1.3.1祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积(人教A版必修2) 2020-2021学年高一下学期第一章

探究点一 柱体的体积计算公式
设有底面积都等于S，高都等于h的任 意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使 它们的下底面在同一个平面α内（如图）
问题3
用平行于底的的平面截柱体，截面面积相等 吗？为什么？
棱柱、圆柱的截面性质:平行于底面的截面与底面全等.
问题4长方体的体积计算公式
能否推广到一般的棱柱（圆柱） 体积的计算呢？
第一章 空间几何体
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭 的影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓厚的 兴趣。
祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子 祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体，球体的体 积计算。
他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列里” 原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学 家卡瓦列里发现的。为了纪念祖氏父子的这一伟大发现 ，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ
柱体的代表 Ｖ长方体＝Ｓｈ
+
等底面积等高 的任意两个柱 体的体积相等
探究点二 锥体的体积计算公式
问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥
（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ?
等底面积等高的
12、坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久、够大声，终会把人唤醒的。
+ 任意两个锥体的 体积相等
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
A’
A’
A C’
B’
C’ B’
C B
A
C
B
总结 锥体体积公式
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 三棱锥
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
总结提升：
(1)棱锥：V椎体
1 3
Sh(S为底面积，h为棱锥的高）；
余部分的体积之比。
D'
Image 解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD'A' BCC'B' A'
设它的底面 ADD'A' 面积为S，高为h，
C' B'
则它的体积为V Sh 因为棱锥 C A'DD'
D
C
的底面面积为
1S 2
高是h,所以棱锥
C AA'DD'
B
的体积
VC A'DD
1 1 Sh 32
Hale Waihona Puke Baidu
1 Sh 6
余下的体积
Sh 1 Sh 5 Sh 66
所以体积比为 1: 5
探究点三 球体的体积计算公式
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放 入圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
V球
4 R3
3
V球
4 R3
3
学以致用
学以致用
柱体 V Sh
1.柱体、锥体、 的体积
锥体 V 1 Sh 3
2.球的体积公式
V球
4 R 3
3
5. 为明天做准备的最好方法就是集中你所有智慧，所有的热忱，把今天的工作做得尽善尽美，这就是你能应付未来的唯一方法。 11、目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。 4. 智者一切求自己，愚者一切求他人。 9. 当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。 16. 我从来不认为半小时是我微不足道的很小的一段时间。 19. 网络事业创造了富裕，又延续了平等。 10. 狂妄的人有救，自卑的人没有救。 15. 孤独是空气，你呼吸着它而感觉到自己存在。 20. 成功与不成功之间有时距离很短--只要后者再向前几步。 8. 流过泪的眼睛更明亮，滴过血的心灵更坚强! 9. 根本不必回头去看咒骂你的人是谁?如果有一条疯狗咬你一口，难道你也要趴下去反咬他一口吗? 11. 虽然现实生活中，不是所有的梦想都能开花结果，也不是所有的人都能梦想成真。但每一个梦想都是绚烂多姿，每一个人都因追逐梦想而 生活得更加精彩。
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的 体积是什么？
能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？
V 长方体 abc
V 长方体 sh
问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？
如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些 水平截面的面积有什么关系？ 体积有没有改变？ 从这个事实中你得到什么启发？
6. 只有全力以赴，梦想才能起飞。 3. 贫穷是不需要计划的，致富才需要一个周密的计划 7. 如果说时间是最宝贵的东西，那么浪费时间就是最大的挥霍。 10、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。 10. 无论你在什么时候开始，重要的是开始后就不要停止;无论你在什么时候结束，重要的是结束后就不要后悔。 8. 只有不断找寻机会的人才会及时把握机会。 8、靠山山会倒，靠水水会流，靠自己永远不倒。 17. 秋天，树叶黄了，枯了，快要脱落了。枯黄的叶子离开了枝头，在风中飞舞着，怀着对金秋季节无比眷恋的心情离去。假如我是落叶，我 愿意很快地落在地上，又很快地被水溶化，然后钻进又黑又香的泥土里，尽情拥抱这些又大又小又粗又细的树根。
(2)圆锥：V圆锥
1 3
Sh
1 r2h(S为底面积，h为圆锥
3
的高，r为底面半径）.
(3) " 割补" 是求体积的一种常见策略，运用时注意
弄清“割补”前后几何体体积之间的数量关系.
(4)注意求三棱锥体积时顶点与底面的相对性.
学以致用
例1：如图，在长方体 ABCD ABCD 中，
No 截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩
由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的
体积 相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与
长方体等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理：
定理 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底
面 积s和高h的积。
V柱体= sh
推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
总结 柱体体积公式及其探索思路？