1.3.1祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积(人教A版必修2) 2020-2021学年高一下学期第一章

合集下载

人教A版高中数学必修二1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积课件

4
2
2956 (mm3)
2.956 (cm3)
所以螺帽的个数为 5.81000 (7.8 2.956) 252（个）答：这堆螺帽大约有252个．
课堂小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体台体锥体
S S' S' 0
柱体、锥体、台体的表面积
圆柱S 2r(r l)
圆柱、圆锥、圆台
棱柱、棱锥、棱台
r O
r’＝r
O’
r’＝0
上底扩大
O
上底缩小
O
O
S柱 2r(r l) S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r(r l)
例2：如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径
为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁15cm。为了美
化花盆的外观，需要涂油漆。已知每平方米用100毫升
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
典型题例
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
S 解：先求ABC的面积，过点S作 SD BC，
交BC于点D．
A
因为BC=a，SD SB sin 60 3 a
2
BD
C
所以：S▲ABC 1 BC SD 1 a 3 a 3 a2
2
22 4
因此，四面体S-ABC 的表面积． S 4 3 a2 3 a2
4
.已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积。

人教A版高中数学必修2《一章空间几何体探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_4

变题2：
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱
9
柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为 8 ，底面周长为 3，则这个球的体积为___________
反馈训练1：
1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，一球切
于三棱柱的各侧面，一球过三棱柱的各顶点，则这两个球的表面积之比为________ 2.球 O 与底面边长为 3 的正三棱柱的各侧面均相切，则球 O 的表面积为________
小结1
如何求直棱柱的外接球半径呢？（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解。
二、棱锥与球
典例2：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法1.补成正方体
A B
A B
O
O
D
C 正四面体外接球的半径
D C
正方体外接球的半径
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.勾股定理法
P
P
O
A
C
A
M
D
B
O MD
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法3.射影定理法
P
A
O

C l 2 h 2R
H
D
B
M
a
F
6a
2a
4
4
6a 12 3a 3
a
a
2
AD 3 a 2
则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
一、棱柱与球
典例1：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.

人教A版高中数学必修2《一章空间几何体探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_0

探究祖暅原理为使学生受到优秀数学传统文化的熏陶首先介绍了一下提出祖暅原理的历史人物；接下来对祖暅原理做了细致的分析，让学生理解其具体含义并注意应用时需要注意的方面；最后利用祖暅原理结合三维动画层层引导、分析、推导出柱体、锥体、球体的体积公式。

教学目标1. 理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的过程；2. 在推导柱体、锥体体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握柱体、锥体、球体的体积公式；3. 通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.重点：理解祖暅原理和柱体、椎体、球体体积公式的推导过程。

难点：球体的体积公式推导及准确把握相关几何体体积之间的关系。

教学过程1. 介绍提出祖暅原理的历史人物祖冲之父子。

2. 细致分析祖暅原理，并强调应用时的细节。

3. 应用祖暅原理推导柱体、椎体的体积公式4. 观看视频：应用祖暅原理推到球体的体积公式5. 祖暅原理未能得到西方认可的原因教学过程一、引入取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？这堆书的几何形状发生了改变，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等。

其实这里蕴含了一个很重要的数学原理—祖暅原理。

今天我们就来学习什么是祖暅原理以及它的应用。

首先我们要认识我国历史上两位很重要的数学家。

二、祖冲之父子介绍祖冲之（429-500），字文远。

出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。

祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。

他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。

人教版高中数学必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》

（3）注意展示点评任务，展示人书写要迅速。
在展示评价后，若你仍有补充，我们奖励 20 分
2020/3/11
题号方式
自探一板书自探二板书
展示分工
第五组第一组
点评分工
展示要求：
1.书面展示要板书工整、规范、快速; 2.组长结合本组情况，适当选派代表; 3.非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记
积为____。
5，0
2020/3/11
总结本节课内容，重点，难点！总结本节课同学们的表现！
2020/3/11
课后探究
利用祖暅原理探究台体的体积公式。球、柱、台、锥体体积之间的关系。
课后作业：完成课时作业1。
2020/3/11
2020/3/11
学习目标:
（1）能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。（2）能够利用祖暅原理求球体的体积。
2020/3/11
祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
2020/3/11
探究一
如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
2020/3/11
2020/3/11
2020/3/11
结论半径为R的球的体积公式是
V球

4 3
R3
2020/3/11
质疑再探
2020/3/11
运用拓展
1.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中, 图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上底为1的梯形,且当实数t取[0,3]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为___.
2020/3/11

祖暅原理与柱体锥体球体的体积

探究与发现:祖眶原理与柱体、锥体、球体的体积一、教材分析本节是必修2第一章的“探究与发现”内容，是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容是用祖唯原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖瞄原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解空间几何体问题的思想方法，逐步提高解决空间几何体问题的能力.在推理的过程中，感受我国文化的魅力，通过数形结合导出柱、锥、球体的体积公式.这些过程正是培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模等数学学科核心素养的重要过程.二、学情分析学生己经掌握了第一章的基础之上，对空间几何体具有一定的直观感知、操作确认、度量计算等方法.他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的实物来理解抽象的逻辑关系.同事思维的严密性需要进一步加强.三、设计思路1、由祖随原理推导柱、锥、球的体积.其知识设计结构图如下:2、结合唐特工作室的雾误悟教学思想：博学・审问•明辨•笃行的教学设计路线.在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过师生合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式.(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，充分利用错误资源，力争在培养学生数学知识的同时让学生感受数学文化.（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，培养学生主动学习、善于观察、灵活应用的能力.四、教学目标根据班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：（1）理解祖唯原理的含义，理解利用祖唯原理计算几何体体积的方法；（2）在用祖唾原理推导柱、锥、球体体积的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；（3）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感,提高学习数学的兴趣.五、教学重难点教学重点：理解祖瞄原理的含义，以及柱体、锥体、球体的体积公式的探究;教学难点：运用祖瞄原理推导球的体积，学生探究能力的培养.六、教学方法雾误悟、探究式、启发式七、教学过程：（-）【博学情境】课题引入，提出问题数学在人类历史的发展中，有着重要的作用，扮演着重要的角色，可以毫不夸张地说：如果咱们的生活离开了数学，那么人类的历史将无法展开。

高中数学人教A版必修2第一章1.3.1柱体、锥体、台体的体积课件(共21张PPT)

柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底两面个积柱S和体高的h体
的积，即
V柱体=Sh
积相等
h S
h
S
S
二、锥体的体积公式
设有面积都等于S，高都等于h的两个锥体，使它们
的底面在同一平面内。根据祖暅原理，可知它们的体
积相等。
即等底等高的
由圆锥体积公式可知
V锥体=
1 sh 3
两个锥体的体积相等
h
h
S
S
探究：棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
所以螺帽的个数为 5.81000 (7.8 2.956) 252（个）答：这堆螺帽大约有252个．
例2、从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？
A D
C A D
B
C B
课堂练习：
１．用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积。
P
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥) 截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式(过程看下一页)．
A
V VPABCD VPABCD
1 (S SS S)h 3
A
D
S
C
B
h
D
S C
B
台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算。如果台体的上、下底面面积分别为 S‘， S，高是h，可以推得它的体积是
锥体中的比例问题
4、平行于圆锥底面的平面，把圆锥的高三等分，
则圆锥被分成三部分的体积之比为（）
（A）1∶2∶3 （B）1∶4∶9
（C）1∶7∶19 （D）1∶8∶27
V
V

人教版高中数学必修2：1.3.1柱体,椎体,台体的表面积与体积课件

解： V Sh r2h
O
=
3 4
122

6
10

3.14

10 2
2

10
=2956mm3 2.956cm3
螺帽个数：5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252 答：这堆螺帽大约有252个。
练习：课本P283,4
3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
圆锥体积
圆锥的体积公式：
V 1 Sh （其中S为底面面积，h为高） 3
圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的．1 3
柱体的体积计算公式： V柱体=sh
锥体的体积计算公式:
V锥体=
1 sh 3
（其中S为底面积,h为高）
P
练习：三棱锥P-ABC的
O`
O
圆锥的侧面展开图是一个扇形：
如果圆锥的底面半径为，r 母线为，l
那么圆锥的底面积为，r侧2 面积为。 rl
因此圆锥的表面积为 S r 2 rl r(r l)
S
2r
O
练习：圆锥母线长为5厘米，底面半径为3厘米，求圆锥的表面积。
圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面和加上侧面的面积，即
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
S表=S侧+S底
h
侧面展开图是矩形

高中数学必修二《祖暅原理与柱体锥体球体的体积》优秀教学设计

高中数学必修二《祖暅原理与柱体锥体球体的体积》优
秀教学设计
一、教学的基本背景
1、知识背景
祖冲之原理是一个重要的古典几何定理，它的关键点在于三视图、二
视图、三维图之间的关系及其在设计几何图形时的应用。

余弦定理是利用
祖冲之原理，推导出的三角形余弦定理，它的关键点在于构建过一点的直
角三角形时，其另外两边的长度能够用余弦定理来求出。

此外，体积学中
柱体、锥体、球体的体积计算也是利用祖冲之原理，结合余弦定理进行推
导的，关键点在于利用余弦定理求出柱体、锥体、球体的边长，然后利用
它们的边长，结合特定的体积公式，求出它们的体积。

2、学生背景
该课是高中数学必修二的课程，上学期学生已经学完了几何图形的绘制、建模与分析，以及利用三视图构建二维图形以及利用三维图形构建三
维图形，对祖冲之原理也有一定的认识，但是对祖冲之原理在计算体积上
的应用还不是太熟悉。

二、教学目标
1、知识目标
（1）掌握祖冲之原理，以及如何利用祖冲之原理在三视图，二视图，三维图之间构建关系，利于设计几何图形；
（2）能够推导出三角形余弦定理，熟练掌握它的应用：构建过一点
的直角三角形时，计算另外两边长度；
（3）熟练运用祖冲之原理和三角形余弦定理。

高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》

《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》教学设计抚远一中：张坤一、教学目标：知识与技能：理解祖暅原理的含义，理解运用祖暅原理推导柱体、锥体、球体体积的思路与方法。

掌握柱体、锥体、球体的体积公式并能运用这些公式解决相关问题。

过程与方法：通过实物展示、动画展示和学生动手操作实验，引导学生分组合作、探究学习。

学生经历观察、猜想、证明的过程，充分体会到祖暅原理的含义及应用。

提高学生归纳推理能力和形成用割补法解题的数学思想方法。

情感、态度、价值观：学生通过了解祖暅和他父亲祖冲之在数学方面的伟大贡献，激发了他们学习数学的兴趣与热情，弘扬了民族自尊心与自豪感。

二、教学重、难点：教学重点：利用祖暅原理探究柱体、锥体、球体的体积及运用体积公共解决问题。

教学难点：利用祖暅原理探究球体积公式的猜想及证明。

三、教学方法及教具准备：教学方法：探究讨论法、启发引导式、数学实验法教具准备：电子白版、PPT、圆柱、半球、圆锥模型，水、豆粒等。

四、教材分析：《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》是新课标2021人教A版高中数学必修二第一章《空间几何体》第三节后面的探究与发现内容。

是在学生们已经认识了简单几何体、组合体、三视图及知道了柱体、锥体、球体体积公式的基础上来学习研究的。

本节内容主要是通过数学实验法，利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积。

本节内容的设计，一方面让学生通过了解祖暅这位伟大的数学家，对祖暅原理产生浓厚的探究兴趣；另一方面通过本节内容的学习，学生们不仅可以掌握棱柱、棱锥、球的体积公式，还可以利用祖暅原理求一些不规则几何体的体积，可以进一步提高学生们的空间想象能力，也激发了学生强烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。

五、学情分析：学习本节内容时学生已经进入高一下学期了，而且这部分学生也是基础较好的学生，他们思维敏捷、善于观察，养成了从多角度思考问题的好习惯，有较强的计算能力和逻辑推理能力。

在将近一年的高中数学学习中，学生们已经基本形成了观察、猜想、推理、实验、证明、进而得出结论的数学思想方法与过程，有较强的动手操作能力，他们善于利用集体的智慧来解决问题。

人教A版高中数学必修2《一章空间几何体探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_2

《祖暅原理与球的体积》教学设计一、教材分析本节课的内容选自普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修2第一章第三节《球的体积和表面积》第一课时.球体作为一类特殊的旋转体，球的体积的推导过程充满了辩证法，处处体现立体图形与平面图形之间的对照、转换．本节课是学习球的体积的起始课，是在学习了柱体、锥体和台体的体积之后的又一重要内容，根据祖暅原理推出球的体积，也进一步巩固了等体积法在求空间几何体体积中的应用.从知识的应用价值来看，球的体积在生活和科学技术中有广泛的应用，体现了数学与生产和科学技术的紧密联系；在球的体积的推导中所蕴涵的数学思想方法如化曲为直、类比推理等在各种空间几何体的研究问题中都有着广泛的应用.从内容的人文价值来看，球的体积的推导需要学生分析、猜想、实验、计算，有助于培养学生的空间想象能力、逻辑思维和探究精神，是培养学生理性分析和数学能力的良好载体.二、学情分析高一学生在学习本节课内容之前，已经系统地学习了柱体和锥体的体积，并基本掌握祖暅原理在求几何体的体积上的应用，对等体积法有了初步的认识．通过空间几何体的结构特征的学习，学生已经对球体的性质有了一定的了解，具备一定的分析观察与逻辑推理能力,并有强烈的求知欲.三、教学目标1.知识与技能：1）观看几何画板的演示，理解球的体积与球的半径有关；2）类比柱体和锥体的体积公式的推导过程，探究球的体积公式；3）掌握两类基本的关于球的组合体计算问题，能根据已知条件分析组合体的结构特征，从而求出球的体积；2.过程与方法：1）实验探究球体的结构特征，提高观察及概括的能力；2）推导球体的体积公式，进一步渗透祖暅原理，提高观察、类比、分析、计算能力；3）对比两类组合体切、接问题，培养化曲为直、数形结合的思想.3.情感、态度与价值观：1）经历合作探究球的体积的过程，感受旋转体的和谐之美，激发学习兴趣，培养协作、交流能力；2）通过类比锥体、柱体得出球的体积，形成“用联系的观点看数学”的良好习惯；3）通过研究球的性质，培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度.四、教学重难点重点：球的体积公式的推导；难点：关于球的组合体的计算.五、教学策略选择与设计《球的体积》一课教学模式和策略设计旨在对素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究.本课采用开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略.具体方法如下：1.讲授法：采用讲述、讲解和讲演结合的方式，引导学生发现并探索球的体积公式，对体积公式的推导进行细致分析与讲解.2.演示法：教师通过多媒体课件和几何画板展示，让学生从图形中直观感知球体的几何特征.3.练习法：通过及时提供相应例题，让学生学以致用，并在运用中加深理解，形成技能与技巧，培养了分析问题、解决问题的能力.六、教学资源与工具设计多媒体教室、几何画板演示课件、flash动画展示、PowerPoint幻灯片课件.【创设情境】观看图片，提出以下问题:【引导】生活中有很多球形的物体，怎样计算球的体积？教师展示生活中常见的球形的物体，启发学生思考如何计算球的体积，进而引出本节课要学习的内容“球的体积公式的推导”回顾祖暅【实验】取几个高与底面半径均为R 的旋转体体积对比，发现3331R V V V R ππ=<<=圆柱半球圆锥【猜想】圆锥圆柱半球V V R V -==332π通过几何画板展示动态图，引导学生分析几何体特征，进而抽象出平面图形，进一步证明猜想【问题】根据祖暅原理，我们如何构造模型？【步骤】1.给出如下几何模型：2.拿出圆锥和圆柱3.将圆锥倒立放入圆柱4.取出半球和新的几何体作它们的截面，截面图形分别为圆面和圆环.5.计算并比较两个截面的面积【学生板演】教师一步步引导学生思考如何构建模型如果截面和平面的距离为h ，那么圆面的半径22h R r -=，圆环面的大圆半径为R ，小圆半径为h ，因此 ()222h R r S -==ππ圆22h R S ππ-=圆环即圆环圆S S =根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即 R R R R V ⋅-⋅=223121ππ球【实验操作】将圆锥和半球形容器装满蓝色液体，依次倒入圆柱形容器中【结论】圆锥圆柱半球V V V -=【公式】半径为R 的球的体积为 334R V π=将学生分为小组，每个小组自讨在课堂巡视各小组进度【例1】如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求球的体积与圆柱体积之比. 【学生解答】分析：球内切于圆柱解：设球的半径为R教师引导学生从分析组合体的特点，将立体图形化。

数学人教版高中一年级必修2 祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积

教材分析
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
教学的重点和难点
重点：引导学生运用祖暅原理推出柱体、锥体、球体的体积公式。
难点：运用祖暅原理探究球体体积公式时，构造“等积体”。理解数学中割补思维方法。
教材分析
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
二、学情分析
我校是省级重点中学，学生思维活跃，知识面广，好奇心和求知欲强，乐于接受挑战，但部分学生缺乏探究意识和钻研精神。为适应学生这一特点，调动学生的学习积极性，满足其学习愿望，本节课采用以教师为引导，学生为主体的探究学习形式。
1 2
V球
= R2
R
1
3
R2 R
=
2 3
R3
R 所以
V球 = 34
3
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
回顾小结
说说这节课你有什么收获和体会？
设计意图
通过学生自己谈体会谈收获，发挥了学生主体作用。学生对本节课思路重新梳理，进一步巩固
了知识
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
七、教学评价
2. 以感性、直观、突出重点为主，分层设置问题，突破难点。
3.鼓励学生独立思考，引导学生自主探索、合作交流。
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
一、创设情境引入新课
1、把一叠摆放不整齐的作业本放在讲台上。
设计意图
设置问题
提问：你能求出这叠作业本的体积吗？情境，激发
提问：能不能把这叠作业本摆放整齐后再求其体积呢？
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
三、教材处理
根据新课程标准精神，教师可以对教材进行恰当处理。依照认识规律，我把本节探究内容调整至体积公式运用之前，以帮助学生重建先探究再应用的认知结构。

人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思

人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思一、教案设计1.教学目标通过本节课的学习，学生将会： - 了解祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。

- 能够使用三视图来描述柱体和椎体的形状特征。

- 熟练掌握柱体和椎体表面积及体积的计算公式，并能够在实际问题中进行运用。

2.教学重点•祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。

•柱体和椎体的三视图的绘制。

•柱体和椎体表面积及体积的计算公式及其运用。

3.教学难点•祖暅原理的具体应用及解题方法的讲解。

•柱体和椎体三视图的绘制方法。

4.教学方法•综合授课法；•讲解与练习相结合；•学生合作探究；•图像识别和计算机模拟。

5.教学过程5.1引入新知识通过展示一组物品的照片，如水瓶、柱形饮料广告牌等，引导学生理解并初步掌握祖暅原理的概念和应用。

5.2学生合作探究将学生分成小组，分别探究柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。

每个小组将自己的发现、总结和计算结果展示给全班同学。

5.3知识总结和归纳在学生合作探究的基础上，全班共同总结柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。

并分享实际问题中的操作技巧和解题方法。

5.4练习训练和答疑解惑在进行了相关练习和实例演练后，学生将进行答疑解惑，讨论疑难问题，并针对性地进行深入讲解。

5.5作业布置老师将按照教学进度和学生的掌握情况，布置相关的作业。

学生可以在完成作业的过程中，进一步巩固所学知识。

二、教学反思1.教学效果评估通过调查问卷的形式，对本课程进行了评估。

调查结果表明，学生们在课堂上有了更好的理解和掌握柱体、椎体及其相关知识点。

此外，学生对于课堂上的分组探究、练习训练等教学方法都持有较高的认可度。

2.优点本节课的优点： - 突出了学生的主体地位，采用学生合作探究和练习训练的教学方法，营造了积极向上的教学氛围。

- 尝试了不同的教学形式，通过展示照片、小组讨论、实际问题演练等方式丰富了教学内容，激发了学生的兴趣和主动性。

祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积

祖暅原理的证明
• 祖暅原理的证明需要用到积分和微积分的基本定理，通过构造一个适当的密度函数，并利用微积分的基本定理进行推导，最终得出结论。
祖暅原理的应用
• 祖暅原理在数学、物理和工程等领域有广泛的应用，例如在计算几何、流体动力学、材料科学等领域中，可以利用祖暅原理来求解一些复杂的问题。
锥体体积公式的推导
推导过程
首先，利用祖暅原理将锥体分割成无数个小的三棱锥。然后，利用三棱锥的体积公式计算每个三棱锥的体积。最后，将这些三棱锥的体积相加，得到锥体的总体积。
注意事项
在推导过程中，需要注意每个三棱锥的高和底面半径的取值范围，以及在求和时对每个三棱锥的高和底面半径进行积分。
方法：通过祖暅原理（也称为积分原理）将柱体分割成无数个小的长方体，然后求和它们的体积。
3. 将所有小长方体的体积相加得到柱体的总体积。
2. 计算每个小长方体的体积。
步骤 1. 将柱体分割成无数个小的长方体。
03 锥体的体积
锥体的定义与性质
锥体的定义
锥体是一个三维几何体，由一个顶点与一个封闭的曲面组成，其中顶点与曲面上任意一点连线的长度都相等。
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
目录
CONTENTS
• 祖暅原理介绍 • 柱体的体积 • 锥体的体积 • 球体的体积 • 祖暅原理与柱体、锥体、球体体积的关
系
01 祖暅原理介绍
祖暅原理的内容
• 祖暅原理是数学中的一个重要定理，它指出对于一个非退化的线段，如果线段上任意点的密度与该点到线段垂直投影的距离成反比，则线段上各点的密度之和等于该线段上任意两点的距离与它们到线段垂直投影的距离乘积之和。
详细描述

人教A版高中数学必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》教材及学情分析

《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》教材及
学情分析
教材分析：
《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》是新课标2003人教A版高中数学必修二第一章《空间几何体》第三节后面的探究与发现内容。

是在学生们已经认识了简单几何体、组合体、三视图及知道了柱体、锥体、球体体积公式的基础上来学习研究的。

本节内容主要是通过数学实验法，利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积。

学情分析：
学习本节内容时学生已经进入高一下学期了，而且这部分学生也是基础较好的学生，他们思维敏捷、善于观察，养成了从多角度思考问题的好习惯，有较强的计算能力和逻辑推理能力。

在本课的数学学习中，通过实物展示、动画演示、动手实验等一系列比较形象直观的过程，让学生们产生了浓厚的学习兴趣和探索欲望，激励他们主动分组讨论、合作探究，完成了由观察到猜想、由猜想到实验、由实验到推理、由推理到证明这一系列的过程。

可以大大提高学生们的归纳推理能力和实践操作能力。

学生们也在整个学习过程中进一步体会到割补法和归纳推理的数学思想方法，这也为今后他们数学能力的提升奠定了基础。

2019-2020学年数学高中人教A版必修2课件：1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积

3

3 D. 3
-22-
作业精选巩固提高
• 2.向高为H的水瓶中匀速注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如下面左
图所示，那么水瓶的形状是 A
-23-
作业精选巩固提高
• 3.一个圆台的上、下底面面积分别是1cm2 和 49 cm2，一个平行底面的截面面积为25 cm2
则这个截面与上、下底面的距离之比是 A
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 SD BC ，交BC于点D．
∵ BC a, SD SB2 BD2 a2 ( a )2 3 a
22
S
1Leabharlann 1SSBC

2
BC

SD

a 2
3 a
2
3 a2 4
A
因此，四面体S-ABC的表面积为
B
D
C
S 4 3 a 3a2 2
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积
-2-
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积展开图平面图形面积
空间问题
平面问题
-3-
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
-4-
l
rx r' x r'l
rO
S侧 r(l x) r' x (rl rx r' x)
(r'l rl )
-14-
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
r O
S (r'2 r 2 r'l rl )

【高中数学】祖暅原理与柱体、锥体、球的体积课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

思想总结:
化归思想
①借助“祖暅原理”,所有柱体的体积转化为长方体的体积； ②柱体都可以分为三个等体积的锥体； ③球的体积转化为圆柱体积和圆锥体积的差.
5.探究作业
请各小组利用祖暅原理探究球的体积公式的思想探究椭球的
体积公式，椭球的体积公式如下:
V椭球
4 abc
3
椭球的球心在坐标原点,与x,y,z轴正向的交点分别为
分析：当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似.
图4
S截面 S底面
=
SO
'
2
SO
由祖暅原理可知等底面积S、等高h的两个锥体，体积相等.
问题4：三棱柱分割成三个三棱锥, 它们三个的体积相等吗？为什么？
1.观察图5(a)与图5(c):
2.观察图5(b)与图5(c):
(1) SABC SA1B1C1
祖暅原理与柱体、锥体、球的体积
祖暅简介
祖暅(5世纪-6世纪)，字景烁，我国南北朝时期伟大科学家，祖冲之之子.
成就: 祖暅修补编辑了祖冲之的《缀术》,
十分巧妙的推导了球的体积公式.
“祖暅原理”被西方称为“卡瓦列里”原理，要比其他国家早一千多年. 在欧洲直到17世纪，意大利数学家卡瓦列里才发现“祖暅原理”的结论.
O1O2 h O1B h
分析: S r2 R2 h2
h Rr
1 2 V球 V圆柱 V圆锥
其中V圆柱 1
SR,V圆锥
1 3
SR
2 V球 V圆柱 V圆锥
1 2 V球
2 3
SR
2
3
R3
O
O3
A
O1
B
O2
V球
4

祖暅原理与柱体锥体的体积说课课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版必修2

3．能用祖暅原理求解不规则几何体的体积，经历由实际问题推导出祖暅原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于实际、服务于实际的道理，体验发现数学、探究数学的过程，提升数学建模素养。
4Part four
教法学法
4 教法学法
独立思考
合作交流
类比探究
教法学法
5Part five
教学过程
5 教学过程
教学难点理解祖暅原理，借助转化与化归的思想求柱体、锥体的体积公式。
3Part three
教学目标
3 教学目标
1．借助实物演示，经历从平面图形面积研究推广到空间几何体体积研究的探究过程，发现、归纳出祖暅原理，增强类比分析、归纳概括能力，提升数学抽象素养，激发学生探究数学的兴趣；
2．运用祖暅原理推导柱体、锥体体积公式，经历从特殊到一般的数学归纳演绎过程，认识柱体、锥体的体积公式，体会转化与化归思想，提升直观想象、逻辑推理素养；
第一环节
第二环节
第三环节
第四环节
第五环节
提出问题引入新课
创设情境观察归纳
应用原理探究体积
学以致用探索发现
归纳小结巩固提高
5 教学过程
5 教学过程 ⑤归纳小结巩固提高
1、祖暅原理使用的条件，主要作用； 2、应用祖暅原理推导柱体、锥体的体积公式； 3、应用祖暅原理体现的数学思想：构造转化
普通高中教科书（人教A版）数学必修第二册第八章
祖暅原理与柱体、锥体的体积
说课流程
教材分析
教学目标
教学过程
设计理念
1
2
3
4
5
6
7
学情分析
教法学法
教学评价
1Part one

人教A版高中数学必修2《一章空间几何体探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_6

思考我们怎样求一个小球的体积？
排水法
V V 球
排开水
H h
如何求地球的体积呢？
祖暅原理
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
幂势即同, 积不容异
思考:利用此原理如何得到球的体积公式?
高与底面半径均为R的旋转体体积对比
3
2
答：球O的体积为 3 a3.
2
D A
D1 A1
D A
D1 A1
C B
O C1
B1
C B O
C1
B1
深入探究
若正方体的棱长为a，则
a
3a
2a
D A
C
D
D
B
A
CA
B
D1 A1
C1 A1 B1
D1 B1
C1
D1
ห้องสมุดไป่ตู้
A1
C B
C1 B1
学以致用
已知地球的赤道长40075.24千米，能否求出地球的体积？(假设地球是一个标准的球体）
3
球的体积计算公式：
V球

4
3
R3
实验
V半球 V圆柱 V圆锥
2 R3
3
结论
A
R
O
半径为R的球的体积是
V 4 R3
3
例题讲解
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求球的体积与圆柱体积之比.
分析：球内切于圆柱
解：设球的半径为R
V球 V圆柱

4 R3
3
R2 2R

2 3