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集合论
集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，
计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均 采用集合论的有关术语来描述和论证
denotes +1 denotes -1
wTx + b>0
x
f
y
f(x,w,b) = sign(wTx + b)
记为|A|。 例：A={0,1} |A|=2；|{A}|=1
外延公理：两个集合A和B相等，即A=B，当且 仅当他们有相同的成员（也就是，A的每一元 素是B的一个元素而B的每一个元素也是A的一 个元素）。
用逻辑符号表达是： A=B x(x∈A ↔ x∈B)
6.1 集合的基本概念
讨论集合:
1) 集合中元素的次序是无关紧要的
定义：如果A B，且A≠B，那么称A是B的真子 集，记作A B，读作“B真包含A”
A B (A B) ∧(A≠B)
6.1 集合的基本概念
本章中讨论的集合和元素都是限于某一论述域的。
我们记该论述域为E，又称为全集合。 定义：没有任何元素的集合称为空集，记为
❖ ≠ {} ❖ 前者是空集，是没有元素的集合；后者是以作为
A∩B={x|x∈A∧x∈B}
③ A和B的差，或B关于A的相对补，记为A－B,
是集合 A－B ={x|x∈A∧x B}
6.2 集合的运算
例：设A= {a,b,c}， B ={b,c,d}，求A∪B， A∩B ， A－B 。
[解] A∪B={a,b,c}∪{b,c,d }= {a,b,c,d}
A∩B={a,b,c}∩{b,c,d }= {b,c} A－B ={a,b,c}－{b,c,d }= {a} 定义 设 A 与 B 是两个集合。若有A∩B =，那 么称 A 和 B 是不相交的。如果C是一个集合的 族，使C的任意两个不同元素（集合）都不相 交，那么C是（两两）不相交集合的族。
6.1 集合的基本概念
集合间的包含关系
定义：设A和B是集合，如果A的每一个元素是B 的一个元素，那么A是B的子集合，记为A B， 读做“ B包含A”或“A包含于B中”。 A B x(x∈A → x∈B)
注意：可能AB或BA，也可能两者均不成立， 不是两者必居其一。
定义：设A和B是集合, 如果AB和BA则称A和 B相等，记做A=B。
元素的集合
定理：对任意集合A有： A
提示： A x(x∈ → x∈A)
推论：空集是唯一的
提示： 1 2 ∧ 2 1
定理：对任意集合A，有A E
6.1 集合的基本概念
例：确定下列命题是否为真 （1） （2） ∈ （3） {} （4） ∈{}
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m个
（m≤n）元素的子集称为它的m元子集。
集合论
集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应 用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理 论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证
集合论
集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，
计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均 采用集合论的有关术语来描述和论证
denotes +1 denotes -1
6.1 集合的基本概念
例：A={a,b,c},求A的全部子集 解：将A的子集从小到大分类： 0元子集：只有一个空集。 1元子集：有3个{a},{b},{c}。 2元子集：有3个{a,b},{a,c},{b,c}。 3元子集：有1个A本身。 A共有8个子集，分别为,{a},{b},{c}, {a,b},{a,c},
2) 集合中的元素的重复出现无足轻重
3) 集合的表示不是唯一的，一个集合可以用多 种方法表示
例如： {a,b,c}={c,b,a}={a,c,b}={a,a,b,c,c}
讨论: P={{a,b},c} 与 Q={a,b,c}，
P≠Q
设A={x | x*(x-1)=0}与 B={0, 1}，
1)
A=B
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wTx + b<0
第六章 集合代数
主要内容 集合的基本概念----属于、包含、幂集、空集
等 集合的基本运算----并、交、补、差等 集合恒等式----集合运算的算律、恒等式的证
明方法 与后面各章的关系 是集合论后面各章的基础
6.1 集合的基本概念
通常有三种方法表示集合： 1) 列举法 2) 描述法
用谓词描述出集合元素的公共特征来表示这 个集合。 例如：A={a|a∈R ∧ 0<a ∧ a<4}
S={a|P(a)} 表示a属于S当且仅当 P(a)为真 3) 归纳定义法
6.1 集合的基本概念
有限集合的元素的个数称为该集合的基数或势
6.1 集合的基本概念
设A为一个有限集，A的基数为|A|，则P(A)的基数 |P(A)|=2|A|
例：A={}，那么 P(A) = {, {}}
第二节：集合的运算与集合恒等式
6.2 集合的运算
定义：设A和B是集合
①A和B的并记为A∪B，是集合
A∪B={x|x∈A∨ x∈B}
②A和B的交记为A∩B，是集合
集合论
德国著名数学家康托（GEORGE CANTOR， 1845~1918)在总结前人的基础上，创立了集合论。集合 论为整个经典数学的各分支提供了共同的理论基础。
朴素集合论由于在定义集合的方法上缺乏限制，会导 致悖论
集合论
另一个德国数学家蔡梅罗（ERNST ZERMELO） 于1908年建立了集合论的公理系统，由这个公理系统， 他推出了很多数学上的重要结果。他的公理使数学哲 学中产生的一些矛盾基本上得到统一，在此基础上形 成了公理化集合论和抽象集合论
第一节： 集合的基本概念
6.1 集合的基本概念
集合是能作为整体论述的事物的集体，又称
为类、族、搜集
组成集合的每个事物叫做这个集合的元素或 成员。用符号∈表示某个元素属于某个集合，
表示不属于 任意元素，对于某一集合而言 ，或属于该集
合，或者不属于，二者必居其一，不可兼得。
这也符合命题演算中，命题要么是真，要么 Hale Waihona Puke Baidu假的二值逻辑
{b,c},{a,b,c} 。 所以一般n个元素的集合有2n个不同的子集合
6.1 集合的基本概念
幂集合
定义：由集合A的所有子集（包括空集及A本身） 所组成的集合叫做A的幂集，记以 P(A),即 P(A) ={B|BA}
一个给定集合的幂集是唯一的
例:(a)如果A=, 那么 P(A) = {}
（b）如果A={a,b}, 那么 P(A) = {,{a},{b},{a,b}}