高三数学寒假作业 专题09 数列中求和问题(背)
高三数学数列求和试题答案及解析
高三数学数列求和试题答案及解析1.数列{an }满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝a m＋a n＋mn，则＋＋＋…＋＝()A．B．C．D．【答案】B【解析】令m＝1得an＋1＝a n＋n＋1，即an＋1－a n＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，上述n－1个式子相加得an －a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝ (n∈N*)，因此＝＝2(－)，所以＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝2.函数f(x)对任意x∈R都有. （1）求和(n∈N*)的值；（2）数列{an }满足：，求an；（3）令，，，试比较Tn 和Sn的大小。
【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由于函数f(x)对任意x∈R都有，则令可求的；再令求出；（2）利用倒序相加结合（1）的结论可求出；（3）由及第（2）问的结论求出，用放缩法变形（），用裂项相消法求，再与比较大小.（1）令=2，则；令得，（4分）（2）由，两式相加得：，∴，（8分）（3），(n≥2)∴.（12分）【考点】倒序相加、裂项相消法求数列的前项和.3.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则．【答案】【解析】因为，所以即因此数列任意相邻两项和为因为，因此所以或，又由.【考点】数列求和4.已知函数，且，则()A．0B．100C．5050D．10200【答案】C【解析】因为，所以，选C.5.已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.（1）求、的值；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出.试题解析：（1）解法1：当时，，当时，.是等差数列，，得.又，，，、、成等比数列，，即，解得.解法2：设等差数列的公差为，则.，，，.，，.、、成等比数列，，即，解得.；（2）解法1：由（1）得.，.，①，②①②得. .解法2：由（1）得.，.，①由，两边对取导数得，.令，得. .【考点】1.定义法求通项；2.错位相减法求和；3.逐项求导6.数列{an }满足an+1＋(－1)n an＝2n－1，则{an}的前60项和为____________.【答案】1830【解析】当时，；当时，；当时，.将与相减得：；将与相减得：.所以，，所以.【考点】数列.7.在数列{an }中,若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前100项的和S100=.【答案】299【解析】设定值为M,则an +an+1+an+2=M,进而an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得an+3=an,即数列{an}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a 3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{an}的前100项的和S100=68+99+132=299.8.．己知数列满足，则数列的前2016项的和的值是___________．【答案】1017072【解析】这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么关系，与它们的和有什么联系？把已知条件具体化，有，，，，…，，，我们的目的是求，因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和，可能首先想到把出现“＋”的式子相加（即为偶数的式子相加），将会得到，好像离目标很近了，但少，而与分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相减后得到，为了求，我们又不得不求，依次下去，发现此路可能较复杂或者就行不通，重新寻找思路，从头开始我们有，即，而，∴，因此，我们由开始的三个等式求出了，是不是还可用这种方法求出呢？下面舍去，考察，，，同样方法处理，，从而，于是，而，正好504组，看来此法可行，由此我们可得．【考点】分组求和．9.阅读如图程序框图，若输入的，则输出的结果是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，不成立，执行第一次循环，，；不成立，执行第二次循环，，；不成立，执行第三次循环，，；；不成立，执行第一百次循环，，；成立，输出，故选A.【考点】1.数列求和；2.算法与程序框图10.已知数列的各项都是正数，前项和是，且点在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
高中数学数列的求和公式及相关题目解析
高中数学数列的求和公式及相关题目解析在高中数学中，数列是一个非常重要的概念，它是数学中的一种序列，由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的求和是数学中常见的问题之一，本文将介绍数列的求和公式及相关题目解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、等差数列的求和公式及相关题目解析1. 等差数列的求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
对于等差数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。
设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)[2a1 + (n-1)d]其中，n为项数，a1为首项，d为公差。
2. 题目解析例题1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求前10项的和。
解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=3，d=4，n=10，可以得到：S10 = (10/2)[2*3 + (10-1)*4] = 5[6 + 9*4] = 5[6 + 36] = 5*42 = 210因此，前10项的和为210。
例题2：已知等差数列的首项为-2，公差为5，前n项和为100，求n的值。
解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=-2，d=5，Sn=100，可以得到：100 = (n/2)[2*(-2) + (n-1)*5] = (n/2)[-4 + 5n - 5] = (n/2)(5n - 9)化简得到5n^2 - 9n - 200 = 0，解这个二次方程可以得到n≈13.2或n≈-3.8。
由于n必须是正整数，所以n≈13.2不符合题意。
因此，n≈-3.8也不符合题意。
综上所述，n的值为13。
二、等比数列的求和公式及相关题目解析1. 等比数列的求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
对于等比数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。
设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn，则等比数列的求和公式为：Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)其中，n为项数，a1为首项，r为公比。
高中数学数列求和练习题及参考答案2023
高中数学数列求和练习题及参考答案2023数列求和是高中数学中的重要知识点，也是学生们经常需要练习和巩固的内容。
掌握数列求和的方法和技巧，对于解决各种数学问题具有重要的作用。
本文将为大家提供一些高中数学数列求和的练习题，并给出参考答案。
一、简单求和练习1. 求等差数列1，4，7，10，...的前20项和。
解析：这是一个等差数列，我们知道等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
根据等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，我们可以求得前20项和为：S20 = (20/2)(1 + 1 + 19 * 3) = 20 * 10 = 200所以，等差数列1，4，7，10，...的前20项和为200。
2. 求等比数列3，6，12，24，...的前10项和。
解析：这是一个等比数列，我们知道等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
根据等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，我们可以求得前10项和为：S10 = 3 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 3 * (1 - 1024) / (-1) = 3 * (1023) = 3069所以，等比数列3，6，12，24，...的前10项和为3069。
二、综合应用题1. 若等差数列的首项为3，公差为2，且和为139，求该等差数列的项数。
解析：设等差数列的项数为n，根据等差数列的求和公式Sn =(n/2)(a1 + an)，将已知条件代入，得到：139 = (n/2)(3 + a1 + (n - 1)2)化简得：139 = (n/2)(2n + 4)278 = n(2n + 4)2n^2 + 4n - 278 = 0解这个一元二次方程，得到n ≈ 11所以，该等差数列的项数为11。
2. 已知等差数列的首项为5，公差为3，前n项和为Sn = 105 - 2n，求该等差数列的项数n。
高中数学解数列求和问题的技巧
高中数学解数列求和问题的技巧数列是高中数学中的重要概念之一，求和问题是数列中常见的考点。
解决数列求和问题需要掌握一些技巧和方法，下面我将介绍几种常见的数列求和问题及其解题技巧。
一、等差数列求和问题等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
求等差数列的前n项和，可以利用求和公式来解决。
求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
例如，给定一个等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和。
根据求和公式，首先计算出末项an：an = a1 + (n - 1) * d = 3 + (10 - 1) * 2 = 21。
然后代入公式计算出前10项的和：Sn = (a1 + an) * n / 2 = (3 + 21) * 10 / 2 = 120。
二、等比数列求和问题等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。
求等比数列的前n项和，可以利用求和公式来解决。
求和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
例如，给定一个等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和。
根据求和公式，代入相应的值计算出前5项的和：Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 242。
三、特殊数列求和问题除了等差数列和等比数列外，还存在一些特殊的数列，求和问题也有相应的解题技巧。
1. 平方数列求和问题：平方数列是指数列中的每一项都是前一项的平方。
例如，1，1，4，16，...。
求平方数列的前n项和，可以利用平方数的求和公式来解决。
求和公式为：Sn = (2^(n+1) - n - 2) / 3。
2. 斐波那契数列求和问题：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
例如，1，1，2，3，5，...。
求斐波那契数列的前n项和，可以利用斐波那契数列的性质来解决。
专题09 数列不等式的证明与求解参数(解析版)
数列不等式的证明与求解参数◆题型一:数列不等式的证明 方法解密:对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n 的取值范围.下面我们来看下数列不等式证明的例题.【经典例题1】已知等比数列{}()n a n N *∈为递增数列，且236324,522==+a a a a a ．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()42n nn b n N a *-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：6n S <． 【答案】(1)2n n a = (2)证明见解析 【解析】(1)解：由题意，()2251123111522a q a q a q a q a q⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11212a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a q =⎧⎨=⎩， 因为等比数列{}()n a n *∈N 为递增数列，所以122a q =⎧⎨=⎩， 所以1222n nn a -=⨯=；(2)解：由（1）知142212n n n n n b a ---==， 所以数列{}n b 的前n 项和为0111322212n n n S -=++-+，① 112123212122223n n nn n S --=++-++，② ①-② 得1112111112121232212312222211122212n n n n n nn n n S --⎛⎫=+⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+=+++-⎝- ⎪⎭--， 所以12362n n n S -+=-， 又因为*n N ∈，所以12302n n -+>，所以123662n n n S -+=-<. 【经典例题2】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++=．(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ． 【答案】(1)21nn a =-，()211n c n =+； (2)证明见解析【解析】(1)由2132n n n a a a ++=-，得()2112n n n n a a a a +++-=-．又212a a -=，则数列{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列，∴11222n nn n a a -+-=⨯=，∴221322,2a a a a -=-=，3432a a ，…，112n n n a a ---=，累加得211222n n a a --=+++，∴211212222112n n n n a --=++++==--． 数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++=，①当1n =时，114c =；当2n ≥时，222212312341n c c c n c n -++++=-，②由①－②可得()211n c n =+，当1n =时，也符合上式， 故数列{}n c 的通项公式为()211n c n =+．(2)由（1）可得()()()()2222222111114222log 1n n n n n n n n a ⎡⎤++==-⎢⎥++++⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则()22222221111111114324352n T n n ⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦()()222111114212n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()2215115441612n n ⎡⎤=--<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故516<n T 成立．【经典例题3】已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若132a =，且()1122n n S S S n n *-≥∈N ，，，成等差数列．(1)求证：数列1n S 是等比数列；(2)记数列1n S 的前n 项和为n T ，求证：21143n T ≤<．【解析】(1)1132S a ==，因为112n n S S S -，，成等差数列，所以()1232n n S S n -+=≥， 所以()11112n n S S --=--，且111112S a -=-=，所以数列1n S 是以12为首项，12-为公比的等比数列.(2)由（1）知11111222n nn S -⎛⎫⎛⎫-=⨯-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ()()()2122111n n T S S S =-+-++-22111222n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22111221111111323412nn n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭.一方面，21111343n n T ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭；另一方面，()22111111111034344n n n n n T T --⎛⎫⎛⎫-=---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}2n T 是递增数列，所以221111344n T T ⎛⎫≥=-= ⎪⎝⎭.综上所述，21143n T ≤<. 总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n 的取值范围的相关题型. 【经典例题4】等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且3616a a +=，981S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列121n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若215n T >，求n 的最小值．【答案】(1)21n a n =- (2)7 【解析】（1）设等差数列的公差为d ，首项为1a ，则36191271693681a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．（2）()()1211111212322123n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， ()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由题得()232315n n >+，解得6n >，因为n *∈N ，所以n 的最小值是7．【练习1】等差数列{}n a 中，前三项分别为,2,54x x x -，前n 项和为n S ，且2550k S =. (1)求x 和k 的值； (2)求n T =1231111nS S S S ++++ (3)证明: n T 1<【答案】(1)2x =；50k =. (2)1n nT n =+ (3)见解析 【解析】(1)∴等差数列{}n a 中，前三项分别为x ，2x ，54x -， ∴2254x x x ⨯=+-，解得2x =， ∴首项12a =，公差2d =． ∴()12550222k k k S k -==+⨯， 化为：225500k k +-=． 解得50k =．(2)由（1）可得：()2212n a n n =+-=， ∴()2222n n n S n n +==+，∴()111111nS n n n n ==-++． ∴123111111111111223111n n n T S S S S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)因为111n T n ==-+，而101n >+，所以1111n T n ==-<+.【练习2】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，342n n S a =-， (1)求数列{n a }的通项公式； (2)设33log 4nn a b =，n T 为数列12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.证明：12n T ≤< 【答案】(1)143n n a -=⨯； (2)证明见解析.【解析】(1)当2n ≥时，11234n n S a --=-，又342n n S a =-，则13n n a a -=， 当1n =时，11234a a =-，解得14a =，故{}n a 是首项为4，公比为3的等比数列，则143n n a -=⨯；(2)因为33log 4nn a b =3log 3n n ==，则()12211211n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 故11111121222122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又101n >+， 所以1111n -<+，即2n T <，又1211n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭是单调递增数列，则11n T T =≥ 综上，12n T ≤<.【练习3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*214n n S a n +=∈N ，数列{}n b 为等差数列，112b a =，且()5435b b b =-． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)对任意的正整数n ，有212n n n n n b c b b a +++=，求证：121n c c c ++⋅⋅⋅+<．【答案】(1)22n n a -=，n b n = (2)证明见解析【解析】(1)解：∴214n n S a +=①，∴令1n =，可得112a =，又()112142n n S a n --+=≥②，由①-②得1244n n n a a a -=-， ∴12n n a a -=，∴()122nn a n a -=≥， ∴数列{}n a 为以12为首项，2为公比的等比数列，∴22n n a -=，∴11b =，5514b d d ==+，解得d ＝1， ∴n b n =；(2)证明：()()121112212n n n n n c n n n n -+==-+⋅⋅+⋅，∴()()1222211111112232212n n n c c c n n -⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪⨯⋅+⋅⎝⎭⎝⎭()11112n n =-<+．【练习4】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，24a =，()112322n n n S S S n +-+=-≥. (1)证明：数列{}2n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)记112n n n n b a a -+=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：11123n T ≤<.【答案】(1)证明见解析，122n n a -=+ (2)证明见解析【解析】(1)解：当2n ≥时，由11232n n n S S S +-+=-可变形为()1122n n n n S S S S +--=--， 即122n n a a +=-，即()1222n n a a +-=-，所以()12222n n a n a +-=≥-， 又因为13a =，24a =，可得1221,22a a -=-=，所以21222a a -=-， 所以数列{}2n a -是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以122n n a --=，所以数列{}n a 的通项公式为122n n a -=+.(2)解：由122n n a -=+，可得()()11111221122222222n n n n nn n n n b a a ----+===-++++，所以123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+1111111111134466102222322n n n-=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+++， 因为1022n >+，所以1113223n -<+，即13nT <，又因为()11322n f n =-+，n *∈N 单调递增， 所以()()111212212n T b ≥==++，所以11123n T ≤<.◆题型二:数列不等式求解参数 方法解密:对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即+10n n a a ->对*n ∈N 恒成立,数列单调递增.+10n n a a -<对*n ∈N 恒成立,数列单调递减.含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题. (1) ( ) x D f x a ∀∈<恒成立，则max ()f x a < (2) ( ) x D f x a ∀∈>恒成立，则min ()f x a > 下面看一下有关恒成立问题的例题:【经典例题1】已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______． 【答案】15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先分离参数将问题转化为232nn nλ+≤对于任意*n ∈N 恒成立，进而转化为2max 3()2n n n λ+≤，构造232n nn n b +=，再作差判定单调性求出数列{}n b 的最值，进而求出λ的取值范围.【详解】因为23n a n n =+，且2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，所以232nn nλ+≤对于任意*n ∈N 恒成立，即2max 3()2n n n λ+≤，令232n nn nb +=，则2221113(1)(1)3354222n n n n n n n n n n n b b +++++++-++-=-=，因为21302b b -=>，32104b b -=>，43102b b -=-<，且21135402n n n n n b b ++-++-=<对于任意3n ≥恒成立，所以12345b b b b b <<>>>⋅⋅⋅，即2max 3315()24n n n b +==，所以实数λ的取值范围是15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【经典例题2】已知数列{}n a 满足114a =，()110n n n n n a a a a a ++-=≠且12231n n n S a a a a a a +=+++．若对任意8n ≥，*n ∈N ，不等式21n S λ>+恒成立，则正整数λ的最小值为______． 【答案】12 【分析】由11n n n n a a a a ++-=，得1111n na a ，得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求得通项公式n a ，对nS 利用裂项相消法求和，然后由单调性得n S 的最小值，解相应不等式可得λ的范围从而得结论． 【详解】由11n n n n a a a a ++-=，得1111n na a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为1的等差数列，所以()14113n n n a =+-⨯=+，故13n a n =+，所以()()11113434n n a a n n n n +==-++++， 则122311111111145563444n n n S a a a a a a n n n +=+++=-+-++-=-+++． 当8n ≥，*n ∈N 时，1144n S n =-+为单调递增数列，所以()min 1114846n S =-=+．因为21n S λ>+对任意8n ≥，*n ∈N 恒成立，所以1261λ>+，即11λ>，所以正整数λ的最小值为12．故答案为：12．分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题:【经典例题3】数列{an }的通项公式为an ＝3n ，记数列{an }的前n 项和为Sn ，若*N x ∃∈使得()3362n S k n +≥-成立，则实数k 的取值范围是______．【答案】2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求得n S ，由()3362n S k n +≥-分离常数k ，结合数列的知识求得k 的取值范围.【详解】1113,3,3n n n n n na a a a +++===，13a =，所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，所以()13131331322n n n S +-==⋅--.依题意，*N x ∃∈使得()3362n S k n +≥-成立，即113362n k n +⋅⋅≥-，243nn k -≥， 设12242,,033n nn b b b -==-=，当3n ≥时，0n b >，所以23k ≥-，所以k 的取值范围是2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【经典例题4】已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且23()2n n n S n N *+=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）1n a n =+；（2）1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）已知已知n S 求n a ，通常用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项.（2）用裂项相消法求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，列出不等式，参变分离得()222n n λ≤+，因为存在*n N ∈，由基本不等式求()222n n +的最大值即可.【详解】解：(1) 1n =时， 111322a S +===, 2n ≥时，()()2211313122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=+， 1n =时，12a =也适合上式，所以数列{}n a 的通项公式1n a n =+.(2) 因为()()111111212n n a a n n n n +==-++++，所以()111111112334122222n n T n n n n =-+-++-=-=++++ 因为存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，所以存在*n N ∈，使得()()2022nn n λ-+≥+成立，即存在*n N ∈，使()222n n λ≤+成立又()2142224nn n n =⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，444n n n n +≥⋅，42416n n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭1141624n n ≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭（当且仅当2n =时取等号）， 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【练习1】设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知12327a a a =，581a =，若存在m R ∈，使得272n n S a +≤12m -成立，则m 的最小值为___．【答案】9 【解析】设{}n a 的公比为q ，由12327a a a =可知3227a =，所以23a =，由4113,81a q a q ==得：327q =，所以3q =，则11a =，所以13-=n n a ，()113112nnn a q S q--==-，由题意知存在m R ∈，使得127132722223n n n n m S a -++=+=⋅38138129223223n n n n+⋅⋅⋅成立，当且仅当32n=8123n ⋅，即2n =时取得等号，所以9m ，故m 的最小值为9.故答案为：9【练习2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，当2n ≥时，2n n n n S a S a =-.(1)求n S ；(2)设数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()292nn T n λ≤+⋅恒成立，求λ的取值范围.【答案】(1)11n S n =+ (2)3λ≤ 【解析】(1)当2n ≥时，2n n n n S a S a =-，所以，()()211n n n n n n S S S S S S --=---，整理得：11n n n n S S S S --=-，即1111n n S S --=.所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S a ==为首项，1为公差的等差数列. 所以11n n S =+，即11n S n =+. (2)由（1）知，()212n nnn S =+⋅，所以()212232212n n n T n n -=⋅+⋅++⋅++⋅，①所以()23122232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅，②①-②得，()()231422212n n n T n +-=++++-+⋅，所以，()()23114222122n n n n T n n ++-=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-⋅，所以，12n n T n +=⋅，所以()292n n T n λ≤+⋅，即()12292n n n n λ+⋅≤+⋅，即()299222n n nnλ+≤=+，因为99232222n n n n+≥⋅=，当且仅当3n =时，等号成立，所以3λ≤.【练习3】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，6328SS=，数列{}n b 满足()33log 1n n b a =+．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若对任意的*n ∈N ，3n n b a λ<恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)13n n a -=，*n ∈N ；32n b n =-，*n ∈N (2)9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ．【解析】(1)解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由6328S S =，显然1q ≠，所以631281q q-=-，解得3q =， 由于11a =，所以{}n a 的通项公式为13n n a -=，*n ∈N ；所以()1333log 13log 3132n n n b a n -=+=+=-，*n ∈N ，所以{}n b 的通项公式为32n b n =-，*n ∈N ．(2)因为3n n b a λ<恒成立，即332n n λ<-对于任意的*n ∈N 恒成立．令()332nf n n =-，*n ∈N ，则()()()()()136733131323132n n nn f n f n n n n n +⋅-+-=-=+-+-， 当1n >时()()1f n f n +>，，所以()()()()1234f f f f ><<<⋅⋅⋅，即()f n 的最小值为()924f =， 所以实数λ的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【练习4】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若对任意的*N n ∈，不等式()1311n S n λ⋅+≥-恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)12n n a (2)18λ≥【解析】(1)解：当1n =时，11121S a a =-=，解得11a =， 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， 故12n na ；(2)解：122112nn n S -==--， 由()1311n S n λ⋅+≥-对任意的*N n ∈恒成立， 即3112nn λ-≥ ， 令3112n n n b -=，则11138311143222n nn n n n n nb b +++----=-= ， 当4n ≤时，1n n b b +>，当5n ≥时，1n n b b +<， 所以1234567b b b b b b b <<><>< 即n b 的最大值为518b = ， 故18λ≥.【过关检测】1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,21()n n a a S n N *+==+∈；等差数列{}n b 中，25b =，43b a =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得60n T n >？若存在，求n 的最小值，若不存在，说明理由.【答案】（1）13-=n n a ，21n b n =+；（2）存在，最小n 值为4. 【解析】（1）由题设，112()2(2)n n n n n a a S S a n +--=-=≥，得13n n a a +=， 又21121213a S a =+=+=，即213a a =，∴13n n a a +=对*n N ∈都成立，则11133n n n a a --=⋅=，∴439b a ==，又25b =且{}n b 为等差数列，∴若公差为d ，则4224d b b =-=，得2d =，即13b =， ∴1(1)21n b b n d n =+-=+.（2）由（1）知：1(21)3n n n a b n -⋅=+⋅， ∴0121335373...(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⋅，则12313335373...(21)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，∴10121132332323 (23)(21)336(21)32313n n nn n n T n n n ----=⨯+⨯+⨯++⋅-+⋅=+⨯-+⋅=-⋅-，即3n n T n =⋅，若60n T n >时，有360n >，∴4n ≥且*n N ∈，故存在，n 的最小值为4.2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，234a =-，且22S -，3S ，44S 成等差数列．(1)求数列{}n a 的公比q 和通项n a ； (2)设1n n T S =-，求满足12022n T >的n 的最大值． 【答案】(1)12q =-，132nn a ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭(2)10【解析】(1)解：设比数列{}n a 的公比为q ，因为22S -，3S ，44S 成等差数列，可得324224S S S =-+， 即4324S S S S -=-，所以432a a =-，解得4312a q a ==-， 又因为234a =-，所以数列{}n a 的通项公式为23113422n nn a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-=-⨯- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(2)解：由132n n a ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，可得31122111212nn n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，所以112nn n T S ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以1122n nn T ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由12022n T >，可得1122022n⎛⎫> ⎪⎝⎭，即2log 2022n <且*n N ∈，故满足12022n T >的n 的最大值为10．3.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若33212a a a S ，. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求使n n S a >成立的n 的最小值. 【答案】(1)23n a n =- (2)4 【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由33a S =得12a a +=0, 由题意知，{a 1+a 2=0a 2−a 1=2，解得1211a a =-⎧⎨=⎩，所以d =2所以()()1112123n a a n d n n =+-=-+-=-. (2)解：由（1）可得()()12123222n n n a a n n S n n +-+-===-，由n n S a >可得2223n n n ->-，即2430n n -+>，解得1n <或3n >， 因为n *∈N ，所以，正整数n 的最小值为4.4.已知Sn 为等差数列{an }的前n 项和，S 3＝21，S 5＝55． (1)求an 、Sn ；(2)若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn ，求满足225n T >的最小正整数n ． 【答案】(1)an ＝4n ﹣1，22n S n n =+ (2)19【解析】(1)设等差数列{an }的公差为d ，则11323212545552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，即117211a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，故()34141n a n n =+-=-， 2(341)22n n n S n n +-==+ (2)由（1）得，1111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭.故111111111...437471144143n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114343129n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，令225n T >有129225n n +>，即241825n n >+，解得18n >，故满足满足225n T >的最小正整数为195.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1222n n S n a ++=-，28a =，其中n *∈N . (1)记1n n b a =+，求证：{}n b 是等比数列； (2)设1n n n c b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：54n T <. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】(1)证明：对任意的*n ∈N ，1222n n S n a ++=-，28a =，1n =时，122226S a +=-=，解得12a =，2n ≥时，因为1222n n S n a ++=-，12222n n S n a -+-=-，两式相减可得：122n n n a a a ++=-，即有132n n a a +=+，∴()1131n n a a ++=+，又1n n b a =+，则111n n b a ++=+， 因为1113b a =+=，2219b a =+=，所以213 b b =， 对任意的*n ∈N ，0n b >，所以13n nb b +=， 因此，{}n b 是首项和公比均为3的等比数列(2)由（1）得：1333n nn b -=⨯=，则113n n n n n c b ++==， 2323413333n n n T +∴=+++⋅⋅⋅+，231123133333n n n n n T ++=++⋅⋅⋅++， 两式相减得：2121111112211121525331333333362313n n n n n n n n n T -+++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=++⋅⋅⋅+-=+-=-⋅-， 化简可得：525443n n n T +=-⋅，又25043nn +>⋅， ∴54n T <.6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S .从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.①数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列； ②数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=； ③22n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且()()2212211log log n n n b a a -+=.证明：12n T <. 【答案】(1)2n n a = (2)证明见解析 【解析】(1)解：若选①：因为数列{}n a 是等比数列，设公比为q ，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列，所以1132111644a a q a q a q a q+=⎧⎨+=⎩，解得12,2a q ==，所以1222n n n a -=⨯=； 若选②：因为数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=，所以1423233212a a a a a a ==⎧⎨+=⎩，所以234,8a a ==，322a q a ==， 所以222422n n nn a a q --==⨯=；若选③：因为22n n S a =-，所以()11222n n S a n --=-≥， 两式相减可得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，又1n =时，12a =， 所以()122nn a n a -=≥， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n nn a -=⨯=；(2)证明：由（1）知()()()()()()212122122122111111log log 212122121log2log 2n n n n n b a a n n n n -+-+⎛⎫====- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111121335212121124221n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-⎭⎣⎦+， 因为1042n >+，所以1112422n -<+，即12n T <.7.已知Sn 是等比数列{an }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且4118S a -=-. （1）求数列{an }的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S ≥？若存在，求出符合条件的n 的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()132n n a -=⨯-.（2）存在，最小值为11 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则10,0a q ≠≠. 由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即2321112311118a q a q a q a q a q a q ⎧--=⎨++=-⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为()132n n a -=⨯-.（2）由（1）有()()()3121212nn n S ⎡⎤--⎣⎦==----.假设存在n ，使得2020n S ≥，则()122020n--≥即()22019n -≤-当n 为偶数时，()20n->，上式不成立；当n 为奇数时，()22019nn -=-2≤-，即22019n ≥解得11n ≥综上，存在符合条件的正整数n ，最小值为11.8.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，211(2)n n n n a S a S n ++--=-≥．记22(1)log n n b a +=.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ，求使得不等式9n T >成立的n 的最小值.【答案】(1)12n n a ，21n b n =+； (2)5.【解析】(1)设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，当2n ≥时，211n n n n a S a S ++--=-，即21112n n n n n n a S a a S a ++-++=+=-，则有22=+n n n a q a q a ，即220q q --=，而0q >，解得2q，又11a =，则12n na ，22(12)2122log l 1og n n n b a n ++==+=，所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为：12n na ，21nb n =+.(2)由(1)知，1212n n n b n a -+=，则2315792132222n n n T -+=+++++，则23411357921212222222n n n n n T --+=++++++， 两式相减得：1232111111121212523(1)3512222222212n n n n n n n n n T ---+++=++++++-=+-=-- 于是得125102n n n T -+=-， 由9n T >得：12512n n -+<，即12250n n --->，令1225n n c n -=--，N n *∈， 显然，16c =-，27c =-，37c =-，45c =-，51c =，由111(227)(225)220n n n n n c c n n --+-=-----=->，解得2n >，即数列{}n c 在3n ≥时是递增的，于是得当12250n n --->时，即510n c c ≥=>，5n ≥，则min 5n =， 所以不等式9n T >成立的n 的最小值是5.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,21()n n a a S n N *+==+∈；等差数列{}n b 中，25b =，43b a =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得60n T n >？若存在，求n 的最小值，若不存在，说明理由.【答案】（1）13-=n n a ，21n b n =+；（2）存在，最小n 值为4. 【解析】（1）由题设，112()2(2)n n n n n a a S S a n +--=-=≥，得13n n a a +=， 又21121213a S a =+=+=，即213a a =，∴13n n a a +=对*n N ∈都成立，则11133n n n a a --=⋅=，∴439b a ==，又25b =且{}n b 为等差数列，∴若公差为d ，则4224d b b =-=，得2d =，即13b =， ∴1(1)21n b b n d n =+-=+.（2）由（1）知：1(21)3n n n a b n -⋅=+⋅， ∴0121335373...(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⋅，则12313335373...(21)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，∴10121132332323 (23)(21)336(21)32313n n nn n n T n n n ----=⨯+⨯+⨯++⋅-+⋅=+⨯-+⋅=-⋅-，即3n n T n =⋅，若60n T n >时，有360n >，∴4n ≥且*n N ∈，故存在，n 的最小值为4.10.已知等差数列{}n a 公差不为零，1235a a a a ++=，238a a a ⋅=，数列{}n b 各项均为正数，11b =，2211320n n n n b b b b +++-=.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)若16n n a b λ++≥恒成立，求实数λ的最小值． 【答案】(1)21n a n =-，113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)181【解析】(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235238a a a a a a a ++=⎧⎨⋅=⎩，即()()11111334270a d a da d a d a d d +=+⎧⎪++=+⎨⎪≠⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以，()12121n a n n =+-=-，因为2211320n n n n b b b b +++-=，所以，()()1130n n n n b b b b +++-=，因为0n b >，所以，113n n b b +=，又110b =≠，所以，0n b ≠，所以，113n n b b +=， 所以，{}n b 是以1为首项，13为公比的等比数列，故113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(2)解：因为113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21n a n =-，所以，16n n a b λ++≥，即273nn λ-≥恒成立， 设273n n n c -=，则()111442527333n nn n n n n n c c +++-----=-=， 当3n ≤时，1n n c c +>；当4n =时，1n n c c +=；当5n ≥时，1n n c c +<. 所以，4n =或5时，54181c c ==为{}n c 的最大项． 所以，181λ≥，故实数λ的最小值为181．11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足222n n n S a a =+-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n a a b =，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若()332n n k n T S +-≤对任意的*n N ∈恒成立，求k 的最小值.【答案】(1)1n a n =+ (2)58【解析】(1)222n n n S a a =+-①； 当1n =时，代入①得12a =.当2n ≥时，211122n n n S a a ---=+-②；①-②得22112n n n n n a a a a a --=-+-， 整理得()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=-+， 因为0n a >，所以()112n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为等差数列，公差为1，所以1n a n =+. (2)1122n n n a n a n b ++==， ()2341111123412222n n T n +=⋅+⋅+⋅+++③； ()345121111112341222222n n n T n n ++=⋅+⋅+⋅++⋅++④， ③-④得 ()2341211111121222222n n n T n ++=⋅++++--， 所以13322n n n T ++=-，所以()332n n k n T S +-≤，化简得()232n n n k ++≥，令()232n n n n c ++=，21342n n n n n c c -+---=. 所以1234c c c c <>>>，所以n c 的最大值为258c =，所以58k ≥.所以k 的最小值为58.12.已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为()2f x x '=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得30n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m ．【答案】(1)21n a n =- (2)15m =【解析】(1)()2f x x '=，()()2R f x x C C ∴=+∈，又()f x 经过坐标原点，()2f x x ∴=；点()(),n n S n N *∈在函数()y f x =的图象上，()n f n S ∴=，即2n S n =；当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-；经检验：11a =满足21n a n =-；()21n a n n N *∴=-∈. (2)由（1）得：()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭； 1111111111111123355723212121221n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=- ⎪ ⎪---++⎝⎭⎝⎭； 1021n >+，11121n ∴-<+，12n T ∴<，由30n m T <恒成立可知：1302m ≥，解得：15m ≥，∴所求的最小正整数15m =.。
高中数学解题方法系列：数列中求和问题的7种方法
高中数学解题方法系列：数列中求和问题的7种方法一、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na S n nn 3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n 5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1]求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.[例2]设S n ＝1+2+3+…+n，n∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.二、错位相减法（等差乘等比）[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n xn x x x S [例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n ∴1224-+-=n n n S 三、倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5]求证：nnn n n n n C n C C C 2)1()12(5321+=++⋅⋅⋅+++证明：设nn n n n n C n C C C S )12(5321++⋅⋅⋅+++=…………………………..①把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由mn nmn C C -=可得n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得nnn n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴nn n S 2)1(⋅+=[例6]求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+=（2）nn n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则[例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+-＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝1sin 1cos 2∴原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：设S n ＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵)180cos(cosn n --=（找特殊性质项）∴S n ＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0[例13]数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a ∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a 2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14]在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质qp n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质NM N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15]求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个（找通项及特征）∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++＝9110)110(1091n n ---⋅＝)91010(8111n n --+数列练习一、选择题1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =A.21 B.22 C.2 D.22.已知为等差数列，，则等于A.-1B.1C.3D.73.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,832S =,则10S 等于A.18B.24C.60D.90.4设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于A．13B．35C．49D．635.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1,3a ＝0,则公差d ＝（A ）－2（B ）－12（C ）12（D ）26.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和A.90B.100C.145D.1907.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m =（A）38（B）20（C）10（D）9.8.设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =A．2744n n+B．2533n n+C．2324n n+D．2n n+9.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是A.90 B.100 C.145 D.190.二、填空题1设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =．2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，，1612T T 成等比数列．3.在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .4.等比数列{n a }的公比0q >,已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =.数列练习参考答案一、选择题1.【答案】B【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a的公比为正数，所以q =,故2122a a q ===,选B 2.【解析】∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B。
高中数列专题求和方法
专题：数列及其数列求和一、数列求和的常用方法：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n 项和 等差数列：2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=； 等比数列：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==11)1(111q q q a q na S n n ； (2)分组求和：如：求1+1,41+a ,712+a ,…,2311-+-n an ,…的前n 项和 可进行分组即：2374111111132-+++++++++-n a a a a n 前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和 （注：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=+=12)13(12)13(a n n a n n S n ）(3)裂项法：如)2(1+=n n a n ，求S n ，常用的裂项111)1(1+-=+n n n n ，)211(21)2(1+-=+n n n n ；])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n (4)错位相减法：其特点是c n =a n b n 其中{a n }是等差，{b n }是等比 如：求和S n =1+3x+5x 2+7x 3+……+(2n －1)x n －1 注意讨论x ， ⎪⎩⎪⎨⎧≠-+++--==+1)1()1()12()12(1212x x x x n x n x n S n n n (5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。
如求证：C n 0+3C n 1+5C n 2+… +(2n —1) C n n =(n+1)2n ►名题归类例释错位相减法：例1 n n 2n 164834221S +⋯⋯++++=求和 例2 求数例1，3a ，5a 2，7a 3，…(2n－1)a n-1，…(a≠1)的前n 项和．解：因 S n =1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n-1， (1)(1)×a 得aS n =a ＋3a 2＋5a 3＋…(2n－3)a n-1＋(2n －1)a n ，（2）两式相减得(1－a)S n =1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n-1－(2n －1)a n=2(1＋a ＋a 2＋a 3＋…＋a n-1)－(2n －1)a n -1=1)12(1)112-----⋅n n a n aa （ 所以:a a n a a S n n n -+----=11)12()1()1(22例3．已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列； （Ⅱ）数列{}nn a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ） 121n n n a a a +=+， ∴ 111111222n n n na a a a ++==+⋅， ∴ 11111(1)2n na a +-=- 又123a =，∴11112a -=， ∴数列1{1}n a -是以12为首项，12为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112n n a =+，∴2n n n n n a =+． 设23123222n T =+++ (2)n n +， ① 则23112222n T =++…1122n n n n +-++，② 由①-②得 2111222n T =++…11111(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---， ∴11222n n n n T -=--．又123+++…(1)2n n n ++=． ∴数列{}n n a 的前n 项和 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+==． 例4：已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+ a 2+ a 3=12，令b n = a n x n (x ∈R)，求数列{b n }的前n 项和公式。
高三数学数列求和练习题
高三数学数列求和练习题假设有一位名叫小明的高三学生，他正在备战数学考试。
最近，他对数列的求和问题感到十分困惑，因此他向老师请教，老师给了他以下一些练习题。
下面，我们来一起解决这些题目，帮助小明理解数列求和的方法。
练习题一：等差数列求和已知等差数列的首项为a₁，公差为d，请计算这个等差数列的前n 项和Sn。
1. a₁ = 3，d = 2，n = 102. a₁ = -2，d = 4，n = 153. a₁ = 0，d = -3，n = 8解答：对于等差数列来说，可以使用求和公式Sn = n(a₁ + an)/2来计算前n项和。
其中，an表示等差数列的第n项。
1. a₁ = 3，d = 2，n = 10根据公式，代入数据计算得到：Sn = 10(3 + a₁ + 2(n-1))/2= 10(3 + 3 + 2(10-1))/2= 10(6 + 18)/2= 10(24)/2= 1202. a₁ = -2，d = 4，n = 15代入数据计算得到：Sn = 15(-2 + a₁ + 4(15-1))/2= 15(-2 + -2 + 4(14))/2= 15(-4 + 56)/2= 15(52)/2= 3903. a₁ = 0，d = -3，n = 8代入数据计算得到：Sn = 8(0 + a₁ + -3(8-1))/2= 8(0 + 0 + -3(7))/2= 8(0 - 21)/2= 8(-21)/2= -84练习题二：等比数列求和已知等比数列的首项为a₁，公比为q，请计算这个等比数列的前n 项和Sn。
2. a₁ = 4，q = -2，n = 63. a₁ = -6，q = 0.5，n = 7解答：对于等比数列来说，可以使用求和公式Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)来计算前n项和。
1. a₁ = 2，q = 3，n = 5根据公式，代入数据计算得到：Sn = 2(1 - 3^5)/(1 - 3)= 2(1 - 243)/(-2)= 2(-242)/(-2)= 2422. a₁ = 4，q = -2，n = 6代入数据计算得到：Sn = 4(1 - (-2)^6)/(1 - (-2))= 4(1 - 64)/3= 4(-63)/3= -84代入数据计算得到：Sn = -6(1 - 0.5^7)/(1 - 0.5)= -6(1 - 0.0078125)/0.5= -6(0.9921875)/0.5= -11.859375通过解答以上练习题，我们可以得出结论：数列求和可以通过特定的公式来计算，对于等差数列可以使用Sn = n(a₁ + an)/2，对于等比数列可以使用Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)。
高考数学复习专题-数列求和
知识讲解
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1.基本数列的求和方法
(Ⅰ)等差等比数列的求和公式
2.非基本数列的求和方法
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例题讲解
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应用练习
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例题讲解
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思考具有什么特点的数列适合用错位相减法求和?
解题心得1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn} 的前n项和时,可采用错位相减法求和,解题思路是:和式两边先同乘等比数列{bn} 的公比,再作差求解.
2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便 下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
应用练习
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对点训练2
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例题讲解
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应用练习
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对点训练2
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对点训练3
例题讲解
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应用练习
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原题证明
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Hale Waihona Puke 课堂总结-37--38-
数列求和
确认预判
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课堂目标
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1.理解数列的前n项和； 2.掌握基本数列的求和方法，使用已知求和公式求和的方法, 即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法； 3.掌握非基本数列求和常用方法，如：倒序相加法、分组求 和法、裂项相消法以及错位相减法;
高中数列求和题型归纳总结
高中数列求和题型归纳总结在高中数学学习中，数列求和是一个重要的考点。
学生们需要熟练掌握不同类型的数列求和题目，并能灵活运用各种求和公式和技巧。
下面，我将对高中数列求和题型进行归纳总结，以便同学们更好地理解和应用。
一、等差数列求和等差数列是指数列中每个相邻的两项之间的差恒定的数列。
对于等差数列，我们可以使用以下公式来求和：1. 如果已知等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，则该等差数列的前n项和Sn为：Sn = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)2. 若已知等差数列的首项为a₁，末项为an，项数为n，则该等差数列的前n项和Sn为：Sn = n/2 * (a₁ + an)二、等比数列求和等比数列是指数列中每个相邻的两项之间的比恒定的数列。
对于等比数列，我们可以使用以下公式来求和：1. 如果已知等比数列的首项为a₁，公比为q（|q|<1），项数为n，则该等比数列的前n项和Sn为：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)2. 如果已知等比数列的首项为a₁，末项为an，项数为n，则该等比数列的前n项和Sn为：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)三、特殊数列求和除了等差数列和等比数列，还有一些特殊的数列求和方法，我们来看两个常见的例子。
1. 平方和求和：求1² + 2² + 3² + ... + n²的和，可以使用以下公式进行求解： Sn = n * (n + 1) * (2n + 1) / 62. 立方和求和：求1³ + 2³ + 3³ + ... + n³的和，可以使用以下公式进行求解： Sn = [n * (n + 1) / 2]^2四、应用题型除了基本的数列求和题型，我们还要学会将数列求和运用到实际问题中。
以下是一些常见的应用题型：1. 排球比赛：有一支排球队，第一天进行了一场比赛，第二天进行了两场比赛，第三天进行了三场比赛，以此类推，第n天进行了n场比赛。
高三数学寒假作业专题09数列中求和问题(背)
高三数学寒假作业专题09
数列中求和问题（背）
1.公式法和分组求和法
(1)公式法
直接利用等差数列，等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式：
1
1
()1
(1)
22
n
n
n a a
S na n n d
+
==+-
②等比数列的前n项和公式：
1
11
,1
(1)
,1 11
n
n n
na q
S a a q a q
q
q q
=
⎧
⎪
=--
⎨
=≠⎪--
⎩
分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或渴求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
倒序相加法与并向求合法
3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前==项和即可用此法来求，如等比数列的前==项和公式就是用此法推导的.
三个公式
（1）
111 (1)1 n n n n
=-
++
（2）
1111
() (21)(21)22121 n n n n
=-
-+-+
（3）
1
1
1
n n n n
=+-
++。
高中数学高考题型数列求和题目以及答案
高中数学高考题型数列求和题目以及答案1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2. 推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．方法一 分组转化法求和1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． [解题技法]1．分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和．2．分组转化法求和的常见类型[题组训练]2.．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －⎝⎛⎭⎫12n，则其前20项和为( ) A ．379＋1220B ．399＋1220C ．419＋1220D ．439＋12203．(2019·资阳诊断)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A ．1 121B ．1 122C ．1 123D ．1 124方法二 裂项相消法求和考法(一) 形如a n ＝1n (n ＋k )型4.(2019·南宁摸底联考)已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26. (1)求等差数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和T n . 考法(二) 形如a n ＝1n ＋k ＋n型5.已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 019＝( )A. 2 018－1B. 2 019－1C. 2 020－1D. 2 020＋1 [解题技法]1．用裂项法求和的裂项原则及消项规律哪些项，避免遗漏．2．常见的拆项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(4)2n (2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1. [题组训练]6.在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝6，a 11＝8，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3·a n ＋4的前n 项和为( ) A.n ＋1n ＋2 B.n n ＋2C.n n ＋1D.2n n ＋17.各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝8，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1n log 2a n，求{b n }的前n 项和S n .方法三 错位相减法求和8.(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .[变透练清]9.(变结论)若本例中a n ，b n 不变，求数列{a n b n }的前n 项和T n .10．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)． [解题技法] 错位相减法求和的4个步骤[易误提醒](1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q ＝1和q ≠1两种情况求解．[课时跟踪检测]1．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n －1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝( )A ．80B ．81C ．79D ．822．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－153．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.1584．在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 7＝11.设b n ＝(－1)n ·a n ，则数列{b n }的前100项之和S 100＝( )A ．－200B ．－100C ．200D ．1005．已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A ．1 026B ．1 025C ．1 024D ．1 0236．已知数列：112，214，318，…，⎝⎛⎭⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________． 7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝________.8．(2019·成都第一次诊断性检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝3，S 4＝16，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 9．(2018·南昌摸底调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，记b n ＝a n S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n .参考答案：1.[解](1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n2－(n－1)2＋(n－1)2＝n.又a1＝1也满足a n＝n，故数列{a n}的通项公式为a n＝n.(2)由(1)知a n＝n，故b n＝2n＋(－1)n n.记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝2(1－22n)1－2＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{b n}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.2.解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝2(1＋2＋3＋…＋20)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋1220＝420－⎝⎛⎭⎫1－1220＝419＋1220. 3.解析：选C 由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×(1－210)1－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.选C.4.[解] (1)设等差数列的公差为d ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)因为c n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)， 所以c n ＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝⎛⎭⎫13－12n ＋3＝n 6n ＋9. 5.[解析] 由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12. ∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 019－2 018)＋( 2 020－ 2 019)＝ 2 020－1. 6.解析：选C 因为a 3＋a 5＋a 7＝6， 所以3a 5＝6，a 5＝2，又a 11＝8， 所以等差数列{a n }的公差d ＝a 11－a 511－5＝1， 所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝n －3， 所以1a n ＋3·a n ＋4＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3·a n ＋4的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故选C.7.解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)． ∵2a 1，a 3,3a 2成等差数列，∴2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q ，∴2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12(舍去)，∴a n ＝8×2n －1＝2n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝1n log 22n ＋2＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 8.[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n . (2)由题意知， S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n. 9.解：由本例解析知a n ＝2n ，b n ＝2n ＋1，故T n ＝3×21＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n ， 2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n ＋1)×2n ＋1，上述两式相减，得，－T n ＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)2n ＋1 ＝6＋8(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)2n ＋1＝(1－2n )2n ＋1－2 得T n ＝(2n －1)×2n ＋1＋2.10.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8. ① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16. ② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，有 T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1， 上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋1 ＝12×(1－2n )1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16， 得T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16. 练习：1.解析：选B a n ＝1n ＋n －1＝n －n －1，故S n ＝n ，令S k ＝k ＝9，解得k ＝81，故选B.2.解析：选A a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝5×3＝15，故选A.3.解析：选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 4.解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝5，a 1＋6d ＝11⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2⇒a n＝2n －3⇒b n ＝(－1)n (2n －3)⇒S 100＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a 99＋a 100)＝50×2＝100，故选D.5.解析：选C ∵2n ＋12n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n， ∴T n ＝n ＋1－12n ，∴T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210， 又m >T 10＋1 013， ∴整数m 的最小值为1 024. 6.解析：设所求的前n 项和为S n ，则S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2－12n ＋1. 7.解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，② 由①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－21 0091－2＋2(1－21 009)1－2＝3·21 009－3.8.解：(1)设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＝3，S 4＝16， ∴a 1＋d ＝3,4a 1＋6d ＝16， 解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1. (2)由题意知，b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1. 9.解：(1)∵S n ＝2n ＋1－2，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－2＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n . 又a 1＝2＝21，∴a n ＝2n .(2)由(1)知，b n ＝a n S n ＝2·4n －2n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2(41＋42＋43＋…＋4n )－(22＋23＋…＋2n ＋1)＝2×4(1－4n )1－4－4(1－2n )1－2＝23·4n ＋1－2n ＋2＋43.。
(完整版)数列中分正负项求和问题
(完整版)数列中分正负项求和问题
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简介
本文旨在解答数列中分正负项求和的问题。
我们将提供的策略和方法帮助您理解和解决相关的数学问题。
问题描述
给定一个数列，我们需要求解该数列中正项与负项的和。
即，我们需要将所有正数项相加，并减去所有负数项的总和。
解决方法
以下是一种简单且常用的解决方法：
1. 遍历给定的数列，逐个检查每个数值。
2. 如果数值大于等于零，则将其加入正项总和。
3. 如果数值小于零，则将其加入负项总和。
4. 最后，将正项总和减去负项总和，即可得到正项与负项的差值。
示例
让我们通过以下示例来演示以上的解决方法：
给定数列：1, -2, 3, -4, 5
1. 正项总和：1 + 3 + 5 = 9
2. 负项总和：-2 + -4 = -6
3. 正项与负项的差值：9 - (-6) = 15
因此，给定数列中正项与负项的和为15。
结论
通过以上解决方法，我们可以很容易地求解数列中正项与负项的和。
请注意，该方法适用于任意长度的数列，可以帮助您解决各种相关问题。
如果您有其他数学问题或需要进一步的解释，请与我们联系。
我们将很乐意为您提供帮助。
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高中数学数列求和方法汇总及练习(共12页)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1客观题中的数列求和【原题】某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸,对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯,20dm 6dm ⨯两种规格的图形,它们的面积之和21240dm S =,对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯,10dm 6dm ⨯,20dm 3dm ⨯三种规格的图形,它们的面积之和22180dm S =,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次,那么1nkk S==∑______2dm .【答案】(1).5(2).()41537202n n -+-【解析】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯,10dm 6dm ⨯,20dm 3dm ⨯三种规格的图形,所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；,共4种不同规格（单位2dm )；故对折4次可得到如下规格：5124⨯,562⨯,53⨯,3102⨯,3204⨯,共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形,不论规格如何,其面积成公比为12的等比数列,首项为120()2 dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭,对于第n 此对折后的图形的规格形状种数,根据（1）的过程和结论,猜想为1n +种（证明从略）,故得猜想1120(1)2n n n S -+=,设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑L ,则121112021203120120(1)22222n n n n S -⨯⨯+=++++ ,两式作差得：()211201111124012022222n n n S -+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ()11601120122401212n nn -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--()()112011203120360360222n n n n n -++=--=-,因此,()()4240315372072022n n n n S -++=-=-.故答案为：5；()41537202n n -+-.【就题论题】本题以我国传统文化剪纸艺术为背景,让考生体验探索数学问题的过程.该题有几点创新,一是背景新颖,能有效考查考生灵活运用数学知识分析问题的能力,二是高考首次在客观题中考查错位相减法求和,三是为让部分学生得部分分,设置了两空,这是自2019年全国卷首次设置双空题后,时隔两年再次设置双空题.【命题意图】本题以剪纸艺术为背景考查数列求和,考查逻辑推理与数学建模的核心素养.【考情分析】客观题中的数列求和是高考热点与难点，难度一般为中等或中等以上.【得分秘籍】(1)数列求和的常用方法①分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．②拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.③错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．错位相减法求和时的注意点:要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形．在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．④倒序相加：把数列分别正着写和倒着写再相加，例如，等差数列前n 项和公式的推导．⑤并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021广东省东莞市高三5月质量检测）在数列{}n a 中，112a =且()12n n n a na ++=，则它的前30项和30S =（）A ．3031B ．2930C ．2829D ．1929【答案】A【解析】()12n n n a na ++= ，12n n a na n +∴=+，()3211211121111234111n n n a a a n a a a a a n n n n n --∴=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==-+++ ，因此，3011111301223303131S =-+-++-= .故选A.2．（2021河北省石家庄市高三下学期质检）已知数列{}n a 的通项公式为sin 3n n a n π=，则1232021a a a a ++++= （）A．B．CD．-【答案】D【解析】由题意，数列{}n a 的通项公式为sin3n n a n π=，且函数sin 3n y π=的周期为6n ，所以616266(61)(62)(61)sin(62)sin 33n n n n n a a a n n ππ++++++++=+⋅++⋅+ (66)(66)sin 3n n π+++⋅2(61)sin (62)sin 33n n ππ=+⋅++⋅+ 6(66)sin3n π++⋅(61)(62)(63)0(64)()(65)((66)02222n n n n n n =+⋅++⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅=-，又因为20216336563371=⨯+=⨯-，所以12320216337(a a a a a ++++=⨯--=- 故选D.3．（2021湖北省鄂东南省级示范高中高三联考）已知数列{}n a 满足()*1111,(1)(2)n n n n a a a a a n N n n ++=-=∈++，则n na 的最小值是（）A ．25B ．34C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为()*11(1)n n n n a a a a n N n n ++-=∈+，所以()11(1)212111n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++，则11221111111111n n n n n a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112311111111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-11311(2)2122n n n n +=-+=≥++，当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，22231n n n n n a ++=，设22231n n nn b ++=，则()()()()()222121212261040311313431n n n n n n n n n n n n b b +++++++=>++-++=+-，故数列{}n b 是单调递增数列，则当1n =时，n b 即n na 的最小值为1.故选C.4．（2021江苏省盐城市高三联考）已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（）A ．376B ．382C ．749D ．766【答案】C【解析】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q =，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-= 23632n -+++⨯ 1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯-- 83219749=⨯-=故选C5．（2021山东省泰安市高三四模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为13，0n a >，122391011112a a a a a a +++= ，当10n S n+取最小值时，n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】12239101223910111111111111113332a a a a a a a a a a a a a a ⎤⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-=⎥⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得2113180a a +-=，解得13a =或16a =-（舍去），即2(1)1173236n n n n n S n -+=+⨯=，则21017601601766n S n n n n n n +++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭．当7n ≤时，数列单调递减，当8n ≥时，数列单调递增，当7n =时，10387n S n +=，当8n =时，106512n S n +=，故当8n =时，10n S n+取最小值．故选B ．二、多选题6．（2021广东省珠海市高三二模）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段AB 上取两个点C 、D ，使得14AC DB AB ==，以CD 为边在线段AB 的上方做一个正方形，然后擦掉CD ，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段EF 作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图n ，各图中的线段长度和为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．数列{}n a 是等比数列B ．106657256S =C ．3n a <恒成立D ．存在正数m ，使得n S m <恒成立【答案】BC【解析】由题意可得11a =，21122a a =+⨯，322122a a =+⨯，以此类推可得1122n n n a a +=+⨯，则122n n n a a +-=，所以，()()()1213211212221222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++ 121112131212n n ---=+=--，所以，数列{}n a 不是等比数列，A 选项错误；对于B 选项，10108121166572310261225612S ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯-=+=-，B 选项正确；对于C 选项，21332n n a -=-<恒成立，C 选项正确；对于D 选项，21302n n a -=-> 恒成立，则数列{}n S 单调递增，所以，数列{}n S 无最大值，因此，不存在正数m ，使得n S m <，D 选项错误.故选BC.7.（2021河北省衡水中学高三下学期三调）已知数列{}n a 满足()()1211n n n n a a n +++=⋅-，其前n 项和为n S ，且20191009m S +=-，则下列说法正确的是（）A ．m 为定值B ．1m a +为定值C ．20191S a -为定值D ．1ma 有最大值【答案】BCD【解析】当()2n k k N*=∈，由已知条件可得()()2122121k k kk aa k +++=⋅-，所以，()()()201912320191234520182019S a a a a a a a a a a a =++++=+++++++ 11124682018250420181010a a a =-+-+--=+⨯-=- ，则201911010S a -=-，所以，2019110101009m S m a +=+-=-，11m a ∴+=，由基本不等式可得211124m a ma +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当112m a ==时，等号成立，此时1ma 取得最大值14.故选BCD.8．（2021江苏省南通学科基地高三高考数学全真模拟）在数列{}n a 中，若13nn n a a ++=，则称{}n a 为“和等比数列”．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（）A ．20202020314a -=B ．20212020314a -=C ．20222021318S -=D ．20232021318S -=【答案】AC【解析】因为13nn n a a ++=，所以1123n n n a a ++++=，两式相减得223nn n a a +-=⨯，所以()202020202018a a a =-()()()20202420182018201642231233324a a a a a -+-++-+=⨯++++= ，故A正确，B 错误.()()()()2022242020202112345202020213113338S a a a a a a a -=+++++++=++++= ，故C 正确.D 错误.故选AC ．三、填空题9．（2021福建省厦门高三5月高考适应性考试）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.32=，[]1.52-=-.在数列{}n a 中，[lg ]n a n =，n ∈+N .记nT 为数列{}n a 的前n 项和，则2021T =___________.【答案】4956【解析】当19n ≤≤时，[]lg 0n a n ==；当1099n ≤≤时，[]lg 1n a n ==，此区间所有项的和为90.当100999n ≤≤时，[]lg 2n a n ==，此区间所有项的和为90021800⨯=.当10002021n ≤≤时，[]lg 3n a n ==，此区间所有项的和为102233066⨯=.所以202190180030664956T =++=.10．（2021广东省揭阳市高三下学期教学质量测试）已知数列{}n a 满足：()21cos 3n n a π-=，则{}n a 的前100项和为________________.【答案】1【解析】因为()21cos3n n a π-=，所以11a =，212a =-，312a =-，41a =，512a =-，612a =-，……可知数列{}n a 是以3为周期的周期数列，且1230a a a ++=，所以100123456979899100S a a a a a a a a a a =++++++++++ ()()()123456979899100a a a a a a a a a a =++++++++++ 10011a a ===11．（2021湖南省衡阳市高三1月月考）已知数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n +=∈N ，nS为数列{}n a 的前n 项和，则2022S =______．【答案】1011323⨯-【解析】∵11a =，12nn n a a +=，令1n =，122a a =所以22a =，当2n ≥时112n n n a a --=，∴112n n a a +-=，∴数列{}n a 的奇数项成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项成以2为首项，2为公比的等比数列．则()1011201011101122212123231212S--=+=⨯---．12．（2021河北省高三联考）已知数列{}n a 满足12a =，()111n n n a a n +++-=，{}n a 的前n 项和为n S ，则61S =______.【答案】962【解析】由题知，当n 为正奇数时，1n n a a n ++=，于是121a a +=,343a a +=，565a a +=， ，596059a a +=，所以606030135599002S ⨯=++++== .又因为当n 为正偶数时，1n n n a a +-=，且11n n a a n -+=-，所以两式相加可得1121n n a a n +-+=-，于是3123n n a a n +++=+，两式相减得314n n a a +--=.所以611154215462a a =+⨯=+⨯=，故6190062962S =+=.13．（2021湖北省黄冈市高三下学期5月适应性考试）将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）．已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S ．给出下列结论：①3m =；②767173a =⨯；③()1313j ij a i -=-⨯；④()()131314n S n n =+-．其中结论正确的是______．（填写所有正确答案的序号）【答案】①③④【解析】∵112a =，13611a a =+，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），①正确；∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，③正确；当6,7i j ==时，()767163613173a -=⨯-⨯=⨯，②不正确；∴()1313i ii a i -=-⋅，()()()111212122212............n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++()()()11211131313131313nnnn a a a ---=+++--- ()()231131.22nn n+-=-()1=(31)314n n n +-，④正确；故答案为:①③④.14．（2021江苏省徐州市高三下学期5月四模）若数列{}n a 对任意正整数n ，有n m n a a q +=(其中*m N ∈，q 为常数，0q ≠且1q ≠)，则称数列{}n a 是以m 为周期，以q 为周期公比的类周期性等比数列.已知类周期性等比数列{}n b 的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列{}n b 前21项的和为_______.【答案】1090【解析】由题意可知，4m =，3q =，且43n n a a +=，所以()21159131721S a a a a a a =++++++()()()()()652610141837111519481216201131131313a a a a a a a a a a a a a a a ⋅-⋅-++++++++++++++=+--()()5521313336412124236310901313⋅-⋅-=+=+++=--．15．（2021湖南省邵阳市高三月考）定义函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]1.31=，[]1.52-=-，[]22=，当[)*0,N x n n ∈∈时，()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则234202*********a a a a ++++---- 的值为______.【答案】40402021【解析】根据题意得：[][)[)[)[)[)[)0,0,11,1,22,2,33,3,44,4,51,1,x x x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪∈⎪=∈⎨⎪∈⎪⎪⎪-∈-⎩ ，进而得[][)[)[)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,33,3,44,4,51,1,x x x x x x x x x x x n x x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪∈⎪=∈⎨⎪∈⎪⎪⎪-∈-⎩ ，所以[]x x ⎡⎤⎣⎦在各区间中的元素个数为：1,1,2,3,4,,1n - ，所以当[)*0,N x n n ∈∈时，()f x 的值域为n A ，集合n A 中元素的个数为n a 满足：()()()21112112341122n n n n n a n -+-⎡⎤-+⎣⎦=++++++-=+= ，所以()112n n n a --=所以()12112111n a n n n n ⎛⎫==- ⎪---⎝⎭，所以234202*********a a a a ++++----1111111404022112232020202120212021⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= .16．（2021百师联盟高三5月冲刺卷）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足11S =，12n n n S S n ++=，其中n +∈N ，数列{}n b 的前n 项和为nT ，满足()()()142121n n n a b n n -⋅=-+，则20211T +=___________.【答案】14043-【解析】由题意12n n n S S n ++=，即111n n S n S n -+=-，累乘得()1121211143123212n n n n n n S n n n S n S n S S n S ---++-⋅=⋅⋅=---L L ，可知()12n n n S +=，2n ≥，当1n =时，11S =，所以()12n n n S +=，又2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，且当1n =时成立，从而有n a n =，故()()()()()()11411111212121212121n n n n n n b n n n n n n +-⋅--⎛⎫==-⋅+=- ⎪-+-+-+⎝⎭，所以()11121n n T n +-=--+，故2021114043T +=-.故答案为14043-17．（2021福建省厦门高三月考）已知正项等比数列{}n a 中，426a a -=，5115a a -=，则n a =__________，又数列{}n b 满足112b =，111n n b b +=-；若n S 为数列{}n n a b +的前n 项和，那么3n S =__________.【答案】12n -33212n n +-【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，则3421145111615a a a q a q a a a q a ⎧-=-=⎨-=-=⎩，解得：11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍）或112a q =⎧⎨=⎩，1112n n n a a q --∴==；112b = ，111n n b b +=-，22b ∴=，31b =-，412b =，52b =，……，则数列{}n b 是以3为周期的周期数列，{}n b ∴的前3n 项和()312332n n T n b b b =++=，又{}n a 的前3n 项和333122112nn n R -==--，∴33333212n n n n n S T R =+=+-.。
数列求和知识点和典型例题
数列求和知识点和典型例题数列求和是高中数学中的一个重要知识点，也是各种数学应用问题中常见的计算方法。
本文将介绍数列求和的基本概念、公式及典型例题，希望能帮助读者深入理解数列求和的应用和解题方法。
首先，数列求和是指将数列中的所有数相加得到的和。
数列可以是等差数列、等比数列或其他形式的数列，但求和的方法是相似的。
对于等差数列，求和公式为 S_n = n(a_1 + a_n)/2，其中 S_n 为数列前 n 项和，a_1 为首项，a_n 为第 n 项；对于等比数列，求和公式为 S_n = a_1 (1 - q^n)/(1 - q)，其中 q 为公比。
其次，数列求和的应用十分广泛，涵盖了数学、物理、化学等多个领域。
例如，在物理学中，我们可以利用数列求和的方法计算复杂的动力学问题；在金融学中，数列求和也被广泛应用于计算利润、税收等问题。
最后，下面列举几个典型的数列求和例题：1. 求等差数列 2, 5, 8, ... 的前 10 项和。
解析：首项为 2，公差为 3，代入公式 S_n = n(a_1 + a_n)/2，得到 S_10 = 10(2 + 28)/2 = 150。
2. 求等比数列 3, 6, 12, ... 的前 5 项和。
解析：首项为 3，公比为 2，代入公式 S_n = a_1 (1 - q^n)/(1 - q)，得到 S_5 = 3(1 - 2^5)/(1 - 2) = 93。
3. 求等差数列 1, 4, 7, ... 的前 20 项和。
解析：首项为 1，公差为 3，代入公式 S_n = n(a_1 + a_n)/2，得到 S_20 = 20(1 + 58)/2 = 590。
通过以上例题和解析，我们可以看到数列求和的方法与公式的应用，以及在实际问题中的应用。
希望本文能够帮助读者更好地掌握数列求和的知识点。
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（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业专题09 数列中求和问题（背）
1.公式法和分组求和法
(1)公式法
直接利用等差数列，等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式：
1
1
()1
(1)
22
n
n
n a a
S na n n d
+
==+-
②等比数列的前n项和公式：
1
11
,1
(1)
,1
11
n
n n
na q
S a a q a q
q
q q
=
⎧
⎪
=--
⎨
=≠
⎪--
⎩
分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或渴求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
倒序相加法与并向求合法
3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前==项和即可用此法来求，如等比数列的前==项和公式就是用此法推导的.
三个公式
（1）
111
(1)1
n n n n
=-
++
（2）
1111
() (21)(21)22121 n n n n
=-
-+-+
（3
1
1
n n n n
=+
++。