初中数学竞赛指导：“平面几何”竞赛问题的简单剖析
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2 PO + P2O 2 = 2 1
P1
A
Q P
O
R P2
B
图1
则△PQR 的周长的最小值为 2 . [点评]
关于最小此处证略.
含 45°(或 135°ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角的三角形与直角(90°)或正方形之间存在着内在联系.我们要善于挖
掘题设中的隐含条件并及时总结； 两点之间线段最短是解决最小值类问题的重要基础依据之 一，对称变换是研究此类问题较常用的方法. [例 2] 一个六边形的六个内角都是 120°,连续四条边的边长 依次是 1、3、3、2，则该六边形的周长是多少?
D
1 1 1 + = AC AB BC 1 1 1 [点评] 形如 + = 这样的式子在转化为整式形式时变为:bc+ac=ab,其形式和托勒密定 a b c
理类似,通常可以试试托勒密定理,从而需要构建以 a、b、c、c 为边及 a、b 为对角线的圆内 接四边形.当然,这种形式的等式也可以采用其他证明方法,比如: 转化为线段的比例式
C
B
1 1 1 + = . AB AC BC
A
[证明] 作△ABC 的外接圆及弦 BD,使 BD=BC 则∠BAD=∠BAC,又∠CAB=∠CDB,∠BCD=∠CDB, ∠CAD=2∠CAB=∠CBA=∠ADC,∠ABD=∠ACD=∠ACB－∠DCB =∠ACB－∠CDB=∠ACB－∠CAB =3∠CAB=2∠CAB+∠CDB=∠CBA+∠CDB=∠ADC+∠CDB=∠ADB, ∴ 由 A、B、C、D 四点共圆以及托勒密定理得 BC· AD+BD· AC=AB· CD 即 即 BC· AB+BC· AC=AB· AC 图5
1 1 1 c c c b−c a+b b + = ⇔ + = 1(1) ⇔ = ( 2) ⇔ = (3) a b c a b a b a c
M1M4,M2M5,M3M6 相交于一点.
图4
- 2 -
[点评] “等底等高的两个三角形面积相等”、“三角形一边的中线平分这个三角形的面积”等 定理或者推论在面积割补内容中既是基本知识点,运用又相当广泛,在推理中要根据题目条件 恰当地加以运用,会比较轻松并有技巧地解决问题. [例 5] 已知：如图 5，在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4. 求证:
“平面几何” 平面几何”竞赛问题的简单剖析
平面几何是一门研究平面图形位置关系及相关性质的学科。初中重点学习的是推理几 何，是在学习知识的同时发展能力，是学习逻辑分析、论证的方法，促使学生逐渐具备可持 续发展的能力。 本文选取一些试题作剖析，内容涵盖初中几何的大部分知识点，侧重归纳解题方法、探 寻解题思想、 期望以点带面起到抛砖引玉之作用， 使大家能初步感受和把握初中数学竞赛试 题在几何层面命题的一些脉络。 [例 1] 如图 1，∠AOB=45°，角内有一点 P，PO=1，在角的两边上有两点 Q、R（均不同于 点 O），则△PQR 的周长的最小值为多少？ [略解] 如图 1，分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2， 连接 OP1、OP2、P1P2（P1P2 分别交 OA、OB 于点 Q、R）、P1P、P2P. 易证 P1O=P2O=PO=1,∠P1OP2=2×45°=90° 且 P1Q=PQ,P2R=PR , 则△PQR 的周长=P1P2 而在 Rt△P1OP2 中,显然 P1P2=
P H C
所以 BC=2 7 [点评] 在特殊图形中(如正三角形、正方形、圆)探讨问题时, 旋转是常用的方法之一.本题通过旋转后,巧妙地将三条长正好 为勾股数的一组边置于同一个三角形,从而使问题迎刃而解.
B
A
图3
[例 4] 已知六边形 ABCDEF 中，M1，M2，M3，M4，M5，M6 分别为 AB，BC，CD，DE， EF，FA 的中点.又 M1M4,M2M5,M3M6 都分别平分六边形 ABCDEF 面积.如图 4. 求证: M1M4,M2M5,M3M6 相交于一点. [证明] 设 M1M4,M2M5 相交于点 P,再连结 PM3,PM6,以及 PA,PB,PC,PD,PE,PF. 易知四边形 PABC 的面积=2×四边形 PM1BM2 的面积……① 四边形 PDEF 的面积=2×四边形 PM4EM5 的面积……② 因为 M1M4,M2M5 都平分六边形 ABCDEF 面积 所以五边形 M1M4DCB 的面积=五边形 M2M5EDC 的面积,除去公共部分五边形 M2PM4DC 的 面积, 可得四边形 PM1BM2 面积=四边形 PM4EM5 面积. 由①,②得 四边形 PABC 的面积=四边形 PDEF 的面积
B A P F
[略解] 如图 2，六边形 ABCDEF 的每个内角都为 120°， 且 AF=1，AB=BC=3，CD=2.
Q
E
如图 2 延长相应的边分别交于三个点 P、Q、R, 易证△PAF、△QBC、△RED、△PQR 均为等边三角形， 而 PQ=PA+AB+QB=AF+AB+BC=7， 所以 DE=DR=7－QC－CD=2，EF=7－PF－ER=4 则该六边形的周长为 15.
C
D
R
图2
- 1 -
[点评] 把一般性问题特殊化或者把特殊性问题一般化是解某些竞赛题的常用方法.本题是 抓住六边形的每个内家为 120°这个特性,将其转化为特殊三角形(等边三角形),从而使问题得 解. [例 3] 如图 3,P 是等边三角形 ABC 内的一个点,PA=2,PB=2 3 ,PC=4.求△ABC 的边长. [略解] 将△PAB 绕点 B 逆时针旋转 60°等到△HCB,再连接 HP,如图 3 易证△HPB 为等边三角形,则有 HP=BP=2 3 ,而 HC=PA=2,PC=4 所以 HC2+HP2=PC2 ,即△HCP 为 Rt△ 而 HC=2,PC=4,所以∠CPH=30°,则 ∠CPB=90°
M3 D M4 E
M5
注意到△CPM3 与△DPM3 等积, △CPM6 与△DPM6 等积 因此折线 M3PM6 平分六边形 ABCDEF 的面积,但直线段 M3M6 也平分六边形 ABCDEF 的面积,所以△M3PM6 的 面积为 0,即点 P 应在 M3M6 上.
B C
P F
M2
M6
M1
A
所以
P1
A
Q P
O
R P2
B
图1
则△PQR 的周长的最小值为 2 . [点评]
关于最小此处证略.
含 45°(或 135°ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角的三角形与直角(90°)或正方形之间存在着内在联系.我们要善于挖
掘题设中的隐含条件并及时总结； 两点之间线段最短是解决最小值类问题的重要基础依据之 一，对称变换是研究此类问题较常用的方法. [例 2] 一个六边形的六个内角都是 120°,连续四条边的边长 依次是 1、3、3、2，则该六边形的周长是多少?
D
1 1 1 + = AC AB BC 1 1 1 [点评] 形如 + = 这样的式子在转化为整式形式时变为:bc+ac=ab,其形式和托勒密定 a b c
理类似,通常可以试试托勒密定理,从而需要构建以 a、b、c、c 为边及 a、b 为对角线的圆内 接四边形.当然,这种形式的等式也可以采用其他证明方法,比如: 转化为线段的比例式
C
B
1 1 1 + = . AB AC BC
A
[证明] 作△ABC 的外接圆及弦 BD,使 BD=BC 则∠BAD=∠BAC,又∠CAB=∠CDB,∠BCD=∠CDB, ∠CAD=2∠CAB=∠CBA=∠ADC,∠ABD=∠ACD=∠ACB－∠DCB =∠ACB－∠CDB=∠ACB－∠CAB =3∠CAB=2∠CAB+∠CDB=∠CBA+∠CDB=∠ADC+∠CDB=∠ADB, ∴ 由 A、B、C、D 四点共圆以及托勒密定理得 BC· AD+BD· AC=AB· CD 即 即 BC· AB+BC· AC=AB· AC 图5
1 1 1 c c c b−c a+b b + = ⇔ + = 1(1) ⇔ = ( 2) ⇔ = (3) a b c a b a b a c
M1M4,M2M5,M3M6 相交于一点.
图4
- 2 -
[点评] “等底等高的两个三角形面积相等”、“三角形一边的中线平分这个三角形的面积”等 定理或者推论在面积割补内容中既是基本知识点,运用又相当广泛,在推理中要根据题目条件 恰当地加以运用,会比较轻松并有技巧地解决问题. [例 5] 已知：如图 5，在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4. 求证:
“平面几何” 平面几何”竞赛问题的简单剖析
平面几何是一门研究平面图形位置关系及相关性质的学科。初中重点学习的是推理几 何，是在学习知识的同时发展能力，是学习逻辑分析、论证的方法，促使学生逐渐具备可持 续发展的能力。 本文选取一些试题作剖析，内容涵盖初中几何的大部分知识点，侧重归纳解题方法、探 寻解题思想、 期望以点带面起到抛砖引玉之作用， 使大家能初步感受和把握初中数学竞赛试 题在几何层面命题的一些脉络。 [例 1] 如图 1，∠AOB=45°，角内有一点 P，PO=1，在角的两边上有两点 Q、R（均不同于 点 O），则△PQR 的周长的最小值为多少？ [略解] 如图 1，分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2， 连接 OP1、OP2、P1P2（P1P2 分别交 OA、OB 于点 Q、R）、P1P、P2P. 易证 P1O=P2O=PO=1,∠P1OP2=2×45°=90° 且 P1Q=PQ,P2R=PR , 则△PQR 的周长=P1P2 而在 Rt△P1OP2 中,显然 P1P2=
P H C
所以 BC=2 7 [点评] 在特殊图形中(如正三角形、正方形、圆)探讨问题时, 旋转是常用的方法之一.本题通过旋转后,巧妙地将三条长正好 为勾股数的一组边置于同一个三角形,从而使问题迎刃而解.
B
A
图3
[例 4] 已知六边形 ABCDEF 中，M1，M2，M3，M4，M5，M6 分别为 AB，BC，CD，DE， EF，FA 的中点.又 M1M4,M2M5,M3M6 都分别平分六边形 ABCDEF 面积.如图 4. 求证: M1M4,M2M5,M3M6 相交于一点. [证明] 设 M1M4,M2M5 相交于点 P,再连结 PM3,PM6,以及 PA,PB,PC,PD,PE,PF. 易知四边形 PABC 的面积=2×四边形 PM1BM2 的面积……① 四边形 PDEF 的面积=2×四边形 PM4EM5 的面积……② 因为 M1M4,M2M5 都平分六边形 ABCDEF 面积 所以五边形 M1M4DCB 的面积=五边形 M2M5EDC 的面积,除去公共部分五边形 M2PM4DC 的 面积, 可得四边形 PM1BM2 面积=四边形 PM4EM5 面积. 由①,②得 四边形 PABC 的面积=四边形 PDEF 的面积
B A P F
[略解] 如图 2，六边形 ABCDEF 的每个内角都为 120°， 且 AF=1，AB=BC=3，CD=2.
Q
E
如图 2 延长相应的边分别交于三个点 P、Q、R, 易证△PAF、△QBC、△RED、△PQR 均为等边三角形， 而 PQ=PA+AB+QB=AF+AB+BC=7， 所以 DE=DR=7－QC－CD=2，EF=7－PF－ER=4 则该六边形的周长为 15.
C
D
R
图2
- 1 -
[点评] 把一般性问题特殊化或者把特殊性问题一般化是解某些竞赛题的常用方法.本题是 抓住六边形的每个内家为 120°这个特性,将其转化为特殊三角形(等边三角形),从而使问题得 解. [例 3] 如图 3,P 是等边三角形 ABC 内的一个点,PA=2,PB=2 3 ,PC=4.求△ABC 的边长. [略解] 将△PAB 绕点 B 逆时针旋转 60°等到△HCB,再连接 HP,如图 3 易证△HPB 为等边三角形,则有 HP=BP=2 3 ,而 HC=PA=2,PC=4 所以 HC2+HP2=PC2 ,即△HCP 为 Rt△ 而 HC=2,PC=4,所以∠CPH=30°,则 ∠CPB=90°
M3 D M4 E
M5
注意到△CPM3 与△DPM3 等积, △CPM6 与△DPM6 等积 因此折线 M3PM6 平分六边形 ABCDEF 的面积,但直线段 M3M6 也平分六边形 ABCDEF 的面积,所以△M3PM6 的 面积为 0,即点 P 应在 M3M6 上.
B C
P F
M2
M6
M1
A
所以