高斯定理

限远处），无电荷处不中断。
2.任何两条电场线不会相交。 3.电场线不能形成闭合曲线。
二.电通量
在电场中穿过任意曲面S 的电场线条数称为穿
过该面的电通量（
1. 均匀场中 dN
E dS
）e。
E
n
de EdS
dS
dS
定义 dSEddSsncos
de E dS
2. 非均匀场中
de E dS
求 均匀带电球体的电场强度分布
解 球外 (r R)
E
1
4 0
q r2
r0
30
R3 r2
r0
球内( r R )
r
++
R r' + +
E
dS
E
4r2
1 4 r3
1 q'
S
0 3
0
E r
E
3 0
O
r R 电场分布曲线
例3 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为+
求 距直线r 处一点P 的电场强度
q
+
r
=
e0
② 点电荷不在球心时
点电荷不在球心时，这一 结果仍是一样的，这由图 也可看出。
而且，电通量与所选取球 面半径无关，
③ q在曲面外时： +q
e e1 e2 0
S1
S2
S
④闭合面内为点电荷系的情况：
E E1 E2 En
e E dS (E1 E2 ... E5) dS
q3
q1
q2
E1 dS E2 dS ... E5 dS
q4
q5
q1 q2 q3
0 0 0
结论:
E
是所有电荷产生的，e
只与内部电荷有关。
关于高斯定理：
反映静电场的性质—— 有源场
1.当闭合曲面内净电荷为正时,ФE >0,表示有电场线从曲面内穿 出,正电荷称为静电场的源头;
解 电场分布具有轴对称性 过P点作一个以带电直线为轴，
dS
r
E
以l 为高的圆柱形闭合曲面S 作 P
l
为高斯面
E
dS
e
E dS S
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得
E 2r l 1 l
E
板外： e
E dS
S
S
侧 E dS 上底E dS 下底E dS
d
Sd
2ES
0
E外
d 2 0
板内：
e
E dS
S
x
同理可得 2ES S 2x S
x 0 E内 0
d
Ex x
O
例6、一均匀带电直线长为d，电荷线密度为＋λ， 以导线中点O为球心，R为半径(R＞d)作一球面，如
e
de
E dS
S
n
dS
EE
3.面元法向规定:
⑴非封闭曲面面法 向正向可任意取 ⑵封闭曲面指外法向。 en
en θ1 θ2
注意：
de E dS
en θ1 en θ2
电通量是标量但有正负，
0θ
θ
2
2
de 为正 de 为负
当电场线从闭合曲面内向外穿出时，电通量是正值
当电场线从闭合曲面外向内穿入时，电通量是负值
例1 均匀带电球面，总电量为Q，半径为R。求：
电场强度分布
解 对球面外一点P :
取过场点 P 的同心球面为高斯面
E dS EdS
E dS
E4r2
S
S
S
PE
+
dS
+ R r+
++ Q+
根据高斯定理
qi
E4r i
0
r R qi Q
i
qi
E
i
40r 2
E
Q
40r
2
例2 已知球体半径为R，带电量为q（电荷体密度为）
2.当闭合曲面内净电荷为负时,ФE<0,表示有电场线从曲面外穿
进,负电荷称为静电场的尾闾，当曲面内无净电荷时, ФE =0。 故静电场是有源场。
3.电通量只与闭合面内电荷有关，而闭合面上任一点电场是
面内、面外所有电荷所激发的总电场。
4.库仑定律把场强和电荷直接联系起来,在电荷分布已知的情况 下由库仑定律可以求出场强的分布。而高斯定律将场强的通量 和某一区域内的电荷联系在一起，在电场分布已知的情况下， 由高斯定律能够求出任意区域内的电荷。 6 库仑定律只适用于静电场,而高斯定律不但适用于静电场和静 止电荷,也适用于运动电荷和迅速变化的电磁场。
图所示，则通过该球面的电场强度通量为___________.
带电直线的延长线与球面交点P处的电场强度的大小
为：————，方向_________．
R
P
O
d
根据静电场的高斯定理
e
S
E dS
1
0
qi
S内
因此，通过球面的电通量为
e
d 0
在带电导线上取长度为dr，到p点的距离为r的电荷作为电荷元
四 高斯定理的应用
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性
应用高斯定律求解电场强度的一般步骤： 1、分析带电体的电荷分布和电场分布的特点，以 便依据其对称特点选取合适的闭合面（高斯面）。
2、闭合面（高斯面）选取类型：a、面上各点电场 强度与面垂直，大小处处相等；b、面上一部分各点 电场强度处处相等且与面垂直，另外部分电场强度 与面处处平行。
电通量 高斯定理 一、 电场线
电场线：为形象描述电场分布情况,用一些假想的有方向 的曲线——电场线代表场强度的大小和方向。
规定 :
B
A
⑴曲线上任一点的切线方向代表该点的场强方向;
⑵垂直通过某点单位面积上的电场线数目代表该点的 场强的大小。
dN E
dS
dS┻
由上面几种电荷的电场线分布可以看出： 1.起于正电荷（或无限远处），终于负电荷（或无
则
dE
4 0
dl r2
Rd / 2 dl
1
1
d 1
E
Rd / 2 4 0
r2
4 0
( Rd
/2
Rd
) /2
0
4R2
d2
E 0
20r
电场分布曲线
总结
O
r
用高斯定理求电场强度的步骤：
(1) 分析电荷对称性；
(2) 根据对称性取高斯面；
高斯面必须是闭合曲面
高斯面必须通过所求的点
高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算
(3) 根据高斯定理求电场强度。
例4已知无限大板电荷体密度为，厚度为d
求 电场场强分布
解 选取如图的圆柱面为高斯面
三、高斯定理:
1、高斯定理的内容 在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于
该曲面内电荷量代数和除以真空介电常数。
1
e
S
E dS
0
qi
S内
2、高e
E dS
S
S
1
4 0
q r3
r
dS
q
4 0 r
2
S
dS
dS E
q 4 r 2
q
4 0 r 2