2015高考数学优化指导第5章 第2节

λ e ＋ λ_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 1_ 2 e2
.
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
二 、 平 面 向 量 的 坐 标 表 示 1．向 量 的 夹 角 ( 1 ) 定 义 ： 如 图 ， 已 知 两 个 不 共 线 的 向 量 → OB＝b， 则 向 量 a与b的 夹 角 是 θ 或∠A O B . → a 和 b，作OA＝a，
2 ．解题时有时需利用不同的三角形表示两次后，再利 用相等向量解决系数问题．
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．( 2 0 1 4 · 中山模拟)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 → → → CD 和 BC 的中点，若AC＝λ AE＋μ AF，其中 λ，μ∈R，则 λ ＋μ＝________.
1 1 1 → → → → 解析：－4 MN＝MD＋DA＋AN＝－4a－b＋2a＝4a－b， 1 n ∴m＝4，n＝－1.∴m＝－4.
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
3．(2013· 陕 西 高 考 )已 知 向 量 ∥b, 则 实 数 m等 于( A． － 2 C． － 2或 2
(1)(2013· 北京高考)向量 a，b，c 在正方形网格中 λ 的位置如图所示，若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则 ＝________. μ
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
解 析 ： 4 设 a＝ － i＋j，i，j 为 单 位 向 量 且 则 b＝6i＋2j，c＝ － i－3j. ∵c＝λa＋μb＝(6μ－λ)i＋(λ＋2μ)j，
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
→ → → → → → → → 又PQ＝PA＋AQ＝PA＋μAB＝PA＋μ(PB－PA) ＝(1－μ)a＋μb， λ 3＝1－μ， 由平面向量基本定理知 2λ＝μ. 3 → → 解得 λ＝1，因此PQ＝λ CP＝p.
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
5．(课 本 习 题 改 编 则 c＝( )
)若 向 量 a＝( 1 , 1 ) ，b＝(－1,1)，c＝( 4 , 2 ) ，
A．3a＋b C． － a＋3b
B．3a－b D．a＋3b
解析：选 B 设 c＝x a＋y b，
x－y＝4， 则 x＋y＝2， x＝3， ∴ y＝－1.
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
2．平面向量的正交分解
垂直 的向量，叫做把向量 把一个向量分解为两个互相______ 正交分解． 3．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量 i ，j 作为基底，由平面向量基本定理知，该平面 内的任一向量 a可表示成 a＝ xi ＋yj ，由于 a 与数对 (x ，y) 是一 一对应的，把有序数对 (x ， y) 叫做向量 a 的坐标，记作 a ＝ ( x ，y ) __________ ，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.
一、平面向量基本定理 1．基底
不共线 平面内_ _ _ _ _ _ _ _ 的向量 e1，e2 叫 做 表 示 这 一 平 面 内 的 所 有
向量的一组基底． 2．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 于 这 个平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 λ1 ， λ2 ，使 a ＝
a＝( 2 , 1 ) ，b＝(x， － 2)，若 a∥b，则 a＋b 等
B．( 2 , 1 ) D．(－3,1)
解析： 选 A 由 a∥b 可得 2×(－2)－1×x＝0， 故 x＝－4， 所以 a＋b＝(－2，－1)，故选 A.
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
4．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表 x1 y1 示成x ＝y ( 2 2 )
5．若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1 ＝μ2.( )
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
【 答 案 及 提 示 】 1． √ 由 向 量 加 、 减 法 的 几 何 意 义 知 故 可 作 为 平 面 的 一 组 基 底 ． 2．√ 由 平 面 向 量 基 本 定 理 知 正 确 ． → → 3．× 画 图 知 ， AB与BD的夹角为 135° . 4．× 当 x2· y2＝0 时结论不成立，应为 a∥b⇔x1y2＝x2y1. 5．√ 由平面向量基本定理知正确． a＋b 与 a－b 不 共 线 ，
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第二节 平面向量 基本定理及向量的坐标运算
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
考
1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘 运算．
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
2．平面向量的坐标运算 向量的加法、减法 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， (x1＋x2，y1＋y2) ， 则a＋b＝_________________ (x1－x2，y1－y2) a－b＝________________
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
→ → 解 ： 设PA＝a，PB＝b， → → → 由已知条件得 3 CP＝PA＋2 PB，即 3p＝a＋2b， → → → λ 设PQ＝λ CP(λ 为实数)，则PQ＝ (a＋2b)． 3 → → 设AQ＝μ AB(μ 为实数)，
∴c＝3a－b.故选 B.
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
平面向量基本定理及其应用
2． 平 面 向 量 的 基 底 不 唯 一 ， 只 要 基 底 确 定 后 ， 平 面 内 的 任 何 一 个 向 量 都 可 被 这 组 基 底 唯 一 表 示 ． 3． 在 正 方 形 ( ) )
→ → A B C D 中 ， AB与BD的 夹 角 为 4 5 ° . (
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→ → → → 解 析 ： (－3， －5) 设AD＝(x， y)， 则AC＝AB＋AD， 即( 1 , 3 ) ＝(x＋2， y＋4)， 解 得 → －AB＝(－3， － 5)．
－1 x＝ －1 y＝
→ → → ， ∴AD＝(－1， －1)， ∴BD＝AD
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1 ． 用向量基本定理解题的一般思路是：先选择一组基 底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向 量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量
的加减运算和数乘运算．
6μ－λ＝－1， ∴ λ＋2μ＝－3，
i⊥j，
λ＝－2， λ 解得 ∴μ＝4. 1 μ＝－2.
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( 2 ) ( 2 0 1 4 · 天 津 模 拟 )如 图 所 示 ， P是△ABC内 一 点 ， 且 满 足 → → → → PA ＋2 PB ＋3 PC ＝0， 设 Q为CP延 长 线 与 AB的 交 点 ． 令 CP ＝ → p， 试 用 p表 示 PQ．
纲
要 求
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
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[0°，180°] ． (2)范围：向量a与b的夹角的范围是______________ 共线同向 (3)当θ＝0°时，a与b___________________ ； 共线反向 ； 当θ＝180°时，a与b____________ 垂直 当θ＝90°时，a与b______________.
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1． 在▱A B C D 中 ，AC 为 一 条 对 角 线 ， → 则 向 量 BD的 坐 标 为 ________．
→ → AB＝( 2 , 4 ) ， AC＝( 1 , 3 ) ，
向量的数乘
设a＝(x，y)，λ∈R， (λx，λy) 则λa＝____________
四、平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a，b 共线⇔a
x1y2－x2y1＝0 ∥b⇔_________________ .
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解 析 ：选 C 故 选 C.
a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a
) B. 2 D．0
由 a∥b 知 1×2－m2＝0， 解 得 m＝ 2或 － 2.
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4． 已 知 向 量 于( ) A(－2， － 1) C．(3， － 1)
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
三 、 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 1．向 量 坐 标 的 求 法 ( 1 ) 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐 标． → (x2－x1，y2－y1) (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝________________.
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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
判 断 下 面 结 论 是 否 正 确
(请 在 括 号 中 打
“√”或“ × ” ) a＋b 和 a－b 也 可 作
1． 如 果 a，b 是 平 面 的 一 组 基 底 ， 则 为 该 平 面 的 一 组 基 底 ． ( )
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2．(课 本 习 题 改 编
)梯 形 A B C D 中 ， AB∥CD，AB＝2CD，
→ → → M，N 分 别 是 CD，AB 的 中 点 ， 设 AB＝a，AD＝b.若MN＝ma n ＋nb， 则 m＝________.