2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2..8函数的图象

2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.8函数的图象

一、作函数的图象

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(1>直接法：当函数表达式(或变形后的表达式>是熟悉的函数或解读几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分>时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出.gcbjQWrfHm

(2>图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解读式的影响.gcbjQWrfHm

(3>描点法：当函数的表达式不适合用以上两种方法时，则可采用描点法，其一般步骤为：

第一步：确定函数的定义域以限制图象的范围.

第二步：化简函数表达式.

第三步：讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等>.

第四步：列表(尤其注意特殊点，如：零点、最高点、最低点及与坐标轴的交点>.

第五步：描点、连线.

注：当函数表达式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状.gcbjQWrfHm

2、例题解读

【例1】作出下列函数的图象

(1>y=elnx;

(2>y=|log2(x+1>|;

(3>y=a|x|(0;

(4>

(5>

【方法诠释】对于(1>先求定义域，化简解读式，用直接法画图象；对于(2>、(3>和(4>可通过图象变换画出图象；对于(5>可借助于导数用描点法作出其大致图象.gcbjQWrfHm

解读：(1>∵函数的定义域为{x|x>0}且y=elnx=x(x>0>，∴其图象如图(1>.

(2>将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1>|的图象，如图(2>.gcbjQWrfHm

(3>方法一：

所以只需作出函数y=ax(0中x≥0的图象和中x<0的图象，合起来即得函数y=a|x|的图象.如图(3>.gcbjQWrfHm

方法二：作出y=ax(0的图象，去掉y轴左边图象，保留y轴右边图象，并作关于y轴对称的图象，即得y=a|x|的图象，如图(3>.gcbjQWrfHm

(4>故函数图象可由图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4>.

(5>

令y′=0,得x1=-1，x2=3，

令y′>0，得单调增区间为(-∞,-1>和(3,+∞>.令y′<0,得单调减区间为(-1，3>，所以函数在x1=-1,x2=3处取得极值分别为和-9，由此可得其图象大致如图(5>.gcbjQWrfHm

注：要准确作出函数的大致图象，需做到：

(1>熟练掌握六类基本初等函数的图象；

(2>掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧.[

二、识图与辨图

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<一>知图选式的方法

(1>从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；

(2>从图象的变化趋势，观察函数的单调性；

(3>从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；

(4>从图象的循环往复，观察函数的周期性.

利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.

<二>知式选图的方法：

(1>从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置；

(2>从函数的单调性(有时可借助导数判断>，判断图象的变化趋势；

(3>从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4>从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5>从函数的极值点判断函数图象的拐点.

利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.

注：注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口．

2、例题解读

【例1】(1>(2018·南阳模拟>函数y=x+cosx的大致图象是( >

(2>定义在R上的偶函数f(x>的部分图象如图所示，则在(-2，0>上，下列函数中与f(x>的单调性不同的是( >gcbjQWrfHm

【方法诠释】(1>对函数求导，利用排除法求解.(2>由f(x>的奇偶性作出其在(-2，0>上的图象.由图象判断其单调性，再逐个验证选项中函数在(-2，0>上的单调性是否与f(x>在(-2，0>上的单调性不同，从而作出判断.gcbjQWrfHm

解读：(1>选. 由y=x+cosx,得y′=1-sinx,令y′=0,得sinx=1，

即函数y=x+cosx有无穷多个极值点，从而排除选项，又

x=0时，y=1,即图象应过(0，1>点，再排除，比较、与y轴交点纵坐标与

的大小知应选.gcbjQWrfHm

(2>选.由奇偶性知函数f(x>在(-2，0>上的图象如图所示：

则知f(x>在(-2，0>上为单调减函数，而y=x2+1,y=|x|+1和作出其图象知在(-2，0>上均为减函数.又y=x3+1,x<0时，y′=3x2>0，gcbjQWrfHm

故y=x3+1在(-2，0>上为增函数，与f(x>的单调性不同，故选.

注：识图与辨图是一个比较综合的问题.解答该类问题的关键是要充分从解读式与图象中发现有价值的信息，最终使二者相吻合.gcbjQWrfHm

三、函数图象的应用

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<1）利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域>、零点>常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.gcbjQWrfHm

<2）利用函数的图象研究方程根的个数

当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x>=0的根就是函数f(x>图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x>=g(x>的根就是函数f(x>与g(x>图象的交点的横坐标.gcbjQWrfHm

<3）利用函数的图象研究不等式