10.二维连续型随机变量

10.二维连续型随机变量

【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第三章第§1 中的二维连续型随机变量

【教材分析】：前一章我们已经研究了一维随机变量的一些有关概念、性质和计算，本节将这些内容推广到多维的情形，主要讲授二维的连续型随机变量，学习本节内容，要求学生掌握有关概念，并会对一些随机变量进行有关的计算。

【学情分析】：

1、知识经验分析

学生已经学习了一维随机变量的有关概念、性质和计算，掌握了随机变量的相关知识。

2、学习能力分析

学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。

【教学目标】：

1、知识与技能

理解二维连续随机变量的联合密度函数的概念，会进行一些相关的计算，并熟练掌握几种常见的二维分布。

2、过程与方法

根据本节课的知识特点，教学中采用类比和启发式教学法，将一维连续型随机变量的概率密度函数转化二维连续随机变量的联合密度函数。

3、情感态度与价值观

将一维连续型随机变量的概率密度函数转化二维连续随机变量的联合密度函数的学习过程中，使得学生初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神

【教学重点、难点】：

重点：二维连续型随机变量的概念和性质，并对一些随机变量进行有关计算。

难点：对一些随机变量进行有关计算。

【教学方法】：讲授法启发式教学法

【教学课时】：1个课时

【教学过程】：

一、问题引入（复习）

定义 如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负可积函数)(x f ，使得对于任意实数x 有

.)(}{)(⎰

∞

-=

≤=x

dt t f x X P x F

则称X 为连续型随机变量， 称)(x f 为X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。 密度函数)(x f 具有下述性质：

（1）非负性0)(≥x f （1）规范性

⎰

∞+∞

-=1)(dx x f

（3）对于任意实数()1212,x x x x ≤

1{}P x X x <≤11221(())()()()x x P x F x F x p y dy ξω≤<=-=⎰

2

1

)(x x dx x f （4）0}{0==x X p

（5）若)(x f 在点x 处连续，则有 '()()F x f x = (由()()x

F x f y dy -∞

=

⎰

式可知，对()f x 的连续点)

【设计意图】：采用类比的方法将一维连续型随机变量的概率密度函数转化二维连续随机变量的联合密度函数的问题，使学生掌握转化，类比的思想。

二、二维连续型随机变量

定义1 如果存在二元非负函数(,)f x y ，使得二维随机变量(,)X Y 的分布函数(,)F x y 可表示为

(,)(,),x

y

F x y f u v dvdu -∞-∞

=⎰

⎰

则称(,)X Y 为二维连续随机变量，称(,)f x y 为(,)X Y 的联合密度函数。

注 在偏导数存在的点上，有2(,)(,)p x y F x y x y

∂=∂∂。

联合密度函数的基本性质

2(,)012(,)1

(,)3(,)4((,))(,)G

f x y f x y dxdy x y F f x y x y

P x y f x y dxdy

G ∞∞

-∞-∞

≥=∂=∂∂∈=⎰

⎰

⎰⎰（）（）（）

（）

注 可求概率((,))(,),G

P X Y G p x y dxdy ∈=

⎰⎰具体使用左式时，积分范围是(,)p x y 的

非零区域与G 的交集部分，然后设法化成累次积分再计算出结果。

【设计意图】：引进二维连续随机变量的联合密度函数的概念和性质。

(2)1(,)2e ,0,0,

(,)0,.

(1)(,);(2){}.

x y X Y x y f x y F x y P Y X -+⎧>>=⎨

⎩≤例设二维随机变量具有概率密度其它求分布函数求概率

解：(1)(,)(,)d d y x

F x y f x y x y -∞-∞

=

⎰⎰

(2)002e

d d ,0,0,0,.

y x

x y x y x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰其他

2(1e )(1e ),0,0.

(,)0,.

x y x y F x y -⎧-->>=⎨⎩得 其他

(2) 将(,)X Y 看作是平面上随机点的坐标， 即有{}{(,)},Y X X Y G ≤=∈

(2)0

1

{}{(,)}(,)d d 2e d d .3

x y y

G

P Y X P X Y G f x y x y x y +∞

+∞-+≤=∈===⎰⎰⎰

⎰

【设计意图】：通过这个例子，进一步理解分布函数和联合概率密度函数的关系，并会解决一些实际问题。 三、常用二维分布 1、均匀分布

设D 为n

R 中的一个有界区域，其度量为D S ，如果多维随机变量12(,,,)n X X X ⋅⋅⋅的联合密度函数为

12121

,(,,,),

(,,,)0,n D

n x x x D S p x x x ⎧⋅⋅⋅∈⎪⋅⋅⋅=⎨⎪⎩

其他 则称12(,,,)n X X X ⋅⋅⋅服从D 上的多维均匀分布，记为12(,,,)~).n X X X U

D ⋅⋅⋅（ 2、二维正态分布

如果二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为

2211222221122

()()()()1(,)[2]},,2(1)x x y y p x y x y μμμμρρσσσσ------+-∞<<+∞-则称(,)X Y 服从二维正态分布，记为22

1212(,)~(,,,,).X Y N μμσσρ其中五个参数的取值范

围分别是：1212,;,0;1 1.μμσσρ-∞<<+∞>-<<

以后将指出：12,μμ分别是X 与Y 的均值，2212,σσ分别是X 与Y 的方差，ρ是X 与

Y 的相关系数。

.四、思考与提问：

由联合分布能确定X Y 和的分布吗？