独立重复试验与二项分布 PPT
第十一章 第8讲 n次独立重复试验与二项分布
第8讲n次独立重复试验与二项分布基础知识整合1．条件概率及其性质2．事件的相互独立(1)设A，B为两个事件，如果P(AB)＝□05P(A)·P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．(2)如果事件A与B相互独立，那么□06A与□07B，□08A与□09B，□10 A与□11B也都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝□12P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝□13C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．1．A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B . 2．A ，B 都发生的事件为AB . 3．A ，B 都不发生的事件为A －B －.4．A ，B 恰有一个发生的事件为(A B －)∪(A －B )．5．A ，B 至多一个发生的事件为(A B )∪(A B )∪(A B )．1．甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为( )A.12 B ．1 C.1112 D.56 答案 C解析 1－13×14＝1112，选C.2．由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝( )A.12B.14C.16D.18 答案 A解析 因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1412＝12.3．(2019·吉林通化模拟)若ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12，则P (ξ≥2)等于( )A.10131024B.111024C.501512D.507512 答案 A 解析P (ξ≥2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－C 010⎝ ⎛⎭⎪⎫1210－C 110⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝10131024.4．(2019·广东汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A.34B.23C.57D.512 答案 D解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，则所求概率是23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝512.故选D.5．(2019·福建厦门模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25B.35C.18125D.54125 答案 D解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P 1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125.6．袋中有红、黄、蓝球各1个，从中有放回地每次任取1个，直到取到红球为止，则第4次首次取到红球的概率为( )A.980B.881C.382D.827 答案 B解析 前3次都取不到红球的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，第4次首次取到红球的概率为13，4个独立事件同时发生的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝881.核心考向突破考向一 条件概率例1 (1)(2019·大庆模拟)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12答案 B解析P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(B)＝C22C25＝110，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝110，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝14.(2)(2019·江西南昌模拟)口袋中装有大小、形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．答案3 5解析口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则P(A)＝26＝13，P(AB)＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1513＝35.触类旁通条件概率的求法(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝P(AB)P(A)求P(B|A)．即时训练 1.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A.110 B.15 C.25 D.12答案 C解析设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1512＝25.故选C.2．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．答案 0.72解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9， 由P (B |A )＝P (AB )P (A )，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72. 故这粒种子成长为幼苗的概率为0.72. 考向二 相互独立事件的概率例2 (2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解 (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为11 48.触类旁通求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积；(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.即时训练 3.某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)＝1－P(A－B－C－)＝1－13×14×25＝2930.(2)由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝P(A－B－C－)＝13×14×25＝130；P(ξ＝1)＝P(A B－C－)＋P(A－B C－)＋P(A－B－C)＝23×14×25＋13×34×25＋13×14×35＝13 60；P(ξ＝2)＝P(AB C－)＋P(A B－C)＋P(A－BC)＝23×34×25＋23×14×35＋13×34×35＝920；P(ξ＝3)＝P(ABC)＝23×34×35＝310.所以ξ的分布列为E(ξ)＝0×130＋1×1360＋2×920＋3×310＝12160.考向三独立重复实验与二项分布例3(2019·重庆模拟)为了应对新疆暴力恐怖活动，重庆市警方从武警训练基地挑选反恐警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A，B，C，D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费，每入选1人，则相应的训练基地得到5000元的训练经费，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望(期望精确到个位)．解(1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M，N，P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN P－，M N－P，M－NP，MNP，∴P(A)＝P(MN P－)＋P(M N－P)＋P(M－NP)＋P(MNP)＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＋23×23×12＝1218＝23.(2)记ξ表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为η＝5000ξ，又ξ的可能取值为0,1,2,3,4，∴P (ξ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫230⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181， P (ξ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝881， P (ξ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2481＝827， P (ξ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝3281，P (ξ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1681. ∴ξ的分布列为触类旁通求解独立重复试验概率时应注意的问题(1)概率模型是否满足公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k的三个条件：①在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；②n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率．(2)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的题用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”等字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.即时训练 4.某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p ＝23，记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1,2,3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解 (1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首． 由S i ≥0(i ＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1681. (2)由题意知ξ＝|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p ＝23， ∴P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081， P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081， P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝185081.。
独立重复试验与二项分布ppt人教B版
2.下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月 均用水量(单位：吨)的频率分布直方图
(1)求直方图中x的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位
居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3 至4吨的居民数X的分布列．
解析： (1)依题意及频率分布直方图知， 0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
P C43 0.83 0.2 0.84 0.8192
练习：某射手每次射击击中目标的概率是2/3，且各次射击的结
果互不影响。
（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 （2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次 未击中目标的概率；
（3）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击 中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未
(2)由题意知，X～B(3,0.1)． 因此P(X＝0)＝C30×0.93＝0.729， P(X＝1)＝C31×0.1×0.92＝0.243， P(X＝2)＝C32×0.12×0.9＝0.027， P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001. 故随机变量X的分布列为
X0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3， 且 P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18， P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X的分布列为：
X
-3
2
5
10
P 0.02 0.08 0.18 0.72
击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记X为射手
射击3次后的总的分数，求X的分布列。
独立重复试验与二项分布
独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。
二项分布前提：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X。
符号含义：p：每次试验中事件A发生的概率。
k：在n次独立重复试验中事件A发生的次数。
公式：$C_k^n p^k(1-p)^{n-k}$结论：随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率。
明确该公式中各量表示的意义：n为重复试验的次数；p 为在一次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数。
判断正误1) n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种。
×2) n次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同。
×3) 二项分布与超几何分布是同一种分布。
×4) 两点分布是二项分布的特殊情形。
√已知随机变量X服从二项分布，X～B(6，3)，则P(X＝2)等于$\frac{15}{64}$。
任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为$\frac{3}{8}$。
设随机变量X～B(2，p)，若P(X≥1)＝$\frac{3}{4}$，则$p=\frac{1}{3}$。
探究点1：独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。
1) 求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率。
记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故$P(A_1)=1-P(A_0)=1-(\frac{2}{3})^3=\frac{19}{27}$。
2) 求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率。
记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A。
“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B，则$P(A_2)=C_2^2(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^0=\frac{4}{9}$，$P(B_1)=C_2^1(\frac{3}{4})^1(\frac{1}{4})^1=\frac{3}{8}$。
知识讲解独立重复试验与二项分布
知识讲解独立重复试验与二项分布(理)(提高)(共12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--独立重复试验与二项分布【学习目标】1．理解n 次独立重复试验模型及二项分布．2．能利用n 次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 【要点梳理】要点一、n 次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果A 与A ，并且事件A 发生的概率相同。
在相同的条件下重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为n 次独立重复试验。
要点诠释：在n 次独立重复试验中，一定要抓住四点： ①每次试验在同样的条件下进行；②每次试验只有两种结果A 与A ，即某事件要么发生，要么不发生； ③每次试验中，某事件发生的概率是相同的； ④各次试验之间相互独立。
总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。
要点二、独立重复试验的概率公式1.定义如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()(1)k k n kn n P k C p p -=-（k=0，1，2，…，n ）． 令0k =得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的．．．．．概率为．．．00(0)(1)(1)n nn n P C p p p =-=-令k n =得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为．．．．．．．．0()(1)n n n n n P n C p p p =-=。
要点诠释：1. 在公式中，n 是独立重复试验的次数，p 是一次试验中某事件A 发生的概率，k 是在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的次数，只有弄清公式中n ，p ，k 的意义，才能正确地运用公式．2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．要点三、n 次独立重复试验常见实例：1.反复抛掷一枚均匀硬币2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样4.射手射击目标命中率已知的若干次射击 要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理； ②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。
(完整)2.2.3 独立重复试验与二项分布
C32
3 5
(1
3
5 )2
5
54 125
5
5
125
（4）刚好在第二、第三两次击中目标。
(1 3) 3 3 18 5 5 5 125
11 [普通高中课程数学选修课2-3堂] 练2.2习二项分布及其应用
1、每次试验的成功率为P（0＜P＜1）,重复进行10次 试验，其中前七次未成功后三次成功的概率（ C ）
C
n n
pn
注: P( X k ) cnk pkqnk是( p q)n展开式中的第 k 1 项.
8 [普通高中课程数学选修2-3] 2.2 二项分布及其应用
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？ 1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
P(B0) P(A1 A2 A3) q3, P(B1) P(A1 A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1 A2 A3) 3q2 p, P(B2) P(A1A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1 A2 A3) 3qp2,
P(B3 ) P( A1A2 A3 ) p3.
所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是 3q2 p.
6 [普通高中课程数学选修2-3] 2.2 二项分布及其应用
思考？
上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求 出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类
似地，连续掷3次图钉，出现 k(0 k 3) 次针尖向
上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？
（2）在10次射击中，至少8次击中目标的概率为：
独立重复试验与二项分布PPT课件
由于事件A1 A 2 A 3 , A1A 2 A 3和A1 A 2 A 3彼此互斥,由概率加 法公式得 P(B1 ) P( A1 A 2 A 3 ) P( A1A 2 A 3 ) P( A1 A 2 A 3 ) q2p q2p q2p 3q2p . 所以, 连续掷一枚图钉 3 次, 仅出现1 次针尖向上的概率是
探究与发现
服从两项分布的随机变 量取 何值时概率最大
二项分布是应用最广泛的离散型随机变量 概率模型 .对与两项分布有关的一些问题的 探究是很有意义的 .例如, 在上面的例4中, 我 们还可以提这样的问题:
如果某射手每次射击击 中目标的概率0.8, 每次射击的结果相互独 立, 那么它在10 次 射击中 , 最有可能击中目标几次 ?
k k n nk
对比这个公式与表示二 项式定理的公式 , 你能 看出它们之间的联系吗 ?
思考 二项分布与两点分布有 何关系?
例 4 某射手射击击中目标的 概率是 0.8.求这名 射手在10 次射击中 , 1恰有8次击中目标的概率 ; 2至少有8次击中目标的概率 .(结果保留两位有 效数字 .)
解 设X为击中目标的次数,则X ~ B10,0.8.
1在10次射击中, 恰有8次击中目标的概率为 10 8 8 8 PX 8 C10 0.8 1 0.8 0.30. 2在10次射击中,至少有8次击中目标的概率为 PX 8 PX 8 PX 9 PX 10 10 8 10 9 8 8 9 9 C10 0.8 1 0.8 C10 0.8 1 0.8 10 10 0.68 . 10 10 C10 0.8 1 0.8
在n次独立重复试验中 , " 在相同条件下 " 等价于 各次试验的结果不会受 其他试验的影响,即 1 式成立 .
二项分布与超几何分布(第1课时+n次独立重复试验与二项分布)课件
1
率均为 ,抽取
5
则 X~B
所以
1
3,
5
3 次可以看成 3 次独立重复试验,
.
P(X=0)=C30
P(X=1)=C31
×
1 0
5
×
1 1
5
×
×
4 2
5
4 3
5
=
=
48
,
125
64
,
125
P(X=2)=C32
P(X=3)=C33
抛硬币这个伯努利试验.
(1)每次试验结果有哪些?
提示:正面向上或反面向上.
(2)各次试验的结果有无影响?
提示:无影响.
2.在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独
立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
3.独立重复试验应满足的条件是(
)
①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有事件发生与不发生两种结
4
P(A1)=P(A2)=6,P(B1)=P(B2)=5.
(1)至少有 1 棵成活的概率为
1-P(1 2 1 2 )=1-P(1 )P(2 )P(1 )P(2 )
=1-
1 2
6
×
1 2 899
=
.
5
900
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,所求概率为
P=C2156Fra bibliotek16
× × ×
C32 ×0.82×0.2+C33 ×0.83×0.20=0.896.
(2)在未来3天中,至少有连续2天预报准确的概率为
独立重复试验与二项分布 课件
1．n 次独立重复试验：一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
2．在 n 次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的 影响 ，即 P(A1A2…An)＝
P(A1)P(A2)…P(An)．其中 Ai(i＝1,2，…，n)是第 i 次试验的结 果．
则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验， 至少有一件一等品的概率为 P1＝1－P(－A )P(－B )P(－C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取一件检验，它是一等品的概率为 P2＝2×0.7＋40.6＋0.8＝0.7.
4 243
1 729
[点评] 解此类题首先判断随机变量 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)，然后求出 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， 最后列出二项分布列．
二项分布的应用
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别 为 0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床 加工的零件数是乙机床加工的零件数的 2 倍．
4．Cknpk(1－p)n－k 是[p＋(1－p)]n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
独立重复试验概率的求法
某人射击 5 次，每次中靶的概率均为 0.9，求他至 少有 2 次中靶的概率．
[分析] 至少有 2 次中靶包括恰好有 2 次中靶，恰好有 3 次 中靶，恰好有 4 次中靶和恰好有 5 次中靶四种情况，这些事件 是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间 没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击 5 次是 进行 5 次独立重复试验．
n次独立重复试验及二项分布
n次独立重复试验及二项分布一基础知识1.条件概率及其性质(1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB)P(A)(P(A)＞0).(2)条件概率的性质①非负性：0≤P(B|A)≤1；②可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).2.相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件.(2)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立.(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立.(4)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B).(5)一般地，如果事件A1，A2，…，A n(n＞2，n∈N*)相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)·…·P(A n).互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.(2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,(1)是否为n次独立重复试验；,(2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数.考点一条件概率[典例精析](1)(2019·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝_______.(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.[解析](1)P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C 13×5×4＝60种情况，所以P (A |B )＝6091.P (B |A )的含义是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120种情况，所以P (B |A )＝12.(2)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14.[答案] (1)6091 12 (2)14[题组训练]1.(2019·石家庄摸底)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为________.解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝25.答案：252.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为________.解析：法一：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3×2A 2535＝12.法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为12.答案：12考点二 相互独立事件的概率[典例精析](1)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为________.(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.[解析] (1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A ，B ，C ，D ，则P (A )＝0.6，P (B )＝P (C )＝0.5，P (D )＝0.4，恰好3人使用设备的概率P 1＝P (A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D )＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P ＝0.25＋0.06＝0.31.(2)依题意，该选手第2个问题回答错误，第3,4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P ＝1×0.2×0.82＝0.128. [答案] (1)0.31 (2)0.128 [变式发散]1.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________. 解析：依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4,5个问题均回答正确，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P ＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08. 答案：0.046 082.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.解析：依题意，设答对的事件为A ，可分第3个回答正确与错误两类，若第3个回答正确，则有A A A A 或A A A A 两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第3个问题的回答是错误的，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P ＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104. 答案：0.104[题组训练]1.在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲同学选做《不等式选讲》的概率为13，乙同学选做《不等式选讲》的概率为14，假定二人的选择相互之间没有影响，那么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做《不等式选讲》的概率为________.解析：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做《不等式选讲》”为事件A ，“乙同学不选做《不等式选讲》”为事件B ，且A ，B 相互独立.依题意，P (A )＝1－13＝23，P (B )＝1－14＝34，所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×34＝12.又因为甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件为甲、乙二人都不选做《不等式选讲》，所以所求概率为1－P (AB )＝1－12＝12.答案：122.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14. (1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝)211(-×)311(-×)411(-＝14，P (X ＝1)＝12×)311(-×)411(-)411(-＋)211(-×13×)411(-＋)211(-×)311(-×14＝1124，P (X ＝2)＝)211(-×13×14＋12×)311(-×14＋12×13×)411(-＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.考点三 独立重复试验与二项分布[典例精析]九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：(1)若购进这批九节虾35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列.[解] (1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)， 所以这批九节虾的数量约为1 186只.(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p ＝4＋1240＝25，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝)53(4＝81625，P (X ＝1)＝C 14×25×)53(3＝216625，P (X ＝2)＝C 24×)52(2×)53(2＝216625，P (X ＝3)＝C 34×)52(3×35＝96625，P (X ＝4)＝)52(4＝16625. 所以X 的分布列为[题组训练]1.甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为( )A.0.32B.0.18C.0.50D.0.057 6 解析：选D 甲命中一次的概率为C 12×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为C 12×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P ＝0.32×0.18＝0.057 6.2.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？ 解：(1)X 可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×)21(1×)211(-2＝38，P (X ＝20)＝C 23×)21(2×)211(-1＝38， P (X ＝100)＝)21(3＝18，P (X ＝－200)＝)211(-3＝18.所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－)81(3＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为511512.[课时跟踪检测]A 级 1.如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )A.23B.12C.34D.14解析：选B 设女孩个数为X ，女孩多于男孩的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23×)21(2×12＋C 33×)21(3＝3×18＋18＝12.2.(2018·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：30天以上的概率为( )A.1316B.2764C.2532D.2732解析：选D 由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34，则所求概率为C 23)43(2×14＋)43(3＝2732. 3.(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.59解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n (B )＝108,4个人去的景点不同的情况有A 44＝4×3×2×1＝24种，即n (AB )＝24，∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝24108＝29. 4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是( )A.14，59B.14，49C.15，59D.15，49 解析：选A 由题意知，P (AB )＝1020×510＝14，根据条件概率的计算公式得P (A |B )＝P (AB )P (B )＝14920＝59.5.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )A.14B.89C.116D.532解析：选D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－2)62(＝89；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为13×16×2＋16×16＝536.故所求条件概率为53689＝532. 6.设由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝________.解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1412＝12.答案：127.事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (B )＝______，P (A B )＝______.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·P (B )＝16， ①P (B )·P (C )＝18， ②P (A )·P (B )·P (C )＝18， ③由③÷①得P (C )＝34，所以P (C )＝1－P (C )＝1－34＝14.将P (C )＝14代入②得P (B )＝12，所以P (B )＝1－P (B )＝12，由①可得P (A )＝13，所以P (A B )＝P (A )·P (B )＝23×12＝13. 答案：12 138.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为14，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________.解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B )41,5(，即有P (ξ＝k )＝C k 5k )41(×)43(5－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.故P (ξ＝4)＝C 45)41(4×)43(1＝151 024. 答案：151 0249.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列.解：(1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275. (2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3， 同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X ～B (3,0.3)，X 的可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝k )＝C k 3(0.3)k ·(1－0.3)3－k ，k ＝0,1,2,3. 故P (X ＝0)＝C 03×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P (X ＝1)＝C 13×0.3×(1－0.3)2＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.32×(1－0.3)＝0.189，P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027，故X 的分布列为10.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击.问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？ 解：(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，则事件A 1的对立事件A 1为“甲连续射击4次，全部击中目标”.由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验.故P (A 1)＝C 44)32(4＝1681.所以P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－1681＝6581. 所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×)32(2×)321(-2＝827，P (B 2)＝C 34)43(3×)431(-1＝2764. 由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝18. 所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)， 则A 3＝D 5D 4D 3(D 2D 1∪D 2D 1∪D 2D 1)，且P (D i )＝14.由于各事件相互独立，故P (A 3)＝P (D 5)P (D 4)P (D 3)P (D 2D 1＋D 2D 1＋D 2D 1)＝14×14×34×)41411(⨯-＝451 024. 所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.B 级1.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45 B.)95(3×49 C.35×14 D.C 14×)95(3×49 解析：选B 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为)95(3×49.2.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310B.29C.78D.79解析：选D 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79. 3.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则P (X ≥－80)＝________. 解析：由题意得该产品能销售的概率为)611(-)1011(-＝34.易知X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B )43,4(，所以P (ξ＝k )＝C k 4)43(k )41(4－k， 所以P (X ＝－80)＝P (ξ＝2)＝C 24)43(2)41(2＝27128，P (X ＝40)＝P (ξ＝3)＝C 34)43(3)41(1＝2764， P (X ＝160)＝P (ξ＝4)＝C 44)43(4)41(0＝81256， 故P (X ≥－80)＝P (X ＝－80)＋P (X ＝40)＋P (X ＝160)＝243256.答案：2432564.从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率； (2)假设该市高一学生的体重X 服从正态分布N (57，σ2).①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率；②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57 kg 之间的人数为Y ，利用(1)的结论，求Y 的分布列.解：(1)这400名学生中，体重超过60 kg 的频率为(0.04＋0.01)×5＝14，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率为14.(2)①∵X ～N (57，σ2)，由(1)知P (X ＞60)＝14，∴P (X ＜54)＝14，∴P (54＜X ＜60)＝1－2×14＝12，∴P (54＜X ＜57)＝12×12＝14，即高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率为14.②∵该市高一学生总体很大，∴从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复试验， 其中体重介于54～57 kg 之间的人数Y ～B )41,3(，其中P (Y ＝i )＝C i 3)41(i )43(3－i ，i ＝0,1,2,3.∴Y 的分布列为5.为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯电量：年用电量2 161至4 200度(含4 200度)，执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯电量：年用电量4 200度以上，执行第三档电价0.865 3元/度.某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值.解：(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元).(2)由题表可知，10户中位于第二阶梯电量的有4户，设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝C 04C 46C 410＝114，P (ξ＝1)＝C 14C 36C 410＝821，P (ξ＝2)＝C 24C 26C 410＝37，P (ξ＝3)＝C 34C 16C 410＝435，P (ξ＝4)＝C 44C 06C 410＝1210， 故ξ的分布列为(3)由题意可知从全市中抽取10户，用电量为第一阶梯的户数满足X ～B )52,10(，可知P (X ＝k )＝C k 10)52(k ·)53(10－k (k ＝0,1,2,3，…，10). 由⎩⎨⎧ C k 10⎝⎛⎭⎫25k ⎝⎛⎭⎫3510－k ≥C k ＋110⎝⎛⎭⎫25k ＋1⎝⎛⎭⎫359－k ，C k 10⎝⎛⎭⎫25k ⎝⎛⎭⎫3510－k ≥C k －110⎝⎛⎭⎫25k －1⎝⎛⎭⎫3511－k ，解得175≤k ≤225.又k ∈N *，所以当k ＝4时概率最大，故k ＝4.。
独立重复试验与二项分布
解析
(1)设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件
是一等品分别为事件 A，B，C， 则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，至 少有一件一等品的概率为 P1＝1－P( A )P( B )P( C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意 地抽取一件检验，它是一等品的概率为 2×0.7＋0.6＋0.8 P2＝ ＝0.7. 4
1.独立重复试验的判断 (1)每次试验是在相同的条件下进行的； (2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验 是相互独立的； (3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变； (4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生． 2.二项分布的判断 (1)在一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一． (2)事件A在每次试验中，发生的概率相同． (3)试验重复地进行了n次(n≥2)，且每次试验结果互不 影响．
3.二项分布问题 (1)随机变量 X 服从二项分布，则 X 的分布列为： X P 0
0 n C0 np q
1
1 n －1 C1 p n q
„ „
k
k n－k Ck p n q
„ „
n
0
n
n 0 Cn np q
(2)由于 Cnp q
k k n－k
k k n－k
恰好是二项展开式(p＋q) ＝Cnp q ＋Cnp q ＋„
由于 A1 与 A3 互斥，A0 与 A4 互斥，故 8 P(ξ＝0)＝P(A2)＝ ， 27 40 P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝81， 17 P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝ .
题型一
高考数学一轮总复习课件：n次独立重复试验与二项分布
【解析】 记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地
译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝
1 3
，P(B)
＝14.
(1)“2 个人都译出密码”的概率为：
P(AB)＝P(A)×P(B)＝13×14＝112.
(2)“2个人都译不出密码”的概率为：
P(AB)＝P(A)×P(B)＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝1－131－14＝12..3
B.7 C.3 D.4
【解析】
由题意知，P(A)＝
C32＋C42 C72
＝
3 7
，P(AB)＝
C42 C72
＝
2 7
，
2 所以P(B|A)＝PP（（AAB））＝73＝23.故选C.
7
题型二 相互独立事件的概率
例2 甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码 的概率分别为13和14，求：
作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学
生做对第二问的概率为( A )
A．0.9
B．0.8
C．0.72
D．0.576
【解析】 P＝7820＝0.9，选A.
(2)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不
放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后， 4
第二次再次取到不合格品的概率为___9_9____． 【解析】 方法一：设A＝{第一次取到不合格品}， B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝CC150202， 5×4 所以P(B|A)＝PP（（AAB））＝100× 5 99＝949. 100
(5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出
密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为：
独立重复试验与二项分布 PPT (2)
1．引例: 掷一枚图钉，针尖向上的概率为0.6，
则针尖向下的概率为 1－0.6=0.4 问题（1）第1次、第2次、第3次…第
n次针尖向上的概率是多少?
答案：第1次、第2次、第3次… 第n次针尖向上的概率都是0.6
基本定义
1. “独立重复试验”的概念：在同样条 件下进行的，各次之间相互独立的一 种试验。
例1：某射手每次射击击中目标的概率是0.8 。求这名射 手在10次射击中， （1）恰有8次击中目标的概率; （2）至少有2次击中目标的概率; （3）射中目标的次数X的分布列. （4）要保证击中目标概率大于0.99，至少应射击多少 次？（结果保留两个有效数字）
解：设X为击中目标的次数，则XB(10,0.8).
解：记事件A＝“1小时内，1台机器需要人管”，
1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试
验1小. 时内5台机床中没有1台需
要工人照管的概率为 :
P5
(0)
(1
1 4
)5
(3)5 4
1小时内5台机床中恰有1台 需要工人照管的概率为:
P5
(1)
C51
1 4
(1
1 4
)4
所以1小时内5台机床中至少
的概率为 1 ，乙获胜的概率为 1 ．
2
2
记事件A=“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完
4局才能取胜”，记事件C=“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且
每局比赛甲均取胜. ∴甲打完3局取胜的概率为
P( A)
C33
(
1 2
)3
1 8
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试 验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负.
人教a版数学【选修2-3】2.2.3《独立重复试验与二项分布》ppt课件
1.理解n次独立重复试验的模型，掌握二项分布，并能利用 它们解决一些简单的实际问题． 2 ．通过本节的学习，体会模型化思想在解决问题中的作 用，感受概率在生活中的应用，提高数学的应用能力．
第二章
2.2
2.2.3
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
第二章
随机变量及其分布
第二章
随机变量及其分布
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第二章 2.2 二项分布及其应用
第二章
2.2
2.2.3
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ξ P
0
1
－1
„ „
k
k k Cn p (1－
„ „
n
n Cn p n (1－
0 n 1 1 n C0 p (1 － p ) C p (1 － p ) n n
p)
n－k
p)0
k＋1 由于 P(ξ ＝ k) 刚好是 [(1 － p) ＋ p]n 的展开式中的第 _______
第二章
2.2
2.2.3
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新知导学 3．二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A 次数 是X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那 发生的_________
么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)
2.2.3独立重复试验与二项分布(二)
1 3
练习： 练习：P40例3 变式训练 例
例3 某人抛掷一枚硬币，出现正面和反面的概率都是 ，构 某人抛掷一枚硬币，出现正面和反面的概率都是0.5，
造数列
{an } ，使 an =
{
1，当第n次出现正面 ，当第 次出现正面 -1，当第n次出现反面 ，当第 次出现反面
记
S n = a1 + a2 + ... + an (n ∈ N * )
2、二项分布： 、二项分布：
一般地， 次独立重复试验中， 一般地，在n次独立重复试验中，设事件 发生的 次独立重复试验中 设事件A发生的 次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为 发生的概率为p， 次数为 ，在每次试验中事件 发生的概率为 ，那么 次独立重复试验中， 恰好发生k次的概率为 在n次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为 次独立重复试验中 事件A恰好发生
北京卷理） 例2.（2009北京卷理） （ 北京卷理 某学生在上学路上要经过4个路口 个路口， 某学生在上学路上要经过 个路口，假设在各路口是 否遇到红灯是相互独立的， 否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ， 遇到红灯时停留的时间都是2min. 遇到红灯时停留的时间都是 （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红 灯的概率； 灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的 分布列. 分布列
在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次 在一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次 独立重复试验中这个事件恰发生 恰发生ξ 显然 显然ξ 独立重复试验中这个事件恰发生ξ次,显然ξ是一个随机 变量. 于是得到随机变量ξ的概率分布如下 变量. 于是得到随机变量 的概率分布如下： 的概率分布如下： ξ p
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事件 A 发生的概率 事件A发生的概率
P n (k ) C n kp k(1 p )n k
实验总次数
（其中k = 0，1，2，···，n ） 事件 A 发生的次数
基本概念
2、伯努利概型： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的
次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
(2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则 D ABC，
又因为事件 A 、B 、C 彼此互斥，故
P ( D ) P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) 1 3 3 1
答：按比赛规则甲获胜的概率为 1 ．
8 1 6 1 6 2
2
小结
1.独立重复试验的概念
独立重复试验与二项分布
1、独立重复试验的概念
1、独立重复试验的概念
在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结 果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
独立重复试验的特点
1).每次试验是在相同的条件下重复进行的; 2).各次试验中的结果是相互独立的； 3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 4).每次试验某事件发生的概率是相同的.
例2.已知随机变量 ~ B(4, 1)，则P(2)（ D ）．
3
（A）19
(B) 62
(C) 1
(D) 8
81
81
9
9
3、二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发说生说的与次两数点是分X布，且 在每次试验中事件A发生的概率是p，那的么区事别件和A联恰系好发生 k次的概率是为
P ( X k ) C n k p k ( 1 是p ) (n q +k p,k )n展 0 开, 1 ,2 ,. . . ,n q1p
2伯努利概型公式. P n(k) C n kP k(1 P )n k (k0,1,2,,n)
⑴如果是有放回地取，则 B(n, M )
N ⑵如果是不放回地取, 则 服从超几何分布.
P(
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,
, m) (其中 m min(M , n)
例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5 局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． （1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； （2）按比赛规则甲获胜的概率．
于是得到随机变量X的概率式分布如下：
X
0
1…
k
…
n
p
C
0 n
p
0
q
n
Cn1 p1qn1
…
Cnk pkqnk
…
C
n n
p
n
q
0
此时我们称随机变量X服从二项分布，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ记作: X~B(n, p) 其中p为成功概率.
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
PA 1 A 2 A 3 A 4 4 p 3 q q1p
C43 p3q43
他在5次投篮中，投中3次的可能性有多大呢？
C53 p3q53
他在n次投篮中，投中3次的可能性有多大呢？
Cn3 p3qn3
他在4次投篮中，未投中、投中1次、2次、4次的可能性 分别是多少呢？
未投中的概率： C40 p0q40
1 8
．
②甲打完4局才能取胜，相当于前3局为2胜1负且第4局比赛甲取 胜，∴甲打完4局才能取胜的概率为
P(B)C 3 2(1 2)21 21 213 6
③甲打完5局才能取胜,相当于前4局恰好2胜2负且第5局比赛甲 取胜，∴甲打完5局才能取胜的概率为
P (C )C 4 2(1 2)2(1 2)21 21 3 6
家谱简图：
尼古拉·伯努利（父）
雅各布·伯努利 （兄）约翰·伯努利 （弟）
丹尼尔·伯努利（次子）
例题
2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3
粒种子恰有2粒发芽的概率是
()
12 A.125
16 B.125
C.14285
D.19265
解析：P＝C23(45)2(15)1＝14285. 答案： C
投中1次的概率： 投中2次的概率： 投中4次的概率：
C41 p1q41
C42 p2q42 C44 p4q44
他在n次投篮中，投中 k(kn,kN)次的概率是多少？
Cnk pkqnk
2、n次独立重复试验的概率公式及结构特点：
如果在1次试验中，事件A发生的概率为p, 则 在n次独立重复试验中，A恰好发生k次的概率为：
推导n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式
姚明投篮1次成功 的概率是p，他在某场 比赛中得到4次罚篮机 会，假设每次投篮都互 不影响，那么他投中3 次的可能性有多大呢？
他在某场比赛中得到4次罚篮机会，假设每次投篮都 互不影响，那么他投中3次的可能性有多大呢？
第一次 第二次 第三次 第四次 用Ai(i=1,2,3,4)表示第i次命中的事件
P ( X k ) C n k p k ( 1 p ) n k ,k 0 , 1 ,2 ,. . . ,n .
符合独立重复试验的概率模型称为伯努利概型
雅各布•伯努利
1654年12月27日，雅各布•伯努利生于 巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17 岁时获艺术硕士学位。这里的艺术指 “自由艺术”，包括算术、几何学、天 文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术 共7大门类。雅各布对数学最重大的贡 献是在概率论方面的研究。他从1685年 起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的 论文，后来写成巨著《猜度术》。
解：（1）甲、乙两队实力相等，所以每局 比赛甲获胜的概率为 1 ，乙获胜的概率为
1
．
2
2
记事件 A =“甲打完3局才能取胜”，记事件 B =“甲打完4局
才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛
甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为
P(A)
C33(12)3
记为 A1A2 A3 A4 记为 A1 A2 A3 A4 记为 A1 A2 A3 A4 记为 A1 A2 A3 A4
用Ai(i=1,2,3,4)表示第i次命中的事件
B3表示“恰好命中3次”的事件
PB 3 PA 1 A 2 A 3A 4 PA 1 A 2A 3 A 4 PA 1A 2 A 3 A 4