曲线的参数方程
第二讲：曲线的参数方程
1．第二讲：曲线的参数方程参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
曲线的参数方程(教案)
曲线的参数方程教学目标：1. 了解参数方程的定义和特点；2. 学会将直角坐标系下的曲线转换为参数方程；3. 能够利用参数方程分析和解决实际问题。
教学内容：第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义1.2 参数方程的特点1.3 参数方程与直角坐标方程的关系第二章：曲线的参数方程转换2.1 圆的参数方程2.2 椭圆的参数方程2.3 双曲线的参数方程2.4 抛物线的参数方程第三章：参数方程的应用3.1 直线运动的参数方程3.2 曲线运动的参数方程3.3 几何图形的参数方程第四章：参数方程的解法4.1 参数方程的求解方法4.2 参数方程的图像分析4.3 参数方程的优化问题第五章：参数方程的实际应用5.1 参数方程在工程中的应用5.2 参数方程在物理中的应用5.3 参数方程在其他领域的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解参数方程的基本概念和转换方法；2. 利用数形结合法，分析参数方程的图像特点；3. 结合实例，讲解参数方程在实际中的应用；4. 引导学生进行练习和思考，巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对参数方程基本概念的理解；2. 课堂练习：考察学生对参数方程转换方法的掌握；3. 课后作业：评估学生对参数方程应用的熟练程度；4. 小组讨论：评价学生在团队合作中解决问题的能力。
教学资源：1. 教材或教学参考书；2. 投影仪或白板；3. 数学软件或图形计算器；4. 实例素材和练习题。
教学步骤：第一章：参数方程的基本概念1.1 引入参数方程的概念，解释参数方程的定义；1.2 分析参数方程的特点，与直角坐标方程进行对比；1.3 引导学生思考参数方程的应用场景。
第二章：曲线的参数方程转换2.1 讲解圆的参数方程，展示圆的图像；2.2 引导学生推导椭圆的参数方程，展示椭圆的图像；2.3 讲解双曲线的参数方程，展示双曲线的图像；2.4 讲解抛物线的参数方程，展示抛物线的图像。
第三章：参数方程的应用3.1 分析直线运动的参数方程，举例说明；3.2 分析曲线运动的参数方程，举例说明；3.3 引导学生思考几何图形的参数方程应用。
参数方程曲线弧长公式
参数方程曲线弧长公式参数方程曲线弧长公式是研究参数方程曲线长度的重要工具，下面将从什么是参数方程曲线、弧长的概念、弧长公式的推导和应用等方面详细介绍这一重要的数学概念。
一、什么是参数方程曲线？参数方程，顾名思义，是通过一个或多个参数来描述一个曲线所在的位置以及其运行的方向和速度。
参数方程的形式如下：x = f(t)y = g(t)其中 t 这个参数可以看做时间，f(t) 和 g(t) 分别是 x 和 y轴的函数表达式。
通过不同的 t 值，可以得到参数方程中的每一个点，从而画出一条曲线，这就是参数方程曲线，也称为参数曲线或参数化曲线。
二、弧长的概念在学习参数方程曲线弧长公式之前，我们首先需要了解什么是弧长。
弧长指的是曲线的长度，也就是说，如果我们将一条曲线放在直线上拉直，那么直线的长度就是这条曲线的弧长。
三、弧长公式的推导参数方程曲线弧长的计算公式如下：L = ∫[a, b]√(x’²+y’²)dt其中，a 和 b 分别表示曲线的起点和终点，x’ 和y’ 分别表示曲线在 x 和 y 方向上的导数，即速度。
整个公式的意思是，将曲线分成许多微小的线段，每一个线段的长度为√(x’²+y’²)dt，将每个线段长度加起来即是曲线的长度。
四、弧长公式的应用弧长公式在数学、物理等领域都具有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，弧长公式可以用来计算从起点到终点的路径长度，以便对机器人实现路径规划和运动控制；在物理学中，弧长公式可以用来计算曲线电场的电势差，以及粒子在弯曲的弯道上所需的能量等问题。
总之，参数方程曲线弧长公式是一项非常重要的数学工具，具有广泛的应用领域。
掌握弧长公式的概念和计算方法，有利于我们更好地理解曲线的特性以及在实际问题中应用它。
一、曲线的参数方程
参数方程与解析几何的关系
参数方程是解析几何的基本工具 之一
在解析几何中，参数方程被广泛应用于描述几何图形， 它提供了比直角坐标方程更加灵活和方便的描述方式。
参数方程与极坐标方程的转换
在某些情况下，可以将参数方程转换为极坐标方程，以 便利用极坐标的性质来研究曲线的性质。
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参数方程导数的计算方法
通过对方程中的参数求导，并利用链式法则和乘积法则进行计算。
参数方程的积分
参数方程的积分定义
参数方程的积分是表示曲线与坐标轴围成的面积的数学工具。
参数方程积分的几何意义
参数方程的积分表示曲线与坐标轴围成的面积，即曲线在某一区间 上的长度。
参数方程积分的计算方法
通过对方程中的参数进行不定积分，并利用微积分基本定理进行求 解。
通过参数t将曲线上的点与实数轴上的点一一对应起来。
参数方程的表示形式
显式参数方程
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)的形式，其中 x、y、z是参数t的函数。
隐式参数方程
通过方程F(x,y,z)=0表示，其中F是参 数t的函数。
参数方程与直角坐标方程的转换
直角坐标方程
01
通过x、y、z来表示曲线上点的坐标。
一、曲线的参数方程
目 录
• 参数方程的基本概念 • 参数方程在曲线表示中的应用 • 参数方程的物理意义 • 参数方程的微积分性质 • 参数方程的几何意义
01 参数方程的基本概念
参数方程的定义
参数方程
由参数t表示的方程组，其中x、y是参数t的函数。
参数方程的一般形式
x=x(t)，y=y(t)。
参数方程的特点
详细描述
常见曲线的参数方程
双曲线参数方程
04
双曲线标准形式及性质
标准形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a, b > 0$）
性质
双曲线有两个焦点，位于x轴上，距离原点的距离为$c$，其中$c^2 = a^2 + b^2$。双曲线上的任意一点到两 焦点的距离之差为定值$2a$。
椭圆性质
椭圆有两个焦点，任意一点到两焦点 的距离之和等于长轴的长度；椭圆关 于中心对称，也关于两焦点所在的直 线对称。
椭圆参数方程推导
参数方程形式
$x = acostheta, y = bsintheta$，其中$theta$为参数，表 示与$x$轴的夹角。
推导过程
由椭圆的标准形式，设$x = acostheta$，代入椭圆方程可得 $y = pm bsqrt{1 - frac{x^2}{a^2}} = pm bsqrt{1 cos^2theta} = pm bsintheta$。由于椭圆关于$x$轴对称， 故取正号，得到椭圆的参数方程。
常见曲线的参数方程
汇报人：XX
contents
目录
• 曲线基本概念与分类 • 直线与圆参数方程 • 椭圆参数方程 • 双曲线参数方程 • 抛物线参数方程 • 空间曲线参数方程简介
曲线基本概念与分
01
类
曲线定义及性质
曲线定义
曲线是动点运动时，其位置随时 间连续变化所形成的轨迹。
曲线性质
曲线具有连续性、光滑性、可微 性等性质，这些性质决定了曲线 的形态和特性。
参数方程定义
参数方程是一种通过引入参数来表示 变量间关系的方程形式。在参数方程 中，曲线的坐标被表示为参数的函数 。
直角坐标系中曲线的参数方程
参数方程的参数范围和周期性
参数t有一个特定的取值范围，表示曲线上点的运动轨迹。当 参数t超出其取值范围时，曲线上的点会重复出现。
对于具有周期性的曲线，其参数方程可能具有周期性，即当 参数t增加一个特定的值时，曲线上的点会重复出现。这种周 期性可以通过观察曲线的形状和参数t的变化规律来识别。
04
参数方程的求解方法
参数方程用于描述曲线的形状和变化 规律，通过设定参数的变化范围，可 以绘制出完整的曲线图形。
参数方程简化了曲线绘制的计算过程 ，使得绘制复杂的曲线变得相对简单 。
参数方程在解决物理问题中的应用
在物理问题中，很多物理量是随时间 变化的，参数方程可以描述这种变化 过程，帮助我们理解物理现象和规律。
例如，振动和波动的问题可以用参数 方程来描述，通过求解参数方程，可 以得到物理量的变化规律。
利用三角函数求解参数方程
总结词
利用三角函数求解参数方程是一种常见的方法，适用于参数方程中含有三角函数的情况。
详细描述
当参数方程中含有三角函数时，可以利用三角函数的性质和恒等式来求解。例如，如果 参数方程中包含正弦函数和余弦函数，可以利用三角恒等式将它们转换为单一的三角函 数形式，从而简化求解过程。此外，还可以利用三角函数的周期性和对称性等性质来简
05
参数方程的应用实例
地球的运动轨迹描述
要点一
总结词
参数方程在描述地球的运动轨迹时，可以精确地表示地球 绕太阳的椭圆轨道。
要点二
详细描述
参数方程通过引入两个参数（通常是时间和角度）来表示 地球在直角坐标系中的位置，能够精确地描述地球绕太阳 的椭圆轨道，包括地球的近日点和远日点。
摆线的参数方程表示
参数方程与直角坐标方程的转换
曲线的参数方程
{
x x0 r cos y y0 r sin
( 为参数)
2 2 2
对应的普通方程为( x x0 ) ( y y0 ) r
由于选取的参数不同，圆有不同的参 数方程，一般地，同一条曲线，可以 选取不同的变数为参数，因此得到的 参数方程也可以有不同的形式，形式 不同的参数方程，它们表示 的曲线可 以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。
(a,b)
5
O1
P(x,y)
设圆O1上任意一点P( x, y )是圆O 上的点P 1 ( x1 , y1 )平移得到的,
由平移公式, 有
x x1 a y y1 b
-5
v(a,b)
r
P 1 ( x1 , y1 )
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
所以，点M 的轨迹的参数方程是 x cos 3 ( 为参数) y sin
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆 周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
思考：
这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线？
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速度为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
2.圆的参数方程
如果在时刻t，点M 转过的角度是， 坐标是M ( x, y)，那么＝t， y
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中非常重要的概念，我们在生活中也可以发现许多物体的形状都可以用曲线与曲面来描述。
这篇文章将介绍曲线与曲面的参数方程，为大家解答这个问题。
一、曲线的参数方程曲线是指在平面或空间中的一条连续的线，因为曲线有弯曲和曲度的特性，所以需要用一种方法来描述它的特性。
参数方程就是一种常用的描述曲线特性的方法。
曲线的参数方程可以用一组参数来表示曲线上的每个点的位置，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t)\end{cases}$$这就是二维平面曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$ 和$g(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。
例如，坐标系上的圆可以用以下参数方程来表示：$$\begin{cases}x=r\cos t \\ y=r\sin t \end{cases}$$其中 $r$ 是圆的半径，$t$ 的取值范围是 $0\leq t<2\pi $。
当$t=0$ 时，表示圆的起点，当 $t=2\pi$ 时，表示圆的终点。
因为$t$ 是参数，所以可以用不同的参数方程来描述同一个曲线，例如：$$\begin{cases}x=r\cos \omega t \\ y=r\sin \omega t \end{cases}$$其中 $\omega$ 是常数，这也是描述圆的参数方程，只不过经过了缩放，并且运动速度变快了。
同样，空间中的曲线也可以用参数方程来表示，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=h(t) \end{cases}$$这就是三维空间中曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$、$g(t)$ 和 $h(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。
例如，直线的参数方程可以表示为：$$\begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上的一个点，$(a,b,c)$ 是直线的方向向量。
高中数学第二讲参数方程一参数的曲线方程第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
所以 y＝1±sin θ.
不 妨 取 y ＝ 1 ＋ sin θ ， 则 所 求 的 参 数 方 程 为
x＝cos θ， y＝1＋sin θ(θ
为参数)．
归纳升华
1．消去参数的方法主要有三种． ①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代
入消元法或加减消元法消去参数．
②利用三角恒等式借助 sin2θ＋cos2θ＝1 等消去参数．
③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方
法
)例如借助1＋2tt22＋11－ ＋tt222＝1，t＋1t 2－t－1t 2＝4
等 )从整体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围， 确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
消去参数 t，得 a＝1. (2)由上述可得，曲线 C 的参数方程是xy＝＝t12＋. 2t， 把点 P 的坐标(1，0)代入方程组，解得 t＝0， 因此 P 在曲线 C 上． 把点 Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到3－＝11＝＋t22，t， 这个方程组无解，因此点 Q 不在曲线 C 上．
归纳升华 1．满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与 曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．
一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定；第 三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义 等，建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式； 第四步，证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲 线上的点．(求解过程中第四步通常省略，但要通过检验， 并准确标注参数及其取值范围．)
所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 xy＝＝gf（（tt）），就叫作这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言， 直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．
高中数学选修4-4-参数方程
参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。
2.1.曲线的参数方程PPT课件
6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考 虑 到 ＝ t ， 也 可 以 取 为 参 数 ，
y
于 是 有{xy rrcso ins(为 参 数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其 中 参 数 的 几 何 意 义 是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
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（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程
参数方程
17 参数方程知识梳理1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）.并且对于t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫做这条曲线的参数方程，其中变数t 称为参数．2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)． 要点整合1．极坐标方程与参数方程互化时，以普通方程(直角坐标方程)为联系达到相互转化． 2．在利用参数方程求解具体问题时，注意参数的几何意义和范围． 3．数形结合思想是求有关参数方程的最值问题的高效方法．题型一．参数方程化为普通方程(或极坐标方程)例1.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.消去参数的三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．变式：在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，得ρ1＝1，θ1＝π3，设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎨⎧2ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π3＝33，θ2＝π3，得ρ2＝3，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2.题型二．直线的参数方程中参数几何意义的应用例2.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t(t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．[解] (1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0)，由⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t(t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. 设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )， ∴a ＝1.根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长|M 1M 2|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2； ②弦M 1M 2的中点⇔t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|； ④1|M 0M 1|＋1|M 0M 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|. 其中：|t 1|＋|t 2|＝（|t 1|＋|t 2|）2 ＝（t 1＋t 2）2－2t 1t 2＋2|t 1t 2|.变式：已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值与|AB |.解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－53，t 1t 2＝18.所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18， |AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝（－53）2－4×18＝3， 所以|MA |·|MB |＝18，|AB |＝ 3.题型三．极坐标方程与参数方程的综合应用例3.(2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时点P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为()3cos α，sin α.因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝||3cos α＋sin α－42＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.求参数方程中最值问题的三个策略(1)曲线方程上的点用参数方程表示；直线用普通方程表示；利用相关距离公式将目标转化为求以参数为变量的函数的最值；(2)当曲线是圆时，数形结合更快捷方便；(3)利用直线参数方程中参数的几何意义时，需特别注意方向性．变式： 以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝12，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，椭圆C ：x 216＋y 24＝1.(1)求点M 的直角坐标与曲线C 的参数方程；(2)过点M 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且M 为线段AB 的中点，P 是C 上的一个动点，求△P AB 面积的最大值．解：(1)由tan θ＝12，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2得cos θ＝255，sin θ＝55，又ρ＝5，∴x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝1，∴点M 的直角坐标为(2，1)．将a ＝4，b ＝2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos βy ＝b sin β可得椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos βy ＝2sin β(β为参数)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0.∵M (2，1)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，代入上式可得y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即直线l 的斜率k ＝－12.∴直线l 的普通方程为y ＝－12x ＋2.由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋2x 216＋y 24＝1，解得A (0，2)，B (4，0)，∴|AB |＝25， 过椭圆C 上的动点P 作直线l 1∥l ，则当l 1与椭圆C 相切时可求点P 到直线l 的最大值． 设l 1的方程为：y ＝－12x ＋m ，代入x 216＋y 24＝1整理得2x 2－4mx ＋4m 2－16＝0，由Δ＝16m 2－8(4m 2－16)＝0，解得m ＝±2 2.显然当m ＝－22，P (－22，－2)时，点P 到直线l 距离最大为d ＝4（2＋1）5，从而(S △P AB )最大＝12|AB |·d ＝12×25×4（2＋1）5＝4(2＋1)．【真题演练】1.在直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ty ta x 14（t 为参数）． （1）若a =-1，求C 与l 的交点坐标； （2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a ．解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），化为标准方程是：1922=+y x ； a =-1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y -3=0；联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0341922y x y x ， 解得⎩⎨⎧==03y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=25242521y x ，所以椭圆C 和直线l 的交点为（3，0）和)2524,2521(-．（2）l 的参数方程⎩⎨⎧-=+=ty ta x 14（t 为参数）化为一般方程是：x +4y -a -4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P （3cos θ，sin θ），θ∈[0，2π）， 所以点P 到直线l 的距离d 为： d =17=17，φ满足tan φ=43， 又d 的最大值d max =17，所以|5sin （θ+φ）-a -4|的最大值为17， 得：5-a -4=17或-5-a -4=-17， 即a =-16或a =8．2.在直角坐标系x O y 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为），（32π，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值答案：解：（1）曲线C 1的直角坐标方程为：x =4， 设P （x ，y ），M （4，y 0），则x 4=y y 0，∴y 0=4yx ，∵|OM||OP|=16，∴ x 2+y 2 02=16， 即（x 2+y 2）（1+y 2x ）=16，∴x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2，即（x 2+y 2）2=16x 2，两边开方得：x 2+y 2=4x ，整理得：（x -2）2+y 2=4（x ≠0），∴点P 的轨迹C 2的直角坐标方程：（x -2）2+y 2=4（x ≠0）．（2）点A 的直角坐标为A （1， ，显然点A 在曲线C 2上，|OA|=2， ∴曲线C 2的圆心（2，0）到弦OA 的距离d = 4−1= 3， ∴△AOB 的最大面积S=12|OA|•（2+ 3）=2+ 3．3.在直角坐标系x O y 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧=+=kty tx 2，（t 为参数），直线l 2的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k m y m x 2，（m 为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：02)sin (cos =-+θθρ，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．答案：解：（1）∵直线l 1的参数方程为 y =kt x =2+t，（t 为参数）， ∴消掉参数t 得：直线l 1的普通方程为：y =k （x -2）①； 又直线l 2的参数方程为 y =m kx =−2+m，（m 为参数），同理可得，直线l 2的普通方程为：x =-2+ky ②；联立①②，消去k 得：x 2-y 2=4，即C 的普通方程为x 2-y 2=4； （2）∵l 3的极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）- 2=0， ∴其普通方程为：x +y - ，联立 x 2−y 2=4x +y = 2得： y =− 22x =3 2，∴ρ2=x 2+y 2=184+24=5．∴l 3与C 的交点M 的极径为ρ= 5．。
参数方程
参数方程一、基础知识1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).3．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)．考点一 参数方程与普通方程的互化[典例] 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ]． [解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin 2θ＋cos 2θ＝1等)．[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解． [题组训练]1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)． 解：(1)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ，所以(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1.(2)因为曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，①②由y ＝2tan θ，得tan θ＝y2，代入①得y 2＝2x .2.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ， 则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ.所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．考点二 参数方程的应用[典例] (2019·广州高中综合测试)已知过点P (m,0)的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝2，求实数m 的值． [解] (1)消去参数t ，可得直线l 的普通方程为x ＝3y ＋m ，即x －3y －m ＝0. 因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ.可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即x 2－2x ＋y 2＝0.(2)把⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t代入x 2－2x ＋y 2＝0，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0. 由Δ>0，得－1<m <3.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1·t 2＝m 2－2m .因为|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝2，所以m 2－2m ＝±2， 解得m ＝1±3.因为－1<m <3，所以m ＝1±3. [解题技法]1．应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．[题组训练]1．(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2的距离的最大值，并求此时点P 的坐标． 解：(1)曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)设点P 的坐标为(3cos α，sin α)，则点P 到C 2的距离为|3cos α＋sin α－2|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－22，当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1，即α＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z)，α＝－5π6＋2k π(k ∈Z)时，所求距离最大，最大值为22，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，－12. 2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，直线l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，直线l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.考点三 极坐标、参数方程的综合应用[典例] (2018·河北保定一中摸底)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t (t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．[解] (1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，则点A ，B 的极坐标分别为(2，π＋2k π)(k ∈Z)，⎝⎛⎭⎫2，π2＋2k π(k ∈Z)． 设点P 的坐标为(－5＋2cos α，3＋2sin α)，则点P 到直线l 的距离d ＝|－5＋2cos α－3－2sin α＋2|2＝⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42，当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1，即α＋π4＝2k π(k ∈Z)，α＝－π4＋2k π(k ∈Z)时，点P 到直线l 的距离取得最小值，所以d min ＝42＝22，又|AB |＝22， 所以△P AB 面积的最小值S ＝12×d min ×|AB |＝12×22×22＝4.[解题技法] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．[题组训练]1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]． (1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，得x 2＋y 2－4x ＋3＝0， 所以(x －2)2＋y 2＝1. 令x －2＝cos α，y ＝sin α，所以C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)．(2)因为C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， 所以4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0，因为直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点， 所以圆心到直线的距离为d ＝|4－0－3|22＋(－23)2＝14，所以|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152. 2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ⎝⎛⎭⎫t 为参数，φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．解：(1)由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，圆的半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4， 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0， 故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ.(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0， 整理得，t 2＋2t cos φ－3＝0，设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3，∴|MN |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝4cos 2φ＋12. ∵φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，∴cos φ∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴|MN |∈[13，4]． 故弦长|MN |的取值范围为[13，4]．[课时跟踪检测]1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切，求直线的倾斜角α.解：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)的普通方程为y ＝x tan α.圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4. 由于直线与圆相切，则|4tan α|1＋tan 2α＝2，即tan 2α＝13，解得tan α＝±33，由于α∈[0，π)，故α＝π6或5π6.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.3．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程． 解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫π3，π3.(2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3π6，A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)．4．(2019·长春质检)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C 以点C 为圆心，3为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |.解：(1)由题意得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.(2)由(1)易知圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9，把⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋(y －3)2＝9，得t 2＋(3－1)t －7＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1t 2＝－7， 又|P A |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，∴|P A |·|PB |＝7.5．(2018·南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R )，θ2＝2π3(ρ2∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点分别为O ，M 和O ，N ，求△OMN 的面积．解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)由直线l 1：θ1＝π6(ρ1∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，得|OM |＝4sin π6＝2.由直线l 2：θ2＝2π3(ρ2∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，得|ON |＝4sin 2π3＝2 3.易知∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |×|ON |＝12×2×23＝2 3.6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2<1， 解得k <－1或k >1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4<α<3π4.7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数，m ∈R )，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值． 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ，可得C 1的普通方程为x －y ＋m ＝0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos 2θ＝3，θ∈[0，π]， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1(0≤y ≤1)．(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α，sin α)，α∈[0，π]，则点P 到曲线C 1的距离d ＝|3cos α－sin α＋m |2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m 2.∵α∈[0，π]，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，32，2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈[－2， 3 ]， 当m ＋3＜0时，m ＋3＝－4，即m ＝－4－ 3.当m －2＞0时，m －2＝4，即m ＝6.当m ＋3≥0，m －2≤0，即－3≤m ≤2时，d min ＝0，不合题意，舍去． 综上，m ＝－4－3或m ＝6.8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，且直线l 交曲线C 于A ，B 两点． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求θ＝π3时，|AB |的值； (2)已知点P (1,0)，求当直线l 的倾斜角θ变化时，|P A |·|PB |的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 23＋y 2＝1. 当θ＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋12t y ＝32t (t 为参数)，将l 的参数方程代入x 23＋y 2＝1，得5t 2＋2t －4＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2215. (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ代入x 23＋y 2＝1， 得(1＋2sin 2θ)t 2＋2t cos θ－2＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 3，t 4，则t 3t 4＝－21＋2sin 2θ， 则|P A |·|PB |＝－t 3t 4＝21＋2sin 2θ. 又0≤sin 2θ≤1，所以23≤|P A |·|PB |≤2， 所以|P A |·|PB |的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，2.。
参数方程
参数方程1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程.2.常见曲线的参数方程和普通方程概念方法微思考1.在直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中，(1)t 的几何意义是什么？(2)如何利用t 的几何意义求直线上任意两点P 1，P 2的距离？提示 (1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量.(2)|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2.2.圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？ 提示 θ的几何意义为该圆的圆心角.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( √ )(2)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( √ )(3)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( × ) 题组二 教材改编2.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2. 所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.3.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)， 若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3. 题组三 易错自纠4.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率.解 将直线l 的参数方程化为普通方程为 y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.5.设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求yx 的取值范围.解 由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆. yx表示的是圆上的点和原点连线的斜率， 设yx ＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题， 即圆心到直线的距离d ≤r ， 所以|－2k |1＋k 2≤1， 解得－33≤k ≤33， 所以y x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－33，33.6.已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数).(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)设点P (m,0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值. 解 (1)曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，化为ρ2＝2ρcos θ，可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)，消去参数t 可得x ＝3y ＋m ，即直线l 的普通方程为3y －x ＋m ＝0.(2)把⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)代入方程x 2＋y 2＝2x ，化为t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，① 由Δ>0，解得－1<m <3.设t 1，t 2为方程①的两个实数根，∴t 1t 2＝m 2－2m . ∵|P A |·|PB |＝1＝|t 1t 2|，∴m 2－2m ＝±1， 解得m ＝1±2或m ＝1，满足Δ>0. ∴实数m ＝1±2或m ＝1.题型一 参数方程与普通方程的互化1.(2018·开封调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ， 即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4， 即(x －1)2＋y 24＝1，再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin (θ＋φ)|2≥102⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝－12，所以点P 到直线l 的距离的最小值为102. 2.在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|P A ||PB |＝λ(λ>0且λ≠1)，P 点的轨迹是圆.”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”.已知点M 与长度为3的线段OA 两端点的距离之比为|OM ||MA |＝12，建立适当坐标系，求出M 点的轨迹方程并化为参数方程.解 由题意，以OA 所在直线为x 轴，过O 点作OA 的垂线为y 轴，建立直角坐标系， 设M (x ，y )，则O (0,0)，A (3,0). 因为|OM ||MA |＝12，即x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12，化简得(x ＋1)2＋y 2＝4，所以点M 的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆.由圆的参数方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ.思维升华 消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围. 题型二 参数方程的应用例1 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解， 设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.思维升华 (1)解决直线与椭圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与椭圆的位置关系来解决.(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.跟踪训练1 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例2 (2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2).设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0).所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0). (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ) ＝4(0<θ<2π，θ≠π).联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ). 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.跟踪训练2 (1)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ，C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝2－22t (t为参数).①将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程； ②若C 1与C 2相交于A ，B 两点，求|AB |. 解 ①曲线C 1的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，∴曲线C 1的普通方程为y 2＝2x ，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝2－22t (t 为参数)，消去参数t ，得C 2的普通方程为x ＋y ＝4.②将C 2的参数方程代入C 1的普通方程并化简得12t 2－32t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝62， 故|AB |＝|t 1－t 2|＝6 2.(2)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. ①将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；②设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值. 解 ①ρ＝2cos θ变形为ρ2＝2ρcos θ.(ⅰ)将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入(ⅰ)式即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.(ⅱ)②将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入(ⅱ)式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.1.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).(1)求曲线C 的普通方程；(2)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，12(平面直角坐标系xOy 中的点)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若P 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.解 (1)由曲线C 的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 2，sin θ＝y ，所以cos 2θ＋sin 2θ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋y 2＝1， 所以曲线C 的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的倾斜角为θ1，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ1，y ＝12＋t sin θ1(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程，得(cos 2θ1＋4sin 2θ1)t 2＋(2cos θ1＋4sin θ1)t －2＝0， 所以t 1＋t 2＝－2cos θ1＋4sin θ1cos 2θ1＋4sin 2θ1，由题意知t 1＝－t 2，所以2cos θ1＋4sin θ1＝0，得k ＝－12，所以直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.2.在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求圆C 的一个参数方程；(2)在平面直角坐标系中，P (x ，y )是圆C 上的动点，试求x ＋2y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.解 (1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝5为圆C 的直角坐标方程，所以圆C 的一个参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos φ，y ＝2＋5sin φ(φ为参数).(2)由(1)可知点P 的坐标可设为(2＋5cos φ，2＋5sin φ)， 则x ＋2y ＝2＋5cos φ＋4＋25sin φ ＝25sin φ＋5cos φ＋6＝5sin(φ＋α)＋6， 其中cos α＝255，sin α＝55，当x ＋2y 取最大值时，sin(φ＋α)＝1，φ＋α＝2k π＋π2，k ∈Z ，此时cos φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝55， sin φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝255， 所以x ＋2y 的最大值为11，此时点P 的直角坐标为(3,4).3.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 过定点(－2,2)，且斜率为－12.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的参数方程；(2)点P 在曲线C 上，当θ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π12时，求点P 到直线l 的最小距离并求点P 的坐标. 解 (1)曲线C ：x 24＋y 23＝1；k ＝tan α＝－12，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧sin α＝55，cos α＝－255，故直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－2－255t ，y ＝2＋55t (t 为参数).(2)设点P (2cos θ，3sin θ)，易知直线l ：x ＋2y －2＝0，则点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋23sin θ－2|5＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－25，因为θ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π12，则θ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π4，7π12， 当且仅当θ＋π6＝π4时，P 到直线l 的距离最小， d min ＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－25＝22－25＝210－255，此时θ＝π12， 所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋22，32－64. 4.(2018·河南郑州外国语学校模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－3＝0.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长.解 (1)将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程为x 24＋y 23＝1， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －3＝0.(2)直线l 的倾斜角为π4，过点(3，0)， 所以将直线l 化为参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4，即⎩⎨⎧ x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入x 24＋y 23＝1，得7t 2＋66t －6＝0， Δ＝(66)2－4×7×(－6)＝384>0，设方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－667，t 1t 2＝－67， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝3847＝867.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点A (－2,1).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ＝ρ＋2sin θ3. (1)写出曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N ，求|AM |＋|AN |的取值范围. 解 (1)由1ρ＝ρ＋2sin θ3，得ρ2＋2ρsin θ＝3. 将⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入上式中， 得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＋2y －3＝0.(2)将l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 的方程x 2＋y 2＋2y －3＝0， 整理得t 2－4(cos α－sin α)t ＋4＝0.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以Δ＝42(cos α－sin α)2－42>0，化简得cos αsin α<0.又0≤α<π，所以π2<α<π，且cos α<0，sin α>0. 设方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4(cos α－sin α)<0，t 1t 2＝4>0，所以t 1<0，t 2<0，所以|AM |＋|AN |＝－(t 1＋t 2)＝4(sin α－cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α－π4. 由π2<α<π，得π4<α－π4<3π4， 所以22<sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤1， 从而4<42sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤42， 即|AM |＋|AN |的取值范围是(4,42].6.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 1上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2得到曲线C 2，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝π4(ρ∈R )与曲线C 1交于M ，N 两点，与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|PQ ||MN |的值. 解 (1)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，消去参数α，得x 24＋y 23＝1. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴3ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝12，即曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3＋sin 2θ)＝12.又由已知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2， 得⎩⎨⎧x ＝23(x ′－23)，y ＝13(y ′－2)，代入x 24＋y 23＝1，得(x ′－23)29＋(y ′－2)29＝1， ∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝9.(2)将θ＝π4代入ρ2(3＋sin 2θ)＝12，得ρ2＝247， ∴ρ＝±2427，∴|MN |＝4427.又直线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入(x －23)2＋(y －2)2＝9，整理得t 2－22(3＋1)t ＋7＝0，分别记P ，Q 两点对应的参数为t 1，t 2，则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22(3＋1)，t 1·t 2＝7， ∴|PQ |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝243＋1，∴|PQ ||MN |＝243＋14427＝1683＋4212.。
高二数学曲线的参数方程
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
3、参数方程和普通方程的互化
在上例中，由点M的轨迹的参数方程
x y
cos sin
3(为参数)
直接判断点M的轨迹的曲线类型并不容易，
但是如果将参数方程转化为我们熟悉的
普通方程就比较容易判断了。
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的
不同形式，一般地，可以通过消去参数而 从参数方程得到普通方程，如果知道变数x， y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它 代入普通方程，求出另一个变数与参数的 关系y=g(t)，那么
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x f (t)
y
g
.........................(2) (t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2） 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变 数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对 于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
y (1,-1)
o
x
(2)把x sin cos平方后减去y 1 sin 2 得到x2 y,又x sin cos 2 sin( ),
4 所以x [ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
曲线的参数方程和与普通方程的互化
当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程，
并说明点M的轨迹图形是什么？
解：取xOP,则圆的参数方程为：
xy22csoins.,(为参数）
设点M的坐标为x（ , y),则点P的坐标
为（2cos,2sin）,由中点公式可得：
x 2 c o 6 s c o 3 s ,y 2 s i n s in
解： 椭圆的参数方程为：
xy 42csoins.,(为参数）
设点M的坐标为x（ , y),则点P的坐标
为（4cos,2sin）,由中点公式可得：
x 4 co 6 s 2 co 3 ,y s 2 si n 2 si 1 n
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
xy2scinos1.3（ , 为参数）
求 M到 直 线 x+2y-10=0的 最 小 距 离 。
双曲线的参数方程
a x2 2-y b2 2=1(a>0,b>0)的 参 数 方 程 为 ：
xyabstaenc(为参数)
说明：
双se曲c2线的参1 数t方an程2可相以比由较方而程得到，ax 22所 以by 22双曲1 线与的三参角数恒方等程式
（2） xy53csionstt(t为参数）
(3)x1 3cos (为参数） y2 5sin
椭圆的参数方程：
x轴：x2 a2
y2 b2
1,
x a cos y bsin
y轴：x2 b2
y2 a2
1,
x b cos y a sin
中心在 C(x0, y0)的椭圆的
参数方程是 yx
x0 y0
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t
且以
曲线化为参数方程
曲线化为参数方程
曲线是二维平面上的图形，由无数个点组成。
为了能够更方便地描述和计算曲线，我们可以将其转化为参数方程的形式。
具体而言，我们可以选取一个自变量t（通常为时间），然后将曲线上每个点的坐标表示成x=f(t)和y=g(t)的形式。
这样，曲线上的每一个点就对应一个(t, f(t), g(t))的三元组，从而曲线就被表示为参数方程：
x = f(t)
y = g(t)
参数方程的好处在于它能够更清晰地描述曲线的形态，尤其是对于那些难以用一般函数公式表示的曲线（比如心形线、螺旋线等），参数方程可以轻松地表示出它们的形状。
此外，参数方程也有很多应用，比如在物理学中用于描述粒子的运动轨迹，在计算机图形学中用于绘制曲线和动画等。
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y
P M
Q
o x
圆的参数方程的一般形式
那么，圆心在点o( x0 , y0 ) 半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
{
x x0 r cos y y0 r sin
( 为参数)
对应的普通方程为( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2
例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。
y A
M(x,y)
o
x
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标x,y都是某个变数t的函数
x f (t ) { .......... .......... .....(2) y g (t )
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的参 数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对 于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普 通方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
∴参数方程为
x 1 cos y 3 sin
(θ为参数)
x 2 cos 5 巩固训练 1、指出参数方程 { (为参数)所 y 3 2 sin 表示圆的圆心坐标、半 径，并化为普通方程。
( x 5) ( y 3) 4
2 2
x r r cos r 2、圆 { (为参数，r 0)的直径 y r sin 2 （2，1） 是4，则圆心坐标是__________ ___
作业角坐标系上运动，初始点在A(1，2) 处，横坐标x按每秒增加2个单位的速度，纵坐标y按每秒 减少3个单位的速度同时变化，试求质点P的运动t秒后x、 y的变化.
练习 1 、方程 {
x sin y cos 2
(为参数)表示的曲线上
的一个点的坐标是 1 1 1 1 A、 (2,7) B、 ( , )，C、 ( , ), D(1,0) 3 2 2 2
C
2、由方程x 2 y 2 4tx 2ty 5t 2 4 0(t为 参数)所表示的一族圆的圆心 轨迹是
A、一个定点 C、一条抛物线 B、一个椭圆 D、一条直线
(
D
)
二、圆的参数方程
y
M(x,y)
r
o
M0 x
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的 定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的 轨迹的参数方程。
2.1曲线的参数方程
在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方 法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标x,y 的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥 梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条件，即参 数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)＝0。
一、参数方程的概念
探究：如图，一架救援飞机在离灾区地面500m的高处 以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物 资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行 员应如何确定投放时机呢？