2016年高考数学微专题：函数的图像及其应用
2016高考数学-函数模型及其应用
2016高考数学:函数模型及其应用
2016高考各科复习资料
2016年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2016年高考复习，2016年高考一轮复习，2016年高考二轮复习，2016年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。
1、常见函数模型：(1)一次函数模型:;
(2)二次函数模型:;(3)指数型函数模型：;
(4)对数型函数模型：(5)幂函数型模型：2、函数模型的应用：一方面是利用已知的模型解决问题;另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。
解函数应用题的一般步骤：
(1)审题：深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格(或图形)外理数据，便于寻找数据关系。
(2)建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。
(3)解模：根据建立的数学模型，选择合适方法，求出问题的解，要特别注意变量范围的限制。
(4)还原：将数学的问题的答案还原为实际问题的答案，在这以前一定要进行检验。
精心整理，仅供学习参考。
三年高考(2016-2018)(理)真题分类解析：专题05-函数图象与方程-(数学)
专题05 函数图像与方程考纲解读明方向1.高考主要考查由函数解析式画出函数的图象,两个函数图象的交点出现的情况.近几年考查了用图象表示函数.2.在数学中,由“形”到“数”比较明显,由“数”到“形”需要意识,而试题中主要是由“数”到“形”.在解答题中,要注意推理论证的严密性,避免出现以图代证的现象,利用图象研究函数的性质,特别是在判断非常规方程根的个数时,此法有时“妙不可言”,这是数形结合思想在“数”中的重要体现.分析解读函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一,由于函数图象与x轴的交点的横坐标就是函数的零点,所以可以结合常见的二次函数、对数函数、三角函数等内容进行研究.本节内容在高考中分值为5分左右,属于难度较大题.在备考时,注意以下几个问题:1.结合函数与方程的关系,求函数的零点;2.结合零点存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断;3.利用零点(方程实根)的存在性求有关参数的取值或范围是高考中的热点问题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．2．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.3．【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4.【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．6．【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．【答案】【解析】分析：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数。
【精品】2016年高考数学(新课标版) 专题16 三角函数的图象与性质 含解析
【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______【答案】；【解析】cos5θ==-. 2.【2013⋅新课标全国】函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）【答案】C ；3.【2014全国1高考理】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）ABC D 【答案】C4.【2014高考全国1卷文】在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】A【解析】①中函数是一个偶函数，其周期与cos 2y x =相同，22T ππ==;②中函数|cos |x y =的周期是函数cos y x =周期的一半，即T π=; ③22T ππ==; ④2T π=，则选A ．5.【2015全国1理问】函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）.A ．13,44k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈Z B ．132,244k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C ．13,44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z D ．132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z【答案】D【热点深度剖析】从近几年的高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值，三角函数图像变换等是高考的热点，每年文理均涉及到一道三角函数性质与图像的题目，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属于中、低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法． 2013年文理试题一样考查了三角最值问题，文科又与导数结合，考查三角函数的奇偶性，2014年理科高考考查了三角函数的图像，文科考查了三角函数的周期性，难度中等.2015年全国卷1文理试题相同，考查三角函数的图像与性质.都从近几年的高考试题来看，三角函数的周期性,单调性,对称性,最值,图像变换等是高考的热点，常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法．其特点如下：(1)考小题，重基础：小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)．(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加．在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.预测2016年高考很有可能出一道三角变换与三角函数性质的交汇题，重点考查运算与恒等变换能力，文理科都也可能出一个大题． 【重点知识整合】 1三角函数的定义域: (1) 正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的定义域都是R ； (2)正切函数tan y x =定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈.2三角函数的值域：（1）正弦、余弦函数值域都是[]1,1-. 对sin y x =，当x =()22k k Z ππ+∈时，y 取最大值1；当x =()322k k Z ππ+∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当x =()2k k Z π∈时，y 取最大值1，当x = ()2k k Z ππ+∈时，y 取最小值－1.（2）正切函数值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值. 3.三角函数的单调区间： （1）sin y x =在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减； （2）cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增；（3） tan y x =在开区间(),22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内都是增函数.注意在整个定义域上不具有单调性.4.sin()y A x ωϕ=+型单调区间的确定sin()y A x ωϕ=+（A 、ω＞0）的单调性，把x ωϕ+看作一个整体，放在正弦函数的递增区间内解出x ，为12222,k k ππϕππϕωω⎡⎤--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上增函数；放在正弦函数的递减区间内解出x为32222,k k ππϕππϕωω⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上减函数（Z k ∈）对与cos()tan()y A x y A x ωϕωϕ=+=+、的单调区间的求解和上述类似. 5.三角函数的周期性（1）正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =的最小正周期都是2π；正切函数tan y x =的最小正周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π. （2）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的14个周期. 6．()sin()f x A x ωϕ=+型周期()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是T =2||πω； ()tan()f x A x ωϕ=+最小正周期T =πω. 7.三角函数的对称性（1）正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；（2）余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈.注意:正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点.（3）正切函数tan y x =是奇函数，对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈. 注意：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处. 8.三角函数的最值求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：（1）sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之；(2)sin cos y a x b x c =++，引入辅助角(cos ϕϕϕ==，化为)y x c ϕ=++求解方法同类型(1)；(3)2sin sin y a x b x c =++，设sin t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；(4)sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，设sin cos t x x =±化为二次函数2(1)2a t y bt c -=++±在闭区间[t ∈上的最值求之；(5)tan cot y a x b x =+，设tan t x =化为2at by t+=用∆法求值；当0ab >时，还可用平均值定理求最值； (6)sin sin a x by c x d+=+根据正弦函数的有界性，可转换为|sin |1x ≤解决；(7)sin cos b xy a x-=-的最值，可转化为讨论点(,)A a b 与动点(cos ,sin )P x x 连线的斜率，而动点P 在单位圆上运动，利用几何方法易得所求三角函数的最值. 9.函数图像的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图像;把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y f x ωω=>的图像;把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图像;把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图像.10.由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 【应试技巧点拨】1．如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下： (1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.2.如何确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T)=f (x ).利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.4.掌握三种类型，顺利求解三角最值三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型：（1）可化为sin)y A x B ωϕ=++（型函数值域： 利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到sin)y A x B ωϕ=++（的形式，然后借助题目中给定的x 的范围，确定x ωϕ+的范围，最后利用sin y x =的图象确定函数的值域. 如：sin y a x b =+、sin cos y a x b x c =++22sin sin cos cos y a x b x x c x =++等.(2)可化为(sin )y f x =型求函数的值域：首先借助三角公式，把函数化成(sin )y f x =型，然后采用换元法，即令sin [1,1]t x =∈-，构造关于t 的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：2sin sin y a x b x c =++、sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+可转化为二次函数求值域；xax y sin sin +=，tan cot y a x b x =+可转化为对号函数求值域. (3)利用数性结合思想求函数的值域：此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域.如sin cos a x by c x d+=+，常转化为直线的斜率的几何含义求解.【考场经验分享】1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求解．要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性，最值与周期．3. (1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x 的范围对最值的影响，往往结合图象求解．(2)求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，只有当ω＞0时，才可整体代入并求其解，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解． 【名题精选练兵篇】1．【2016届湖北省龙泉中学等校高三9月联考】将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为（ ）A ．12-B ．12C ．【答案】C【解析】将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所的函数解析式为)32sin()(ϕπ++=x x g ，此函数关于原点对称，即)()(x g x g -=-，将解析式代入其中，利用三角恒等变换可求得30)3sin(πϕϕπ-=⇒=+，则)32sin()(π-=x x f 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 C. 2．【2016届陕西省西北工大附中高三第四次适应性考试】要得到函数cos 2y x =的图像，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像沿x 轴（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移12π个单位 【答案】A3．【2016届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是（ ）A.56π B.π C. 76πD.2π 【答案】D【解析】当2sin 1y x ==时，1sin 2x =，所以可令6b π=，又函数的最小值为2，所以762a ππ-≤≤-，所以2433b a ππ≤-≤，所以选项D 不可能，故选D. 4．【2016届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】已知函数①sin ,y x x =⋅②cos y x x =⋅，③cos y x x =⋅，④2x y x =⋅的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是（ ）.A ①④②③ .B ①④③② .C ④①②③ .D ③④②①【答案】A【解析】函数sin y x x =是偶函数，所以对应图象应为第一个图象；函数cos y x x =是奇函数，且当在区间(0,)+∞函数值有正有负，对应图象为第3个函数图象；函数cos y x x =是奇函数，且当在区间(0,)+∞函数值0y ≥，所以对应图象为第4个图象；当0x <时，20x y x =⋅<，当0x >时，20x y x =⋅>，所以函数2x y x =⋅的图象为第2个，故选A.5．【2016届河北省邯郸一中高三下第一次模拟】已知函数()cos (sin )(0)f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为（ ） A ．14032π B ．12016π C ．14032 D ．12016【答案】C【解析】因为()c o s (s i n 3c o s )(0)f x x x x ωωωω=>s i n 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()f x 的最小正周期为T ，则12016,24032T πω≤∴≥，所以ω的最小值为14032，故选C.6．【2016届四川省成都市七中高三考试】关于函数()|tan |f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D ．()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A7．【2016届河北省衡水中学高三下学期一模考试】若函数[])111sin 20,y x x π=∈，函数223y x =+，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）AB ．()21872π+ C ．()21812π+ D．()21572π-【答案】B【解析】设()()221212z x x y y =-+-，则z 的几何意义是两曲线动点之间的距离的平方，取函数[])sin 20,2y x x π=-∈的导数2cos y x '=，直线3y x =+的斜率为1，由2cos 1y x '==，即cos21x =，解得6x π=，此时sin 20y x =-=，即函数在(,0)6π处的切线与3y x =+平行，则最短距离为d =()()221212x x y y -+-的最小值为()2221872d π+==，故选B.8．【2016届宁夏六盘山高中高三第二次模拟考试】已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的一个对称中心是（ ）A ．2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】 A9．【2016届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】已知()[)()cos 0,0,2y x ωϕωϕπ=+>∈的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．32π B ．4π C ．74π D ．0 【答案】C【解析】由题意得，根据给定的图象，可知284T T =⇒=，又284x w ππ=⇒=，即cos 4y x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1x =，则cos 112,44k k ππϕϕπ⎛⎫⨯+=⇒=-∈Z ⎪⎝⎭，又[)0,2ϕπ∈，所以令1k =，所以74πϕ=，故选C. 10．【2016届福建省厦门一中高三下学期测试】已知函数()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象，如图所示，将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位后，得到函数()g x 的图象关于点,32π⎛ ⎝⎭对称，则m 的值可能是（ ）A ．6π B ．2π C ．76π D ．712π【答案】D由函数()g x 的图象关于点,32π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭对称，可得1522,,36212m k k Z m k k Z πππππ⨯++=∈∴=-∈ 则当2k =时，712m π=，选D11. 【江西省九江市2015年第一次高考模拟】已知函数()sin(2))f x x ϕϕπ=+<（的图象向左平移6π个单位后得到()cos(2)6g x x π=+的图象，则ϕ的值为（ ）A.23π-B.3π- C.3π D.23π 【答案】C.【解析】由题意得()=sin[2()]6g x x πϕ++，又∵2()cos(2)=sin(2)63g x x x ππ=++， ∴2+=233k ππϕπ+，即=23k πϕπ+，k Z ∈，∵ϕπ<，∴=3πϕ，故选C. 12. 【湖北省黄冈市2015届高三上学期元月调研】将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能．．．是（ ） A ．54π-B ．4π-C ．4π D ．34π 【答案】C13. 【江苏省苏锡常镇四市2015届高三调研】设函数π()sin())(0,)2f x ωx φωx φωφ=++><的最小正周期为π，且满足()()f x f x -=，则函数()f x 的单调增区间为 ．【答案】π[π,π],()2k k k -+∈Z【解析】因为()sin())2sin()3πf x ωx φωx φωx φ=++=++，所以由22ππωω=⇒=，由()()2()32f x f x k k Z -=⇒+=+∈p p j p ，因为π2φ<，所以π=,()cos26φf x x =，由222,2πk ππx k πk πx k πk Z -≤≤⇒-≤≤∈，即函数()f x 的单调增区间为π[π,π],()2k k k -+∈Z14. 【江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研】设常数a 使方程 a x x =+cos 3sin 在闭区间]2,0[π上恰有三个解321,,x x x ，则=++321x x x ▲ ． 【答案】37π； 【解析】a x x x x x =+=+=+)3sin(2)cos 23sin 21(2cos 3sin π，直线与三角函数图象的交点，在]2,0[π上，当3=a 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令32323)3sin(ππππ+=+⇒=+k x x 或)(3223Z k k x ∈+=+πππ，即πk x 2=或)(32Z k k x ∈+=ππ，∴此时ππ2,3,0321===x x x ，37321π=++∴x x x ． 15．已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数【答案】C16. 【辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三下学期开学联考】设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函数()y f x =的一个单调递减区间是 （ ）.A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .D 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【名师原创测试篇】1. 若函数22()sin 6sin cos 3cos (0)f x x x x x ωωωωω=--+>的最小正周期为2π，若对任意x R ∈,都有()1()1f x f α-≤-，则tan α的值为 A.32-B.23- C.32 D. 23【答案】A【解析】由已知=--+=--=12sin 3)2cos 1(21cos sin 6cos 4)(2x x x x x x f ωωωωω1)2cos(1312sin 32cos 2++=+-θωωωx x x ，此时132cos =θ，133sin =θ，因最小正周期为2π，故21=ω，又对任意x R ∈,都有()1()1f x f α-≤-，所以1)(-αf 应为1)(-x f 的最值，即⇒±=+=-13)cos(131)(θααf πθαk =+，所以tan α23cos sin tan )tan(-=-=-=-=θθθθπk 2.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0)sin()(πϕωϕωx x f 的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f y =的图像 （ ） A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于直线12π=x 对称 C.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π对称D.关于直线125π=x 对称 【答案】C【解析】根据最小正周期为π，知：2ω=，将()()sin 2f x x ϕ=+图像向右平移3π个单位得到2sin 2sin 233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，所以()23k k Z πϕππ-=+∈，解得：()53k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，只有当1k =-时，3πϕ=-符合题意，所以()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据三角函数的性质可知5012f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以C 正确.3.已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如下图所示，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为（）A.()sin(1)2g x x π=+ B.()sin (1)8g x x π=+ C.()sin(1)2g x x π=+D.()sin(1)8g x x π=+【答案】B4.函数()|sin |2|cos |f x x x =+的值域为（ ）A ．[1,2]B ．C ．D ．[1 【答案】D 【解析】∵()|sin()|2|cos()||sin |2|cos ||sin |2|cos |f x x x x x x x πππ+=+++=-+-=+， ∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()sin 2cos )f x x x x α=+=+，其中cos α=，sin α=，∴max ()()2f x f πα=-=，()()12f x f π>=，当[,]2x ππ∈时，()sin 2cos )f x x x x β=-=+，cos β=，sin β=，∴max ()()2f x f πβ=-=min ()()12f x f π==，∴()f x的值域为[1.5. 已知函数y ＝sinωx (ω＞0)在区间上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为 ．【答案】12{,1}33，【解析】由题意知，223=k ππωωππ⎧≥⎪⎨⎪⎩即013k ωω<≤⎧⎪⎨=⎪⎩，其中k Z ∈，则ω的取值集合为12{,1}33，6. 设偶函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，0MK ML ⋅=， ||1KL =，2ML =，则1()6f 的值为（ ）A．4-．14- C ．12- D．4【答案】D6.已知函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，()()ln 1g x x =-求函数()()()=-的零点个数（）h x f x g xA．2 B. 3 C． 4 D.5 【解析】C- 21 -。
2016届高考数学理科一轮复习课件2-9函数的图象及其变换
用描点法作函数图象的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函
数 的 解 析 式 ； (3) 讨 论 函 数 的 性 质 即
栏
___单___调__性__、__奇__偶___性__、__周__期__性___、__最__值_(甚至变化趋势)；(4)描点连线， 目
画出函数的图象．
链
接
第七页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
＝x－122＋a－14，结合图象要使直线 y＝1 与曲线 y＝x2－|x|＋a 有四
a＞1， 个交点，需a－14＜1，解得
1＜a＜54.故
a
的取值范围是1，54.
栏 目 链
接
第二十九页，编辑于星期五：二十一点 四十四 分。
考点探究
考点3 函数图象的识别
【例3】如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分
轴 方 向 向 上 (k>0) 或 向 下 (k<0) 平 移 |k| 个 单 位 长 度 得 到 ， 即 y ＝
f(x)kk><―00，，―上下→移移y＝f(x)＋k.
第八页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
课前自修
(2)对称变换．
①函数y＝－f(x)的图象可以将函数y＝f(x)的图象关于x轴对称得
考点探究
考点1根据函数值变化趋势判断函数的图象
【例1】 (2013·唐山二模)已知函数y＝kx＋a的图象如图所
示，则函数y＝ax＋k的可能图象是( )
栏
目
链
接
第十八页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
考点探究
点评：根据已知函数的图象确定参数的取值范围，进而判 断另一个函数的大小及图象是考试的热点．
①函数y＝f(ax)(a>0)的图象可以将函数y＝f(x)的图象中的每一点纵坐标
(全国通用)2016届高考数学复习 第二章 第六节 函数的图象课件 文
就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，
也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用
这一函数模型来分析解决问题．
【例2】 (1)(2014· 济南模拟)函数f(x)的部分图象如图所示， 则函数f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x＋sin x cos x B．f(x)＝ x C．f(x)＝xcos x
C 正确．
(2)函数 f(x)＝kax－a－x(a>0 且 a≠1)是奇函数， 则 f(－x)＝－f(x) 对于任意 x∈R 恒成立，即 ka－x－ax＝a－x－kax 对于任意 x∈R 恒成立， 即(k－1)(ax＋a－x)＝0 对于任意 x∈R 恒成立， 故 k＝1， 此时函数 f(x)＝ax－a－x，由于这个函数单调递增，故 a>1.函数 g(x)＝loga(x＋k)的图象是把函数 y＝logax 的图象沿 x 轴左移一 个单位得到的，选 C.
1 坐标变为原来的____ a 倍，纵坐标不变而得到．
识图用图 1．识图 绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功．识图 要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象
的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线，
正、负值区间等都是识图的重要方面，要注意函数解析式中 含参数时，怎样由图象提供信息来确定这些参数． 2．用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了 “形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要 工具．要重视数形结合解题的思想方法．
[点评]
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、
翻折、对称得到可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，
对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换
与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
山东省2016届高三数学专题复习函数图像
2016高考数学专题复习：函数图像1、判断函数图像依据： 1.基本函数图像特征： 2.奇偶性： 3.导数单调性： 4.特殊点： 5.定义域：6.函数之间大小关系：7.平移变换2、指出下列函数与()x f y =的图像之间的关系： 1.()1-=x f y 2.()2-=x f y 3.()x f y -= 4.()x f y -= 5.()x f y --=6.f y =7.y =8.f y =练习：已知()()()()⎩⎨⎧≤<≤≤-=10...........01.sin x x x x x f π，作出下列函数图像：1.()1-=x f y2.()2-=x f y3.()x f y -=4.()x f y -=5.()x f y --=6.()x f y =7.()x f y = 8.()x f y -=1.函数)(x f y =与函数()x g y =的图像如右图所示，则函数()()x g x f y ⋅=的图像可能是下面的（ ）2.()y f x =的图像如图所示，则()y f x =的解析式可能为( )A.()cos f x x x =-- B.()sin f x x x =-- C.()||cos f x x x =D.()||sin f x x x =3.（山东）函数sin xy x=，(,0)(0,)x ππ∈-的图像可能是下列图像中的 ( )4.（13山东）函数x x x y sin cos +=的图像大致为( )5.（山东）函数xx xy --=226cos 的图像大致为 （ ）6.函数()xx x f 2log =的图像大致是（ ） 7.下列四个图像可能是函数10ln |1|1x y x +=+图像的是（ ）8.函数||x y a =与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下的图像可能是（ ）9.函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图像大致是（ ）10.在同一个坐标系中画出函数,sin xy a y ax ==的部分图像，其中01a a >≠且，则下列所给图像 中可能正确的是（ ）11.函数()21xe xf -=的部分图像大致是（ ）12.已知函数|ln |1()||x f x e x x=--，则函数(1)y f x =+的大致图像为 （ ）13.函数lg=y 1|1|x +的大致图像为（ ）14.函数x xy cos 1⋅=在坐标原点附近的图像是（ ） 15.函数)10(1||log )(<<+=a x x f a 的图像大致为（ ）16.函数3l o g 3xy =的图像大致是( )17.函数)(log )(b x x f a +=的图像如右图，b a ,为常数，则函数b a x g x+=)(的大致图像是 （ ）18.已知函数()=xf 2,(10)1)x x x --≤≤⎧⎪<≤，则下列的图像错误的是（ ）19.（08山东）函数ln cos ()22y x x ππ=-<<的图像是（ ）20.(山东)函数2sin 2xy x =-的图像大致是( )A B C. D.21.（山东）函数22x y x =-的图像大致是( )22.函数()2tan 22f x x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在，上的图像大致为（ ）23.（1）已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则下列函数的图像错误的是（ ）(A))1(-x f 的图像 (B))(x f -的图像 (C)|)(|x f 的图像 (D)|)(|x f 的图像 （2）函数sin ,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图像是（ ）24.设函数()22-=x x g ，()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<++=x g x x x g x g x x x g x f ,,4)(，求()x f 的值域25.已知函数()()()()()()()()()()()⎩⎨⎧<≥=-=-=x g x f x f x g x f x g x F x x x g x x f ,,,2,232，则()x F 的最大值为26.函数{}c b a ,,min 表示取c b a ,,中最小的值，则函数{}x x x -+10,2,2min 的值域为27.设函数()(,)y f x =-∞+∞在内有定义，对于给定的正数k ，定义函数：()()()()()()⎩⎨⎧≤>=K x f x f K x f x x f K ..2，取函数||()x f x a -=()1>a ，当aK 1=时，函数()x f K 的单调递减的是28.对任意实数b a ,定义运算“⊗”：,1,, 1.b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x =-⊗+，若函数()y f x k =+的图像与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是（ ）A.()1,2-B.[]1,0C.[)0,2-D.[)1,2-29.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=0,40,2x x x x x x f ，若()1-≥ax x f 恒成立，则实数a 的取值范围是30.已知函数()()()()⎩⎨⎧>≤=k x f kk x f x f x F )( )(，当()21,2==-k x f x时，作图并求函数值域31.用{}min ,b a 表示b a ,两数中的最小值，若函数(){}t x x x f +=,min 的图像关于直线21-=x 对称，则t的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．1()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()CA C A DB A A A D ACD A D C C D D C D A 222120191817.161514.13.12.11.10.9.8.7.6.5.43.2.1()()()()()()(]()(][)()()[]()()DD F A D 3121,0300,629.281,0,1276,267277225,20,4924,23⎥⎦⎤⎝⎛-∞+-∞--=-+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡-，。
【高考调研】2016届高考数学一轮复习 第二章 第9课时 函数的图像课件 理
般运用相关点求轨迹的方法． (2)下列结论需记住：
①y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称；
②y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于x轴对称； ③y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称； ④y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于y＝x对称； ⑤y＝f(x)与y＝f(2m－x)的图像关于直线x＝m对称．
答案 A
解析 y＝8· 2 ＝2
－x －x＋3
1 ，y＝2x＝2－x，故选
A.பைடு நூலகம்
4．设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图像可能是(
)
答案 C 解析 择C. 由解析式可知，当 x ＞ b 时， f(x) ＞ 0 ，由此可以排 除A，B选项．又当x≤b时，f(x)≤0，从而可以排除D.故本题选
－sinx· x－cosx π <0，f(x)在(0，2)上为减函数，∴选 C. x2
【答案】 C
题型三 函数图像的对称性 例3 (1)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x ) B．直线x＝0对称
－1)与y＝f(1－x)的图像关于( A．直线y＝0对称
C．直线y＝1对称
D．直线x＝1对称
第二章
函数与基本初等函数
第9课时
函数的图像
1．掌握作函数图像的两种基本方法：描点法和图像变换 法．
2．了解图像的平移变换、伸缩变换、对称变换，能利用
函数的图像研究函数的性质，以达到识图、作图、用图的目 的．
请注意
高考对函数图像的考查形式多样，命题形式主要有由函 数的性质及解析式、选图；由函数的图像来研究函数的性 质、图像的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等 函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．
2016届高考数学二轮复习 2.5 函数与方程及函数的应用课件
②设两零点分别为 x1,x2,且 x1>-1,x2>-1,x1≠x2.则 x1+x2=2m,x1·
x2=3m+4,故只需
= 42 -4(3m + 4) > 0,
2 -3m-4 > 0,
-2 + 2 > 0,
(1 + 1) + (2 + 1) > 0, ⇔
图象的交点个数;
(4)二次函数的零点问题,通过相应的二次方程的判别式 Δ 来判断.
能力突破点一
能力突破点二
能力突破点三
【例 1】 若函数 f(x)=
零点个数为(
A.1
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
+ 1, ≤ 0,
则当 k>0 时,函数 y=f(f(x))+1 的
ln, > 0,
由判别式 Δ 来决定;有两个大于-1 的零点可借助一元二次方程根与系数的
关系及判别式进行等价转化;
(2)F(x)=0,即|4x-x2|=-a,故转化为两个函数的图象交点问题求解.
能力突破点一
能力突破点二
能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
解:(1)①若函数 f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点,则等价于 Δ=4m24(3m+4)=0,
8
由|AB|=8,得 k=8,∴f2(x)= .
8
∴f(x)=x2+ .
能力突破点一
能力突破点二
能力突破点三
能力突破方略
(五年高考真题)2016届高考数学复习 第二章 第八节 函数的模型及其综合应用 理(全国通用)
第八节 函数的模型及其综合应用考点一 函数的实际应用1．(2015·北京，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同 速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( ) A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油 量最多C ．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更 省油解析 汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A 显然不对；B 应是甲车耗油最少；C 甲车以80千米/小时的速度行驶10 km ，消耗1升汽油．故D 正确． 答案 D2．(2014·湖南，8)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1解析 设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1，故选D. 答案 D3.(2013·陕西，9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位： m)的取值范围是( ) A ．[15，20] B ．[12，25] C ．[10，30]D ．[20，30]解析 设矩形另一边长为y ，x 40＝40－y40，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C.答案 C4．(2011·湖北，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10 ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( ) A ．5太贝克B ．75 ln 2太贝克C ．150 ln 2太贝克D ．150太贝克 解析 由题意M ′(t )＝M 02－30t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2，M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10 ln 2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150，故选D.答案 D5．(2015·四川，13)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保 鲜时间是________小时．解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·e b ＝18×192＝24.答案 246.(2012·江苏，17)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某 炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx－120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹 落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．∴炮的最大射程为10千米． (2)∵a >0，∴炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.∴当a 不超过6千米时，可击中目标．7．(2015·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，R 以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)． 将其分别代入y ＝ax 2＋b ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x3， 则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米． 考点二 函数的综合应用1．(2014·辽宁，12)已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12B.14C.12πD.18解析 不妨令0≤y <x ≤1，当0<x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；当12<x －y ≤1时，|f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝12(1－x )＋12y ＝12＋12(y －x )<14.综上，|f (x )－f (y )|<14，所以k ≥14. 答案 B2．(2013·天津，8)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0B.⎝⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52解析 a ＝0时，A ＝∅，不满足条件．a >0时，易知f (0)＝0，x >0时，f (x )＝x (1＋a |x |)>0，于是f (0＋a )>0＝f (0)，而由已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A 可得0∈A ，即f (0＋a )<f (0)，所以a >0也不满足条件，故a <0.易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a （x ≥0），－ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a （x <0），在坐标系中画出y ＝f (x )与y ＝f (x ＋a )的图象如图所示，由图可知满足不等式f (x ＋a )<f (x )的解集A ＝(x A ，x B )．由x (1－ax )＝(x ＋a )[1－a (x ＋a )]可得x A ＝1－a22a ；由x (1＋ax )＝(x ＋a )[1＋a (x ＋a )]，可得x B ＝－1＋a22a.∴A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 22a ，－1＋a 22a (a <0)． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 22a <－12，－1＋a 22a >12，a <0，解得1－52<a <0.故选A.答案 A3．(2012·新课标全国，12)设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( ) A ．1－ln 2B.2(1－ln 2)C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)解析 由题意知函数y ＝12e x与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 最小距离的2倍，设y ＝12e x上点(x 0，y 0)处的切线与y ＝x 平行，有12e x 0＝1，x 0＝ln 2，y 0＝1，∴切点到直线y ＝x 的距离d ＝1－ln 22，所以|PQ |的最小值为22(1－ln 2)×2＝2(1－ln 2)．答案 B4．(2014·湖北，14)设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数． (2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 解析 过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线的方程为y －f (a )＝f （a ）＋f （b ）a －b(x －a )，令y ＝0得c ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）.(1)令几何平均数ab ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b )，可取f (x )＝x (x >0)；(2)令调和平均数2ab a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒ab ＋ba a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ），可取f (x )＝x (x >0)．答案 (1)x (2)x5．(2014·山东，15)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．解析 函数g (x )的定义域是[－2，2]，根据已知得h （x ）＋g （x ）2＝f (x )，所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立，即3x ＋b >4－x 2恒成立，令y ＝3x ＋b ，y ＝4－x 2，则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可，由|b |10>2，解得b >210(舍去负值)，故实数b 的取值范围是(210，＋∞)． 答案 (210，＋∞)6．(2013·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x(cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围． 解 (1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x(cx ＋d ＋c )， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x(x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x(x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0，得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.(ⅰ)若1≤k <e 2，则－2<x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )<0；当x ∈(x 1， ＋∞)时，F ′(x )>0.即F (x )在(－2，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)上的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． (ⅱ)若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)． 从而当x >－2时，F ′(x )>0， 即F (x )在(－2，＋∞)上单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0， 即f (x )≤kg (x )恒成立．(ⅲ)若k>e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2].。
2016届高考数学二轮复习 2.4 函数的图象与性质课件
减,f(2)=0,若
关闭
_________.
命题定位:本题主要考查函数单调性、奇偶性、不等式等知识,函数为
∴f(-x)=f(x)=f(|x|).
抽象函数,因此对学生的化归及抽象概括能力要求较高.
∴f(x-1)>0 可化为 f(|x-1|)>f(2).
是与解析式和性质进行综合考虑,尤其是“陌生”函数的图象问题需要灵活
转化,或者通过特殊点、基本性质的探索来画函数的草图,必要时还要利用
导数工具解决.
能力目标解读
热点考题诠释
(3)预测 2015 年的高考,仍以考查基本性质的综合为主,借助的函数可
能是抽象函数,并且要注意与图象结合解决问题,对于图象的考查,除了传统
即 1≤x≤2,
∴3≤2x+1≤5.
∴f(x)的定义域为[3,5].
1 3
(2)∵函数 f(x)的定义域为 - , ,
∴
1
3
2
1
2
3
2
3
2
- ≤ 3x ≤ ,
- ≤ ≤ .
2 2
1
1
6
2
∴- ≤x≤ .
1 1
∴g(x)的定义域为 - , .
6 2
答案
能力突破点一
能力突破点二
能力突破点三
能力突破方略
1+2
综上知②为假命题;
对于③,因为 f(x)∈A,所以 f(x)的值域为 R.
能力目标解读
热点考题诠释
1 2 3
4 5 6
因为 g(x)∈B,所以存在正数 M 使得-M≤g(x)≤M,
2016年高考数学专题精解课件：2.1函数的图象与性质
x1 x2
②奇偶性 对于定义域(关于原点对称)内的任意 x,f(x)+f(-x)=0⇔f(x)是奇函数;对于定义域 (关于原点对称)内的任意 x,f(x)-f(-x)=0⇔f(x)是偶函数. ③周期性 设函数 y=f(x),x∈D. 若 T 为 f(x)的一个周期,则 nT(n≠0,n∈Z)也是 f(x)的周期. 若对任意 x∈D 都有 f(x+a)=-f(x)(a≠0),则 f(x)是以 2|a|为周期的函数.
(B)
(C)
(D)
第六页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
解析:法一 当点 P 位于边 BC 上时,∠BOP=x,0≤x≤ π ,则 BP =tan x,所以 BP=tan x, 4 OB
所以 AP= 4 tan2 x ,所以 f(x)=tan x+ 4 tan2 x (0≤x≤ π ),可见 y=f(x)图象的变 4
【例 2】 (1)现有四个函数:①y=x·sin x,②y=x·cos x,③y=x·|cos x|,④ y=x·2x 的图象(部分)如下,则按照从左到右图象对应的函数序号排序正确的一 组是( )
(A)①④③② (B)④①②③ (C)①④②③ (D)③④②①
第二十二页，编辑于星象关于点 (a,0) 中心对称.
第十四页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
(2)相互联系 ①奇(偶)函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同(反). ②f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于 对原称点;f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于 对称. ③若函y数轴y=f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则f(x)是以 为周期的函 数,特别地,若函数f(x)是偶函数,其图象又关于直线x=a对称, 则f(x)是以2|b-为a|周 期的函数. ④若函数y=f2(|ax|)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a≠b),则f(x)是以 为周期的函数.特别地,若函数f(x)是奇函数,其图象又关于直线x=a对称, 则f(x)是 以4|a|为周4期|b的-a函| 数. ⑤若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则f(x)是以
2016届高考数学理科一轮复习课件3-6函数y=Asin的图象 及三角函数模型的应用
π 2
32π
52π
72π
92π
21x－π4
0
ππ 2
32π
2π
3 sin21x－π4
0
3
0 －3
0
栏 目
描点、连线，如图所示：
链
接
第二十四页，编辑于星期五：二十一点 四十四 分。
考点探究
(2)“先平移，后伸缩”．
π 先把 y＝sin x 的图象上所有点向右平移 4 个单位，得到 y＝
sinx－π4 的图象；再把 y＝sinx－π4 的图象上所有点的横坐标伸长 栏
栏 目 链 接
第七页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
课前自修
栏 目 链 接 图象与x轴的交点：正弦函数为____(_k_π_，_，0)k∈Z，余弦函数为 ________k，πk＋∈π2Z，，0正切函数为________ ，(kk∈π，Z0. )
第八页，编辑于星期五：二十一点 四十四分。
课前自修
考点探究
(4)令21x－π4 ＝π2 ＋kπ(k∈Z)，
得 x＝2kπ＋32π(k∈Z)，此为对称轴方程．
栏
令21x－π4 ＝kπ(k∈Z)，得 x＝π2 ＋2kπ(k∈Z)．
目 链
对称中心为2kπ＋π2 ，0(k∈Z)．
接
第二十六页，编辑于星期五：二十一点 四十四 分。
考点探究
变式探究
1．已知函数 y＝Asin12x－π5 ，给出下面 4 个命题，其中正确命题的个
目
链
C．T＝2π，A＝ 2
接
D．T＝2π，A＝2
解析：依题意，函数 y＝2sin(2x＋π3 )的最小正周期是 T＝2π 2 ＝π，最大值 A＝2，故选 B.
高考数学 解读真题系列 专题05 函数图象与方程 理
专题05 函数图象与方程一、选择题1. 【函数的图象与性质】【2016新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D2. 【函数性质的综合应用】【2016天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） A.（0，23] B.[23，34] C.[13，23]{34} D.[13，23）{34}【答案】C3. 【函数图象的综合应用，解不等式】【2015北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C4. 【函数的图象与性质】【2015新课标2，理10】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B5. 【函数的图象与应用】【2015安徽，理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A.0a >，0b >，0c <B.0a <，0b >，0c >C.0a <，0b >，0c <D.0a <，0b <，0c <【答案】C6. 【求函数解析，函数与方程思，数形结合】【2015天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 二、非选择题7. 【分段函数求最值，数形结合的数学思想】【2016北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【答案】2，(,1)-∞-.8. 【函数的图象与性质，函数与方程，分段函数】【2016山东理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.【答案】()3,+∞9. 【函数与方程】【2015江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 .【答案】410. 【函数零点与方程的根之间的关系，函数的单调性及其极值】【2015安徽，理15】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号） ①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.【答案】①③④⑤11. 【函数与方程，分类讨论的数学思想】【2015湖南理13】已知32,(),x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞ .2017年真题1.【函数与方程，函数的图象、性质】【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）A.(])0,123,⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()23,⎡+∞⎣D.([)3,+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.2. 【图象的应用，实际应用】【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.【答案】1Q ；2.p【解析】作图可得11A B 中点纵坐标比2233,A B A B 中点纵坐标大，所以第一位选1Q分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B ''' 斜率，可得22A B '最大，所以选2.p3. 【基本不等式，函数最值】【2017浙江，17】已知α∈R ，函数a a xx x f +-+=|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________． 【答案】9(,]2-∞ 【解析】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①．当5a ≥时，()442f x a x a a x x x =--+=--，函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②．当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立；③．当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或：4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．4. 【函数与方程】【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质 因此10n mq p =，则10()nm q p= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉ 因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈ 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉ 的部分的交点，画出函数图像，图中交点除外(1,0) 其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉ 的部分， 且1x = 处11(lg )1ln10ln10x x '==< ，则在1x =附近仅有一个交点因此方程解的个数为8个.【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．。
2016年高考文数热点题型和提分 专题06 函数的图象(原卷版) 无答案
【高频考点解读】1。
在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数．2。
会运用函数图象理解和研究函数的性质．【热点题型】题型一识图例1 （1)函数f（x）＝ln错误!的图象是( )（2）函数y＝错误!的图象大致是（）【提分秘籍】(1）识别函数图象应注意以下三点：①函数的定义域、值域．②函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等）．③函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点等)．（2）对于给定函数的图象,要能从象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：①定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降）的趋势，利用这一特征分析解决问题．②定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题．③函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．【举一反三】函数y＝1－错误!的图象是( ）题型二作图例2、作出下列函数的图象．（1)y＝2x＋2;（2)y＝|log2x－1|;（3）y＝错误!。
【提分秘籍】画函数图象的一般方法有:（1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2）图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到,可利用图象变换作出．【举一反三】作出下列函数的图象．（1)y＝｜x－2｜(x＋1）；(2)y＝|x2－2|x|－3|。
题型三函数图象及其应用例3．函数y＝错误!的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（)A．2 B．4C．6 D．8【提分秘籍】1.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来图象的应用命题角度有:(1)确定方程根的个数．(2）求参数的取值范围．(3)求不等式的解集．2。
2016届高考数学理命题猜想专题05函数﹑基本初等函数的图像与性质(解析版)
命题猜想五 函数﹑基本初等函数的图像与性质【考向解读】1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.【命题热点突破一】函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.例1、(1)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R)，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．【答案】(1)－14 (2)[12，2]【解析】(2)由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2. 【感悟提升】(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．【变式探究】(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.(2)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1 B.ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C.sin x ＞sin yD.x 3＞y 3(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ＜1，－ax ＋6，x ≥1(a ∈R )的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为( )A.－1B.1C.2D.3【答案】(1)1 (2)D (3)C 【解析】【命题热点突破二】 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2、(1)函数y ＝lncos x (－π2<x <π2)的图象是( )(2)(2015·北京)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2} 【答案】(1)A (2)C 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．【变式探究】(1)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c ＞a ＞b B.c ＞b ＞a C.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34C.⎣⎡⎭⎫32e ，34D.⎣⎡⎭⎫32e ，1 【答案】 (1)D (2)D 【解析】故－a >g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，解得32e ≤a <1，故选D.【探究提高】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.【命题热点突破三】基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3、(1)(2015·山东)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【答案】(1)C (2)C 【解析】(2)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．【变式探究】(1)(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝log a x的图象可能是()(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝ln2f(ln2)，c＝－2f(－2)，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>c>b【答案】(1)D(2)C【解析】(1)方法一分a>1,0<a<1两种情形讨论．当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a递增较快，排除C；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a 递增较慢，所以选D.方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．(2)构造函数g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，所以函数y ＝g (x )在(－∞，0)上单调递减．因为函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，所以y ＝f (x )是奇函数，由此可知函数y ＝g (x )是偶函数．根据偶函数的性质，可知函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又a ＝g (20.2)，b ＝g (ln2)，c ＝g (－2)＝g (2)，由于ln2<20.2<2，所以c >a >b .【高考真题解读】1.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝cos x B.y ＝sin x C.y ＝ln xD.y ＝x 2＋1【答案】 A【解析】 由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点. 2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12【答案】 C 【解析】3.(2015·北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A.{x |－1＜x ≤0}B.{x |－1≤x ≤1}C.{x |－1＜x ≤1}D.{x |－1＜x ≤2} 【答案】 C【解析】 如图，由图知：f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}.4.(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1) 的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.【答案】 －32 【解析】5．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝(log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 【答案】C 【解析】由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2， b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4， c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .6．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是( )【答案】B 【解析】7．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C 。
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函数的图像及应用
郭飞
1、知识点解析
画函数图象的一般方法
1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；
2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．
(1)平移变换：
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
描点法作函数图象的基本步骤：列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；
最后：描点，连线．
[题组练透]
例一、分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lgx|；
(2)y＝2x＋2；
(2)伸缩变换：
y＝f(x)y＝f(ωx)；
y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换：
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
(4)翻折x)|.
2、经典题型
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
(3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝图象如图1.
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2.
(3)y＝图象如图3.
例二、1．(2015·海淀区期中测试)函数f(x)＝2x＋sinx的部分图象可能是()
解析：选A因为x∈R，f(－x)＝－2x－sinx＝－f(x)，所以函数图象关于原点对称，又f¡ä(x)＝2＋cosx＞0，所以函数单调递增，因此选A.
所以<0的解集为∪.
答案：∪
3、高考试题检测
考点一 图象的识别
1．(2015·新课标全国¢ò，10)如图，长方形ABCD的边AB＝2，
BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，
记¡ÏBOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数
f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()
解析当点P沿着边BC运动，即0¡Üx¡Ü时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tanx，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；
二：确定方程根的个数
2．(2015·日照一模)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
答案：5
三：求参数的取值范围
3．(2014·山东高考)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()
A.B.
C．(1,2)D．(2，＋¡Þ)
解析：选B在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故<k<1.
当点P与点C重合，即x＝时，由上得f＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与¡÷PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.综上，选B.
2.已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()
解：选B法一：由y＝f(x)的图象知
f(x)＝
当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，
所以f(2－x)＝
故y＝－f(2－x)＝
法二：当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；
当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.
观察各选项，可知应选B.
例三、一、研究函数的性质
1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋¡Þ)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－¡Þ，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－¡Þ，0)
解析：选C将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．