模糊层次拓扑空间理论(I)
模糊理论概述
模糊理论概述在我们的日常生活中有许多的事物，或多或少都具有模糊性和混淆不清的特性。
“模模糊糊”的概念，是最微妙且难以捉摸，但却又是常見最重要的，但在近代数学中却有了很清晰的定义。
但是所为“模糊”有两种含义，一是佛似关系、一是恍似关系。
模糊理论的观念在强调以模糊逻辑来描述现实生活中事物的等級，以弥补古典逻辑(二值逻辑)无法对不明确定义边界事物描述的缺点。
人类的自然語言在表达上具有很重的模糊性，难以“对或不对”、“好或不好”的二分法来完全描述真实的世界问题。
故模糊理论将模糊概念，以模糊集合的定义，将事件(event)属于这集合程度的归属函数(Membership grade)，加以模糊定量化得到一归属度(Membership grade)，来处理各种问题。
随着科学的发展，研究对象越加复杂，而复杂的东西难以精确化，这是一个突出的矛盾，也就是说复杂性越高，有意义的精确化能力越低，有意义性和精确性就变成两个互相排斥的特性。
而复杂性却意味着因素众多，以致使我们无法全部认真地去进行考察，而只抓住其中重要的部分，略去次要部分，但这有时会使本身明确的概念也会变得模糊起来，从而不得不采用“模糊的描述”。
1 模糊理论的产生1.1 模糊数学的背景精确数学是建立在经典集合论的基础之上，一个研究的对象对于某个给定的经典集合的关系要么是属于（记为“”），要么是不属于（记为“”），二者必居其一。
19世纪，由于英国数学家布尔（Bool）等人的研究，这种基于二值逻辑的绝对思维方法抽象后成为布尔代数，它的出现促使数理逻辑成为一门很有适用价值的学科，同时也成为计算机科学的基础。
但是，二值逻辑无法解决一些逻辑悖论，如著名的罗素（Russell）“理发师悖论”、“秃头悖论”、“克利特岛人说谎悖论”等等悖论问题。
传统数学所赖以存在的基石是普通集合论，是二值逻辑，而它是抛弃了事物的模糊性而抽象出来的，将人脑思维过程绝对化了，数学中普通集合描述的是“非此即彼”的清晰对象，而人脑还要识别那些“亦此亦彼”的模糊现象。
L-拓扑空间的近似P-良紧性
定义 １ ． （ ， 是 三一拓扑空间， ∈ ， ７设 ）
（）若 口
Ａ ， 则称 的正则预闭集；
（） 若 Ａ＝ ～ ， ６ 则称 的正则预开集． Ｌ一拓扑空间 （ ， 中的所有正则预开集记作 Ｌ Ｐ （ｘ ， ） Ｒ Ｏ Ｌ ） 所有正则预 闭集记作 尸 （ ） Ｃ ．
２
西南民族大学学报 ・ 自然科学版
第３ ４卷
、 构成 的 一 远域族， 壬 ， 一 则称 为良紧集．当最大 三一集 １ 良紧集时， （ ， 为 良紧空间． 称 ）
定义 １ ． （ ， 是 三一 ４设 ） 拓扑空间，Ａ ∈Ｌ ｘ称为预开集 当且仅当存在开集 ， 使得 Ａ Ｕ Ａ一 若 ；
中紧性的各种基本性质， 因而被国内外学者广泛采纳．本文在近似良紧性等概念 的研究基础上， 】 从层次结构
入手引入 三一拓扑空间中的近似 Ｐ一良紧性， 讨论了它的一些基本 陛质， 并给出了近似 Ｐ一良紧性 的分子式、 覆 盖式、具有有限交性质的集族式等多种方式的特征刻划．同时我们还证明了近似 Ｐ一良紧性对预闭子集是遗传
文章编号：０３２ ４ （０８０ ・０ １ ５ １ｏ －８３２０ ）１００－ ０
．
拓扑空 间的近似 尸 良紧性 ．
马保 国，王延军，王平
ｒ延安大 学数学与计算机科 学学院，陕西延 安 ７ ６ ０ １０ ０）
摘
要 ： 三拓 扑空间中首先讨论 了预 开集 、预半开集等概念，然后利用这些概念提 出了 三拓扑空 间中的近似 Ｐ 良紧 在 ． 一 ・
一
若 是预半开集， 则称 是预半闭集．
Ｌ一拓扑空间 （ ， 中的所有预半开集记作 胤 ） 定义 １ ． （ ， 是 三一拓扑空问，Ａ∈ ６设 ） Ｌ，
拓扑空间 拓扑学概念
拓扑空间拓扑学概念拓扑空间，一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。
拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。
拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。
拓扑空间是一个集合X和其上定义的拓扑结构组成的二元组。
X的元素 x通常称为拓扑空间 的点。
而拓扑结构一词涵盖了开集，闭集，邻域，开核，闭包，导集，滤子等若干概念。
从这些概念出发，可以给拓扑空间作出若干种等价的定义。
[2]拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。
试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K理论。
开集定义设是一个集合，是一些的子集构成的族，则(,)被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：1. 空集和属于，2.中任意多个元素的并仍属于，3.中有限个元素的交仍属于。
这时，中的元素称为点，中的元素称为开集。
我们也称是上的一个拓扑。
邻域定义设是一个集合，为其子集族，其元称为x的邻域，令，则(,)被称为一个拓扑空间，如果对任意Ux∈下面的性质成立：1. x∈Ux，且对任意x'∈，∈；2.若Ux⊆V⊆，则V∈；3.对任意Vx∈，Ux∩Vx∈；4.存在V∈满足V⊆Ux，且对任意x'∈V有V∈。
拓扑学(topology)，是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。
它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。
在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。
拓扑英文名是Topology，直译是“地志学”，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。
拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科，研究空间、维度与变换等概念。
这些词汇的来源可追溯至哥特佛莱德·莱布尼茨，他在17世纪提出“位置的几何学”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）的说法。
L-拓扑空间中的正则分离性
集【 。容易证 明 Ａ ｕ】 ： Ａ｛ ∈ 】 ＜ Ｂ。；若 Ａ ∈Ｌ 是既开又 闭的，则 Ａ 是 ０ Ｂ ，Ａ 一闭集。 令 Ｔ ＝｛ Ｉ ｏ Ａ∈ Ａ＝Ａ ） ，则 乃 是 Ｌ 拓扑。称 Ａ ＝Ｖ Ｕ∈ 一 Ａ 为 Ａ∈Ｌ 的 ０ 内 一 ； ｛ Ｊ ） Ｕ 一
闭包 、 内部 和 伪 补 。记 ＝ ｆ ， Ａ ∈ ，则 称 的成 员 为 闭集 。 设 。 ∈ Ｍ （ ） Ａ】 Ｌ ， 记 叩 ） ｛ ∈ 】 Ｐ） （。 ＝ Ｐ ， 。 ，并称 叩 ）的成员 为 。 的闭远 域 。设 （ ，）是 Ｌ （。 一拓扑空 间，Ａ ∈Ｌ ｘ，％ ∈Ｍ （ ｘ） Ｌ ，如果对任 意 Ｐ ∈叩 ） （ ，满足 Ａ Ｐ ，则称 。是 Ａ 的 一 。 附
文章编￣： ０—０ ５２０）１０８—４ － ０５３８（０８０—１１０ １
Ｌ 拓 扑空 间中的正则分离性术 一
程 吉树 陈桂秀０ 代雪梅０ ， ，
ｆ一 １ 杭州电子科技大学理学院，杭州 ３ ０ １ ； ２ １０８ 一青海师范大学数学系 ，西宁 ８ ０ ０ ） １ ０ ８
摘 要 ： 文 在 Ｌ 拓 扑 空 间 中引 进 新 的 正 则 分 离性 概 念 ，给 出新 正 则 空 间的 各 种 特 征 性质 。 证 明 了新 正 本 一 则分 离性 是遗 传 的 、可 乘 的 、拓 扑不 变 和 Ｌ 一好 的推 广 ， 也讨 论 了新 正 则与 正则 及 Ｎ一正 则 的关
Байду номын сангаас
体 映射之 集 。Ｍ （ ）与 Ｍ （ ）分别表 示 与 Ｌ Ｌ
中 的全 体分 子 。（ ， ）表示 Ｌｆｚｙ拓 — ｚ ｕ
模糊理论总结
模糊理论总结简介模糊理论（Fuzzy Theory）是一种用于处理不确定性问题的数学方法，其背后的思想是模糊集合论。
模糊理论从模糊集合的角度对问题进行描述和处理，可以克服传统二值逻辑的限制，更符合人类思维的特点。
模糊理论主要应用于控制系统、人工智能、数据挖掘和模式识别等领域。
通过引入模糊概念，模糊理论能够有效处理模糊、不确定或不完全信息的问题，使得决策和系统设计更加灵活和适应实际应用。
模糊概念在模糊理论中，模糊概念是一个介于完全成员和完全非成员之间的概念。
与传统的二值逻辑相比，模糊概念允许元素有一定程度的隶属度。
模糊集合是由一系列隶属度在[0,1]范围内的元素组成的。
模糊概念的隶属函数描述了元素与模糊集合的关系。
常见的隶属函数包括三角函数、高斯函数和sigmoid函数等。
通过对隶属度的计算和操作，可以对元素进行模糊化处理，从而更好地表达和处理不确定性问题。
模糊推理模糊推理是模糊理论的核心。
与传统的逻辑推理相比，模糊推理能够处理模糊或不确定的条件和结论。
模糊推理根据输入的模糊规则和模糊事实，通过模糊逻辑运算得出模糊结论。
模糊推理的过程包括模糊化、模糊规则匹配和模糊合成三个步骤。
模糊化将输入的模糊事实转换为模糊集合，模糊规则匹配对输入的模糊事实和模糊规则进行匹配，模糊合成根据匹配结果和隶属度计算得出最终模糊结论。
模糊推理可以应用于各种决策问题，如模糊控制系统中的规则推理、模糊分类和模糊聚类等。
模糊控制模糊控制是模糊理论的一种重要应用，用于处理带有模糊或不确定性信息的控制问题。
传统的控制方法通常基于精确的模型和确定性的输入，而模糊控制则能够应对系统模型不确定或难以建立的情况。
模糊控制系统由模糊控制器和模糊规则库组成。
模糊控制器负责对输入模糊事实进行模糊推理，得出模糊控制命令。
模糊规则库包含了一系列模糊规则，用于将输入模糊事实映射到输出模糊命令。
模糊控制系统的设计包括确定模糊集合、编写模糊规则和确定隶属函数等步骤。
四种常用聚类方法
聚类就是按照某个特定标准把一个数据集分割成不同的类或簇，使得同一个簇内的数据对象的相似性尽可能大，同时不在同一个簇中的数据对象的差异性也尽可能地大。
即聚类后同一类的数据尽可能聚集到一起，不同类数据尽量分离。
主要的聚类算法可以划分为如下几类：划分方法、层次方法、基于密度的方法、基于网格的方法以及基于模型的方法。
下面主要对k-means聚类算法、凝聚型层次聚类算法、神经网络聚类算法之SOM,以及模糊聚类的FCM算法通过通用测试数据集进行聚类效果的比较和分析。
k-means聚类算法k-means是划分方法中较经典的聚类算法之一。
由于该算法的效率高，所以在对大规模数据进行聚类时被广泛应用。
目前，许多算法均围绕着该算法进行扩展和改进。
k-means算法以k为参数，把n个对象分成k个簇，使簇内具有较高的相似度，而簇间的相似度较低。
k-means算法的处理过程如下：首先，随机地选择k个对象，每个对象初始地代表了一个簇的平均值或中心;对剩余的每个对象，根据其与各簇中心的距离，将它赋给最近的簇;然后重新计算每个簇的平均值。
这个过程不断重复，直到准则函数收敛。
通常，采用平方误差准则，其定义如下：E=\sum_{i=1}^{k}\sum_{p\in C_i}\left\|p-m_i\right\|^2这里E是数据中所有对象的平方误差的总和，p是空间中的点，$m_i$是簇$C_i$的平均值[9]。
该目标函数使生成的簇尽可能紧凑独立，使用的距离度量是欧几里得距离，当然也可以用其他距离度量。
算法流程：输入：包含n个对象的数据和簇的数目k；输出：n个对象到k个簇，使平方误差准则最小。
步骤：(1) 任意选择k个对象作为初始的簇中心；(2) 根据簇中对象的平均值，将每个对象(重新)赋予最类似的簇；(3) 更新簇的平均值，即计算每个簇中对象的平均值；(4) 重复步骤(2)、(3)直到簇中心不再变化；层次聚类算法根据层次分解的顺序是自底向上的还是自上向下的，层次聚类算法分为凝聚的层次聚类算法和分裂的层次聚类算法。
模糊规划的理论方法及应用
模糊规划的理论方法及应用模糊规划是一种将模糊数学方法应用于决策问题的数学工具。
相比于传统的决策方法，模糊规划考虑到了决策者在面对不确定性和模糊性时的主观认知和感知能力，并利用模糊集合理论来解决这些问题。
本文将介绍模糊规划的理论方法及其在实际应用中的例子。
一、模糊规划的基本概念与原理1. 模糊集合理论模糊集合理论是模糊规划的理论基础，它是Lotfi Zadeh于1965年提出的。
在传统的集合论中，一个元素只能属于集合A或者不属于集合A，而在模糊集合论中，每个元素都有属于集合A的程度或者隶属度。
通过定义隶属函数来刻画元素对一个集合的隶属程度，该函数的取值范围通常是[0,1]。
2. 模糊规划的基本步骤模糊规划的基本步骤包括问题定义、模糊关系构建、决策矩阵建立、权重确定、模糊规则制定、规则评价、推理运算及解的评价等。
其中，模糊关系的建立和模糊规则的制定是模糊规划的核心。
通过对问题的抽象和建模，将模糊的问题转化为可计算和可处理的数学模型，从而能够得出合理的决策结果。
二、模糊规划的实际应用1. 市场营销决策在市场营销中，决策者往往需要面对很多模糊的信息，例如消费者的购买意愿、市场竞争环境等。
模糊规划可以帮助决策者进行市场细分、产品定价、促销策略等决策，从而提高市场的竞争力。
比如，通过模糊规划的方法，可以根据消费者的购买意愿和价格敏感度，确定合适的产品定价，并通过促销策略来满足不同消费者群体的需求。
2. 资源调度问题在资源调度问题中，决策者需要考虑多个因素，例如人力资源、物资配送等。
这些因素往往存在模糊性和随机性，传统的数学模型很难对其进行准确建模和求解。
而模糊规划可以通过考虑不确定性因素，使决策结果更加稳健和鲁棒。
比如，在人力资源调度中，通过模糊规划可以考虑员工的技能水平、工作经验等因素，使得调度结果更加符合实际情况。
3. 供应链管理问题供应链管理中涉及到多个环节和参与方，存在着各种不确定性和模糊性。
模糊规划可以帮助决策者在不确定的环境下进行供应链规划、库存管理、物流优化等决策，从而提高供应链的运作效率和灵活性。
L-拓扑空间的相对近似模糊紧集及其性质
第３ 期
李尧龙， 阴国富
Ｌ拓扑空间的相对近似模糊紧集及其性质 ．
ｖ ∈Ｘ ・ ）：｛（） 当 ，Ａ （ ＿ ， ∈ｙ Ａ ，
Ｌ ０， 当 舞 Ｙ ，
则称 Ａ 为 Ａ在 中的扩 张 。 定 义 １４２ 设 （ ） Ｌ拓扑 空 间 ， ．［ ， 为 一 Ａ∈Ｌ 。如果 对 于 任 意 的 ∈Ｃｐ （ ） Ａ 的任 一 ｉ远 域 族 ｘ ｏｒＬ 及 ｘ 一
（ 简记为 ．Ｆ ， Ｒ ） 都有有限子族 ， 使得 成为 Ａ的 ＯＲ ， ｔ Ｆ 则称 Ａ为（ 的强 Ｆ紧集。 — ，） 定 义 １５ 设 （ ， 】 为 （ ， 的 子空 间 。 为 （ ） ． ｙ Ｉ） ） ， ， 的一 个正 则 开 覆 盖 ， 若 存 在 有 限子族 ， 使得 ｌ 覆盖（， ） 则称 （， ） （ ） ｙ １ Ｉ ， ， ｌ ， １ Ｉ 为 ， 中的相对 Ｒ 紧空间。 ， ｙ 一 定义 １６５ 设 （ 为 Ｌ拓扑空 间， Ｌ 。如果对 于任 意的 Ｅ ｏｒ 及 （ ） ．［ ，） 一 Ａ∈ ｘ ｐ（ Ｃ ） ， 的任一 ０ ｔ 一
ｓ ｎ 的 高度为 Ｏ。 （） ｔ 定义 １１ 设 （ 为 Ｌ拓扑 空间。ＡＥ ．［ ８ ，） 一 Ｌ 称为正则开集当且仅 当 Ａ＝ ～。记 Ｒ （ｘ 为（ Ａ ｏ Ｌ ） ，
艿 中的全体正则开集的集合 。Ａ∈ ｘ ） Ｌ 称为正则 闭集 当且仅 当Ａ＝ 一。记 Ｒ （ ｘ 为（ 中的全体正 Ｃ Ｌ ） ，） 则 闭集的集合 。 定义 １２２ 设 （ 为 Ｌ拓扑空间。 ∈Ｃｐ（ ， Ｃ Ｌ ） ． ［７ ． ，） ｏｒＬ ）ＡＥ （ｘ 称为 的一个正则闭远域（ Ｒ 简
［ 摘
要］ 当￡是完备格的 Ｄ Ｍ ｒ ｎ ｅ ｏ ａ 代数 时定义 了 Ｌ拓扑空间的相对近似模糊 紧性。 ｇ 一 讨论
拓扑学简介
拓扑学简介
简介
年后拓扑学发展迅速，逐渐地数学家将这个学科分为三个分支：
代数拓扑学（伦移等问题）
几何拓扑学（有名的庞加莱猜想属于此类，已为俄罗斯数学家佩雷尔曼解决。
）
微分拓扑学研究可以微分结构等等
这些分支的基础是研究一般的拓扑空间的点集拓扑学。
但是随着时间的发展这些区分又越来越显得是人为的区分了。
年代初已经开始的许多研究成果引致几何拓扑学本身变化了。
年史提芬·斯梅尔化解了高维中的庞加莱悖论，这使三维和四维变得尤其困难。
事实上这些困难的化解须要代莱技术，而与此同时高维提供更多的自由度使换球之术的问题也沦为可以排序的问题了。
威廉·瑟斯顿在年代末明确提出的几何化悖论提供更多了在低维中几何与流形之间的关系的理论基础。
瑟斯顿采用过去在数学中只是较弱地互相关联的分支的相同技术化解了haken 流体的几何化问题。
年代初沃恩·琼斯辨认出的琼斯多项式为浴室柜理论提供更多了代莱方向，同时也给数学物理与低维拓扑学之间至今年才依然未明了的关系提供更多了代莱促进。
这些发展使得几何拓扑学被更好地应用于数学的其它领域了。
L—fuzzy拓扑空间的Dα-局部有限性质
（）由文 Ｅ－定理 １５２ （） 得． ２ ｌＩ ．．９及 １ 立
２ Ｌ—ｕ ｚ ｆｚｙ拓 扑 空 间 的 Ｄ 部有 限性 质 一局
定 义 ４ 设 （ ， 是 Ｌ ｉｓ 一 ｛ ｔ∈ Ｔ｝ 一族 Ｌ ） — ｔ， ＡＩ 是 Ｆ集 ． 如果 Ｖ ｅ∈ Ｍ ） 存在 Ｐ ∈ （） （ ， 以
山东 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ３ １ Ｙ２ ０Ａ０ ） 收 稿 日期 ：０ ７０—０ ２ ０ —６１
维普资讯
２
聊 城 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
第２ Ｏ卷
及 丁 的有 限子 族 丁。 Ｖ ｔ Ｔ — Ｔ。（ ［ ｃ 称 是 Ｄ 局部 有 限集族 ． 使 ∈ ，Ａ ）。 Ｐ， ］ 一 特别 当 Ｔ。 ｛ ｝ ， 一 ｔ 时 称 。 是 Ｄ 散 集族． 一 显 然 ， 散集族 是 Ｄ 局 部有 限集族 ， Ｄ一 一 但反 之不 然．
者研究 发现 ， 这种 Ｄ。 用 一闭集 可定 义 连通性 、 连续 性 、 可数 性 、 离性 、 分 收敛 性 等 ， 文 是这 些工 作 的继续 ， 本
我们利 用这 种层 次 闭集 代替通 常 的 闭集 ， 论 了 Ｄ。 局部有 限性 质 ， 讨 一 这种有 限性质也 有很好 的特 性． 文 中未 加说 明而使 用 的概念 和记号 均合 于 ［ ， ］ 其 中 ａ∈ Ｍ（ ． １２ ， ）
・
（ ， ． ） 中的全 体 Ｄ。 一闭集 ， 以 Ｄ。 ． 记 （） 定理 １幻 设 （ ， 是 ： — ｔ， ∈ Ｌ ， ［ ） Ｌ ｆ ｓＡ 若 ∈ 则 Ｖ 口∈ Ｍ （ ， ∈ Ｄ。 ） 即 ｃ （ ） Ｄ。 ） ） Ａ （ ． Ｄ。 ． （
模糊数学
模糊数学结课论文摘要：模糊数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。
1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。
是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。
它使过去那些与数学毫不相干或关系不大的学科都有可能永定量化和数学化加以描述和处理。
模糊数学自诞生以来取得迅猛的发展，目前正沿着理论研究和应用研究两个方向迅速发展着。
在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。
关键字：模糊数学内容发展应用实例分析引言：模糊数学作为一种新型学科，在人类的实际生产生活中有着不可磨灭的作用。
生活中存在着一系列抽象的，界限模糊的食物以及概念。
而此类问题用经典数学理论是无法解决的，往往很棘手。
但是在用到这种新型模糊数学理论体系就可以轻轻松松的解决掉他们。
随着计算机和信息技术的高速发展，数学的应用范围急剧扩展，特别是近年来对模糊数学理论的研究，已经渗透到数学以及其他自然科学和社会科学的许多领域。
其应用之广泛已经遍及理工农医各个方面。
正文一、模糊数学的概念的内容及发展1-1定义模糊数学，是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学，是指在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拖扑、模糊测度论等数学领域。
所谓“模糊性”主要指客观事物差异的中间过渡界限的“不分明性”。
在地质学上，如储层的含油气性、油田规模的大小、成油地质条件的优劣等。
这些模糊变量的描述或定义是模糊的，各变量内部分级没有明显界限。
模糊观念的理论强调以模糊逻辑来描述现实生活中实物的等级，以弥补古典逻辑（二值逻辑）无法对不明确定义边界事物描述的缺点。
1-2 产生与发展模糊数学是一门新兴学科，是研究和处理模糊性现象的数学理论和方法，它不是让数学变得模糊，而是让数学研究进入到模糊现象这样的领域。
1965年美国控制论学者扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。
该学科的发展主流在它的应用方面，由于模糊性的概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊数学的方法来描述。
拓扑空间关系名词解释
拓扑空间关系名词解释拓扑空间是研究一般拓扑空间的基础，主要有线性空间、紧致空间、度量空间等。
拓扑空间的概念在同调代数中有着很广泛的应用，并且在不少其他学科和技术领域中也得到了很大程度的应用。
拓扑空间的主要性质都可以用拓扑度量来刻画。
通常，拓扑空间都与基础的线性空间或紧致空间相联系。
线性空间上的线性变换是拓扑空间的基本元素，紧致空间上的基本元素是紧致集合，拓扑空间的标准分类是将基本元素映射为标准映射。
关于纤维丛（或纤维束），由于它在拓扑学中的重要作用，通常把拓扑空间看作是连续映射的空间，而纤维丛则是由映射组成的连续映射的集合。
一个拓扑空间X，当X为连续映射的空间时，就称为局部线性空间，简称为局部线性空间。
一个拓扑空间X，当X为度量空间时，就称为拓扑空间。
拓扑空间是几何学和拓扑学的主要研究对象之一，是一切从事实际工作的科学技术工作者所必须掌握的最基本的一类重要空间。
空间是研究现实世界的三维表面及其上各种性质的科学。
一般的拓扑空间指的是“开集”或“闭集”，即每一个闭合的连通开集，都叫做拓扑空间。
而X是拓扑空间的充分必要条件是X是局部线性空间，即X是紧致空间。
如果一个拓扑空间X是另一个拓扑空间Y的子空间，那么这两个拓扑空间就称为同胚的，它们之间的同胚映射就是一一映射。
上的一一映射。
如果X是拓扑空间，而Y不是拓扑空间，则称X与Y同胚，这时Y叫做X的一个商空间。
根据定义，如果X和Y是拓扑空间，那么X和Y中必定有一个同胚。
例如，设S为一个紧致空间，则X和Y中至少有一个是紧致空间。
还有，在局部紧致空间中，任何两个非零向量都有一一对应关系。
拓扑空间中最常见的拓扑就是基本的拓扑空间，它的拓扑结构影响着这个空间上的每一个点。
每一个拓扑空间都同胚于它的基本拓扑空间。
一个拓扑空间X有多种定义，其中最常用的是局部拓扑空间的概念。
是一个紧致集，如果X中的所有紧致集都相交，则称X是局部紧致的。
一个拓扑空间X的一个紧子集G必然是紧的，当且仅当G包含于X中。
【国家自然科学基金】_模糊拓扑_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
推荐指数 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
科研热词 神经网络 模糊逻辑 无线传感器网络 lf拓扑空间 风险评估 风险场 面向对象分类 非线性系统辨识 链路的稳定性 量词 邻域模板 邻域势函数 遗传算法 通用逼近器 路由算法 负载均衡 计量学 蚂蚁算法 自主导航 股票指教预测 结构元素 紧致空间 素理想 空间查询 空间关系 稳定模糊谓词 移动预测 移动自组网 移动检测技术 移动机器人 短期交通预测 生物质 理想 气化炉 模糊集 模糊算术 模糊神经网络(fnn) 模糊理论 模糊拓扑 模糊pi控制 模糊c均值 机器视觉 服务质量 智能运输系统 数学形态学 效用 搜索算法 接收信号强度 拓扑谓词 抽象基 折线模糊数 总最佳连接
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
佛洛依德第一拓扑学
佛洛依德第一拓扑学
佛洛依德第一拓扑学是心理学家西格蒙德·佛洛伊德提出的一种心理学理论。
这一理论描述了人类心理结构中的不同层次和如何
互相作用。
佛洛依德将人的心理活动归结为三个层次：意识、前
意识和潜意识。
在佛洛依德的第一拓扑学中，意识是人们能够直接感知和意识
到的心理活动。
它包括我们在当下能够想起和思考的那些内容。
我们可以通过注意力来选择性地关注某些事物，并将其纳入意识。
前意识是我们能够轻松地唤起和思考的心理内容。
这些内容可
能不在我们的意识中，但我们可以通过引起注意而将它们带入意识。
前意识包括那些我们可能想起的事物、明显的记忆以及当前
并非意识到的思维。
潜意识是我们意识下的心理活动，无法被直接感知和意识到。
潜意识包含着被抑制的欲望、冲突和不愿面对的经历等内容。
它
对我们行为和情绪产生了深远的影响，尽管我们不能直接认识到它。
佛洛依德第一拓扑学的关键观点是人的心理活动不仅仅存在于
意识中，而是更广泛地涵盖了前意识和潜意识。
我们的不自觉思
维和潜意识的影响对我们的行为和情绪产生了深远的影响。
了解佛洛依德的第一拓扑学有助于我们更好地理解人的心理活动，并认识到我们的思维和行为背后可能存在着更深层次的动机。
通过自我观察和深入分析，我们可以更好地认识自己，并意识到
一些潜在的心理冲突和压抑的欲望。
这有助于我们更好地理解和
管理自己的情绪和行为。
模糊层次分析法在计算机网络安全评价中的运用
模糊层次分析法在计算机网络安全评价中的运用引言随着计算机技术的日益发展，网络攻击也日益增加。
如何评估计算机网络的安全性成为研究的热点问题之一。
因此，在计算机网络安全评价中，我们需要分析计算机网络的各项指标并给出各项指标的权重值，以确定计算机网络的安全等级。
模糊层次分析法可以帮助我们完成这项工作。
什么是模糊层次分析法模糊层次分析法是一种用于确定决策问题中多层次和多因素的分析方法。
它主要包括三个部分：层次结构模型、判断矩阵和权重计算。
层次结构模型包括目标层、准则层和方案层。
判断矩阵是各层次因素间的关系矩阵，它既可以用数字表示，也可以用语言描述或图表表示。
权重计算是为确定因素在各层次间对总体目标的重要度而进行的计算。
模糊层次分析法在计算机网络安全评价中的运用在计算机网络安全评价中，我们可以将计算机网络安全等级作为目标层，各项指标作为准则层，而具体措施作为方案层。
例如，我们可以将“安全漏洞数量”、“安全隐患数量”、“安全防范能力”等指标作为准则层，然后分别对各指标间的关系进行打分。
根据这些打分，我们可以得到判断矩阵，并且计算出各指标的权重，最终确定计算机网络的安全等级。
假设我们的计算机网络有如下五个指标：•安全漏洞数量（A）•安全隐患数量（B）•安全防范能力（C）•信息安全管理能力（D）•网络拓扑结构（E）我们可以采用以下方法确定各项指标的权重：1.建立层次结构模型：•目标层（安全等级）–准则层•安全漏洞数量（A）•安全隐患数量（B）•安全防范能力（C）•信息安全管理能力（D）•网络拓扑结构（E）2.对准则层中的各项指标进行比较，得到判断矩阵：判断矩阵安全漏洞数量安全隐患数量安全防范能力信息安全管理能力网络拓扑结构安全漏洞数量 1 3 2 5 4安全隐患数量1/3 1 1/2 1/4 1/3安全防范能力1/2 2 1 3/4 2/3信息安全管理能力1/5 4 4/3 1 1网络拓扑结构1/4 3 3/2 1 13.计算判断矩阵的特征向量：计算出各项指标的权重如下：序号指标权重1 A 0.17432 B 0.23913 C 0.18854 D 0.23765 E 0.1605总权重1结论通过模糊层次分析法的运用，我们可以得到各项指标的权重值，并确定计算机网络的安全等级。
建筑设计模糊性空间
建筑设计模糊性空间建筑设计模糊性空间是指居住环境中的模糊性空间设计是对人们居家心理的一种回应，是人性化居住环境的必要组成部分，也是对功能主义、国际主义缺乏完善的公共性空间的批判，其本身的空间形态即可构成人们心中的认知图式，是作为一种人性化的空间而存在的，并在住户的参与下而最终完成向人性化空间的转化，也就是说,只有当它被打上使用者的烙印之后，模糊性空间才真正成为人们共同拥有的富有诗意的家园的组成部分。
一、对我国目前建筑居住区模式的思考随着生活水平的提高，人们对居住的需求从基本生理需求的满足逐步向心理与文化领域的更高层次推进，住区不单是居住的功能，同时也是人们思想与情感交流的地方。
人们不但关注内部的居住空间,对居住的外部空间环境也越来越重视。
纵观我国目前的居住区模式，可以看出我国的居住区规划大多是按照一种典型的理性思维的模式建立起来的。
这也是现代主义创作的思维模式。
居住区常常是功能分区明确，居住空间的功能被划分为住宅、道路、绿化、服务设施，彼此功能划分明确,空间互不交叉。
住宅的高度、日照、间距、朝向、建筑密度等都经过精心的设计达到理性的结果。
公共交通与居住分离,空间组织的秩序和空间结构的明晰条理，以良好的形体环境来塑造人的生活。
然而,人的居住生活对应的是一种含混复杂的内在机理。
简单划一的物质空间缺乏了生活的情趣，容易造成精神上对环境的空虚感和孤独感。
模糊性空间的设计正是要打破这种简单划一的物质空间,通过创造多元化、多层次、含混性的居住空间，来反映生活含混复杂的内在机理。
二、模糊性空间的含义模糊性引司的设计包含二个方面的含义：空间界定的不确定性、空间的功能多义性、空间感受的含蓄性。
传统民居中的很多运用模糊性空间的手法,居民生活和公共交往混合交叉,使空间具行流动性、包容性和含蓄性，传达出浓郁的生活氛围和人情味。
（1)空间界定的不确定性:界面是限制建筑空间的物质实体,空间的性质在很大程度上决定于界面的性质。
模糊拓扑学
模糊拓扑学什么是模糊拓扑学？模糊拓扑学是拓扑学的一个分支，它是研究模糊空间的结构和性质的数学学科。
拓扑学是数学中研究空间连续性和变形性质的学科，而模糊拓扑学则考虑了模糊性质并将其应用到拓扑学的研究中。
模糊拓扑学的概念最早由美国数学家L.A. Zaichenko于1969年提出。
它是模糊数学在拓扑学领域的应用，模糊数学是一个研究不确定性和模糊性的数学学科。
在传统的拓扑学中，空间的元素或者说点要么包含于一个集合中，要么不包含于该集合中。
然而，在实际应用中，一些概念的边界是模糊的，即某些元素可能同时属于集合和不属于集合。
模糊拓扑学旨在研究这种模糊性质的空间以及它们的拓扑性质。
模糊集合与模糊拓扑空间在模糊拓扑学中，一个模糊集合是一个将元素和他们的隶属度联系起来的数学概念。
隶属度表示了元素属于集合的程度，取值范围在0到1之间。
例如，考虑一个包含年龄概念的模糊集合“年轻人”，它的隶属函数可以根据不同年龄段来表示一个人属于“年轻人”的程度。
模糊拓扑空间是一个由元素和它们的隶属度以及一组模糊拓扑概念组成的空间。
模糊拓扑空间中的元素可以同时属于多个集合，而集合之间的关系也是模糊的。
模糊拓扑学的目标是研究这些模糊拓扑空间的性质。
模糊拓扑学的基本概念模糊拓扑学中有一些基本概念，这些概念用于描述模糊拓扑空间的性质。
1.第一邻域：对于一个模糊拓扑空间中的元素，它的第一邻域是包含隶属度大于0的元素的集合。
2.内部和外部：一个模糊集合的内部是指其隶属度大于0的点的集合，而外部是指隶属度为0的点的集合。
3.成闭集：一个模糊集合的成闭集是指它的内部包含于它自身。
4.连通性：一个模糊拓扑空间是连通的，如果每个模糊集合的内部要么是空集，要么是整个空间。
这些基本概念用于描述模糊拓扑空间的性质和关系。
通过研究这些性质，可以得到关于模糊拓扑空间的一些结论。
模糊拓扑学的应用模糊拓扑学有广泛的应用领域。
它在模糊控制、模糊逻辑、人工智能等领域中都得到了应用。
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７该理论 的基 本框 架 ， 并分析 ７它的发展趋 势．
关键 词 模 糊 拓 扑 学 ， 次 闭 集 ， 糊 层 次 拓 扑 ， 续 映 射 ， 紧 性 层 模 连 仿
中 图分类 号
Ｏ１ ９ ５
文献 标识 码
Ａ
文 章编号
１ ０ —３ ４ ２ ０ ） １０ ０ —４ ０ ７８ ０ （０ ２ ０ — ０ １０
这就 是所 谓 的层 次 闭集． 次 闭集 可以 形成一 种拓 扑 ， 层 称之 为模 糊层次 拓 扑． 种拓 扑 已在模 糊 拓 这
扑 学 的 研 究 中 发 挥 ７较 大 的作 用 ， 并逐 渐 形 成 ｊ一 种 理 论 ， 之 模 糊 层 次 拓 扑 空 问 理 论 ． 文 综 述 谓 本
Ｖ ０＿ １ ＿ ５ ＮＯ． １ Ｍａ． Ｏ Ｚ ｆ２ Ｏ
２０ ０ ３年 ３月
模 糊 层 次 拓 扑 空 间 理 论 （） Ｉ
孟广武 孟 哈
（ 聊城大学 数学与 系统科学 系 ， 山东 聊城 ２ ２５ ） ５ ０ ９
摘
要
在模糊 拓 扑 空间 中， 有些集 合本 身 并不是闭 集 ， 在 某些层次 上 它却 表现 出闭集 的特性 ， 但
１ 介绍
层 次结 构 是模 糊拓 扑 空 间最重 要 的特征 ． 定 一个 Ｌ ｆｚｙ拓 扑 空 间 （ ，） 对 于 Ａ∈Ｌ 给 —ｕｚ ｄ， 和 Ｌ 的分
子 ｄ 令 （ ＝ ｛ ∈Ｘ： ｚ 垂 ， ， ） ｚ Ａ（ ） ｝ 则 ∞） （ （ ： ＝ ｆ Ａ） Ａ∈ｄ 形 成 ｘ 上 的一个 分 明拓扑 ， 之 为 （ ， ） 口 ） 称 ｄ 的
山 东 省 自然 科 学 基 盘 资 助 课 题 （ ８ ５ ０ ） Ｙ９Ａ０ ０ ８ 收稿 日期 ：０ １１ —３ ２ ０— ２０
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２
聊 城 师 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
第 １ 卷 ５
（） 称 Ａ 为 （ ， 中的 ｒ开集 ， Ｖ ∈ｘ， ） Ａ。 ） ， 等 价地 ， （ ≤ ｒ Ａ（ ≤ｒ １ ） － 若 Ａ 车ｒ 车，或 Ａ。 ） ） ； （ ） 称 Ａ 为 （ ， 中的 ａ闭集 ， Ｖ ∈ｘ，车Ａ ） 车Ａ一 工 ， ２ ） 一 若 ａ （ ）或等 价 地 ， （ ） Ａ一 ｚ ≥ Ａ（ ≥ ）
开映射 、１空 间 、 则空 间 、 规 空间 、 紧 空间等 的新待 征． 了 正 正 仿
模 糊层 次拓 扑 空 间理 论是 本文 作者及 其合 作者 建立 的 ， 目前 尚不完善 ． 本文综 述 的这些 结 果是基 于 一 种形式 的层 次 闭集 而 得到 的 ， 本文 的续 篇 中将 综述 由另一种 形式 的层次 闭集而 派生 的若 干结 果． 在 本 文 未说 明的概 念与 记号 均 合于 ［ ］此外 ， — ｚｙ拓扑 空 间简记 为 Ｌ ｆ ， 模 糊格 Ｌ， Ｌ） ｒ ３． Ｌｆ ｚ ｕ — ｓ对 ｔ Ｐ（ ＝｛∈
层 次拓 扑． 模糊 拓 扑学 的一个 基本 研 究方法是 用 Ｌ ｄ 去控 讨 （ ｄ的性 质 ， （） Ｌ ，） 这本 质上是 用 “ 明” 示 “ 分 揭 模 糊 ”这种 方 法 使模 糊拓 扑 学获 得 了长 足 的发 展 （ ［ ～３ ）那 么 ， 否 挖掘 （ ． 自身更 多 的信 息 去探 ． 见 １ ］． 能 ） 时（ ，） 陛质呢 ？ ｄ的 形象 地 说 ， 就是能 否用 “ 模糊 ” 揭示 “ 模糊 ” 这是我 们提 出模 糊层 次拓 扑空 间理 论 的 呢？
ａ．
（ ，） 中的所 有 ｒ开集 及所 有 ａ闭集 分别记 为 Ｏｒ ） Ｃ （）显然 ｃ０， 和 ＣＣ （） 一 一 （ 和 ． （ ） 。 ．
饲 ２ ２ 设 （ ， 是 一ｔ， ． ） ｆｓ 且 一 ｛ ， ） 则Ｖ ｒ ０ １ ． ＥＰ（ ， ） Ｕ｛ ｔ ） ０ （ 一 Ａ ：∈Ｔ）这 里 Ｖ ｆ ， ∈Ｔ， ∈Ｌ Ａ，
背 景之 一．
在 模糊 拓扑 学 中 ， 多概 念 都是从 模 糊集 之 层次 结构 的角 度提 出 的 ， 如 良紧集［． 了 阐明模 糊层 许 例 ３为 ］ 次 拓 扑空 间理 论提 出 的背 景 ， 不妨仔 细考 察一 下 良紧 集的定 义． （ ， ） 称 ｄ 中的 Ｌ ｆｚｙ集 为 良紧 的 ， — ｚ ｕ 若 对 Ｌ的每个 分 子 ａ及 Ａ 的每 个 一 域族 血， 远 存在 门 的有限 子族 ， 使 构 成 Ａ 的 ａ － 域 族． －远 注意 ， 里 这 的 门是 闭集族 ， 它 的职 责仅仅是 “ 管” 中 ａ层及 ｒ ∈口 ａ ） 但 看 Ａ （ （） 层上的分 子 ， 这似 乎有 点 大材 小用 ． 否 能 用某 种层 次 闭集来 代替 这里 的 闭集 ？这 种层 次 闭集 本 身不是 闭集 ， 但在某 个 层次 或某 些层 次 上很像 闭集 ． 这是 我 们提 出模糊 层次 拓扑 空 间理 论 的背景之 二 ． 本文 综述 的成果 引 自文 献 ［～ ６ ， 要有层 次 闭集 及层 次拓 扑 的概 念 ， ４ ］主 用层 次 拓 扑刻 画 的连续 映射 、
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第 １卷 ５
第 ｌ 期
聊 城 师 院学 报 （ 自然 科 学 版 ）
／ ｌｏ ａ ｈ ｎ ａ ｈ ｒ ｉ ｅ ｓｔ Ｎａ ． ｃ ． ｏｕ ￣ ｆＬｉ ￣ ｅ ｇ Ｔｅ ｃ ｅ ｓ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｒ ｙ（ ｔ Ｓ ｉ ）
Ｌ： ｒ是 Ｌ 的素元 且 ｒ １ ． 然 ， ∈Ｐ忆 ） ≠ ）显 ｒ 当且仅 当 ｒ ∈
示 Ａ 的 闭包 和 内 部 ．
） 用 Ｒ ． Ｆ表 示 远 域族 ， Ａ 和 Ａ。 别表 用 分
２ 层 次 闭 集 、 次 开 集 及 模 糊 层 次拓 扑 层
定 义 ２ １ 设 （ ） Ｌ ｆｓ ＡＧＬ ， （ ，∈Ｐ（ ． Ｌ ， 是 — ， ｔ ∈ Ｌ）ｒ Ｌ）