1某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个,第2次由2个

2.1.2指数函数及其性质(3)

x的取值范围是{x
|
x
1}
当a 1时, x的取值范围是{x | x 1} 5
5
完成预学案P38拓展问题1
解：由已知,当0 a 1时 x2 5x x 7 即x2 6x 7 0 解得1 x 7 当a 1时 x2 5x x 7 即x2 6x 7 0 解得x 7或x 1 综上所述,当0 a 1时,
问题引入
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？
研究
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
……
y 2x(x N*)
细胞 2个 4个 8个 16个
总数
21
22
23
24
2x
问题引入
问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？
0 21 1 31
指数函数y (21)x 在R上是减函数
又3.4 0
31 0(
21)3.4
1
2.13.4 3.13.4
31
2.指数函数的图象和性质
练习：
a>1
0<a<1 1.当a (1,+) 时,函数y ax
图
y y=ax
y=ax y
(a 0且a 1)为增函数.这时,
y=1
y=1 (0,1)
4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.
5.既不是奇函数也不是偶函数.
0 0.25 2x1 1
函数的值域为 (0,1].
完成课本P58题2、P59题5

人教版高中数学必修第一册4.2指数函数课时3 指数函数的概念【课件】

现实世界的密切联系,学会用函数模型描述客观世界事物变化规
律.
学习目标
课程目标
学科核心素养
通过具体实例，了解指数函数的
实际意义
通过具体实例，感受不同现实背景
下函数值增长的变化规律，知道增
长率为常数的变化方式为指数增长，
培养数学建模及数学抽象素养
通过建立函数模型的过程，抽象
出指数函数的概念
通过由特殊到一般的研究方法，抽
天内，他在得到310万元的同时，共付给了神秘人2 147 483 647分，也
就是2 000多万元！
张财主的故事一定让你感到吃惊：开始时微不足道的数字，两倍两倍
地增长，竟然会变得这么巨大！事实的确如此，因为张财主碰上了“指
数爆炸”．一种事物如果成倍成倍地增大(如2×2×2×…), 即符合指数
函数y＝ax(a> 1)时，这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人．
中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120 h后两种物质的质量相等．已
知物质A的半衰期为7.5 h，则物质B的半衰期为(
思路点拨
进行求解
A. 10 h
B.
8 h
C. 12 h
D.
15 h
)
根据题设中实际问题建构指数函数模型，再利用指数幂的运算
【方法规律】
由特殊到一般探求变化规律，建构不同的指数函数模型，研究两者之间的
【问题3】你能再写出一些类似的函数吗?这些函数具有什么共同特征?
【活动2】探究指数函数的结构特征
【问题4】你能从上述函数中,抽象出指数函数的定义吗?
【问题5】下列函数中,哪些是指数函数?哪些不是指数函数?
【问题6】对于指数函数,其底数有怎样的要求?

新教材高中数学第四章指数函数与对数函数指数函数的概念课时作业新人教A版必修第一册

4．2.1 指数函数的概念必备知识基础练1．(多选)下列函数是指数函数的有( ) A ．y ＝x 4B ．y ＝(12)xC ．y ＝22xD ．y ＝－3x2．已知某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……依此类推,那么1个这样的细胞分裂3次后,得到的细胞个数为( )A ．4个B ．8个C ．16个D ．32个3．如果指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1)的图象经过点(2,4),那么a 的值是( ) A ． 2 B ．2 C ．3 D ．44．若函数f (x )是指数函数,且f (2)＝2,则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2xC ．(12)xD ．(22)x5．已知f (x )＝3x －b(b 为常数)的图象经过点(2,1),则f (4)的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．86．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，3x ，x >0，则f (f (－1))＝( )A ．2B ． 3C ．0D ．127．已知函数y ＝a ·2x和y ＝2x ＋b都是指数函数,则a ＋b ＝________．8．已知函数f (x )是指数函数,且f (－32)＝525,则f (3)＝________．关键能力综合练1．若函数y ＝(m 2－m －1)·m x是指数函数,则m 等于( ) A ．－1或2 B ．－1 C ．2 D ．122．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋3，x ≤0，则f (f (－2))的值为( )A ．14B ．12C ．2D ．43．若函数f (x )＝(12a －1)·a x是指数函数,则f (12)的值为( )A ．－2B ．2C ．－2 2D ．2 24．若函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数,则a 的取值范围是( ) A ．a >0且a ≠1 B ．a ≥0且a ≠1 C ．a >12且a ≠1 D ．a ≥125．某产品计划每年成本降低p %,若三年后成本为a 元,则现在成本为( ) A ．a (1＋p %)元 B ．a (1－p %)元 C ．a （1－p %）3元 D ．a1＋p %元 6．(多选)设指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1),则下列等式中正确的是( ) A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) B ．f (x －y )＝f （x ）f （y ）C ．f (xy)＝f (x )－f (y ) D ．f (nx )＝[f (x )]n(n ∈Q )7．某厂2018年的产值为a 万元,预计产值每年以7%的速度增加,则该厂到2022年的产值为________万元．8．若函数y ＝(k ＋2)a x＋2－b (a >0,且a ≠1)是指数函数,则k ＝________,b ＝________． 9．已知指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1), (1)求f (0)的值；(2)如果f (2)＝9,求实数a 的值．10．已知函数f (x )＝(a 2＋a －5)a x是指数函数． (1)求f (x )的表达式；(2)判断F (x )＝f (x )－f (－x )的奇偶性,并加以证明．核心素养升级练1．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食,则y 关于x 的解析式为( )A ．y ＝360(1.041.012)x －1B ．y ＝360×1.04xC ．y ＝360×1.04x1.012D ．y ＝360(1.041.012)x2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x（x ＞0）2x －3（x ≤0）,若f (a )－f (2)＝0,则实数a 的值等于________．3．截止到2018年底,我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰,经过x 年后,此市人口数为y (万).(1)求y 与x 的函数关系y ＝f (x ),并写出定义域；(2)若按此增长率,2029年年底的人口数是多少？(3)哪一年年底的人口数将达到135万？4．2.1 指数函数的概念必备知识基础练1．答案：BC解析：对于A,函数y ＝x 4不是指数函数, 对于B,函数y ＝(12)x是指数函数；对于C,函数y ＝22x＝4x是指数函数；对于D,函数y ＝－3x不是指数函数． 2．答案：B解析：由题意知1个细胞分裂3次的个数为23＝8. 3．答案：B解析：由题意可知f (2)＝a 2＝4,解得a ＝2或a ＝－2(舍). 4．答案：A解析：由题意,设f (x )＝a x(a >0且a ≠1), 因为f (2)＝2,所以a 2＝2,解得a ＝ 2. 所以f (x )＝(2)x. 5．答案：C 解析：f (2)＝32－b＝1＝30,即b ＝2,f (4)＝34－2＝9.6．答案：B解析：f (－1)＝2－1＝12,f (f (－1))＝f (12)＝312＝ 3.7．答案：1解析：因为函数y ＝a ·2x是指数函数,所以a ＝1, 由y ＝2x ＋b是指数函数,所以b ＝0,所以a ＋b ＝1. 8．答案：125解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1),则f (－32)＝a －32＝525＝5－32,得a ＝5,故f (x )＝5x,因此,f (3)＝53＝125.关键能力综合练1．答案：C解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1m >0m ≠1,解得m ＝2.2．答案：C解析：由题意f (－2)＝－2＋3＝1,∴f (f (－2))＝f (1)＝2. 3．答案：B解析：因为函数f (x )＝(12a －1)·a x 是指数函数,所以12a －1＝1,即a ＝4,所以f (x )＝4x,那么f (12)＝412＝2.4．答案：C解析：由于函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数,则2a －1>0且2a －1≠1,解得a >12且a ≠1.5．答案：C解析：设现在成本为x 元,因为某产品计划每年成本降低p %,且三年后成本为a 元, 所以(1－p %)3x ＝a , 所以x ＝a（1－p %）3.6．答案：ABD解析：因指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1),则有：对于A,f (x ＋y )＝ax ＋y＝a x ·a y＝f (x )f (y ),A 中的等式正确；对于B,f (x －y )＝a x －y＝a x·a －y＝a x a y ＝f （x ）f （y ）,B 中的等式正确；对于C,f (x y )＝a x y ,f (x )－f (y )＝a x －a y ,显然,a xy≠a x －a y,C 中的等式错误；对于D,n ∈Q ,f (nx )＝a nx ＝(a x )n ＝[f (x )]n,D 中的等式正确． 7．答案：a (1＋7%)4解析：2018年产值为a ,增长率为7%. 2019年产值为a ＋a ×7%＝a (1＋7%)(万元).2020年产值为a (1＋7%)＋a (1＋7%)×7%＝a (1＋7%)2(万元). ……2022年的产值为a (1＋7%)4万元． 8．答案：－1 2解析：根据指数函数的定义,得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋2＝1，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.9．解析：(1)f (0)＝a 0＝1. (2)f (2)＝a 2＝9,∴a ＝3.10．解析：(1)由a 2＋a －5＝1,可得a ＝2或a ＝－3(舍去), ∴f (x )＝2x.(2)F (x )＝2x －2－x,定义域为R , ∴F (－x )＝2－x－2x＝－F (x ), ∴F (x )是奇函数．核心素养升级练1．答案：D解析：不妨设现在乡镇人口总数为a ,则现在乡镇粮食总量为360a ,故经过x 年后,乡镇人口总数为a (1＋0.012)x ,乡镇粮食总量为360a (1＋0.04)x, 故经过x 年后,人均占有粮食y ＝360a （1＋0.04）xa （1＋0.012）x ＝360(1.041.012)x. 2．答案：2解析：由已知,得f (2)＝9；又当x ＞0时,f (x )＝3x, 所以当a >0时,f (a )＝3a, 所以3a－9＝0,所以a ＝2. 当x <0时,f (x )＝2x －3, 所以当a <0时,f (a )＝2a －3, 所以2a －3－9＝0,所以a ＝6, 又因为a <0,所以a ≠6. 综上可知a ＝2.3．解析：(1)2018年年底的人口数为130万；经过1年,2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年,2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年,2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万).……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同,所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万).即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).(2)2029年年底,经过了11年,过2029年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万).(3)由(2)可知,2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万),2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万).所以2031年年底的人口数将达到135万．。

必修一对数函数及其性质

log0.3 3.7; y
log28.5
y log2 x
log23.4
< log1.5 2.5 log1.5 3.2 < log0.5 1.5 log0.5 1.2
0 1 3.4 8.5 x
3loga 5.1和loga 5.9 (a 0且a 1)
4 log2.5 1.7 > log31.7
5 log1 2 > log1 2
解：当0
a
1时，有22
x x
1 1
0 , 2
解得 1 x 1 ;
2
2
当a
1时，有22xx
1 1
0 , 2
解得x 1 2
指数函数
y ax
x log a y
习惯写成 y log a x
对数函数
y ax叫做y log a x的反函数
课本P73练习第3题
x
y log 1 x
y
3
lyog1 xlog 1
xx
3
2
y log 1 x
2
y
y loga x
y
(a 1)
01
x
01
x
y loga x
(0 a 1)
对数函数
的图像及性质
底数
a>1
0<a<1
图像
（1,0）
（1,0）
当 x > 1 时，y > 0.
定义域当 0<x < 1 时，y < 0
性
值域: ( 0,+ ∞ )
恒过点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质在 R 上是单调增函数在 R log y 因变量

新湘教版必修1高中数学第一课时指数函数的图象和性质

2．1.2 指数函数的图象和性质第一课时指数函数的图象及性质1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个．……一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞分裂的个数y 与x 之间，构成一个函数关系，你能写出x 与y 之间的函数关系式吗？2．质量为1的某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的50%，那么这种物质的剩留量y 与时间x (单位：年)有何函数关系？观察以上两个函数的形式特点，它们有何共同特征？你能类比得出这类函数的解析式的一般形式吗？指数函数的定义函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量．1．给出下列函数：①y ＝2－x ；②y ＝2x ＋1；③y ＝3·2x ；④y ＝－2x ；⑤y ＝(－2)x ；⑥y ＝x 2；⑦y ＝πx ；⑧y ＝(a －1)x (a >1且a ≠2)．其中是指数函数的是________．(填序号)[提示] 根据指数函数的定义判断，只有⑦、⑧是指数函数． 2．你能概括出指数函数解析式的结构特征吗？ [提示] (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：只含自变量x ； (3)系数：等于1.试作出函数y ＝2x (x ∈R)和y ＝⎝⎛⎭⎫12x (x ∈R)的图象，并仔细观察图象，回答：(1)这两个函数的图象具有什么几何特征？ (2)它们的值域是什么？(3)你能归纳出它们具有怎样的性质？推广到一般呢？指数函数的图象与性质1．若函数y ＝(a －1)x 在R 上为减函数，则a 的取值范围是________． [提示] 根据指数函数的单调性可知，0<a －1<1， ∴1<a <2.2．若函数y ＝f (x )是指数函数，且其图象过(－2,9)．则该函数的解析式是________． [提示] 设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f (－2)＝a －2＝9，即⎝⎛⎭⎫1a 2＝9，∴1a 是9的平方根．又1a >0，∴1a ＝3，得a ＝13.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x .[例1] (1)①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3.其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)已知函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，试求a 的值． [思路点拨] 根据指数函数的定义求解．[解] (1)选B ①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，y ＝3x,3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数； ④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)∵y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1a >0且a ≠1解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或2a >0且a ≠1， ∴a ＝2.1．下列函数一定是指数函数的是( ) A ．y ＝(a 2－a ＋1)x (a 为常数) B ．y ＝22x ＋1C ．y ＝(|m |＋2)x (m 为常数)D ．y ＝x 2解析：选C 对于A ，a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34，有可能等于1.故不一定是指数函数；对于B ，是复合函数．而C 中，|m |＋2≥2，符合指数函数的定义；对于D ，自变量x 在底数上，不是指数函数．[例2] (1)y ＝214－x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |.[思路点拨] 可利用换元法将函数转化为指数函数，然后根据指数函数的定义域结合图象求其值域．[解] (1)令t ＝1x －4， ∵x ∈R 且x ≠4.∴t ≠0. ∴y ＝2t ∈(0,1)∪(1，＋∞)，故原函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)，值域为(0,1)∪(1，＋∞)．(2)令t ＝－|x |，可知x ∈R ，∴|x |≥0，t ≤0. ∴y ＝⎝⎛⎭⎫23t∈[1，＋∞)故原函数的定义域为R ，值域为[1，＋∞).2．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝51－x；(2)y ＝2－⎝⎛⎭⎫12x.解：(1)令t ＝1－x ，则y ＝5t . ∵1－x ≥0.∴x ≤1，而t ≥0.∴5t ≥1，∴原函数的定义域为(－∞，1]，值域为[1，＋∞)． (2)∵2－⎝⎛⎭⎫12x ≥0，∴⎝⎛⎭⎫12x ≤2，即x ≥－1， ∴函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[－1，＋∞)．令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，∴0＜t ≤2， ∴0≤2－t <2， 0≤2－t <2， ∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫12x的值域为[0，2)．[例3] 如图是指数函数①y ＝a x (a >0，且a ≠1)，②y ＝b x (b >0，且b ≠1)，③y ＝c x (c >0，且c ≠1)，④y ＝d x (d >0，且d ≠1)的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c[思路点拨] 可根据图象的变化特征结合指数函数的单调性初步确定与1的大小，再根据对数的性质判定具体的大小关系．也可令x 取特值，观察特殊点的高底来确定．[解析] 法一：在①②中底数小于1且大于零，在y 轴右侧，底数越小，图象向下越靠近x 轴，故有b <a ，在③④中底数大于1，在y 轴右边，底数越大图象向上越靠近y 轴，故有d <c.法二：设直线x ＝1与①、②、③、④的图象分别交于点A ，B ，C ，D ，则其坐标依次为(1，a )，(1，b )，(1，c )，(1，d )，由图象观察可得c >d >1>a >b . [答案] B3．如图是指数函数f (x )＝a x 的图象，已知a 的值取2，43，310，15，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的选项依次是( ) A.43，2，15，310 B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43， 2 解析：选D 法一：可分两类：C 3，C 4的底数一定大于1，C 1，C 2的底数小于1，然后再分别比较C 3，C 4的大小及C 1，C 2的大小．法二：令x ＝1，由图可知：C 4>C 3>C 2>C 1.1．下列函数中指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝2·3x ；③y ＝a x (a >0且a ≠1，x ≥0)；④y ＝1x ；⑤y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选A 由指数函数的定义可判定，只有③正确． 2.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选D 从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b ＞0，即b ＜0.3．若函数f (x )与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象关于y 轴对称，则满足f (x )>1的x 的取值范围是( ) A ．R B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C 根据对称性作出f (x )的图象，由图象可知，满足f (x )>1的x 的取值范围为(0，＋∞)．4．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，则该函数的值域是________．解析：f (2)＝a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)，令t ＝x －1，由x ≥0知t ≥－1， ∴0<⎝⎛⎭⎫12t ≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2. ∴f (x )的值域为(0,2]．答案：(0,2]5．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝________.解析：因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12.答案：126．定义一种新的运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b ).作出函数y ＝2x ⊗2－x 的图象，并写出该函数的定义域与值域．解：当x ≤0时，2x ≤2－x ，y ＝2x ，当x >0时，2x >2－x ，y ＝2－x ，所以y ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x >0)，2x (x ≤0)，其定义域为 R ，值域(0,1]，图象如图所示．作函数的图象除了利用列表描点的方法之外，往往我们还可以利用较为熟悉的函数图象，经过平移、对称变换等手段得到．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，你能用图象变换的方式作出函数f (x ＋1)，－f (x )，f (－x )和f (x ＋1)＋2的图象吗？怎样才能得到？并且是否能得出一个一般性的结论？要想得到f (x ＋1)和f (x ＋1)＋2的图象，可以利用f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象经过平移变换得到，其变换途径如下：f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象――→向左平移1个单位f (x ＋1)的图象――→向上平移2个单位f (x ＋1)＋2的图象．函数－f (x )和f (－x )的图象可由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象通过对称变换得到．首先作出f (x )的图象，再作f (x )关于x 轴对称的图象即是－f (x )的图象；作f (x )关于y 轴对称的图象，即得f (－x )的图象．可以得出一般性的结论：(1)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称；函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称；函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．所以以上函数的图象可以通过对称变换得到．(2)由y ＝f (x )的图象得y ＝f (x ＋a )＋b 的图象，可通过平移变换得到，其途径为：y ＝f (x )的图象{一、选择题1．函数y ＝2－x 2＋2x －1的定义域是( )A ．{x |－2≤x ≤2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |x ≥1}D ．R解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2≥0x －1≥0得1≤x ≤ 2.2．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象只能是下列图中的( )解析：选A 抛物线的对称轴为x ＝－b2a. 由y ＝⎝⎛⎭⎫b a x 的图象可知，0<b a <1.∴－12<－b 2a<0，观察抛物线图象可知选A.3．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x <1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1,2) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 解析：选B 由于x >0时，(a －1)x <1恒成立，结合指数函数的图象可知，0<a －1<1，∴1<a <2.4．函数y ＝12x－2的值域是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)解析：选A 由y ＝12x －2得：2x＝2y ＋1y ，∵2x >0.∴2y ＋1y >0.∴y >0或y <－12. 二、填空题5．函数y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________(填点的坐标)．解析：∵指数函数y ＝a x 恒过定点(0,1)． ∴y ＝a x ＋1的图象必过点(0,2)．答案：(0,2)6．已知f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)且f (1)＝3，则f (0)＋f (1)＋f (2)＝________.解析：∵f (1)＝a ＋a －1＝3.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＝(a 0＋a －0)＋(a ＋a －1)＋(a 2＋a －2)＝5＋(a ＋a －1)2－2＝3＋32＝12.答案：12 三、解答题7．已知指数函数f (x )＝a x 在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解：由指数函数的概念知a >0，a ≠1.当a >1时，函数f (x )＝a x 在区间[1,2]上是增函数，所以当x ＝2时， f (x )取最大值a 2，当x ＝1时，f (x )取最小值a ，由题意得a 2＝a ＋a 2，即a 2＝32a ，因为a >1，所以a ＝32；当0<a <1时，函数f (x )＝a x 在区间[1,2]上是减函数，同理可以求得a ＝12.综上可知，a 的值为32或12.8．求下列函数的值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x；(2)y ＝4x ＋2x ＋2＋5. 解：(1)令t ＝－x 2＋2x ，由－x 2＋2x ≥0得0≤x ≤2，－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，∴0≤－x 2＋2x ≤1，即0≤t ≤1， ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数．∴12≤⎝⎛⎭⎫12t ≤1，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤12，1. (2)y ＝4x ＋2x ＋2＋5＝(2x )2＋4×2x ＋5，令2x ＝t ，t >0，则t 2＋4t ＋5＝(t ＋2)2＋1，∵函数(t ＋2)2＋1在t >0上为增函数， ∴t 2＋4t ＋5>5，即y ＝4x ＋2x ＋2＋5的值域为(5，＋∞)．。

《指数函数》的优秀教案

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《指数函数》的优秀教案篇1教学目标：1.进一步理解指数函数的性质；2.能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；教学重点：指数函数的性质的应用；教学难点：指数函数图象的平移变换.教学过程：一、情境创设1.复习指数函数的概念、图象和性质练习：函数y=ax（a0且a1）的定义域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为.若a1，则当x0时，y1；而当x0时，y1.若00时，y1；而当x0时，y1.2.情境问题：指数函数的性质除了比较大小，还有什么作用呢？我们知道对任意的a0且a1，函数y=ax的图象恒过（0，1），那么对任意的a0且a1，函数y=a2x1的图象恒过哪一个定点呢？二、数学应用与建构例1解不等式：（1）；（2）；（3）；（4）.小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样，是指数性质的运用，关键是底数所在的范围.例2说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）；（2）；（3）；（4）.小结：指数函数的平移规律：y=f（x）左右平移y=f（x+k）（当k0时，向左平移，反之向右平移），上下平移y=f（x）+h（当h0时，向上平移，反之向下平移）.练习：（1）将函数f（x）=3x的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数的图象.（2）将函数f（x）=3x的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数的图象.（3）将函数图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是.（4）对任意的a0且a1，函数y=a2x1的图象恒过的定点的坐标是.函数y=a2x—1的图象恒过的定点的坐标是.小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口！定点与单调性相结合，就可以构造出函数的简图，从而许多问题就可以找到解决的突破口.（5）如何利用函数f（x）=2x的图象，作出函数y=2x和y=2|x2|的图象？（6）如何利用函数f（x）=2x的图象，作出函数y=|2x—1|的图象？小结：函数图象的对称变换规律.例3已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且x0时，f（x）=1—2x，试画出此函数的图象.例4求函数的最小值以及取得最小值时的x值.小结：复合函数常常需要换元来求解其最值.练习：（1）函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于；（2）函数y=2x的值域为；（3）设a0且a1，如果y=a2x+2ax—1在[—1，1]上的最大值为14，求a的值；（4）当x0时，函数f（x）=（a2—1）x的值总大于1，求实数a的取值范围.三、小结1.指数函数的性质及应用；2.指数型函数的定点问题；3.指数型函数的草图及其变换规律.四、作业：课本P55—6，7.五、课后探究（1）函数f（x）的定义域为（0，1），则函数的定义域为。

高中数学必修一人教版教案：2.1 指数函数第一课时

4．（1）指数函数的定义
总结本节课解 2、抽签小组展知识储备
（2）指数函数的图象与性质
总
（3）应用：比较大小
题方法及注意示讨论的结及养成良 3
结
事项
果。
好的学习分
提
3 、提出的问习惯，加强钟
升
题。a 1) x 是 1、巡视学生 1、小考卷上检查学生 6
2. 图象过定点_________
特
征 3. 自左向右图象逐渐
3. 自左向右图象逐渐________
________
4. y 2x 与y (1) x 的图象关于______轴对称 2
例：比较下列各题中两个值的大小:
(1) 1.7 2.5 , 1.73 (2) 0.80.1 , 0.80.2 （3）已知2a 2b ,比较a, b的大小
③y x
④y 2 3x
⑤y 3x1 ⑥y 3x 1 ⑦y 3x ⑧y 3x
小结：指数函数的特征__________________________________________________________
练 2.指数函数 f(x)的图像经过点（2，9），求解析式及 f(1) , f(-2)
习。
钟
1
解决预习案中学生存在展示学生正确学生评价、挑解决学生 8
2. 的问题
答案及错误答错
自主学习分
承
案
中遇到的钟
接
困惑，加深
结
学生对知
果
识的印象
导学案
1、巡视学生的 1、学生先独在具体问
3.

高一数学必修一指数函数图像和性质

y ax (a 0,且a 1)
因为它可以化为 y 1 x ( 1 0,且 1 1)
a a
a
设问3：我们研究函数的性质，通常通过函数图象
来研究函数的哪几个性质？答:1.定义域2.值域3.单调性4.对称性等
设问4：那么得到函数的图象一般用什么方法？
列表、求对应的x和y值、描点、作图
用描点法绘制的y 草图2X：
x
思考题:怎样由y=2x的图象得到y=1+2x的图象。
点滴收获： 1.本节课学习了那些知识?
2.如何记忆函数的性质?
点滴收获： 1.本节课学习了那些知识? 指数函数的定义
指数函数的图象及性质
2.如何记忆函数的性质?
课后作业：
1.阅读课本有关内容
2.今天作业:59页第6,7题
3.研究题:
(1)画出及的草图 y 2 x
《例》比较下列各组数的大小：
（1）1.7和2.51.7(2)0.38和0.8 -0.1
-0.2
(3)1.70.3和0.93.1
分析:(1)1.7和2.51.7可以3看作函数y=1.7当x分别x 为2.5和3时的函数值
y
x y=1.7
(0，1)
x
y=0.8
y
(0，1)
2.5 3 x
-0.2 -0.1 O
一个细胞
分裂次数
第X次
表达式
Y=2X
细胞
总数 Y 21
22
23
24 …... 2X
第四年
第三年
第二年
折旧第一年
经过折旧设机器的价值为1
经过 X年
6%
表达式
6% Y=(0.94)X
折旧

新湘教版必修1高中数学第一课时对数函数的图象和性质

2．1.2 指数函数的图象和性质第一课时指数函数的图象及性质1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个．……一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞分裂的个数y 与x 之间，构成一个函数关系，你能写出x 与y 之间的函数关系式吗？2．质量为1的某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的50%，那么这种物质的剩留量y 与时间x (单位：年)有何函数关系？观察以上两个函数的形式特点，它们有何共同特征？你能类比得出这类函数的解析式的一般形式吗？指数函数的定义函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量．1．给出下列函数：①y ＝2－x ；②y ＝2x ＋1；③y ＝3·2x ；④y ＝－2x ；⑤y ＝(－2)x ；⑥y ＝x 2；⑦y ＝πx ；⑧y ＝(a －1)x (a >1且a ≠2)．其中是指数函数的是________．(填序号)[提示] 根据指数函数的定义判断，只有⑦、⑧是指数函数． 2．你能概括出指数函数解析式的结构特征吗？ [提示] (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：只含自变量x ； (3)系数：等于1.试作出函数y ＝2x (x ∈R)和y ＝⎝⎛⎭⎫12x (x ∈R)的图象，并仔细观察图象，回答：(1)这两个函数的图象具有什么几何特征？ (2)它们的值域是什么？(3)你能归纳出它们具有怎样的性质？推广到一般呢？指数函数的图象与性质1．若函数y ＝(a －1)x 在R 上为减函数，则a 的取值范围是________． [提示] 根据指数函数的单调性可知，0<a －1<1， ∴1<a <2.2．若函数y ＝f (x )是指数函数，且其图象过(－2,9)．则该函数的解析式是________． [提示] 设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f (－2)＝a －2＝9，即⎝⎛⎭⎫1a 2＝9，∴1a 是9的平方根．又1a >0，∴1a ＝3，得a ＝13.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x .[例1] (1)①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3.其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)已知函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，试求a 的值． [思路点拨] 根据指数函数的定义求解．[解] (1)选B ①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，y ＝3x,3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数； ④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)∵y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1a >0且a ≠1解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或2a >0且a ≠1， ∴a ＝2.1．下列函数一定是指数函数的是( ) A ．y ＝(a 2－a ＋1)x (a 为常数) B ．y ＝22x ＋1C ．y ＝(|m |＋2)x (m 为常数)D ．y ＝x 2解析：选C 对于A ，a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34，有可能等于1.故不一定是指数函数；对于B ，是复合函数．而C 中，|m |＋2≥2，符合指数函数的定义；对于D ，自变量x 在底数上，不是指数函数．[例2] (1)y ＝214－x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |.[思路点拨] 可利用换元法将函数转化为指数函数，然后根据指数函数的定义域结合图象求其值域．[解] (1)令t ＝1x －4， ∵x ∈R 且x ≠4.∴t ≠0. ∴y ＝2t ∈(0,1)∪(1，＋∞)，故原函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)，值域为(0,1)∪(1，＋∞)．(2)令t ＝－|x |，可知x ∈R ，∴|x |≥0，t ≤0. ∴y ＝⎝⎛⎭⎫23t∈[1，＋∞)故原函数的定义域为R ，值域为[1，＋∞).2．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝51－x；(2)y ＝2－⎝⎛⎭⎫12x.解：(1)令t ＝1－x ，则y ＝5t . ∵1－x ≥0.∴x ≤1，而t ≥0.∴5t ≥1，∴原函数的定义域为(－∞，1]，值域为[1，＋∞)． (2)∵2－⎝⎛⎭⎫12x ≥0，∴⎝⎛⎭⎫12x ≤2，即x ≥－1， ∴函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[－1，＋∞)．令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，∴0＜t ≤2， ∴0≤2－t <2， 0≤2－t <2， ∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫12x的值域为[0，2)．[例3] 如图是指数函数①y ＝a x (a >0，且a ≠1)，②y ＝b x (b >0，且b ≠1)，③y ＝c x (c >0，且c ≠1)，④y ＝d x (d >0，且d ≠1)的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c[思路点拨] 可根据图象的变化特征结合指数函数的单调性初步确定与1的大小，再根据对数的性质判定具体的大小关系．也可令x 取特值，观察特殊点的高底来确定．[解析] 法一：在①②中底数小于1且大于零，在y 轴右侧，底数越小，图象向下越靠近x 轴，故有b <a ，在③④中底数大于1，在y 轴右边，底数越大图象向上越靠近y 轴，故有d <c.法二：设直线x ＝1与①、②、③、④的图象分别交于点A ，B ，C ，D ，则其坐标依次为(1，a )，(1，b )，(1，c )，(1，d )，由图象观察可得c >d >1>a >b . [答案] B3．如图是指数函数f (x )＝a x 的图象，已知a 的值取2，43，310，15，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的选项依次是( ) A.43，2，15，310 B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43， 2 解析：选D 法一：可分两类：C 3，C 4的底数一定大于1，C 1，C 2的底数小于1，然后再分别比较C 3，C 4的大小及C 1，C 2的大小．法二：令x ＝1，由图可知：C 4>C 3>C 2>C 1.1．下列函数中指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝2·3x ；③y ＝a x (a >0且a ≠1，x ≥0)；④y ＝1x ；⑤y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选A 由指数函数的定义可判定，只有③正确． 2.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选D 从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b ＞0，即b ＜0.3．若函数f (x )与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象关于y 轴对称，则满足f (x )>1的x 的取值范围是( ) A ．R B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C 根据对称性作出f (x )的图象，由图象可知，满足f (x )>1的x 的取值范围为(0，＋∞)．4．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，则该函数的值域是________．解析：f (2)＝a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)，令t ＝x －1，由x ≥0知t ≥－1， ∴0<⎝⎛⎭⎫12t ≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2. ∴f (x )的值域为(0,2]．答案：(0,2]5．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝________.解析：因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12.答案：126．定义一种新的运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b ).作出函数y ＝2x ⊗2－x 的图象，并写出该函数的定义域与值域．解：当x ≤0时，2x ≤2－x ，y ＝2x ，当x >0时，2x >2－x ，y ＝2－x ，所以y ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x >0)，2x (x ≤0)，其定义域为 R ，值域(0,1]，图象如图所示．作函数的图象除了利用列表描点的方法之外，往往我们还可以利用较为熟悉的函数图象，经过平移、对称变换等手段得到．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，你能用图象变换的方式作出函数f (x ＋1)，－f (x )，f (－x )和f (x ＋1)＋2的图象吗？怎样才能得到？并且是否能得出一个一般性的结论？要想得到f (x ＋1)和f (x ＋1)＋2的图象，可以利用f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象经过平移变换得到，其变换途径如下：f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象――→向左平移1个单位f (x ＋1)的图象――→向上平移2个单位f (x ＋1)＋2的图象．函数－f (x )和f (－x )的图象可由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象通过对称变换得到．首先作出f (x )的图象，再作f (x )关于x 轴对称的图象即是－f (x )的图象；作f (x )关于y 轴对称的图象，即得f (－x )的图象．可以得出一般性的结论：(1)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称；函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称；函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．所以以上函数的图象可以通过对称变换得到．(2)由y ＝f (x )的图象得y ＝f (x ＋a )＋b 的图象，可通过平移变换得到，其途径为：y ＝f (x )的图象{一、选择题1．函数y ＝2－x 2＋2x －1的定义域是( )A ．{x |－2≤x ≤2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |x ≥1}D ．R解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2≥0x －1≥0得1≤x ≤ 2.2．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象只能是下列图中的( )解析：选A 抛物线的对称轴为x ＝－b2a. 由y ＝⎝⎛⎭⎫b a x 的图象可知，0<b a <1.∴－12<－b 2a<0，观察抛物线图象可知选A.3．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x <1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1,2) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 解析：选B 由于x >0时，(a －1)x <1恒成立，结合指数函数的图象可知，0<a －1<1，∴1<a <2.4．函数y ＝12x－2的值域是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)解析：选A 由y ＝12x －2得：2x＝2y ＋1y ，∵2x >0.∴2y ＋1y >0.∴y >0或y <－12. 二、填空题5．函数y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________(填点的坐标)．解析：∵指数函数y ＝a x 恒过定点(0,1)． ∴y ＝a x ＋1的图象必过点(0,2)．答案：(0,2)6．已知f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)且f (1)＝3，则f (0)＋f (1)＋f (2)＝________.解析：∵f (1)＝a ＋a －1＝3.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＝(a 0＋a －0)＋(a ＋a －1)＋(a 2＋a －2)＝5＋(a ＋a －1)2－2＝3＋32＝12.答案：12 三、解答题7．已知指数函数f (x )＝a x 在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解：由指数函数的概念知a >0，a ≠1.当a >1时，函数f (x )＝a x 在区间[1,2]上是增函数，所以当x ＝2时， f (x )取最大值a 2，当x ＝1时，f (x )取最小值a ，由题意得a 2＝a ＋a 2，即a 2＝32a ，因为a >1，所以a ＝32；当0<a <1时，函数f (x )＝a x 在区间[1,2]上是减函数，同理可以求得a ＝12.综上可知，a 的值为32或12.8．求下列函数的值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x；(2)y ＝4x ＋2x ＋2＋5. 解：(1)令t ＝－x 2＋2x ，由－x 2＋2x ≥0得0≤x ≤2，－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，∴0≤－x 2＋2x ≤1，即0≤t ≤1， ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数．∴12≤⎝⎛⎭⎫12t ≤1，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤12，1. (2)y ＝4x ＋2x ＋2＋5＝(2x )2＋4×2x ＋5，令2x ＝t ，t >0，则t 2＋4t ＋5＝(t ＋2)2＋1，∵函数(t ＋2)2＋1在t >0上为增函数， ∴t 2＋4t ＋5>5，即y ＝4x ＋2x ＋2＋5的值域为(5，＋∞)．。

指数函数及其性质

x
2
y
y 1 x 3
y 3x
y 2x
1
问题8：函数y 2x与y 1 x 的图象有0 什么1关系？ y 3x与y 1xx 呢？
问题9:从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的
规律? y
y
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
y=ax (a>1)
例2、求下列函数的定义域：
①、 y 2x2 1
4
②、
y
1 3
3 x
③、 y 2 x4
解、 ① x R ② 由 3 x 0，得 x 3
③、 x 4 0得x 4
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图像和性质
y y=ax
(a>1) y=1
y=ax
y
(0<a<1) (0,1)
(0,1)
1 2
米，再从
中间剪一次剩下
1 4
米，若这条绳子剪x次剩下y米，则
y与x的函数关系是：
y
1 2
x
,
(x
N
)
探究指数函数的定义及图像和性质
探究1
y 2x
y 0.84x
y
1 2
x
问题4：（1）它们是否构成函数？（2）这三个解析式有什么共同特征？
分析：对于这三个关系式，每给自变量 x 的一个
2.1.2指数函数及其性质
问题引入
问题1 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x有怎样的关系？
……
第1次： 2个第2次：4个
21 22

指数情境导入

指数情境导入这是指数情境导入，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

指数情境导入第1篇实例1：细胞分裂细胞分裂时，第1次由1个分裂成 2个，第2次由2个分裂成 4个，第3次由4个分裂成 8个，如此下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的关系式是什么？实例2：GDP增长据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%。

那么，2001～2020年，各年的GDP可望成为2000年的多少倍？如果把我国2000年的GDP看成是1个单位，2001年为第1年，那么：1年后（即2001年），我国的GDP可望成为2000年的（1+7.3%）倍；2年后（即2002年），我国的GDP可望成为2000年的（1+7.3%）2倍；3年后（即2003年），我国的GDP可望成为2000年的 _________ 倍；……设x年后我国的GDP为2000年的y倍，那么y与x有什么关系？（注意x的取值范围）【讨论】：（1）上述两个关系式有什么共同特征？（2）它们是否构成函数？（3）是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？（1）上述两个关系式都是类似于y=ax的形式；（2）它们符合函数的定义，每一个x值都有一个y值与其对应；（3）不满足之前学过的一次函数与二次函数的条件，它的指数是变化的，因此可以称之为指数函数。

指数情境导入第2篇共1课时2.1.2 指数函数及其性质高中数学人教A版2003课标版1教学目标知识目标：理解指数函数的概念和意义；能画出具体指数函数的图象；掌握指数函数的性质.能力目标：在学习过程中，体会研究具体函数及其性质的过程与方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等；情感目标：使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感。

20-21版：4.3.1 对数的概念（创新设计）

26
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
二、素养训练
1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)
以5为底25的对数等于±2；(4)3log3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确. 答案 B
3
课前预习
课堂互动
素养达成
2.对数与指数的关系易得alogaN＝N，logaab＝b. 根据对数的定义，可以得到对数与指数之间的关系：当a>0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝_l_o_g_a_N_.
@《创新设计》
4
课前预习
课堂互动
素养达成
3.对数的有关性质对数的有关性质是解题的重要依据
(1)零和负数_没__有__对__数___； (2)1的对数为_零__，即loga1＝0(a>0且a≠1)； (3)底数的对数为_1__，即logaa＝1(a>0且a≠1).
2
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
1.对数的概念 (1)对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做___以__a_为__底__N_的__对__数_____，记作 __x_=_l_o_g_aN___，其中a叫做对数的__底__数__，N叫做__真__数___. (2)常用对数与自然对数通常，我们将以10为底的对数叫做__常__用__对__数__，并把log10N记为_l_g_N_，另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为__自__然__对__数__，并把logeN记为__ln__N__.

指数函数

a>1 2.当x=0时，y=1 当时 3.在 3.在R上是增函数 4.当x>0时,y>1; 当时当x<0时,0<y<1. 时
0<a<1
1.定义域为，值域为定义域为R，值域为(0,+∞). 定义域为 ∞ 3.在 3.在R上是减函数 4.当x>0时, 当时 0<y<1;当x<0 当时, y>1.
x
x
1 1 1 y = > 0, ≠ 1 a a a
判断下列函数中哪些是指数函数？判断下列函数中哪些是指数函数？ −x x 不是 (4) y = 10 是 (1) y = ( − 2 )
(2) y = 2 + 1 不是 x (3) y = 3 ⋅ 4 不是
x
(5) y = 2
1
x
1 ∴ 3
>
2
−
x 0
例（）求使不等式 4 > 32成立的x的集合； 1 （2）已知 a > a
x
4 5 2
x
，求数a的取值范围.
2x
解（） > 32,即2 14
x
>2
5
5 ∵ y = 2 是R上的增函数， 2 x > 5,即x > , ∴ 2 5 x 满足 4 > 32的x的集合是， ∞ + 2
x +1 2x
不是是
(6) y = π
x
例：若 y = ( 2 a − 1) 是一个指数函数，是一个指数函数，的取值范围．求a的取值范围．的取值范围分析：看做一个整体。分析：把2a-1看做一个整体。看做一个整体 1 2a − 1 > 0 a > 解：由指数函数的定义可知： ⇒ 2

指数函数及其性质教学反思

指数函数及其性质教学反思篇一：《指数函数的图像和性质》教学反思《指数函数的图像和性质》教学反思晏伟峰本节课节选自北师大版《数学》必修一第三章第三节内容。

函数是高中数学学习的重点内容，函数思想贯穿于整个高中数学之中。

本节课是学生在已掌握了指数函数的概念和其运算性质，以及指数函数的图像和性质的基础上进一步巩固学生对所学知识的深化和理解，使学生得到较系统的研究指数函数的方法，同时为以后学习对数函数及等比数列打下基础。

本节重点：指数函数的图像、性质及其简单运用。

本节难点：指数函数图像和性质发现过程及指数函数图像与底的关系。

知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用。

能力目标：通过数学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想，以及从特殊到一般的数学学习方法，增强识图用图的能力。

情感目标：构建和谐课堂氛围，结合学生勇于提问，善于探索的思维品质。

教法分析及学法分析：从学生原有知识点出发，在教师带领下创设疑问，通过交流讨论，共同探索来逐步解决问题。

教学过程：师：我们上节课讲了指数函数的图像及性质，请同学们完成教学案问题。

（学生们动手完成如下表格：师：我们昨天画了如下四个函数图像，请同学们动手在草稿纸上做出他们的图像，再分析图像与底的关系。

生1：底互为倒数的两个图像关于y轴对称。

生2：a>1时，指数大的指数函数函数图像在上面，0 是不是偶函数？1x生3：不是。

偶函数是对一个函数而言。

y=2x和y=像。

的图像是两个不同函数的图师：回答的非常棒！我们判断一个函数是不是偶函数有两种方法：从图形上看是否关于y轴对称；从代数上看是否满足f(x)=f(-x)，都是对同一函数而言。

师：刚才生2的回答有没有谁做进一步的补充？xy=3生4：应该强调在哪个象限内哪个图像在上方。

比如：a >1时，在第一象限内的图像在y=2x的上方。

0 在y=1x图像上方。

由于是普通班，我给出了如下的底与图像的关系，以便学生记忆。