中考数学专题复习和训练 求阴影部分的面积
中考数学专题复习和训练求阴影部分的面积
求阴影部分的面积专题透析：计算平面图形中的面积问题是中考中的常考题型,多以选择题、填空题的形式出现,其中求阴影部分的面积是这类问题的难点.不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形和圆、圆弧等基本图形组合而成,考查内容涉及平移、旋转、相似、扇形面积等相关知识,还常与函数相结合.在解此类问题时,要注意观察和分析图形,会分析和组合图形,常常借助转化化归思想,将阴影部分不规则图形转化为规则的易求的图形求解.典例精析：例1.如图,菱形ABCD 的对角线BD AC 、分别为223、,以B 为圆心的弧与AD DC 、相切于点E F 、,则阴影部分的面积是A.π-3233 B.π-3433C.π-43D.π-23 分析：本题的阴影部分是不规则的,要直接求出阴影部分的面积不现实,但我们发现阴影部分是菱形ABCD 减去扇形ABC 的面积;菱形ABCD 可根据题中条件直接求出,要求扇形扇形ABC 的面积关键是求出圆心角∠ABC 的度数和半径;连结BD BE 、交于点O ,所有这些问题均可以化归在Rt △AOB 或Rt △BOC 中利用三角函数和勾股定理来解决. 选D 师生互动练习：1. 如图,Rt △ACB 中,C 90AC 15AB 17∠===，，;以点C 为 圆心的⊙C 与AB 相切于D ,与CA CB 、分别交于E F 、两点,则 图中阴影部分的面积为 .2.如图的阴影部分是一商标图案图中阴影部分,它以正方形ABCD的顶点A 为圆心,AB 为半径作BD ,再以B 为圆心,BD 为半径作弧, 交BC 的延长线与E ,BD,DE 和DE 就围成了这个图案,若正方形的边长为4,则这个图案的面积为A.π4B.8C.π3D.π-38 3.如图,Rt △ABC 中,,C 90A 30∠=∠=,点O 在斜边AB 上,半径为2,⊙O 过点B 切AC 于D ,交BC 边于点E E,则由线段CD EC 、及DE 围成的阴影部分的面积为 . 4. 已知直角扇形AOB 的半径OA 2cm =,以OB 为直径在扇形内作半圆⊙M ,过M 引MP ∥AO 交AB 于P ,求AB 与半圆弧及MP 围成的 阴影部分的面积为 .例2.如图,⊙O 的圆心在定角()0180αα∠<<的角平分线上运动,且⊙O 与α∠的两边相切,图中的阴影部分的面积y 关于⊙O 的半径()x x 0>变化的函数图象大致是分析：连结OA OB OC 、、后,本题关键是抓住阴影部分的面积=四边形ACOB 的面积-扇形BOC 的面积.设阴影部分的面积为y ,⊙O 的半径()x x 0>. ∵⊙O 切AM 于点B ,切AN 于点C , ∴OBA OCA 90,OB OC x,AB AC ∠=∠====,∴BOC 3609090180αα∠=---=-;∵AO 平分MAN ∠,xAB AC 1tan 2α==,且图中阴影部分的面积y =四边形ACOB 的面积-扇形BOC 的面积.∴ ()22180x 1x 1180y 2x x 112360360tan tan 22αππαπαα⎛⎫⎪--=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭∵x 0> ,且()0180αα∠<<是定角∴阴影部分的面积y 关于⊙O 的半径()x x 0>之间是二次函数关系. 故选C .师生互动练习：1.如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E F G H 、、、分别为各边上的点,且AE BF CG ==DH =；设小正方形EFGH 的面积为S ,AE 为x ,则S 关于x 的函数图象大致为2.2013.临沂中考如图,正方形ABCD 中,AB 8cm =,对角线AC 与BD 相交于点O ,点E F 、分别从B C 、两点同时出发,以/1cm s 的速度沿BC CD 、运动,到点C D 、停止运动.设运动时间为()t s ,OEF 的面积为()2S cm 与()t s 的函数关系式可用图象表示为3.2014.菏泽中考如图在Rt ABC 中,AC BC 2==,正方形CDEF 的顶点D F 、分别是边AC BC 、的动点,C D 、两点不重合.设CD 的长度为x ,ABC 与正方形CDEF 的重叠部分的面积为y ,则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的是 例3.如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形 的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长为1,△ABC 的顶点在格点上, 则△ABC 的面积为 . 分析: 延长AB ,然后作出过点C 与格点所在的水平直线,一定交于点E .则图中的阴影部分 = △AEC 的面积 - △BEC 的面积. 由正六边形的边长为1,根据正多边形形的性质,可以得出过正六边 形中心的对角线长为2,间隔一个顶点的对角线长为3,则CE 4=；若△AEC 和△BEC 都以CE 为求其面积的底边,则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢 解：由同学们自我完成解答过程 师生互动练习：1.如图已知网格中每个小正方形的边长为2,图中阴影部分的 每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为 .2.如图,已知下面三个图形中网格中的每个正方形的边长都设为1.结果均保留π⑴.图①中的阴影图案是由两段以格点为圆心,分别以小正方形的边长和对角线长为半径的圆弧和网格的边围成．,图中阴影部分的面积为 ；⑵.图②中的阴影图案是由三段以格点为圆心,半径分别为1和2的圆弧围成.图②中阴影部分的面积是 ；⑶.图③中在AB 的上方,分别以△ABC 的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分的面积之和为 .3.如图为一张方格纸,纸上有一灰色三角形,其顶点均位于某两网格线的FEBD O A CEC D ABDE OBA C PNMBO A E F D BA C E DB CA F x y 1212O A x y 123412345O C x y 1212O D B αCBAO MNxy OA xy OB xy OC xy ODC E A B ②①③CC交点上,若灰色三角形面积为214,则方格纸的面积为．附专题总结：求含圆图形中不规则阴影部分面积的几个技巧一.旋转、翻折为特殊图形：图①的第一个图是直角扇形OAB和直角扇形OCD搭建的,其中OA=9,OB=4,要求阴影部分的面积,可以将△ODB旋转至△OAC来求扇环BDCA的面积更简便见图①的第二个图.图②的第一个图中是直角扇形OAB和正方形OFED以及矩形OACD,其中OF=1,要求阴影部分的面积,可以将半弓形ODB沿正方形对角线翻折至EFA来求矩形ACEF的面积更简便见图②的第二个图二.图①的第一个图大圆⊙O 的弦并与小圆⊙圆⊙O O图①这样来求圆环的面积更容易；虽三.如图第一个图是以等腰Rt△AOB的直角顶点O为圆心画出的直角扇形OAB和以OA、OB为直径画出的两个半圆组成的图形,要求第一个图形阴影,可以按如图所示路径割补成一个弓形见第二个图中的标示更容易求出阴影图形的面积；如果OA=10,求出第一个图形阴影部分的面积略解：S阴影=2B0A11S S AOB101010255042ππ-=⨯⨯-⨯⨯=-扇形点评：解决.割补法在很多涉及到几何图形的题中都有运用.四.差法求叠合图中形的阴影例1.图①是教材114页的第3题,可以用四个半圆的面积之和减去正方形的面积得到阴影部分的面积；例2.图②自贡市中考题△ABC中,AB=BC=6,AC=10,分别以AB,BC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为．略解：△ABC的底边AC===2ABC1161S2S S21592222ππ⎛⎫⨯⨯-=⨯⨯⨯-⨯=-⎪⎝⎭影点评：本题的图形结构可以看成是三个图形叠合在一起两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合,具有这种图形结构题其实并不是我们想象那么抽象艰深.比如：本题的阴影部分恰好是两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合后,两个半圆覆盖等腰三角形后多出来的部分；那么下面的这个题就的计算也就不那么复杂了.举一反三,“难题”不难师生互动练习：：见上学期圆单元训练和专题复习的相应部分.迎考精炼：1.如图,AB 是⊙O的直径,弦CD AB,CD⊥=,则S阴影 =A.πB.2π D.23π2. 如图,⊙A、⊙B、⊙C两两不相交,且半径均为,则图中的三个阴影部分的面积之和为A.12πB.8πC.6πD.4π3.如图,⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中的阴影部分的面积为2π23πC.2πD.23π4.如图,在Rt△ABC中,C90,AC8BC4∠===， ,分别以AC BC、为直径画半圆,则图中的阴影部分的面积之和为A.2016π- B.1032π- C.1016π- D.20132π-5. 如图,四边形ABCD是正方形, AE垂直于BE于E,且AE3,BE4==,则阴影部分的面积是6. 如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形'''AB C D,图中的阴影部分的面积为A.1 C.1 D.127.如图,ABCD沿对角线AC平移,使A点至AC的中点''''A B C D,新的正方形与原正方形的重叠部分图中的阴影部分的面积是B.12C.148.将n个边长都为4cm的正方形按如图所示的方法摆放,点,,,1nA A风别是正方形对角线的交点,则n个正方形重叠部分的面积的和为A.21cm4B.2n1cm4-C.()24n1cm- D.n21cm4⎛⎫⎪⎝⎭9. 两张宽均为5cm的纸带相交成α角,则这两张带重叠部分图中阴影的面积为A.()225cmsinαB.()225cmcosαC.()250sin cmα D.()225sin cmα10. 如图,△ABC是等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,线段AB被截成相等的三部分,则图中的阴影部分的面积是△ABC面积的A.19B.29C.13D.4911.AB是⊙O的直径,以AB为一边作等边△ABC,交⊙O于点E F、,2=,则图中的阴影部分的面积为A.43π- B.23πC.3πD.3π12.如图;三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积OC图①CD DB图②BA2A1C'C结果保留π13. 如图①,等边△ABD 和等边△CBD 的边长均为1,将△ABD 沿AC 方向平移得到△'''A B D 的置,得到图 形②,则阴影部分的周长为 .14.如图,△ABC 的边AB 3AC 2==，,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB AC BC 、、为边的正方形,则图中三个阴影部分的面积之和的最大值为 . 15.若图中正方形F 以上的正方形均是以直角三角形向外作的正方形：①.若正方形A B C D 、、、的边长分别是a b c d 、、、,则正方形F 的面积如何用含a b c d 、、、的式子表示出来为 ；②.如果正方形F 的边长16cm ,那么正方形A B C D 、、、的面积之和是 .16.如图,边长为3的正方形ABCD 绕点按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG 交AD 于点H ,S 四边形HFCD = .17.如图, 已知AD DE EF 、、分别是ABC 、ABD 、AED 的中线,若2ABC 24cm S =,则阴影部分DFE 的面积为 .18.如图,在正方形ABCD 内有一折线,其中AE EF EF FC ⊥⊥、,并且AE 6=,EF 8=, AF 10=则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 . 19.如图把⊙O 向右平移8个单位长度得到⊙O 2,两圆相交于 A 、B,且O 1 A 、O 2 A 分别与⊙O 2、⊙O 1相切,切点均为A 点, 则图中阴影部分的面积为 . 20.如图,矩形ABCD 中,BC 4DC 2==，,以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E ,则图中的阴影部分的面积是 结果保留π21.在Rt △ABC 中,A 90AB AC 2∠===，,以AB 为直径作圆交BC 于点D ,则图中阴影部分的面积是 .22.如图,在△ABC 中,,AB 5cm AC 2cm ==,将△ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转45°至△11A B C 的位置,则线段AB 扫过的区域图中阴影部分的面积为 2cm .23.如图,半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于O ,其直径CD EF 、和x 轴垂直,以O 为顶点的两条抛物线分别经过C E 、和点D F 、,则图中的阴影部分的面积是 .24.如图,抛物线21y x 2=-+向右平移1个单位得到抛物线2y ,则抛物线2y 的顶点坐标为 ；阴影部分的面积S = . 25.如图在边长为2的菱形ABCD ,B 45∠=,AE 为BC 边上的 高,将△ABE 沿AE AE 在直线翻折得△'AB E ,求△'AB E 与四边形 AECD 重叠阴影部分的面积. 26.如图,矩形OBCD 按如右图所示放置在平面直角坐标系中坐标 原点为O ,连结AC 点A C 、的坐标见图示交OB 于点E ；求阴影 部分的四边形OECD 的面积27.如图,在△ABC 中,=90A ∠, O 是BC 边上的一点以O 为圆 心的半圆分别与AB AC 、边相切于点D E 、,连接OD 已知. 求：⑴.tan C ∠.⑵.求图中的阴影部分的面积之和.28.如图,⊙O 的直径AB 为10cm 1,弦AC 为6cm ,ACB ∠的平分线 交⊙O 于点D .⑴.求弦CD 的长； ⑵.求阴影部分的面积;29.如图, 在平面直角坐标系中,以(),10为圆心的⊙P 与y 轴 相切于原点O ,过点(),A 10-的直线AB 于⊙P 相切于点B . ⑴.求AB 的长；⑵.求AB OA 、与OB 围成的阴影部分面积不取近似值； ⑶.求直线AB 上是否存在点M ,使OM PM +的值最小 如果存在,请求出点M 的坐标；如果不存在,请说明理由.FB'EDA BC xy(4,2)(0,-1)E BDC A O BD C A ①B'D 'A'B D C ②FE D A B C 17题H G EF D A B C 16题15题ⅢⅡⅠG F M E B C A 14题18题1086B D C F E A xy –1–2123–1–212O24题A 1C AB 22题DB 21题O DA EBC 20题23题xy 1-1BA O。
中考数学复习课件4.四种方法求阴影部分面积
3＋12π
第5题图
C. 9 3 ＋12π D. 9 3 ＋6π 【解析】如解图，连接OC，过点C作CD⊥OA于点D，
∵∠BAC＝60°，OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AB＝12，∴
3 OA＝OC＝OB＝6,∴CD＝ OC· sin60°＝6× ＝3 3 ， 第5题解图 2 1 120 62 ∴S阴影＝ S△OAC＋S扇形BOC＝ ×6×3 3 ＋ ＝9 3＋12π. 2 360
【解析】∵AB＝12，∴半圆O的半径R＝6，如解图，过点O作OD⊥BC于
点D，交 BC 于点E，连接OC，则点E是 BEC 的中点，由折叠的性质可得 1 点O为 BOC 的中点，∴S弓形BO＝S弓形CO，在Rt△BOD中，OD＝DE＝ R 2 ＝3，OB＝R＝6，∴∠OBD＝30°，∴∠AOC＝60°，∴S阴影＝S扇形AOC＝ 2 60 π6 ＝ 6π. 360
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，若扇形ACE与扇形BDE关于点E 中心对称，则图中阴影部分的面积为 A. 2 B. 2 C. 4 ( B ) D. 4
【解析】∵扇形ACE与扇形BDE关于点E中心对称， ∴AE＝BE＝AC，∴AB＝2AC，∴sin∠ABC
AC 1 3 ＝ ＝ ，∴∠ABC＝30°,∴AC＝ BC＝2， AB 2 3
90 π 12 45 π 12 3 π 【解析】S阴影＝ 360 360 8
.
方法突破 3
形的面积，再进行面积计算的方法．
分割求和法
分割求和法是将不规则阴影部分面积通过作辅助线，分割成几个规则图
S阴影＝S△OBD＋S扇形DOC
5. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，且∠BAC＝60°，若AB＝12， 则图中阴影部分图形的面积为 A.12π法突破精讲练一四种方法求阴影
中考数学复习专题训练《圆的综合》(3)
中考数学复习专题训练《圆的综合》（3）1．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，O、A、B三点都在格点处，线段OA绕点O顺时针旋转至OB．（1）求线段OA的长；（2）画出旋转过程中点A经过的路径，且求出该路径的长．2．如图，网格中每个小正方形的边长为1，△OAB的顶点都在格点上，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使A点初次落在点A1上，请在图中画出△OAB 旋转后所得的像△OA1B1；（2）将△OA1B1向左平移三个单位得到△O2A2B2，请在图中画出平移后所得的像△O2A2B2；（3）求两次变换后B点所经过的路径总长．3．如图，点O、B的坐标分别为（0，0），（3，0），将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°到△OA′B′．（1）画出△OA′B′；（2）点A′的坐标为；（3）求在旋转过程中，点B所经过的路线的长度．4．如图，在正三角形网格中，每一个小三角形都是边长为1的正三角形，解答下列问题：（1）网格中每个小三角形的面积为；（2）将顶点在格点上的四边形ABOC绕点O顺时针旋转120°两次，画出所得到的两个图形，并写出点A所经过的路线为．（结果保留π）．5．如图，边长为a的正方形ABCD沿直线l向右滚动．（1）当正方形滚动一周时，正方形中心O经过的路程为，此时点A经过的路程为；（2）当点A经过的路程为时，中心O与初始位置的距离为；（3）将正方形在滚动中转了180°时点A的位置记为A1，正方形转了360°时点B的位置记为B1，请你猜想∠AA1B1的大小，并请你利用三角函数中正切的两角和公式来验证你的猜想．6．如图，⊙O的半径为10cm．（1）如果∠AOB＝100°，求扇形AOB的面积；（2）已知弧BC长为25cm，求∠COB的度数．（结果保留整数）7．如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝8，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求证：AF＝DF．（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．8．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A，B，O都在格点上．（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的三角形；（2）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．9．如图，P A、PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A、B分别为切点，∠APB＝60°，OP 与弦AB交于点C，与⊙O交于点D．（1）在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．10．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C 在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上．（1）求正方形CDEF的边长；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．11．如图，已知△ABC，若将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1．①请在图中画出△A1B1C1；②写出A点的对应点A1的坐标；③求出线段CB在旋转过程中扫过的面积．12．如图，⊙O交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，点D 为第一象限内⊙O上的一点，连接AD，OD，CD，已知∠DAB＝15°，CD＝2．（1）∠OCD＝．（2）⊙O的半径为．（3）S扇形COD＝．13．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，已知△ABC的边长为a，求图中阴影部分的面积．14．如图，点P在圆O外，P A与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA＝4，P A＝．求：（1）∠POA的度数；（2）弦AB的长；（3）阴影部分的面积．15．如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D，（1）求证：∠CDO＝∠BDO；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留π）16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．17．如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．（1）求证：∠CGO＝∠CDE；（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．18．如图，已知A为⊙O外一点，连接OA，交⊙O于P，AB是⊙O的切线，B是切点，且PO＝2cm，AB＝2cm，求阴影部分的面积．19．如图，已知菱形ABCD的边长为1.5cm，B，C两点在扇形AEF的上，求的长度及扇形ABC的面积．20．如图所示，在⊙O中，＝，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．（1）求证：AC2＝AB•AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B＝60°，求图中阴影部分面积．21．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC＝10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．（1）如图1，画出小狗活动的区域，并求出当BC＝2m时S的值．（结果保留π）（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，设BC＝xm，①写出面积S与x的关系式；②在BC的变化过程中，当S取得最小值时，求边BC的长及S的最小值．（结果保留π）22．如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ 所围成图形的面积S．23．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝8cm，连结OB，求图中扇形BOC的面积．24．如图，点A是游乐场上方25m处安装的一盏照明灯，灯光以圆锥形式照射地面．若圆锥的母线AB与AC的夹角为60°，求此灯光照射地面的面积．25．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，请用尺规作图法作经过A、B、C三点的⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）26．如图，点E，C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．（1）求证：AB＝DE；（2）若AC交DE于M，且AB＝，ME＝，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．27．如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的圆，圆心为O，且AB＝AD，延长CB、DA 交于P，过C点作PD的垂线交PD的延长线于E，且PB＝BO，连接OA．（1）求证：OA∥CD；（2）求线段BC：DC的值；（3）若CD＝18，求DE的长．28．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．（1）求证：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的长．29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD的交点为E，OB∥CD，BH⊥AC，垂足为H，且∠BF A＝∠DBC．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若BH＝3，求AD的长度；（3）若sin∠DAC＝，求△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比．30．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD＝10，求半径CD的长．。
中考数学复习指导：应用平移变换求阴影部分面积
应用平移变换求阴影部分面积在求阴影部分图形面积的题目中，其阴影部分图形大多是不规则的，部分同学乍遇这类题目显得不知所措．为此，本文就由平移产生的阴影部分面积予以剖析．一、点的平移例l 如图l，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB 匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t之间的函数图象大致为( )分析本题阴影部分的面积按等量关系“阴影面积＝以AB为直径的半圆面积－以AP 为直径的半圆面积－以PB为直径的半圆面积”，列出函数关系式，然后再判断函数图象．设P点运动速度为v（常量），AB＝a（常量），则AP＝vt，PB＝a－vt．则阴影面积为：由函数关系式可以看出，选D．二、线段的平移例2 已知，如图2，在平面直角坐标系中，A(3，4)，求当OA沿着x轴平移到点A'在双曲线y＝时，所扫过的面积．分析本题线段的平移所扫过的面积其实是一个平行四边形的面积．当点A平移到双曲线y＝上点A'时，纵坐标不变仍为4，由于点A，在双曲线y＝上，所以横坐标为5，说明线段平移了5－3＝2个单位长度，因此面积为2×4＝8．三、抛物线的平移例3 如图3(1)，将抛物线y＝x2平移得到新抛物线m，抛物线m经过点A（－6，0）和点0(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q．则图中阴影部分的面积为______．分析由抛物线构成的阴影部分没有面积公式，咋一看不知如何下手．其实抛物线y＝x2平移得到新抛物线m，抛物线m经过点A（－6，0）和点O(0，0)，抛物线m的解析式为y＝x2＋3x，对称轴为x＝－3，所以Q（－3，）．抛物线m与x轴、对称轴围成的面积其实就是抛物线y＝x2与y轴、y＝围成的面积，因此图中阴影部分的面积即为矩形的面积3×＝13.5．四、弧线的平移例4如图4(1)所示，半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为_______．分析本题弧线的平移，其实就是半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的部分是一个矩形(如图4(2))，根据矩形的面积公式计算即可．所以阴影部分的面积其实就是矩形ABCD的面积，即3×2＝6．五、其它曲线的平移例5 如图5(1)所示，求下图S形水泥弯路面的面积．（单位：米）分析本题不规则曲线围成的阴影部分的面积，相信许多同学会产生放弃此题的念头．其实利用平移的思想，把图5(1)中水泥弯路面左边的甲部分向右平移2米，使S形水泥路面的两条边重合，便转化为图5(2)，S形水泥路面的面积转化为右图中的阴影部分的面积．S形水泥路的面积是：30×2＝60（米2）．六、三角形的平移例6 如图6所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个R t△ABC沿BC方向平移得到R t△DEF，如果AB＝8 cm，BE＝4 cm，DH＝3 cm，则图中阴影部分的面积为_______cm2．分析由于两个三角形是平移得到的，所以是它们全等形，因此每个三角形不重叠的部分的面积是相等的．由此可知，阴影部分的面积等于四边形ABEH的面积．由题意可知，四边形ABEH为直角梯形，AB＝8，BE＝4，DH＝3，又DE＝AB，∴HE＝8－3＝5．所以，四边形ABEH的面积为：(8＋5) ×4＝26(cm2)．七、四边形的平移例7 如图7，两个直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿AD方向平移，平移的距离等于AE的长，HG＝20 cm．KG＝8 cm，KC＝5 cm，求图中阴影部分的面积．分析此题与例6思路类似，阴影部分的面积等于四边形DHGK的面积(140 cm2)．（HG＋DK）×KG＝（20＋20－5）×8＝140(cm2)．八、多边形的平移例8 如图8，两个五边形重叠在一起，将其中一个多边形沿EC方向平移，∠C＝∠H＝90°若CF＝3 cm，FD＝15 cm，FH＝6 cm，求图中阴影部分的面积．分析与例6，例7类似，阴影部分的面积等于四边形FHGD的面积．(FD＋HG)×FH＝(3＋15＋15)×6＝99(c m2)．九、圆的平移例9 如图8所示，在平面直角坐标系中，以A(5，1)为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B,C解答下列问题：(1)将⊙A向左平移_______个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A'，此时点A'的坐标为_______，阴影部分的面积S＝_______；(2)略．分析(1)结合已知条件及网格中信息可知，⊙A向左平移3个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A'．此时点A'的坐标为(2，1)，阴影部分中的扇形向右平移3个单位，可得到一个长为3，宽为2的矩形，从而得到阴影部分的面积S＝6．综上所述，初中阶段只学习三角形、特殊的四边形、圆及扇形的面积公式等，而在求阴影部分的面积时，其阴影部分往往是不规则图形，故无法直接求解，这时要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，实现不规则图形向规则图形的转化．。
专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)
专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法（解析版）第一部分典例剖析+针对训练方法一公式法典例1 （2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（ ）A．12π米2B．14π米2C．18π米2D．116π米2思路引领：连结BC，AO，90°所对的弦是直径，根据⊙O的直径为1米，得到AO＝BO=12米，根据勾股定理得到AB的长，根据扇形面积公式即可得出答案．解：连结BC，AO，如图所示，∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵⊙O的直径为1米，∴AO＝BO=12（米），∴AB=AO2+BO2=22（米），∴扇形部件的面积=90360π×（22）2=π8（米2），故选：C．总结提升：本题考查了扇形面积的计算，掌握设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2是解题的关键．针对训练1．（2021•卧龙区二模）如图，△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交边BC 于点B，交边AC于点E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，则扇形BDE的面积为 ．思路引领：求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题．解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝180°﹣60°﹣100°＝20°，∵DE＝DC，∴∠C＝∠DEC＝20°，∴∠BDE＝∠C+∠DEC＝40°，∴S扇形DBE=40π×32360=π．故答案为：π．总结提升：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式．方法二和差法典例2（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）A．3―π4B．23―πC．(6―π)33D．3―π2思路引领：作AF⊥BC，由勾股定理求出AF，然后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE得出答案．解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，设切点为F，连接AF，则AF⊥BC．在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．在Rt△ACF中，AF=AB2―AF2=3，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE=12×2×3―60π×(3)2360=3―π2，故选：D．总结提升：本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积﹣扇形的面积是解题的关键．针对训练1．（2022•玉树市校级一模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ）A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣4D．π2―1思路引领：连接OC，求出∠AOC＝∠BOC＝45°，求出∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，求出CD＝OD，CE＝OE，根据勾股定理求出CD＝OD＝OE＝CE=2，再求出阴影部分的面积即可．解：连接OC，∵OA＝2，∴OC＝0A＝2，∵∠AOB＝90°，C为AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∴∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，∴CD＝OD，CE＝OE，∴2CD2＝22，2OE2＝22，即CD＝OD＝OE＝CE=2，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△CDO﹣S△CEO=90π×22360―2×12×2×2=π﹣2，故选：B．总结提升：本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，扇形面积的计算等知识点，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，半径为r，那么该扇形的面积为nπr2360．方法三等积变形法典例3（2020•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD ∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为 ．思路引领：由圆周角定理可得∠AOB的度数，由OD∥AB可得S△ABD＝S△ABO，进而可得S阴影＝S扇形AOB，然后根据扇形面积公式计算即可．解：∵∠ACB＝15°，∴∠AOB＝30°，∵OD∥AB，∴S△ABD＝S△ABO，∴S阴影＝S扇形AOB=30π×22360=π3．故答案为：π3．总结提升：本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．针对训练1．（2022秋•天桥区期末）如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是23，则图中阴影部分的面积是（ ）A．2πB．6πC．33πD．3π思路引领：根据四边形OABC是菱形，得BC＝OC＝OB，即△COB是等边三角形，根据S△ADB＝S△OCD，所以图中阴影部分的面积＝S扇形COB．解：∵四边形OABC是菱形，∴BC＝OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵S△ADB＝S△OCD，∴图中阴影部分的面积＝S扇形COB=60π×(23)2360=2π．故选：A．总结提升：本题考查的是扇形面积的计算和菱形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．方法四化零为整法（整体法）典例4（2021•天桥区二模）如图，已知正六边形的边长为4，分别以正六边形的6个顶点为圆心作半径是2的圆，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：先求出六边形的内角和，再根据扇形的面积公式即可求出．解：∵六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴阴影面积＝6×π×22―720π×22360=16π．故答案为：16π．总结提升：本题主要考查了扇形的面积公式，学会把图中不规则图形的面积由几何关系转化为规则图形的面积．针对训练1．如图，分别以五边形的各个顶点为圆心，1cm长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 π cm2．思路引领：根据多边形的外角和为360°可得阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，再利用圆的面积计算公式可得答案．解：图中阴影部分的面积为π×12＝π．故答案为：π．总结提升：此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形的外角和为360°．方法五割补法（拼接法）典例5（2022•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）A．9B．6C．3D．12思路引领：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE＝CE，得到弓形BE的面积＝弓形CE的面积，则S阴影=S△ABE=S△ABC―S△BCE=12×6×6―12×6×3=9．解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OCE＝45°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，∴S阴影=S△ABE=S△ABC―S△BCE=12×6×6―12×6×3=9，故选：A．总结提升：本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．针对训练1．（2021•郑州模拟）如图，在扇形CBA中，∠ACB＝90°，连接AB，以BC为直径作半圆，交AB于点D．若阴影部分的面积为（π﹣1），则阴影部分的周长为 ．思路引领：根据BC为直径可知∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，设AC＝BC＝m，则AB=2m，CD＝AD＝BD=22m，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差，据此求得直角三角形的边长，进而求得AB和CD的长，进一步求得阴影部分的周长．解：设BC的中点为O，连接OD，连接CD，∵以BC为直径作半圆，交AB于点D．∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AD＝BD，CD=12 AB，∴CD＝BD，∴CD=BD，∵AD＝BD，CO＝BO，∴OD∥AC，∴∠BOD＝90°，设AC＝BC＝m，则AB=2m，CD＝AD＝BD=22 m，∵阴影部分的面积为（π﹣1），∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=14π•m2―12×（22m）2＝π﹣1．∴14πm2―14m2＝π﹣1，∴14m2＝1，∴m＝2，∴AC＝BC＝2，AB＝22，OC＝OB＝1，∴AB的长为：90⋅π×2180=π，BD的长为：90⋅π×1180=12π，∴阴影部分的周长为：π+2×12π+22+2＝2π+22+2故答案为：2π+22+2．总结提升：本题考查了扇形的面积和弧长的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．方法6 图形变化法（旋转、平移、翻折）典例6（2022•武威模拟）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：解直角三角形得到AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′=90⋅π⋅22360―60⋅π⋅(3)2360―12×1×3=π―32，故答案为：π―32；总结提升：本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．针对训练1．（2022•西宁）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝23，则图中阴影部分的面积是 4π3 ．思路引领：根据内接于圆O的等边三角形的性质可得S△AOB＝S△AOC，∠AOC＝120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．解：∵△ABC为等边三角形，∴S△BOC＝S△AOC，∠AOC＝120°，在△OBC中，OB＝OC，∠BOC＝120°，BC＝23，∴OB＝OC＝2，∴S阴影＝S扇形AOC=120π×22360=4π3，故答案为：4π3．总结提升：本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．典例7（2022•九龙坡区自主招生）如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，4为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）思路引领：连接BD，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．解：连接BD，EF，如图，∵正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵点E，F分别为BC，AD的中点，∴FD＝FO＝EO＝EB＝2，∴OB=OD，OB＝OD．∴弓形OB＝弓形OD．∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD=90π×42360―12×4×4=4π﹣8．故答案为：4π﹣8．总结提升：本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．针对训练1．（2021•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）思路引领：理由圆周角定理得出AO⊥BD，利用正方形的性质性质和等腰直角三角形的性质得出OD＝OA ＝OB，结合转化思想得出阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC，进而得出答案．解：如图，∵AB是直径，∴∠AOB＝90°，∴AO⊥BD，∵AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，∴OD＝OA＝OB，∴S弓形OA＝S弓形OB，∴阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC=14π×42―12×4×4=4π﹣8，故答案为4π﹣8．总结提升：本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形，属于中考常考题型．典例8（2019•招远市一模）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将CE沿弦CE翻折，交CD于点F，图中阴影部分的面积＝ ．思路引领：根据AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8，可以求得⊙O的半径；要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．解：如图，连接AO，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，过点M作MN⊥CD于点N，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG=12AB＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×3 2，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC=120×π×25360―2534=25π3―2534，即图中阴影部分的面积是：25π3―2534．总结提升：本题考查翻折变换、扇形的面积、垂径定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．针对训练1．（如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，折痕为AB，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，根据轴对称的性质可以得出CO＝CD，由三角函数值就可以求出∠AOB的度数，由扇形的面积﹣三角形AOB的面积就可以得出结论．解：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，∴∠ACO＝90°．∵△AOB与△ADB关于AB对称，∴△AOB≌△ADB∴AO＝AD，∠ACO＝∠ACD＝90°，∴CO＝CD．∵OD＝AO＝4，∴OC＝2．在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝23．∵cos∠AOC=COAO=12，∴∠AOC＝60°．∵AO＝BO，OC⊥AB，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°．AB＝2AC＝43．∴S扇形AOBD=120π×16360=163π．∵S△AOB=43×22=43．阴影部分的面积为：（163π―43）cm2．故答案为：（163π―43）cm2．总结提升：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，扇形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．方法七重叠求余法例七（2022•鄂尔多斯二模）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 ．思路引领：根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：60π×62360=6π，故答案为：6π．总结提升：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积是解题的关键．针对训练1．（2022•市南区校级一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将三角形绕着BC的中点O逆时针旋转60°，点A的对应点为E，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：如图，连接OE，OA．根据S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE，求解即可．解：如图，连接OE，OA．由题意可知△BOF为等边三角形．∴OB＝OF＝BF＝1，∴S△BOF=3 4，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝4，AC＝DE＝23，∴S△EOF=12•OF•DE=3，∵OF＝OD，∴S△EOF＝S△DEO=3，∵∠AOE＝60°，AO=AC2+OC2=(23)2+12=13，∴S扇形EOA=60⋅π⋅(13)2360=13π6，由题意，△BPE为直角三角形，BE＝EF﹣BF＝4﹣1＝3，∴BP=12BE=32，PE=32―(32)2=332，∴S△PBE=12×32×332=938，∴S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE=13π6+3―34―3―938=13π6―1138．解法二：可以根据S阴＝S△APE+（S扇形AOE﹣S△AOE）计算．总结提升：本题考查扇形的面积，旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．第二部分专题提优训练一．选择题（共15小题）1．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2思路引领：根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC=120π×9360―120π×94360＝2.25πm2．故选：D．总结提升：本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=nπR2360是解题的关键．2．（2022秋•西华县期末）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）A．π﹣1B．π﹣2C．12π﹣1D．12π+1思路引领：已知BC为直径，则∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．解：在Rt△ACB中，AB=22+22=22，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD=2，∴D为半圆的中点，∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=12π×22―12×（2）2＝π﹣1．故选：A．总结提升：本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．3．（2022•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）A．6π﹣93B．12π﹣93C．6π―932D．12π―932思路引领：根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，∵∠GDE＝30°，DE＝6，∴GE＝3，DG＝33，∴DF＝63，阴影部分的面积=120π×36360―12×63×3＝12π﹣93，故选：B．总结提升：本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的关键．4．（2022•达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作BC，AC，AB，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（ ）A．2π﹣23B．2π―3C．2πD．π―3思路引领：此三角形是由三段弧组成，如果周长为2π，则其中的一段弧长为2π3，所以根据弧长公式可得60πr 180=2π3，解得r＝2，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就＝三角形的面积+三个弓形的面积．解：设等边三角形ABC的边长为r，∴60πr180=2π3，解得r＝2，即正三角形的边长为2，∴这个曲边三角形的面积＝2×3×12+（60π×4360―3）×3＝2π﹣23，故选：A．总结提升：本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积就＝三角形的面积+三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．5．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB和CD 平行且相等（如图②），小华用皮尺量出BD＝1米，BC＝0.5米，则阴影部分的面积为（ ）A．（π12―38）平方米B．（π6―38）平方米C．（π12―34）平方米D．（π6―34）平方米思路引领：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，进而得出CD，EO的长以及∠COD的度数，进而由S弓形CD面积＝S扇形COD﹣S△COD得出弓形CD的面积，进一步即可求得阴影部分的面积．解：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，由题意可得出：∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵BD＝1米，BC＝0.5米，∴BC=12BD，CD=BD2―CD2=32米，∴∠BDC＝30°，∴OE=12OD=14米，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠BDC＝30°，∴∠COD＝120°，∴S弓形CD面积＝S扇形COD﹣S△COD=120π×(12)2360―12×14×32，＝（π12―316）平方米，∴阴影部分的面积为：2×（π12―316）＝（π6―38）平方米．∴故选：B．总结提升：此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．6．（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）A．π3B．3π5C．2π3D．3π4思路引领：解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝BE＝2，BC=3，∴cos∠CBE=CBBE=32，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=2π3，故选：C．总结提升：本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．7．（2022•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D 落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）A．2πB．22C．2π﹣4D．2π﹣22思路引领：连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．解：连接OE，OC，BC，由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC为等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝22，∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC=90π×(22)2360―12×22×22=2π﹣4，故选：C．总结提升：本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．8．（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD 的长为30cm，则扇面的面积是（ ）A．375πcm2B．450πcm2C．600πcm2D．750πcm2思路引领：先求出AD的长，再根据扇形的面积公式求出扇形BAC和扇形DAE的面积即可．解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，∴AD＝AB﹣BD＝15cm，∵∠BAC＝120°，∴扇面的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE=120π×452360―120π×152360＝600π（cm2），故选：C．总结提升：本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积S=nπr2 360．9．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）A．3π﹣33B．3π―932C．2π﹣33D．6π―932思路引领：根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO＝BO，∴四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AC＝3，∴OC＝3，AD=32AC=332，∴AB＝2AD＝33，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC=120π×32360―12×3×33=3π―932，故选：B．总结提升：本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．10．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）A．23π―32B．23π―3C．43π﹣23D．43π―3思路引领：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB=3，进而求出阴影部分的面积．解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，由题意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝2∴S扇形AOB=60π×22360=23π，∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC=3，∴S△AOB=12×2×3=3，∴阴影部分的面积为：23π―3；故选：B．总结提升：本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．二．填空题11．（2020•巩义市二模）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：连接OB，交CA于E，根据圆周角定理得到∠BOA＝60°，根据平行线的性质得到∠D＝∠OAC ＝30°，即可得出∠OBD＝90°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．解：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C=12∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵BD∥AC，∴∠D＝∠OAC＝30°，∴∠OBD＝90°，∴BD=3OB＝83，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB=12×8×83―60π×82360=323―32π3，故答案为323―32π3．总结提升：本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．12．（2021•宛城区一模）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，长为2的线段CD的两个端点分别在线段OA、OB上滑动，E为CD的中点，点F在AB上，连接EF、BE．若AF的长是π3，则线段EF的最小值是 ，此时图中阴影部分的面积是 ．思路引领：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．根据弧长求得∠AOF＝30°，jk证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝1，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，然后根据S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT求得阴影的面积．解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．∵AF的长是π3，OA＝2，∴π3=nπ×2180，∴n＝30，∴∠AOF＝30°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOF＝60°，∵CE＝DE，∴OE=12CD=12×2=1，∵OF＝2，∴EF≥OF﹣OE＝1，∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，∴此时EF＝1，∵OF＝OB，∠BOF＝60°，∴△BOF是等边三角形，∵OT＝TF，∴BT⊥OF，∴BE＝BT=32OB=3，∴此时S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT=60π×22360―12×3×1=23π―32．故答案为：1，23π―32．总结提升：本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，明确当O，E，F共线时，EF的值最小是解题的关键．13．（2022•贵港）如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝32，则图中阴影部分的面积是 ．思路引领：过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．解：过点D作DF⊥AB于点F，∵AD=23AB，∠BAD＝45°，AB＝32，∴AD=23×32=22，∴DF＝AD sin45°＝22×22=2，∵AE＝AD＝22，∴EB＝AB−AE=2，∴S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC＝32×2―45π×(22)2360―12×2×2＝52―π，故答案为：52―π．总结提升：本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，准确添加辅助线是解题关键．14．（2020春•亭湖区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝6，则阴影部分的面积是 ．思路引领：根据扇形的面积公式计算即可．解：∵∠BOD＝2∠DCB，∠DCB＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形OBD=60⋅π⋅62360=6π，故答案为6π．总结提升：本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是计算扇形的面积公式，属于中考常考题型．15．（2022•黔西南州）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 ．思路引领：证明△OBE≌△OCG（SAS），推出S△OBE＝S△OCG，推出S四边形OECG＝S△OBC＝4，再根据S 阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG，求解即可．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC=14S四边形ABCD＝4，∵∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠COG，在△BOE和△COG中，∠BOE=∠COGOB=OC∠OBE=∠OCG，∴△OBE≌△OCG（SAS），∴S△OBE＝S△OCG，∴S四边形OECG＝S△OBC＝4，∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，∴OB＝OC＝22，∴S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG=90π⋅(22)2360―4＝2π﹣4，故答案为：2π﹣4．总结提升：本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．（2020•康巴什一模）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：先根据正方形的边长，求得CB1＝OB1＝AC﹣AB1=2―1，进而得到S△OB1C=12（2―1）2，再根据S△AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．解：连接DC1，∵∠CAC1＝∠DCA＝∠COB1＝∠DOC1＝45°，∴∠AC1B1＝45°，∵∠ADC＝90°，∴A，D，C1在一条直线上，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=2，∠OCB1＝45°，∴CB1＝OB1∵AB1＝1，∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1=2―1，∴S△OB1C=12•OB1•CB1=12（2―1）2，∵S△AB1C1=12AB1•B1C1=12×1×1=12，∴图中阴影部分的面积=45⋅π⋅(2)2360―12（2―1）2―12=π4―2+2．故答案为π4―2+2．总结提升：本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．17．（2021秋•招远市期末）如图，在扇形OAB中，点C在AB上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC 于点D，连接AC，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：连接OC，作CM⊥OB于M，根据等腰直角三角形的性质得出∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝42，进而得出∠OCB＝OBC＝75°，即可得到∠BOC＝30°，解直角三角形求得AD、BD、CM，然后根据S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）计算即可求得．解：连接OC，作CM⊥OB于M，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB=42，∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，∴AD=12AB=22，BD=32AB=26，∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，∴∠OBC＝75°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝75°，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝60°，CM=12OC=12×4=2，∴S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAC﹣S△BOC=12×22×26+12×4×4―12×4×2―60π×42360=4+43―8π3．故答案为：4+43―8π3．总结提升：此题考查了运用切割法求图形的面积．解决本题的关键是把所求的面积转化为容易算出的面积的和或差的形式．。
【最新】2020年中考数学典例精做专题17 图形的面积(求阴影部分的面积) (学生版)
A． 18+36π C． 18+18π
B． 24+18π D． 12+18π
7．如图，正方形 ABCD 的面积为
，点 E 在 BC 上，点 G 在 AB 的延长线上，四边形 EFGB 是正方
形，以 B 为圆心，BC 长为半径画弧 AC，连结 AF，CF，则图中阴影部分面积为
．
3
A．
B．
C．
D．
8．如图，直角三角形两直角边的长分别为 3 和 4，以直角三角形 的两直边为直径作半圆，则阴影部分的 面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
11．如图,将半径为 2,圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°,点 O,B 的对应点分别为 O',B',连 接 BB',则图中阴影部分的面积是 ( )
A．
B． 2 -
C． 2 -
D． 4 -
12．如图，边长为 1 的正方形 ABC D 绕点 A 逆时针旋转 后得到正方形 点 O，则图中阴影部分的面积是
9
关系式为
；
解决问题：
（4）在图 5 中，E、G、F、H 分别为任意四边形 ABCD 的边 AD、AB、BC、CD 的中点，并且图中阴
影部分的面积为 20 平方米，求图中四个小三角形的面积和是多少？即求 S1+ S2+ S3+ S4=？
10
实践探究
（1）在图 2 中，E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，则 S 阴和 S 矩形 ABCD 之间满足的关系式
为
；
（2）在图 3 中，E、F 分别为平行四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，则 S 阴和 S 平行四边形 ABCD 之间满足
专题03 阴影部分面积的计算-备战2022年中考数学母题题源解密(全国通用)(原卷版)
专题03 阴影部分面积的计算考向1 静态背景下与扇形有关的阴影部分面积的计算【母题来源】2021年中考山东枣庄卷【母题题文】如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C 为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1 B．π﹣3 C．π﹣2 D．4﹣π【答案】C【试题解析】连接BD，EF，如图，∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵点E，F分别为BC，AD的中点，∴FD＝FO＝EO＝EB＝1，∴，OB＝OD．∴弓形OB＝弓形OD．∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBDπ﹣2．故选：C．【命题意图】考查基本的计算能力，注重割补法和转化思想的应用。
【命题方向】以选填为主，主要安排在选填的压轴位置，技巧性较强。
【得分要点】求阴影部分面积的常用方法:(1)公式法:若所求阴影部分是规则图形,如扇形、特殊四边形、三角形等,可直接利用公式计算;(2)和差法:若所求阴影部分是不规则图形,可将图形适当分割,将不规则的阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差;(3)等积转化法:当直接求面积较麻烦或根本求不出来时,可通过等面积转化(利用图形的平移、旋转、对称变换前后面积不变的性质或同底等高的两个三角形面积相等)为公式法或和差法创造条件;(4)一般地,图形中若出现弧线,则先找到这条弧所在圆的圆心,将其补全为扇形,再利用图形间的关系进行求解. 考向2 动态背景下与扇形有关的阴影部分面积的计算【母题来源】2021年中考内蒙古兴安盟卷【母题题文】（2021•兴安盟）如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD 的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（）A．B．C．π﹣1 D．π﹣2【答案】D【试题解析】两扇形的面积和为：π，过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，则四边形EMCN是矩形，∵点C是的中点，∴EC平分∠AEB，∴CM＝CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，∴∠MCG＝∠NCH，在△CMG与△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，∴空白区域的面积为：1，∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．故选：D．【命题意图】考查了扇形的面积，正方形面积公式，构造辅助线运用转化思想解答关键．【命题方向】以选填为主，多为选填的压轴位置，试题区分度较高.【得分要点】动态背景下阴影部分面积的主要以平移、折叠、旋转变换为背景，结合勾股定理以及锐角三角函数知识求出扇形的半径和圆心角，进而得出扇形的面积，在解答过程中要注意合理添加辅助线，将不规则图形的面积通过割补或转化进行计算.1．（2021•东胜区二模）如图，已知所在圆的半径为4，弦AB长为，点C是上靠近点B的四等分点，将绕点A逆时针旋转120°后得到，则在该旋转过程中，线段CB扫过的面积是（）A．B．C．πD．2．（2021•峨山县模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，以A为圆心，AB为半径画圆弧，交AC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．3．（2021•驻马店二模）如图，已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为，连接OC、AD，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．4．（2021•河南模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA上一个动点，连接BC，以BC为对称轴折叠△OBC得到△DBC，点O的对应点为点D，当点D落在弧AB上时，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．5．（2021•新洲区模拟）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，把以AB为直径的半圆O绕点B顺时针旋转至如图位置（点A落在CD上的点A′处），则半圆O扫过的面积（图中阴影部分）是（）A．3πB．πC．D．6．（2021•姜堰区一模）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为M，连接OB、AC，如果OB∥AC，OB＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．2π7．（2021•江岸区模拟）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝4，上面有一个以AD为直径的半圆，如图甲，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（）A．π﹣2B．πC．πD．8．（2021•山西模拟）如图所示的是小慧设计的一个美丽的图案，该图案是由两个圆心相同，半径分别为9cm 和3cm的圆构成的，那么该图案中阴影部分的面积为（）cm2A．72πB．60πC．48 D．36π9．（2021•硚口区模拟）如图，AB和CD是⊙O的两条互相垂直的弦，若AD＝4，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2π﹣1 B．π﹣4 C．5π﹣4 D．5π﹣810．（2021•湘潭模拟）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，C是⊙O上一点，将沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．11．（2021•紫金县模拟）如图，正方形ABCD边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为S1和S2，则S1﹣S2等于（）A． 1 B．1C． 1 D．112．（2021•漳平市模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点C为圆心，OA的长为直径作半圆交CE于点D，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．3πB．3π﹣2C．2D．13．（2021•卧龙区一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，以点B为圆心，BA长为半径画弧，恰好过顶点D和顶点C，点E，F分别是弧AC上的两点，若∠EBF＝60°，则图中阴影部分的面积为．14．（2021•澄海区模拟）如图，已知Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，点C在线段BD上，BC＝2，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转30°，使得BE与BA重合，则线段DE经旋转运动所形成的平面图形（即阴影部分）的面积为．15．（2021•峡江县模拟）如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形ODCF的顶点F，D，C分别在OA，OB，上，过点B作BE⊥FC，交FC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积等于．16．（2021•中原区校级四模）如图，AC的半圆O的一条弦，将弧AC沿弦AC为折线折叠后过圆心O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为．17．（2021•江北区校级模拟）如图，半径为4的扇形AOB的圆心角为90°，点D为半径OA的中点，CD⊥OA交于点C，连接AC、CO，以点O为圆心OD为半径画弧分别交OC、OB于点F、E，则图中阴影部分的面积为．18．（2021•德城区二模）如图，等边△ABC中，BC＝6，O、H分别为边AB、AC的三等分点，AH AC，AO AB，将△ABC绕点B顺时针旋转100°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为．19．（2021•福州模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，分别以点A，B为圆心，AC，BC的长为半径画弧，交AB于点D，E，则图中阴影部分的面积是．20．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B（﹣5，0），C（5，0），点D（11，0），将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则的长度为，图中阴影部分面积为．。
中考数学专题复习和训练--求阴影部分的面积
合 .在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分析和组合图形，常常借助
阴影部分（不规则图形）转化为规则的易求的图形求解
.
转化化归 思想，将
典例精析：
例 1.如图 , AB 是⊙ O 的直径，弦 CD AB, C 30 ,CD 2 3 ,则 S 阴影 =
A.
B. 2
2 C. 3
3
分析： 本题的阴影部分是不规则的，要可以转化到规则的阴影部分，比
形中心的对角线长为 2，间隔一个顶点的对角线长为 3 ，则 CE 4 ；若 △AEC 和 △BEC 都以 CE 为求其面积的底边 ,则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢？ 解：（由同学们自我完成解答过程）
师生互动练习：
1.如图已知网格中每个小正方形的边长为 2，图中阴影部分的
每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为
小圆⊙ O′向右 平移 至大圆⊙ O 使圆心重合（见 图① 的第二个图） ，这样来求圆环的面积更容易O；
图② 虽然是半圆也可以采用相同的方法求阴影部分半圆环的面积
.
A
B
A
C B
O O'
O
O' O
O
A
B
A
B
C
图① 三 .补转化为一个整体：
图②
如图第一个图是以等腰 Rt△AOB 的直角顶点 O 为圆心画出的直角扇形 OAB 和以 OA 、 OB 为
如转化为扇形 AOD 的面积来求；利用垂径定理和三角函数计算可以得出
C
EC ED,EO EA ,由此可以证明⊿ AEC ≌⊿ DEO ; 所以阴影部分等于
扇形 AOD 的面积，利用扇形面积的计算公式求出结果为
2 . 选D
中考数学专题训练之二--求阴影部分的面积 (含答案)
求阴影部分的面积1．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．B ．2﹣C ．2﹣D ．4﹣2．如图，在矩形ABCD 中AB=，BC=1，将矩形ABCD 绕顶点B 旋转得到矩形A'BC'D ，点A 恰好落在矩形ABCD 的边CD 上，则AD 扫过的部分（即阴影部分）面积为（ ）A ．B ．2﹣C ．D ．3．如图，线段AB=2，分别以A 、B 为圆心，以AB 的长为半径作弧，两弧交于C 、D 两点，则阴影部分的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图所示，有一个半径为2的扇形，∠AOB=90°，其中OC 平分∠AOB ，BE ⊥OC ，CD ⊥AO ，则图中阴影面积为（ ） A ．π﹣1 B ．π﹣2 C ．﹣2D ．﹣15 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积是( )A. π6B. π3C. 1＋π6 D. 16. 如图，在半径为2 cm 的⊙O 中，点C 、点D 是AB ︵的三等分点，点E 是直径AB 的延长线上一点，连接CE 、DE ，则图中阴影部分的面积是( )A. 3 cm 2B. 2π3 cm 2C.2π3－ 3 cm 2D.2π3＋ 3 cm 2 7. 如图，正方形ABCD 的面积为12，点M 是AB 的中点，连接AC 、DM 、CM ，则图中阴影部分的面积是( )A. 6B. 4.8C. 4D. 38.如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA ，ED 长为半径画AF ︵和DF ︵，连接AD ，则图中阴影部分面积是( )A. πB. 54π C. 3＋π D. 8－π9. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB=120°，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC ⊥AO ，若OA=积为____________10．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B 的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ．11.如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，以点A 为圆心， OA 的长为半径作⌒OC 交⌒AB 于点C. 若OA=2，则阴影 部分的面积为___________.12．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝900，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交⌒AB于点E ．以点O 为圆心，OC 的长为半径作⌒CD 交OB 于点D ．若OA ＝2，则阴影部分的面积为.B13．如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C 的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 _____ ．14、如图，抛物线的顶点为(2,2),P -与y 轴交于点(0,3)A ，若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点'(2,2)P -，点A 的对应点为'A ，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为15．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8．把△ABC 绕AB 边上的点D 顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB 于点E ．若AD=BE ，则△A′DE 的面积是 ．16．如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，点C 为OB 的中点，CD ⊥OB 交弧AB 于点D ．若OA=2，则阴影部分的面积为 ．17．如图，四边形ABCD 是一个矩形，E 、F 、G 、H 分别是边AD 、BC 上的三等分点，请你根据图中的数据求阴影部分的面积为 cm 2．18.如图，正方形ABCD 的边长为6，分别以A ，B 为圆心，6为半径画BD ︵，AC ︵，则图中阴影部分的面积为__________．19.如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为________．20.如图，平行四边形ABCD中，AB＝AC＝4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为________．21. 如图，半圆O的直径AE＝4，点B，C，D均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为________．22.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为________．23 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AC＝2，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)．24.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是________．25. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则图中阴影部分的面积为________．26.如图，在矩形ABCD中，点O在BC边上，OB＝2OC＝2，以O为圆心，OB的长为半径画弧，这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为________．27.如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是________．28. 如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD ＝16cm 2，S △BQC ＝25cm 2，则图中阴影部分的面积为________cm 2.29. 如图，正方形ABCD 的边长为1，分别以点A 、D 为圆心，1为半径画弧BD 、AC ，两弧相交于点F ，则图中阴影部分的面积为________．30. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB1E ，则△AB 1E 与四边形AECD 重叠部分的面积是________．31. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是________ cm 2.求阴影部分的面积答案1 解：连接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°， ∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等边三角形， ∴∠AOO′=60°，∵∠AOB=120°， ∴∠O′OB=60°，∴△OO′B 是等边三角形， ∴∠AO′B=120°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠B′O′B=120°， ∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S △B′O′B ﹣（S 扇形O′OB ﹣S △OO′B ）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣．故选C ． 2 A ． 3 A ． 4 B5．B 【解读】在Rt △ABC 中，∵AC ＝BC ＝2，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝2，∴S 阴影＝S 扇形DAB ＝30π×22360＝ π3.6．B 【解读】如解图，连接OC 、OD 、CD ，∵点C 、点D是AB ︵的三等分点，∴∠DOB ＝∠COD ＝60°，又∵CO ＝OD ，∴CO ＝OD ＝CD ，∴∠DOB ＝∠CDO ＝60°，∴CD ∥AB ，∴S △CED ＝S △COD ，∴S 阴影＝S 扇形COD ＝60π×22360＝2π3 cm 2.7．C 【解读】如解图，设DM 与AC 交于点E ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AM ∥CD ，AB ＝CD ，∴△AME ∽△CDE ，∵点M 是AB 的中点，∴AM CD ＝12，∴AE CE ＝EM DE ＝AM CD ＝12，∵S 正方形ABCD ＝12，∴S △ABC ＝12S正方形ABCD ＝6，∴S △ACM ＝12S △ABC ＝3，∴S △AEM ＝13S △ACM ＝1，S △CEM ＝23S △ACM ＝2，∴S △AED ＝2S △AEM ＝2，∴S 阴影＝S △CEM ＋S △AED ＝2＋2＝4，故选C.8．D 【解读】如解图，过点D 作DH ⊥AE 于点H ，∵∠AOB＝90°，OA ＝3，OB ＝2，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝13，由旋转的性质可知，OF ＝OA ＝3，OE ＝OB ＝2，DE ＝EF ＝AB ＝13，∴AE ＝OA ＋OE ＝5，易证△DHE ≌△BOA ，∴DH ＝OB ＝2，∴S 阴影＝S △ADE ＋S △EOF ＋S 扇形AOF －S 扇形DEF ＝12AE ·DH ＋12OE ·OF ＋90π×OA 2360－90π×DE 2360＝12×5×2＋12×2×3＋90×π×32360－90×π×（13）2360＝8－π.10 解：△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB 上，CA′⊥AB ，DB′==，A′B′==2，∴S 阴=﹣1×2÷2﹣（2﹣）×÷2=π﹣．故答案为π﹣． 1133π-121223π+13 解：连接BD′，过D′作D′H ⊥AB ，∵在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，∴D′H=，∴S △ABD′=1×=，∴图中阴影部分的面积为+﹣，故答案为：+﹣．14 阴影部分''PAA P 可认为是一个平行四边形，'PP ==过A 作'AB PP ⊥,则sin 45322AB OA =︒=⨯=∴阴影部分''PAA P 的面积为'12S PP AB =⨯==15 解：Rt △ABC 中，由勾股定理求AB==10，由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x ，则DE=10﹣2x ， ∵△ABC 绕AB 边上的点D 顺时针旋转90°得到△A′B′C′， ∴∠A′=∠A ，∠A′DE=∠C=90°， ∴△A′DE ∽△ACB ，∴=，即=，解得x=3，∴S △A′DE =DE×A′D=×（10﹣2×3）×3=6， 故答案为：6．16π﹣．17 解：根据题意得，AE ＝EF ＝FD ＝10cm ，DC ＝HF ＝20cm ， ∴S 扇形FAH ＝S 扇形DEC ，∴S 阴影部分＝S 矩形ABCD ﹣S 曲边ABH ﹣S 扇形DEC ＝S 矩形ABCD ﹣（S 矩形ABHF ﹣S 扇形FAH ）﹣S扇形DEC＝S 矩形FHCD ，∵S 矩形FHCD ＝HF •FD ＝20cm ×10cm ＝200cm 2， ∴S 阴影部分＝200cm 2； 故答案为200．18 3π-19． ∵菱形的两条对角线的长分别为10和6，∴菱形的面积＝12×10×6＝30，∵点O 是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝12×30＝15. 20．4 解：如解图，设BD 与⊙O 交于点E 和F 两点．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∵⊙O 过A ，C 两点，∴扇形AOE 与扇形FOC 关于点O 成中心对称，∴S 扇形AOE ＝S 扇形FOC ，∴S 阴影＝S △AOB ＝12×12AC ·AB ＝12×12×4×4＝4. 21．π【解读】如解图，连接OC ，在半圆O 中，AB ＝BC ，CD ＝DE ，∴AB ︵＝BC ︵，CD ︵＝DE ︵，∴∠AOB ＝∠BOC ，∠COD ＝∠DOE ，∴S 阴影＝S 扇形OAB ＋S 扇形ODE ＝12S 扇形AOC ＋12S 扇形COE ＝12S 半圆AOE ＝12×π×222＝π，∴阴影部分的面积为π.22．1 cm 2【解读】∵点E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝12S △ABD ，S △ACE ＝12S △ADC ，∴S △ABE ＋S △ACE ＝12S △ABC ＝12×4＝2 cm 2，∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×4＝2 cm 2，∵点F 是CE 的中点，∴S △BEF ＝12S △BCE ＝12×2＝1 cm 2.23．2－π2【解读】∵BC ＝AC ＝2，∠C ＝90°，∴AB ＝22，∵点D 为AB 的中点，∴AD ＝BD ＝2，∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形EAD －S 扇形FBD ＝12×2×2－45π×（2）2360×2＝2－π2.24.32－π4【解读】根据已知可得∠ABC ＝90°，∵在Rt △ABC 中，tan ∠CAB ＝13＝33，∠CAB ＝30°，∴∠BAB′＝30°，∴S 阴影＝S △AB′C′－S扇形BAB′＝12AB′·B′C′－30π·（3）2360＝12×3×1－π4＝32－π4.25．183【解读】∵MC ＝6，NC ＝23，∠C ＝90°，∴S △CMN ＝63，由折叠性质得△CMN ≌△DMN ，∴△CMN 与△DMN 对应高相等，∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB 且相似比为1∶2，∴两者的面积比为1∶4，从而得S △CMN ∶S四边形MABN＝1∶3，∴S 阴影＝S 四边形MABN ＝18 3.26.2π3－3【解读】设弧与AD 交于点E ，如解图，连接OE ，过点O 作OP ⊥AD 于点P ，由题意得，OB ＝OE ＝OD ，∴OD ＝2OC ＝2，∴∠ODC ＝30°，则∠ODE ＝60°，∴△ODE 为等边三角形，∴S △ODE ＝12×2×3＝3，则S 阴影＝S 扇形EOD －S △ODE ＝60×π×22360－3＝2π3－ 3. 27.2π3－3【解读】如解图，连接BD ，设BE 交 AD 于点G ，BF 交CD 于点H ，∵在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2，∴BD ＝BC ＝2，由题意知扇形圆心角为60°，∴∠DBG ＝∠CBH ，∠GDB ＝∠C ，∴△DGB ≌△CHB ，∴S 阴影＝S 扇形EBF － S △DBC＝60×π×22360－12×2×3＝2π3－ 3.28．41 【解读】如解图，连接EF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴S △EFC ＝S △BCF ，∴S △EFQ ＝S △BCQ ，同理，S △EFD ＝S △ADF ，∴S △EFP ＝S △ADP ，∵S △APD ＝16cm 2，S △BQC ＝25cm 2，∴S 阴影＝S △EFP ＋S △EFQ ＝16＋25＝41 cm 2.29.32－π6【解读】如解图，过点F 作FE ⊥AD 于点E ，连接AF 、DF ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴AE ＝12AD ＝12AF ＝12，∴∠AFE ＝∠BAF ＝30°，∴∠F AE ＝60°，EF ＝32，∴△ADF 为等边三角形，∴∠ADF ＝60°，∴S 弓形AF ＝S 扇形ADF －S △ADF ＝60π×12360－12×1×32＝π6－34，∴S 阴影＝2(S 扇形BAF －S 弓形AF )＝2×(30π×12360－π6＋34)＝32－π6. 30．22－2 【解读】如解图，设CD 与AB 1交于点O ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ＝BE ＝2，由折叠性质易得△ABB 1为等腰直角三角形，∴S △ABB1＝12BA ·AB 1＝2，S △AB1E ＝1，CB 1＝2BE －BC ＝22－2，∵AB ∥CD ，∴∠OCB 1＝∠B ＝45°，又∵∠B 1＝∠B ＝45°，∴CO ＝OB 1＝2－2，∴S △COB 1＝12CO ·OB 1＝3－22，11∴S 重叠＝S △AB1E －S △COB 1＝1－(3－22)＝22－2.31．32 【解读】如解图，连接BD ，EF ，设BF 与ED 相交于点G .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ＝6 cm ，AD ＝BC ＝8 cm ，∴S △ABD ＝S △BCD ＝12S 矩形ABCD ＝12×6×8＝24 cm 2，∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴EF ∥BD ，EF ＝12BD ，∴△GEF ∽△GDB ，∴DG ＝2GE ，∵S △BDE ＝12S △BCD ，∴S △BDG ＝23S △BDE ＝13S △BCD ＝13×24＝8 cm 2，∴S 阴影＝S △ABD ＋S △BDG ＝24＋8＝32 cm 2.。
专题02 与圆有关的计算求阴影部分的面积—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(原卷版)
专题02与圆有关的计算求阴影部分的面积选题介绍本题型在河南省近五年的中招试卷中考了5次，其中2021年出题方向为求弧长，其余年份均为求阴影部分面积。
该题位于填空题的第14题，分值3分。
本题计算量大，难度系数中等偏上，得分率较低。
本题属于几何范畴，一般涉及三角形、四边形、扇形的面积，多以平移、对称或旋转为背景，对组合图形所形成阴影部分的面积进行计算。
若所求阴影部分的图形是规则图形，则直接用公式法计算。
若所求阴影部分的图形是不规则图形，则采用转化思想将不规则图形转化为规则图形。
常用的方法有和差法、割补法等积交换法。
主要解题思路1、确定弧所对的圆心（找圆心）；2、连接圆心与弧上的点（找扇形）；3、利用规则图形的面积进行加减。
真题展现2022年河南中招填空题第14题14.如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O'处，得到扇形A'O'B'，若∠O=90°，OA=2，则阴影部分的面积为.2021年河南中招填空题第15题15.如图,在扇形BOC 中,60,BOC OD ︒∠=平分BOC ∠交弧BC 于点D .点E 为半径OB 上一动点若2OB =,则阴影部分周长的最小值为．2019年河南中招填空题第14题14.如图，在扇形AOB 中，∠AOB=120°，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC ⊥OA 。
若OA=23则阴影部分的面积为.2018年河南中招填空题第15题14.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A 'B ′C '，其中点B 的运动路径为B' ，则图中阴影部分的面积为_____．模拟演练1．如图，在等腰Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，斜边AC 的中点为O ，分别以点A ，C 为圆心，以AO 的长为半径画弧，分别与AB 、BC 相交，则图中的阴影部分的面积为.（结果保留)π2.如图，△ABC 为等腰直角三角形，将ABC 绕点C 顺时针旋转得EDC △，此时点B 的对应点落在EDC △的对称轴上，若2BC =，则线段AB 扫过的阴影面积为________．3.如图，点B ，C 在 AD 上，连接AD ，AB ，AC ，BC ．若30BAC ∠=︒， AD 所在的圆的半径为3，则阴影部分的面积为_________．4.如图，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，4BC =，以B 为圆心，BC 长为半径作 CD交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为______．5.如图，一只羊被4米长的绳子拴在长为3米，宽为2米的长方形封闭围墙的一个顶点上，则这头羊活动范围的最大面积是______米2．6.有一张矩形纸片ABCD，其中4AD，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图（甲），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是_______．7.如图，水平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA=6cm，且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为__________．8.如图所示，在矩形ABCD 中，如图AB ＜BC ，以点C 为圆心，CB 的长为半径的圆分别交AD 边于点E ，交CD 边的延长线于点F ．若AE ＝DF ，弧EF 的长为π，则DE 的长为_____．9.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）A ，B ，D ，点C 为弧BD 上一点．若30CAD ∠=︒，则弧CD 的长为__________．10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝16，BD ＝12，以AB 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为___________.。
中考数学复习指导：利用转化法求阴影部分面积
二、利用平移进行转化 例 2（梅州中考题）如图 3，两个半圆中，小圆的圆心 O'在大⊙O 的直径 CD 上，长 为 4 的弦 AB 与直径 CD 平行且与小半圆相切，那么圆中阴影部分面积等于_______．
1
解析 由于在大半圆内任意移动小半圆的位置，阴影部分的面积保持不变，所以，可
x 的圆交于 A，B 两点，且 A（1， 3 ），图中阴影部分的面积等于_______．（结果保留 π）
解析 根据反比例函数的图象关于坐标原点对称，可得图中两个阴影面积的和等于扇 形 OAB 的面积．
∵A（1， 3 ）， ∴∠AOD＝60°，OA＝2． ∵点 A、B 关于直线 y＝x 对称（如图 2）， ∴∠AOB＝2(60°－45°)＝30°． 又∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，
利用转化法求阴影部分面积
一类求阴影部分（不规则图形）面积的问题，其基本思路是根据图形的特点，把不规 则图形的面积转化为规则图形（可套用面积公式的图形）的面积来解决．下面介绍几种常 用的转化技巧，以帮助大家走出思维中的“阴影”．
一、利用对称进行转化 例 1（赤峰中考题）如图 1，反比例函数 y＝ k （k>0）的图象与以原点(0，0)为圆心
故选 C． 四、利用全等进行转化 例 4（丹东中考题）如图 6，在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角为 90°的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴 影部分的面积为( )
2
(A) 1 4
连结 AC、BD，则图中阴影部分的面积为( )
(A) 1 π 2
(C)2π
(B)π (D)4π
解析 本题中求不规则的阴影图形的面积，可以想法设法转化为几个规则图形的面
中考专题：求平面几何阴影部分的面积
求阴影部分图形面积近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积的知识，出现了一批考查应用与创新能力的新题型，归纳起来主要有：一、规律探究型例1宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）．（1）如图1，分别以线段O1O2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积．（2）如图2，分别以等边△O1O2O3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？（3）如图3，分别以正方形O1O2O3O4的四个顶点为圆心，以其边长为半径作四个相同的圆，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？（2005年黄冈市中考题）分析（1）利用“S阴=S菱形AO1BO2=4S弓形”即可；（2）利用“S阴=S△O1O2O3+3S弓”即可；（3）•直接求解比较困难，可利用求补法，即“S阴=S正方形O1O2O3O4-S空白”，考虑到四个圆半径相同，若延长O2O1交⊙O1•于A，则S空白=4SO1AB，由（1）根据对称性可求SO1BO4，再由“SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4”，这样S空白可求．解答（1）设两圆交于A、B两点，连结O1A，O2A，O1B，O2B．则S阴=S菱形AO1BO2+4S弓．∵S菱形=2S△AO1O2，△O1O2A为正△，其边长为r．∴S△AO1O2r2，S弓=-r2=-r2．4260360rπ426rπ4∴S 阴=2×r 2+4（r 2r 2）=r 2r 2．（2）图2阴影部分的面积为S 阴=S △O1O2O3+3S 弓． ∵△O 1O 2O 3为正△，边长为r． ∴S △O1O2O3r 2，S 弓=r 2．∴S 阴r 2+3（r 2）=r 2r 2．（3）延长O 2O 1与⊙O 1交于点A ，设⊙O 1与⊙O 4交于点B ，由（1）知，S O1BO4=（r 2-r 2）．∵S O1AB =S 扇形AO1O4-S O1BO4 =-（r 2=r 2）=-r 2+r 2．则S 阴=S 正方形O1O2O3O4-4S O1AB =r 2-4（-r 2r 2）=r 2+r 22=（r 2．46π423π24260360r π4426r π42π21223π2290360r π1223π224r π13π424r π13π413π13π例2 在一块长16m ，宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．小明的设计方案：如图1，其中花园四周小路的宽度相等，经过解方程，•我得到路的宽为2m 或12m ．小颖的设计方案：如图2，其中花园中每个角上的扇形都相同． （1）你认为小明的结果对吗？请说明理由． （2）请你帮助小颖求出图中的x （精确到0．1m ）（3）你还有其它的设计方案吗？请在右边的矩形中画出你的设计草图，•并加以说明．（2004年新疆建设兵团中考题）分析 （1）由小明的设计知，小路的宽应小于矩形荒地宽的一半，由此判断即可；（2）可由“花园面积为矩形面积一半”列方程求x ；（3）可由图形对称性来设计． 解 （1）小明的结果不对． 设小路宽xm ，则得方程 （16-2x ）（12-2x ）=×16×12解得：x 1=2，x 2=12．而荒地的宽为12m ，若小路宽为12m ，不符合实际情况，故x 2=12m 不合题意．（2）由题意，4×=×16×12x 2=，x ≈5.5m ．（3）方案有多种，下面提供5种供参考：1224x π1296π例3 图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形． （1）直接写出单位正三角形的高与面积；（2）图1中的ABCD 含有多少个单位正三角形？ABCD 的面积是多少？ （3）求出图1中线段AC 的长（可作辅助线）；（4）求出图2中四边形EFGH 的面积．（2005年吉林省中考题）分析 （1）由正三角形边角关系来求；（2）仔细观察图1便可找到答案；（3）考虑到图1中AB=3，BC=4，∠B=60°，可作△ABC 的高AK ，构造直角三角形，•再利用解直角三角形知识即可求得；（4）可利用网格构造特殊格点图形，再由求补法计算四边形EFGH•面积． 解：（1）单位正三角形的角为，面积为，（2）ABCD 含有24个单位正三角形，故其面积为24．（3）如图1，过A 作AK ⊥BC 于K ，在Rt△ACK 中，AK=，KC=．∴．（4）如图3，构造EQSR ，过F 作FT ⊥QG 于T，则S △FQG =FT ·QG=×．同理可求S △GSH S △EHR，S EQSR∴S 四边形EFGH = S EQSR-S △FQG -S △GSH -S△EHR．244325212122四、图形对称型例4 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过C 、E 和D•、•F ，•则图中阴影部分的面积是_________．•（2005年河南省中考题）分析 由题意知，图中两半圆和两抛物线组成的图形关于y 轴对称，故y 轴左侧阴影部分面积等于半圆B 中的空白面积，所以所求阴影部分面积为半圆B 的面积，即S 阴=·12=．解答：．12π12π2π五、图形变换型例5 如图，矩形ABCD 的长与宽分别是2cm 和1cm ，AB 在直线L 上，依次为B 、C ′、•D ″，依次为B 、C ′、D ″为中心将矩形ABCD 按顺时针方向旋转90°．这样点A•走过的曲线依次为、、，其中交CD 于点P ．（1）求矩形A ′BC ′D ′的对角线A ′C ′的长；（2）求的长；（3）求图中 部分的面积S ；（4）求图中 部分的面积T ．（2005年吉林省中考题）分析 （1）要求A ′C ′，因长宽分别为2和1，利用勾股定理即可；（2）要求，因所对圆心角为∠ABA ′=90°，半径AB=2，利用弧长公式即可；（3）因△A ′C ′D•′≌△A ″C ′D ″，故S=S 扇形A`C``A``；（4）连PB ，则PB=AB=2，又BC=1，故∠PBC=60°，∠ABP=30°，•欲求T ，由“T=S 扇形ABP +S △BCP ”即可．解答 （1）A ′C ′cm ）．（2）=×2=（cm ）．（3）S=S 扇形A`CA``==（cm ）（4）连结BP ，在Rt △BCP 中，BC=1，BP=2， ∴∠BPC=30°，ABP=30°，∴T=S 扇形ABP +S △PBC =×22+=（+）cm 2．'A A '''A A '''''A A'A A'A A'A A'A A'A A 90180ππ290360π54π30360π23π2六、实际应用型例6 在栽植农作物时，一个很重要的问题是“合理密植”．如图是栽植一种蔬菜时的两种方法，A 、B 、C 、D 四珠顺次连结成为一个菱形，且AB=BD ；A ′、B ′、•C ′、D ′四株连结成一个正方形，这两种图形的面积为四株作物所占的面积，•两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．在株距都为a ，其他客观因素也相同的条件下，•请从栽植的行距，蔬菜所占的面积，充分生长后空隙地面积三个方面比较两种栽植方法．哪种方法能更充分地利用土地．分析：本题立意很新，要合理密植，充分利用土地，只需分别计算并比较两种方案的行距、阴影面积以及S 和S ．对应值小的即为合理密植．解 连结AC 交BD 于点O ．在菱形ABCD 中，有AB=AD ，AC ⊥BD ，BO=BD ．∵AB=BD=a ，∴BO=OD=a ．在Rt △AOD 中，a ．∴S 菱形ABCD=2×BD ·AO=a 2， S正方形A`B`C`D`=a 2．设方法（1）中空隙地面积为S 1，方法（2）中空隙地面积为S 2．则S 1=S 菱形ABCD -S ☉A a 2-a 2，S 2=S 正方形A`B`C`D`-S ☉A`=a 2-a 2．∵<1，∴AO<A ′B ′，1212212224π4π2S 菱形ABCD <S 正方形A`B`C`D`，S 1<S 2．∴栽植方法（1）比栽植方法（2）能更充分地利用土地．运用转化思想 巧求阴影面积“转化思想”是中学数学中一种重要的数学思想,将未知转化为已知,将复杂转化为简单,.通过转化,会使问题化繁为简,化难为易,思路清淅,演算简单.而在求与圆有关的阴影部分的面积时,通常是将阴影部分的面积转化为圆、扇形、三角形面积的和或差.现就2008年中考题精选几例解析如下，供同学们参考：例1(2008广西桂林)两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为分析 本例涉及到同心圆的概念、圆环面积的计算方法.求出圆环的面积，即大圆的面积减去小圆的面积，.将阴影部分的面积转化为圆环面积的一半.解例2(2008湖北孝感)中，，，，两等圆⊙A,⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）A ．B ．C ．D ．分析 此例综合考查了圆、扇形面积、勾股定理的知识以及转化的数学思想. 由勾股定理可求得AB=10，则两圆的半径为5，∠A+∠B=900,从而阴影部分的 面积可转化为半径为5, 圆心角为90°的扇形的面积.解Aπππππ8922=-=-=r R S 圆环4πR t ABC △90C ∠=8A C =6B C =254π258π2516π2532π例3(2008四川自贡)如图所示，草地上一根长5米的绳子，一端拴在墙角的木桩上，另一端栓着一只小羊R. 那么，小羊在草地上的最大活动区域的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．分析 小羊在草地上的最大活动区域的面积可 转化为1个半径为5米,圆心角为90°的扇形和2个半径为1米,圆心角为90°的扇形的面积之和(即图中)阴影部分的面积).解 B例4(2008广西南宁)如图，Rt △ABC 中，AC=8，BC=6， ∠C=90°，分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆，那么 阴影部分的面积为 （平方单位）分析 阴影部分的面积可转化成以AC 、BC 为直径的两个半圆的面积加上Rt △ABC 的面积再减去以AB 为直径的半圆的面积，即 = ===解 24点评 由勾股定理可得2213m π2427m π2213m π2427m π阴影S 22222121221221⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅AB BC AC BC AC πππ()()()BC AC AB BCAC ⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅21818181222πππBC AC AB BCAC⋅⋅+-+⋅⋅21)(81222πBC AC ⋅⋅210222=-+ABBCAC例5(2008吉林长春)如图，在△ABC 中，BC =4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则图中阴影部分的面积是 ( )A ．B ．C ．D ．分析 ∠EPF =40°，则∠EAF =80°，连AD,则AD⊥BC,且AD=2 阴影部分的面积可转化为△ABC 与扇形AEF 的面积之差.解 B例6(2008江西南昌)如图，为⊙O 的直径，于 点，交⊙O 于点，于点． （1）请写出三条与有关的正确结论；（2）当，时，求圆中阴影部分的面积分析 连OC, 圆中阴影部分的面积可转化为扇形OAC 与△OAC 的面积之差.94π-984π-948π-988π-98436028024212ππ-=⋅-⨯⨯=-=∆AEF ABC S S S 扇形阴影A B C D AB ⊥E D O F A C ⊥F B C 30D ∠=1B C= B解（1）答案不唯一，只要正确合理均可．例如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦是直角三角形；⑧是等腰三角形.（2）连，则．，∴∠A=∠D=300，则∠AOC=1200．为⊙O的直径，．∴∠ACB=900．在中，，∴AB=2，．，∴AF=CF．，∴OF是的中位线．．．．B C B D=O F B C∥B C D A∠=∠B C E O A F△∽△BEABBC⋅=2222BC CE BE=+A BC△BC D△O C O C O A O B==30D∠=A B90ACB∴∠=R t ABC△1B C=AC=O F A C⊥O A O B=A B C△1122O F B C∴==1112224AO CS AC O F∴==⨯=△2133A O CS O Aπ=π⨯=扇形34AOCAOCS S Sπ∴=-=-△阴影扇形BA。
【重点突击】2020中考数学选填题型专项专题三 求阴影部分的面积
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5.(2019郑州模拟)如图,在正方形ABCD中,AB=4,分别以B,C为圆心,AB长为半径
4π
画弧,则图中阴影部分的面积为 4 3- 3 .
解析 如图,连接BG,CG. ∵BG=BC=CG, ∴△BCG是等边三角形, ∴∠CBG=∠BCG=60°. ∵在正方形ABCD中,AB=4, ∴BC=4,∠BCD=90°, ∴∠DCG=30°, ∴S阴影=S扇形CDG-S弓形CG =S扇形CDG-(S扇形BCG-S△CBG)
= 30 π 22 - 1 ×(4-2 3 )×1
360 2
= π -2+ 3.
3
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7.(2019河南一模)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,现将△ABC绕点C顺 时针旋转60°得到△A'B'C,其中点B的运动路径为B︵B' ,点A的运动路径为A︵A' ,则图
16π
连接BC,则图中阴影部分的面积是 8 - 4 .
解析 如图,连接OC,过点C作CD⊥AB于点D,
︵
︵
∵BC =3 AC ,
∴∠BOC=135°,∠AOC=45°,
则CD=OC·sin∠AOC= 2 ,
2
∴S阴影=135π 12 -1 ×1× 2 =3π - 2 .
360 2 2 8 4
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=
30 π
360
42
-
60 π
360
42
-
1 2
4
2
=4 3 - 4π .
3
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6.(2019新乡一模)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠B=75°,以点C为旋转 中心将△ABC顺时针旋转,当点B落在AB上的点D处时,点A的对应点为E,则图中
与圆有关的计算求阴影部分面积-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
与圆有关的计算求阴影部分面积 题型解读｜模型构建｜通关试练模型01 阴影部分面积计算求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度.一般考试中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形性质是解题的关键． 模型02 阴影部分周长计算求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n °，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形=n 360πR 2或S 扇形=12lR （其中l 为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键. 模型03 与最值相关的计算阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.求阴影部分面积方法总结 方法一 直接利用公式法求阴影部分面积方法二 直接或构造和差法求阴影部分面积 方法三 利用等积转换法求阴影部分面积方法四 利用容斥原理求阴影部分面积模型01 阴影部分面积计算 考｜向｜预｜测阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.答｜题｜技｜巧 第一步： 确定弧所对的圆心，（找圆心）第二步： 连接圆心与弧上的点；（连半径） 第三步： 确定圆心角度数（有提示角度的话注意求解相应角，没有提示角度的话一般为特殊角，大胆假设小心论证）第四步： 把不规则图形面积转化为规则图形面积进行求解例1．（2023·四川）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．2(4π4)cm +B ．2(4π8)cm +C ．2(8π4)cm +D ．2(4π16)cm −【答案】A 【详解】解：由题意知4cm AF AD BC ===，10cm BF AF AB =+=，阴影部分的面积211π42S AB BC AD BF BC =⋅+−⋅ 21164π410442=⨯+⨯−⨯⨯244π20=+−4π4=+，故选A ．例2．（2023·湖北）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，3,6,AB AC O ==是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，则图中两个阴影部分面积的和为 ．【答案】5π−/5π−+【详解】解：如图，连接OD ，OE ，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，∴OD AB ⊥，OE AC ⊥，90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形， 又OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴AD DO OE AD ===，90DOE ∠=︒，90A OEC ∠=∠=︒，A C B E C O ∠=∠，∴ACB ECO ∠∽， ∴AC AB EC EO =，设AD DO OE AD r ====，则6EC AC AE r =−=−， ∴636r r =−，解得2r =，∴2AD DO OE AD ====， 90DOE ∠=︒，∴DOB 和EOC △所包含扇形的面积之和为：22180901ππ2π3604r ︒−︒⨯=⨯=︒，∴图中两个阴影部分面积的和为：21π362π5π2ABC ADOE S S −−=⨯⨯−−=−正方形，故答案为：5π−．模型02 阴影部分周长计算考｜向｜预｜测阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求规则图形的长度问题.答｜题｜技｜巧第一步： 观察图形特点，确定弧长和线段长；第二步： 利用弧长公式求长度；第三步： 求图形中其它边的长度；例1．（2023·河北）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点P ，那么图中阴影部分①的周长为 ，阴影部分①②的总面积为 ．【答案】 2π+ 2233π【详解】解：连接PB 、PC ，作PF BC ⊥于F ，2PB PC BC ===，PBC ∴△为等边三角形，60PBC PCB ∴∠=∠=︒，30PBA ∠=︒，∴sin602PF PB =⋅︒=∴阴影部分①的周长AP BP l l AB =++ 3026022180180ππ⨯⨯=++2π=+阴影部分①②的总面积()2BPC ABP BPC S S S ⎡⎤=−−⨯⎣⎦扇形扇形223026021223603602ππ⎡⎤⎛⨯⨯=−−⨯⨯⎢⎥ ⎝⎣⎦ 23π=，，故答案为：2π+；23π．例2．（2023·浙江）如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为 ．【答案】a π 【详解】解：四边形ABCD 是正方形，边长为a ，AB CB AD CD a ∴====，90B D ∠=∠=︒，∴树叶形图案的周长902180a a ππ⋅=⨯=．故答案为：a π． 模型03 与最值相关的计算 考｜向｜预｜测圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最值问题. 答｜题｜技｜巧 第一步： 观察图形特点，确定变量和不变的量（一般情况下弧长固定，线段长变化）第二步： 利用将军饮马或者“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等知识点进行转化 第三步： 牢记弧长公式，求对弧长和线段长；第四步： 利用数形结合思想注意确定最值；例1．（2023·江苏）如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若1OA =，则阴影部分面积的最小值为（ ）A ．3144πB ．142π−C ．24πD ．184π− 【答案】C【详解】解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足ABC 的面积最大即可， 从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，ABC 的面积最大，连接OC '，则OC AB '⊥于D ，12OD AB ∴===，1DC OC OD ''∴=−=，1111122AOB ABC AOBC S S S ''⎛∴=+=⨯⨯+⎝⎭四边形， 扇形AOB 的面积29013604ππ⨯==， ∴阴影部分面积的最小值42π=−，故选：C ． 例2．（2022·浙江）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π−【答案】D【详解】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴，∵OA'=OB'=∴=，∴tan ∠A'OP=tan ∠，∴∠A'OP=∠B'OP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ−=− ，故答案为：D ． 例3．（2023·吉林）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，以AB 直径作圆，P 为BC 边的垂直平分线DE上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为．【答案】483π+【详解】解：如图，连接CE ，连接BP∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴CP BP =,∴AP CP AP BP +=+∴当动点P 与点E 重合时AP BP +最小，此时AP CP +最小，∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，∴28AB AC ==，4AE =,∴CP AP AC ==，∴ACP △是等边三角形，∴60APC ∠=︒，∵8AP CP AP BP AB +=+==， ∴阴影部分的周长最小值为6044881803ππ︒⨯⨯+=+︒. 故答案为483π+.1．（2023·江苏）如图，在Rt ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==,,，以O 为圆心的半圆分别与AB AC 、边相切于D E 、两点，且O 点在BC 边上，则图中阴影部分面积S =阴（ ）A ．12B ．π3C ．35π4−D ．15036π4949− 【答案】D 【详解】解：连接,OD OE ，设O 与BC 交于M 、N 两点，∵AB AC 、分别切O 于D 、E 两点，∴90ADO AEO ∠=∠=︒，又∵90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，∵OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴90DOE ∠=︒，∴90DOM EON ∠+∠=︒，设OE x =，则AE AD OD x ===，4EC AC AE x =−=−． ∵,90C C CEO A ∠=∠∠=∠=︒，∴COE CBA ∽， ∴CE OE CA AB = ， ∴443x x −= ， 解得127x = ，∴()ABC ADOE DOM EON S S S S S =−−+阴影正方形扇形扇形 22129011273427360π⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯⨯−− ⎪⎝⎭ 150364949π=−．故选D ．2．（2022·湖北）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．A ．13πB ．43πC ．23π D3− 【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB ＝∠DAC ，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°，∴S △AFD ＝S △OFA ，∴S 阴＝S 扇形OFA ，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OFA＝2 6022= 3603 p p.故选：C．3．（2023·安徽）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且AB BC=，则阴影部分面积与圆的面积之比为（）A B C D【答案】B【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC设正六边形的边长为1，则1OA =，60AOB ∠=︒，OA OB =∴AOB 为等边三角形，则60BOA OBA ∠=∠=︒，1OA OB AB ===，2AC =，∴BCO BOC ∠=∠，又∵ABO BCO BOC ∠=∠+∠，∴30BCO BOC ∠=∠=︒，则=90AOC ∠︒，∴OC所以圆的面积为3π，正六边形的面积为1166sin 6061122AOB S AB OA =⨯⋅⋅︒=⨯⨯⨯△，则阴影部分面积与圆的面积之比为23π=， 故选：B ．4．（2022·广西）如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值等于（ ）A ．2π﹣4B ．4π﹣8 CD【答案】D 【详解】由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小，∵P），∴OP=2，∵OA=OB=4，∴∴tan ∠AOP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∴S 阴=S 扇形OAB ﹣S △AOB=2120·41-23602π⨯= ，故选D ．5．（2023·山东）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB 、两点，分别以AB 、两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（ ）A ．12πB ．14πC ．πD ．4π【答案】C【详解】解：∵点A 的坐标为（2，1），且⊙A 与x 轴相切，∴⊙A 的半径为1，∵点A 和点B 是正比例函数与反比例函数的图象的交点，∴点B 的坐标为（-2，-1），同理得到⊙B 的半径为1，∴⊙A 与⊙B 关于原点中心对称，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分完全重合，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分的面积相等，∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．故选C ．6．（2023·山西）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点O 在AB 上，以O 为圆心作圆与BC 相切于点D ，与AB 、AC 相交于点E 、F ；连接AD 、FD ，若O 的半径为2．则阴影部分面积为（ ）A ．13πB ．43πC ．23πD ．23π【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵O 与BC 相切，∴90ODB ∠=︒.∵90C ∠=︒，∴ODB C ∠=∠，∴OD AC ∥，∴.AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴影扇形，∵30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵OF OA =，∴AOF 是等边三角形，∴60AOF ∠=︒， ∴260223603OFA S S ππ⋅⋅===阴影扇形．故选C ．7．（2023·黑龙江）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，分别以点A ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径作圆，分别交AB 于点DE ，则弧CD 弧CE 和线段DE 围成的封闭图形（图阴影部分）的面积 （结果保留π）【答案】4π8−【详解】解：∵904ACB AC BC ∠=︒==，， ∴14482ABC S =⨯⨯=△，4542CAD S ππ⨯==扇形，()282164S ππ=⨯−=−空白， ∴()816448ABC S S S ππ=−=−−=−阴影空白，故答案为：48π−．8．（2022·河南）在矩形ABCD 中，4,AB AD ==，以BC 为直径作半圆（如图1），点P 为边CD 上一点．将矩形沿BP 折叠，使得点C 的对应点E 恰好落在边AD 上（如图2），则阴影部分周长是 ．4+/4【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O ，如图，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠A=90°，由折叠得，BE BC ==∵4,AB =∴4AE ==∴,AB AE = ∴1(18090)452ABE AEB ∠=∠=︒−︒=︒∴90904545,OBE ABE ∠=︒−∠=︒−︒=︒∵OB OF =∴45OBF OFB ∠=∠=︒∴180454590BOF ∠=︒−︒−︒=︒∴BF 的长==，4BF ==，∴ 阴影部分周长4+4+．9．（2022·内蒙古）如图，在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，以O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边AB 于点D ，点C 在边OA 上且CD AC =，延长CD 交OB 的延长线于点E ．(1)求证：CD 是圆的切线；(2)已知4sin 5OCD ∠=，AB =AC 长度及阴影部分面积． 【答案】(1)证明见详解；(2)AC=3，阴影部分面积为50-43π．【详解】（1）证明：连接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC=∠BDE∴∠A=∠EDB∵∠AOB=90°∴∠A+∠ABO=90°∴∠ODB+∠BDE=90°即OD ⊥CE ，又D 在o 上∴CD 是圆的切线；（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°在Rt △OCD 中，4sin 5OD OCD OC ∠==∴设OD=OB=4x ，则OC=5x ，∴3CD x∴AC=3x∴OA=OC+AC=8x在Rt △OAB 中：222OB OA AB +=即：()()(22248x x += 解得1x =，（-1舍去）∴AC=3，OC=5，OB=OD=4在Rt △OCE 中，4sin 5OE OCD ∠==∴设OE=4y ，则CE=5y ，∵222OE OC CE +=()()222455y y += 解得53y =，（53−舍去） ∴2043OE y ==219012050-5-4-42360233OB S OE OC πππ⋅=⋅=⨯⨯=阴影 ∴阴影部分面积为50-43π．1．如图，在以点O 为圆心的半圆中，AB 为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，则图中阴影部分面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．3πD ．23π 【答案】D 【详解】∵AB 是直径，且AB=4，∴OA=OE=2，∵使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，∴△EOF 是等边三角形，∴∠EOF=60°，S 半圆=21222=ππ⨯，S 长方形CDFE=2∴S 阴=S 长方形CDFE -(S 半圆-S 长方形CDFE)+2（S 扇形OEF -S △EOF ）=212232+（-ππ⨯=23π 故选D.2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 是AB 中点，在AD 上取一点G ，以点G 为圆心，GD 的长为半径作圆，该圆与BC 边相切于点F ，连接DE ，EF ，则图中阴影部分面积为（ ）A．3πB．4πC．2π+6D．5π+2【答案】B【详解】如图，连接GF，∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4∵点E是AB中点∴AE＝BE＝2∵BC与圆相切∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°∴四边形GFCD是矩形，又∵GD＝DF∴四边形GFCD是正方形∴GD＝GF＝CD＝CF＝4∴BF＝BC﹣FC＝2∵S阴影＝（S四边形ABFD﹣S△AED﹣S△BEF）+（S扇形GDF﹣S△GDF）∴S阴影＝（(26)4116222222+⨯−⨯⨯−⨯⨯）+（4π﹣1442⨯⨯）＝4π.故选B．3．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画AB，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )A ．4π−B ．6πC ．42π−−D ．43π−−【答案】C【详解】过E 点作EM ⊥BC 于M 点，作EN ⊥AB 于N 点，如图，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴∠EBC=60°，∵EM ⊥BC ，∴在Rt △EMC 中，∴tan ∠ECM=EM MC =tan30°=，∴，∴∴在Rt △EBM 中，∴tan ∠EBM=EMBM∴BM=，∵BM+MC=BC=4，∴=4，∴EM =∴BM=1==，∵NE ⊥AB ，EM ⊥BC ，且∠ABC=90°，∴四边形BMEN 是矩形，∴NE=BM=1，∵AB=BC=4，∠ABC=90°，∴1141222ABE S AB NE =⨯⨯=⨯⨯=△，11422BEC S BC EM =⨯⨯=⨯=△22901443604ABCS AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=扇形o o∴42ABE BEC ABC S S S S π=−−=−−△△阴影扇形故选：C ．4．如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）A ．（π）cm 2B ．（πcm 2C ．（2π）cm 2D ．（2π-cm 2【答案】C【详解】连接AD ，∵△ABC 是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴=∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF=1226023360π⨯⨯2π)cm2，故选C ．5．如图，在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，将Rt AOB △绕点O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE △，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．πB ．5π+C ．524π−D ．724π− 【答案】C 【详解】解：作DH AE ⊥于H ，∵90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，∴AB 由旋转，得EOF BOA ≌，∴OAB EFO ∠=∠，∵90FEO EFO FEO HED ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFO HED ∠=∠，∴HED OAB ∠=∠，∵90DHE AOB ∠=∠=︒，DE AB =，∴()AAS DHE BOA ≌，∴1DH OB ==，阴影部分面积ADE =V 的面积EOF +V 的面积+扇形AOF 的面积−扇形DEF 的面积211902905311222360360ππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+−5124π=−故选：C ．6．如图，在半径为2、圆心角为90︒的扇形OAB 中，2BC AC =，点D 从点O 出发，沿O A →的方向运动到点A 停止．在点D 运动的过程中，线段BD ，CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）A ．23πB ．213π−C ．3πD ．132π− 【答案】B【详解】当点D 在线段OA 上时，易得当点D 与点A 重合时，阴影部分面积最小，连接OC 、BC ，过点C 作CH OA ⊥于点H ，如图，190303AOC ︒︒∠=⨯=，112CH OC ∴==， ∵290603BOC ︒︒=⨯=∠， ∴260223603BOC S =⨯⨯=扇形ππ．∴ 2112212213223BOC AOC AOB S S S S ππ=+−=+⨯⨯−⨯⨯=−△△阴扇形；∴线段BD 、CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为213π−．故答案为B ．7．如图，矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差12S S −为（ ）A ．13124π−B ．9124π−C ．1364π+D ．6【答案】A 【详解】解：∵在矩形ABCD 4,3AB BC ==，F 是AB 中点，∴2BF BG ==，∴12ABCD ADE BGF S S S S S −+=−矩形扇形扇形， ∴22129039021343123603604S S πππ⋅⨯⋅⨯−=⨯−−=−， 故选A ．8．如图，在半径为4的扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，点C 是AB 上一动点，点D 是OC 的中点，连结AD 并延长交OB 于点E ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A ．44π−B ．4πC ．24π−D ．2π【答案】B 【详解】∵点D 是OC 的中点，2OD =，∴点D 在以O 为圆心2为半径的圆弧上，∴可知当AE 与小圆O 相切于D 时，OE 最大，即△AOE 的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值， ∵24OA OD ==， ∴1sin =2OD OAE OA =∠,则30OAE ∠=︒，∵∠AOB=90°，∴tan OE OA OAE =⋅∠=，∴4OAE OAB S S S π=−=阴影扇形， 故选B ．9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、.F 若圆半径为2.则阴影部分面积= ．【答案】23π/23π【详解】解：连接OD ，OF ．AD 是BAC ∠的平分线，DAB DAC ∴∠=∠，OD OA =，ODA OAD ∴∠=∠，ODA DAC ∴∠=∠，OD ∴∥AC ，90ODB C ∴∠=∠=︒，∴AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴扇形，2OD OA ==，6AB =，4OB ∴=，2OB OD ∴=，30B ∴∠=︒，60A ∴∠=︒，OF OA =，AOF ∴是等边三角形，60AOF ∴∠=︒，260π22π3603OFA S S ⋅∴===阴影部分扇形，故答案为：2π3．10．如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =点O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的圆与AB 相切于点D ，交AC 于另一点E ，点F 为优弧DCE 上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ．【答案】223π+ 【详解】解：连接DE ，OD ，∵Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =∴6tan 30BC AC ===︒，∵AB 为O 的切线，∴90ADO ∠=︒，∴2AO OD =，60AOD ∠=︒，∵OD OE OC ==，∴36AC AO OC OD =+==，△ODE 为等边三角形，∴2DE OE OD OC ====，∵S 阴影=S 弓形DGE+S △DEF∴当OF ⊥DE 时，阴影部分面积最大，此时OF 与DE 交于G ，∴∠DOG=∠EOG=30°，∠DGO=90°，∴cos302OG OD =⋅︒==，2GF OG OF =+=，∴S 阴影= S 扇形ODE - S △DEO +S △DEF=260211222(22360223ππ⨯⨯−⨯⨯⨯=+．11．如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若OA ＝1，则阴影部分面积的最小值为 ．【答案】42π−【详解】取弧AB 的中点C′，连接AB 、OC '、AC '、BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，△ABC 的面积最大，则OC AB '⊥于D1222OD AB ∴===12DC OC OD ''∴=−=−1111(122AOB ABC AOBC S S S D D ''∴=+=⨯⨯+=四边形扇形AOB 的面积29013604ππ⨯== ∴阴影部分面积的最小值为4π=故答案为：4π．12．如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值= ．【答案】【详解】解：由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小．∵P，∴OP=2．∵OA'=OB'=4，∴∴tan ∠A'OP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB'=2120π4360⋅⋅﹣122⋅．故答案为：．13．如图，扇形OAB 中，OA R =，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，点D 为OB 上一动点，连接AD DC 、，当阴影部分周长最小时，tan ADC ∠等于 ．【答案】【详解】解：如图，作点C 关于OB 的对称点E ，连接AE 交OB 于点F ，连接FA 、OC ， 由对称可知，DC DE =，FC FE =，∵AD CD AD DE AE AF EF +=+≥=+，当点D 移动到点F 时，取等号，此时AD CD +最小， ∵C 为弧AB 的中点，∴AC BC =，则30AOC COB BOE ∠=∠=∠=︒，90AOE ∴∠=︒， 又OA OE =，∴45OEF ∠=︒，∴304575EFB BOE OEA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，由轴对称可知，75CFB EFB ∠=∠=︒，∴30AFC ∠=︒，∴当阴影部分周长最小时，30ADC AFC ∠=∠=︒，则tan ADC ∠= ．故答案为：．14．如图，扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，M 切弧AB 于点C ，切OA ，OB 分别于点D ，E ，若1OA =，则阴影部分面积的周长为 ．【答案】13π16−+【详解】∵⊙M 内切于扇形AOB ，∴C 、M 、O 三点共线，连接C 、M 、O ，连接ME 、MD ，如图所示，根据相切的性质可知DM ⊥AO ，ME ⊥OB ，设⊙M 的半径为R ，∴ME=MD=MC=R ，∠MDO=∠MEO=90°，结合MO=MO ，可得t t R MDO R MEO ≅△△，∴∠MOD=∠MOE=12∠AOB=120°×12=60°，∴在Rt △MOE 中，∠OME=90°-∠MOE=30°，∴OE=ME=R ，OM=2OE=R ，又∵OA=OC=OB=1，∴OM+MC=1，即R+R=1，解得R=3，∴OE=2BE=OB -1，∵∠MOE=60°，∴»60123603BC OA ππ=⨯⨯=o o ，∵∠OME=30°，∴∠CME=180°-∠OME=180°-30°=150°，15015015223603606EC ME R πππ=⨯⨯=⨯⨯=−，则阴影部分的周长为：BE+BC +EC 1+13π+156π−=1316π−，故答案为：1316π−．15．如图，在AOB 中，2OA =，3OB =，32AB =．将AOB 绕点O 逆时针旋转45︒后得到COD △，则图中阴影部分（边AB 扫过的图形）的周长为 ．【答案】534π+ 【详解】解：∵32CD AB ==，AC 的长为4521801802n OA πππ⋅⨯==，BD 的长为45331801804n OB πππ⋅⨯==，∴阴影部分的周长为533534224AC BD AB CD ππ+++=++=+． 故答案为534π+． 16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ．(1)若25B ∠=︒，求AD 的度数；(2)若D 是AB 的中点，且4AB =，求阴影部分（弓形）的面积．【答案】(1)50°(2)23π【详解】（1）解：连接CD ，如图，90ACB ∠=︒，25B ∠=︒，902565BAC ∴∠=︒−︒=︒，CA CD =，65CDA CAD ∴∠=∠=︒，180656550ACD ∴∠=︒−︒−︒=︒，∴AD 的度数为50︒；（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，D 是AB 的中点，90ACB ∠=︒，122CD AD BD AB ∴====，CD CA =， ACD ∴为等边三角形，60ADC ∴∠=︒，sin 60CH CD =⋅︒=∴阴影部分的面积260212236023ACD ACD S S ππ⋅⋅=−=−⨯=扇形17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC , 以AB 为直径作圆O ，分别交AC , BC 于点D 、E ．(1)求证：BE ＝CE ;(2)当∠BAC ＝40°时，求∠ADE 的度数；(3)过点E 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点F ,当AO ＝BE ＝2时,求图中阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)110︒(3)23π【详解】（1）证明：如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴AE ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BE=CE ；（2）∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∠BAC ＝40° ∴1==20°,2BAE BAC ∠∠∴∠ABE=90°-∠BAE=70°，∵四边形ABED 是圆内接四边形,∴∠ADE=180°-∠ABE=110°，（3）连接OE ，∵EF 是O 的切线，∴OE EC ⊥，∵22AO BE OB OE AO =====，，∴BOE 是等边三角形，∴60BOE ∠=︒，30F ∠=︒∴EF ==∴160××42==223603OEF OBE S S S ππ−⨯⨯阴影部分扇形． 18．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）163π−【详解】解：（1）证明：过O 作OD AB ⊥于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒OC AC ∴⊥， OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=， OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB=90°，∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，∴∵∠AOC=90°-30°=60°，∴∠COD=2∠AOC=120°，由（1）得：AB 是⊙O 的切线，OC ⊥AC ，∴AC 为⊙O 的切线，∴∴阴影部分面积=△AOC的面积+△AOD的面积-扇形OCD的面积2 1112044422360π⨯=⨯+⨯−163π=．。
中考数学复习：专题9-15 例谈求阴影部分面积的几种常见方法
例谈求阴影部分面积的几种常见方法【专题综述】在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．本文举例介绍解决这类问题的常见方法．【方法解读】一、直接求解法例1 如图1，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，AD变到AD1位置，折痕为AE．再将△AED1以D1E为折痕，向右折叠，AE变到A1E位置，且A1E交BC于点F．求图中阴影部分的面积．分析因为阴影部分是一个规则的几何图形Rt△CEF，故根据已知条件可以直接计算阴影部分面积．解如图1，根据对称性可得AD＝AD1＝A1D1＝6．由已知条件易知：EC＝D1B＝4，BC＝6；Rt△FBA1∽Rt△FCE．设FC为x，则FB＝6－x．二、间接求解法例2 如图2，⊙O1与⊙O2外切于点C，且两圆分别和直线l相切于A、B两点，若⊙O1半径为3cm；⊙O2半径为1cm，求阴影部分面积．分析这是求一个不规则图形的面积，没有现成的面积公式，因此应采用间接的方法，设法转化为规则图形的面积的和或差去计算．三、整体合并法例3 如图3，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求三个阴影部分面积之和．分析所求的阴影部分面积是三个扇形面积之和，因为三个扇形圆心角度数不知道，所以无法单独求解，但仔细观察发现，三个扇形的圆心角分别是△ABC的三个内角，其和为180°，而扇形半径都相等，所以三个扇形能合并成一个半圆．于是问题获解．解如图3，因为三个圆的半径相等，三个扇形圆心角之和是180°，所以其面积就是半圆面积．四、等积变换法例4 如图4，A是半径为R的⊙O外一点，弦BC为3R，OA∥BC，求阴影部分面积．分析本题的阴影部分是不规则的图形，求其面积较困难，但灵活运用等积变换，就可以把它的面积转化为扇形OBC的面积，从而获解．解连接OC，OB，五、分割法例5 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，求阴影部分面积．分析阴影部分图形不规则，不能直接求面积，可以把它分割成几个部分求面积的和．解如图5，连接CD．∵AC、BC是直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴A、D、B三点共线．设阴影部分面积被分割为S1、S2、S3、S4四部分．则六、转化法例6如图(1)，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB ＝4cm，求阴影部分面积．分析如果想直接求阴影部分面积，无法求解，因为它不是规则图形．但要采取转化思想，把小半圆平移到与大半圆的圆心重合的位置，作OE⊥AB于点E．连接OB，可知BE＝2cm，阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆的面积．解如图(2)，将小半圆O1移至与大半圆圆心重合，作O E⊥AB于点E，则BE＝12AB＝2cm．设大圆半径为R，小圆半径为x，在Rt△OEB中，有七、割补法例7 如图7，点P(3a，a)是反比例函数y＝12x与⊙O在第一象限内的一个交点，求阴影部分的面积．分析阴影部分分两部分，难于逐一求解，但考虑反比例函数的对称性，结合割补原理，问题变得特别简单．解如图7，把右上角的S1部分分割下来，移到左下方补在S3处，与S2就组成了一个扇形OAB．易知：∵P(3a，a)在反比例函数y＝12x的图象上，∴3a＝12a．解得：a1＝2，a2＝－2（舍去）．∴P坐标为(6，2)．连接OP，作PC⊥x轴于点C，得：八、方程建模法例8如图8，正方形边长为a，以每边为直径在正方形内画四个半圆，求阴影部分的面积．分析本题直接求阴影部分面积较复杂，但观察图形特点引入方程的思想，问题变得非常简单．解正方形由四个阴影花瓣和四个空白图形组成，如图8，设一个阴影花瓣面积为x，一个空白图形面积为y．根据题意得：因此阴影部分面积为．222aaπ-．【强化训练】1．（2017内蒙古包头市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=42，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．2π+2D．4π+12．（2017四川省凉山州）如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为2的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（）A．1B．12C．2D．223．（2017四川省资阳市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为（）A．1312πB．34πC．43πD．2512π4．（2017衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（）A．252πB．10πC．24+4πD．24+5π5. （2017云南省）如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为．6．（2017吉林省）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画BE，CE．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．7. （2017四川省达州市）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=33，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=92CE；④32S阴影．其中正确结论的序号是．8. （2017湖北省恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=23，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）9. （2017内蒙古赤峰市）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD 与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：A M是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．10．（2017新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．。
中考数学专题：与圆有关的阴影部分面积的计算 训练(含答案)
专题 阴影部分面积的计算一．选择题1. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，OD ∶DB ＝1∶2，OA ＝2，则图中阴影部分的面积为( )A. π2－23B. π4－23C. π2－223D. π－232. 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，弧BD 是以点A 为圆心、AB 长为半径的弧，弧AC 是以点B 为圆心、BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为( )A.32 B. 3 C. 332D. 2 33. 如图，点B 在半圆O 上，直径AC ＝6，∠BCA ＝60°，连接OB ，则阴影部分的面积为( )A. 2πB. 3πC.3π2 D. 3π44. 如图，在边长为1的等边△ABC 中，两条弧AOB ︵与AOC ︵所对的圆心角均为120°，则由两条弓形及边BC 所围成的阴影部分的面积是( )A.33 B. 3 C. 312 D. 345. 如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则阴影部分的面积为( )第5题图A.33 B.233C. 3D. 36. 如图，在▱ABCD 中，AD ＝4，∠BAD ＝120°，以点D 为圆心，AD 的长为半径画弧，交CD 于点E ，连接BE ，若BE 恰好平分∠ABC ，则图中阴影部分的面积为( )A. 123－4π3 B. 123－8π3C. 163－4π3D. 163－8π3二．填空题7. 如图，点C 在以AB 为直径的半圆弧上，∠ABC ＝30°，沿直线CB 将半圆折叠，点A落在点A′处，A′B和弧BC交于点D，已知AB＝6，则图中阴影部分的面积为8.如图，⊙O为正六边形ABCDEF的外接圆，连接OB，OF，BD，DF，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为9．(2019·福建)如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．(结果保留π)三．解答题10.如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AB＝2，连接CA，将▱ABCD绕点A逆时针旋转至▱AB′C′D′，点D′在BA的延长线上，若CA⊥AB，（1）求AD的长（2）求图中阴影部分的面积11. 如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆上有一点C，且∠ABC＝60°，点D为AO 上一点，将△DBC沿直线DC对折得到△DB′C，点B的对应点为B′，且B′C与半圆相切于点C，连接B′O交半圆于点E.(1)求证：B′D⊥AB；(2)当AB＝2时，求图中阴影部分面积．参考答案1. A 【解析】如解图，连接OC ，易得∠COB ＝45°，过点C 作CE ⊥OB 于点E ，则CE ＝CO ·sin45°＝2×22＝2，∵OA ＝2，OD ∶DB ＝1∶2，∴OD ＝23.∴S 阴影＝S 扇形BOC －S △OCD ＝45π·22360－12×23×2＝π2－23.2. B 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 、△BCD 均是等边三角形．∴S 阴影＝S △BCD ＝34·BC 2＝34×22＝ 3.3. C 【解析】∵AC 为半圆O 的直径，∴∠ABC ＝90°，又∵∠BCA ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOB 与△BOC 等底同高，即S △AOB ＝S △BOC ，∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝60π·32360＝3π2.4. C 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，线段OA 将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针绕点O 旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC ，它的面积等于△ABC 面积的三分之一，∴S 阴影＝13×34×12＝312.5. A 【解析】如解图，过点O 分别作AB 、BC 的垂线，垂足为点E 、F ，∵O 为等边三角形的中心，∴OE ＝OF ，S △OFC ＝S △OEA ，∴S 四边形OABC ＝S 四边形OEBF ＝13S 正三角形．∵S 正三角形＝12×2×2×sin60°＝3，∴S 阴影＝33.6. B 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥CD 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝120°，∴∠D ＝60°，∵AD ＝4，∴AF ＝AD ·sin60°＝23，∵∠ABC ＝∠D ＝60°，BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝30°，∵∠C ＝∠BAD ＝120°，∴∠CEB ＝∠CBE ＝30°，∴EC ＝BC ＝AD ＝4，∴DC ＝DE ＋EC ＝8，∴S 阴影＝S ▱ABCD －S △BEC －S 扇形ADE ＝8×23－12×4×23－60π·42360＝123－8π3.7.3π2【解析】如解图，连接AD ，CD ，∵沿直线CB 将半圆折叠，点A 落在点A ′处，∴∠ABC ＝∠CBA ′＝30°，AB ＝A ′B ＝6，∴∠ABD ＝60°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝30°，∴AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，BD ＝12AB ＝12A ′B ＝12×6＝3，∴CD ＝BD ＝12A ′B ，∠A ′DC ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形A ′CD ＝60π·32360＝3π2.第7题解图8. 43π. 【解析】如解图，连接OC ，OE ，分别交BD ，DF 于点M ，N ，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴∠BOC ＝60°，∠BCD ＝∠COE ＝120°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形．∴∠OBC ＝∠OCB ＝60°，∴∠OCD ＝∠OCB ，∵BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDM ＝30°，BM ＝DM ，∴∠OBM ＝30°，S △DCM ＝S △BCM ，∴∠OBM ＝∠CBD ，∴OM ＝CM ，∴S △OBM ＝S △BCM ，∴S △OBM ＝S △DCM ，同理，S △OFN ＝S △DEN ，∴S 阴影＝S 扇形COE ＝120π×22360＝43π.9. π－110. 【解析】(1)AD 的长为22如解图，以点A 为圆心，AC ′长为半径画C ′E ︵，交AD ′于点E ，∵AB ＝2，∠B ＝45°，CA ⊥AB ，∴AC ＝AB ＝CD ＝2，∠CAD ＝45°，AD ＝AC 2＋DC 2＝22＋22＝2 2（2）由旋转的性质可知∠DAD ′＝45°，S △ACD ＝S △AC ′D ′，S 扇形CAC ′＝S 扇形C ′AE ，∴S 阴影＝(S 扇形DAD ′－S △AC ′D ′)＋(S △ACD －S扇形CAC ′)＝S扇形DAD ′ －S扇形CAC ′＝S扇形DAD ′ －S扇形C ′AE ＝45π×（22）2360－45π×22360＝π2.11.(1)证明：由题意得：∠B′CB ＝∠B′CO ＋∠OCB ＝90°＋60°＝150°. ∵△DBC 沿直线DC 对折得到△DB′C ， ∴∠DCB ＝21 ∠B′CB ＝ 21×150°＝75°. 在△DBC 中，∠CDB ＝180°－∠ABC －∠DCB ＝180°－60°－75°＝45°. ∴∠B′DB ＝2∠CDB ＝2×45°＝90°，∴B′D ⊥AB ；(2)解：∵AB ＝2，△OBC 是等边三角形， ∴OC ＝OB ＝BC ＝B′C ＝1. ∵∠B′CO ＝90°， ∴∠B′OC ＝45°∴S 阴影＝S △B′CO －S 扇形EOC ＝21-8。
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求阴影部分的面积专题透析：计算平面图形中的面积问题是中考中的常考题型，多以选择题、填空题的形式出现，其中求阴影部分的面积是这类问题的难点.不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形和圆、圆弧等基本图形组合而成，考查内容涉及平移、旋转、相似、扇形面积等相关知识，还常与函数相结合.在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分析和组合图形，常常借助转化化归思想，将阴影部分（不规则图形）转化为规则的易求的图形求解.典例精析：例1.如图，菱形ABCD 的对角线BD AC 、分别为223、，以B 为圆心的弧与AD DC 、相切于点E F 、，则阴影部分的面积是 （ ）A.π-323 B.π-343 C.π-43 D.π-23 分析：本题的阴影部分是不规则的，要直接求出阴影部分的面积不现实，但我们发现阴影部分是菱形ABCD 减去扇形ABC 的面积;菱形ABCD ABC 的面积关键是求出圆心角∠ABC 的度数和半径;连结BD BE 、交于点O ，所有这些问题均可以化归在Rt △AOB 或Rt △BOC 中利用三角函数和勾股定理来解决. 选D 师生互动练习：1. 如图，Rt △ACB 中，C 90AC 15AB 17∠===o ，，;以点C 为 圆心的⊙C 与AB 相切于D ，与CA CB 、分别交于E F 、两点，则 图中阴影部分的面积为 .2.如图的阴影部分是一商标图案（图中阴影部分），它以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作»BD ,再以B 为圆心，BD 为半径作弧，交BC 的延长线与E ,»»BD,DE 和DE 就围成了这个图案，若正方形的边 长为4，则这个图案的面积为A.π4B.8C.π3D.π-38 3.如图，Rt △ABC 中,,C 90A 30∠=∠=o o ,点O 在斜边AB 上，半径为2，⊙O 过点B 切AC 于D ,交BC 边于点E E ，则由线段CD EC 、及»DE 围成的阴影部分的面积为 . 4. 已知直角扇形AOB 的半径OA 2cm =，以OB 为直径在扇形内作半圆⊙M ，过M 引MP ∥AO 交»AB 于P ,求»AB 与半圆弧及MP 围成的 阴影部分的面积为 .例2.如图，⊙O 的圆心在定角()0180αα∠<<o o 的角平分线上运动，且⊙O 与α∠的两边相切，图中的阴影部分的面积y 关于⊙O 的半径()x x 0>变化的函数图象大致是（ ）分析：连结OA OB OC 、、后，本题关键是抓住阴影部分的面积=四边形ACOB 的面积-扇形BOC 的面积.设阴影部分的面积为y ，⊙O 的半径()x x 0>. ∵⊙O 切AM 于点B ,切AN 于点C , ∴OBA OCA 90,OB OC x,AB AC ∠=∠====o ,∴BOC 3609090180αα∠=---=-o o o o ;∵AO 平分MAN ∠,xAB AC 1tan 2α==，且图中阴影部分的面积y =四边形ACOB 的面积-扇形BOC 的面积.∴ ()22180x 1x 1180y 2x x 112360360tan tan 22αππαπαα⎛⎫⎪--=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭∵x 0> ，且()0180αα∠<<o o 是定角∴阴影部分的面积y 关于⊙O 的半径()x x 0>之间是二次函数关系. 故选C .师生互动练习：1.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，E F G H 、、、分别为各边上的点，且AE BF CG ==DH =；设小正方形EFGH 的面积为S ,AE 为x ，则S 关于x 的函数图象大致为（ ） 2.(2013.临沂中考）如图，正方形ABCD 中，AB 8cm =，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E F 、分别从B C 、两点同时出发，以/1cm s 的速度沿BC CD 、运动，到点C D 、停止运动.设运动时间为()t s ，OEF V 的面积为()2S cm 与()t s 的函数关系式可用图象表示为（ ）3.（2014.菏泽中考）如图在Rt ABC V 中，AC BC 2==,正方形CDEF 的顶点D F 、分别是边AC BC 、的动点，C D 、两点不重合.设CD 的长度为x ，ABC V 与正方形CDEF 的重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的是 （ ） 例个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长为1，△ABC 的顶点在格点上， 则△ABC 的面积为 . 分析: 延长AB ，然后作出过点C 与格点所在的水平直线，一定交于点E .则图中的阴影部分 = △AEC 的面积 - △BEC 的面积. 由正六边形的边长为1，根据正多边形形的性质，可以得出过正六边 形中心的对角线长为2，间隔一个顶点的对角线长为3，则CE 4=；若△AEC 和△BEC 都以CE 为求其面积的底边,则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢？ 解：（由同学们自我完成解答过程） 师生互动练习：1.如图已知网格中每个小正方形的边长为2，图中阴影部分的 每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为 .2.如图，已知下面三个图形中网格中的每个正方形的边长都设为1.(结果均保留π)⑴.图①中的阴影图案是由两段以格点为圆心，分别以小正方形的边长和对角线长为半径的圆弧和网格的边围成．，图中阴影部分的面积为 ；⑵.图②中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成.图②中阴影部分的面积是 ； ⑶.图③中在AB 的上方，分别以△ABC 的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分的面积之和为 .3.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的FEBO A CEC DABDE OBA C PNMBO A E F D BA C E DB CA F x y 1212O x y 123412345O x y 1212O D B αCBAO MNxy OA xy OB xy OC xy ODC E A B ②①③CC交点上，若灰色三角形面积为214，则方格纸的面积为．附专题总结：求含圆图形中不规则阴影部分面积的几个技巧一.旋转、翻折为特殊图形：图①的第一个图是直角扇形OAB和直角扇形OCD搭建的，其中OA=9，OB=4，要求阴影部分的面积，可以将△ODB旋转至△OAC来求扇环BDCA的面积更简便（见图①的第二个图）.图②的第一个图中是直角扇形OAB和正方形OFED以及矩形OACD，其中OF=1，要求阴影部分的面积，可以将半弓形ODB沿正方形对角线翻折至EFA来求矩形ACEF的面积更简便（见图②的二.图①的第一个图大圆⊙O 的弦小圆⊙O图①，这样来求圆环的面积更容易；图②三.如图第一个图是以等腰Rt△AOB的直角顶点O为圆心画出的直角扇形OAB和以OA、OB为直径画出的两个半圆组成的图形，要求第一个图形阴影，可以按如图所示路径割补成一个弓形（见第二个图中的标示）更容易求出阴影图形的面积；如果OA=10，求出第一个图形阴影部分的面积？略解：S阴影=2B0A11S S AOB101010255042ππ-=⨯⨯-⨯⨯=-V扇形点评：解决. 割补法在很多涉及到几何图形的题中都有运用.四.差法求叠合图中形的阴影例1.图①是教材114页的第3题，可以用四个半圆的面积之和减去正方形的面积得到阴影部分的面积；例2.图②（自贡市中考题）△ABC中，AB=BC=6，AC=10，分别以AB，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．略解：△ABC的底边AC===2ABC1161S2S S21592222ππ⎛⎫⨯⨯-=⨯⨯⨯-⨯=-⎪⎝⎭V影点评：本题的图形结构可以看成是三个图形叠合在一起（两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合），具有这种图形结构题其实并不是我们想象那么抽象艰深.比如：本题的阴影部分恰好是两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合后，两个半圆覆盖等腰三角形后多出来的部分；那么下面的这个题就的计算也就不那么复杂了.举一反三，“难题”不难！师生互动练习：：见上学期《圆》单元训练和专题复习的相应部分.迎考精炼：1.如图,AB是⊙O的直径，弦CDAB,CD⊥=则S阴影 = （）A.πB.2π D.23π2. 如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径均为0.5，则图中的三个阴影部分的面积之和为（）A.12πB.8πC.6πD.4π3.如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中的阴影部分的面积为（）2π23πC.2πD.23π4.如图，在Rt△ABC中，C90,AC8BC4∠===o， ,分别以AC BC、为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积之和为（）A.2016π- B.1032π- C.1016π- D.20132π-5. 如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE于E,且AE3,BE4==则阴影部分的面积是（）A.16B.18C.19D.216. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形'''AB C D，图中的阴影部分的面积为（）A.1 C.1 D.127.的正方形ABCD沿对角线AC平移，使A点至AC形''''A B C D，新的正方形与原正方形的重叠部分（图中的阴影部分）的面积是（）B.12C.18.将n个边长都为4cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A交点，则n个正方形重叠部分的面积的和为A.21cm4B.2n1cm4-C.()24n1cm- D.n21cm4⎛⎫⎪⎝⎭9. 两张宽均为5cm的纸带相交成αA.()225cmsinαB.()225cmcosαC.()250sin cmα D.()225sin cmα10. 如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，线段AB被截成相等的三部分，则图中的阴影部分的面积是△ABC面积的A.19B.29C.13D.4911.AB是⊙O的直径，以AB为一边作等边△ABC，交⊙O于点E F、AB2=,则图中的阴影部分的面积为 ( )A.43π- B.23πC.3πD.3π12.如图。
三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积OC图①CD DB图②BC'C（结果保留π）13. 如图①，等边△ABD 和等边△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向平移得到△'''A B D 的置，得到图 形②，则阴影部分的周长为 .14.如图，△ABC 的边AB 3AC 2==，,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB AC BC 、、为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值为 . 15.若图中正方形F 以上的正方形均是以直角三角形向外作的正方形： ①.若正方形A B C D 、、、的边长分别是a b c d 、、、，则正方形F 的面积如何用含a b c d 、、、的式子表示出来为 ；②.如果正方形F 的边长16cm ，那么正方形A B C D 、、、的面积之和是 . 16.如图，边长为3的正方形ABCD 绕点按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG 交AD 于点H ,S 四边形HFCD = .17.如图， 已知AD DE EF 、、分别是ABC V 、ABD V 、AED V 的中线，若2ABC 24cm S =V，则阴影部分DFE V的面积为 .18.如图，在正方形ABCD 内有一折线，其中AE EF EF FC ⊥⊥、,并且AE 6=,EF 8= AF 10=则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 . 19.如图把⊙O 向右平移8个单位长度得到⊙O 2，两圆相交于 A 、B ，且O 1 A O 2 A 分别与⊙O 2、⊙O 1相切，切点均为A 点， 则图中阴影部分的面积为 . ABCD 中，BC 4DC 2==，,以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E ,则图中的阴影部分的面积是 （结果保留π）21.在Rt △ABC 中，A 90AB AC 2∠===o ，,以AB 为直径作圆交BC 于点D ,则图中阴影部分的面积是 .22.如图，在△ABC 中，,AB 5cm AC 2cm ==，将△ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转45°至△11A B C 的位置，则线段AB 扫过的区域（图中阴影部分）的面积为 2cm .23.如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于O ,其直径CD EF 、和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过C E 、和点D F 、，则图中的阴影部分的面积是 .24.如图，抛物线2y x 2=-+向右平移1个单位得到抛物线2y ，则抛物线2y 的顶点坐标为 ；阴影部分的面积S = . 25.如图在边长为2的菱形ABCD 中，B 45∠=o , 为BC 边上的 高，将△ABE 沿AE AE 在直线翻折得△'AB E ,求△'AB E 与四边形 AECD 重叠(阴影)部分的面积. 26.如图，矩形OBCD 按如右图所示放置在平面直角坐标系中（坐标原点为O )，连结AC (点A C 、的坐标见图示)交OB ；求阴影 部分的四边形OECD 的面积？27.如图，在△ABC 中，=90A ∠o ， O 是BC 为圆 心的半圆分别与AB AC 、边相切于点D E 、,连接OD 求：⑴.tan C ∠.⑵.求图中的阴影部分的面积之和.28.如图，⊙O 的直径AB 为10cm 1,弦AC 为6cm ,ACB ∠的平分线 交⊙O 于点D .⑴.求弦CD 的长；⑵.求阴影部分的面积。