2006年7月工程硕士研究生试题数理统计

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工程硕士——数理统计习题5答案

5.1解：首先计算11n i i x x n ==∑=550，11ni i y y n ==∑=57；再计算离差平方和621()x x i i l x x ==-∑=175000，61()()x y i i i l x x y y ==--∑=10300；计算回归系数1ˆ/0.0589x x x y l l β=≈，01ˆˆ24.6286y x ββ=-≈；从而得到回归方程：ˆ24.62860.0589yx =+。

5.4解：（1）首先计算110.7029n i i x x n ==≈∑，11 1.5782ni i y y n ==≈∑；再计算离差平方和1721()0.7094x x i i l x x ==-≈∑，171()() 1.4682x y i i i l x x y y ==--≈-∑；计算回归系数1ˆ/ 2.0698xx x yl l β=≈-，01ˆˆ 3.0332y x ββ=-≈；从而得到回归方程：ˆ 3.0332 2.0698yx =-。

下算2DY σ=的无偏估计。

（由P 97性质 5.2.4知：22ˆ/(2)E S n σ=-是2σ的无偏估计）因为1722222212/()/3.0686 1.4682/0.70940.0298ETRy y x yx x i x y x xi S S S l l l y y l l ==-=-=--≈-=∑所以，22ˆ/(172)0.0020E S σ=-=。

（2）用F 检验法检验，取显著水平0.05α=，统计假设为：0111ˆˆ:0,:0H H ββ=≠ 临界值 21ˆ(1,2)0.002 4.540.01280.7094xxF n c l ασ--⨯==≈；拒绝域{}201ˆ0.0128K c β=>=。

由于221ˆ(2.0698)0.0128c β=->=，所以拒绝0H 接受1H ，故认为Y 和X 之间的线性关系显著。

数理统计工程硕士题目(三套)

第一套一、(12分)设4321,,,X X X X 是来自总体X 的样本，试求下列情况下),,,(4321X X X X 的联合概率分布：(1)X ～)(λP ；(2)X ～],0[θU ；(3)X ～),1(λΓ.二、(21分)设4321,,,X X X X 是来自总体X ～）（4,0N 的样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差。

(1)试求参数b a ,，使得2432211)2()23(X X b X X a Y -++=服从2χ分布，并求出自由度；(2)试求参数c ，使得2423212XX X X cY ++=服从t 分布，并求出自由度；(3)试求参数d ，使得223SX d Y =服从F 分布，并求出自由度。

三、(21分)设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-其他,010,),(1x x x f θθθ其中θ（0>θ）是未知参数。

123,,,X X X …,n X 为来自总体X 的样本，θθ1)(=g 。

求：(1))(θg 的矩估计； (2))(θg 的极大似然估计； (3))(θg 的有效估计。

四、（10分）某机器生产的金属杆用于汽车刹车系统。

随机抽取了9根杆，测量它们的直径（单位：mm ），得到的结果如下表所示：8.23 8.31 8.42 8.29 8.19 8.24 8.198.298.10---假设金属杆直径服从正态分布。

(1)在显著水平05.0=α下，依据上述抽样数据，能否认为这种机器生产的金属杆的平均直径是8.20mm ？为什么？(2)求金属杆平均直径的置信区间（置信度为95%）。

五、（8分）某城市的出城公路共有四条，为研究该城市交通情况，在早晨高峰期观察统计了1000辆汽车各自的流向，记录结果如下：道路编号 1 2 3 4 观察的车辆数294 276 238 192试问四条道路上的汽车流量是否均匀？为什么？（05.0=α）六、(18分)某公司为了研究广告支出费用x （千元）对销售额Y （10万元）的影响，统计了过去10个月广告支出费用与销售额的情况，结果是：54,46,66,4,4=====xy yy xx l l l y x(1)试用假设检验方法分析该公司的销售额Y 与广告支出费用x 之间是否有显著的线性相关关系；（05.0=α）(2)求销售额Y 关于广告支出费用x 的经验线性回归方程；(3)如果公司下个月广告支出费用计划开支1万元，试预计公司的平均销售额及其置信度为95%的置信区间。

《数理统计》试题库填空题

数理统计试题库-----填空题（每题3分）第一章1. 设()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ相互独立，样本容量分别为12,n n ，则()Var X Y -= 。

2. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。

3．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,3)N 的简单随机样本，221234(2)()X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。

4. 设总体()2Xk χ，12,,,n X X X 是取自该总体的一个样本，则1ni i X =∑服从2χ分布，且自由度为。

5.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，2212()X a X X =+，则a = 时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为。

6.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，X =，则a = 时，统计量X 服从t 分布，其自由度为。

7．X 服从正态分布，1-=EX ，25EX =，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，则11ni i X X n ==∑服从的分布为。

8. 设随机变量 X 服从正态分布2(0,3)N , 而 129,,,X X X 是来自X 的样本，则统计量()22212919U X X X =+++服从。

9. 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N , 而129,,,X X X 和 129,,,Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，则统计量292221921YY Y X X X U ++++++=服从。

10. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，已知(1,2,3,4)k k EX k α== 则当n 充分大时，随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布，其分布参数为____________11. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，X 服从参数为λ的指数分布，则∑=ni i X 12λ服从____________分布.12. 设在总体2(,)N μσ中抽取一个容量为16的样本，这里2,μσ均为未知，则2.DS =____________ 13. 设11,,,,,n n n m X X X X ++是分布2(0,)N σ的容量为n m +的样本，统计量1n iX Y =__________。

(整理)概率论与数理统计模拟试卷

概率论与数理统计模拟试卷(A )一、填空题(3%⨯7=21%)1. 设A ,B ,C 表示事件,则事件“A 和B 至少有一个发生而C 不发生”可表示为___________2. 设B A ,为随机事件,7.0)(=A P ,3.0)(=-B A P ,则(|)_______P B A =3. 已知随机变量),3(~p B X ,且2719)1(=≥X P ,则._____=p 4. 设随机变量X 的分布函数为0 10.411()0.81313x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩,则{13}P X -≤≤=______5. 设随机变量X 的概率密度为)(x f ＝1[0,1]32[3,6]90x x ⎧∈⎪⎪⎪∈⎨⎪⎪⎪⎩若若其它,则{0.5 3.5}P X ≤≤＝____6. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布律为且P(X =0|Y =0)=0.1,则：随机变量X 与Y ____(填“是”或“不”)相互独立.7. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-- . ,0,,);()(θθθθx x e x f x 若若而n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本,则未知参数θ的矩估计量为___________. 二、判断题(下列各小题你认为正确的在题后打“ ”否则“⨯”) (2%⨯5=10%)8. .A B A B 若事件与互不相容，则与相互对立 ( )9. 概率是0的事件就是不可能事件. ( ) 10. .A B A B 若事件与相互独立，则与也相互独立 ( ) 11. 随机变量只有离散型与连续型两种类型 ( ) 12. ()0X Y X Y 若二维随机变量，的相关系数为，则与相互独立. ( ) 三、选择题(3%⨯5=15%)0 1 20 0.04 0.08 b 1 a 0.12 0.08 Y X13. 若当事件C 发生时，事件A 与B 必同时发生，则（）.（A ）)(C P ≤)(A P ＋)(B P ；（B ）)(C P ≥)(A P ＋)(B P ；（C ）)(C P ＝)(AB P ；（D ）)(C P ＝)(B A P . 14. 设0<()P A <1，0<()P B <1，(|)P A B ＋(|)P A B ＝1，则（）（A ）事件A 和B 互不相容；（B ）事件A 和B 互相对立；（C ）事件A 和B 互不独立；（D ）事件A 和B 相互独立.15. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（）（A ）}0{≤+Y X P ＝21；（B ）}1{≤+Y X P ＝21；（C ）}0{≤-Y X P ＝21； (D) }1{≤-Y X P ＝21.16. 设随机变量12,,,(1)n X X X n >独立同分布，且其方差为0σ2>，令随机变量11ni i Y X n ==∑，则( )(A) 12()n D X Y n σ2++=(B) 11()n D X Y nσ2+-= (C) 1cov(,)X Y nσ2=(D) 1cov(,)X Y σ2=17. 设一批零件的长度服从正态分布(,4)N μ，其中μ未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值20()X cm =，样本标准差1()S cm =，则μ的置信度为0.90的置信区间是( )．(A)0.050.051120,2022Z Z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (B) 0.10.11120,2022Z Z ⎛⎫-+⎪⎝⎭(C)0.050.051120(15),20(15)44t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (D)0.10.11120(15),20(15)44t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭四、计算题(6%+8%⨯4=38%)18. 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,试求该次品属A 生产的概率(6%)19. 设某商场里某种商品的月销售量X (公斤)的密度函数为：10()=100x f x ⎧⎪⎨⎪⎩ ≤≤100　0 其余,若售出一公斤此商品,可得利润300元,而积压一公斤此商品,每月要亏本5元,则每月此商品应进多少公斤,才能使商场的平均收益最大？(8%)20. 设随机变量(1,4),(1),XN Y E X Y ρ-与之间的相关系数=-0.1,试利用切比雪夫不等式估计(4)P X Y +≥的值.(8%)21. 设保险公司经抽样调查发现,每一个人受意外伤害的概率只有0.1%,为了吸引更多的投保人,保险公司决定每人投保10元,受意外伤害时赔偿2000元.要以99%以上的把握保证保险公司不亏本,则至少要动员多少人投保？(提示：利用中心极限定理进行近似计算)(8%)22. 某种合金弦的抗拉强度2~(,)X N μσ，由过去的经验知10560μ≤(公斤/厘米2)，今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下：10512， 10623， 10668， 10554， 10776， 10707， 10557， 10581， 10666， 10670. 问这批弦线的抗拉强度是否提高了？(8%) 五、证明题(8%⨯2=16%)23. 假设随机变量X 服从参数为12的指数分布.,试证明：Y ＝1－2X e -在区间（0,1）上服从均匀分布(8%)24. 设19,,X X 是取自正态总体X 的简单随机样本，92212116278927)111(),(),(),.632i i Y Y Y X X Y X X X S X Y Z S=-=++=++=-=∑证明统计量Z 服从自由度为2的t 分布.(8%)概率论与数理统计模拟试卷(B )一、填空题(3%⨯7=21%)1. 某人在打电话时忘记了电话号码的最后三个数字,只记得这三个数字两两不同,于是他随意拨最后三个数字（两两不同）,则该人一次拨号就拨对了所要的电话号码的概率是________2. 设B A ,为随机事件,7.0)(=A P ,3.0)(=-B A P ,则()_______P AB = 3. 已知随机变量~(X P λ),且(0)(1)P X P X ===,则(2)_____.P X ==4. 设连续型随机变量X 的分布函数为()arcsin 11 1x F x A B x x x <⎧⎪=+-⎨⎪>⎩-1≤≤1则A =________5. 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(34)e ,0,0;(,)0, x y k x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，则k =_________，其中随机变量X Y 与_________(填“是”或“不”)相互独立.6. 从数1,2,3,4中任取一个数,记为X ,再从1,X …,中任取一个数,记为Y ,则{2}P Y ==________.二、判断题(下列各题你认为正确的在题后打“ ”错误的打“⨯”)(2%*5)7. A B A B 若事件与相互对立，则与必不相容. ( )8. 不可能事件的概率必是0. ( ) 9. 若某事件组相互独立，则必两两独立. ( ) 10. 若事件A 和B 相互对立，则事件A 和B 必不相互独立. ( ) 11. 假设检验中若犯第一类错误概率越小，则犯第二类错误概率就越大. ( ) 三、选择题(3%*4=12%)12. 设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，记u α是满足()P X u αα>=的数，则满足式子()P X x α<=中的x 为( )（A ）u α2；（B ）1uα-2；（C ）1u α-2；（D ）1u α-13. 设二维随机变量1212(,)~(,,,,0)X Y N μμσσ，则（）.(A)X Y 与必相互独立 (B) X Y 与必不相互独立； (C) X Y 与不一定相互独立； (D) X Y 与不一定不相关.14. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立，记12n n S X X X =+++，则根据独立同分布的中心极限定理，当n 充分大时，n S 近似服从正态分布，只要12,,,n X X X ( )(A) 有相同的数学期望； (B) 有相同的方差； (C) 有相同的分布； (D) .前面三者都要求.15. 设某种型号的电子管的寿命服从正态分布，现从中抽出10只，计算得样本均值1200=x 小时，标准差S ＝45小时，则方差2σ的置信度为0.95的单侧置信上限为( )(A) 220.9518225(9)σχ=; (B) 220.9520250(10)σχ= (C) 220.0518225(9)σχ=(D) 220.0520250(10)σχ= 四、计算题(39%)16. (5%)某批灯泡的寿命服从参数θ=2000的指数分布.试求它能使用2000小时以上的概率；17. (8%)设某教学楼有40间教室配有多媒体设备且在上课期间全都投入使用，若每一间教室的设备在同一时刻发生故障的概率都为0.01，且发生故障后只要一个维修人员就能很快修复，则要以99%以上的把握保证正常教学，同时又不造成人力资源的浪费，试通过计算求应配备几个维修人员？18. (10%)设二维随机变量(,)X Y 服从区域D 上均匀分布，其中D 由x 轴y 轴以及直线2,2x y ==X Y -所围成的正方形区域，试求的密度函数.19. (8%)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2,(;)0,x x e f x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩x 其中0>θ为未知参数,又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值,试求参数θ的极大似然估计值．20. (8%)己知某仪器出厂时，工作精度15.00=σ米，经过若干年使用后，对一物体进行8次测量，其结果为(单位：米)：3.69，3.78，3.75，3.30，3.85，4.01，3.72，3.83．假定测量结果服从正态分布，试问：在显著水平10.0=α下，该仪器的精度是否下降? 五、证明题：(18%)21. (8%)若连续型随机变量X 的概率密度为 ()f x ，证明对于任意的>0ε，都有2()(())D X P X E X εε-≥≤22. (10%)设122121~(,),~(,),,,n X N Y N X X μσμσ是来自总体X 的样本，21,,n Y Y 是来自总体Y 的样本，设两组样本独立，,X Y 分别为两组样本的样本均值，2212,S S分别为两组样本的样本方差，,c d 是常数，证明12~(2)X Y T t n n =+-其中222112212(1)(1)2wn S n S S n n -+-=+-一、填空题1. ()A B C +-2. 473. 134. 15.5186. 不7. 1X -二、判断题8. ( ⨯ ) 9. ( ⨯ ) 10. ( ) 11. ( ⨯ ) 12. ( ⨯ ) 三、选择题 13. (B) 14. (D ） 15. (B) 16. (C) 17. (A) 四、计算题18.37 19. 22986120. (4)P X Y +≥≤0.287521. 339人22. 0.052.772(9) 1.833t t =>=，拒绝原假设010560H μ≤：即认为抗拉强度提高了. 五、证明题23. 略 24. 略一、填空题1.19002. 0.63. 212e4. 125. 12，是6.1348二、判断题7. ( ) 8. ( ) 9. ( ⨯ ) 10. ( ⨯ ) 11. ( ) 三、选择题12. (C) 13. (A) 14. (D) 15. (A) 四、计算题16.1e17. 218. 1(4), 24(), 1 X Y z z f z z +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≤≤41≤z ≤240，其余19. 1ˆmin ii nx θ≤≤= 20. 212.946χ=∈拒绝域(12.017,)+∞，故拒绝0H ：2202)15.0(==σσ，即认为该仪器的精度下降了.五、证明题21. 略 22. 略2006年全国硕士研究生入学考试概率统计部分考题1. (数学一)设,A B 是两个随机事件,且()0P B >,(|)1P A B =,则必有( ) (A) ()>()P A B P A + (B) ()>()P A B P B + (C) ()()P A B P A += (D) ()()P A B P B +=2. (数学一、三)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{max{,}1}P X Y ≤=___________3. (数学一、三、四)随机变量X 的密度函数为1,1021(),0240X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=<⎨⎪⎪⎪⎩≤其它令2Y X =,(,)F x y 为二维随机变量(X ,Y )的分布函数,求(1) Y 的密度函数()Y f y ;(2) cov(X ,Y ); (3) 1(,4)2F -. 4. (数学三)设总体X 的密度函数为1 ()=()2xf x e x --∞<<+∞,1,,n X X 为总体的简单随机样本,其样本方差2S ,则, 2()E S =________5. (数学一、三、四)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且2{1}{1}P x P x μμ1-<>-<,则( )(A) σσ12<； (B) >σσ12； (C) μμ12<； (D) μμ12>.6. (其中,,a b c 为常数,且x 的数学期望()0.2E X =,{0}0.5P X Y =≤0,≤,记Z=X +Y ,求(1) ,,a b c 的值； (2) Z 的分布函数； (3) {}P X Z =.7. (数学一、三)设总体X 的概率密度为(,120 x f x x θθθ,0<<1⎧⎪)=-,1<⎨⎪⎩≤，其它,其中θ是未知参数(0θ<<1),1,,n X X 是来自总体的随机样本,记N 为样本值12,,,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试概率统计考题答案1. (C)2. 193. (1)01() 140 Y y f y y <<⎪<⎪⎩≤其它(2) 23(3) 144. 25. (A)6. (1) =0.1=0.3=0a b c ，， (2) 210120.10.10.50.30Z P --(3) 0.47. N n2007年全国硕士研究生入学考试概率统计部分考题1. (数学一、三、四)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为(01)p p <<,则此人第4次射击后,恰好是第2次命中目标的概率为( )(A) 23(1)p p -； (B) 26(1)p p -；(C) 223(1)p p -； (D) 226(1)p p -；2. (数学一、三、四)设随机变量(X ,Y )服从二维正态分布,且X 与Y 不相关, (), ()X Y f x f y 分别表示X ,Y 的密度函数,则在Y =Y 的条件下,X 的条件概率密度| (|)X Y f x y 为(A) ()X f x ； (B) ()Y f y ；(C) ()()X Y f x f y ； (D) ()()X Y f x f y . 3. (数学一、三、四)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为____4. (数学一、三、四)设二维随机变量(X ,Y )的概率密度 2, 01,01(,)0x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它 (1) 求(2)P X Y >；(2) 求Z=X +Y 的概率密度.5. (数学四)设随机变量X 与Y 独立同分布,且X 的概率分布为122133XP记{}{}max ,min ,,U V X Y X Y ==(1) 求(),U V 的概率分布；(2) 求U 与V 的协方差cov(,)U V .6. (数学一、三)总体X 的概率密度为1, 02(,, 10, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪1⎪)=<⎨2(1-)⎪⎪⎪⎩≤其它1,,n X X 是来自总体X 的简单随机样本,X 是样本均值,(1) 求参数θ的矩估计量θ(2) 判断24X 是否为θ2的无偏估计量,并说明理由.2007年全国硕士研究生入学考试概率统计考题答案1. (A)2. (A)3. 3 44. (1) 724；(2)222,01()44,120,Zz z zf z z z z⎧-<<⎪=-+<<⎨⎪⎩其它5. (1)(2) 4 816. (1)1=22Xθ-；(2) 不是。

2006级概率论与数理统计试题A

天津师范大学考试试卷2007 —2008 学年第一学期期末考试试卷（A 卷）科目：概率论与数理统计学院：管理学院专业：所有专业一、单项选择题:在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代（每小题3分，本大题共15分）1.().A A 以表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”，则其对立事件为A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”2.(),.A B B A ⊂设为两随机事件，且，则下列式子正确的是A . ()()P AB P A += B. ()()P AB P A =C. ()()P B A P B =D. ()()()P B A P B P A -=-3.A B 设和是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是().A. A B 与不相容B. A B 与相容C. ()()()P AB P A P B =D . ()()P A B P A -=4.22~(,),,1.X N l l μσμσμαα-设总体其中未知，的置信水平为的置信区间长度为，则与的关系为（）A . l α增大，减少 B. l α增大，增大 C. l α增大，不变D. l α与的关系不确定5.21~()(1),().X t n n Y X >=设随机变量，则 A. 2~()Y n χ B. 2~(1)Y n χ- C . ~(,1)Y F nD. ~(1,) Y F n二、填空题:（每空3分，本大题共15分）1.()()()0.4,0.7.P A P A B A B P B =+==设，若事件与独立，则0.52.()0,0sin ,0212.6X x F x A x x x P X πππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩⎛⎫>=⎪⎝⎭设随机变量的分布函数为；；，，则123.80.81一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为 234.()2()(),3.X E X D X P X μσμσ==-≥≤设随机变量的数学期望，方差则由切比雪夫不等式，有195.1252216,,,1(5)5.n niii i X X X X X n V X Xn ==⎛⎫=-> ⎪⎝⎭∑∑ 设总体服从标准正态分布，为来自总体的简单随机样本，则统计量服从分布(5,5).F n -10分，本大题共70分）1.{}{}1201290505.A A == 从，，，，这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：三个数字中不含和；三个数字中含有但不含有解 310019C 从，，，这十个数字中任意选出三个不同数字的所有选法为，3183813102282823107()(5)157().(10)30A C C P A C A C C P A C ===所含基本事件数为，因此分同理所含基本事件数，所以＝分2.[]X 25X 3设随机变量在，上服从均匀分布，现在对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于的概率.532323331,25;()(3)30,.(3),3(3,).(5)12(3),(7)3321220(2).(10)33327X x f x p P X Y Y B p p P X dx P Y C C ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩=>~=>==⎛⎫⎛⎫≥=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰由已知可得的密度函数为分其他记以表示三次独立观测中观测值大于的次数，则分分因此，所求概率为分3.2(12)().X Y X Y e f y =设随机变量在区间，上服从均匀分布，求的概率密度22224211ln ln 22141,12()(1)0,()()(),(2),()()0.(3),1()()(2ln )(ln )21()ln 1.(5)2,X X Y X Y X Y y y X X x f x y Y F y P Y y P e y y e F y P e y e y e F y P e y P X y P X y f x dx dx y y e -∞<<⎧=⎨⎩=≤=≤≤=≤=<<=≤=≤=≤===-⎰⎰≥由题意可知，的概率密度为分其它对于任意实数，随机变量的分布函数分当时分当时分当时224424'()()1,(6)0,1()ln 1,(8)21,1,;2()()(10)0,Y Y X Y F y P Y y y e F y y e y e y e e y e yf x F y =≤=⎧≤⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎩⎧<<⎪==⎨⎪⎩故分分于是分其它.4.{}(),0,;(,)0,.1;(2)().x y X Y e x y f x y P X Y E XY -+⎧<<+∞=⎨⎩<已知随机变量和的联合密度为其他试求：（）()0000020020(1)()(,)(1)(2)(1)()(3)11110(01).(5)222yx y x yyyxy x y y y y y yy P X Y f x y dxdy e dxdyee dxdy e e dye e dy e e dye e +∞-+<+∞∞----+∞+∞-----+∞-+∞<=====-=-=-+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰＋分（-）分分分[]()0222(2)()(7)(9)000 1.(10)(00)(01)x y x y E XY xye dxdy xe dx ye dyx x x xe dx xe e +∞+∞+∞+∞-+--==+∞--+∞-+∞====⎰⎰⎰⎰⎡⎤⎡⎤--⎰⎣⎦⎣⎦----分分分5.0.50.50.5()1,0,0;,0,.100.x y x y X Y X Y e e e x y F x y X Y α---+⎧--+≥≥=⎨⎩一电子仪器由两个部件构成，以和分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知和的联合分布函数为（）其他(1)问和是否独立？(2)求两个部件的寿命都超过小时的概率()()()()()120.510.5212(1)()1,0;,(2)0,0.1,0;,(4)0,0.,,.(5)x y X F x Y F Y e x F x F x x e y F y F y y F x y F x F y X Y --⎧-≥+∞=⎨<⎩⎧-≥+∞=⎨<⎩=的分布函数和的分布函数分别为＝（）分＝（）分由于（）知和独立分[][]120.050.050.050.050.1(2)(0.1,0.1)(0.1)(0.1)(7)1(0.1)1(0.1)(8)1(1)1(1).(10)P X Y P X P Y F F e e e e e α-----=>>=>>=--⎡⎤⎡⎤=----==⎣⎦⎣⎦分分分6.222(3.4,6) 1.45.40.95()t N n n z z dt-Φ=⎰从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间（，）内的概率不小于，问样本容量至少应取多大？附表：标准正态分布表以X 表示该样本均值,~(0,1).N （3分）由题意,(1.4 5.4)0.95.P X <<≥因此(1.4 5.4)(2 3.42)(| 3.4|2)P X P X P X <<=-<-<=-<6P =<.95.01)3(2≥-Φ=n（7分） ()20.975 1.96 1.96334.57.35.n n Φ≥⇒≥⇒≥⨯≈⎝⎭由此得故至少应取（10分）7.3666.515.0.0570(()())p t P t n t n p≤=设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取位考生的成绩，算得平均成绩为分，标准差为分问在显著性水平下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为分？并给出检验过程。

2006—数一真题、标准答案及解析

构造格朗日乘子法函数F=f ( x, y ) + λϕ ( x, y )
今ϕ ′ y ( x0 , y0 ) ≠ 0,∴ λ = −
f y′( x0 , y0 ) f ′( x , y )ϕ ′ ( x , y ) 代入(1)得f x′( x0 , y0 ) = y 0 0 x 0 0 ϕ′ ϕ′ y ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 )
n =1 ∞
∞
( B) ∑ (−1) n an收敛
n =1 ∞
∞
(C ) ∑ an an +1收敛
n =1
( D) ∑
an + an +1 收敛 2 n =1
(Q ∑ an +1也收敛)
n =1
∞
(10)设f ( x, y )与ϕ ( x, y )均为可微函数,且ϕ ′ y ( x, y ) ≠ 0,已知(x0 ,y0 )是f ( x, y )
′ ( x, y ) = 0 ⎧Fx′ =f x′( x, y ) + λϕ x ⎪ ′ =f y′( x, y ) + λϕ ′ ⎨Fy y ( x, y ) = 0 ⎪ ′ ⎩Fλ =ϕ ( x, y ) = 0
(1) (2)
(D)若f x′ (x0 ,y0 ) ≠ 0,则f y′(x0 ,y0 ) ≠ 0
P{| X − μ1 |< 1} > P{| Y − μ2 |< 1},
（A） σ 1 < σ 2. （C） μ1 < μ 2. 三解答题 15 设区域 D=
（B） σ 1 > σ 2. （D）μ1 > μ 2. 【】
{( x, y ) x
2
+ y 2 ≤ 1, x ≥ 0 ,计算二重积分 I = ∫∫

06年概率论与数理统计A试卷(装订)

中南民族大学试卷试卷名称： 2006-2007学年度第一学期期末考试《概率论与数理统计》试卷试卷类型：卷共 8 页适用范围：经济、管理学院 2006 级金融5、6班、保险1、2班本科卷第1页共 8 页学院专业级学号姓名………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………………………………………装………………………………订………………………………线………………………………………一、填空题(每小题3分,共15分)一、填空题（3×5分=15分）1、已知事件,()0.8,()0.9,A B P A P B ⊂==则(P2、连续型随机变量X 的概率密度为3,0()0,0x e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩则λ=＿＿＿＿.3、某产品40件，其中次品有3X ，则{}P X k ==＿＿＿＿＿＿＿＿. (k =4、设随机变量X 的分布律为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿则 2()E X =＿＿＿＿＿＿＿＿.5、设总体X 服从正态分布(,1)N μ，则1(ni i X μ=-∑ 12,,,n X X X 为X 的样本.注意事项：1. 必须在答题纸注明的试题号处答题，否则不予计算答题得分；1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。

卷第2页共8页中南民族大学试卷卷第3页共 8页………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………学院专业级学号姓名………………………………装………………………………订………………………………线………………………………………3、设连续性随机变量X 的分布函数为30,0(),021,2x F x Ax x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩求（1）系数A (2) {1.52}P X <<注意事项：1. 必须在答题纸注明的试题号处答题，否则不予计算答题得分；1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。

自考概率论与数理统计历年试题

全国2006年7月高等教育自学考试概率论与数理统计（二）试题课程代码：02197一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则有（） (A ⋃B)=P(A)+P(B) (AB)=P(A)P(B) =B (A|B)=P(A)2.某人独立射击三次，其命中率为，则三次中至多击中一次的概率为（）A.0.002设事件{X=K}表示在n 次独立重复试验中恰好成功K 次，则称随机变量X 服从（） A.两点分布 B.二项分布 C.泊松分布D.均匀分布 4.设随机变量X 的概率密度为f(x)=⎩⎨⎧<<-其它,02x 1),x 2x 4(K 2 则K=（）A.165B.21C.43 D.54 5.则F(1,1) =（） A.0.2设随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--;,0,4y 2,2x 0),y x 6(81其它则P （X<1,Y<3）=（） A.83 B.84 C.85 D.87 7.设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E （XY ）=（）8.设X 1, X 2, …,X n ，…为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为21的指数分布，则当n 充分大时，随机变量Y n =∑=n1i iXn1的概率分布近似服从（）（2，4）（2，n4）（n41,21）（2n,4n ）9.设X 1,X 2,…，X n (n ≥2)为来自正态总体N （0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则有（） A.)1,0(N ~X n ~χ2(n) C.)1n (t ~SX )1n (--D.)1n ,1(F ~XX )1n (n2i 2i21--∑=10.若θ)为未知参数θ的估计量，且满足E （θ)）=θ，则称θ)是θ的（）A.无偏估计量B.有偏估计量C.渐近无偏估计量D.一致估计量二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

2006工程硕士GCT考试数学真题及答案

3
3
dh 3
3
知这时体积最大），从而 r 2 = 52 - h 2 = 50 ，故 r = 2 。 3h
ò ò x
19.设 a > 0 ，则在[0，a]上方程
4a 2 - t 2 dt +
x
1
dt = 0 根的个数为（）
0
a 4a2 - t 2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答：B 分析：（本题是一元微积分题。主要考查变限定积分的性质和连续函数的零点存在定理）
1
设此等比数列的公比为 q ，则 qn+1 = n +1，即 q = (n ) +1 n+1 ，所以
( ) qq2q3 L
qn
=
1 n(n+1)
q2
=
n
n+1 2 。
15.设二次函数 f (x) = ax 2 + bx + c 的对称轴为 x = 1，其图像过点（2，0），则 f (-1) =（）。 f (1)
D. p , p mn
答：A
分析：（本题是平面解析几何题。考查直线的斜率）
由于过点 P(a,b) 和原点的直线方程为 y = b x ，即 b 是该直线的斜率。由图可知满足题意
a
a
最大斜率值是 p 、最小斜率值是 q 。
m
n
9.一个容积为 10 升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出 a 升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均
A. 3
B. 2
C. ‐2
D. ‐3
答：D 分析：（本题是代数题。考查了一元二次函数图像的对称轴和数的简单运算）
根据题意 - b = 1, 4a + 2b + c = 0 ，所以 c = 0, b = -2 ，从而

校考概率论

南京林业大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试数理统计（含试验设计）试题一、（20分）填空1.设事件A 、B 、C 满足P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝1/4，P(ABC)＝1/16，则事件A 、B 、C 中不多于1个发生的概率为。

2.设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，现进行n 次重复独立试验，则A 至少发生一次的概率为；而A 至多发生一次的概率为。

3.设（X ，Y ）服从参数为μ1，σ12；μ2，σ22；ρ的二维正态分布，则X ，Y 相互独立的充要条件是。

4.设随机变量X 和Y 相互独立，且X ～N （1，2），Y ～N(-3，4)，则Z= -2X+3Y+5的数学期望为，方差为。

5.设随机变量X 与Y 的相关系数为0.8，Z ＝X －0.5，则Y 与Z 的相关系数ρYZ ＝。

6.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，已知E(X 2＋2X －4)＝0，则P{X ≠0}＝。

7.设总体X ～N(μ1，σ12)，Y ～N(μ2，σ22)，μ1，μ2未知，（X 1，X 2，…，X n ）与（Y 1，Y 2，…，Y m ）分别是来自总体X 与Y 的样本，且两样本相互独立，则假设2221122210:;:σσσσ≠=H H 的检验统计量F ＝；其拒绝域W ＝。

8.设总体X ～N(0.5，1)，则F(0.5)＝ .。

9.已知事件A 的概率P(A)=0.6，事件B 的概率P(B)=0.8及条件概率P(B │Ā)=0.2 则条件概率P(A │B)= 。

10.有效估计是指。

二、（20分）选择题1．设事件A 、B 同时发生时，事件C 一定发生，则(A)P(C)＝P(AB) (B)P(C)＝P(A ∪B)(C)P(C)≤P(A)+P(B)－1 (D)P(C)≥P(A)+P(B)－12.设事件A 、B 相互独立，且P(A)≠0，P(B)≠0，则下列结论中一定正确的是(A)A 与B 互不相容 (B)P(A ∪B)＝P(A)P(B)(C)P(A-B)=P(A) (D)A 与B 相容3. 设A 、B 、C 三个事件两两相互独立，则事件A 、B 、C 相互独立的充分必要条件是(A)A 与BC 独立 (B)AB 与 A ∪B 独立(C)AB 与AC 独立 (D)A ∪B 与A ∪C 独立4. 已知随机变量X 服从二项分布b(n,p),且E(X)＝2.4,D(X)＝1.44,则二项分布的参数n,p 的值是(A)n=4, p=0.6 (B)n=6, p=0.4(C)n=8, p=0.3 (D)n=24, p=0.15．将一枚硬币反复投掷n 次，记X={正面朝上的次数}，Y={反面朝上的次数}，则X ，Y 的相关系数为(A)-1 (B)0(C)0.5 (D)16．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)＝E(X)E(Y)，则(A)D(XY)＝D(X)D(Y) (B)D(X+Y)＝D(X)+D(Y)(C)X 和Y 相互独立 (D)X 和Y 不相互独立7．设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则(A)X+Y 服从正态分布 (B)X 2＋Y 2 服从2χ分布(C)X 2和Y 2都服从2χ分布 (D)X 2/Y 2服从F 分布 8．在假设检验中，H 0表示原假设，H 1表示备择假设，则犯第Ⅰ类错误的概率为(A) H 1真，接受H 1 (B) H 1不真，接受H 1(C) H 1真，拒绝H 1 (D) H 1不真，拒绝H 19．设4321,,,X X X X 是来自总体X ～N(μ，1)的样本，其中μ未知，则下列估计量中不是μ的无偏估计量的为 (A))(31)(6143211X X X X T +++= (B)543243212X X X X T +++= (C)443213X X X X T +++= (D)884243214X X X X T +++= 10．设总体X ～N(μ，σ2)，其中σ2已知，若已知样本容量n 和置信水平α均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间长度(A)变长 (B)变短(C)不变 (D)不能确定三、（20分）简答题1.简述假设检验的基本步骤2.在统计分析中，为什么要进行多重对比？进行多重对比的前提是什么？3.简述进行回归分析的四个前提假设？4.试述平衡不完全区组设计(BIB 设计)的特点。

研究生数理统计复习题

λ e − λ x , x > 0, f ( x) = 0 , x ≤ 0. 于是样本 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 的密度为
f ( x1 , x2 ,K , xn ) = ∏ λe − λ xi
i =1 n
− λ ∑ xi n = λ e i=1 , xi > 0 0 , 其它.
2 DX i2 = EX i4 − ( EX i2 )2 = α 4 − α 2 ，由独立同分布下的中心极限定理（列维一林德贝格定
理），当 n 充分大时
1 n 2 1 n 2 X − nα 2 n ∑ X i − α 2 ∑ ∑ X i − α2 n i =1 n i =1 i =1 = = 2 α 4 − α 22 n α 4 − α 22 n (α 4 − α 2 )/n
Σ
以组距 4 为底，以 ni / 4n 为高作矩形即得 X 的直方图
ϕ n ( x)
0
14.5
22.5
30.5
38.5
46.5
5．某射手独立重复地进行 20 次打靶试验，击中靶子的环数如下：环数频数 10 2 9 3 8 0 7 9 6 4 5 0 4 2
用 X 表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求 X 的经验分布函数，并画出其图像。解设 X 的经验分布函数为 Fn ( x) 则
2
X = a ( X 1 − 2 X 2 ) 2 + b(3 X 3 − 4 X 4 ) 2 ，求常数 a, b ，使得 X ~ χ 2 (2) .
X1 − 2 X 2 1 ~ N (0,1), ( X1 − 2 X 2 )2 ~ χ 2 (1), 20 2 5 3X 3 − 4 X 4 1 3X3 − 4 X4 ~ N(0,102 ), ~ N(0,1), (3X3 − 4 X 4 )2 ~ χ 2 (1), 10 100 1 1 所以当 a = , b= 时 20 100 X = a ( X 1 − 2 X 2 ) 2 + b(3 X 3 − 4 X 4 ) 2 ~ χ 2 (2)

硕士生《数理统计》例题及答案

《数理统计》例题1.设总体X 的概率密度函数为： 221)(ββx ex f -=)0(>β试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。

解：（1）矩法由于EX 为0，πββββββββββββ2002222221][)()2(2)()2(212)(2222222222=+-=-=--===⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--∞+-∞++∞∞-dx exeed xx d xedxex dxx f x EX x x x x xπβ22221=-=X E EX DX 令2S DX =得：S πβ2ˆ=（2）极大似然法∑===-=-∏ni i i x nni x eeL 122221111ββββ∑=--=ni ixn L 1221ln ln ββ231ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =βd L d 得∑==n i i x n 122ˆβ2. 设总体X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=ααβαββαφx x x x ,0),/)(exp(1),;( 其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。

试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。

解：（1）矩法经统计得：063.0,176.2==S Xβαβαβφαβααβααβαβααβαα+=-=+-=-===∞+--∞+--∞+----∞+--∞+∞+∞-⎰⎰⎰⎰x x x x x edx exeexd dx ex dx x x EX ][)(1)()(222][)(1222222βαβαβαββαααβαβααβαα++=+=+-=-==--∞+∞+----∞+--∞+⎰⎰⎰EX dx ex ex ed x dx ex EX x x x x222)(β=-=EX EX DX令⎩⎨⎧==2S DX X EX 即⎩⎨⎧==+22S Xββα 故063.0ˆ,116.2ˆ===-=S S X βα（2）极大似然法 )(111),;(αββαβββα----===∏X nnX ni eex L i)(ln ln αββ---=X nn L)(ln ,0ln 2αββββα-+-=∂∂>=∂∂X nn L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥所以05.2ˆ)1(==X α令0ln =∂∂βL 得126.0ˆ)1(=-=X X β 3.已知总体ξ的分布密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-=其它,011,21);(θθθx x f（1）用矩法估计其未知参数θ；（2）用极大似然法估计其未知参数θ。

2006年7月工程硕士研究生试题数理统计

2005级工程硕士研究生试题（2006、7）（注：前7题闭卷，八、九题开卷）一、简单计算下列各题：1、事件A 、B 满足P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(B/A)＝0.8, 求P(A ∪B).2、设X 、Y 为两个相互独立的随机变量，V(X)=5，V(Y)=3为它们的方差，求V(X －Y).二、选择题1、设A 、B 是两事件，则下列等式中( )是不正确的．①若P(AB)＝P(A)P(B)，则A ，B 相互独立②P(AB)＝P(B)P(A/B)③P(AB)＝P(A)P(B)，A ，B 互不相容④P(AB)＝P(A)P(B/A)2、 X 1，X 2，X 3是取自总体的样本，C 是未知参数，则( )是统计量。

①X 1 +CX 2+X 3 ②X 1X 2 ③CX 1X 2X 3 ④∑-=31I 2i )C X (313、 A 、B 为二事件，则=⋃B A AB ( )①φ(不可能事件〕 ②S(必然事件) ③A ④A ∪B4、 X 为正态分布的随机变量，概率密度f(x)＝8)1x (2e 221--π, 则E(2X 2－1)＝( )① 1 ② 6 ③ 4 ④ 9三、同一种产品由甲、乙、丙三个厂家供应．由长期经验知，三家的正品率分别为0．95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2：3：5，混合在一起．（l ）从中任取1件，求此件产品为正品的概率；（2）现取到1件产品为正品，同它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？四、设有10件产品，其中有2件次品，从中任取3件，设取到的次品数为X ，（1）求X 的分布率；（2）求X 的分布函数；（3）求P （X<1.5）.五、设（X ，Y ）的联合密度函数为f(x,y)=⎩⎨⎧≥≤≤-其它00y ,1x 0e y（l ）求边缘分布密度f X ( x)、f Y (y);（2）问X ，Y 是否独立？为什么？六、设X 服从指数分布f(x,y)=).0(0x 00x e 1x >λ⎪⎩⎪⎨⎧≤>λλ- X 1，X 2，…，X n 为X 的一组样本，求λ的极大似然估计. 并问这个估计^λ是λ的无偏估计吗？为什么？七、设某车间生产的某种零件长度X ～N （2,σμ），从一批这样的零件中随机地抽取 9件，测得长度值为 49.7，50.6, 6.51, 8.52, 4， 48.8, 51.1, 51. 2, 51.0 ， 51.5 mm 求这批零件平均长度的95％的置信区间．(t 0.025(8)=2.306).八、一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关．在不同温度下吸附的重量为Y ，测得结果列于表中．设对于给定的x ，Y 为正态变量，方差与x 无关．表 :重量。

x全国2006年7月高等教育自学考试概率论与数理统计(二)试题 (1)

全国2006年4月高等教育自学考试概率论与数理统计（二）试题课程代码：02197一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．从一批产品中随机抽两次，每次抽1件。

以A 表示事件“两次都抽得正品”，B 表示事件“至少抽得一件次品”，则下列关系式中正确的是（） A ．A ⊂B B ．B ⊂A C ．A=BD ．A=B2．对一批次品率为p(0<p<1)的产品逐一检测，则第二次或第二次后才检测到次品的概率为（）A ．pB ．1-pC ．(1-p)pD ．(2-p)p3．设随机变量X~N （-1，22），则X 的概率密度f(x)=（） A ．8)1(2221+-x eπ B ．8)1(2221--x eπC ．4)1(241+-x e πD ．8)1(241+-x eπ4．设F （x ）和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度，则必有（） A ．f(x)单调不减 B ．⎰+∞∞-=1)(dx x FC ．F （-∞）=0D ．⎰+∞∞-=dx x f x F )()(5若X 与Y 相互独立，则（）A ．α=92，β=91B ．α=91，β=92C ．α=61，β=61D ．α=185，β=1816．设二维随机向量（X ，Y ）在区域G ：0≤x ≤1，0≤y ≤2上服从均匀分布，f Y (y)为（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度，则f Y (1)=（） A ．0 B ．21C ．1D ．27．设随机向量X 1，X 2…，X n 相互独立，且具有相同分布列：,0<p<1,q=1-p,i=1,2,…,n. 令∑==ni i X nX 11，则D （X ）=（）A ．2npq B ．npqC ．pqD ．npq8．设随机变量序列X 1，X 2，…，X n ，…独立同分布，且E （X i ）=μ,D(X i )=2σ,0>σ,i=1,2,….)(x Φ为标准正态分布函数，则对于任意实数x ，=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-∑=∞→x n n X P ni i n σμ1lim（） A ．0 B ．Φ(x) C ．1-Φ(x)D ．19．设X 1，X 2，…，X 6是来自正态总体N （0，1）的样本，则统计量262524232221X X XX X X ++++服从（）A ．正态分布B ．2χ分布C ．t 分布D ．F 分布10．设X 1，X 2，X 3是来自正态总体N （0，σ2）的样本，已知统计量c(2232221X X X +-)是方差σ2的无偏估计量，则常数c 等于（） A ．41 B ．21C ．2D ．4二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

概率论与数理统计选择题

全国2002年4月高等教育自学考试概率论与数理统计（二）试题课程代码：02197第一部分选择题（共20分）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1.设随机事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则（） A.P(A)=1-P （B ） B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(A ∪B)=1 D.P(AB )=12.设A ，B 为随机事件，P(A)>0,P （A|B ）=1，则必有（） A.P(A ∪B)=P(A) B.A ⊂B C.P(A)=P(B) D.P(AB)=P(A)3.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（） A.2422B.C C 2142C.242!AD.24!!4.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（） A.()343B.()34142⨯C. ()14342⨯D.C 4221434()5.已知随机变量X 的概率密度为f X (x )，令Y=-2X ，则Y 的概率密度f Y (y)为（） A.2f X (-2y)B.f X ()-y 2C.--122f y X ()D.122f y X ()- 6.如果函数f(x)=x a x b x a x b,;,≤≤或0<>⎧⎨⎩是某连续随机变量X 的概率密度，则区间[a,b]可以是（） A.〔0，1〕 B.〔0，2〕 C.〔0，2〕 D.〔1，2〕 7.下列各函数中是随机变量分布函数的为（）A.F x xx 1211(),=+-∞<<+∞ B.F x x x x x 20010(),;,.=+>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪≤C.F x e x x 3(),=-∞<<+∞-D.F x arctgx x 43412(),=+-∞<<+∞π8.）则P{X=0}= A. 112 B. 212 C.412D.5129.已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)=（） A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 10.设Ф(x)为标准正态分布函数，X i =10,,事件发生；事件不发生，A A ⎧⎨⎩ i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X 1,X 2,…,X 100相互独立。

2006级概率论与数理统计试卷A卷参考答案[2]

2006级概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、 1.D1(1)()X uu uP X u P σσ-+-≤+=≤注释：=1()σΦ2.C注释：参考课本第8页 3.A注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A 正确？B 项是否正确 4.B注释：参考课本86页 5.A 二、1. 1.33(或者填13591024)2．25注释：参考课本86页3. 0.254. （X+Y ）～B(7,p)注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X 、Y 独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p)设（X+Y ）～B(n,P),则有E(X+Y)=7p=nPD(X+Y)=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)⎧⎨⎩解得n=7,P=p5. 2/52215041()5b 4(2)41(54)0,1 4.112555X f x ac X X X X P dx dx =∆=-=-⨯⨯-≥≤≥=+=⎰⎰的密度函数为方程有实根，则必须满足即或者故方程有实根的概率6.0.3522(35)112(35)9322242{24}0.15,{}0.15333200.1532233202222}33333E X EX D X DX X P X P X σσσσσσσσσσσσσσ+==+===---<<=<<=ΦΦ=-ΦΦ----<=ΦΦΦ由得由得因故所以（）-（）所以（）-（）=0.3P{X<0}=P{（）=[1-（）-（）]/2______=[1-0.3]/2=0.35?7. 相关三、A=B =B =B =B B B B (B )|)0.50.9|)0.540.83P A ⨯⨯⨯⋅⨯====甲乙丙乙甲丙甲甲甲甲设“取出的产品是正品”； ?取出的产品是甲厂生产的” ?取出的产品是乙厂生产的” ?取出的产品是丙厂生产的”则P(A)=P(A )+P(A )+P(A ) =0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.83P(A )P(A B P(B P(A)P(A)1__1___30.3_0.5_0.2(1)0.310.530.20.8XEX -⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⨯+⨯+⨯= 五、10500022201____02(1)()1___021____02()11_0211(2)(510)1)()221111(3[(1)][(1)]2222_____012xx xx x x x x x e x f x e x e x F x e x P X e e x e dx x e dx x e x e EX x e dx x ----∞--+∞-∞-∞-∞⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-<<=--⋅+⋅=-+--==⋅+⋅⎰⎰⎰0+0由题意故（）EX=202021211___[22][22]222(2x x x x x x x e dxx e xe e x e xe e DX EX ∞----+∞-∞=-++---==-=⎰+2EX)？六、2220001(0.005,0.035)0.0050.03510.02,(0.0350.005)0.000075212a 1(,),,())2120.0250.025200050{50}iii i i i i ii X i X U EX DX b X U a b EX DX b a Y X Y P Y P =+===-=+==-=<⨯=<=∑设为第台机床生产的次品率（注：对于均匀分布有设总次品率若要满足这批产品的平均次品率小于，则(25.8)<=Φ？试卷中没有给出(25.8)Φ的值，且直观上感觉(25.8)Φ的值太大了，故不能肯定题中的做法是否可行____,0_______2________()0__________2________()0__________22(2)0,0a b a b aba x ab y b a x ax ab y by bEX x dx EY y dy a b ππππππ--=⎧-≤≤-≤≤⎪⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩=⋅==⋅=⎰⎰椭圆X Y (1)S 1故（x,y)的联合密度函数f(x,y)=ab其它X 的边缘密度函数f 其它Y 的边缘密度函数f其它222222222222,2424,3344()25,()4332(3),22()()a b a b a b EX x dx EY y dy a b a b DX EX EX DY EY EY a b a x a b y b x y a b πππππππππ--=⋅==⋅==-===-====-≤≤-≤≤⋅=⋅≠⎰⎰X Y 解得时，1f f ，故X与Y不独立ab八、555511___________5()1(1)(x z z Z dx ze dx e e F z z e ----≤⋅≤≤=-=-=--⋅-⎰⎰1z 1z的分布函数F(z)=P{Z z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)当z 0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0<z 1时，P(X>z)=P(Y>z)=故555555)z 1()1010__________________0()1(1)()__0_____________________0()65_______010_____________________1z z z e F z z F z z e e z f z e ze e z z ------>=-=≤⎧⎪=--⋅-≤⎨⎪⎩≤⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩当时，P(X>z)=0故所以0<z 11__________________z>1。

06年天津科技大学数理统计试题

置信度为95%的置信区间。

7. 通过原点的一元线性回归关系式 i i i Y x βε=⋅+ ，其中()2,0~σεN i ，试验n 组数据()i i y x ,，则估计值βˆ= 。

8．从正态总体()1,μN 中取100个样品，测得32.5=x ，试检验 5:0=μH ，是否成立（01.0=α），检验结论为；二. 设X 服从()n 2χ分布，试证：当n 很大时，对0>c ，有{}⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈≤n n c c X P 2，其中()x Φ是()1,0N 的分布函数。

（7分）三．设母体X 的分布密度为 ()()⎩⎨⎧>⋅=+-其他,01,1x x x f λλ ，其中1>λ，为未知参数，今取得样本,,,,21n x x x 求未知参数λ的矩估计。

（7分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,2)(2x x xe x f xλλ，其中0>λ，为未知参数，今取得样本,,,,21n x x x 求未知参数λ的最大似然估计。

（7分） ()2,σμN 中抽取16个样本，若2,σμ均未知，2*S 为样本方差，求概率⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤*04.222σS P 。

（7分）六．设1021,,X X X ，和3021,,Y Y Y ，是分别来自总体()21,5N μ和()22,3N μ的两组简单随机样本,且有 μμμ==21 ，若有ˆcx d y μ=+为μ的无偏估计.求c 和d 的值,使方差()y d x c D +最小. （7分）七．测量某产品数据，通常方差为400，今从某天产品中抽取n =25的样本，测得77.404,24.622==*s x ，问这天产品的方差与通常有无显著差异)01.0(=α？（假定是正态总体）（7分）某厂生产红.黄.蓝.绿.紫.五种颜色产品.随机取500件.其中五种颜色产品各为108. 106. 102. 96. 88件.问能否认为这五种颜色产品原来产量都相同？)05.0(=α （7分）在某种产品的配方中，考虑了三种不同的促进剂,3,2,1A A A ，四种不同量的氧化锌,,,,4321B B B B 各种配方试验一次，测得某指标如下：（数据表略） ,75.96,1.66,3.28===T B A Q Q Q 试求二元方差分析表，并解答)05.0(=α？（8分）十. 已知X 与Y 有线性关系式 εβα++=X Y ，其中()2,0~σεN ，测得计算得有关数据为555522111130,220,1052,275990ii i i i i i i xx y y ========∑∑∑∑ ，517790i ii x y==∑，试求 βα,的最小二乘估计和相关系数r 的估计。

2006数理统计统考

一、简要回答下列问题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 1．12,,,n X X X 是来自正态总体()2,N μσ的样本，其中参数μ和2σ均未知，对于参数μ的置信度为1α-的置信区间，试问当α减少时该置信区间的长度如何变化？答：则μ的置信度为1－ α的置信区间)]1([2-±n t n S X α置信区间的长度)1(22-=n t nS L α，当样本容量给定时，减小α的值会增大)1(2-n t α的值，相应地)1(22-=n t nS L α变长。

2．基于小概率事件原理的显著性假设检验不免可能会犯两类错误：α：第一类错误β：第二类错误（1）解释这两类错误；（2）说明α和β如何相互影响以及样本容量n 对它们的影响。

答1.P{第一类错误}=P{拒绝H0|H0为真}， P{第二类错误}=P{接受H0|H0为假}2.当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增；要同时降低，需要增加样本容量. 二、（12分）设12,,,n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的样本， 1．试问2211()nii Xμσ=-∑服从什么分布（指明自由度）？)1,0(~N X i σμ-且独立，)(~)()(1212122n X X ni i ni i χσμμσ∑∑==-=-2．证明12X X +和12X X -相互独立；)2,2(~221σμN X X +,)2,0(~221σN X X -，（12X X +，12X X -）服从二维正态分布二者的协方差为)(00)(),(),(),(),(),2221221221112121=-=-+-=-+-=-+σσX D X D X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV （故12X X +和12X X -不相关, 而（12X X +，12X X -）服从二维正态分布不相关和独立是等价的，故12X X +和12X X -相互独立。

西安理工大学2006年考研考试试题应用统计学(B卷)(附答案解析)

西安理工大学2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题册B卷学科、专业名称__水利水电建设工程管理考试科目名称____应用统计学试题编号____________453________命题教师________________________审题教师________________________第 1页共 6 页西安理工大学2006 年招收攻读硕士学位研究生入学考试命题纸考试科目应用统计学使用试题学科、专业水利水电建设工程管理水工结构工程（工程建设与管理方向）（考生须知：本试卷共 25 题，答案必须写在答题纸上，写在试题册上无效；答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔，用其它笔答题无效；不必抄题，但需标明题号。

）第 2 页 6 页第 3 页共6 页第 4页共6 页第 5页共 6页第 5页共 6 页第 6页共 6页06年研究生应用统计学 B卷答案一、解释名词：（5×3=15分）1．数量性、总体性、社会性、具体性、实用性。

2．简单随机抽样、分层随机抽样、分群随机抽样3．是样本数据n x x ,,1 的样本标准差与其样本均值之比，xs V s =。

4．满足{}αα=〉2U X P 的数2αu 为标准正态分布的双侧百分位点。

5．设随机变量x 、y 相互独立，且分别服从自由度为n 1、n 2的x 2分布，则随机变量21//n y n x F =服从第一自由度为n 1，第二自由度为n 2 的F 分布，记为F （n 1、n 2）。

二、填空：（10×3=30分） 1．方差，()()[]{}22X X X D E -E ==σ2．正态分布，X ～N （μ，σ2）3． F (n 2，n 1)4． n -1， t ， t (n -1)5．一致性无偏性有效性6．越小越高越大7．F （n ,1）8．∑=ni i x n 119．24010． tt t Y Y Y ˆ)1(ˆ1αα-+=+，α为平滑常数（0≤α≤1）三、计算题（8×10分=80）1. X max =999.6 X max =877.1 R =122.5 =X 942.9 M e =945.8M 0=945.7M .D . =0 S 2= 1844.4 S=42.9 2．解：⎪⎭⎫⎝⎛=∑-n i i X n E X E 11=∑=ni i EX n 11 =μn n1=μ X 是μ的无偏估计量ES 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i X X n E 12)(1=[]21)()(1∑=---E ni i X X n μμ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----∑=ni i i X n X X X E n 122)())((2)(1μμμμ =∑=---n i i X nE X E n 122})()({1μμ =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n n n n 221σσ =21σnn - S 2不是σ2的无偏估计量 3、解：1）1)()(111i -=⎰=⎰=⎰=∞++∞+∞+∞-βββββββdX X dX X XdX X Xf X E令11-===-X XX βββ ∴参数β的矩估计量为1-=X X β2）)0)();()(121i n1i ⎪⎩⎪⎨⎧⋯==+=∏ββββn n X X X X f L当X i ＞1时L （β）＞0取对数，In L （β）=n Ln β－（β+1）∑=n1i In X i两边对β求导得：i n1i l )(L l nX n d n d ∑=-=βββ 令in1i X l 0)(l n nd nL d ∑===βββ得β的最大似然估计量为 in1i l nXn∑==β4、解：X =5.21 S 2=0.049 n =20 X =0.05总体均值置信区间：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n S t X n St X ·,·22αα； 20049.0)19(21.5·025.02t nS t X ±=±α=5.21±2.0930×)31.5,11.5(20049.0=求得：μ的置信度区间为（5.11，5.31）方差置信区间：,)1()1(2212122/21⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----∂-αχχn n S n S n ，0283.0852.32049.019)19(0.04919)1(205.022/21=⨯=⨯=-∂-χχn S n 1045.0907.8049.019)19(049.019)1(2975.022/21=⨯=⨯=--χχd n S n X=＞1（i =1，2…n ）X =≤1求得：σ的置信度区间为（0.0283，0.1045）5、第6章例6.1F ＞)12,2(05.0F 存在显著差异。

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