基本事件为非质点的几何概型
高二年级数学必修3第三章知识点：古典概型与几何概型
高二年级数学必修3第三章知识点：古典概型与几何概型
高二年级数学必修3第三章知识点：古典概型与
几何概型
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★ 知识梳理★
1. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件 )称为一个基本事件
特别提醒：基本事件有如下两个特点：
○1任何两个基本事件都是互斥的;
○2任何事件都可以表示成基本事件的和。
2.所有基本事件的全体，叫做样本空间，用表示，例如抛一枚硬币为一次实验，则={正面，反面}。
3.等可能性事件(古典概型)：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是，这种事件叫等可能性事件
特别提醒：古典概型的两个共同特点：
○1有限性，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间中的元素个数是有限的;
○2等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。
4.古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有。
几何概型-简单-讲义
几何概型知识讲解一、几何概型定义：事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．二、几何概型具备以下两个特征：1.无限性：即每次试验的结果（基本事件）有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；2.等可能性：即每次试验的各种结果（基本事件）发生的概率都相等．三、几何概型的计算公式及步骤P A，其中表示区域的几何度量，A表1.几何概型中，事件A的概率定义为()A示区域A的几何度量．2.几何概型的计算步骤1）把样本空间和所求概率的事件用关系式表示出来，可分两类①样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的几何区域题目中已给出；②样本空间所求事件所对应的几何区域没直接给出，课根据题设引入适当变量，把题设的条件转换成变量所满足的代数条件；2）在坐标系中把相应的几何图形画出来；P A，其中3）把样本空间和所求事件的概率所在的几何图形度量，然后代入公式()A表示区域的几何度量，A表示区域A的几何度量．四、几何概率中概率0和1的理解理解：如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它的概率为0，但它不是不可能事件，即概率为0的事件不一定是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它的概率为1，但它不是必然事件，即概率为1的事件不一定为必然事件．典型例题一．选择题（共5小题）1．（2018?西宁一模）如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过R”对应的弧，其构成的区域是半圆，则弦MN的长度超过R的概率是P=．故选：D．2．（2018?新华区校级模拟）欧阳修《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为4cm的圆，它中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴（不计油滴的大小）正好落入孔中的概率为（）A．B．C． D．【解答】解：由题意可得直径为4cm的圆的面积为π×22=4π，而边长为1cm的正方形面积为1×1=1，故所求概率P=，故选：A．3．（2018?安宁区校级模拟）在区间[﹣，]上随机取一个数x，则事件“０≤sinx ≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[﹣，]上，由0≤sinx≤1得0≤x≤，=，故选：C．4．（2018?乐山三模）2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会徽是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展，如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若θ＝．现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知，可得小正方形的边长为，故小正方形的面积，大正方形的面积S=4，故飞镖落在小正方形内得概率P=．故选：A．5．（2018?凌源市模拟）已知x，y∈[0，2]，则事件“ｘ+y≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意x，y∈[0，2]，在平面直角坐标系中做出对应的区域，及事件“ｘ+y≤1”对应的区域，如下图所示：所以事件“ｘ+y≤1”发生的概率为；故选：B．二．填空题（共5小题）6．（2018?江苏二模）某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到站，在出发前在车站停靠3分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则乘客候车时间不超过10分钟的概率为．【解答】解：根据题意知这是一个几何概型，公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，∴基本事件总数包含的时间长度是15，又乘客到达车站的时刻是任意的，且出发前在车站停靠3分钟，∴满足一个乘客候车时间大于10分钟的事件包含的时间长度是15﹣13=2，满足一个乘客候车时间不超过10分钟的事件包含的时间长度是13，由几何概型公式得所求的概率为P=．故答案为：．7．（2018?江苏二模）在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC、BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32cm2的概率为．【解答】解：设AC=x，则CB=12﹣x，则矩形的面积S=x（12﹣x），由x（12﹣x）＞32得x2﹣12x+32＜0，解得4＜x＜8，根据几何概型的概率公式可得所求的概率P==，故答案为：．8．（2018春?启东市校级期中）人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为．【解答】解：∵民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．∴从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为：p==．故答案为：．9．（2017?如皋市二模）在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是．【解答】解：由题意，设AB边上的高为h，则S1=，S2=，∵S1＞2S2，∴AP＞2BP，∴S1＞2S2的概率是．故答案为：．10．（2017?扬州模拟）在区间（0，5）内任取一个实数m，则满足3＜m＜4的概率为．【解答】解：区间（0，5）的区间长度为5．满足3＜m＜4的区间长度为1．由测度比为长度比可得满足3＜m＜4的概率P=．故答案为：．三．解答题（共2小题）11．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求X=60时的概率．【解答】解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则P（A）=，P（B）=，P（C）=．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．∴P=P（A）+P（B）=，即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．P（X=60）==12．节日前夕，小明的妈妈给小明买了两只可以装电池的发光玩具狗．这两只玩具狗在装满电池后，都会在打开电开关后的4秒内任一时刻等可能发光，然后每只发光玩具狗以4秒为间隔闪亮．那么，当这两只发光玩具狗同时打开电开关后，求它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率．【解答】解：设这两只玩具狗第一次闪亮的时刻分别为x，y由已知：由第一次闪亮时刻相差不超过两秒可得|x﹣y|≤2…（6分）现记“这两只玩具狗第一次闪亮的时刻不超过2秒”为事件A．则…（11分）答：这两只玩具狗第一次闪亮的时刻不超过2秒的概率为．…（12分）。
几何概型的常见类型
1、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2、几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3、几何概型的特点：
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等、
4、几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。
这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。
通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。
因此，用几何概型求解的
概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。
下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。
几何概型 课件
.
（2）求解与体积有关的几何概型问题，关键是准确计算
出所求事件构成的区域体积，确定出所有基本事件构成的
区域体积，利用公式计算即可.
题型四 与角度有关的几何概型的求法
例4. 如图，在平面直角坐标系中，射线OT为
60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，
则该角终边落在∠xOT内的概率是 （ ）
A. 1
构成事件A 的区域角度
P（A）＝ 试验的全部结果所构成的区域角度 . 生活中的几何概型度量区域的构造方法 （1）审题：通过阅读题目，获取相关信息.（2）建模：利用相 关信息的特征，建立概率模型.（3）解模：求解建立的数学模型. （4）结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论.
题型五 用随机模拟法估计几何概型
几何概型
一 几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 （面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概 率模型（geometric models of probability），简 称为几何概型.
二 几何概型的概率计算公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
构成事件A的区域长度(面积或体积)
各面的距离均大于1，则满足题意的点的区域为位于该正方体中心
的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式，可得蜜蜂
13
1
“安全飞行”的概率为P＝ 33 ＝ 27 .
与体积有关的几何概型问题的解决思路
（1）如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，
则其概率的计算公式为
P（A）＝
构成事件A 的体积 试验的全部结果构成的体积
P（A）＝ 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
三 均匀随机数的产生
非质点解读贝特朗奇论
非质点解读理解贝特朗奇论个人观点，仅供参考1889年法国学者贝特朗提出：在半径为1的圆内任作一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形 边长的概率，即“贝特朗悖论”。
虽奇论已盖棺定论，但对此问题争辩的“硝烟”仍未散去。
不少教师对此类问题说理不清， 莫衷一是现象。
本文依据几何概型理论，提出“非质点”观点，运用非质点几何概型方法解析贝特朗奇论，说理清晰透彻，易于解惑，同时也加深理解几何概型原理，促进非质点几何概型问题的研究。
1 依据理论，确定研究贝特朗奇论的方法由奇论知：一次随机试验下的基本事件是圆的弦，即线段。
我认为：贝特朗奇论的争论实质就是非质点几何概型的解析方法问题。
1.1 非质点几何概型概念在几何概型中，一次随机试验下的基本事件是线段（或射线或直线或圆或球）等非质点, 我们 把这类问题称为基本事件是非质点的几何概型，简称非质点几何概型。
在几何概型中，一次随机试验下的基本事件是点或数（或数对）, 我们把这类问题称为基本事件是质点的几何概型，简称质点几何概型.高中数学教材的几何概型习题中多为质点几何概型，但也有非质点几何概型问题，如苏教版必修3（高中教材2005年出版）第104页第5题、第6题、人教版必修3（高中教材2010年出版）第142页的船舶停靠问题、布丰投针试验、贝特朗悖论等都是非质点几何概型问题。
1.2解决几何概型的理论依据苏教版必修3的教参给了几何概型描述性定义：设D 是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等），每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样，随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点.这时事件A 发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 的形状和位置无关，我们把满足这样的概率模型称为几何概型,其中P(A)=的测度的测度D d 。
由上知解决几何概型的思路：把一个随机试验下的每个基本事件转化为几何区域D 内的一点，若事件A 发生对应的区域d ， 则P(A)=的测度的测度D d 。
几何概型公式
几何概型公式一、几何概型公式及其原理几何概型是数学中的一个分支，它研究的是使用几何工具来解决问题的方法和技巧。
几何概型的主要信仰是，形与数的关系是密不可分的。
这意味着可以使用几何工具求解代数方程式以及在几何问题上得到代数解。
下面将介绍一些常见的几何概型公式及其原理。
1. 向量内积公式向量内积公式是指两个向量点乘的结果：a·b = |a| × |b| × cosθ其中a和b为两个向量，|a|和|b|分别表示其长度，θ为它们之间夹角。
这个公式的原理是，向量a·b的模长等于向量a在向量b方向上的投影与向量b的长度之积。
因此a·b可以被理解为a在b方向上的投影的长度，也即|a|×cosθ，再与|b|相乘得到a·b。
这个公式的应用场景非常广泛，例如在力学中可以用它来计算力的作用力矩；在电学中也可以用它来计算交流电源中的功率等。
2. 球体体积公式球体体积公式是指球体的体积V：V = 4/3 × πr³其中r为球体的半径，π为圆周率，其取值为3.14左右。
这个公式的原理是，球体的体积是由无数个微小的体积元积分求得的，每个微小的体积元的大小为dV = 4πr²dr，因此球体的体积可以被视为r和r+dr之间无限小的包围球面的体积之和。
将上式对r进行积分，就可以得到球体的总体积。
球体的体积公式在物理学、数学、工程学等领域都有广泛的应用。
例如在机械工程中，它可以用来计算一个混凝土球体的体积，以便设计适当的模具和加工设备。
3. 平面二次曲线公式平面二次曲线公式是指一个二次曲线在坐标系中的标准方程：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E和F都是实数，且满足AC - B²/4 > 0。
这个公式的原理是，一个平面上的二次曲线可以被视为一个正二次形式F(x,y) = Ax² + Bxy + Cy²的零点集。
非质点的几何概型——解布丰投针试验
非质点的几何概型——解布丰投针试验
例：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a ，向此平面任投一长度为l （l ＜a ）的针，试求此针与任一平行线相交的概率。
分析：如图4，题中的基本事件为线段，而每个线段对应一个
中点和线段与平行线的交角，即每个基本事件对应一个点及 一个角。
以y 表示针的中点到最近的一条平行线的距离，β表示针与平行线的交角。
显然有πβ≤≤0，20a y ≤
≤，用边长为2
a 及π的长方形表示样本空间。
为使针与平行线相交，必须βsin 20l y ≤≤，满足这个关系的区域面积是从0到π的βsin 2
l 对β的积分。
解：设针的中点到最近的一条平行线的距离为y ，针与平行线的交角为β，依题有2
0a y ≤≤，
l O ∙ β 图4。
几何概型PPT
.
答案：C
答案：
对于生活中的几何概型问题： 1．要注意实际问题中的等可能性的判断； 2．将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体
积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件对应的 几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率， 根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的 坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该 标系的点，便可构造出度量区域．
2．几何概型的两个基本特点 (1)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． (2)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． 3．几何概型的概率公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下： P(A) ＝
[思考探究] 古典概型与几何概型的异同？
同：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相 等的; 异：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本 事件有无限多个．
几何概型
1、 古典概型两个特点 (1)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． (2)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限 个．
2、古典概型的概率公式
P(A)＝
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
1.了解几何概型的意义． 2．准确判断几何概型并求相应的概率．
几何概型主要以选择题或填空题的形式考查与长度 或面积有关的几何概型的求法是高考对本讲内容的常规 考法.
近年来将三角函数求值、线性规划或生活中的实际 问题与几何概型相结合是一个新的考查方向.
1．在区间[1,3]上任取一数，则这个数不大于1.5的概率
为
()
A．0.25 B．0.5 C．0.6 D．0.75
2．如图，向圆内投镖，如果每 次都投入圆内，那么投中正 方形区域的概率为 ( )
概率初步.几何概型
本节内容「、几何概型及其概率公式(1 )几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.(2)几何概型的概率公式设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域门，事件A 所对应的区域用 A 表示(A 二)，A 的几何度量 门的几何度量二、几何概型中概率为 0和1的理解如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为 0，则它的概率为0，但它不是不可能事件，即概率为0的事件不一定是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它的概率为 1，但它不是必然事件，即概率为 1的事件不一定为必然事件.本节例题在区间1.0,10 1中任意取一个数，则它与 4之和大于10的概率为两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于 1m的概率为((2)黄灯；(3)不是红灯.BOP > 75°的概率为点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为几何概型题型一维情形【例1】 【例2】 【例3】 一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为 30秒, 黄灯亮的时间为 5秒，绿灯亮的时间为 40秒,当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是.(1)红灯;【例4】 平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm ，把一枚半径为1cm 的硬币任意投掷在这个平面上, 则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是(【例5】 在圆心角为 150°的扇形AOB 中，过圆心O 作射线交弧 AB 于P ，则同时满足：• AOP > 45。
且【例6】题型二二维情形11 11A .B . —C . —D.-13 9 4 2【例8】 在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ,则点P 到点A 的距离小于1的概率为 __________________ . 【例9】 在直角坐标系xOy 中，设集合门-\(x, y)0 < x < 1,0 < y < 1?，在区域门内任取一点P(x,y),则满足x y w1的概率为 _____________【例10】如图，在边长为25的正方形中挖去边长为 23的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在 正方形，问粒子落在中间带形区域的概率为 __________________ .【例11】在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于 1的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率为 __________ .【例12】向面积为S 的ABC 内任投一点P ，则随机事件 “PBC 的面积小于-”的概率为3【例13】如右图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为__________ .21 A .n B. n21 C 3D . 3【例14】如下图所示，ABCD 是正方形，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、CD 的中点，三只麻雀分别落在这三个正方形木板上休息，它们落在所在木板的任何地方是等可能的，麻雀落在甲、 乙、丙三块木板中阴影部分的概率分别是P 1、P 2、P 3,则()的概率为 ___________ . 【例16】设有关于x 的一元二次方程x22ax • b 2二0.若a 是从区间［0, 3］任取的一个数，b 是从区间［0 , 2］任取的一个数，则上述方程有实根的概率为 ____________【例7】 某人向一个半径为6的圆形标靶射击， 假设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为(A . P 1<P 2= P 3B . P 1<P 2<P 3C . P 1 = P 2= P 3D . P 1>P 2= P 3【例15】已知函数f x - -x 2，ax-b.若a 、b 都是从区间［0, 4］内任取的一个数，则 f ( 1)>0成立FB F C屮【例17】平面上一长12 cm ，宽10 cm 的矩形ABCD 内有一半径为1 cm 的圆0 （圆心O 在矩形对角线交点处）•把一枚半径为1 cm 的硬币任意掷在矩形内（硬币完全落在矩形内），则硬币不与圆0相碰的概率为 ____________ •【例18】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率为__________ •【例19】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即离去，则两人能会面的概率为 ____________ •题型三三维情形【例20】在500 mL 的水中有一个细菌， 现从中随机取出2mL 水样放到显微镜下观察， 则发现这个细菌的概率是（） A • 0.004B •0.002C . 0.04D • 0.02【例21】在棱长为a 的正方体 ABCD — A 1 B 1C 1D 1 内任取 一点 P , 则点P 到点A 的距离小于等于 a 的概率为（)A.三B•21 C •- DJI 2266【例22】一只小蜜蜂在一个棱长为 30的正方体玻璃容器内随机飞行•若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器 6个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容 器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（）课堂练习【练1】 长为1米得木棍折成任意长三段，这三段构成三角形的概率为 【练2】 实数a,b 满足a 2+ b 2< 1 ,则关于x 的方程x2-2x • a • b = 0无实数根的概率为 ___________! T ：：： x :: 122【练3】用计算机产生随机二元数组成区域 _2 ... y ... 2，对每个二元数组（X, y ），用计算机计算x 2y 2的值，记’（X, y ）满足x2__________________________________________ y 2<1"为事件A ，则事件A发生的概率为在区域 门内随机取一点P ，则点P 在区域M 内的概率为 _______________16C .27【练4】 y 乞x 1不等式组」y 兰0表示的平面区域为 X <1'■-1，不等式组 J y兰—冈十1表示的平面区域为 y-0M •若C .课后练习【题1】已知一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为 __________ .【题2】 已知-' x, y x 亠0, y 亠0,x y 三6』,A = x, y x 込4, y 亠0,x - 2y 亠0』,若向区域内随机投一点P ,则点P 落在区域A 内的概率为 _______________ .【题3】在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率为 ____________ .【题4】设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P 与A 连结，求弦长超过半径的、、3倍的概率为 ___________ .S【题5】 在面积为S 的厶ABC 的边AB 上任取一点，则△ PBC 的面积大于一的概率为 ________________ .4【题6】 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则该正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 ___________ .【题7】一只蚂蚁在三边长分别为 3?4?5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 _____________ .【例23】在［T ,］上任取两实数a ,b ，求方程x 2+2ax+b 2=0的两根都为实数的概率为 __________________【练5】 某游戏规则如下：随机地往半径为 1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于1 、，则成绩2 1 1 1 为及格；若飞标到圆心的距离小于 一，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于 一且小于一，442贝倣绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为__________ .【练6】 利用计算机产生0〜1之间的均匀随机数 a ，则时间3a_1 .0”发生的概率为 ______________ 【练7】在区间1^,3上随机取一个数 x ，使得x ・1 一仪-2|_1成立的概率为 【练8】 已知X 可以在区间［-2t,3t ］ ( t 0)上任意取值，则1 B . 一2 1 C.—6【练9】 已知函数 f (x)二 ax 2 _2bx -1 , 其中实数 a b - 6 _ 0 Ia ,b 满足a 0b 0则函数y f (x)在区间2, ::上是增函数的概率是(。
几何概型的三个命门
几何概型的三个关键点肥城一中孙衍亮几何概型是在古典概型的基础上在对连续型变量的概率的求法进行探究，几何概型与古典概型有联系又有区别，学生初学时，往往不能识别几何概型的特点，容易犯一些似是而非的错误. 我们就需要辨析学生犯错的原因，从而促进学生理解几何概型的实质，准确解决几何概型问题。
一．正确区分古典概型与几何概型问题：1．在区间[0，10]上任意取一个整数x ，则x 不大于3的概率为：2．在区间[0，10]上任意取一个实数x ，则x 不大于3的概率为： 分析：问题1因为总的基本事件是[0，10]内的全部整数，所以基本事件总数为有限个11，而不大于3的基本事件有4个，此问题属于古典概型，所以所求概率为114。
问题2中，因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，此问题属于几何概型，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]长度为10，而事件“不大于3”对应区间[0，3]长度为3，所以所求概率为103。
此题组中的两个问题，每个基本事件都是等可能发生的，但是问题1中的总基本事件是有限个，属于古典概型；而问题2中的总基本事件是无限个，属于几何概型；可见古典概型与几何概型有联系也有区别，但在实际解决问题中，关键还在于正确区分古典概型与几何概型。
二．准确分清几何概型中的测度问题：1．等腰Rt △ABC 中，∠C=900，在直角边BC 上任取一点M ，求∠CAM<300的概率。
2．等腰Rt △ABC 中，∠C=900，在∠CAB 内作射线交线段BC 于点M ，求∠CAM<300的概率。
分析：此题组中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样。
问题1的测度定性为线段长度，当∠CAM=300时，CB AC CM 33330==，合条件的点M 等可能的分布在线段0CM 上，所以所求概率等于330=CB CM 。
而问题2的测度定性为角度，过点A 作射线与线段CB 相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB 内，∠CAB=450，所以所求概率等于324530000==∠∠CAB CAM 。
几何概型“三步曲”
几何概型“三步曲”在概率论发展的早期，人们就已经注意到，只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。
例如一名学生到班级的时间可能是6：00至7：00之间的任一时刻；往一个池塘投一个石子，石子可能落在池塘中的任何一地点……，这些情况都是我们要学习的几何概型，那么如何学好几何概型呢？第一步、理解几何概型定义1.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2.几何概型的特点（1）.试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）.每个基本事件出现的可能性相等.定义非常严谨，但依学生的理解，从特点入手较容易掌握，特别是与古典概型的区分，更要从特点把握。
例如，某人一觉醒来，他打开收音机，想听电台报时，求此人等待不多于10分钟的概率. 分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.从而断定可以通过几何概型的概率公式得到事件发生的概率.因为电台每小时报一次时，他在0到60分钟之间任何一个时刻到打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段到打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件.在本例中，打开收音机的时刻x 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称x服从[0，60]上的均匀分布，x为[0，60]上的均匀随机数. 利用几何概型可知，如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件。
所以说概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件不一定是必然事件，这一点从古典概型无法解释。
3.古典概型与几何概型的区别：二者基本事件发生的可能性是相等的，但古典概型要求基本事件是有限个，几何概型要求基本事件是无限个。
高中数学讲义微专题85 几何概型
微专题85 几何概型一、基础知识： 1、几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 2、对于一项试验，如果符合以下原则： （1）基本事件的个数为无限多个 （2）基本事件发生的概率相同则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率 3、几何概型常见的类型，可分为三个层次：（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。
（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题） （3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。
从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系。
从而将问题转化成为第（2）类问题求解 二、典型例题：例1：已知函数()[]22,5,5f x x x x =--∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（ ） A.110 B. 23 C. 310 D. 45思路：先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --<⇒-<<，从而在数轴上()1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率，所以310P =答案：C例2：如图，矩形O A B C 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是（ ） A. 712π B. 23π C. 34π D. 56π思路：落在阴影部分的概率即为阴影部分面积与长方形面积的比值长方形的面积66S a a=⋅=，阴影面积'00sin cos |1cos a aS xdx x a ==-=-⎰，所以有'1cos 164S a P S -===，可解得1cos 2a =-，从而23a π=答案：B例3：已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点，在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足PH < ）A.8π B. 184π+ C. 4π D. 144π+思路：PH <H 为半径的圆的内部，通过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的比例。
人教版必修3：几何概型的概念及计算(无答案)-教学文档
专题：几何概型的概念及计算※知识要点 1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) ，则称这样的概率模型称为几何概型． 2．在几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝_________________________________________. 注意：求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解． 3．几何概型试验的两个基本特点：(1) ：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2) ：每个结果的发生具有等可能性． 4．古典概型与几何概型的区别(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________；(2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的． ※题型讲练【例1】判断下面结论是否正确(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( ) (3)几何概型中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与图形的形状有关．( ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( )变式训练1：1．在区间[0,2]之间随机抽取一个数x ，则x 满足2x －1≥0的概率为___________．2．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是___________．3．在边长为2的正方形ABCD 内任取一点M ，则满足∠AMB ＞90°的概率为___________． 【例2】如图，在等腰Rt △ABC 中：(1)过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．(2)在斜边AB 上任取一点M ，求AM <AC 的长的概率． 变式训练2：1．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 【例3】两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率． 变式训练3：1．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．【例4】已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R .(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率； (2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率． 变式训练4：1．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4，0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件⎩⎨⎧f (2)≤12，f (－2)≤4为事件A ，求事件A 发生的概率．※课后练习1．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率为( ) A ．14B ．13C ．12D ．232．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A ．1－2π B ．12－1πC ．2πD ．1π3．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π84．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．455．在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面点集中随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A 为“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A ．14B ．34C ．13D ．236．设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．7．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为____． 8．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，求cos π2x 的值介于0到12之间的概率．9．已知等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM <30°的概率； (2)在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM <30°的概率． 10．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．。
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例：甲乙两人晚上到很小的广场锻炼，甲在18：00到 19：30的时间里锻炼30分钟离开，乙在18：10到19： 30的时间里锻炼30分钟离开，求甲乙两人在小广场相 遇(有一段时间)的概率． y=x+30
解：记“甲乙两人在小广场相遇”为事件A， 以18：00 为起始时间0。设甲乙到达小广场的 时间分别为x，y。 所有事件构成的区域Ω =｛（x，y ︱0 ≤ x≤ 60， 10 ≤ y≤ 60｝ ， 事件A构成的区域A=｛（x，y ︱0 ≤ x≤ 60， 10 ≤ y≤ 60，x ≤ y<x+30或 y ≤ x<y+30 ｝ SΩ=60×50=3000, SA=3000-0.5 × 30 × 30-0.5 × 20 ×20=2350,
17
18
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20
21
22
23
练习3：若高二甲同学周六晚上在家只连 续学习2小时，甲学习时间为17:00时至 23:00时，则甲在18:00到11
23
在非质点几何概型中，常见非质点的基本事 件有圆、球、线段、射线等。 转化关系： 一般的，非质点为圆对应此圆 圆心 ；非 质点为球对应此球 球心 ;非质点为线段对应 此线段的一 端点 （或中点。（布丰投针试验 对应中点角度））；非质点为射线对应角度 值（或所在直线斜率值）。
·
P( A)
100
练习2：半径为1的球在长、宽、高分别 为10、8、6的封闭长方体盒内随意飘动， 则球遮住长方体的体对角线中点的概率。
4 3 P( A) 8 6 4 144
D1 A1
A1'
D1'
C1'
C1
B1'
D'
B1
C'
D
A'
B
'
C B
A
练习3：若高二甲同学周六晚上在家只连 续学习2小时，甲学习时间为17:00时至 23:00时，则22:00时甲在学习的概率。
y
y=x
60
S
10
o
y=x-30
30
60
2350 47 P( A) 3000 60
所以甲乙两人在小广场相遇(有一段 时间)的概率
47 60
课后阅读105页 例5 布丰投针试验 、贝特朗 奇论.
非质点问题转化为质点问题转化中， 注意：非质点与质点的等价转化， 即一一对应性和等可能性。
小结 解非质点几何概型的方法： （1）分析基本事件是什么; （2）利用非质点与质点的一一对应关系和等 可能性，把基本事件为非质点问题转化为基 本事件为质点问题； （3）根据这一点形成的区域为长度（面积、 体积）求概率。
问题：把一半径为1的硬币随意投到半径为 12
的圆盘里且整个硬币落在圆盘内（硬币 不直立），则硬币遮住圆盘圆心的概 率。
·
0
·
非质点几何概型特点: (1)若一次试验中所有可能出现的基本事件有 无限个.且为非质点。 (2)每个基本事件出现的可能性相等，.
问题：把一半径为1的硬币随意投到半径为 12 的圆盘里且整个硬币落在圆盘内（硬币 不直立），则硬币遮住圆盘圆心的概率。 湖南岳阳县鹿角镇鼓励灭鼠 每只奖励5角钱。
本次洞庭湖周围东方田鼠大暴发与近两年洞庭 湖枯水期延长密切相关。 据悉，岳阳市岳阳县鹿角镇已经出台土政策，规 定打死一只东方田鼠可以得到0.5元的奖励。很多村 民是全家上阵打老鼠，有村民3天便上交老鼠尾巴 · 2700条。此新闻对我们分析上题有什么启示
问题：把一半径为1的硬币随意投到半径为 12 的圆盘里且整个硬币落在圆盘内（硬币 不直立），则硬币遮住圆盘圆心的概率。
1 1 P( A) 2 11 121
2
·
解非质点几何概型的方法：
（1）分析基本事件是什么; （2）利用非质点与质点的一一对应关系和等 可能性，把基本事件为非质点问题转化为基 本事件为质点问题； （3）根据这一点形成的区域为长度（面积、 体积）求概率。
练习1 把一半径为1的硬币随意投到边长为 12 的正方形内且整个硬币落在正方形内 （硬币不直立），则硬币遮住正方形中 心的概率。
作业：甲乙两篮球队到某体育馆训练，甲篮球队要 连续训练2小时，乙篮球队要连续训练3小时，体育馆 开放时间为6时至18时，求甲乙两队都在训练的概率 ．
练习:欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦 置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入， 而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人 叹为观止．若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为 1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油 滴整体（油滴的直径是0.2cm的球）正好落入孔中的 概率是 。（不作近似计算）
甲乙两人晚上到很小的广场锻炼，甲在18 ：00到18：30之间任意时刻到达，锻炼20 分钟离开，乙在18：10到18：50之间任意 时刻到达，锻炼30分钟离开，求甲乙两人 在小广场相遇的概率．
例：甲乙两人晚上到很小的广场锻炼，甲 在18：00到19：30的时间里锻炼30分钟离 开，乙在18：10到19：30的时间里锻炼30 分钟离开，求甲乙两人在小广场相遇(有一 段时间)有一段时间的概率．
基本事件为非质点的
几何概型 密山一中
复习：1.质点几何概型特点 (1)若一次试验中所有可能出现的基本事件有 无限个且为质点. (2)每个基本事件出现的可能性相等，
复习：2.几何概型的公式:
构成事件A的区域长度 (面积或体积) P ( A) 试验的全部结果所构成 的区域长度 (面积或体积)
练习:已知圆心为O的圆盘半径为12,和圆心为O 半径为2的小圆，向圆盘内随意投一粒小米， 则小米在小圆内的概率。