线性代数第7章线性代数在经济学中的应用

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Dn 1 s1 sn bn 1 Dn n n i s1 sn bn 1 s1 si 1bi i 1
n

n 1
s1 si 1bi
i 1
n 1
n 1i
.
即等式对于n+1也成立,根据数学归纳法,等式对 于任意自然数成立. n n s1 si 1bi n n i n Dn ( ) s1 si 1bi (1 ) i
* T
(2)bi 0,并且至少有一个bi 0,
小于0 ; (3)如果至少两个顺次的bi 0, 则 lim
t
X (t )
0t
c * ,
5
其中常数c是与初始人口向量X (0)有关的常数.
证明中用到的知识：
1.重根 如果多项式 p( ) 在 0有重根,则 p(0 ) 0, p(0 ) 0. s p ( ) ( ) q( ), s 1. 证 0 p( ) s( 0 ) s 1 q( ) ( 0 ) s q( ), p(0 ) 0.
n 1 0
(2)设相邻两个bi不等于零时，我们证明莱斯利 矩阵的其他特征值的绝对值都小于 0 .
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设bk 0, bk 1 0.设 是和 0 不同的特征值.
Dn ( ) (1
n i 1
n
s1 si 1bi

i
) n (1 f ( )). 1. s1 si 1bi | i | | i 1
第七章 线性代数在经济学中的应用
§1 莱斯利人口模型 §2 列昂季耶夫投入产出分析
最后两次课的内容是复习内容.
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§1 莱斯利人口模型 一、莱斯利人口模型的建立 设妇女最大年龄为N,把年龄等分为n个年龄 段，第i个年龄段为
((i 1) N / n, iN / n ], i 1,2,, n.
n

i 1
n
s1 si 1bi

i 0
1.
i 1 n
n
s1 si 1bi

i
如果 | | 0 , 则 |
i 1 n
s1 si 1bi

i
n s1 si 1bi s1 si 1bi 1, 与 1矛盾 . i i | 0 | i 1 i 1
i 1 i 1

(1 f ( )).
n
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令
有一项非零 , f(x)是单调严格下降连续函数,并且 f ( ) ( x 0 ), f ( ) 0( x ).
i 1 i
f ( )
n
s1 si 1bi
,根据条件,求和号中至少
根据连续函数的中间值定理,存在唯一 0 0,使 得 f (0 ) 1, 即 Dn (0 ) 0. 0 是唯一正特征值. n Dn ( ) (1 f ( )),
*
根据这个定理,当t充分大时, X (t ) c0t * , X (t 1) c0t 1 * , X (t 1) 0 X (t ). 各年龄组人口按公比为0的等比数列变化.0称为稳定 人口增长率. 1 s1 x1 (t ) x (t ) 0 2 t c0 x (t ) s1s2 sm 1 m m 1 0 当t充分大时, *决定了各年龄组的人口比例. *称为稳 定年龄分布向量.
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. 如果 | | 0 , 0设


0
0 (cos i sin ),0 2 .
|
i 1 n
s1 si 1bi
i
s1 si 1bi || | i i 1 [0 (cos i sin )]
n
s1 sk 1bk s1 sk bk 1 | k k 1 | 0 (cos k i sin k ) 0 (cos( k 1) i sin( k 1) )
t 0 t 1 1
(3)设L可以对角化,即存在可逆矩阵P,使得
Pdiag(1, / ,
t 0 t 1 t 0 t 0 1
t n 1
/ ) P X (0)
t 0 1 1 * T
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X (t ) / Pdiag(1,0,0) P X (0)( t ). Pdiag(1,0,0) P X (0) ( ,0,,0)( c, c2 ,, cn ) c .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
> plot(x^3-x^2-x-1,x=-3..3,thickness=3);
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现在求属于 0 的特征向量. 0 代数重数为一， 故几何重数也为一,故矩阵 b b b b
s 1 0 0
0 1 2 n 1
0
s2 0
0 0 sn 1
b4 0 0 0
X (t 1) LX (t ).
4 3 b1s1 b2 2s1 s2 b3 s1 s2 b4 s3
X (t ) Lt X (0), t 1,2,. 此式称为莱斯利人口模型, X (0)为初始人口分布. 矩阵L称为莱斯利矩阵.

n b1 n 1 s1b2 n 2 s1 sn 2bn 1 s1 sn 1bn n s1 si 1bi n i .
n i 1
n=1时等式成立.设对于n等式成立.按最后一列 展开得到递推公式 Dn bn s1 sn 1 Dn 1
n 1 i n ,i k ,k 1

n
s1 si 1bi

i 0
1 i n

s1 si 1bi

i 0
1, 与
i 1
n
s1 si 1bi

i
1矛盾 .
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0 1 1 L P P , diag(0,1 ,, n 1 ), n 1 * | i | 0 , i 1,, n 1. P的第一列是 . X (t ) Lt X (0) P t P 1 X (0) Pdiag( , , n 1 ) P X (0)
时间以一个年龄段为单位，从而时间离散化 为 t 0,1,, 设在时段t, 第i个年龄段的人口数 为 xi (t ), i 1,, n 和 si , bi 0, si 0, i 1,, n. 第i个年龄段的生育率和存活率分别为 bi
2
bi , si , xi (0)(i 1,2,, n)均可以由统计资料获得. 定义向量
(cos i sin ) cos n i sin n .
n
2. 棣莫弗(De Moivre, A.)公式
r
cos

sin
3. 三角不等式 如果 z1 0, z2 0,
| z1 z2 || z1 | | z2 |,
等号成立的充分必要条件是存在 a 0, 使得
z1 az2 .
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部分证明 (1)
Dn | E L |
b1
s1 0 0
b2

0
bn 1 0 0 sn 1
bn 0 0
s2
b1 b2 s 0 1 0 s2 0 0
bn 1 bn 0 0 0 0 sn 1 0
0 0 0
n
的行向量组线性相关,但后n-1个行向量线性无关,第一个行 向量必定是后n-1个行向量线性组合
0 b1 s 1 0 0 0 b2 bn 2 0 0 0 0 0 sn 2 0 0 bn 1 0 0 bn 0 0 0 s1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11
>
L:=matrix([[b1,b2,b3,b4],[s1 ,0,0,0],[0,s2,0,0],[0,0,s3,0]]); det(lambda*diag(1,1,1,1)-L);
则等式 I 写作 递推得
b1 s1 L := 0 0
b2 0 s2 0
b3 0 0 s3
X (t ) ( x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )) ,
T
这是在第t个时间段各年龄组的人口分布数.根据si , bi , xi (t )的意义有等式
(I)
x1 (t 1) bi xi (t ),
i 1
n
xi 1 (t 1) sixi (t ), i 1,2,, n 1.
n 1 n Dn ( ) n (1 f ( )) f ( ),
f ( )
i 1
n
is1 si 1bi

i 1
,
(0 ) 0.0 是单根. 9 1 f (0 ) 0, f (0 ) 0 Dn
1 1 f := x 2 x x
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/ s1 sn 2 sn 1 , x1 1, x1 x s / , n 2 x 2 0 / s2 sn 2 sn 1 , 2 1 0 2 x3 s1s2 / 0 , x / s , n 1 0 n 1 n 1 x 1. x s s / . n n 1 n 1 0
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二、莱斯利矩阵的特征值和特征向量
定理 如果 (1) si 0, i 1,2,, n 1; 则 1 矩阵L有唯一单重正特征值0 , 属于0的正特征向量是 s1 s1s2 s1s2 sn 1 1, , 2 ,, ; n 1 0 0 0 2 如果至少两个顺次的bi 0, 则L的其他特征值的绝对值
第一个等式表示, 在第t 1个时间段, 第一个年龄组的人口 等于前一个时间段生育婴儿的总和(其中已经扣除了存活 不到下一个时间段的那些婴儿), 第二个等式表示时间段t 存活到下一时间段的第i 1年龄组的人口数.
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记非负矩阵 b1 b2 s 0 1 L 0 s2 0 0 bn 1 bn 0 0 0 0 , sn 1 0
0
sn 1
0 sn 2 0
0
sn 1
取自由未知量 xn=1,得
0 0 0 0 0 s 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 sn 2 0 0 0 0 0 s n 1 0 xn 1 0 / sn 1 , x1 1, 2 xn 2 0 / sn 1sn 2 , x2 s1 / 0 , , x n 2 / s s , x s s / n 2 , 0 n 1 2 n 2 0 2 n 1 1 n 1 n 1 x / s s . x s s / 1 n 1 0 n 1 1 n 1 0 .