高中数学人教a版必修4模块综合检测(三) word版含解析
2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4习题：模块综合检测 Word版含答案
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C .a －b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，(a －b )·b ＝0， 所以a －b 与b 垂直．故选C .2．已知sin(π＋α)＝13，则cos 2α＝( )A ．79B ．89C ．－79D ．429解析：选A .由于sin(π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－132 ＝79.3．下列函数中同时满足最值是12，最小正周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A .由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A .4．已知平面对量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ．由于a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )， 所以1×m －2×(－2)＝0， 所以m ＝－4.所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．5．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A .22B ．32C . 2D ．2解析：选C .由于A ＋B ＋C ＝180°， 所以原式＝3sin A －cos(180°－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30°) ＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝2.6．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：选C .设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝0⇒a·b ＝－1⇒cos θ＝a·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ＝120°.故选C .7．已知α，β为锐角，且tan α＝17，sin β＝35，则α＋β等于( )A ．3π4B ．2π3C ．π4D ．π3解析：选C .由于β为锐角，sin β＝35，所以cos β＝1－sin 2β＝45，所以tan β＝sin βcos β＝34， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋341－17×34＝1.由于α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A .π12B ．π6C .π3D .5π6解析：选B ．y ＝f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m (m ＞0)个单位长度后得f (x ＋m )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3，由于图象关于y 轴对称，令x ＝0，得⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫m ＋π3＝2， 从而m ＋π3＝2k π±π2，故m ＝2k π＋π6或m ＝2k π－5π6，k ∈Z .又m ＞0，所以m min ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C .由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sinπ4x . 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋22.10．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( ) A ．φ B ．π2－φC .π2＋φ D .3π2－φ 解析：选D .|a |＝（2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2，|b |＝1，a·b ＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a |·|b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ.故选D .11．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A .152B ．152C ．7D ．18解析：选A .由于AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，所以|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2＝1236×()222－12×22×3×cos π4＋32＝152.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A .由于函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，排解C ，D ；y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，排解B ，故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12514．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________． 解析：由于∠ABO ＝90°，所以AB →⊥OB →，所以OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )， 所以(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. 所以t ＝5. 答案：515．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________． 解析：f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由于π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2， 所以1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案：116(2021·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出全部正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 解析：由于 AB →2＝4|a |2＝4，所以|a |＝1，故①正确；由于 BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以|BC →|＝|b |＝2，故②错误； 由于 b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；由于 BC →＝b ，故④正确；由于 (AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0， 所以(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确． 答案：①④⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点． (1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标． 解：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，由于P 在AB 上，所以BA →与P A →共线．BA →＝(4，2)，P A →＝(1－m ，－2－n )，所以4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.①又由于OP →⊥AB →，所以(m ，n )·(－4，－2)＝0. 所以2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，所以OP →＝(1，－2)．18．(本小题满分12分)已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解：(1)cos β＝55，β∈(0，π)， 得sin β＝255，即tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.(2)由于tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310. 所以f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x .所以f (x )的最大值为5.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)争辩f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由于f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 20．(本小题满分12分)(2021·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上全部点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)依据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)，知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由于y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)围着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．(1)求点A 的坐标；(2)若向量m ＝(sin 2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos 2x )，求函数f (x )＝m·n ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域． 解：(1)设射线y ＝17x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α，则tan α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以tan α＜tan π4，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17＋11－17×1＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝43，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45. (2)f (x )＝3sin θ·sin 2x ＋2cos θ·2cos 2x ＝125sin 2x ＋125cos 2x ＝1225sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－125，1225.22．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2，1)，n ＝()0，－5，且m ⊥(OA →－n )．(1)求向量OA →； (2)若cos(β－π)＝210，0＜β＜π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)由于OA →＝(cos α，sin α)， 所以OA →－n ＝()cos α，sin α＋5. 由于m ⊥(OA →－n )，所以m ·(OA →－n )＝0， 所以2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， 所以OA →＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)由于cos(β－π)＝210， 所以cos β＝－210， 又0＜β＜π， 所以sin β＝1－cos 2β＝7210，且π2＜β＜π. 又由于sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22.。
高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)
第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。
高中数学人教A必修4章末综合测评3 Word版含解析
章末综合测评(三)三角恒等变换(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．(·日照高一检测)已知(α＋β)＋(α－β)＝，则αβ的值为( )．．．．【解析】由题意得：αβ－αβ＋αβ＋αβ＝αβ＝，所以αβ＝.【答案】．已知(π＋α)＝，则α α)等于( )．．．－．－【解析】由(π＋α)＝，得α＝，∴α α)＝α α)＝α)＝.【答案】．(·重庆高考)若α＝，则＝( )【导学号：】．．．．【解析】∵＝＝，∴原式＝＝α(π)＋α(π) α(π)－α(π))＝α＋(π) α－(π)).又∵α＝，∴原式＝＝.【答案】．(·大连高一检测)°－ ° °)的值为( )．．．．【解析】原式＝° °)＝° °＋° °）－° °)＝° °)＝.【答案】．(·锦州高一检测)－等于( )．．．．－【解析】原式＝＝－＝＝.【答案】．已知函数＝(＋φ)的图象过点，则φ的值可以是( ) ．－．．－．【解析】由题得＝，即＝，＋φ＝π，∈，φ＝π－，∈，当＝时，φ＝－，故选．【答案】．若θ∈，θ－θ＝，则θ等于( )．．－．±．±【解析】由θ－θ＝两边平方得，θ＝，又θ∈，且θ> θ，所以<θ<，所以<θ<π，因此，θ＝－，故选．【答案】．已知＝，则的值为( )。
高中人教A版数学必修4：习题课(三) Word版含解析
一、选择题1．对于非零向量ab 下列说法不正确的是( )A ．若a ＝b 则|a |＝|b |B ．若a ∥b 则a ＝b 或a ＝－bC ．若a ⊥b 则a ·b ＝0D ．a ∥b 与ab 共线是等价的答案：B解析：根据平面向量的概念和性质可知a ∥b 只能保证a 与b 的方向相同或相反但模长不确定因此B 错误．2．设向量ab 满足|a ＋b |＝10|a －b |＝6则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5答案：A解析：将已知两式左右两边分别平方得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋2a ·b ＋b 2＝10a 2－2a ·b ＋b 2＝6两式相减并除以4可得a ·b ＝1 3．设xy ∈R 向量a ＝(x 1)b ＝(1y )c ＝(2－4)且a ⊥cb ∥c 则|a ＋b |等于( )A 5B 10C ．2 5D ．10答案：B解析：∵a ⊥c ∴2x －4＝0x ＝2又b ∥c ∴2y ＋4＝0∴y ＝－2∴a ＋b ＝(x ＋11＋y )＝(3－1)． ∴|a ＋b |＝10 4．对于非零向量αβ定义一种向量积：α°β＝α·ββ·β已知非零向量ab 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2且a °bb °a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫ ⎪⎪n 2n ∈N 中则a °b ＝( ) A 52或32 B 12或32C ．1D 12答案：D解析：a °b ＝a ·b b ·b ＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |＝n 2n ∈N ①同理可得b °a ＝b ·a a ·a ＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |＝m 2m ∈N ②再由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2可得cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12①②两式相乘得cos 2θ＝mn 4mn ∈N ∴m ＝n ＝1∴a °b ＝n 2＝12选D 二、填空题7．若向量OA →＝(1－3)|OB →|＝|OA →|OA →·OB →＝0则|AB →|＝________答案：2 5解析：因为|AB →|2＝|OB →－OA →|2＝|OB →|2＋|OA →|2－2OA →·OB →＝10＋10－0＝20所以|AB →|＝20＝2 58．已知向量ab 满足|a |＝1|b |＝3a ＋b ＝(31)则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是________．答案：2π3解析：因为|a －b |2＋|a ＋b |2＝2|a |2＋2|b |2所以|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2－|a ＋b |2＝2＋6－4＝4故|a －b |＝2因此cos 〈a －ba ＋b 〉＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1－34＝－12故所求夹角是2π3 9．设正三角形ABC 的面积为2边ABAC 的中点分别为DEM 为线段DE 上的动点则MB →·MC →＋BC →2的最小值为________． 答案：532 解析：设正三角形ABC 的边长为2a 因为正三角形ABC 的面积为2所以a 2＝233设MD ＝x (0≤x ≤a )则ME ＝a －xMB →·MC →＋BC →2＝(MD →＋DB →)·(ME →＋EC →)＋BC →2＝MD →·ME →＋MD →·EC →＋DB →·ME →＋DB →·EC →＋BC →2＝－x (a －x )＋xa cos120°＋(a －x )a cos120°＋a 2cos60°＋4a 2＝x 2－ax ＋4a 2当x ＝a 2时MB →·MC →＋BC →2取得最小值⎝⎛⎭⎫a 22－a ×a 2＋4a 2＝154a 2＝532三、解答题10．已知|a |＝4|b |＝8a 与b 的夹角是120°(1)求a ·b 及|a ＋b |的值；(2)当k 为何值时(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－16|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b＝4 3(2)由题意知(a ＋2b )·(k a －b )＝k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0即16k －16(2k －1)－2×64＝0解得k ＝－711．如图在△OAB 中P 为线段AB 上一点且OP →＝xOA →＋yOB →(1)若AP →＝PB →求xy 的值；(2)若AP →＝3PB →|OA →|＝4|OB →|＝2且OA →与OB →的夹角为60°求OP →·AB →的值．解：(1)若AP →＝PB →则OP →＝12OA →＋12OB → 故x ＝y ＝12(2)若AP →＝3PB →则OP →＝14OA →＋34OB → OP →·AB →＝错误!·(错误!－错误!)＝－14OA →2－12OA →·OB →＋34OB →2 ＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22 ＝－3能力提升12．已知A (10)B (5－2)C (84)D (46)那么四边形ABCD 为( )A ．正方形B ．菱形C ．梯形D ．矩形答案：D解析：AB →＝(4－2)BC →＝(36)．AB →·BC →＝4×3＋(－2)×6＝0故AB →⊥BC →又DC →＝(4－2)故 AB →＝DC →又|AB →|＝20＝2 5|BC →|＝45＝3 5故|AB →|≠|BC →|所以四边形ABCD 为矩形．13．在平面直角坐标系中已知三点A (40)B (t 2)C (6t )t ∈R O 为坐标原点．(1)若△ABC 是直角三角形求t 的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形求|OD →|的最小值．解：(1)由题意得AB →＝(t －42)AC →＝(2t )BC →＝(6－tt －2)若∠A ＝90°则AB →·AC →＝0即2(t －4)＋2t ＝0∴t ＝2；若∠B ＝90°则AB →·BC →＝0即(t －4)(6－t )＋2(t －2)＝0∴t ＝6±22；若∠C ＝90°则AC →·BC →＝0即2(6－t )＋t (t －2)＝0无解∴满足条件的t 的值为2或6±2 2(2)若四边形ABCD 是平行四边形则AD →＝BC →设点D 的坐标为(xy )即(x －4y )＝(6－tt －2)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－t y ＝t －2即D (10－tt －2) ∴|OD →|＝(10－t )2＋(t －2)2＝2t 2－24t ＋104∴当t ＝6时|OD →|取得最小值4 2。
2018秋新版高中数学人教A版必修4习题：模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若sinα2=√33,则cos α=()A.−23B.−13C.13D.23解析:cosα=1-2sin2α2=1−2×(√33)2=13.故选C.答案:C2若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:由已知得tanα>0,sinα<0,∴α是第三象限角.答案:C3函数f(x)=si n(2x+π3)的图象的对称轴方程可以为()A.x=π12B.x=5π12C.x=π3D.x=π6解析:由2x+π3=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+π12(k∈Z).当k=0时,x=π12 .答案:A4已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.5π6解析:因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0, 即2|a|2+a·b=0.设a与b的夹角为θ,则有2|a |2+|a ||b |cos θ=0.又|b |=4|a |,所以2|a |2+4|a |2cos θ=0,则cos θ=−12,从而θ=2π3. 答案:C5已知a =(1,12),b =(1,-12),c=a +k b ,d=a-b ,c 与d 的夹角是π4,则k 的值为( ) A.−13B.−3C.-3或−13D.−1解析:c =(1,12)+(k ,-12k)=(1+k ,12-12k),d =(0,1). co s π4=12-12k √(1+k )+14(1-k ),解得k=-3或−13.答案:C6将函数y =√3cos x +sin x(x ∈R )的图象向左平移m (m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A .π12B.π6C .π3D.5π6解析:y =√3cos x+sin x=2co s (x -π6),向左平移m (m>0)个单位长度后得到函数y=2co s (x +m -π6)的图象.由于该图象关于y 轴对称,所以m −π6=kπ(k ∈Z ),即m=k π+π6,故当k=0时,m 取得最小值π6.答案:B7对任意平面向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是( )A.|a ·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b )2=|a+b|2D.(a+b )·(a-b )=a 2-b 2。
高中人教A版数学必修4：模块综合测试卷Word版含解析
2
3
A. 3π B. 4π
5 C.6π D ．π
答案： A
解析： 设该弦 AB 所对的圆心角为 α，由已知 R＝ 1， AB
∴ sinα＝ 2 ＝ 2R
3，∴ 2
α＝ 2
π，∴ 3
α＝
2 3π，∴
l＝
αＲ＝
2 3π．
2．－ 3290 °角是 ( )
A ．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角 答案： D
9． y＝2cos
π－ 2x 4
的单调减区间是
(
)
A. kπ＋ π8， kπ＋58π(k∈ Z )
B.
－
3 8π＋
kπ，
π8＋
kπ(
k∈
Z
)
C.
π＋ 8
2kπ，
58π＋
2kπ
(
k∈
Z
)
D.
－
3 8π＋
2kπ，π8＋
2kπ
(
k∈
Z
)
答案： A
解析：
y＝ 2cos
π4－ 2x
＝ 2cos
2x－
π 4 .由
0，
π 4
，
∴ cos
β－
π 4
＝
45，
于是
sin2
β－π4 ＝ 2sin
π β－ 4 cos
β－
π 4
＝
24 25.
又
sin2
π β－ 4 ＝－
cos2β，∴
cos2β＝－
24 25
.
又 2β∈
π， 2
π
，∴
sin2
β＝
275，又
2019版高中数学人教A版必修4：模块综合检测 含解析
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.cos 660°等于()A.-B.-C.D.解析:cos 660°=cos(-60°+2×360°)=cos(-60°)=cos 60°=,故选C.答案:C2.若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:由已知得tan α>0,sin α<0,∴α是第三象限角.答案:C3.若一工件是扇形,其圆心角的弧度数为2,且该扇形弧所对的弦长也是2,则这个工件的面积为()A. B. C. D.解析:由题意,得扇形的半径为.又由扇形的面积公式,得该扇形的面积为×2×.答案:A4.已知△ABC的边BC上有一点D满足=2,则可表示为()A. B.C. D.解析:由题得)=.答案:C5.已知a=,b=-,c=a+k b,d=a-b,c与d的夹角是,则k的值为()A.-B.-3C.-3或-D.-1解析:c=--,d=(0,1).,cos--解得k=-3或-.答案:C6.将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A. B.C. D.解析:y=cos x+sin x=2cos-,向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=2cos-的图象.因为该图象关于y轴对称,所以m-=kπ(k∈Z),即m=kπ+,故当k=0时,m取得最小值.答案:B7.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2解析:当a与b为非零向量且反向时,B显然错误.答案:B8.已知函数y=A sin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是()A.y=4sinB.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2得A=2,m=2.解析:由-又∵T=,∴ω==4,∴ωx+φ=4x+φ.∵x=是其图象的一条对称轴,∴π+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-π.当k=1时,φ=,∴y=2sin+2.答案:D9.已知向量=(2,0),=(0,2),=(cos θ,sin θ),则||的取值范围是()A.[1,2]B.[2,4]C.[2-1,2+1]D.[2,2+1]解析:由题意知,=(2-cos θ,-2-sin θ),所以||=---=-=-∈[-],即||∈[2-1,2+1].答案:C10.已知函数f(x)=A sin,x∈R,A>0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P 的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,则A=()A. B.2C.1D.2解析:函数f(x)的周期为T==6,∴Q(4,-A).又∠PRQ=,∴直线RQ的倾斜角为,∴=-,A=.-答案:A11.若动直线x=a与函数y=sin-和y=sin的图象分别交于M,N两点,则|MN|的最大值为()A.1B.C. D.2解析:|MN|=--=---=|cos 2a|≤.答案:C12.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)=()A.-B.C.-D.解析:因为α∈,所以2α∈(0,π).因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,所以sin 2α=-.又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以sin(α+β)=-,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=--.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为.解析:设扇形的弧长为l cm,半径为r cm,则l=2r.又l+2r=8,∴2r+2r=8,即r=2(cm).∴扇形的面积S=lr=×4×2=4(cm2).答案:4 cm214.函数y=3-的定义域为.解析:由2cos≥0,得2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).答案:-(k∈Z)15.已知非零实数a,b满足关系式-=tan ,则的值是.解析:由题可得-=tan=tan =tan,其中sin θ=,cos θ=,所以θ=+kπ,k∈Z,所以=tan θ=tan=tan .答案:16.已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=.解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象.A,B为符合条件的两交点.则A,B--,由|AB|=2,得=2,解得=2,即ω=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin+sin-.(1)求sin α的值;(2)求---的值.解:(1)∵sin+sin-, ∴sin α=.∴sin α=.(2)∵---=--=--,∴原式=.18.(12分)已知电流I与时间t的关系式为I=A sin(ωt+φ).(1)如图是I=A sin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=A sin(ωt+φ)的解析式;(2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值,那么ω的最小正整数值是多少? 解:(1)因为周期T=2×--,ω==150π.又A=300,所以I=300sin(150πt+φ).将点-的坐标代入上式,得sin-=0.因为|φ|<,所以φ-=0,φ=,即所求的解析式为I=300sin.(2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值,那么必须满足,即ω≥300π≈942,所以ω的最小正整数值是943.19.(12分)设在平面上有两个向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=,a与b不共线.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.(1)证明由已知得|a|==1,|b|==1,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b垂直.(2)解由|a+b|=|a-b|两边平方,得3|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+3|b|2,∴2(|a|2-|b|2)+4a·b=0.而|a|=|b|,∴a·b=0.∴cos 2α+sin 2α=0,即sin=0,∴2α+=kπ(k∈Z).又0≤α<π,∴α=或α=.20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.解:由已知得cos α=,cos β=.∵α,β为锐角,∴sin α=-,sin β=-.∴tan α=7,tan β=.=-3.(1)tan(α+β)=--(2)∵tan 2β=,--∴tan(α+2β)==-1.--∵α,β为锐角,∴0<α+2β<.∴α+2β=.21.(12分)已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.(1)若||=||,求角α的值;(2)若=-1,求的值.解:(1)∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),∴||=--,||=--.由||=||,得sin α=cos α.又∵α∈,∴α=.(2)由=-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1.∴sin α+cos α=.①又=2sin αcos α.由①式两边平方,得1+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=-.∴=-.22.(12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C.(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.解:(1)连接OA,设∠AOB=α,则OB=cos α,AB=sin α.∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.∴S=sin 2α.由于0<α<,∴当2α=,即α=时,S最大=.∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.在Rt△ABH中,=tan 60°=,∴BH=sin α.∴OB=OH-BH=cos α-sin α.设平行四边形ABOC的面积为S,则S=OB·AH=-sin α=sin αcos α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)=sin 2α+cos 2α-==sin.由于0<α<,∴当2α+,即α=时,S最大=.∴当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.。
高中数学模块综合测评含解析新人教A版必修4
模块综合测评(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若cos α＝13,则cos 2α＝( )A.429B ．－429C.79D ．－79D [cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79,故选D.]2．已知扇形的圆心角为2π3弧度,半径为2,则扇形的面积是( )A.8π3B.43 C ．2πD.4π3D [扇形的面积S ＝12×2π3×22＝4π3.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12的值等于( ) A.13 B.223C ．－13D ．－223C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝－13,故选C.] 4．设向量a ＝(2tan α,tan β),向量b ＝(4,－3),且a ＋b ＝0,则tan(α＋β)＝( ) A.17 B ．－15C.15D ．－17A [∵a ＋b ＝(2tan α＋4,tan β－3)＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧2tan α＋4＝0，tan β－3＝0，∴tan α＝－2,tan β＝3,∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋31－－2×3＝17.]5．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ,g (x )＝2cos x ,动直线x ＝t 与f (x )和g (x )的图象分别交于A ,B 两点,则|AB |的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0,2]D ．[1,2]B [题意得|AB |＝|f (t )－g (t )|＝|sin t －cos t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4∈[0,2]．故选B.]6．已知tan θ2＝23,则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ的值为( )A.23 B ．－23C.32D ．－32A [1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝tan θ2＝23.]7．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象,只要把函数y ＝2cos 2x 图象上所有的点( )A ．向左平行移动π8个单位长度B ．向右平行移动π8个单位C.向左平行移动π4个单位长度D ．向右平行移动π4个单位B [只要把函数y ＝ 2 cos 2x 图象上所有的点,向右平行移动π8个单位,可得函数y ＝ 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象, 故选B.]8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜π2,x ∈R )在一个周期内的图象如图所示,则y ＝f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4 B ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋π3 C.f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4 D ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x －π3B [由图象知函数的最大值为A ＝4,T 4＝π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝3π8.即T ＝3π2＝2πω,即ω＝43,即f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋φ, 由五点对应法得43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0,得φ＝π3,得f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋π3,故选B.]9．已知f (x )＝1＋sin 2x2,若a ＝f (lg 5),b ＝f (lg 0.2),则下列正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1C [∵b ＝f (lg 0.2)＝f (－lg 5),∴f (x )＋f (－x )＝1＋sin 2x 2＋1＋sin －2x2＝1,∴a ＋b ＝f (lg 5)＋f (－lg 5)＝1.]10．如图,设P 为△ABC 内一点,且AP →＝14AB →＋15AC →,BM →＝34BA →,CN →＝45CA →,则△PMB 的面积与△ABC 的面积之比等于( )A ．1∶5B ．2∶5C ．3∶20D ．7∶20C [由题可知AM →＝14AB →,AN →＝15AC →,则AP →＝AM →＋AN →,由平行四边形法则可知NP →∥AB →,AN →∥MP →,所以S △PMB S △ABC ＝|PM →|·|MB →||AB →|·|AC →|＝15×34＝320.]11．函数f (x )＝cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的一个单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π A [函数f (x )＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3,令－π2＋2k π≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z ),解得－5π6＋2k π≤x ≤2k π＋π6,当k ＝0时,函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6.故选A.]12．在△ABC 中,A ,B ,C 是其三个内角,设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ,当f (B )－m ＜2恒成立时,实数m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－3C ．m ＜3D ．m ＞1D [f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1. ∵f (B )－m ＜2恒成立, ∴2sin B ＋1－m ＜2恒成立, 即m ＞2sin B －1恒成立． ∵0＜B ＜π, ∴0＜sin B ≤1,∴－1＜2sin B －1≤1,故m ＞1.]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13．已知OA →＝(－2,1), OB →＝(0,2),且AC →∥OB →,BC →⊥AB →,则点C 的坐标是 ． (－2,6) [设C (x ,y ),则AC →＝(x ＋2,y －1),B C →＝(x ,y －2),AB →＝(2,1)．由AC →∥OB →,BC →⊥AB →,得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴点C 的坐标为(－2,6)．]14．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变),则所得的图象的函数解析式为 ．y ＝sin 4x [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ,再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得y ＝sin 4x .]15．设α是第二象限角,P (x,4)为其终边上一点,且cos α＝x5,则tan 2α＝ .247[因为α是第二象限角,P (x,4)为其终边上的一点,所以x ＜0, 因为cos α＝x 5＝xx 2＋16,所以x ＝－3,所以tan α＝y x ＝－43,所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 16．如图,在等腰△ABC 中,D 为底边BC 的中点,E 为AD 的中点,直线BE 与边AC 交于点F ,若AD ＝BC ＝4,则AB →·CF →＝ .－8 [以点D 为原点,以BC 为x 轴建立平面直角坐标系；则A (0,4),B (－2,0),C (2,0),E (0,2),直线AC 的方程为2x ＋y －4＝0； 直线BE 的方程为x －y ＋2＝0；由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0x －y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝83,向量AB →＝(－2,－4),CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，83,则AB →·CF →＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4×83＝－8, 所以AB →·CF →＝－8.]三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＋π·tan α－πcos 3π－α的值．[解] (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1, ∴点P 在单位圆上,由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α.由(1)知,P 在单位圆上,∴由余弦函数定义得cos α＝45,∴原式＝54.18．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α,sin α),b ＝(1,2sin α－1),α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,a·b ＝25,求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2.[解] ∵a·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25,∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π,∴cos α＝－45, ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425,∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22cos α－sin α1＋cos α＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－351－45＝－10 2.19．(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,已知AB ＝2,AC ＝6,∠BAC ＝60°,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且AB →＝2AD →,AC →＝5AE →.(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →,求证：点F 为DE 的中点；(2)在(1)的条件下,求BA →·EF →的值． [解] (1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →,所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →,又AB →＝2AD →,AC →＝5AE →,所以AF →＝12AD →＋12AE →,所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →),因为AB →＝2AD →,AC →＝5AE →, 所以EF →＝14AB →－110AC →,所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC →＝－14AB 2→＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos 60°＝－25.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 4x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋cos 2x －sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在所给坐标系中画出函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π，118π的图象(只作图不写过程)．[解] f (x )＝1－2sin 22x －1－2sin 2x＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π,令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2,k ∈Z ,则2k π＋π4≤2x ≤2k π＋5π4,k ∈Z ,故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (2)图象如下：21．(本小题满分12分)如图,已知OP →＝(2,1),OA →＝(1,7),OB →＝(5,1),设Z 是直线OP 上的一动点．(1)求使ZA →·ZB →取最小值时的OZ →；(2)对(1)中求出的点Z ,求cos∠AZB 的值． [解] (1)∵Z 是直线OP 上的一点, ∴OZ →∥OP →.设实数t ,使OZ →＝tOP →, ∴OZ →＝t (2,1)＝(2t ,t ), 则ZA →＝OA →－OZ →＝(1,7)－(2t ,t ) ＝(1－2t,7－t ),ZB →＝OB →－OZ →＝(5,1)－(2t ,t )＝(5－2t,1－t ),∴ZA →·ZB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8. 当t ＝2时,ZA →·ZB →有最小值－8, 此时OZ →＝(2t ,t )＝(4,2)．(2)当t ＝2时,ZA →＝(1－2t,7－t )＝(－3,5), |ZA →|＝34,ZB →＝(5－2t,1－t )＝(1,－1),|ZB →|＝ 2. 故cos∠AZB ＝ZA →·ZB→|ZA →||ZB →|＝－834×2＝－417＝－41717.22．(本小题满分12分)(2019·钦州高一期末)已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有两个不相等的实数根,求m 的取值范围．[解] (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3, 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2,k ∈Z ,得k π－π12≤x ≤k π＋5π12,k ∈Z ,即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12,k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2,所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3,设X ＝2x －π3,则X ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3,f (x )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有两个不相等的实数根,即g (X )＝2sin X ＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上有两个不相等的实数根,由图象知g ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin 2π3＝2×32＝3,则要使g (X )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上有两个不相等的实数根,则3≤m＜2,即实数m的取值范围是[3,2)．- 11 -。
高中人教A版数学必修4：模块综合测试卷 Word版含解析
模块综合测试卷班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．－3290°角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案：D解析：－3290°＝－360°×10＋310°∵310°是第四象限角∴－3290°是第四象限角2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的弧长l 为( )A.23πB.34π C.56π D ．π 答案：A解析：设该弦AB 所对的圆心角为α，由已知R ＝1，∴sin α2＝AB 2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l ＝αR ＝23π. 3．下列函数中周期为π2的偶函数是( ) A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos 22x －sin 22xC ．y ＝tan2xD ．y ＝cos2x答案：B解析：A 中函数的周期T ＝2π4＝π2，是奇函数．B 可化为y ＝cos4x ，其周期为T ＝2π4＝π2，是偶函数．C 中T ＝π2，是奇函数，D 中T ＝2π2＝π，是偶函数．故选B. 4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2答案：A解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3. 5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD是( )A ．长方形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形答案：D解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →，且|AD →|≠|BC →|∴四边形ABCD 是梯形．6．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[2，2]答案：D解析：|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos θ，因为θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，所以2＋2cos θ∈[2,4]，所以|a ＋b |的取值范围是[2，2]．7．已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A ．－17B ．7 C.17D ．－7 答案：B解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，tan α＝－34， tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝7. 8．函数f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪x －π2的部分图象是( )答案：C解析：∵f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪x －π2， ∴f (π－x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪π－x －π2＝2sin ⎪⎪⎪⎪π2－x ＝f (x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．排除A 、B 、D. 9．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－38π＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π8＋2k π，58π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－38π＋2k π，π8＋2k π(k ∈Z ) 答案：A解析：y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z ) 得π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z )时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4单调递减．故选A. 10．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案：A解析：因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T 2，即T 2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为直线x ＝π4是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z .因为0<φ<π，所以φ＝π4，检验知，此时直线x ＝5π4也为对称轴．故选A. 11．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a ＋b |的最小值为( ) A.2－1 B ．2－ 2C. 2 D ．2答案：C解析：|a ＋b |＝2(x 2＋2x ＋2)≥ 2.12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33C.539 D ．－69答案：C解析：∵α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin ⎝⎛⎭⎫π4＋β2＝13×33＋223×63＝3＋439＝539. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为π6，则a 在b 方向上的投影为__________． 答案：2 3解析：由投影公式计算：|a |cos π6＝2 3. 14．函数y ＝2sin x cos x －1，x ∈R 的值域是______．答案：[－2,0]解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ，∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]． 15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 解析：由f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，则f (x )的最小值为3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3， 所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3.16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)①若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值是43②函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2x 的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) ③函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x是奇函数 ④函数y ＝tan x 2－1sin x的最小正周期是π 答案：①④解析：①sin y －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，∴sin x ＝－1时，最大值为43. ②2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8. ③定义域不关于原点对称．④y ＝tan x 2－1sin x ＝－1tan x，∴T ＝π. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值． 解：∵tan α＝y x ＝－34∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34. 18．(12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0.(1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋tan A ·sin x (x ∈R )的值域．解：(1)∵m ·n ＝0，∴sin A －2cos A ＝0.∴tan A ＝sin A cos A＝2. (2)f (x )＝cos2x ＋tan A sin x ＝cos2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32. ∵－1≤sin x ≤1∴sin x ＝12时，f (x )取最大值32， sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3，∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32. 19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝2 5，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )．∵|c |＝2 5，∴x 2＋y 2＝2 5，即x 2＋y 2＝20.①∵c ∥a ，a ＝(1,2)∵2x －y ＝0，即y ＝2x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4， ∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入上式得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－525×52＝－1. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.20．(12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－sin 2x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)若对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，都有f (x )≤c ，求实数c 的取值范围． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π12＝cos 2⎝⎛⎭⎫－π12－sin 2π12＝cos π6＝32. (2)f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－12(1－cos2x ) ＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos2x ＝12⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋32cos2x ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， 所以当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值32. 所以对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (x )≤c 等价于32≤c . 故当对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (x )≤c 时，c 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 21．(12分)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值． 解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45. 又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan2α＝sin2αcos2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425.又sin2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin2β＝725，又cos 2α＝1＋cos2α2＝45， ∴cos α＝25，∴sin α＝15⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525. 22．(12分)如图，点P ⎝⎛⎭⎫0，A 2是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋φ(其中A >0，φ∈[0，π))的图象与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．解：(1)∵函数经过点P ⎝⎛⎭⎫0，A 2，∴sin φ＝12， 又∵φ∈[0，π)，且点P 在递增区间上，∴φ＝π6. (2)由(1)可知y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6.令y ＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π，(k ∈Z )，∴可得x ＝－14，54， ∴Q ⎝⎛⎭⎫－14，0，R ⎝⎛⎭⎫54，0. 又∵P ⎝⎛⎭⎫0，A 2，∴PQ →＝⎝⎛⎭⎫－14，－A 2，PR →＝⎝⎛⎭⎫54，－A 2. ∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，解得A ＝52.。
人教A版高中数学必修4：模块综合检测Word版含解析
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中最值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.2．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD 等于 ( )A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM解析：选D 依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA ＋OC ＝2OM ，OB ＋OD ＝2OM ，所以OA ＋OC ＋OB ＋OD ＝4OM ，故选D.3．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．4．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( ) A.225B ．－25C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又0°<θ<180°，所以θ＝120°.6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0成中心对称( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0，其中离⎝⎛⎭⎫－π12，0最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位长度即可． 7．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )A ．2B ．2＋2C ．2＋2 2D ．－2－22解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而ƒ(x )＝2sin π4x .∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.8．如图，在四边形ABCD 中，|AB |＋|BD |＋|DC |＝4，|AB |·|BD |＋|BD |·|DC |＝4，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0，则(AB ＋DC )·AC 的值为( )A ．4B ．2C ．4 2D ．22解析：选A ∵AC ＝AB ＋BD ＋DC ，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0， ∴(AB ＋DC )·AC＝(AB ＋DC )·(AB ＋BD ＋DC )＝AB 2＋AB ·BD ＋AB ·DC ＋DC ·AB ＋DC ·BD ＋DC 2＝AB 2＋2AB ·DC ＋DC 2.∵AB ·BD ＝0，BD ·DC ＝0，∴AB ⊥BD ，DC ⊥BD ，∴AB ∥DC ， ∴AB ·DC ＝|AB ||DC |， ∴原式＝(|AB |＋|DC |)2.设|AB |＋|DC |＝x ，则|BD |＝4－x ，|BD |·x ＝4， ∴x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2，∴原式＝4，故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∴OB ·AB ＝0. 又AB ＝OB －OA ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：510．已知ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________.解析：因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝22(sin α＋cos α)＝7210. 答案：721011．在△ABC 中，已知sin A ＝10sin B sin C ，cos A ＝10cos B · cos C ，则tan A ＝________，sin 2A ＝________.解析：由sin A ＝10sin B sin C ，cos A ＝10cos B cos C 得cos A －sin A ＝10cos(B ＋C )＝－10cos A ，所以sin A ＝11cos A ，所以tan A ＝11，sin 2A ＝2sin A cos A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 1＋tan 2A ＝1161. 答案：11116112．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＋1的最小正周期是________，振幅是________． 解析：f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以最小正周期为π，振幅为 2.答案：π213．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，且|2a －b |＝13，则|2a ＋b |＝________，向量a 在向量b 方向上的投影为________．解析：|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4×22－4a ·b ＋32＝13，解得a·b ＝3.因为|2a ＋b |2＝4a 2＋4a·b ＋b 2＝4×22＋4×3＋32＝37，所以|2a ＋b |＝37.向量a 在向量b 方向上的投影为a·b |b |＝33＝1.答案：37 114．已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，∠C ＝90°，则f (x )＝________，f ⎝⎛⎭⎫12＝________.解析：依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，AB ＝1，故M ＝12，函数f (x )的最小正周期是2，即2πω＝2，ω＝π，所以f (x )＝12cos(πx ＋φ)，又函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z.由0＜φ＜π，得φ＝π2，故f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝－12sin πx ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝－12sin π2＝－12. 答案：－12sin πx －1215．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12； ③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数． 其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°>30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确； 函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π， 所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确； 由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确． 答案：④三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ. 解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.17．(本小题满分15分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2. 解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22(cos α－sin α)1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.18．(本小题满分15分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求ƒ(x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图；解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表： x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－219．(本小题满分15分)已知向量OA ＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA －n )．(1)求向量OA ； (2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)∵OA ＝(cos α，sin α)， ∴OA －n ＝(cos α，sin α＋5)． ∵m ⊥(OA －n )，∴m ·(OA －n )＝0， ∴2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA ＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210.又0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22. 20．(本小题满分15分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最值． 解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT＝1. 又ƒ⎝⎛⎭⎫11π6＝0，得A sin ⎝⎛⎭⎫11π6＋φ＝0， ∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sin π6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝ 4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝4⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。
高中数学人教A版必修4模块综合检测(一) Word版含解析
模块综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．－1 120°角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D －1 120°＝－360°×4＋320°，－1 120°角所在象限与320°角所在象限相同．又320°角为第四象限角，故选D.2．(江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13. 3．(陕西高考)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0 解析：选C a ∥b 的充要条件的坐标表示为1×2－m 2＝0，∴m ＝±2，选C. 4.1－sin 20°＝( ) A ．cos 10° B ．sin 10°－cos 10° C.2sin 35°D ．±(sin 10°－cos 10°)解析：选C ∵1－sin 20°＝1－cos 70°＝2sin 235°， ∴1－sin 20°＝2sin 35°.5．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a·b ＝10，则|a －b |＝( ) A ．－10 B ．10C ．－ 5 D. 5解析：选D 因为a· b ＝10，所以x ＋8＝10，x ＝2，所以a －b ＝(－1，－2)，故|a －b |＝ 5.6．(2013·浙江高考)函数f (x )＝sin x cos x ＋32·cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1D ．2π，2解析：选A 由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32·cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1，故选A.7．已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z.取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.9．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34 D.14解析：选B a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋4cos α－3＝ 23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14.∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14，故选B. 10．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( ) A ．k π，(k ∈Z) B ．k π＋π6，(k ∈Z)C ．k π＋π3，(k ∈Z)D ．－k π－π3，(k ∈Z)解析：选D f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －θ＋π6.由函数为奇函数得－θ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得θ＝－k π－π3(k ∈Z)，故选D.11．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4-P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )A ．12P P u u u u r ·13PP u u u u r B ．12P P u u u u r ·14PP u u u u r C ．12P P u u u u r ·15PP u u u u r D ．12P P u u u u r ·16P P u u u u r 解析：选A 由于12P P u u u u r ⊥15P P u u u u r ，故其数量积是0，可排除C ；12P P u u u u r 与16P P u u u u r 的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则12P P u u u u r ·13P P u u u u r ＝|12P P u u u u r |·|13P P u u u u r |·cos 30°＝32a 2，12P P u u u u r ·14P P u u u u r ＝|12P P u u u u r |·|14P P u u u u r |·cos 60°＝a 2. 12．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b (a <0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a 、b 的值分别为( )A ．a ＝2，b ＝－5B ．a ＝－2，b ＝2C ．a ＝－2，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－2解析：选C f (x )＝－a (cos 2x ＋3sin 2x )＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b .又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. ∵－5≤f (x )≤1，a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝－5，－2a ＋2a ＋b ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．cos ⎝⎛⎭⎫－17π3＝________.解析：cos ⎝⎛⎭⎫－17π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝cos π3＝12. 答案：1214．(四川高考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB u u u r ＋AD u u u r＝λAO u u u r，则λ＝________.解析：AB u u u r ＋AD u u u r ＝AC u u ur ＝2AO u u u r ，故λ＝2.答案：215．(重庆高考)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA u u u r ＝(－3,1)，OB u u u r＝(－2，k )，则实数k ＝________.解析：因为AB u u u r ＝OB u u u r －OA u u u r ＝(1，k －1)，且OA u u u r ⊥AB u u u r ，所以OA u u u r ·AB u u u r＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.答案：416．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则y 的表达式为________．解析：由图象，知A ＝2，由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π6.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b|＝2，a 与b 的夹角为120°.求： (1)|a ＋b |及|a －b |；(2)向量a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a·b ＝|a||b |cos θ＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a ＋b |＝2，同理可求得|a －b |＝2 3.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝22－22＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin(2ωx ＋π6)＋a2＋b (x ∈R ，a >0，ω>0)的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω、a 、b 的值； (2)指出f (x )的单调递增区间．解：(1)由函数最小正周期为π，得2π2ω＝π，∴ω＝1，又f (x )的最大值是74，最小值是34，则⎩⎨⎧a ＋a 2＋b ＝74，－a ＋a 2＋b ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝12sin(2x ＋π6)＋54，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)时，f (x )单调递增，∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)．19．(本小题满分12分)(福建高考)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4 的值；(2)求函数f (x ) 的最小正周期及单调递增区间． 解：法一：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4 ＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，求d . 解：(1)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，且a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， ∴k ＝－1613.(2)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎨⎧x ＝4－55，y ＝1－255.∴d ＝20＋55，5＋255或d ＝20－55，5－255.21．(本小题满分12分)如图所示，是一个半径为10个长度单位的水轮，水轮的圆心离水面5 2 个长度单位．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P 到水面距离d 与时间t 满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为d －k b ＝sin(t －ha)．(1)求正弦曲线的振幅和周期；(2)如果从P 点在水中浮现时开始计算时间，写出其有关d 与t 的关系式； (3)在(2)的条件下，求P 首次到达最高点所用的时间． 解：(1)A ＝r ＝10.T ＝604＝15(s)．(2)由d －k b ＝sin t －h a ，得d ＝b sin t －h a ＋k . b ＝A ＝10，T ＝2π1a ＝2πa ＝15，∴a ＝152π.由于圆心离水面52个长度单位， ∴k ＝5 2.∴d ＝10sin 2π(t －h )15＋5 2.将t ＝0，d ＝0代入上式，得sin(2π15h )＝22，2π15h ＝π4，∴d ＝10sin(2π15t －π4)＋5 2.(3)P 到达最高点时d ＝10＋5 2.∴sin(2π15t －π4)＝1，得2π15t －π4＝π2，t ＝458(s)．即P 首次到达最高点所用时间为458s.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ， 所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1.。
高中数学人教A版必修4阶段质量检测(三) Word版含解析
阶段质量检测(三)(A 卷 学业水平达标)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．函数y ＝cos 2x ＋sin 2xcos 2x －sin 2x 的最小正周期为( )A ．2πB ．πC.π2D.π4 答案：C2．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210B ．－210 C.7210 D ．－7210答案：A3．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于( )A ．±55B ．±255C ．－55D ．－255答案：A4．设sin θ＝35，cos θ＝－45，则2θ的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D5．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)的值为( ) A.14 B.12 C ．4 D ．12 答案：C6．(湖北高考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案：B7．在△ABC 中，已知tan A ＋B 2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：C8．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72 答案：C9．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7 D ．－8答案：D10．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 3答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是________． 答案：15712．tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________. 答案： 313．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则 sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值为________． 答案：1214．已知(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，则sin 2x ＋2cos 2x1＋tan x 的值为________．答案：25三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )·cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数， 所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数， 又θ∈(0，π)，则θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )． 由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－sin2x ·(2cos 2x －1)＝－12sin 4x ，因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310. 16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos α＋π4·cos 2α，求cos α－sin α的值． 解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z.由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)， 得sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin α sin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时， 由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z. 此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0， 此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 17．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin x ＋2sin π4＋x2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2. (1)若f (α)＝22，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求α的值； (2)若sin x 2＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f (x )的值． 解：(1)f (x )＝sin x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2 ＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.由f (α)＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4. ∴α＋π4＝π6，∴α＝－π12.(2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 又∵sin x 2＝45，∴cos x 2＝35.∴sin x ＝2sin x 2cos x 2＝2425，cos x ＝－1－sin 2x ＝－725.∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2425－725＝1725.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值． 解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得 f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最小正周期为π.∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又∵f (x 0)＝65，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6. 从而cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6 ＝－45.∴cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6sin π6 ＝3－4310. (B 卷 能力素养提升) (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°的值为( ) A ．0 B.12C.32D ．－12解析：选B 因为cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°＝cos 24°sin 54°－sin 24°cos 54°＝sin(54°－24°)＝sin 30°＝12，故选B.2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1解析：选B 由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1. 3．下列各式中，值为－34的是( ) A ．2sin 15°cos 15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1 D.12－cos 215°解析：选D 用二倍角公式求解可知，只有D 的结果为－34. 4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.75 B.15 C ．－75D ．－15解析：选B 依题意可得cos α＝45，∴2cos α＋π4＝2·cos αcos π4－2sin αsin π4＝cos α－sinα＝45－35＝15.5．设tan(α＋β)＝5，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝4，那么tan α＋π4的值等于( ) A ．－919 B.121C.119D.921解析：选B tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)·tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝5－41＋5×4＝121. 6．在△ABC 中，若tan A tan B ＋tan A ＋tan B ＝1，则cos C 的值是( ) A ．－22 B.22C.12D ．－12解析：选A 由tan A tan B ＋tan A ＋tan B ＝1，得 tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝1.又tan(A ＋B )＝－tan C ，所以tan C ＝－1， 所以C ＝3π4，cos C ＝cos 3π4＝－22.7．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－ 2D ．－1解析：选D f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4.∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1. 8．已知α、β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，则α＋β的值是( ) A.3π4 B.π3 C.π4或3π4 D.π3或2π3解析：选A ∵α、β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15， ∴sin α＝1－cos 2α＝310，sin β＝1－cos 2β＝25. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝110×15－310×25＝－22.∵0<α＋β<π，∴α＋β＝3π4.9．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则此三角形为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B ∵sin B sin C ＝cos 2A2，∴sin B sin C ＝1＋cos A2，可得2sin B sin C ＝1＋cos [π－(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )．∴cos(B －C )＝1.又角B 、角C 为△ABC 的内角， ∴B －C ＝0，即B ＝C .故选B.10．已知函数f (x )＝sin 23x ＋cos ⎝⎛⎭⎫23x －π6，对任意实数α，β，当f (α)－f (β)取最大值时，|α－β|的最小值是( )A ．3π B.3π2C.4π3D.2π3解析：选B f (x )＝sin 23x ＋cos ⎝⎛⎭⎫23x －π6＝ sin 23x ＋sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6. 又当f (α)－f (β)取最大值时，|α－β|的最小值是函数f (x )的最小正周期的一半，而函数的最小正周期T ＝2π23＝3π，从而选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．函数f (x )＝2cos 2x2＋sin x 的最小正周期是________．解析：化简得f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴T ＝2π1＝2π.答案：2π12．已知sin α＝23，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－34，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos(α＋β)＝________. 解析：因为sin α＝23，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－53. 因为cos β＝－34，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 所以sin β＝－1－cos 2β＝－74. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34－23×⎝⎛⎭⎫－74＝35＋2712. 答案：35＋271213．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β＝________. 解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35， ∴cos α＝45，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.∵ α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0<α＋β<π，故α＋β＝π2. 答案：π214．cos 6·tan 6的符号为________(填“正”“负”或“不确定”)． 解析：∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos 6>0，tan 6<0，则cos 6·tan 6<0. 答案：负三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－2，求cos 3⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin 3π2－θ的值．解：cos 3⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin 3⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin 2x －2sin 2x . (1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，求f (x )的值域． 解：(1)因为点P (1，－3)在角α的终边上， 所以sin α＝－32，cos α＝12， 所以f (α)＝3sin 2α－2sin 2α＝23sin αcos α－2sin 2α ＝23×⎝⎛⎭⎫－32×12－2×⎝⎛⎭⎫－322＝－3. (2)f (x )＝3sin 2x －2sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以f (x )的值域是[－2,1]．17．(本小题满分12分)(广东高考)已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值． 解：(1)因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2，所以A cos ⎝⎛⎭⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，f ⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos α＝817；又因为f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因为β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385. 18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－1. (1)求φ的值；(2)若f (α)＝35，f ⎝⎛⎭⎫β＋π12＝513，且π6<α<π3，0<β<π4，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2β－π6的值． 解：(1)∵f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－1，∴2×5π6＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z. ∵|φ|<π2，∴φ＝－π6. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵π6<α<π3，0<β<π4， ∴2α－π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，2β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∵f (α)＝35，f ⎝⎛⎭⎫β＋π12＝513， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝35，sin 2β＝513， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝45，cos 2β＝1213， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2β－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＋2β＝cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6·cos 2β－sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6sin 2β＝3365.。
高中数学人教A版必修4模块综合检测(二) Word版含解析
模块综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(北京高考)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则 2a －b ＝( )A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9)解析：选A 因为a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，所以2a －b ＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)，故选A.2．点M (2，tan 300°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－3，∴M (2，－3)．故点M (2，tan 300°)位于第四象限．3．已知OA ＝(2,3)，OB ＝(－3，y )，且OA ⊥OB ，则y 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：选A ∵OA ⊥OB ，∴OA ·OB ＝－6＋3y ＝0，∴y ＝2. 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选D cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3. 5.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于( ) A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12解析：选B 2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 6．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3. 7．已知函数f (x )＝2sin x ，对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π解析：选C ∵f (x )＝2sin x 的周期为2π，∴|x 1－x 2|的最小值为π.8．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3 D.22 解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知a ∥b .所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x .而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1. 9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解析：选C 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图象；再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图象，所以所得函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 10．(山东高考)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6， －32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 11．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD |＝1，则AC ·AD ＝( )A ．2 3B ．3 3 C.32 D. 3 解析：选D 建系如图．设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC ＝(x C －x B ，y C )，BD ＝(－x B,1)．∵BC ＝ 3 BD ，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)x B ，y C ＝ 3.AC ＝((1－3)x B ，3)，AD ＝(0,1)，AC ·AD ＝ 3.12．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2解析：选A 由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.所以x －y ＝3. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(重庆高考)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b|＝10，向量a 与b的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10. 答案：1014．(江西高考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3.答案：315．(山东高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：y ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin2x ＋π6＋12，所以其最小正周期为2π2＝π. 答案：π16．化简：sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α ＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设a ＝(1＋cos x,1＋sin x )，b ＝(1,0)，c ＝(1,2)．(1)求证：(a －b )⊥(a －c )；(2)求|a |的最大值，并求此时x 的值．解：(1)证明：a －b ＝(cos x,1＋sin x )，a －c ＝(cos x ，sin x －1)，(a －b )·(a －c )＝(cos x,1＋sin x )·(cos x ，sin x －1)＝cos 2x ＋sin 2x －1＝0.∴(a －b )⊥(a －c )．(2)|a |＝ (1＋cos x )2＋(1＋sin x )2 ＝3＋2(sin x ＋cos x )＝ 3＋22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤ 3＋22＝2＋1.当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1，即x ＝π4＋2k π(k ∈Z)时，|a |有最大值2＋1.18．(本小题满分12分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin (α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α， 即x ＋y 1－xy＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2， 即f (x )＝x 1＋2x 2. 19．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－45，sin β－α2＝513，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值．解：∵π2＜α＜π，0＜β＜π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，β－α2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝35， cos ⎝⎛⎭⎫β－α2＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫β－α2＝1213. ∵⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2＝α＋β2， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫β－α2－sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝⎝⎛⎭⎫－45×1213－35×513＝－6365. 20．(本小题满分12分)(湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.21．(本小题满分12分)已知f (x )＝23cos 2x ＋sin 2x －3＋1(x ∈R)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，求f (x )的值域． 解：f (x )＝sin 2x ＋3(2cos 2x －1)＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2， 得2k π－5π6≤2x ≤2k π＋π6， ∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z)． ∴函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)． (3)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1. ∴f (x )∈[0,3]．22．(本小题满分12分)(陕西高考)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝12， ∴f (x )的最小值为－12. 因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.。
2020高中数学人教A版必修4模块综合检测(三) Word版含解析
模块综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B ∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0， ∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12. ∵m >0，∴m ＝12.2．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f (x )＝2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，g (x )＝sin2x＋π3，h (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的部分图象(如图)，则( ) A ．a 为f (x )，b 为g (x )，c 为h (x ) B ．a 为h (x )，b 为f (x )，c 为g (x ) C ．a 为g (x )，b 为f (x )，c 为h (x ) D ．a 为h (x )，b 为g (x )，c 为f (x )解析：选B 由于函数f (x )、g (x )、h (x )的最大值分别是2、1、1，因此结合图形可知，曲线b 为f (x )的图象；g (x )、h (x )的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a 、c 分别是h (x )、g (x )的图象．3．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC u u u r ＋CBu u u r＝0，则OC u u u r等于( )A ．2OA u u u r －OB u u u rB ．－OA u u u r ＋2OB u u u rC.23OA u u ur －13OB u u u r D ．－13OA u u ur ＋23OB u u u r解析：选A ∵OC u u u r ＝OB u u u r ＋BC u u u r ＝OB u u u r ＋2AC u u u r ＝OB u u u r ＋2(OC u u u r －OA u u u r)， ∴OC u u u r ＝2OA u u u r －OB u u u r .4．已知两不共线的向量a ，b ，若对非零实数m ，n 有ma ＋nb 与a －2b 共线，则mn＝( ) A ．－2 B ．2C ．－12 D.12解析：选C ∵ma ＋nb ＝λ(a －2b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，n ＝－2λ，∴m n ＝－12.5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22·cos(π－α)等于( )A.225B ．－25C.25 D ．－225解析：选B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 6．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12 C ．0D ．－1解析：选C ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0. 7．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2cos 2πx －1 B ．y ＝sin 2πx ＋cos 2πx C ．y ＝tan πx 2＋1D ．y ＝sin πx cos πx解析：选D 对于A ，y ＝2cos 2πx －1＝cos 2πx 是偶函数；对于B ，y ＝sin 2πx ＋cos 2πx ＝2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4非奇非偶；对于C ，y ＝tan πx 2＋1非奇非偶；对于D ，y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx 是奇函数．8．已知向量m ，n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中，AB u u u r ＝m＋n ，AC u u u r ＝m －3n ，D 为BC 边的中点，则|AD u u u r|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A AD u u u r ＝12(AB u u u r ＋AC u u ur )＝m －n .∴|AD u u u r |＝m －n2＝|m |2－2m ·n ＋|n |2＝1.9．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA u u u r ＋PB u u u r ＋PC u u u r ＝AB u u u r，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：选D ∵PA u u u r ＋PB u u u r ＋PC u u u r ＝AB u u u r，∴PA u u u r ＋PB u u u r ＋PC u u u r ＝PB u u u r －PA u u u r ，∴PC u u u r ＝－2PA u u u r ＝2AP u u u r， ∴P 是AC 边的一个三等分点．10．(天津高考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0解析：选B 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22.11．如图是函数f (x )＝A ·cos(2π3x ＋φ)－1(A >0，|φ|<π2)的图象的一部分，则f (2012)＝( )A ．－3B ．2 C.32D ．1解析：选A 由函数的最大值为1可知A ＝2，由函数f (x )的图象过原点，可知2cos φ－1＝0，又|φ|<π2，所以φ＝±π3，又点(1,0)在函数f (x )的图象上，代入检验可知φ＝－π3，故f (x )＝2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x －π3－1，所以f (2 012)＝2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 340π＋4π3－π3－1＝－3.12．已知向量OA u u u r ＝(2,2)，OB u u u r ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP u u u r ·BP u u u r有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)，则AP u u u r＝(x －2，－2)， BP u u u r＝(x －4，－1)， ∴AP u u u r ·BP u u u r＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP u u u r ·BP u u u r最小，此时P (3,0)． 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．要得到函数y ＝13sin(2x ＋π8)的图象，只需将函数y ＝13sin 2x 的图象________个单位．解析：y ＝13sin(2x ＋π8)＝13sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π16，故向左平移π16个单位．答案：向左平移π1614．直线x ＝t 与函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象分别相交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为________．解析：M ，N 的纵坐标分别为sin t ，cos t ， 则|MN |＝|sin t －cos t |＝|2sin(t －π4)|.∴|MN |max ＝ 2. 答案： 215．若0≤α≤2π，sin α＞3cos α，则α的取值范围是____________． 解析：∵sin α>3cos α，∴sin α－3cos α>0， 即2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3>0，由0≤α≤2π，得－π3≤α－π3≤5π3，∴0<α－π3<π，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π316．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB u u u r ·AF u u u r ＝2，则AE u u u r ·BF u u u r的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB u u u r ·AF u u u r＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE u u u r ·BF u u u r＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.答案： 2三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sin α＋2cos⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋αcosπ－α－sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝－14.(1)求tan α的值；(2)若β为第二象限的角，且tan(α－β)＝13，求β.解：(1)∵sin α＋2cos⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋αcosπ－α－sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α－2sin α－cos α－cos α＝12tan α＝－14.∴tan α＝－1 2 .(2)∵tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tanα－β1＋tan αtanα－β＝－12－131＋⎝⎛⎭⎪⎫－12×13＝－1.又∵β为第二象限角，∴β＝2kπ＋3π4，k∈Z.18．(本小题满分12分)(广东高考)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若 f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.解：(1)∵f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322，∴A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒A ＝3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∵f (θ)－f (－θ)＝3，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3，展开得312sin θ＋32cos θ－332cos θ－12sin θ＝3，化简得sin θ＝33.∵θ∈0，π2，∴cos θ＝63.∴f π6－θ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－θ＋π3＝3sin π2－θ＝3cos θ＝ 6.19．(本小题满分12分)(北京高考)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12 上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为2πω＝2π2＝π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.20．(本小题满分12分)已知某海滨浴场海浪的高度y (m)是时间t (0≤t ≤24)的函数，下表是某日各时的浪高数据：t (h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (m)1.51.00.51.01.510.50.991.5y t (2)依据规定，当海浪高度高于1 m 时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：(1)以时间为横坐标，高度为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．根据散点图，可考虑用函数y ＝A cos ωt ＋b 刻画y 与t 的函数关系．由表中数据，知周期T ＝12. ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5， 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为12，∴y＝12cosπ6t ＋1.(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋1＞1，∴cos π6t＞0.∴2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2.即12k－3＜t＜12k＋3，∵0≤t≤24，∴k可取0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6 h时间可供冲浪者运动：上午9：00至15：00.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝A sin(π3x＋φ)，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2.y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．解：(1)由题意得，T＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y＝A sin(π3x＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1. 又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6. (2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4， 所以Q (4，－A )．则RP u u u r ＝(0，A )，RQ u u u r ＝(3，－A )，∴cos ∠PRQ ＝RP u u u r ·RQ u u u r |RP u u u r ||RQ u u u r |＝－A 2A ·9＋A 2＝－12， 解得A 2＝3.又A >0，所以A ＝ 3.。
高中数学人教A版必修4阶段质量检测(三) Word版含解析
阶段质量检测(三)(A 卷 学业水平达标)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．函数y ＝cos 2x ＋sin 2xcos 2x －sin 2x 的最小正周期为( )A ．2πB ．πC.π2D.π4 答案：C2．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210B ．－210 C.7210 D ．－7210答案：A3．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于( )A ．±55B ．±255C ．－55D ．－255答案：A4．设sin θ＝35，cos θ＝－45，则2θ的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D5．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)的值为( ) A.14 B.12 C ．4 D ．12答案：C6．(湖北高考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案：B7．在△ABC 中，已知tan A ＋B 2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：C8．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72 答案：C9．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7 D ．－8答案：D10．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 3答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是________． 答案：15712．tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________. 答案： 313．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则 sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值为________． 答案：1214．已知(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，则sin 2x ＋2cos 2x1＋tan x 的值为________．答案：25三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )·cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数， 所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数， 又θ∈(0，π)，则θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )． 由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－sin2x ·(2cos 2x －1)＝－12sin 4x ，因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310. 16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos α＋π4·cos 2α，求cos α－sin α的值． 解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)， 得sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin α sin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时， 由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z. 此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0， 此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 17．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin x ＋2sin π4＋x2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2. (1)若f (α)＝22，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求α的值； (2)若sin x 2＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f (x )的值． 解：(1)f (x )＝sin x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2 ＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 由f (α)＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4.∴α＋π4＝π6，∴α＝－π12.(2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 又∵sin x 2＝45，∴cos x 2＝35.∴sin x ＝2sin x 2cos x 2＝2425，cos x ＝－1－sin 2x ＝－725. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2425－725＝1725.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值． 解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得 f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最小正周期为π.∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又∵f (x 0)＝65，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6. 从而cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6 ＝－45.∴cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6sin π6 ＝3－4310. (B 卷 能力素养提升) (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°的值为( ) A ．0 B.12C.32D ．－12解析：选B 因为cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°＝cos 24°sin 54°－sin 24°cos 54°＝sin(54°－24°)＝sin 30°＝12，故选B.2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1解析：选B 由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1. 3．下列各式中，值为－34的是( ) A ．2sin 15°cos 15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1 D.12－cos 215°解析：选D 用二倍角公式求解可知，只有D 的结果为－34. 4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.75 B.15 C ．－75D ．－15解析：选B 依题意可得cos α＝45，∴2cos α＋π4＝2·cos αcos π4－2sin αsin π4＝cos α－sin α＝45－35＝15.5．设tan(α＋β)＝5，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝4，那么tan α＋π4的值等于( ) A ．－919 B.121C.119D.921解析：选B tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)·tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝5－41＋5×4＝121. 6．在△ABC 中，若tan A tan B ＋tan A ＋tan B ＝1，则cos C 的值是( ) A ．－22 B.22C.12D ．－12解析：选A 由tan A tan B ＋tan A ＋tan B ＝1，得 tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝1.又tan(A ＋B )＝－tan C ，所以tan C ＝－1， 所以C ＝3π4，cos C ＝cos 3π4＝－22. 7．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－ 2D ．－1解析：选D f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4.∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1. 8．已知α、β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，则α＋β的值是( ) A.3π4 B.π3 C.π4或3π4 D.π3或2π3解析：选A ∵α、β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15， ∴sin α＝1－cos 2α＝310，sin β＝1－cos 2β＝25.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝110×15－310×25＝－22.∵0<α＋β<π，∴α＋β＝3π4. 9．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则此三角形为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B ∵sin B sin C ＝cos 2A2，∴sin B sin C ＝1＋cos A2， 可得2sin B sin C ＝1＋cos [π－(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )．∴cos(B －C )＝1.又角B 、角C 为△ABC 的内角， ∴B －C ＝0，即B ＝C .故选B.10．已知函数f (x )＝sin 23x ＋cos ⎝⎛⎭⎫23x －π6，对任意实数α，β，当f (α)－f (β)取最大值时，|α－β|的最小值是( )A ．3π B.3π2C.4π3D.2π3解析：选B f (x )＝sin 23x ＋cos ⎝⎛⎭⎫23x －π6＝ sin 23x ＋sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6. 又当f (α)－f (β)取最大值时，|α－β|的最小值是函数f (x )的最小正周期的一半，而函数的最小正周期T ＝2π23＝3π，从而选B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．函数f (x )＝2cos 2x2＋sin x 的最小正周期是________．解析：化简得f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴T ＝2π1＝2π.答案：2π12．已知sin α＝23，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－34，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos(α＋β)＝________. 解析：因为sin α＝23，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－53. 因为cos β＝－34，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 所以sin β＝－1－cos 2β＝－74. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34－23×⎝⎛⎭⎫－74＝35＋2712.答案：35＋271213．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β＝________. 解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35， ∴cos α＝45，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0. ∵ α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0<α＋β<π，故α＋β＝π2. 答案：π214．cos 6·tan 6的符号为________(填“正”“负”或“不确定”)． 解析：∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos 6>0，tan 6<0，则cos 6·tan 6<0. 答案：负三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－2，求cos 3⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin 3π2－θ的值．解：cos 3⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin 3⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin 2x －2sin 2x . (1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，求f (x )的值域． 解：(1)因为点P (1，－3)在角α的终边上， 所以sin α＝－32，cos α＝12， 所以f (α)＝3sin 2α－2sin 2α＝23sin αcos α－2sin 2α ＝23×⎝⎛⎭⎫－32×12－2×⎝⎛⎭⎫－322＝－3. (2)f (x )＝3sin 2x －2sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以f (x )的值域是[－2,1]．17．(本小题满分12分)(广东高考)已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值． 解：(1)因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2，所以A cos ⎝⎛⎭⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，f ⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos α＝817；又因为f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因为β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385. 18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－1. (1)求φ的值；(2)若f (α)＝35，f ⎝⎛⎭⎫β＋π12＝513，且π6<α<π3，0<β<π4，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2β－π6的值． 解：(1)∵f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－1， ∴2×5π6＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z.文档仅供参考文档仅供参考 ∵|φ|<π2，∴φ＝－π6. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵π6<α<π3，0<β<π4， ∴2α－π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，2β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∵f (α)＝35，f ⎝⎛⎭⎫β＋π12＝513， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝35，sin 2β＝513， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝45，cos 2β＝1213， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2β－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＋2β＝cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6·cos 2β－sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6sin 2β＝3365. 高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
2019-2020学年人教版高中数学必修四教材用书：模块综合检测(三) Word版含答案
模块综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选B ∵r ＝64m2＋9， ∴cos α＝－8m64m2＋9＝－45，∴m >0，∴4m264m2＋9＝125，∴m ＝±12.∵m >0，∴m ＝12.2．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f (x )＝2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，g (x )＝sin2x ＋π3，h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的部分图象(如图)，则( )A ．a 为f (x )，b 为g (x )，c 为h (x )B ．a 为h (x )，b 为f (x )，c 为g (x )C ．a 为g (x )，b 为f (x )，c 为h (x )D ．a 为h (x )，b 为g (x )，c 为f (x )解析：选B 由于函数f (x )、g (x )、h (x )的最大值分别是2、1、1，因此结合图形可知，曲线b 为f (x )的图象；g (x )、h (x )的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a 、c 分别是h (x )、g (x )的图象．3．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ＋CB ＝0，则OC 等于( ) A ．2OA －OB B ．－OA ＋2OB C.23OA －13OB D ．－13OA ＋23OB解析：选A ∵OC ＝OB ＋BC ＝OB ＋2AC ＝OB ＋2(OC －OA )， ∴OC ＝2OA －OB .4．已知两不共线的向量a ，b ，若对非零实数m ，n 有ma ＋nb 与a －2b 共线，则mn ＝( )A ．－2B ．2C ．－12 D.12解析：选C ∵ma ＋nb ＝λ(a －2b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，n ＝－2λ，∴m n ＝－12. 5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22·cos (π－α)等于( )A.225 B ．－25 C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 6．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：选C ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0. 7．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2cos 2πx －1 B ．y ＝sin 2πx ＋cos 2πx C ．y ＝tanπx2＋1D ．y ＝sin πx cos πx解析：选 D 对于A ，y ＝2cos 2πx －1＝cos 2πx 是偶函数；对于B ，y ＝sin 2πx ＋cos 2πx ＝2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4非奇非偶；对于C ，y ＝tan πx 2＋1非奇非偶；对于D ，y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx 是奇函数．8．已知向量m ，n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中，AB ＝m ＋n ，AC ＝m －3n ，D 为BC 边的中点，则|AD |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A AD ＝12(AB ＋AC )＝m －n .∴|AD |＝－＝|m|2－2m·n＋|n|2＝1.9．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：选D ∵PA ＋PB ＋PC ＝AB ，∴PA ＋PB ＋PC ＝PB －PA ，∴PC ＝－2PA ＝2AP ， ∴P 是AC 边的一个三等分点．10．(天津高考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0解析：选B 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22.11．如图是函数f (x )＝A ·cos(2π3x ＋φ)－1(A >0，|φ|<π2)的图象的一部分，则f (2 017)＝( )A ．0B ．2 C.32D ．1解析：选A 由函数的最大值为1可知A ＝2，由函数f (x )的图象过原点，可知2cos φ－1＝0，又|φ|<π2，所以φ＝±π3，又点(1,0)在函数f (x )的图象上，代入检验可知φ＝－π3，故f (x )＝2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x －π3－1，所以f (2 012)＝2·cos ⎝⎛⎭⎪⎫1 340π＋4π3－π3－1＝－3. 12．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)，∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时P (3,0)． 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．要得到函数y ＝13sin(2x ＋π8)的图象，只需将函数y ＝13sin 2x 的图象________个单位．解析：y ＝13sin(2x ＋π8)＝13sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π16，故向左平移π16个单位．答案：向左平移π1614．直线x ＝t 与函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象分别相交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为________． 解析：M ，N 的纵坐标分别为sin t ，cos t ， 则|MN |＝|sin t －cos t |＝|2sin(t －π4)|.∴|MN |max ＝ 2. 答案： 215．若0≤α≤2π，sin α＞3cos α，则α的取值范围是____________． 解析：∵sin α>3cos α，∴sin α－3cos α>0， 即2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3>0， 由0≤α≤2π，得－π3≤α－π3≤5π3，∴0<α－π3<π，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π316．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB ·AF ＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE ·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.答案： 2三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sin α＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋απ－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－14.(1)求tan α的值；(2)若β为第二象限的角，且tan(α－β)＝13，求β.解：(1)∵sin α＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋απ－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α－2sin α－cos α－cos α＝12tan α＝－14. ∴tan α＝－12.(2)∵tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－α－β1＋tan αα－β＝－12－131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13＝－1.又∵β为第二象限角， ∴β＝2k π＋3π4，k ∈Z.18．(本小题满分12分)(山东高考)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值． 解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 19．(本小题满分12分)函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值． 解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0<φ<π2，故φ＝π6. 由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2，故7π6<πx 0＋π6<13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，故x 0＝53. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx ， 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故当π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时， g (x )取得最小值－32. 20．(本小题满分12分)已知已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间； (3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值．解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT＝1.又ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋φ＝0， ∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sinπ6＝2，∴A ＝4， ∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得 k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫si n x·cos π4＋cos x·sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2. 21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值； (2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值． 解：(1)由题意得，T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上， 所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )， 由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．则RP ―→＝(0，A )，RQ ―→＝(3，－A )， ∴cos ∠PRQ ＝RP―→·RQ―→|RP―→||RQ―→|＝－A2A·9＋A2＝－12，解得A 2＝3.又A >0，所以A ＝ 3.中0≤φ≤π2)22．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R(其的图象与y 轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝sin(πx ＋φ)的单调递增区间；(3)求使y ≥1的x 的集合． 解：(1)因为函数图象过点(0,1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin(πx ＋π6)， ∴当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝sin(πx ＋π6)是增函数．则y ＝2sin(πx ＋π6)的单调递增区间为[－23＋2k ，13＋2k ]，k ∈Z.(3)由y ≥1，得sin(πx ＋π6)≥12，∴π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ， 得2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，∴y ≥1时，x 的集合为{x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z}．。
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模块综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B ∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12. ∵m >0，∴m ＝12.2．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f (x )＝2·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，g (x )＝sin2x ＋π3，h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的部分图象(如图)，则( ) A ．a 为f (x )，b 为g (x )，c 为h (x ) B ．a 为h (x )，b 为f (x )，c 为g (x ) C ．a 为g (x )，b 为f (x )，c 为h (x ) D ．a 为h (x )，b 为g (x )，c 为f (x )解析：选B 由于函数f (x )、g (x )、h (x )的最大值分别是2、1、1，因此结合图形可知，曲线b 为f (x )的图象；g (x )、h (x )的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a 、c 分别是h (x )、g (x )的图象．3．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ＋CB ＝0，则OC 等于( )A ．2OA －OB B ．－OA ＋2OB C.23OA －13OBD ．－13OA ＋23OB解析：选A ∵OC ＝OB ＋BC ＝OB ＋2AC ＝OB ＋2(OC －OA )， ∴OC ＝2OA －OB .4．已知两不共线的向量a ，b ，若对非零实数m ，n 有ma ＋nb 与a －2b 共线，则m n ＝( )A ．－2B ．2C ．－12 D.12解析：选C ∵ma ＋nb ＝λ(a －2b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，n ＝－2λ，∴m n ＝－12.5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22·cos(π－α)等于( ) A.225B ．－25 C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 6．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：选C ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0. 7．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2cos 2πx －1 B ．y ＝sin 2πx ＋cos 2πxC ．y ＝tanπx 2＋1 D ．y ＝sin πx cos πx解析：选D 对于A ，y ＝2cos 2πx －1＝cos 2πx 是偶函数；对于B ，y ＝sin 2πx ＋cos 2πx ＝2·sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4非奇非偶；对于C ，y ＝tan πx 2＋1非奇非偶；对于D ，y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx 是奇函数．8．已知向量m ，n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中，AB ＝m ＋n ，AC ＝m －3n ，D 为BC 边的中点，则|AD |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A AD ＝12(AB ＋AC )＝m －n .∴|AD |＝(m －n )2＝|m |2－2m·n ＋|n |2＝1.9．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：选D ∵PA ＋PB ＋PC ＝AB ，∴PA ＋PB ＋PC ＝PB －PA ，∴PC ＝－2PA ＝2AP ， ∴P 是AC 边的一个三等分点．10．(天津高考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0解析：选B 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. 11．如图是函数f (x )＝A ·cos(2π3x ＋φ)－1(A >0，|φ|<π2)的图象的一部分，则f (2 012)＝( )A ．－3B ．2 C.32D ．1解析：选A 由函数的最大值为1可知A ＝2，由函数f (x )的图象过原点，可知2cos φ－1＝0，又|φ|<π2，所以φ＝±π3，又点(1,0)在函数f (x )的图象上，代入检验可知φ＝－π3，故f (x )＝2·cos ⎝⎛⎭⎫2π3x －π3－1，所以f (2 012)＝2·cos ⎝⎛⎭⎫1 340π＋4π3－π3－1＝－3. 12．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)， ∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时P (3,0)． 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．要得到函数y ＝13sin(2x ＋π8)的图象，只需将函数y ＝13sin 2x 的图象________个单位．解析：y ＝13sin(2x ＋π8)＝13sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π16，故向左平移π16个单位． 答案：向左平移π1614．直线x ＝t 与函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象分别相交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为________．解析：M ，N 的纵坐标分别为sin t ，cos t ， 则|MN |＝|sin t －cos t |＝|2sin(t －π4)|.∴|MN |max ＝ 2. 答案： 215．若0≤α≤2π，sin α＞3cos α，则α的取值范围是____________． 解析：∵sin α>3cos α，∴sin α－3cos α>0，即2⎝⎛⎭⎫12sin α－32cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π3>0， 由0≤α≤2π，得－π3≤α－π3≤5π3，∴0<α－π3<π，即α∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3. 答案：⎝⎛⎭⎫π3，4π316．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB ·AF ＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE ·BF ＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.答案： 2三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sin α＋2cos ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos (π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－14. (1)求tan α的值；(2)若β为第二象限的角，且tan(α－β)＝13，求β.解：(1)∵sin α＋2cos ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos (π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α－2sin α－cos α－cos α＝12tan α＝－14. ∴tan α＝－12.(2)∵tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝－12－131＋⎝⎛⎭⎫－12×13＝－1.又∵β为第二象限角， ∴β＝2k π＋3π4，k ∈Z. 18．(本小题满分12分)(广东高考)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若 f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 解：(1)∵f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322， ∴A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒A ＝3. (2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∵f (θ)－f (－θ)＝3，∴3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3＝3， 展开得312sin θ＋32cos θ－332cos θ－12sin θ＝3，化简得sin θ＝33.∵θ∈0，π2，∴cos θ＝63.∴f π6－θ＝3sin ⎣⎡⎦⎤π6－θ＋π3＝3sin π2－θ＝3cos θ＝ 6. 19．(本小题满分12分)(北京高考)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12 上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )的最小正周期为2πω＝2π2＝π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.20．(本小题满分12分)已知某海滨浴场海浪的高度y (m)是时间t (0≤t ≤24)的函数，下表是某日各时的浪高数据：(1)(2)依据规定，当海浪高度高于1 m 时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：(1)以时间为横坐标，高度为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．根据散点图，可考虑用函数y ＝A cos ωt ＋b 刻画y 与t 的函数关系．由表中数据，知周期T ＝12. ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6. 由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5， 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0， ∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为12，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1＞1， ∴cos π6t ＞0.∴2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2.即12k －3＜t ＜12k ＋3， ∵0≤t ≤24， ∴k 可取0,1,2，得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6 h 时间可供冲浪者运动： 上午9：00至15：00.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A＞0，0＜φ＜π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值； (2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值． 解：(1)由题意得，T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )， 由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．则RP ＝(0，A )，RQ ＝(3，－A )， ∴cos ∠PRQ ＝RP ·RQ|RP ||RQ |＝－A 2A ·9＋A2＝－12， 解得A 2＝3.又A >0，所以A ＝ 3.22．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R(其中0≤φ≤π2)的图象与y 轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合． 解：(1)因为函数图象过点(0,1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin(πx ＋π6)，∴当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝sin(πx ＋π6)是增函数．则y ＝2sin(πx ＋π6)的单调递增区间为[－23＋2k ，13＋2k ]，k ∈Z.(3)由y ≥1，得sin(πx ＋π6)≥12，∴π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ， 得2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，∴y ≥1时，x 的集合为{x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z}．。