北师九上3.2.3特殊的平行四边形(3)教案(中点四边形)

第六课时

课题

§ 3．2．3 特殊平行四边形(三)

一、教材与课标：1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间

的关系。

2.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关系和四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

二、学情分析：学生在八年级已经借助折纸、画图、测量等活动直观的探索过平行四边形、菱形、矩形、正方形等性质和判定，本章教材主要是对这些结论进行理论的证明，而前面的探索过程和方法又为本章证明提供了铺垫，为学生提供了相应的定理证明思路。本章前几节课中，学生又学习了“三角形中位线定理”，这些都为探究“中点四边形”做了铺垫，学生已经具备了探究该命题的基本技能；

在相关知识的学习过程中，学生经历了“探索—发现—猜想—证明”的过程，并初步体会了获得猜想后还应予以证明的意义，感受到了合情推理与论证推理的相互依赖和相互补充的辨证关系，并且学生具有了一定的推理证明的能力。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

三、教学目标

(一)教学知识点

1．能进一步理解掌握矩形、菱形、正方形的性质定理、判定定理．

2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．

(二)能力训练要求

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．

2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．

3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．

(三)情感与价值观要求

1．通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性．

2．体会数学与生活的联系．

教学重点

特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．

教学难点

特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．

四、教学方法

启问——交流式教学法，多媒体课件

教具准备

投影片三张

第一张：猜一猜(记作投影片§ 3．2．3 A)

第二张：议一议(记作投影片§ 3．2．3 B)

第三张：做一做(记作投影片§ 3．2．3 C)

五、教学过程

1．巧设现实情境，引入新课

[师]通过前几节内容的学习，我们进一步理解了平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理．

这节课我们来应用它们证明和计算一些题．

Ⅱ．讲授新课

[师]下面大家来猜一猜，想一想(出示投影片§ 3．2．3 A)

依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．

[生甲]依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．

[生乙]证明：∵四边形ABCD是正方形．

∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，

AB＝BC＝CD＝DA．

又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。

∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．

∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．

∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．

∵∠A＝∠B＝90°，

AA1＝AD1，A1B=BB1，

∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．

∴∠D1A1B1＝90°．

∴四边形A1B1C1D1是正方形．

[师]很好，这个题同学们是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．

[生丙]因为A1、B1是边AB、DC的中点，所以，若连结对角线AC，则A1B1是△ABC的中位线，同理可知C1D1是△ADC的中位线，同样，连结对角线BD，也可知A1D1是△ABD的中位线，B1C1是△BDC的中位线，这样由中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，是相等的，然后再证，有一个角是90°，这样也可以证明：四边形A1B1C1D1是正方形．

老师，你说这样可以吗?

[师]同学们的意见呢? [生齐声]可以．

[师]对，证明四边形A 1B 1C 1D 1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用中位线的性质定理和正方形的性质来证明．大家要灵活应用这些性质，接下来同学们来想一想，议一议(出示投影片§ 3．2．3 B)

(1)依次连结菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?先猜一猜，再证明．

(2)依次连接平行四边形四边的中点呢?依次连结四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系．

[生甲]依次连接菱形四边的中点得到的四边形是矩形，如图． 已知在菱形ABCD 中，点A 1、B 1、C 1、D 1分别是菱形四条边的中点，

求证：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形．

证明：连结AC 、BD ．

∵点A 1、B 1、C 1、D 1分别是菱形ABCD 的各边的中点， ∴A 1B 1//2

1AC ，C 1D 1// 2

1AC.

∴A 1B 1//C 1D 1．

∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形． ∵AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线， ∴AC ⊥BD ．

∴∠A 1B 1C 1＝90°．

∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形．

[生乙]这个题还可以证明：∠A 1B 1C 1＝∠B 1C 1D 1＝∠C 1D 1A 1＝90°．

因为A 1B 1//

21AC ，C 1D 1//21

AC ， A 1D //21BD ，B 1C 1//2

1

BD ．

而菱形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直．