的几何概念。
对顶角是指在两条相交直线上，一对位于相交点两侧且互不相邻的角。
它们具有一些特殊的性质和定理，对于解决几何问题具有重要意义。
本文将详细介绍对顶角的定义、性质和定理，并通过一些典型例题来帮助同学们更好地理解和应用对顶角。
二、对顶角的定义对顶角是指两条相交直线上，一对位于相交点两侧且互不相邻的角。
在一个交点处，通常会有两对对顶角，分别是相邻角和不相邻角。
相邻角是指位于相交点两侧且相邻的两个角，而不相邻角是指位于相交点两侧且不相邻的两个角。
三、对顶角的性质1.对顶角相等：在一个交点处，两对对顶角的大小相等。
这是对顶角最基本的性质，也是解决几何问题的关键。
2.对顶角互补：在一个交点处，一对对顶角的和等于180度。
这是由于直线的性质，即直线上的两个相邻角的和为180度。
3.对顶角的平行线性质：如果两条直线被一条横截线所截，那么在这两条直线之间，对顶角是相等的。
这是平行线性质的一个重要应用。
四、对顶角的定理1.对顶角定理：如果两条直线相交，那么在交点处，两对对顶角的大小相等。
2.对顶角互补定理：如果两条直线相交，那么在交点处，一对对顶角的和等于180度。
3.对顶角的平行线定理：如果两条直线被一条横截线所截，那么在这两条直线之间，对顶角是相等的。
五、典型例题例题1：如图，直线AB和CD相交于点O，求证：∠AOC=∠BOD。
解答：根据对顶角定理，我们知道在交点O处，两对对顶角的大小相等。
因此，∠AOC=∠BOD。
例题2：如图，直线AB和CD被直线EF所截，且∠AEF=70度，求证：∠BEF=110度。
解答：根据对顶角的平行线定理，我们知道在直线AB和CD之间，对顶角是相等的。
因此，∠AEF=∠BEF。
又因为∠AEF=70度，所以∠BEF=70度。
由于直线上的两个相邻角的和为180度，所以∠BEF=180度∠AEF=180度70度=110度。
《对顶角》PPT课件(华师大版)
学学以以致致用用
要测量两堵墙所成的角的度数，但人不
？ 能进入围墙，如何测量
B O A
C D
若2条（3，4，5条·······n条）直线交于一点O，要找出所 有的对顶角，按怎样的方法找，才能做到不重不漏？
∠3 = 180º ─ ∠2= 180º ─ 150º=30º
∠4 = 180º ─ ∠3= 180º ─ 30º=150º
所以：∠1=∠3 ，∠ 2=∠4
对顶角相等
１．判断：
（1）相等的角是对顶角．（ × ）
（2）对顶角一定相等．（ √ ）
（3）如果两个角相等，且有公共顶点， 那么这两个角是对顶角．（ × ）
学习目标 1. 在图形中能正确熟练地辨认出对顶角 . 2.掌握对顶角的性质：对顶角相等. 3. 能用对顶角的性质进行计算.
知识回顾：
1、平角等于多少度？ 2、什么样的两个角互为补角？ 3、补角有什么性质？
不相邻的两个角有公共顶点，且一个角的两边 是另一个角两边的反向延长线.这样的两个角叫做 对顶角.
∠DOE的对顶角有 ∠AOB
.
判断下列图形中， ∠1， ∠2 是否是对顶角？
1
2
A
12 B
1 2 D
12 C
2.判断下列各图中的∠1和∠2是不是对 顶角.
1
12
2
2
2
1
1
A
B
C
D
在图中， ∠1=30º，那么∠2 ， ∠3 和∠4各等于多少度？图中存 在哪些相等关系？ 2
3 1
4பைடு நூலகம்
解： ∠2 = 180º ─ ∠1= 180º ─ 30º=150º
A
2O
D
1 )3
七年级数学对顶角知识点
七年级数学对顶角知识点对顶角是初中数学中的一个基本概念，也是初中数学中必须掌握的一项重要知识点。
本文将从对顶角的定义、性质和应用三个方面对七年级数学对顶角知识点进行全面简要总结。
一、对顶角的定义对顶角，指的是两个角所夹的两条直线相交，使相邻两对角互为补角的一种特殊角。
也就是说，如果一条直线AB同时穿过两条平行直线CD和EF，并且形成的两个角∠ABC和∠DEF互为补角，那么这两个角就是对顶角。
二、对顶角的性质1. 对顶角互为补角对顶角互为补角，也就是说两个对顶角相加等于180度，即∠ABC+∠DEF=180°。
2. 对顶角的度数相等对顶角的度数相等，也就是说∠ABC的度数等于∠DEF的度数。
3. 对顶角的角平分线相交于对边对顶角的角平分线相交于对边，也就是说如果从某个对顶角的顶点分别作出两条角平分线AB和AC，那么这两条角平分线AB和AC将分别与对边DE和EF相交于两点G和H，点G和H重合于点I，即GI=IH=AI。
三、对顶角的应用1. 解线性方程对顶角常常被用于解线性方程，如果将某个角的度数表示成x 度，则这个角对应的对顶角的度数为(180-x)度。
如果两个对顶角的度数之和为180度，则可以列出一个简单的线性方程来求解未知数。
例如：对顶角∠ABC和∠DEF，已知∠ABC的度数为x，那么∠DEF的度数为(180-x)度。
如果∠ABC和∠DEF互为补角，则有x+(180-x)=180，化简后得到x=90，所以∠ABC的度数为90度，∠DEF的度数为90度。
2. 计算图形的面积对顶角也常常被用于计算图形的面积。
例如，以下图形其中一侧为直线AB。
假设直线AB将图形分为两个部分，而∠CBE和∠DCE是对顶角，则可以通过对顶角的性质计算出图形的面积。
假设图形的面积为S，则有：S= △ABC + △CDE=(1/2)×AB×BC + (1/2)×AB×DE= (1/2)×AB×(BC+DE)= (1/2)×AB×CD因此，图形的面积等于底边AB与高CD的乘积的一半。
七年级数学下册第九章第四节对顶角学案2青岛版
七年级数学导学案第九章角9．4 对顶角一、学习目标：1.认识对顶角，以及对顶角的性质。
2.利用性质解决有关问题。
二、学习重点：对顶角的定义及性质。
学习难点：会利用性质解决问题。
三、学法指导:要敢于尝试，结合例子进行观察、实验、交流等自主探究归纳出对顶角的性质，会利用性质解决问题。
四、学习过程：【课前准备及预习感悟】（学生上课前自主完成部分）依据预习提纲预习并完成相关的问题预习题纲（一）自学教科书并回答以下问题：1、图9-20公路AB与CD相交点O，共形成了几个角，它们有什么特点？2、什么是对顶角？对顶角的位置特点？并举出有关对顶角的实例。
3、通过交流你发现互为对顶角的两个角的大小有什么关系？4、试着完成课本练习第1、2题。
5、试着完成课本例1。
（要有简单分析点拨）析：找出图中的对顶角，利用平分线的特点处理问题。
预习疑难摘要【课堂学习研讨交流】（师生课上共同完成部分）1、讨论预习疑难摘要，不会的或不明白的向老师请教哦！2、对顶角的定义及性质你理解了吗？【知识应用与能力形成】完成课本习题B组的1、2小题。
在下面解决问题并简要的说明解题的理由。
1、2、【学习体会】1、学习目标完成了吗？请你说说本节课的收获。
2、还有什么疑难问题？请你记下来，不要忘记请教同学或老师哦！【基础与达标】1、如图，对顶角有对2、在下列图形中是否是对顶角，有几组对顶角并指出对顶角？3、， OE平分∠BOD，∠COE=150°，求∠AOC的度数？A4、 如图，直线AB 、CE 相交于点O 。
（1） 写出∠AOC 的对顶角和与∠AOC 互补的角（2） 写出∠AOE 的对顶角和与∠AOE 互补的角5、下列说法正确的是（ ）A 、相等的两个角是对顶角B 、有公共顶点，且相等的两个角是对顶角C 、两条直线相交，构成的角是对顶角D 、角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角五、综合能力提升（必做作业，做在作业上）课本习题9.4 A 组第2、3题。
9.4 对顶角
（三）精讲点拨
1.问题导读：
自学课本P14前两个自然段。回答问题：
（1）什么叫对顶角？对顶角满足那些条件？
（2）两条直线相交，形成几对对顶角？在图中找出来。
在课本14页9—21图中，你能发现对顶角的形象吗？举出生活中对顶角的一些例子。
（1） 如下图，∠1，,2是对顶角吗？
1 1 2
2
提示：1.辨认对顶角的要领。
E
C B
O
A D
学生畅所欲言，谈收获和不足。
学生练习、板演。
课后反思
教学时，不必让学生背这些描述性词句。而是让学生抓概念的本质，如何辨认它们。
2.对顶角成对存在，它们互为对顶角。
2.合作交流
（1）互为对顶角的两个角的大小关系是怎样的呢？
画一画：∠1分别为50°，120°，再反向延长角的两边，得到∠2，测∠2看看两个角的大小关系?
(2)大家能不能从理论上说明你的结论的正确性吗？
（3）试把我们发现的结论用一句话描述。
对顶角相等
2.精讲点拨
课本P14.例1
解：（略）
变式：若∠BOE=30°，其他条件不变，你能求出图中那些角的度数？
学生阅读教材
）
学生活动（学法）
（四）学以致用
（五）课堂小结
1.如图，直线AB、CD交于点O,OE平分∠AOC,∠AOE=25°，你能说出图中那些角的度数？交流。
A D
E O
C B
2.如图。AB、CD交于点O.∠DOE=90°，∠AOC=72°。求∠BOE的度数。
主备人：审核人：教学时间：年月日
教学内容
9.4对顶角
总课时数
4
教学目标
1.了解对顶角的概念，会在图形中识别对顶角。
中考数学：对顶角是什么对顶角怎么算
中考数学：对顶角是什么对顶角怎么算今天小编想和大家分享的是关于对顶角的相关知识，对顶角即如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角·对顶角的范围介于0度到180度之间，0度和180度不算在内。
下面让我们一起来学习一下吧。
对顶角的概念在几何学中，对顶角是两个角之间的一种位置关系。
两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。
称其中不相邻的两个角互为对顶角。
或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。
对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。
用数学语言描述就是：设直线AD、BC交于点O。
则形成四个角：∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。
其中，∠AOB和∠COD互为对顶角，∠AOC和∠BOD 互为对顶角。
∠AOB = ∠COD，∠AOC = ∠BOD。
对顶角的性质如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
在同一平面内，互为对顶角的两个角相等。
对顶角的例子如图1，两条直线相交，构成两对对顶角。
∠1与∠3为一对对顶角，∠2与∠4为一对对顶角。
注意：1.对顶角一定相等，但是相等的角不一定是对顶角。
2.对顶角必须有共同顶点。
3.对顶角是成对出现的。
在证明过程中使用对顶角的性质时，以图1为例，∴∠1=∠3，∠2=∠4(对顶角相等)。
巧算对顶角任何两条直线可以看成一个组合，这样的组合有C(n，2)=n(n-1)/2 ，每个组合有两对对顶角，因此n条直线相交于一点，共有2C(n，2)=n(n-1)对。
即：2条直线相交于一点，有(2)对不同的对顶角;3条直线相交于一点，有(6)对不同的对顶角;4条直线相交于一点，有(12)对不同的对顶角;..............n条直线相交于一点，有n(n-1)对不同的对顶角。
2019-2020年七年级数学下册 9.4对顶角教案 青岛版
2019-2020年七年级数学下册 9.4对顶角教案青岛版学习目标1、知识目标：了解对顶角的概念，会在图形中识别对顶角。
2、能力目标：理解对顶角的性质，经历在数学活动中探索对顶角性质的过程，发展有条理的思考与表达能力。
重点与难点重点：对顶角的性质难点：对顶角性质的应用。
学习要求积极参与，大胆探索；遇到问题先独立思考，如有疑难，小组交流；勇于展示，挑战自我。
学习过程一、想一想：1、同一平面内的两条直线，有哪些位置关系？2、两条相交直线，共形成了几个角？3、补角的性质是什么？二、议一议，学一学：自学课本第14页，回答下列问题1、什么是对顶角？你还能举出生活中对顶角的例子吗？2、在纸上任意画出两条相交直线，分别度量所成的四个角的大小，你发现了什么？你能用前面学过的知识证明这一结论吗？三、试一试：试用刚刚学过的知识解决下列问题例1：如图一，直线AB与CD相交于点O,射线OE是∠BOD的平分线，已知∠AOD=110°，求∠COB，∠AOC, ∠BOE，∠EOD的度数。
四、练一练：如图二，AB，CD，EF是经过点O的三条直线，如果∠EOD=89°，∠AOC=7 0°，那么∠BOF等于多少度？为什么？五、比一比：1、下列说法中，正确的是（）A、相等的角为对顶角B、对顶角不可能是直角C、两直线相交，有三对对顶角相等。
D、对顶角相等。
2、如图四，是练习书法时使用的“米字格”，你能数出图中有多少对对顶角吗？3、如图五，直线AB，CD相交于点Ｏ，∠１的对顶角是______，∠４的对顶角是__________．4、如图六，直线AB，CD相交于点O，且∠AOC+∠BOD=118°，则∠AOD =________。
5、如图七，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，若∠AOC的度数与∠C OE的度数之比等于5︰4，则∠AOD等于（）。
A、120°B、130°C、140°D、1506、如图八，直线直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=87°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数。
对顶角数学定义
对顶角数学定义一、引言对顶角是几何学中的基本概念之一，它在平面几何和解析几何中都有着广泛的应用。
理解对顶角的定义、性质以及应用，对于深入理解几何学的基本原理，解决各种几何问题具有重要的意义。
二、对顶角的定义对顶角是指两条相交直线所形成的相对的两个角。
具体来说，如果两条直线相交于一点，那么它们会形成四个角，其中相对的两个角就是对顶角。
在几何图形中，对顶角总是相对存在，且大小相等。
三、对顶角性质1. 对顶角相等：根据对顶角的定义，我们知道对顶角的大小相等。
这是对顶角的基本性质之一，也是解决几何问题的重要依据。
2. 对顶角与相交直线的关系：对于两条相交直线，它们所形成的对顶角是相互补的，即它们的角度和为180度。
3. 对顶角的位置关系：对顶角总是位于相交直线的交点两侧，且相对于交点对称。
四、对顶角的应用对顶角在几何学中有着广泛的应用，它可以用于证明各种几何定理和解决几何问题。
例如，利用对顶角的相等性质，我们可以证明一些角的相等关系；利用对顶角与相交直线的关系，我们可以解决一些角度计算问题。
此外，对顶角还常常用于解决平面几何中的三角形、四边形等问题。
五、对顶角的性质证明为了证明对顶角的性质，我们可以使用一些基本的几何定理和推理。
例如，利用角的补角定理，我们可以证明对顶角是相互补的；利用相似三角形的性质，我们可以证明对顶角是相等的。
通过这些基本的定理和推理，我们可以深入理解对顶角的性质，并将其应用于解决各种几何问题。
六、对顶角的几何证明1. 对顶角相等的证明：* 设两条相交直线为L1和L2，交点为O，形成的对顶角为∠1和∠2。
* 作一条过点O且与L1和L2都垂直的直线L3。
* 根据垂直线的性质，我们知道L3将∠1和∠2均分为两个相等的角，即∠1A=∠1B，∠2A=∠2B。
* 因此，我们可以得出∠1=∠2。
2. 对顶角互补的证明：* 设两条相交直线为L1和L2，交点为O，形成的对顶角为∠1和∠2。
* 由于直线L1和L2相交于点O，所以它们的夹角∠1+∠2=180°。
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9.4对顶角
姓名：命题人: 马晓燕审核人:初一数学组NO.8
1、了解对顶角的概念，会在图形中识别对顶角。
（重点）
2、理解对顶角的性质，经历在数学活动中探索对顶角性质的过程，发展有条理的思考与表达能力。
（难点）
一、想一想：
1、同一平面内的两条直线，有哪些位置关系？
2、两条相交直线，共形成了几个角？
3、补角的性质是什么？
二、议一议，学一学：
自学课本第14页，回答下列问题：
1、是对顶角。
你还能举出生活中对顶角的例子吗？
2、对顶角的性质是：。
你能用前面学过的知识证明这一结论吗？（画出图形，写出证明过程）
3、画出图形，写出例1的解答过程。
三、试一试：
课本P14:练习1、2 要求：第2题，画出图形，写出详细解答过程。
1、如图，AB,CD,EF是经过点O的三条直线。
如
果∠EOD=89°, ∠AOC=70°,那么，∠BOF等于多
少度？写出解答过程。
五、比一比：
1、下列说法中，正确的是（）
A、相等的角为对顶角
B、对顶角不可能是直角
C、两直线相交，有三对对顶角相等。
D、对顶角相等。
2、如图四，是练习书法时使用的“米字格”，
你能数出图中有多少对对顶角吗？
3、如图五，直线AB，CD相交于点Ｏ，
∠１的对顶角是______，∠４的对顶角是__________．
4、如图六，直线AB，CD相交于点O，
且∠AOC+∠BOD=118°，则∠AOD=________。
5、如图七，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，
若∠AOC的度数与∠COE的度数之比等于5︰4，
则∠AOD等于（）。
A、120°
B、130°
C、140°
D、150
6、如图八，直线直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=87°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数。
八、探一探：
(1)两直线相交，共形成多少对对顶角?
(2)三条直线相交于一点，共形成多少对对顶角?
(3)四条直线相交于一点，共形成多少对对顶角？
(4)n条直线相交于一点，共形成多少对对顶角?
九、课后延伸：
课本：P15 习题9.4 A组1、2、3
B组1（写明详细过程）。