武汉市青山区2017-2018学年八年级下期中数学试卷含答案解析模板

2017-2018学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．使二次根式有意义的x的取值范围是（）A．x≠2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥22．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C． D．3．下列各式计算正确的是（）A．8﹣2=6 B．5+5=10C．4÷2=2D．4×2=84．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD=BC B．AB∥CD，∠A=∠C C．AD∥BC，AD=BC D．∠A=∠C，∠B=∠D 5．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a2=1，b2=2，c2=3 B．a：b：c=3：4：5C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：56．下列命题中逆命题成立的有（）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③全等三角形的对应边相等；④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是（）cm2．A．336 B．144 C．102 D．无法确定8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（）A．16 B．14 C．12 D．109．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第6个图形有（）个小圆．A．42 B．44 C．46 D．4810．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．10 B．8 C．6 D．5二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．化简：﹣=．12．在△ABC中，∠C=90°，若AC=5，BC=12，则AB=．13．一只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为．14．一个三角形的三条中位线的长分别为3，4，5，则三角形的面积为．15．如图，一根长18cm的筷子置于底面直径为5cm．高为12cm圆柱形水杯中，露在水杯外面的长度hcm，则h的取值范围是．16．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（1）×÷（2）+2﹣（﹣）18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，四边形AEFD是平行四边形吗？为什么？19．已知x=+1，y=﹣1，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+xy+y2．20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：（1）在图①中画一条线段MN，使MN=；（2）在图②中画一个△ABC，使其三边长分别为3，，．21．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？22．如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．23．已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．24．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b=++16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）（1）求B、C两点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．2017-2018学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．使二次根式有意义的x的取值范围是（）A．x≠2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2【考点】二次根式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关x的一元一次不等式，解之即可得到本题答案．【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣2≥0，解得：x≥2，故选D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的中考看，几乎是一个必考点．2．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C． D．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；B、被开方数含能开得尽方的因数，故B错误；C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；D、被开方数含分母，故D错误；故选：A．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．3．下列各式计算正确的是（）A．8﹣2=6 B．5+5=10C．4÷2=2D．4×2=8【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．【分析】根据同类二次根式的合并，及二次根式的乘除法则，分别进行各选项的判断即可．【解答】解：A、8﹣2=6，原式计算错误，故A选项错误；B、5与5不是同类二次根式，不能直接合并，故B选项错误；C、4÷2=2，原式计算错误，故C选项错误；D、4×2=8，原式计算正确，故D选项正确；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的加减及乘除运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．4．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD=BC B．AB∥CD，∠A=∠C C．AD∥BC，AD=BC D．∠A=∠C，∠B=∠D 【考点】平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断．【解答】解：A、“AB∥CD，AD=BC”是四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可以是等腰梯形，不可以判定四边形ABCD是平行四边形．故本选项符合题意；B、根据“AB∥CD，∠A=∠C”可以判定AD∥BC，由“两组对边相互平行的四边形为平行四边形”可以判定四边形ABCD为平行四边形．故本选项不符合题意；C、“AD∥BC，AD=BC”是四边形ABCD的一组对边平行且相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形．故本选项不符合题意；D、“∠A=∠C，∠B=∠D”是四边形ABCD的两组对角相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查平行四边形的判定，需注意一组对边相等，另一组对边相互平行的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也满足该条件．5．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a2=1，b2=2，c2=3 B．a：b：c=3：4：5C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案．【解答】解：A、可利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；B、根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；C、根据三角形内角和定理可以计算出∠A=90°，△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；D、根据三角形内角和定理可以计算出∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．6．下列命题中逆命题成立的有（）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③全等三角形的对应边相等；④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立；②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立；③全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，成立；④如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，不成立；逆命题成立的有2个；故选B．【点评】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．7．如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是（）cm2．A．336 B．144 C．102 D．无法确定【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】利用勾股定理求出AC2的值，再由勾股定理的逆定理判定三角形ACD也为直角三角形，=S△ABC+S△ACD．则S四边形ABCD【解答】解：如图，连接AC．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100，∵AC2+CD2=AD2=676∴△CDA也为直角三角形，∴S=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AC×CD=×6×8+×10×24=144（cm2），四边形ABCD故选B．【点评】本题考查了三角形面积和勾股定理逆定理的应用，注意：在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD=AB=4，AD=BC=5．再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≌△COF．根据全等三角形的性质，得：OF=OE=1.5，CF=AE，故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=12．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF=OE=1.5，CF=AE，故四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC=CD+EF+AE+ED=CD+AD+EF=4+5+1.5×2=12．故选C．【点评】能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．9．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第6个图形有（）个小圆．A．42 B．44 C．46 D．48【考点】规律型：图形的变化类．【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4．据此可以再求得第6个图形小圆的个数即可．【解答】解：根据第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，∵6=4+1×2，10=4+2×3，16=4+3×4，24=4+4×5…，∴第n个图形有：4+n（n+1）个小圆，∴第6个图形有：4+6×（6+1）=46个小圆．故选：C．【点评】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．10 B．8 C．6 D．5【考点】三角形中位线定理；垂线段最短；平行四边形的性质．【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE 最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，又∵OC=OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD=AB=3，∴DE=2OD=6．故选C．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．化简：﹣=．【考点】二次根式的加减法．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．【解答】解：原式=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．12．在△ABC中，∠C=90°，若AC=5，BC=12，则AB=13．【考点】勾股定理．【分析】直接根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方进行计算即可．【解答】解：根据勾股定理可得AB===13，故答案为：13．【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．13．一只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为2．【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可得出结论．【解答】解：将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB==2．故答案为：2．【点评】本题考查的是平面展开．最短路径问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．14．一个三角形的三条中位线的长分别为3，4，5，则三角形的面积为24．【考点】三角形中位线定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据三角形的中位线定理即可求得△ABC的各个边长，利用勾股定理的逆定理可以判断△ABC是直角三角形，则面积即可求解．【解答】解：设中位线DE=3，DF=4，EF=5．∵DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×3=6．同理：AC=2DF=8，AB=2EF=10．∵62+82=100=102，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴S△ABC=AC•BC=×6×8=24．故答案是：24．【点评】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的中位线定理，正确求得△ABC的边长，判断△ABC 是直角三角形是解题关键．15．如图，一根长18cm的筷子置于底面直径为5cm．高为12cm圆柱形水杯中，露在水杯外面的长度hcm，则h的取值范围是5cm≤h≤6cm．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据杯子内筷子的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．【解答】解：∵将一根长为18cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，x=12，最长时等于杯子斜边长度是：x==13，∴h的取值范围是：（18﹣13）cm≤h≤（18﹣12）cm，即5cm≤h≤6cm．故答案为：5cm≤h≤6cm．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．16．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是5﹣5．【考点】菱形的判定与性质；坐标与图形性质；垂线段最短；等边三角形的判定与性质．【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出AO的长．【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO=5，故AO的最小值为：AO=AE﹣EO=ABsin60°﹣×BD=5﹣5．故答案为：5﹣5．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短是解题关键．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（1）×÷（2）+2﹣（﹣）【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）按照二次根式的乘除法的计算方法计算即可；（2）先化简，再进一步合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式=÷=；（2）原式=2+2﹣3+=3﹣．【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握运算的方法和化简的方法是解决问题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，四边形AEFD是平行四边形吗？为什么？【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】根据平行四边形ABCD的性质推知AE∥DF；又E、F分别是边AB、CD的中点，则AD∥EF，所以由“有两组对边相互平行的四边形是平行四边形”证得四边形AEFD是平行四边形．【解答】解：四边形AEFD是平行四边形．理由如下：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，则AE∥DF．又∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．解题时，利用了“有两组对边相互平行的四边形是平行四边形”证得四边形AEFD是平行四边形．19．已知x=+1，y=﹣1，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+xy+y2．【考点】二次根式的化简求值．【分析】（1）先代入分别求出x+y，x﹣y的值，根据平方差公式分解因式，代入求出即可；（2）先代入分别求出x+y，xy的值，根据完全平方公式代入求出即可；【解答】解：∵x=+1，y=﹣1，∴x+y=2，x﹣y=2，xy=（+1）×（﹣1）=2，（1）x2﹣y2；=（x+y）（x﹣y）=2×2=4．（2）x2+xy+y2．=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣2=10．【点评】本题考查了对平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算的应用，主要考查学生能否选择恰当的方法进行计算．20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：（1）在图①中画一条线段MN，使MN=；（2）在图②中画一个△ABC，使其三边长分别为3，，．【考点】勾股定理．【专题】作图题．【分析】（1）如图①，在直角三角形MQN中，利用勾股定理求出MN的长为，故MN为所求线段；（2）如图②，分别利用勾股定理求出AB，AC，以及BC的长，即可确定出所求△ABC．【解答】解：（1）如图①所示，在Rt△MQN中，MQ=2，NQ=1，根据勾股定理得：MN==，则线段MN为所求的线段；（2）如图②所示，AB=3，AC==，BC==，则△ABC为所求三角形．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．21．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【考点】勾股定理的逆定理；方向角．【专题】应用题．【分析】根据路程=速度×时间分别求得OB、OA的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形OAB是直角三角形，从而求解．【解答】解：1小时“远航”号的航行距离：OB=16×1=16海里；1小时“海天”号的航行距离：OA=12×1=12海里，因为AB=20海里，所以AB2=OB2+OA2，即202=162+122，所以△OAB是直角三角形，又因为∠1=45°，所以∠2=45°，故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．22．如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．【考点】平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形；（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可．【解答】（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，∴AD=OB，OD=BD=OB∴DO=DA，∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，∴∠AEO=60°，又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO=60°，∴BC∥AE，∵∠BAO=∠COA=90°，∴CO∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，在Rt△ABO中，∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，∴AO=BO•cos30°=8×=4，在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，x2+（4）2=（8﹣x）2，解得：x=1，∴OG=1．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理．23．已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．【解答】（1）证法一：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴点B为线段AD的中点，又∵点M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线，∴BM∥CF．证法二：如答图1b，延长BM交EF于D，∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a，∴BM=ME=×a=a．解法二：如答图1b．∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．在△ACG与△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF=AG，∴BM=ME．证法二：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．24．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b=++16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）（1）求B、C两点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理．【分析】（1）根据二次根式的性质得出a，b的值进而得出答案；（2）由题意得：QP=2t，QO=t，PB=21﹣2t，QC=16﹣t，根据平行四边形的判定可得21﹣2t=16﹣t，再解方程即可；（3）①当PQ=CQ时，122+t2=（16﹣t）2，解方程得到t的值，再求P点坐标；②当PQ=PC时，由题意得：QM=t，CM=16﹣2t，进而得到方程t=16﹣2t，再解方程即可．【解答】解：（1）∵b=++16，∴a=21，b=16，故B（21，12）C（16，0）；（2）由题意得：QP=2t，QO=t，则：PB=21﹣2t，QC=16﹣t，∵当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形，∴21﹣2t=16﹣t，解得：t=5，∴P（10，12）Q（5，0）；（3）当PQ=CQ时，过Q作QN⊥AB，由题意得：122+t2=（16﹣t）2，解得：t=，故P（7，12），Q（，0），当PQ=PC时，过P作PM⊥x轴，由题意得：QM=t，CM=16﹣2t，则t=16﹣2t，解得：t=，2t=，故P（，12），Q（，0）．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定，关键是注意分类讨论，不要漏解．。