推理与证明学案.

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数学教案北师大版选修2-2 同步备课-第1章推理与证明学案第1节归纳与类比

§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积．归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1，得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学习目标核心素养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1．类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V PBCDV ABCD，同理，p b h b ＝V PACD V ABCD ，p c h c ＝V PABD V ABCD ，p d h d ＝V PABCV ABCD .∵V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABC ＝V ABCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABCV ABCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ，所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ，所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ，所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较归纳推理类比类推相同点根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不同点特点由部分到整体，由个别到一般由特殊到特殊推理过程从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。

命题、定理、证明——学案

命题、定理、证明——学案教学目标：1、了解命题的概念。

2、能区分命题的题设和结论。

3、经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解。

重点难：命题的概念和区分命题的题设和结论预学内容：课本P20—22页要求：掌握命题的概念，对一个命题能区分哪是题设，哪是结论。

对我们学过的一些命题会判断真假。

（课前完成）我的问题：命题：命题由和两部分组成。

数学中的命题常可写成的形式。

一、A 例如：①两直线平行，同位角相等；②等角的余角相等；③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行。

B 例如：（1）直线AB与CD平行吗？（2）过点A画直线l的垂线。

（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

①请同学们比较这两组语句有什么区别？与同伴交流。

②师生共同归纳：③举出一些生活中具有类似特征的语句（学生举例）。

命题二、命题的组成（看A组语句）题论和结论分别是什么？把它写成“如果……，那么……”的形式。

三、真假命题（1）两个锐角的和是锐角；（2）邻补角是互补的角；（3）同旁内角互补。

问：（1）上面三句话是命题吗？各自的题设和结论是什么？（2）判断三句话对吗？如果不对举出反例。

真命题：假命题：练习：判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一反例说明。

（1）一个角的补角是钝角；（2）两个正数的差仍是正数；（3）如果a是正有理数，那么a2＞a；aB （4）如果两个角互补，那么它们是邻补角；（5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除。

四、定理：证明：例：如图，已知直线b ∥c ，a ⊥b ，求证a ⊥c.练习：1、在下面的括号内，填上推理的根据。

如图，∵∠A+∠B=180°，∴AD ∥BC （）∴∠C+∠D=180°，（）2、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出题设和结论。

（1）同锐角相等；（2）等角的补角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补；（4）两点确定一条直线。

2018届高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第四节基本不等式学案文

第四节基本不等式1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识点一基本不等式 1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：____________. (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为______，几何平均数为____，基本不等式可叙述为：________________________________ __________.3．几个重要的不等式a 2＋b 2≥____(a，b∈R )；b a ＋a b≥____(a ，b 同号)．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22____a 2＋b 22(a ，b ∈R )．答案1．(1)a >0，b >0 (2)a ＝b 2.a ＋b2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3．2ab 2 ≤1．判断正误(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充分不必要条件．( ) (3)若a ≠0，则a 2＋1a2的最小值为2.( )答案：(1)× (2)√ (3)√知识点二利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则1．如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最____值是____．(简记：积定和最小)2．如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有最____值是____．(简记：和定积最大)答案1．x ＝y 小 2p 2.x ＝y 大p 242．(必修⑤P100习题3.4A 组第1(2)题改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析：xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.答案：C3．(必修⑤P100习题3.4A 组第2题改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0<x <10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，都为5时面积取到最大值25 m 2.答案：25 m 24．已知m >0，n >0,2m ＋n ＝1，则1m ＋2n的最小值为____.解析：∵2m ＋n ＝1，∴1m ＋2n ＝(1m ＋2n)·(2m ＋n )＝4＋n m＋4mn ≥4＋2n m ·4mn＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即n ＝12，m ＝14时，“＝”成立．答案：8热点一配凑法求最值【例1】 (1)已知x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知x 为正实数且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．【解】 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)因为x >0，所以x 1＋y 2＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋ 12＋y 22 2.又x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 22＋12＝32，所以x 1＋y 2≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32＝324，即(x 1＋y 2)max ＝324.(1)设0<x <52，则函数y ＝4x (5－2x )的最大值为________．(2)设x >－1，则函数y ＝ x ＋5 x ＋2x ＋1的最小值为________．解析：(1)因为0<x <52，所以5－2x >0，所以y ＝4x (5－2x )＝2×2x (5－2x )≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5－2x 22＝252，当且仅当2x ＝5－2x ，即x ＝54时等号成立，故函数y ＝4x (5－2x )的最大值为252.(2)因为x >－1，所以x ＋1>0，所以y ＝ x ＋5 x ＋2 x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝ x ＋1 2＋5 x ＋1 ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2x ＋1 ×4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立，故函数y ＝ x ＋5 x ＋2 x ＋1的最小值为9. 答案：(1)252 (2)9热点二常值代换法求最值【例2】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________．【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．【答案】 41．本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为____.解析：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．答案：92．若将本例中的“a ＋b ＝1”换为“a ＋2b ＝3”，如何求解？解：∵a ＋2b ＝3，∴13a ＋23b ＝1.∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a≥1＋22ab 9ab ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b ＝32－3时，取等号．故1a ＋1b 的最小值为1＋223.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．解析：因为x ＋3y ＝5xy ，且x >0，y >0. 所以3x ＋1y＝5，所以3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y ＝15⎝⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋212y x·3x y＝15(13＋12)＝5. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧12y x ＝3xy，3x ＋1y ＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12时取“＝”．所以3x ＋4y 的最小值是5.答案：5热点三换元法求最值【例3】已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．【解析】因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2，由x ＝4－yy ＋2>0，得－2<y <4，又y >0，则0<y <4，所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．【答案】 26－3已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．解析：由已知得x ＝9－3y1＋y .方法1：(消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3 1＋y 2－6 1＋y ＋121＋y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y· 3y ＋3 －6＝6. 当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法2：∵x >0，y >0,9－(x ＋3y ) ＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立，设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t >0，∴t ≥6. 故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案：6热点四基本不等式与函数的综合应用【例4】 (1)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x ＋23x .∵3x＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)由f (x )≥3恒成立，得x 2＋ax ＋11x ＋1≥3，又x ∈N *，∴x 2＋ax ＋11≥3(x ＋1)，∴a －3≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8x . 令F (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8x ，x ∈N *，则F (x )max ＝F (3)＝－173.即a －3≥－173，∴a ≥－83.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞(2017·太原模拟)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)解析：因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥10＋29＝16.由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 答案：D1．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b >0)等，还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等．2．利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．。

届数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数第三节算法初步学案理含解析

第三节算法初步［最新考纲］［考情分析]［核心素养］1.了解算法的含义，了解算法的思想。

2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.3。

理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。

依据程序框图直接得出结论，填写部分内容以及程序框图与其他知识交汇是2021年高考考查的热点，题型为选择题或填空题，分值为5分.1.逻辑推理2。

数学运算‖知识梳理‖1．算法(1）算法通常是指按照错误!一定规则解决某一类问题的错误!明确和错误!有限的步骤．（2）应用：算法通常可以编成计算机错误!程序，让计算机执行并解决问题．2．程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用5程序框、流程线及6文字说明来表示算法的图形．3．三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个错误!依次执行的步骤组成,这是任何一个算法都离不开的错误!基本结构算法的流程根据9条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件错误!反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为错误!循环体程序框图‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”)．(1)算法的每一步都有确定的意义,且可以无限地运算．()（2）一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构和循环结构．(）（3）一个循环结构一定包含条件结构．（)(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．（)答案:（1）×(2)×（3)√(4)×二、走进教材2．（必修3P25例5改编）给出如图程序框图,其功能是(）A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b｜的值D．以上都不对答案:C3．(必修3P33B3改编)执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4,则输入的x应为（)A．－2 B．16C．－2或8 D．－2或16答案：D三、易错自纠4．如图给出的是计算错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(）A．i<50? B．i>50？C．i〈25？D．i>25?解析：选B因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1,间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件,所以判断框内的条件可以填入i>50？故选B．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于（)A．－3 B．－10C．0 D．－2解析：选A第一次循环：k＝0＋1＝1,满足k<4，s＝2×1－1＝1；第二次循环：k＝1＋1＝2，满足k<4,s＝2×1－2＝0;第三次循环：k＝2＋1＝3,满足k<4，s＝2×0－3＝－3;第四次循环：k ＝3＋1＝4,不满足k<4,故输出的s＝－3.故选A．错误!｜题组突破|1．(2019年全国卷Ⅲ）执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0。

24.2.1命题与证明导学案

教师复备栏
或学生笔记栏
二、重点、难点：
重点是理解证明的必要性
难点是推论证明的思路和方法.
三、预习导航
（一）知识链接：（）
举例说明：真命题与假命题
（二）新知初探（）
通过完成下面三个个问题串（将答案写在空白处）体会：利用观察、测量、归纳、类比等方法探索发现的结论（命题），可能是真命题，也可能是假命题。
1.当n=1时，(n2－5n＋5)2=1；
当n=2时，(n2－5n＋5)2=1；
当n＝3时，(n2－5n＋5)2=1.
由此归纳得出：当n取任意正整数时，(n2－5n＋5)2的值都是1.
你认为这个命题正确吗?为什么?
2.如果a＝b，那么a2=b2.由此类比猜想得出：当a>b时，a2>b2，你认为这个命题正确吗?为什么?
3.已知；如图24—3(1)，a∥b，b∥c直线a，b平行吗?
课题:§24.2.1命题的证明课型：预习+展示学案编号：
编制人：崔立明审核人：使用时间：班级：姓名：小组：评价等级：
一、学习目标：
1、经历通过观察、验证、归纳、类比等方法猜想结论的过程，发现由这些方法得到的结论可能不正确，从而认识证明的必要性
2、理解定义、定理、公理的含义
3、能写出简单的逻辑推理过程，体会逻辑推理在几何学中的在图24—3(1)中，再作一条直线l，使直线l与直线a，b，c都相交，如图24—3(2).用量角器测量∠1和∠2，根据∠1和∠2的大小关系，你能判定“a与b平行”这一结论正确吗?
（3）借助图（2）通过有理有据的说理你能说明“a∥b”吗？
（三）抽象概念
阅读课本116页后理解定理、公理、定义的含义
所以AC=DB().
所以AC+CD=DB+CD().

数学广角—推理-第二课时(导学案)-二年级下册数学人教版

数学广角—推理-第二课时（导学案）-二年级下册数学人教版一、教学目标1. 知识与技能：通过观察、猜测、推理等活动，进一步培养学生的推理能力。

2. 过程与方法：培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生的语言表达能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探索数学世界的欲望。

二、教学内容1. 生活中的推理：通过观察、猜测、验证等方法，找出事物的规律。

2. 数字的推理：通过观察数字之间的关系，找出数字的规律。

3. 图形的推理：通过观察图形之间的关系，找出图形的规律。

三、教学重点与难点1. 教学重点：培养学生观察、猜测、推理的能力。

2. 教学难点：引导学生发现事物之间的联系，找出事物的规律。

四、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生发现推理的必要性，激发学生的学习兴趣。

2. 自主探究：学生独立观察、猜测、推理，找出事物的规律。

3. 合作交流：学生在小组内分享自己的发现，互相学习，共同提高。

4. 全班交流：各小组代表汇报自己的发现，教师点评、总结。

五、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结推理的方法。

2. 学生谈收获，教师点评、鼓励。

六、课后作业（课后自主完成）1. 观察生活中的推理现象，与家人分享你的发现。

2. 完成课后练习题，巩固所学内容。

七、板书设计1. 生活中的推理2. 数字的推理3. 图形的推理八、教学反思1. 教师要关注学生在课堂上的表现，及时调整教学策略，提高教学效果。

2. 注重培养学生的观察、猜测、推理能力，为学生的终身发展奠定基础。

3. 激发学生对数学的兴趣，引导学生主动探索数学世界。

通过本节课的学习，我们希望学生能够掌握推理的方法，提高观察、猜测、推理的能力，激发学生对数学的兴趣，培养学生的独立思考、合作交流的能力，为学生的终身发展奠定基础。

重点关注的细节：教学过程教学过程是整个教学活动的核心环节，直接关系到学生对知识的掌握程度和教学目标的实现。

2015届高考数学总复习第七章推理与证明第3课时数学归纳法教学案(含最新模拟、试题改编)

第七章推理与证明第3课时数学归纳法(对应学生用书(理)97～98页)考情分析考点新知理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1. 若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N )，则n ＝1时，f(n)＝________.答案：1＋12＋13解析：当n ＝1时，f(1)＝1＋12＋13.2. (选修22P 88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．答案：5解析：当n ≤4时，2n ≤n 2＋1；当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n 0应取为5.3. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝________.答案：13k ＋13k ＋1＋13k ＋2解析：f(k ＋1)－f(k)＝1＋12＋13＋14＋…＋13（k ＋1）－1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14＋…＋13k －1＝13k ＋13k ＋1＋13k ＋2. 4. 用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n －y n 能被x ＋y 整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成____．答案：2 当n ＝2k(k ∈N *)时结论成立，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除解析：因为n 为正偶数，故取第一个值n ＝2，第二步假设n 取第k 个正偶数成立，即n ＝2k ，故假设当n ＝2k(k ∈N *)时结论成立，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除．5. 已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________________，由此猜想a n ＝________．答案：37、38、39、310 3n ＋5解析：a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38＝33＋5，a 4＝39＝34＋5，a 5＝310＝35＋5，猜想a n ＝3n ＋5.1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： (1) 归纳奠基：证明凡取第一个自然数n 0时命题成立；(2) 归纳递推：假设n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3) 由(1)(2)得出结论． [备课札记]题型1 证明等式例1 用数学归纳法证明： 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N )．证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．② 假设当n ＝k(k ∈N )时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，上式表明当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n ∈N 均成立．变式训练当n ≥1，n ∈N *时，(1) 求证：C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋(n －1)C n －1n x n －2＋nC n n xn －1＝n(1＋x)n －1； (2) 求和：12C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋(n －1)2C n －1n ＋n 2C nn .(1) 证明：设f(x)＝(1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n ，①①式两边求导得n(1＋x)n －1＝C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋(n －1)C n －1n x n －2＋nC n n xn －1.② ①式等于②式，故等式成立．(2) 解：②两边同乘x 得nx(1＋x)n －1＝C 1n x ＋2C 2n x 2＋3C 3n x 3＋…＋(n －1)C n －1n xn －1＋nC n n x n.③ ③式两边求导得n(1＋x)n －1＋n(n －1)x(1＋x)n －2＝C 1n ＋22C 2n x ＋32C 3n x 2＋…＋(n －1)2C n －1n x n －2＋n 2C n n xn －1.④在④中令x ＝1，则12C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋(n －1)2C n －1n ＋n 2C n n ＝n·2n －1＋n(n －1)2n －2＝2n －2(2n ＋n 2－n)＝2n －2·n(n ＋1)．题型2 证明不等式例2 (选修2-2P 91习题6改编)设n ∈N *，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，试比较f(n)与n ＋1的大小．解：当n ＝1，2时f(n)<n ＋1；当n ≥3时f(n)>n ＋1.下面用数学归纳法证明： ① 当n ＝3时，显然成立；② 假设当n ＝k(k ≥3，k ∈N )时，即f(k)>k ＋1，那么，当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)>k ＋1＋1k ＋1＝k ＋2k ＋1>k ＋2k ＋2＝k ＋2，即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②知，对任何n ≥3，n ∈N 不等式成立．备选变式（教师专享）用数学归纳法证明a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除(n ∈N *)．证明：① 当n ＝1时，a 2＋(a ＋1)＝a 2＋a ＋1可被a 2＋a ＋1整除．② 假设n ＝k(k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a·a k ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a·a k ＋1＋a·(a ＋1)2k －1＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1＝a[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1，由假设可知a[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]能被a 2＋a ＋1整除，(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1也能被a 2＋a ＋1整除，∴ a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1能被a 2＋a ＋1整除，即n ＝k ＋1时命题也成立，∴ 对任意n ∈N *原命题成立．题型3 证明整除例3 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N *)能被36整除．证明：① 当n ＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．② 假设n ＝k 时，f(k)能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而3k －1－1是偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除．所以n ＝k ＋1时，f(n)能被36整除．由①②知，对任何n ∈N ，f(n)能被36整除．备选变式（教师专享）已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1) 求数列{b n }的通项公式b n ；(2) 设数列{a n }的通项a n ＝log a ⎝⎛⎭⎫1＋1b n (其中a ＞0且a ≠1)．记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13log a b n ＋1的大小，并证明你的结论.解：(1) 设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧b 1＝1，10b 1＋10（10－1）2d ＝145Þ⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，d ＝3， ∴ b n ＝3n －2. (2) 由b n ＝3n －2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a ⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2 ＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋1）⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2而13log a b n ＋1＝log a 33n ＋1，于是，比较S n 与13log a b n ＋1的大小比较(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2与33n ＋1的大小 . 取n ＝1，有1＋1＝38>34＝33×1＋1，取n ＝2，有(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14>38>37＝33×2＋1. 推测 (1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2＞33n ＋1，(*) ① 当n ＝1时，已验证(*)式成立；② 假设n ＝k(k ≥1)时(*)式成立，即(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2＞33k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋13（k ＋1）－2>33k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k ＋1＝3k ＋23k ＋133k ＋1. ∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋23k ＋133k ＋13－(33k ＋4)3＝（3k ＋2）3－（3k ＋4）（3k ＋1）2（3k ＋1）2＝9k ＋4（3k ＋1）2>0，∴ 33k ＋13k ＋1(3k ＋2)>33k ＋4＝33（k ＋1）＋1，从而(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k ＋1>33（k ＋1）＋1，即当n ＝k ＋1时，(*)式成立．由①②知(*)式对任意正整数n 都成立．于是，当a ＞1时，S n ＞13log a b n ＋1，当 0＜a ＜1时，S n ＜13log a b n ＋1.题型4 归纳、猜想与证明例4 已知数列{a n }满足a 1＝1，且4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9(n ∈N )． (1) 求a 2，a 3，a 4的值；(2) 由(1) 猜想{a n }的通项公式，并给出证明．解：(1) 由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9，得a n ＋1＝9－2a n 4－a n ＝2－1a n －4，求得a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2) 猜想a n ＝6n －52n －1.证明：①当n ＝1时，猜想成立．②设当n ＝k 时(k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝6k －52k －1，则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝2－1a k －4＝2－16k －52k －1－4＝6k ＋12k ＋1＝6（k ＋1）－52（k ＋1）－1，所以当n＝k ＋1时猜想也成立．综合①②，猜想对任何n ∈N *都成立．备选变式（教师专享）已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n ∈N )，g(n)＝2(n ＋1－1)(n ∈N )．(1) 当n ＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)； (2) 由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．解：(1) 当n ＝1时，f(1)>g(1)；当n ＝2时，f(2)>g(2)；当n ＝3时，f(3)>g(3)．(2) 猜想：f(n)>g(n)(n ∈N *)，即1＋12＋13＋ (1)>2(n ＋1－1)(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(2－1)，f(1)>g(1)．②假设当n ＝k 时，猜想成立，即1＋12＋13＋…＋1k >2(k ＋1－1)．则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>2(k ＋1－1)＋1k ＋1＝2k ＋1＋1k ＋1－2，而g(k ＋1)＝2(k ＋2－1)＝2k ＋2－2，下面转化为证明：2k ＋1＋1k ＋1>2k ＋2. 只要证：2(k ＋1)＋1＝2k ＋3>2（k ＋2）（k ＋1），需证：(2k ＋3)2>4(k ＋2)(k ＋1)，即证：4k 2＋12k ＋9>4k 2＋12k ＋8，此式显然成立．所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．综上可知：对n ∈N *，猜想都成立，即1＋12＋13＋ (1)>2(n ＋1－1)(n ∈N *)成立．1. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n ，其中n>1且n ∈N *，在验证n ＝2时，式子的左边等于________．答案：1＋12＋13⎝⎛⎭⎫或116 解析：当n ＝2时，式子的左边等于1＋12＋122－1＝1＋12＋13.2. 用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步验证的表达式为________．答案：21＋1≥12＋1＋2(或22≥4或4≥4也算对)解析：当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2.3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是____．答案：假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确解析：因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题先假设n ＝2k －1(k ∈N *)正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确．4. (2013·广东理)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1) 求a 2的值；(2) 求数列{a n }的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1) 解：∵ 2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.∴ 当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 2－13－1－23＝a 2－2.又a 1＝1，∴ a 2＝4.(2) 解：∵ 2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.∴ 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n＝na n ＋1－n （n ＋1）（n ＋2）3， ①∴ 当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －（n －1）n （n ＋1）3， ②由①－②，得 2S n －2S n －1＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)． ∵ 2a n ＝2S n －2S n －1，∴ 2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn＝1. ∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以首项为a 11＝1，公差为1的等差数列.∴ a nn ＝1＋1×(n －1)＝n ，∴a n ＝n 2(n ≥2)，当n ＝1时，上式显然成立． ∴ a n ＝n 2，n ∈N * .(3) 证明：由(2)知，a n ＝n 2，n ∈N * ，① 当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴ 原不等式成立. ② 当n ＝2时， 1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴ 原不等式亦成立.③ 当n ≥3时， ∵ n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴ 1n 2<1（n －1）·（n ＋1）， ∴1a 1＋1a 2＋...＋1a n ＝112＋122＋ (1)2 <1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）·n ＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝⎛⎭⎫11－13＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋12(13－15)＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1 ＝1＋12(11－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12－1n －1n ＋1＝74＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n －1n ＋1<74， ∴ 当n ≥3时，原不等式亦成立.综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.1. 用数学归纳法证明“12＋22＋32＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)(n ∈N *)”，当n ＝k ＋1时，应在n ＝k 时的等式左边添加的项是________．答案：(k ＋1)2解析：[12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2]－(12＋22＋…＋k 2)＝(k ＋1)2.2. 用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2＞1(n ∈N *且n ＞1)．证明：①当n ＝2时，左边＝12＋13＋14＝1312＞1，∴n ＝2时不等式成立；②假设当n ＝k(k ≥2)时不等式成立，即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋1＋…＋1k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋…＋1（k ＋1）2 ＝1k ＋1k ＋1＋…＋1k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋…＋1（k ＋1）2－1k＞1＋(2k ＋1)·1k 2＋1－1k ＝1＋k 2＋k －1k （k 2＋1）＞1. 综上，对于任意n ∈N *，n>1不等式均成立，原命题得证．3. 设函数f(x)＝x －xlnx ，数列{a n }满足0＜a 1＜1，a n ＋1＝f(a n )．求证： (1) 函数f(x)在区间(0，1)是增函数； (2) a n ＜a n ＋1＜1.证明：(1) f(x)＝x －xlnx ，f ′(x)＝－lnx ，当x ∈(0，1)时，f ′(x)＝－lnx ＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数．(2) (用数学归纳法)①当n ＝1时，0＜a 1＜1，a 1ln a 1＜0，a 2＝f(a 1)＝a 1－a 1lna 1＞a 1. 由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且f(1)＝1，得f(x)在区间(0，1)是增函数，a 2＝f(a 1)＝a 1－a 1lna 1＜f(1)＝1，即a 1＜a 2＜1成立．②假设当n ＝k(k ∈N *)时，a k ＜a k ＋1＜1成立，即0＜a 1≤a k ≤a k ＋1＜1，那么当n ＝k ＋1时，由f(x)在区间(0，1]上是增函数，得0＜a 1≤a k ≤a k ＋1＜1，得f(a k )＜f(a k ＋1)＜f(1)，而a n ＋1＝f(a n )，则a k ＋1＝f(a k )，a k ＋2＝f(a k ＋1)，即a k ＋1＜a k ＋2＜1，也就是说当n ＝k ＋1时，a n ＜a n ＋1＜1也成立．由①②可得对任意的正整数n ，a n ＜a n ＋1＜1恒成立．4. (2013·江苏改编)设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k k 个，即当（k －1）k 2<n ≤k （k ＋1）2(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k ，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，用数学归纳法证明S i(2i ＋1)＝－i(2i ＋1)(i ∈N *)．证明：①当i ＝1时，S i(2i ＋1)＝S 3＝－1·(2＋1)＝－3，故原式成立．②假设当i ＝m 时，等式成立，即S m(2m ＋1)＝－m·(2m ＋1)．则当i ＝m ＋1时，S (m ＋1)[2(m ＋1)＋1]＝S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m(2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m(2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2 ＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)，故原式成立．综合①②得：S i(2i ＋1)＝－i(2i ＋1)．1. 数学归纳法是专门证明与整数有关命题的一种方法，他分两步，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两步缺一不可．2. 运用数学归纳法时易犯的错误①对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错；②没有利用归纳假设；③关键步骤含糊不清，“假设n ＝k 时结论成立，利用此假设证明n ＝k ＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性和规范性．。

2015届高考数学总复习第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理教学案(含最新模拟、试题改编)

第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理第八章 (对应学生用书(文)、(理)93～94页)1. (选修12P 35练习题4改编)“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎫13x是增函数(结论)”，上面推理错误的原因是______________. 答案：大前提错误解析：y ＝a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．2. (选修12P 35练习题3改编)用三段论的形式写出“矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等．” 的演绎推理过程________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：每一个矩形的对角线相等(大前提) 正方形是矩形(小前提) 正方形的对角线相等(结论)3. (选修12P 29练习题3(2) 改编)观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是________.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 解析：等式右边的底数为左边的项数．4. (选修12P 29练习题3(2)改编)观察下列等式： 21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝163；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为______________________．答案：n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n ∈N *)解析：由归纳推理得n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋（n 2＋n ）n ＝（n ＋1）2n ， n ＋1n×(n ＋1)＝（n ＋1）2n ，所以得出结论n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n ∈N *)． 5. 已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可得扇形的面积公式为________．答案：12rl1. 归纳推理(1) 归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2) 归纳推理的思维过程大致如图实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论(3) 归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2. 类比推理(1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理．(2) 类比推理的思维过程观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论3. 演绎推理(1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2) 主要形式是三段论式推理．(3) 三段论的常用格式为M —P(M是P)①S－M(S是M)②S —P(S是P)③其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[备课札记]题型1 归纳推理例1 在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1) 求a 1，a 2，a 3；(2) 由(1)猜想数列{a n }的通项公式； (3) 求S n .解：(1) 当n ＝1时，S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，即a 21－1＝0，解得a 1＝±1.∵ a 1>0，∴ a 1＝1；当n ＝2时，S 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，即a 22＋2a 2－1＝0. ∵ a 2>0, ∴ a 2＝2－1.同理可得，a 3＝3－ 2. (2) 由(1)猜想a n ＝n －n －1.(3) S n ＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n. 变式训练已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2007＝________．答案：－123解析：(解法1)分别求出a 2＝－3、a 3＝－12、a 4＝13、a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3.(解法2)由a n ＋1＝1＋a n 1－a n，联想到两角和的正切公式，设a 1＝2＝tan θ，则有a 2＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ，a 3＝tan ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，a 4＝tan ⎝⎛⎭⎫3π4＋θ，a 5＝tan(π＋θ)＝a 1，….则a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3. 题型2 类比推理例2 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．答案：a 38解析：在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等(如图1)，即OM ＝ON.四边形OPAR 是圆内接四边形，Rt △OPN ≌Rt △ORM ，因此S 四边形OPAR ＝S 正方形OMAN ＝14a 2.同样地，类比到空间，如图2.两个棱长均为a 的正方体重叠部分的体积为18a 3.备选变式（教师专享）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 为椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M 、N 是双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：设点M 的坐标为(m ，n)，则点N 的坐标为(－m ，－n)，其中m 2a 2－n 2b2＝1.又设点P 的坐标为(x ，y)，由k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋n x ＋m ，得k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2，将y 2＝b 2a 2x 2－b 2，n 2＝b 2a 2m 2－b 2代入得k PM ·k PN ＝b 2a2.题型3 演绎推理例3 设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M(n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界” 数列．(1) 若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2) 判断(1)中的数列{S n }是否为“特界” 数列，并说明理由．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋9n.(2) 由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①，而S n ＝－n 2＋9n＝－⎝⎛⎭⎫n －922＋814(n ∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20.即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．备选变式（教师专享）设数列{}a n 满足a 1＝0且11－a n ＋ 1 －11－a n＝ 1.(1) 求{}a n 的通项公式；(2) 设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝k ＝1n b k ，证明：S n <1.(1)解：由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列．又11－a 1＝1，故11－a n＝n.所以a n ＝1－1n .(2) 证明：由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1，S n＝1111n nkk k b ====-<邋1. 观察下列不等式：1＋122＜32；1＋122＋132＜53；1＋122＋132＋142＜74；…；照此规律，第五个不等式是________．答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1162. 观察下列各式：a ＋b ＝1；a 2＋b 2＝3；a 3＋b 3＝4；a 4＋b 4＝7；a 5＋b 5＝11；…；则a 10＋b 10＝________．答案：123解析：(解法1)由a ＋b ＝1；a 2＋b 2＝3得ab ＝－1代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123.(解法2)令a n ＝a n ＋b n ，易得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.3. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案：1∶8解析：考查类比的方法，V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18，所以体积比为1∶8.4. (选修12P 31练习题2改编)在平面几何里可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的13”．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________ .答案：14解析：运用分割法思想，设正四面体的高为h ，底面面积为S ，正四面体SABC 的内切球的半径为R ，球心为O ，连结OS 、OA 、OB 、OC ，将四面体分成四个三棱锥，则V S ABC＝V O SAC ＋V O SAB ＋V O SBC ＋V O ABC ＝13SR ＋13SR ＋13SR ＋13SR ＝43SR ＝13Sh ，所以R ＝14h.5. (2013·镇江期末)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝________．答案：1－1（n ＋1）·2n1. (2012·江西文)观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x ，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同整数解(x ，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x ，y)的个数为12 ….则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为________．答案：80解析：由已知条件，得|x|＋|y|＝n(n ∈N *)的整数解(x ，y)个数为4n ，故|x|＋|y|＝20的整数解(x ，y)的个数为80.2. 若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，公比为________．答案：q解析：T n ＝b n 1q n （n －1）2，n T n ＝b 1(q)n －1.3. 若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为mn，如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，四面体A 1ABC 的直度为________．答案：1解析：n ＝4，m ＝4，m n ＝44＝1.4. 若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a2＋y 0yb2＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是________．答案：x 0x a 2－y 0y b2＝1解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则过P 1、P 2的切线方程分别是x 1x a2－y 1yb2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1.这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0xa2－y 0y b 2＝1.1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法．2. 合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想．3. 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．4. 合情推理仅是符合情理的推理，他得到的结论不一定真，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

人教版七年级数学下册第五章《命题、定理、证明》学案 (2)

新人教版七年级数学下册第五章《命题、定理、证明》学案学习目标：1、了解命题、真命题、假命题、定理的含义。

2、会区分命题的题设和结论，能识别真假命题。

3、了解证明的必要性，知道推理要有依据。

重点：会区分命题的题设与结论，真命题的证明推理过程。

难点：找出命题的题设和结论。

学习过程一、知识准备1、思考：下列语句能判断正确与错误吗?哪些是正确的?哪些是错误的?(1)对顶角相等 (2)内错角相等(3)如果两直线被第三直线所截,那么同位角相等 (4)3＜2(5)三角形的内角和等于1800 (6)x=2(7)画AB∥CD二、自主学习1、结合上述问题阅读20页课本给出下面问题的答案（1）命题的概念：（2）命题的组成：（3）命题的形式：（4）命题的分类：（5）定理：2、自主检测判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×表示。

1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?( )2）两条直线相交，有且只有一个交点（）3）一个平角的度数是180度（）4）相等的两个角是对顶角（）5）明天下雨吗？（）例2、哪些是真命题，哪些是假命题？1）一个角的补角大于这个角2）两点之间线段最短3）两点可以确定一条直线4）若A=B，则2A=2B5）锐角和钝角互为补角三、合作探究例1、指出下面的命题的题设和结论，并改写成“如果……那么……”的形式。

1、两直线平行，同旁内角互补。

2、邻补角是互补的角。

3、相等的角是对顶角4、等角的补角相等。

5、平行于同一条直线的两条直线平行。

6、对顶角相等。

例2.已知直线b∥c，a⊥b，请画出图形并证明a⊥ c。

4证明：如图∵b∥c（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）又有a⊥b,即∠2=90°（垂直的定义）∴∠1=∠2=90°（等量代换）于是a⊥c（垂直的定义）四、课堂小结：本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？五、达标测试1、命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、以下四个命题：①一个锐角与一个钝角的和为180°；②若m 不是正数，则m 一定小于零；③若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0；④如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除。

高考数学《推理与证明》专题学案：合情推理与演绎推理

第1课时合情推理与演绎推理1. 推理一般包括合情推理和演绎推理；2.合情推理包括和；归纳推理：从个别事实中推演出，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是：、、 .类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也或，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是：、、 .3.演绎推理：演绎推理是，按照严格的逻辑法则得到的推理过程；三段论常用格式为：①M 是P ，② ，③S 是P ；其中①是，它提供了一个个一般性原理；②是，它指出了一个个特殊对象；③是，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程．例1. 已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ ； 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________________________________________=23（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：一般形式: 23)120(sin )60(sin sin 222=++++ ααα证明：左边 = 2)2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα = )]2402cos()1202cos(2[cos 2123 ++++-ααα= -+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2123ααα]240sin 2sin α = ]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----= 右边=23（将一般形式写成 2223sin (60)sin sin (60),2ααα-+++=2223sin (240)sin (120)sin 2ααα︒︒-+-+=等均正确。

湖北省宜昌市高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理学案

§2.1.2 演绎推理
班级：组别：姓名：组评：师评：
【学习目标】1、了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

2、了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

【课前准备】 1、演绎推理：：从_____________的原理出发，推出某个________________的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

简言之，演绎推理是由__________到______________的推理。

（1）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
第一段：________——已知的一般原理；
第二段：________——所研究的特殊情况；
第三段：________——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
（2）三段论常用格式为：①M 是P ，② S 是M ，③S 是P ；其中①是，它提供了一个一般性原理；②是，它指出了一个特殊对象；③是，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.用集合说明：即若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P.
例1、在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D,E 是垂
足.求证：AB 的中点M 到点D ，E 的距离相等.
例2、证明函数x x x f 2)(2+-=在()1,∞-内是增函数.
例3、用三段论证明：在梯形ABC D 中，AD//BC ，AB=DC ，则B ∠=C ∠.
【当堂训练】
课本P33 练习1、2、3
【课堂小结】。

推理与证明期末复习学案(详解教师用)

推理与证明、复数一、非常了解、考试大纲1、推理与证明（1）合情推理与演绎推理① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.（2）直接证明与间接证明① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点.（3）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.2、数系的扩充与复数的引入（1）复数的概念 ①理解复数的基本概念. ②理解复数相等的充要条件.③了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算 ①会进行复数代数形式的四则运算.②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.二、非常考题、高考真题例1、(2012高考福建理)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.（1）sin 213°+cos 217°-sin13°cos17°（2）sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°（3）sin 218°+cos 212°-sin18°cos12°（4）sin 2（-18°）+cos 248°- sin （-18°）cos48°（5）sin 2（-25°）+cos 255°- sin （-25°）cos55°Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30° ＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－a )＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.例2、(2012高考全国理12)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）16 （B ）14 （C ）12 (D)10 【答案】B【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。

高考数学复习不等式推理与证明第34讲基本不等式优选学案

第34讲基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：！！！！__a >0，b >0__####. (2)等号成立的条件：当且仅当！！！！__a ＝b __####时取等号． 2．几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥！！！！__2ab __####(a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥！！！！__2__####(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为！！！！__a ＋b2__####，几何平均数为！！！！__####，基本不等式可叙述为！！！！__两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数__####.4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当！！！！__x ＝y __####时，x ＋y 有最！！！！__小__####值，是！！！！简记：积定和最小)；(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当！！！！__x ＝y __####时，xy 有最！！！！__大__####值，是！！！！__p 24__####(简记：和定积最大)．1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)． (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(3)“x ＞0，y ＞0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a ＞0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )解析 (1)错误．因为x 没有确定符号，所以不能说最小值为2. (2)错误．利用基本不等式时，等号不成立． (3)错误．不是充要条件，当x <0，y <0时也成立． (4)错误．最小值不是定值，故不正确．2．已知m ＞0，n ＞0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( A ) A ．18B ．36C ．81D ．243解析 ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立．3．若M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( A )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]解析 M ＝a 2＋4a ＝a ＋4a.当a >0时，M ≥4；当a <0时，M ≤－4. 4．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为！！！！__5__####. 解析 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立．5．若x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为！！！！__2__####.解析由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可知xy ＝10. 则2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．一利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的方法(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【例1】 (1)已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8. (2)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 (1)∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x≥2yz x＞0，x y ＋z y≥2xz y＞0，x z ＋y z≥2xyz＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．(2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．二利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值应注意的问题(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．【例2】 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( B ) A ．13B ．12C ．34D ．23(2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( C ) A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4(3)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．解析 (1)∵0<x <1， ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(1－x )22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．(2)∵x >2，∴x －2>0， ∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2·(x －2)·1x －2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即(x －2)2＝1时，等号成立．∴x ＝1或3. 又∵x >2，∴x ＝3，即a ＝3.(3)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【例3】 (1)(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为！！！！__4__####.(2)已知x 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解析 (1)a 4＋4b 4＋1ab ＝a 3b ＋4b 3a ＋1ab ，由基本不等式，得a 3b ＋4b 3a ＋1ab≥2a 3b ×4b 3a ＋1ab＝4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a 3b ＝4b 3a ，4ab ＝1ab 同时成立，即a 2＝22，b 2＝24时等号成立．(2)因为x >0，所以x ·1＋y 2＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22≤22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22. 又x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 22＋12＝32.所以x 1＋y 2≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32＝324，当且仅当x 2＝12＋y 22，即x ＝32时，等号成立．故(x 1＋y 2)max ＝324.三利用基本不等式解决实际应用问题(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【例4】 (2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是！！！！__30__####.解析一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.1．已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( B ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x＋23x .∵3x＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.2．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号． 3．若2x＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是！！！！__2__####. 解析因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.4．若直线l ：x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之解析直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，求直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值即求a ＋b 的最小值．由直线l 经过点(1,2)，得1a ＋2b＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b.因为b a ＋2ab≥2b a ×2a b ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号，所以a ＋b ≥3＋22，则(a ＋b )min ＝3＋2 2.易错点不会凑出常数错因分析：式子的最大、最小值应为常数，为凑出常数，需要“拆”“拼”“凑”等技巧．【例1】已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则λ的最小值为！！！！______####.解析由已知得λ≥x ＋22xyx ＋y恒成立．∵x ＋22xy x ＋y ＝x ＋2x ·2y x ＋y ≤x ＋x ＋2yx ＋y＝2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴λ≥2，即λ的最小值为2.答案 2【跟踪训练1】设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3 解析因为(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2·(a ＋1)2＋(b ＋3)22＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.课时达标第34讲[解密考纲]考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现，或在解答题中作为工具使用．一、选择题1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( C )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析 ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时，取等号．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( C ) A ．a ＋b ≥2abB ．1a ＋1b>1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2>2ab解析 ∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．若a ≥0，b ≥0，且a (a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为( C ) A ． 2B ．4C ．2D ．2 2解析 ∵a ≥0，b ≥0，∴a ＋2b ≥0，又∵a (a ＋2b )＝4，∴4＝a (a ＋2b )≤(a ＋a ＋2b )24，当且仅当a ＝a ＋2b ＝2时等号成立．∴(a ＋b )2≥4，∴a ＋b ≥2.4．函数y ＝^x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( A )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号． 5．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( B ) A ．1 B ．94C ．9D ．16解析1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即b ＋1＝2(a ＋1)时取等号．故选B ．6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( A ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析设甲、乙两地相距s ，则平均速度v ＝2ss a ＋s b＝2aba ＋b .又∵a ＜b ，∴2ab a ＋b ＞2abb ＋b＝a .∵a ＋b ＞2ab ， ∴2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ，∴a ＜v ＜ab . 二、填空题7．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点，则x ＋y 解析因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．8．(2017·山东卷)若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为！！！！__8__####.解析 ∵直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，∴1a ＋2b＝1.又∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋b a＋4a b≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时等号成立，∴2a ＋b 的最小值为8.9．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，则3x ＋2y解析由a ＋b2≤a 2＋b 22，得3x ＋2y ≤2·(3x )2＋(2y )2＝2·3x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号．三、解答题10．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解析 (1)∵x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ， ∴xy (xy －8)≥0，又xy ≥0， ∴xy ≥8，即xy ≥64.当且仅当x ＝4y ，即8y ＋8y －4y 2＝0，即y ＝4，x ＝16时取等号， ∴xy 的最小值为64. (2)∵2x ＋8y ＝xy >0， ∴2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当2x y ＝8y x，即x ＝2y ，即4y ＋8y －2y 2＝0，即y ＝6，x ＝12时取等号， ∴x ＋y 的最小值为18.12．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？解析 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1，所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400·⎝⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x(x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ＜240. 故y 与x 的函数关系为y ＝96 000x＋240x －160(0＜x ＜240)．(2)y ＝96 000x＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．。

高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理学案含解析

2．1.2 演绎推理看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22 017＋1)是奇数，所以(22 017＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a 是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？提示：都说的一般原理．问题2：第二句又都说的什么？提示：都说的特殊示例．问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例做出判断．1．演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形对角线互相平分．(4)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平分．(结论)(4)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n－1＝3n＋2－＝3(常数)．(小前提)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c”．其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．把下列推断写成三段论的形式：(1)y＝sin x(x∈R)是周期函数．(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．解：(1)三角函数是周期函数，大前提y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提y＝sin x(x∈R)是周期函数．结论(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提 ∠1和∠2是对顶角，小前提 ∠1和∠2相等．结论角△ABC 中，AD ，BE 是高，D ，E 为垂足，M 为AB 的中点．求证：ME ＝MD .∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，……大前提在△ABD 中，AD ⊥CB ，∠ADB ＝90°，………………………………小前提∴△ABD 为直角三角形．………………………………………………结论同理△ABE 也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，………………大前提M 是直角△ABD 斜边AB 上的中点，DM 为中线，………………………………小前提∴DM ＝12AB . ……………………………………………………………………………结论同理EM ＝12AB .∵和同一条线段相等的两条线段相等，………………………………………………大前提DM ＝12AB ，EM ＝12AB ，……………………………………………………………小前提∴ME ＝MD .结论三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．如图，已知在梯形ABCD 中，，AB ＝CD ＝AD ，AC 和BD 是梯形的对角线，求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .证明：∵等腰三角形两底角相等，………………………………………………大前提 △DAC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，………………………………小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，………………………………大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，………………………………小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，……………………………………………………大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，………………………………………………………………小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD. …………………………………………………………结论同理可证DB平分∠CBA.已知函数f(x)＝a x＋x＋1(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．如果在(－1，＋∞)上f′(x)>0，那么函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，……………………………………………………………………………………………大前提∵a>1，∴f′(x)＝a x ln a＋3x ＋2>0，………………………………………………小前提∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．………………………………………………结论使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)．②定理引入和应用错误(大前提错)．③推理过程错误等．已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明ba＜b＋ma＋m.证明：因为不等式两边同乘一个正数，不等号不改变方向，……………大前提b＜a，m＞0，………………………………………………………………小前提所以mb＜ma. …………………………………………………………………………结论因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，…………………………大前提mb＜ma，………………………………………………………………………………小前提所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．………………………………结论因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，……………………………大前提b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，………………………………小前提所以b a ＋m a a ＋m ＜a b ＋m a a ＋m ，即b a ＜b ＋ma ＋m.………………………………结论6．混淆三段论的大、小前提而致误定义在实数集R 上的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，有f (x －y )＋f (x ＋y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0，求证：f (x )是偶函数．证明：令x ＝y ＝0，则有f (0)＋f (0)＝2f (0)×f (0)．又因为f (0)≠0，所以f (0)＝1. 令x ＝0，则有f (－y )＋f (y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )，所以f (－y )＝f (y )，因此，f (x )是偶函数．以上证明结论“f (x )是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是________________________________________________________________________．通过两次赋值先求得“f (0)＝1”，再证得“f (－y )＝f (y )”，从而得到结论“f (x )是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f (－y )＝f (y )”，结论是“f (x )是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数”．若对于定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提—小前提—结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f (x )是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________(填序号)．①我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好． ②所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．③小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖． ④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．解析：根据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的．①②③不符合三段论的形式．答案：④1．“四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )A ．正方形的对角线相等B ．矩形的对角线相等C ．等腰梯形的对角线相等D ．矩形的对边平行且相等解析：选B 得出“四边形ABCD 的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”． 2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上述推理错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：选A 大前提是错误的，因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数． 3．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义，即a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．解析：由三段论的形式可知，结论是log 2x －2≥0. 答案：log 2x －2≥04．用三段论证明函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：①________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________(大前提) ②________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(小前提)③________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(结论)答案：①如果函数f (x )满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1，x 2，若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )在给定区间内是增函数．②任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2，由于1＜x 1＜x 2，故x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，即x 1x 2－1＞0，所以f (x 1)＜f (x 2)．③函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上为增函数．5．将下列推理写成“三段论”的形式．(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.332·是有理数．解：(1)向量是既有大小又有方向的量．………………………………大前提零向量是向量．……………………………………………………………小前提零向量也有大小和方向．………………………………………………结论 (2)每一个矩形的对角线相等．……………………………………………大前提正方形是矩形．………………………………………………………………小前提正方形的对角线相等．………………………………………………………结论 (3)所有的循环小数都是有理数．……………………………………………大前提0．332·是循环小数．…………………………………………………………小前提0．332·是有理数．……………………………………………………………结论一、选择题1．给出下面一段演绎推理：有理数是真分数，大前提整数是有理数，小前提整数是真分数．结论结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解析：选A 推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( ) A ．演绎推理 B ．类比推理 C ．合情推理 D ．归纳推理解析：选A 是由一般到特殊的推理，故是演绎推理． 3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由三角形的性质，推测四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出a n 的通项公式解析：选A B 项是归纳推理，C 项是类比推理，D 项是归纳推理．4．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”补充以上推理的大前提( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形解析：选B 推理的大前提应该是矩形的对角线相等，表达此含义的选项为B. 5．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a .结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．二、填空题6．若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数．小前提：－3是整数．结论：－3是自然数．”这个推理显然错误，则推理错误的是________(填“大前提”“小前提”或“结论”)．解析：整数不全是自然数，还有零与负整数，故大前提错误．答案：大前提7．已知推理：“因为△ABC 的三边长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是____________________．解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC 的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC 是直角三角形．答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形8．若不等式ax 2＋2ax ＋2＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________．解析：①a ＝0时，有2＜0，显然此不等式解集为∅.②a ≠0时需有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a 2－8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0≤a ≤2，所以0＜a ≤2.综上可知，实数a 的取值范围是．答案：三、解答题9．如下图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是正方形，E ，F ，G 分别是棱B 1B ，D 1D ，DA 的中点．求证：(1)平面AD 1E ∥平面BGF ； (2)D 1E ⊥AC .证明：(1)∵E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点， ∴D 1F 綊BE ，∴四边形BED 1F 是平行四边形，∴D 1E ∥BF . 又∵D 1E ⊄平面BGF ，BF ⊂平面BGF ， ∴D 1E ∥平面BGF .∵F ，G 分别是D 1D 和DA 的中点， ∵FG 是△DAD 1的中位线，∴FG ∥AD 1. 又∵AD 1⊄平面BGF ，FG ⊂平面BGF ，∴AD 1∥平面BGF . 又∵AD 1∩D 1E ＝D 1， ∴平面AD 1E ∥平面BGF . (2)如右图，连接BD ，B 1D 1， ∵底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .∵D 1D ⊥AC ，BD ∩D 1D ＝D ， ∴AC ⊥平面BDD 1B 1.∵D 1E ⊂平面BDD 1B 1，∴D 1E ⊥AC .10．在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列{}a n －n 是等比数列． (2)求数列{}a n 的前n 项和S n .(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立．解：(1)证明：因为a n ＋1＝4a n －3n ＋1，所以a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *. 又因为a 1－1＝1，所以数列{}a n －n 是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{}a n 的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{}a n 的前n 项和S n ＝4n－13＋nn ＋2.(3)证明：对任意的n ∈N *， S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋n ＋n ＋2－44n－13＋n n ＋2＝－12(3n 2＋n －4)≤0，所以不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立．。

数学教案北师大版选修2-2 同步备课-第1章推理与证明学案第2节综合法与分析法

§2 综合法与分析法2.1 综合法学习目标核心素养1．了解综合法的思考过程、特点．(重点) 2．会用综合法证明数学命题．(难点) 1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？[提示]综合法是由因导果的顺推思维．1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B2．在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，则△ABC一定是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形C[由条件可知cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C>0，即cos C<0，∴C为钝角，故△ABC 一定是钝角三角形．]3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了________的证明方法．综合法[证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]用综合法证明三角问题【例1】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C.(1)求证：A 的大小为60°；(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．思路探究：(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A. (2)结合(1)中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°. [证明] (1)由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ，得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.(2)由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＋C ＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B)＝3， sin B ＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1．因为0°<B<120°，所以30°<B＋30°<150°，所以B ＋30°＝90°，即B ＝60°，所以A ＝B ＝C ＝60°，即△ABC 为等边三角形．证明三角等式的主要依据1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． 2．和、差、倍角的三角函数公式．3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理． 4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．1．若sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β.[证明] ∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列， ∴sin θ＋cos θ＝2sin α①又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列， ∴sin 2β＝sin θcos θ②将②代入①2，得1＋2sin 2β＝4sin 2α，又sin 2 β＝1－cos 2β2，sin 2α＝1－cos 2α2，∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α，即2cos 2α＝cos 2β.用综合法证明几何问题【例2】如图，在四面体BACD 中，CB ＝CD ，AD⊥BD，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD ； (2)平面EFC⊥平面BCD.思路探究：(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD ，只需在平面ACD 内找出一条直线和直线EF 平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD ，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．[证明] (1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF∥AD，又EF 平面ACD ，AD平面ACD ，所以直线EF∥平面ACD.(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F ，所以BD⊥平面EFC. 因为BD平面BCD ，所以平面EFC⊥平面BCD.证明空间位置关系的一般模式本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．2．如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝a ，AB ＝2a ，E ，F 分别为C 1D 1，A 1D 1的中点．(1)求证：DE⊥平面BCE ； (2)求证：AF∥平面BDE. [证明](1)∵BC⊥侧面CDD 1C 1，DE侧面CDD 1C 1，∴DE⊥BC.在△CDE 中，CD ＝2a ，CE ＝DE ＝2a ，则有CD 2＝DE 2＋CE 2，∴∠D EC ＝90°，∴DE⊥EC. 又∵BC∩EC＝C ，∴DE⊥平面BCE.(2)连接EF ，A 1C 1，设AC 交BD 于点O ，连接EO ， ∵EF 12A 1C 1，AO 12A 1C 1， ∴EFAO ，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∴AF∥OE. 又∵OE平面BDE ，AF平面BDE ，∴AF∥平面BDE.用综合法证明不等式[探究问题]1．综合法证明不等式的主要依据有哪些？ [提示] (1)a 2≥0(a∈R)．(2)a 2＋b 2≥2ab，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)a ，b∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地，b a ＋ab ≥2．(4)a －b≥0⇔a≥b；a －b≤0⇔a≤b. (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca. (6)b a ＋ab≥2(a，b 同号，即ab>0)．(7)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a ，b∈R)．左边等号成立的条件是ab≤0，右边等号成立的条件是ab≥0. 2．使用基本不等式证明不等式时，应该注意什么？请举例说明．[提示] 使用基本不等式时，要注意①“一正、二定、三相等”；②不等式的方向性；③不等式的适度，如下例．[题] 已知，a ，b∈(0，＋∞)，求证：a b ＋b a≥a ＋ b.若直接使用基本不等式，a b ＋b a≥2ab ·b a＝24ab ，而a ＋b ≥24ab.从而达不到证明的目的，没掌握好“度”，正确的证法应该是这样的：[证明] ∵a>0，b>0， ∴ab ＋b ≥2a ，ba ＋a ≥2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a ≥2a ＋2b ，即ab ＋ba≥a ＋ b. 【例3】已知x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.思路探究：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明． [证明] 法一：因为x>0，y>0,1＝x ＋y≥2xy ，所以xy≤14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy ≥1＋8＝9.法二：因为1＝x ＋y ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x . 又因为x>0，y>0，所以x y ＋yx ≥2，当且仅当x ＝y 时，取“＝”．所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9.1．本例条件不变，求证：1x ＋1y≥4.[证明] 法一：因为x ，y∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1，所以x ＋y≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，取“＝”，所以xy ≤12，即xy≤14，所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy ≥4.法二：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以x ＋y≥2xy>0，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 1x ＋1y≥21xy>0，当且仅当1x ＝1y时，取“＝”，所以(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4. 又x ＋y ＝1，所以1x ＋1y≥4.法三：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋yy＝1＋y x ＋xy＋1≥2＋2x y ·yx＝4，当且仅当x ＝y 时，取“＝”．2．把本例条件改为“a>0，b>0，c>0”且a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ac≤13.[证明] ∵a>0，b>0，c>0， ∴a 2＋b 2≥2ab， b 2＋c 2≥2bc， a 2＋c 2≥2ac.∴a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.∴(a＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥3(ab＋bc ＋ac)．又∵a＋b ＋c ＝1， ∴ab＋bc ＋ac≤13.综合法的证明步骤1．分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．综合法的基本思路综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从数学命题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．2．综合法的特点(1)从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理，寻找它的必要条件．(2)证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹．(3)由综合法证明命题“若A，则D”的思考过程如图所示：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．( )(2)综合法证明的依据是三段论．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )(1)√(2)√(3)√[(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．]2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4B[若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又mβ，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，mβ，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确；若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确．]3．已知p ＝a ＋1a －2(a>2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a>2)，则p 与q 的大小关系是________． p>q [p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q<22＝4≤p.]4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)．求证：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝n ＋2n S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴n ＋2nS n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2(n ＋1)n S n ，∴S n ＋1n ＋1S n n ＝2，又∵a 1＝1， ∴S 1＝1，∴S 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公比为2，而a n ＝n ＋1n －1S n －1(n≥2)，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)n ＋1， ∴S n ＋1＝4a n .2.2 分析法学习目标核心素养1．了解分析法的思考过程、特点．(重点) 2．会用分析法证明数学命题．(难点)1．通过对分析法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过对分析法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件1．用分析法证明：要使①A>B，只需使②C<D.这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [根据分析法的特点，寻找的是充分条件，∴②是①的充分条件，①是②的必要条件．] 2．欲证2－3<6－7，只需证( ) A ．(2＋7)2<(3＋6)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2－3)2<(6－7)2D ．(2－3－6)2<(－7)2A [欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证(2＋7)2<(3＋6)2．]3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab，只需证a 2＋b 2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab≥0 (a －b)2≥0 (a －b)2≥0应用分析法证明不等式【例1】已知a>b>0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.思路探究：本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．[证明] 要证(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b ，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .∵a>b >0，∴同时除以(a －b )22，得(a ＋b )24a <1<(a ＋b )24b ，同时开方，得a ＋b 2a<1<a ＋b 2b，只需证a ＋b<2a ，且a ＋b>2b ，即证b<a ，即证b<a. ∵a>b>0，∴原不等式成立，即(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.分析法证题思维过程1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．1．已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2．[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a ＋2，即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4，只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2．上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题【例2】设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，若函数y ＝f(x ＋1)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．思路探究：由于已知条件较为复杂，且不易与要证明的结论联系，故可从要证明的结论出发，利用分析法，从函数图象的对称轴找到证明的突破口．[证明] 要证函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋(a ＋b)x ＋14a ＋12b ＋c ，其对称轴为x ＝－a ＋b 2a ，因此只需证－a ＋b2a ＝0，即只需证a ＝－b ，又f(x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＋c ，其对称轴为x ＝－2a ＋b 2a ，f(x)的对称轴为x ＝－b 2a ，由已知得x ＝－2a ＋b 2a 与x ＝－b2a 关于y 轴对称，所以－2a ＋b 2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，得a ＝－b 成立，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．分析法证题思路1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．2．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．[证明] 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1．∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示] 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？[提示] 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路探究：可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来． [证明] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c2b ，且a>0，b>0，c>0.要证(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)，因(b ＋1)(c ＋1)≤(b ＋1)＋(c ＋1)2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a≥b＋c.由于2a ＝b 2c ＋c2b ，故只需证b 2c ＋c2b≥b＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c)(b 2＋c 2－bc)≥(b＋c)bc ，即证b 2＋c 2－bc≥bc，即证(b －c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)．分析综合法特点综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 构成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证c(b ＋c)＋a(a ＋b)＝(a ＋b)(b ＋c)，只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2. ∵A，B ，C 成等差数列， ∴2B＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2accos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2， ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立．1．综合法与分析法的区别与联系区别：综合法分析法推理方向顺推，由因导果逆推，执果索因解题思路探路较难，易生枝节容易探路，利于思考(优点) 表述形式形式简洁，条理清晰(优点)叙述烦琐，易出错思考的侧重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用2．分析综合法常采用同时从已知和结论出发，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点，从而构建出证明的有效路径．上面的思维模式可概括为下图：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法就是从结论推向已知．( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越． ( ) (3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．( )(1)× (2)× (3)√ [(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．] 2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值决定C [当a ＝1时，P ＝1＋22，Q ＝2＋5，P<Q ，故猜想当a≥0时，P<Q.证明如下：要证P<Q ，只需证P 2<Q 2，只需证2a ＋7＋2a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，即证a 2＋7a<a 2＋7a ＋12，只需证0<12．∵0<12成立，∴P<Q 成立．]3．设a>0，b>0，c>0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．9 [因为a ＋b ＋c ＝1，且a>0，b>0，c>0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca ≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan Bcos A .证明：a ＋b ＝2c. [证明] 由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos Acos B ＋sin B cos Acos B，化简得2(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B)＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 从而sin A ＋sin B ＝2sin C. 由正弦定理得a ＋b ＝2c. 命题得证．。

2018年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明学案苏教版选修1-2

2.2 直接证明与间接证明第1课时直接证明1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0，2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式本题条件已知定义已知公理已知定理…?本题结论．2．综合法和分析法直接证明定义推证过程综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法已知条件?…?…?结论分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法结论?…?…?已知条件1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[例1] 已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥1 3 .[思路点拨] 从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析] ∵a2＋19≥2a3，b2＋19≥2b3，c2＋19≥2c3，∴a2＋19＋b2＋19＋c2＋19≥23a＋23b＋23c＝23(a＋b＋c)＝23.∴a2＋b2＋c2≥1 3 .[一点通] 综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：1a＋1b＋1c>a＋b＋c.证明：∵a>0，b>0，c>0，且abc＝1，∴1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ab.又bc＋ca≥２bc·ca＝2abc2＝2c，同理bc＋ab≥２b，ca＋ab≥２a.∵a、b、c不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立．∴2(bc＋ca＋ab)>2(c＋a＋b)，即bc＋ca＋ab>a＋b＋c，故1a＋1b＋1c>a＋b＋c.2.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·ｃ＝a·(λb＋μn)＝λ(a·ｂ)＋μ(a·ｎ)，因为a⊥b，所以a·ｂ＝0，又因为aπ，n⊥π，所以a·ｎ＝0，故a·ｃ＝0，从而a⊥c.法二：如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.∵PO⊥π，aπ，∴直线PO⊥a.又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，∴a⊥平面PAO.又c平面PAO，∴a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c 是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题.[例2] 已知a>b>0，求证：（a－b）28a<a＋b2－ab<（a－b）28b.[思路点拨] 本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析] 要证明（a－b）28a<a＋b2－ab<（a－b）28b成立，只需证（a－b）24a<a＋b－2ab<（a－b）24b成立，即证（a－b）24a<(a－b)2<（a－b）24b成立．只需证a－b2a<a－b<a－b2b成立．只需证a＋b2a<1<a＋b2b成立，即证a＋b<2a且a＋b>2b，即b<a.∵a>b>0，∴b<a成立．∴（a－b）28a<a＋b2－ab<（a－b）28b成立．[一点通] 在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，求证：P＜Q.证明：要证P＜Q，主要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2a（a＋7）＜2a＋7＋2（a＋3）（a＋4），即证a2＋7a＜a2＋7a＋12，即证0＜12.因为0＜12成立，所以P＜Q成立．4．已知a、b是正实数，求证：ab＋ba≥　a＋b.证明：要证ab＋ba≥　a＋b，只需证a a＋b b≥ab(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，即证a＋b－ab≥ab.也就是要证a＋b≥２ab.因为a，b为正实数，所以a＋b≥２ab成立，所以ab＋ba≥　a＋b.[例3] 已知0<a≤1，0<b≤1，0<c≤1，求证：1＋ab＋bc＋caa＋b＋c＋abc≥1.[思路点拨] 因为0<a≤1，0<b≤1，0<c≤1，所以要证明1＋ab＋bc＋caa＋b＋c＋abc≥１成立，可转化为证明1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc成立．[精解详析] ∵a>0，b>0，c>0，∴要证1＋ab＋bc＋caa＋b＋c＋abc≥1，只需证1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc，即证1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0.∵1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a)＝(1－a)(1－b－c＋bc)＝(1－a)(1－b)(1－c)，又a≤1，b≤1，c≤1，∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0，∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥０成立，即证明了1＋ab＋bc＋caa＋b＋c＋abc≥1.[一点通] (1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列．求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.证明：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c（b＋c）＋a（a＋b）（a＋b）（b＋c）＝1，即a2＋c2＋ab＋bcb2＋ab＋ac＋bc＝1.下面证明：a2＋c2＋ab＋bcb2＋ab＋ac＋bc＝1.∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°. ∴b2＝a2＋c2－ac.∴a2＋c2＋ab＋bcb2＋ab＋ac＋bc＝a2＋c2＋ab＋bca2＋c2－ac＋ab＋ac＋bc＝1.故原等式成立．6．若a，b，c是不全相等的正数．求证：lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lg a＋lg b＋lg c.证明：要证lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lg a＋lg b＋lg c成立，即证lg a＋b2·b＋c2·c＋a2>lg(abc)成立，只需证a＋b2·b＋c2·c＋a2>abc成立，∵a＋b2≥ab>0，b＋c2≥bc>0，c＋a2≥ca>0，∴a＋b2·b＋c2·c＋a2≥abc>0，(*)又∵a，b，c是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立，∴原不等式成立．1．综合法：由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法：执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P2；当由P1可以推出P2时，结论得证．一、填空题1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC中，由正弦定理得asin A＝bsin B.又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B反之，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B∴A>B是sin A>sin B的充要条件．答案：充要2．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1(判断大小)．解析：要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2（n＋4）（n＋1）<2n＋5＋2（n＋2）（n＋3）.只需证（n＋1）（n＋4）<（n＋2）（n＋3），只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.答案：<3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是____________________．解析：a a＋b b>a b＋b a?a a－a b>b a－b ba(a－b)>b(a－b)?(a－b)(a－b)>0(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b4．若三棱锥S-ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S在底面ABC上的射影为点O，∴SO⊥平面ABC，连接AO，BO，∵SA⊥BC，SO⊥BC，∴BC⊥平面SAO，∴BC⊥AO.同理可证，AC⊥BO.∴O为△ABC的垂心．答案：垂心5．已知函数f(x)＝10x，a＞0，b＞0，A＝f a＋b2，B＝f()ab，C＝f2aba＋b，则A，B，C的大小关系为____________________．解析：由a＋b2≥ab≥2aba＋b，又f(x)＝10x在R上是单调增函数，所以fa＋b2≥f()ab≥f 2aba＋b，即A≥B≥C.答案：A≥B≥C二、解答题6．已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．解：f(a)＋f(c)＞2f(b)．证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，所以a＋c＞2ac.因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)＞b2＋4b，即ac＋2(a＋c)＋4＞b2＋4b＋4，从而(a＋2)(c＋2)＞(b＋2)2.因为f(x)＝log2(x＋2)是增函数，所以log2(a＋2)(c＋2)＞log2(b＋2)2，即log2(a＋2)＋log2(c＋2)＞2log2(b＋2)．故f(a)＋f(c)＞2f(b)．7．已知a>0，用分析法证明：a2＋1a2－2>a＋1a－2.证明：要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋ 2.因为a>0，故只需证a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22，即a2＋1a2＋4 a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋2 2a＋1a＋2，从而只需证2a2＋1a2≥2a＋1a，只需证4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，即a2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(江苏高考改编)设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，S n是其前n项的和．记b n＝nS nn2＋c，n∈N*，其中c为实数．若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk＝n2S k(k，n∈N*)．证明：由c＝0，得b n＝S nn＝a＋n－12d.又b1，b2，b4成等比数列，所以b22＝b1b4，即a＋d22＝a a＋32d，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.因此，对于所有的m∈N*，有S m＝m2a.从而对于所有的k，n∈N*，有S nk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2S k.第2课时间接证明1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c不可能都是奇数．问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能．问题2：a、b、c不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a2＋b2＝c2吗？提示：都是奇数．若a、b、c都是奇数，则不能满足条件a2＋b2＝c2.1．间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等．2．反证法(1)反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下面的框图表示：肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“p且q”为假→“若p则q”为真(2)反证法证明命题“若p则q”的步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．[例1] 已知平面上四点，没有三点共线，求证：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．[思路点拨] 本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．[精解详析] 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D，考虑△ABC，点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(如图(1))，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC之外(如图(2))，根据假设∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．综上所述．原结论成立．[一点通] (1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．1．实数a、b、c不全为0等价于________(填序号)．①a，b，c全不为0；②a，b，c中最多只有一个为0；③a，b，c中只有一个不为0；④a，b，c中至少有一个不为0.解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．答案：④2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．解：假设直线BM与A1N共面．则A1D1?平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，又A1D1∥BC，所以BN∥BC.这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，所以(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．[例2] 求证：两条相交直线有且只有一个交点．[思路点拨] “有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”．[精解详析] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[一点通] 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．4．证明方程2x＝3有且仅有一个根．证明：∵２x＝3，∴x＝log23，这说明方程有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是惟一的，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)，则2b1＝3，2b2＝3.两式相除得：2b1－b2＝1.如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这就同b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故2x＝3有且仅有一个根．5．求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．解：已知P?平面α.求证：过点P和平面α垂直的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P?平面α，由立体几何知识知：过点P能作出一条直线与平面α垂直，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与平面α垂直．由b⊥α，c⊥α，得b∥c，这与b∩c＝P矛盾，故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直.[例3] 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[思路点拨] 本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，可考虑用反证法．[精解详析] 假设a、b、c、d都不是负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.∵a＋b＝c＋d＝1，∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0.∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1＝(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1.∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0.∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1，即ac＋bd≤1.与ac＋bd>1相矛盾．∴假设不成立．∴a、b、c、d中至少有一个是负数．[一点通] (1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个6．已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于1 4 .证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于1 4 .∵a，b，c∈(0，1)，∴1－a＞0，1－b＞0，1－c＞0，∴（1－a）＋b2≥（1－a）b＞14＝12.同理（1－b）＋c2＞12，（1－c）＋a2＞12.三式相加，得（1－a）＋b2＋（1－b）＋c2＋（1－c）＋a2＞32，即32＞32，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于1 4 .7．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)．这与f(α)＝0＝f(β)矛盾．所以方程f(x)＝0在区间 [a，b]上至多只有一个实根．1．反证法证明的适用情形(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“惟一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题．2．用反证法证明问题的三个注意点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．一、填空题1．命题“1＋ba，1＋ab中至多有一个小于2”的反设为__________________．答案：1＋ba，1＋ab都小于 22．(山东高考改编)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________________．解析：至少有一个实根的否定是没有实根．答案：方程x3＋ax＋b＝0没有实根3．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为____________________．解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案：a，b不全为04．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②5．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为______________________．解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．答案：x＝a或x＝b二、解答题6．(陕西高考)设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．解：(1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠１时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②①－②得，(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a1（1－q n）1－q，∴S n＝na1，q＝1，a1（1－q n）1－q，q≠1.(2)证明：假设{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n＋1}不是等比数列．7．设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2 .证明：假设|f(1)|<12，|f(2)|<12，|f(3)|<12，则有－12<1＋a＋b<12，－12<4＋2a＋b<12，－12<9＋3a＋b<12.于是有－32<a＋b<－12，①－92<2a＋b<－72，②－192<3a＋b<－172. ③由①、②得－4<a<－2，④由②、③得－6<a<－4.⑤④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．8．已知P?直线a.求证：过点P和直线a平行的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P?直线a，∴点P和直线a确定一个平面α.由平面几何知识知：在平面α内过点P能作出一条直线与直线a平行，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与a平行．∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与直线b、c有共点P矛盾．故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平形.。

高考数学第一轮复习精讲(课前准备+课堂活动小结+课后练习)不等式的概念与性质导学案文新人教A版(1)

第七章不等式、推理与证明学案33 不等式的概念与性质导学目标： 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题．自主梳理 1．不等关系不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在．不等关系可分为常量与________间的不等关系(如3>0)，变量与________间的不等关系(如x>5)，函数与________之间的不等关系(如x 2＋1≥2x)等．2．不等式用________(如“<”“>”“≤”“≥”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用“<”或“>”连接的不等式叫做严格不等式；用“≤”“≥”连接的不等式叫做非严格不等式．不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、矛盾不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)．3．两个实数大小的比较(1)作差法：设a ，b ∈R ，则a >b ⇔a －b >0，a 0，b >0，则a >b ⇔__________，a b ⇔________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒________； (3)加法性质：a >b ⇔________；推论：a >b ，c >d ⇒________；(4)乘法性质：a >b ，c >0⇒________；推论：a >b >0，c >d >0⇒________；(5)乘方性质：a >b >0⇒________________________； (6)开方性质：a >b >0⇒________________________； (7)倒数性质：a >b ，ab >0⇒________________. 自我检测 1．(2011·大纲全国)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 32．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则( )A ．a 2>b 2 B.ba<1C ．lg(a －b )>0 D.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b3．(2011·青岛模拟)设a >0，b >0，则以下不等式中不一定成立的是( )A ．a b ＋b a≥2B ．ln(ab ＋1)>0C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2bD ．a 3＋b 3≥2ab 2 4．(2011·上海)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 5．(2010·安徽)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.探究点一数与式的大小比较例1 (1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n 的大小．变式迁移1 已知a >2，b >2，试比较a ＋b 与ab 的大小．探究点二不等式性质的简单应用例2 下面的推理过程⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒ac >bc c >d ⇒bc >bd ⇒ac >bd ⇒a d >bc ，其中错误之处的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3变式迁移2 (2011·许昌月考)若a 1b B.1a －b >1a C ．|a |>|b | D ．a 2>b 2 探究点三求字母或代数式范围问题例3 (1)已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及ab的取值范围．(2)设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1) ≤4，求f (－2)的取值范围．变式迁移3 (1)已知－π2≤α≤π2，0≤β≤π，则2α－β2的范围为________．(2)(2010·辽宁)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围为________．(答案用区间表示)1．数或式的大小比较常见的思路：一是采用作差(或作商)比较法；二是直接应用不等式的性质或基本不等式；三是利用函数的单调性．在不等关系的判断及数或式的大小比较过程中等价转化是关键．2．由M 1<f 1(a ，b )<N 1和M 2<f 2(a ，b )<N 2，求g (a ，b )的取值范围，固然要将已知两个不等式相加，但不等式相加的次数应尽可能少，以免将取值范围扩大．这时可以用所谓的“线性相关值”，令g (a ，b )＝pf 1(a ，b )＋qf 2(a ，b )，用恒等关系求出待定系数p ，q ，于是一次相加，便可求到所需要的范围．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·开封调研)已知a 、b 、c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>02．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( )A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1a D.2a ＋b a ＋2b >a b3．(2011·金华模拟)已知a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．lg a >lg b B ．a 2>b 2 C.1a <1bD ．2a >2b 4．(2011·舟山七校联考)若a 1b 和1|a |>1|b |均不能成立 B.1a －b >1b 和1|a |>1|b |均不能成立 C ．不等式1a －b >1a 和⎝⎛⎭⎫a ＋1b 2>⎝⎛⎭⎫b ＋1a 2均不能成立D ．不等式1|a |>1|b |和⎝⎛⎭⎫a ＋1b 2<⎝⎛⎭⎫b ＋1a 2均不能成立 5．已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －db>0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题(每小题4分，共12分)6．若x >y >1，且0<a <1，则①a x <a y ；②log a x >log a y ；③x －a >y －a ；④log x a <log y a . 其中不成立的个数是________．7．(2011·东莞月考)当a >0>b ，c <d <0时，给出以下三个结论：①ad <bc ；②a ＋c 2>b ＋d 2；③b －c >d －c .其中正确命题的序号是________．8．已知－π2≤α<β≤π2，则α＋β2的取值范围是________；α－β2的取值范围是______________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·阳江月考)已知a ＋b >0，试比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b.10．(12分)比较a a b b 与a b b a (a ，b 为不相等的正数)的大小．11．(14分)已知a >0，a 2－2ab ＋c 2＝0，bc >a 2.试比较a ，b ，c 的大小．学案33 不等式的概念与性质自主梳理1．常量常量函数 2.不等号 3.(2)ab >1 4.(1)b<a (2)a>c (3)a ＋c>b ＋c a ＋c>b＋d (4)ac>bc ac>bd (5)a n >b n (n ∈N 且n ≥2) (6)n a >nb (n ∈N 且n ≥2)(7)1a <1b 自我检测1．A 2.D 3.D 4.D5．①③⑤ 课堂活动区例1 解题导引比较大小有两种基本方法：(1)作差法步骤：作差——变形——判断差的符号．作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小．(2)两种方法的关键是变形．常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的．解 (1)方法一 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )， ∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0. ∴－2xy (x －y )>0.∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．方法二 ∵x <y <0， ∴x －y <0，x 2>y 2，x ＋y <0.∴(x 2＋y 2)(x －y )<0，(x 2－y 2)(x ＋y )<0. ∴0<(x 2＋y 2)(x －y )(x 2－y 2)(x ＋y )＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy <1.∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )． (2)∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ，b n ，c n >0. 而a n ＋b n cn ＝⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝1，∴0<a c <1,02，∴⎝⎛⎭⎫a c n <⎝⎛⎭⎫a c 2，⎝⎛⎭⎫b c n <⎝⎛⎭⎫b c 2.∴a n ＋b n c n ＝⎝⎛⎭⎫a c n＋⎝⎛⎭⎫b c n <a 2＋b 2c2＝1.∴a n ＋b n <c n .变式迁移1 解方法一 (作差法) ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1， ∵a >2，b >2，∴a －1>1，b －1>1. ∴(a －1)(b －1)－1>0. ∴ab －(a ＋b )>0. ∴ab >a ＋b .方法二 (作商法)∵a ＋b ab ＝1b ＋1a ，且a >2，b >2，∴1a <12，1b <12.∴1b ＋1a <12＋12＝1. ∴a ＋b ab<1.又∵ab >4>0，∴a ＋b <ab .例2 D [由a >b ⇒ac >bc ，c >d ⇒bc >bd 都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出ac >bd是正确的，由ac >bd ⇒a d >bc 是对不等式ac >bd 两边同除cd ，由于不知cd 的正、负，故这一步也是错误的．]变式迁移2 B [∵a 0.取倒数，则有1a >1b，选项A 正确．∵a |b |和a 2>b 2两个不等式均成立，选项C 、D 正确．对于B ，1a －b －1a ＝ba (a －b )，又∵a <b <0，∴a －b <0.∴ba (a －b )<0，即1a －b <1a.∴选项B 不成立．] 例3 解题导引第(2)题中，由于f (x )＝ax 2＋bx ，所以f (－2)、f (－1)和f (1)都是关于a ，b 的代数式，由于已知f (－1)、f (1)的范围，因此利用待定系数法表示出f (－2)，通过等式两边a 、b 系数相等求出待定系数，然后通过f (－1)、f (1)的范围求出f (－2)的范围．本题也可用线性规划求解，即已知条件可化为⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，求的是z ＝4a －2b 的范围．解 (1)∵15<b <36，∴－36<－b <－15. ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45.又136<1b <115，∴1236<a b <6015. ∴13<a b<4. (2)方法一由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －bf (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)， ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，∴f (－2)的取值范围是[5,10]．变式迁移3 (1)[－3π2，π] (2)(3,8)解析 (1)由－π2≤α≤π2⇒－π≤2α≤π，由0≤β≤π⇒－π2≤－β2≤0，两不等式相加得：－3π2≤2α－β2≤π.所以2α－β2的范围为⎣⎡⎦⎤－3π2，π. (2)设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，对应系数相等，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2λ－μ＝－3⇒⎩⎨⎧λ＝－12，μ＝52，从而2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )∈(3,8)．课后练习区1．A [由c 0，c <0，但b 的符号不确定，b 可能为0，故C 错误．由b >c ⇒ab >ac ，b 可能为0，故A 正确．⎭⎪⎬⎪⎫b <a ⇒b －a <0又c <0⇒c (b －a )>0，故B 错误．⎭⎪⎬⎪⎫a >c ⇒a －c >0又ac <0⇒ac (a －c )<0，故D 错误．]2．C [∵a >b >0，∴ab >0，∴1b >1a.∴a ＋1b >b ＋1a.故选C.]3．D [只有指数函数y ＝2x 在R 上为增函数，所以D 正确．而A 、C 显然不是对于一切实数都成立的，B 的等价条件是|a |>|b |，显然也错误．]4．D [∵a 1b有可能成立；又∵a |b |>0，则有1|a |<1|b |，即1|a |>1|b |不成立．]5．D [①由ab >0，bc －ad >0，即bc >ad ，得c a >d b ，即c a －db>0； ②由ab >0，c a －d b >0，即c a >db，得bc >ad ，即bc －ad >0；③由bc －ad >0，c a －db >0，即bc －adab>0，得ab >0；故可组成3个正确的命题．] 6．3解析 ∵x >y >1,0<a <1，∴a x <a y ，log a x <log a y ，故①成立，②不成立．∵x a >y a >0，∴x －a <y －a ，③不成立．又log a x <log a y <0，∴1log a x >1log a y .即log x a >log y a ，∴④也不成立． 7．①②解析 ∵ad <0，bc >0，∴ad <bc ，故①正确；又∵c <d <0，∴c 2>d 2>0.由已知a >b ，同向不等式相加得a ＋c 2>b ＋d 2，故②正确；对于结论③，d －c >0，b －c 的正、负不确定，故③不正确．8.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 ⎣⎡⎭⎫－π2，0 解析 ∵－π2≤α<π2，－π2<β≤π2，∴－π<α＋β<π，∴－π2<α＋β2<π2.∵－π2≤－β<π2，∴－π≤α－β<π，∴－π2≤α－β2<π2.又∵α－β<0，∴－π2≤α－β2<0.9．解 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －aa2＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.(6分) ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b.(12分) 10．解 a a b ba b ba ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ，(4分) 当a >b >0时，ab>1，a －b >0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1；(8分)当0<a 1.(11分)综上所述，当a ，b 为不相等的正数时，总有a a b b >a b b a . (12分)11．解 ∵bc >a 2>0，∴b ，c 同号．(2分) 又a 2＋c 2>0，a >0，∴b ＝a 2＋c 22a>0. ∴c >0.(4分)由(a －c )2＝2ab －2ac ＝2a (b －c )≥0， ∴b －c ≥0.(6分) 当b －c >0，即b >c 时，由⎭⎪⎬⎪⎫b ＝a 2＋c 22a bc >a 2⇒a 2＋c 22a ·c >a 2⇒(a －c )(2a 2＋ac ＋c 2)<0.∵a >0，b >0，c >0，∴2a 2＋ac ＋c 2>0. ∴a －c <0，即a <c ，则a <c a 2，∴b 2>a 2，即b ≠a .又∵a 2－2ab ＋c 2＝(a －b )2＝0⇒a ＝b 与a ≠b 矛盾， ∴b －c ≠0.综上，可知a <c <b .(14分)。

高中数学第二章推理与证明2.1.1类比推理学案无答案新人教A版选修(1)

问题4：类比推理的结论一定成立吗？
问题5：类比推理与归纳推理有哪些相同点和不同点？
【我的疑问】
备注
【自主探究】
1．（G．波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．
2．试将平面上的圆与空间的球进行类比．
备注
【课堂检测】
1．平面内平行于同一条直线的两条直线平行，类比空间内，我们可以得到
_________________________________________.
他的思维过程为：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的．
问题1：公输班的推理过程是归纳推理吗？
情景2：试根据等式的性质猜想不等式的性质．等式与不等式之间有不少相似的属性，例如：等式不等式
(1)
(2)
(3)
问题2：上述两个推理有什么共同的特点？什么样的推理是类比推理呢？
问题3：该如何进行类比推理？
式的方法，可求得 ___________．
5.若三角形的三边长分别为，内切圆半径为，则此三角形的面积为
．若四面体四个面的面积分别为，内切球的半
径为，则此四面体类似的结论为______ _______．
电、锡导电，所以铝也导电”，此推理方法是________（选填“归纳推理”、“类比推理”、“演绎推理”）
类比推理
【学习目标】
1．结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义．
2．能利用类比进行简单的推理．
【问题情境】
1．(1)什么叫推理？推理由哪几部分组成？
(2)什么是归纳推理？归纳推理具备什么样的特点？其一般的思维过程是什么？
2．情景1：据传，春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子．

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§2.1.1 合情推理（1）1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学2830在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是. 探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： . 问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 .新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理. ※ 典型例题例1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， ……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{n a }中，11=a ,)1(2111a a a n n n --+=（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.2※ 动手试试练1..练2. 在数列{n a }中，11a =，122nn na a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升 ※ 学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用亿逻辑判断，完成证明.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（）. A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数3.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（）. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+C.1()1f x x =+D.2()21f x x =+4.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.222,345675++++=中得出的一般性结论是_____________ .1. 对于任意正整数n ，猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，123a =-，满足12(2)n n n S a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.§2.1.1 合情推理（2）1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;.3038 1.已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 .2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 . 二、新课导学 ※ 学习探究鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 新知：类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由到的推理. ※ 典型例题例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.4例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.：和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.※ 动手试试练1. 如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=∙.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？练2. 在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？三、总结提升 ※ 学习小结1．类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.※ 知识拓展试一试下列题目： 1. 南京∶江苏A. 石家庄∶河北B. 渤海∶中国C. 泰州∶江苏D. 秦岭∶淮河2. 成功∶失败A. 勤奋∶成功B. 懒惰∶失败C. 艰苦∶简陋D. 简单∶复杂 3.面条∶食物A.苹果∶水果B.手指∶身体D.食品∶巧克力※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c≠0）”D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n na ab +=+n （b ）3. 设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x = （）. A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x 4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有个黑圆.，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 .1. 在等差数列{}n a 中，若100a =，则有 *121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在怎样的等式？2. 在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a S 121（1）求321,,a a a ；（2）由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3）求n S§2.1.2 演绎推理1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；.3942复习1：归纳推理是由到的推理. 类比推理是由到的推理. 复习2：合情推理的结论 . 二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；6（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C ︒，所以在一个标准大气压下把水加热到100C ︒时，；（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以；（5）三角函数都是周期函数，sin α是三角函数，所以；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，那么 . 新知：演绎推理是从出发，推出情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由到的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提—— ；小前提—— ；结论—— .试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.※ 典型例题例1 在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等. 新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结论：例2证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数.小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.例3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形. （结论）小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确. ※ 动手试试练1. 用三段论证明：通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列.练2. 在ABC ∆中，AC BC >，CD 是AB 边上的高，求证ACD BCD ∠>∠. 证明：在ABC ∆中，,CD AB AC BC ⊥>，所以AD BD >，于是ACD BCD ∠>∠.指出上面证明过程中的错误.三、总结提升 ※ 学习小结1. 合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；结论不一定正确.2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确. ※ 知识拓展乒乓球教练组将从右手执拍的选手R 、S 、T 和左手执拍的选手L 、M 、N 、O 中选出四名队员去参加奥运会。