空间角与距离

§5.1线线角与线面角

【高考热点】

1. 理解两条直线所成的角（线线角）与直线与平面所成角（线面角）的概念，掌握这两个角的作法和求法，重点是线面角；

2. 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题；

3. 使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法。 【课前预习】

1． 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ）

（A ）75° （B ）60° （C ）45° （D ）30° 2． 如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD

的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点。那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于 （ ） A ．

510 B ．515 C ．54 D ．3

2 3． 如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α=

（ ）

A ．

3π

B ．4π C

． D

． 4. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的棱锥

体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为

（ ）

A ．90°

B ． 60°

C ． 45° D

． 30° 【典型例题】

例1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点。 （1） 证明 ∥PA 平面EDB ；

（2） 求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值。

A

D

C

C 1 1

D

A

【课后作业】

1． 如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB=

4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1.

（1） 求二面角C —DE —C 1的正切值； （2） 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.

2． 已知矩形ABCD ，AB=2AD=2a ，E 是CD 边的中点，以AE 为棱，将△DAE 向上折起，将D

变到D ′的位置，使面D ′AE 与面ABCE 成直二面角. （1） 求D ′B 与平面ABCE 所成的角的正切值； （2） 求异面直线AD ′与BC 所成的角. D

C

§5.2二面角（一）

【高考热点】

5. 二面角的问题是高考立体几何部分必考的内容，也是立体几何的一大难点；

6. 二面角的平面角的作法：（一）定义法；（二）垂面法；（三）三垂线定理法（主要方法）；

7. 二面角的平面角的计算方法：（1）作出角再计算；（2）利用公式s

s '

cos =

θ（此法有争议）. 【课前预习】

4． 在正四棱锥P-ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所

成角的正切值 .

5． 在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC=60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD=1，则

二面角B- AC- D 的余弦值为 .

【典型例题】

例1 如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC=60o ，PA=AC=a ，

，点E 在PD 上，且PE :ED=2:1.

（1） 证明：PA ⊥平面ABCD ；

（2） 求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；

B P

【课后作业】

1.如图，在四棱锥P—ABCD中底面ABCD是正方形，侧棱PD

⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC中点，作EF⊥PB于点F.

（3）证明PA∥平面EDB；

（4）证明PB⊥平面EFD；

（5）求二面角C－PB－D的大小.

§5.3 空间的距离

【高考热点】

8.求点到面的距离是高考立体几何题中重点和难点之一；

9.求距离和求角一样，步骤都是“一作，二证，三算”，即先作出距离再通过推理论证某条线

段是所求最后再计算。解题中注意格式的完整和规范；

10.求点到平面距离的常用方法有：①直接作出表示距离的线段，再证明计算；②利用平行等条

件等价转换为另一点到面的距离；③等积变换（主要用于以三棱锥为载体的题目中）；

【典型例题】

例1：在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，

SA=SC=

M、N分别为AB、SB 的中点。

（6）证明AC⊥SB；

（7）求点B到面SCM的距离。

例2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A=90°，O、O1、G分别是BC、B1C1、AA1的中点，且AB=AC=AA1=2.

（8）求O1到面A1CB1的距离；

（9）求BC到面GB1C1的距离。

G

1

A