2021年高三上学期联考数学(理)试卷 含答案
2021届山西省高三上学期大联考数学(理)试题(解析版)
（1）证明：如图，连接 ，交 于点 ，连接 ， ，
则 为 的中点.
因为 为 的中点，
所以 ，且 ，
又 ， ，
所以 为平行四边形，
即 .
因为 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：连接 ，令 ，
因为 ， 为 的中点，
所以 .
又三棱柱 是直三棱柱， ，
所以 ， ， 互相垂直，
分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
【答案】
【解析】作 , ,以 为邻边作平行四边形 ,由向量的加法减法的平行四边形法则可得 ， 与 夹角等于 与 夹角,即为 ，得出答案.
【详解】
作 , ,以 为邻边作平行四边形
则 , ,由 ，
所以三角形 为等边三角形，所以 ,即得 ，
则 与 夹角等于 与 夹角,即为
所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量的夹角问题，考查向量的加法减法的平行四边形法则和三角形法则考查运算求解的能力.属于基础题.
13．已知 为抛物线 上一点，抛物线 的焦点为 ，则 ______.
【答案】
【解析】 代入抛物线方程可得 ，从而可得答案.
【详解】
由 为抛物线 上一点，
得 ，可得 .
则 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程与定义，考查运算求解能力,属于基础题.
14．已知平面向量 ， 满足 ，则 与 夹角的大小为______.
7．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等差数列，且 ，则 外接圆的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题先求出 ，再求出 ，接着求 外接圆的半径，最后求 外接圆的面积即可.
2021年高三上学期联考(12月)数学(理)试题 Word版含答案
侧视图正视图1121R 绝密★启用前2021年高三上学期联考（12月）数学（理）试题 Word 版含答案由株洲市二中高三理科数学备课组命制一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；每小题只有一个正确答案）1．已知全集U=R ，集合，集合，则（ C ）A ．B ．（1，2]C ．D ． 2．已知复数满足，则（ D ）A ．B ．C ．D ． 3．设α为锐角，若cos ＝，则sin 的值为（ B ）A ．B ．C ．D ．4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为 ( C )A. B. C. D.5．已知双曲线 （，）的左、右焦点分别为、，以、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为 ( C )A ．B ．C ．D ．6．下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率的程序框图，则图中空白框内应填入（ D ）A ．B ．C ．D ．7．一个几何体的三视图如上右图，则该几何体的体积为 ( D )A． B． C． D．8．若，命题直线与圆相交；命题，则是的 ( A )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（ C ）A． B． C． D．10．已知不等式组表示平面区域，过区域中的任意一个点，作圆的两条切线且切点分别为，当的面积最小时，的值为（ B ）A． B． C． D．11．如上右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ C ）A．2 B． C． D．12．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为 ( D )A．1－ln 2 B. (1－ln 2) C． D.(1＋ln 2)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 21 ．AMBGNC14．函数() 的单调递增区间是 .15．对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法： 解：由 的解集为，得的解集为， 即关于的不等式 的解集为.参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________． 16．已知椭圆的方程为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同于的动点，直线与直线分别交于两点，若，则过三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为 ．三、解答题：（本大题分必做题和选做题两部分，满分70分，解答须写出详细的计算步骤、证明过程） （一）必做题：17．（本小题满分12分）株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为，，，，，，等七组,其频率分布直方图如下图所示。
2021年高三上学期第二次联考数学理 含答案
2021年高三上学期第二次联考数学理含答案一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置.1.设，则＝（）A． B． C． D．2.命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3.下列函数中，既是偶函数又在区间上递增的函数为（）A． B． C． D．4.一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒5.函数的零点位于（）A． B． C． D．6.“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7.函数的图象可能是（）D 1C 1B 1A 1D CBAxyπ6π35π63- 3OA B C D 8.如图：正方体，棱长为1，黑白二蚁都从点出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中）.设黑白二蚁走完第xx 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ( )A ． 1 B. C. D. 0二、填空题.本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 9.函数的定义域为____________.10.若函数是函数且的反函数，且函数的图像经过点， 则 ____________. 11.已知函数，则的值为____________.12.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>< 的图象，则其解析式是____________.13.由曲线与直线、直线所围成的图形的面积为____________.14.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.三、解答题.本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分12分）已知函数,（1）求的值；（2）若，求.16.（本小题满分12分）设函数,（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.17．（本小题满分14分）设函数,（1）求函数的最小正周期，并求在区间上的最小值；（2）在中，分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求.18.（本小题满分14分）已知函数（1）若函数在处的切线垂直轴,求的值；（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；（3）讨论函数的单调性.19.（本小题满分14分）已知函数（1）设为函数的极值点，求证: ；（2）若当时，恒成立，求正整数．．．的最大值.20.（本小题满分14分）设函数2* ()1,(,)1!2!!nnx x xf x x R n Nn=-++++∈∈（1）证明对每一个，存在唯一的，满足；（2）由（1）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（3）对任意，满足（1），试比较与的大小.xx届六校十月联考理科数学参考答案一.选择题二.填空题9. 10. 11.12. 13. ____1____ 14.三.解答题15．（本小题满分12分）已知函数,（1）求的值；（2）若，求.解:（1）……2分……4分……5分（2）……7分……8分……9分……10分= ……12分16.（本小题满分12分）设函数,（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.解：(1)……2分 令 ……3分 的变化情况如下表：……5分由上表可知的单调递增区间为和,单调递减区间为. ……6分（2）由（1）可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， ……7分 的极大值 ……8分 的极小值 ……9分 又 ， ……10分 ……11分 函数在区间上的最大值为 ，最小值为 . ……12分17．（本小题满分14分） 设函数,（1）求函数的最小正周期，并求在区间上的最小值； （2）在中，分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求. （资料苏元高考吧 广东省数学教师QQ 群：179818939）解：（1）()21cos 2sin cos 22x f x x x x x -==+ ……3分 所以函数的最小正周期为 ……4分 因为，所以.所以当时，函数在区间上的最小值为. ……7分 （2）由得：.化简得：，又因为，解得：. ……10分由题意知：，解得，又， ……12分 由余弦定理：()()22222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A =+-=+-+=， . ……14分18. （本小题满分14分） 已知函数（1）若函数在处的切线垂直轴,求的值； （2）若函数在为增函数，求的取值范围； (3) 讨论函数的单调性.解：（1）因为，故， ……1分 函数在处的切线垂直轴，所以 ……3分（2）函数在为增函数，所以当时，恒成立，分离参数得：，从而有：. ……7分 （3）2()()(2)(2)ln g x f x a x x a x a x =-+=-++22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++== ……10分令，因为函数的定义域为，所以（1）当，即时，函数在上递减，在上递增； ……11分 （2）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增 ……12分 （3）当，即时，函数在上递增； ……13分 （4）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增. ……14分19.（本小题满分14分）已知函数（1）设为函数的极值点，求证: ；（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值.解：（1）因为，故, ……2分为函数的极值点,, ……3分即,于是,故……5分(2)恒成立,分离参数得……7分则时，恒成立，只需，，记，，……9分在上递增，又，在上存在唯一的实根，且满足，……11分当时，即；当时，即,,故正整数的最大值为……14分20.（本小题满分14分）设函数2* ()1,(,)1!2!!nnx x xf x x R n Nn=-++++∈∈（1）证明对每一个，存在唯一的，满足；（2）由（1）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（3）对任意，满足（1），试比较与的大小.解:（1）显然,当时,,故在上递增. ……2分 又，221111()()(1())1111112222()11()()1()01222!!222212nn n n n f n -=-++++<-++++=-+=-<-故存在唯一的，满足 ……4分 （2）由（1）知在上递增 因为所以21111111111()1()02!!(1)!(1)!n n n nn n n n n n n n x x x x f x x f x n n n ++++++++++=-+++++=+=++ ……6分 （资料苏元高考吧 广东省数学教师QQ 群：179818939），由（1）知在上递增故，即数列单调递减. ……9分 (3) 由（2）数列单调递减，故 而21()102!!(1)!()!nn n pn pn pn pn pn p n p n p x x x x f x x n n n p +++++++++=-+++++++=++ ……11分两式相减：并结合，以及211111!!11!!(1)111111k kkn pnn p nn pn n p k k n k n pn pn p n pk n k n k n n pk n x x x x x k k x k k k k k k n n p n ++++==+++++=+=+=++=+--=+<≤<-⎡⎤=-=-<⎢⎥-+⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 所以有 ……14分35914 8C4A 豊30109 759D 疝}22072 5638 嘸40741 9F25 鼥kM20286 4F3E 伾24667 605B 恛26537 67A9 枩/P`32426 7EAA 纪<。
2021-2022年高三上学期第二次联考数学(理)试题含答案
2021年高三上学期第二次联考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上． 1．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2． 已知是虚数单位，和都是实数，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，则的值为 A ． B ． C ． D ．4．设为两个非零向量，则“”是“与共线”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于A ．B ．C ．D ． 6．已知 ，且 ，则A ．B ．C ．D ． 7．已知,点在内，且，设，则等于（ ）A ．B ．3C ．D ． 8．等差数列的前项和为，且，，则过点和 ()的直线的一个方向向量是( )A ．B ．C ．D ．9．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为( )A ．B ．4C ．D ．10．在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位）A ．B ．C ．D ．12．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为 A ． B ． C ． D ．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上． 13．的展开式中的系数为 ＊ ＊ ．14．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为 ＊ ＊ ．15．设点满足条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥≤2200x y y x ，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是 ＊ ＊ ．16．在中，若，则的最大值 ＊ ＊ ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列的各项均为正数，前项和为，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求． 18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，． （Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程； （Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．21．已知函数x0.0030.006510080604020O（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若有两个极值点，证明：．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 已知外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至,延长交的延长线于． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅． 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知，对，恒成立，求的取值范围．河北省“五个一名校联盟”xx 高三教学质量监测（二）理科数学(答案)第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：BDADC CBADB AC 二、填空题：13． -200 ．14． ．15． ．16． ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列的各项均为正数，前项和为，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= （Ⅰ）求证数列是等差数列； （Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求 解：（Ⅰ） ① )2(2)1(111≥+=---n a a S n n n ②①-②得：21212----+=n n n n n a a a a a 整理得：()111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a数列的各项均为正数，时，数列是首项为公差为的等差数列 6分 （Ⅱ）由第一问得 222112(1)1n b n n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+++⎝⎭1111111122(1)()2122334111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 12分18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于分钟的概率）解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以 ． 3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：，因为，所以1200名新生中有名学生可以申请住宿． 6分 （Ⅲ）的可能取值为由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ． 10分0123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或） 所以的数学期望为． 12分19．已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值． 19．解：（Ⅰ） 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ………………2分又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC ………………4分从而平面PBD ⊥平面PAC ． ……………6分 （Ⅱ）方法1． 过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥PM,所以∠OHD 为O-PM-D 的平面角………………8分 又33,,244a a OD a OM AM ===，且………………10分 从而2222·4191669OH b a a b ==++………………11分 223(169)tan 26b a ODOHD OH +∠===所以，即． ………………………12分MO DACBPH法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则,, …………8分yz xMO DACBP从而333(0,,),(,,)8PD a b PM a b =-=-………………9分 因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为．……10分 设平面PMD 的法向量为,由得3330,088PD n ay bz PM n ax ay bz ⋅=-=⋅=+-= 取，即 ……………11分设与的夹角为，则二面角大小与相等 从而，得531cos 5||||ab abOD n OD n a θ-+⋅===⋅从而，即． ……………12分 20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程； （Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值． 解：（Ⅰ）联立，消并化简整理得． 依题意应有，解得． 设，则，设圆心，则应有121200,422x x y yx y ++===-． 因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又||AB=． 所以 ||28AB r ==， 解得．所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为． 故所求圆的方程为．（Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以， 直线：整理得，点到直线的距离 ， 所以1||42AOB S AB d ∆==-= 令，， ，21．已知函数（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若有两个极值点，证明：．解：（Ⅰ）时，2(),()2,xxf x x e f x x e '=-=-易知max ()(ln 2)2ln 220,f x f ''==-<从而为单调减函数．………………４分 （Ⅱ）有两个极值点， 即有两个实根，所以，得．(ln 2)2ln 220f a a a a '=->，得．………………6分又，所以………………8分111()20x f x ax e '=-=，得111121111()122x x x x x e f x ax e x e e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭………………10分， 1(1)()(0)12ef f x f -=<<=-………………12分另解：由两个实根，，当时，所以单调递减且，不能满足条件． 当时，所以单调递减且 当时，所以单调递增且， 故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即即，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．有两个实根，不是根，所以由两个实根，， 当时，所以单调递减且，不能满足条件． 当时，所以单调递减且 当时，所以单调递增且， 故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即即，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．解：(Ⅰ)证明：、、、四点共圆 ．………………2分且,EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,……………4分 ．………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,又, 所以与相似, ，…………7分又, ，AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得，……………9分AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值． 解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为……………………………………………2分 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，[ 所以曲线的直角坐标方程为…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得… ………6分 令，得，即点的坐标为(2，0)．又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则… ……8分 所以………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知，对，恒成立，求的取值范围．解：∵ a ＞0，b ＞0 且a+b=1 ∴ +=(a+b)( +)=5++≥9 ，故+的最小值为9，……5分因为对a ，b ∈(0，+∞)，使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9，∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜时，-3x≤9，∴ -1＜x＜，当 x≥时，x-2≤9，∴≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分。
2021届八校高三上学期12月联考数学(理)试题及答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}13A x x =-≤，{}2450B x x x =--≤，则A B =（ ）A. {}21x x -≤≤- B. {}14x x -≤≤ C. {}25x x -≤≤D. {}45x x ≤≤2. 若复数()()31z a i a R =+-∈在复平面内对应的点在直线2y x =+上，则a =（ ） A. 1B. 2C. 5D. 63. 命题“对任意0x >，都有0x x e +>”的否定为（ ） A. 对任意0x >，都有0x x e +≤ B. 对任意0x ≤，都有0x x e +≤ C. 存在0x >，使得0x x e +≤D. 存在0x ≤，使得0x x e +≤4. 已知函数2,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，则不等式()()265f x f x ->的解集是（ ）A. ()(),61,-∞-+∞B. ()(),16,-∞-+∞C. ()1,6-D. ()6,1-5. 若实数x ，y 满足约束条件3020380x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则z x y =+的取值范围为（ ）A. []1,5-B. []1,2-C. [)5,+∞D. [)2,+∞ 6. 已知O 为ABC △所在平面内一点，若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，6AB =，4AC =，则AO BC ⋅=（ ）A. -5B. -10C. 10D. 57. 在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线1A M 与BN 所成角的正切值为（ ）A.B. 1C.D.28. 下列函数图象不可能是函数()()xf x x eZ αα=∈的图象的是（ ）A.B. C. D.9. 已知p ：201x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，q ：{}0B x x a =-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. (),1-∞D. (],1-∞ 10. 如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则621mx nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A. 15B. -15C.1354D. 1354-11. 如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A ，B ，C 点，令1AF BF λ=，2BC BFλ=，则当3πα=时，12λλ+的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 612. 已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，若存在120x x π≤<≤，满足()()1234f x f x ==，则()12cos x x -=（ ）A. B.34C.4D. 34-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-，816a =，则6S =________.14.)44d x x -=⎰________.15. 已知113k ≤<，函数()311x k f x k =--+的零点分别为()1212,x x x x <，函数()3121x kg x k =--+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为________.16. 已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是双曲线C 左支上的点，12MF F △的周长是9，动点P 在双曲线C 的右支上，则1MF P △面积的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22212a cb ac +-=. （1）求2sin cos 22A CB ++的值； （2）若2b =，求ABC △面积的最大值.18. 已知数列{}n a 中，11a =，()*13nn n a a n N a +=∈+. （1）证明：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列. （2）若数列{}n b 满足()312n n n nn b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC AA ===，AC =点D ，E 分别为AC 和11B C 的中点.（1）棱1AA 上是否存在点P ，使得平面PBD ⊥平面ABE ？若存在，求出PA 的长，并证明你的结论﹔若不存在，请说明理由.（2）求二面角A BE D --的余弦值.20. 已知中心为坐标原点的椭圆C的一个焦点为)F，且经过点1,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）若不经过点F 的直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切，试探究ABF △的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由. 21. 已知函数()ln f x x =. （1）设函数21()(2)2()2t x x a x af x =-++，讨论()t x 的单调性. （2）函数()3()0g x xx =>的图象在点P 处的切线为l ，是否存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y f x =也相切？若存在，判断满足条件的点P 的个数；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，点P 是曲线1C ：112x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数）上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 3cos ρθθ=-.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值以及取得最小值时P 的直角坐标. 23. [选修4—5：不等式选讲] 设函数()2()0f x x x a a a=-++>. （1）证明：()f x ≥（2）当()0,1x ∈时，()3f x ≤恒成立，求a 的取值范围.高三数学试题参考答案（理科）一、选择题1. B 依题意可得{}24A x x =-≤≤，{}15B x x =-≤≤，所以{}14AB x x =-≤≤，故选B.2. D 复数()31z a i =+-在复平面内对应的点()3,1a -在直线2y x =+上，132a -=+，6a =，故选D.3. C 命题的否定为存在0x >，使得0x x e +≤，故选C.4. D 由题知函数()f x 在R 上单调递增，则265x x ->，解得61x -<<，故选D.5. D 画出满足条件的平面区域，如图所示，作出直线0x y +=并平移.易知目标函数z x y =+在点A 处取得最小值，没有最大值.联立30380x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩.此时2x y +=，所以z x y =+的取值范围为[)2,+∞，故选D.6. B 由已知得，()()()()0OA OB OB OA OB OC OC OB +⋅-=+⋅-=22220OB OA OC OB OA OB OC ⇔-=-=⇔==，则O 为ABC △的外心.设OD AB ⊥，OE AC ⊥，垂足分别为D ，E （图略）.根据两个向量数量积的几何意义，可知()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-10AO AC AO AB AE AC AD AB =⋅-⋅=⋅-⋅=-，故选B.7. C 如图，取1AA 的中点P ，连接PN ，PB .由直三棱柱的性质可知1//A M PB ，则PBN ∠为异面直线1A M 与BN 所成的角（或其补角）.设三棱柱的棱长为2，则PN =，PB =，BN =，所以222PN BN PB +=，所以90PNB ∠=︒.在Rt PBN △中，tanPN PBN BN ∠===，故选C.8. C 对于A ，图象中函数的定义域为R ，函数是偶函数，则当α为正偶数时，满足对应图象；对于B ，图象中函数的定义域为{}0x x ≠，函数是偶函数，则当α为负偶数时，满足对应图象；对于C ，图象中函数的定义域为R ，函数是奇函数，且为增函数，递增的速度越来越慢，没有符合条件的α；对于D ，图象中函数的定义域为R ，函数是奇函数，且为增函数，递增的速度越来越快，则当α为正奇数时，满足对应图象.故选C.9. D ∵()(){}{}210121A x x x x x x x =--≥≠=≥<且或，{}B x x a =<，又p 是q 的必要不充分条件，∴BA .由数轴可得1a ≤，故选D.10. A 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，所以圆柱的体积23122V R R R ππ=⨯=，球的体积3243V R π=，所以313223423V R m V R ππ===.又圆柱的表面积为2212226S R R R R πππ=⨯+=，球的表面积为224S R π=，所以21226342S R n S R ππ===，1m n =，662211m x x nx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常数项为()42426115x C x⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 11. C 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124162sin 603x AB x =++==︒，12103x x +=.又21214p x x ==，可得13x =，213x =，所以1313113AF BF λ+===+=. 同理可得22BC BFλ==，所以125λλ+=.12. B 由图象知函数的周期13721212T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，2ω=， 713551212sin 21266f f ππππϕ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫==⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，∴53232k ππϕπ+=+， 即26k πϕπ=-，k Z ∈.∵ϕπ<，∴6πϕ=-，()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵条件存在120x x π≤<≤，满足()()1234f x f x ==， ∴1112666x πππ-≤-≤，则1126x πθ=-，2226x πθ=-关于2π对称， 即12226622x x πππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，得2123x x π=-，且13sin 264x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()1212cos cos 23x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 设126x πα-=，则126x πα=+，即3sin 4α=，则()121223cos cos 2cos sin 3634x x x πππαα⎛⎫⎛⎫-=-=+-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 二、填空题 13.218∵{}n a 为等比数列，∴385a a q =，∴31682q ==--，∴2q =-.∵451a a q =，∴121168a -==-，∴()661611(2)12181128a q S q ⎡⎤----⎣⎦===-+. 14. 8π因为)44444d d x x x x x ---=-⎰⎰⎰，而4x -⎰由定积分的几何意义知其为半径为4的半圆，面积为8π，42444d 02x x x --==⎰，所以48x π-=⎰.15. 35log 2 因为12x x <，所以113111x k k k =-=++，2213111x k k k k +=+=++. 又因为34x x <，所以33121xk k =-+，43121x k k =++，所以21321x x k -=+，433131x xk k -+=+，所以()()4321(21)(31)31x x x x k k k -+-++=+.令1k t +=，4,23t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1k t =-，所以(21)(31)(21)(32)2671k k t t t k t t++--==+-+.设2()67h t t t =+-，4,23t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则222262'()60t h t t t -=-=>，()h t 在4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以5(),62h t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()()432153,62x x x x -+-⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故()()4321335log ,log 62x x x x ⎡⎫-+-∈⎪⎢⎣⎭.16. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭∵M 是双曲线C 左支上的点，∴212MF MF -=.∵12MF F △的周长是9， ∴21129MF MF F F ++=.∵124F F =，∴132MF=，272MF =.设()00,M x y ，则132MF ===，解得054x=-，04y =±.根据双曲线的对称性，不妨取0y =，则54M ⎛- ⎝⎭，∴1MF k ，∴直线1MF 的方程为)2y x =+.∵直线1MF与渐近线y =平行，∴双曲线C 的右支上任意一点到直线1MF 的距离都大于两平行线间的距离，即都大，∴11124MF PMS F>=△.三、解答题17. 解：（1）在ABC△中，由余弦定理可知2222cosa cb ac B+-=，由题意知22212a cb ac+-=，∴1cos4B=.又在ABC△中，A B Cπ++=，∴22sin cos2sin cos222A C BB Bπ+-+=+ 2221cos cos1cos cos22cos12cos2222B B BB B B+=+=+-=+-.又1cos4B=，∴21sin cos224A CB++=-.（2）∵2b=，22212a cb ac+-=，∴22142a c ac+-=，即1242ac ac≥-，∴83ac≤.∵1cos4B=，∴sin4B=，∴118sin22343ABCS ac B=⋅≤⨯⨯=△，∴ABC△.18.（1）证明：由()*13nnnaa n Na+=∈+，知11111322n na a+⎛⎫+=+⎪⎝⎭，又111322a+=，∴112na⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列.（2）解：由（1）知111333222nnna-+=⨯=，∴231n na=-，12n nnb-=.0122111111123(1)22222n n nT n n--=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，121111112(1)22222nn nTn n-=⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得012111111222222222nn n nT nn-+=++++-⨯=-，∴1242n nnT-+=-.19. 解：（1）存在点P 满足题意，且34PA =. 证明如下：如图，取11A C 的中点F ，连接EF ，AF ，DF ， 则11////EF A B AB ，∴AF ⊂平面ABE . ∵AB BC =，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥.在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11A ACC ，且交线为AC ， ∴BD ⊥平面11A ACC ，∴BD AF ⊥. 在平面11A ACC内，∵2AP AD AD DF ==，90PAD ADF ∠=∠=︒， ∴Rt PAD Rt ADF △△，从而可得AF PD ⊥.又∵PDBD D =，∴AF ⊥平面PBD .∵AF ⊂平面ABE ，∴平面PBD ⊥平面ABE .（2）如图，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 易知()0,0,0D ，1,0,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1,44BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,22AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02DB ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，则10441022m BE x y z m AB x y ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩， 取2y =，得(2m =-，同理可求得平面BDE 的一个法向量为(0,4,n =， 则c 111912os ,m n m n m n⋅===，由图可知二面角A BE D --为锐角，∴其余弦值为1119.20. 解：（1）设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，由题可知另一个焦点为()'F .由椭圆的定义可知42'F aMF M ===+， 所以2a =.因为c =222b a c =-，所以1b =， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）因为直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得 ()222418440k x kmx m +++-=，所以()2221641480k m k ∆=-+=>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+. 所以AB ==， 又221m k =+，所以A B =.因为A F =122x ==-，同理22F x B =，所以()1242F F x A B x =-++2284424141km k k =+=+++，所以22444141k AF BF k AB ++=+-=++， 故ABF △的周长为定值4.21. 解：（1）因为21()(2)2ln 2t x x a x a x =-++， 所以2(2)()'()(2)a x x a t x x a x x --=-++=. 所以①当0a ≤时，()t x 在(]0,2上为减函数，在[)2,+∞为增函数；②当02a <<时，()t x 在(]0,a 上为增函数，在[],2a 上为减函数，在[)2,+∞上为增函数； ③当2a =时，()t x 在()0,+∞上为增函数；④当2a >时，()t x 在(]0,2上为增函数，在[]2,a 上为减函数，在[),a +∞上为增函数.（2）设()()3000,0P x x x >.因为2'()3g x x =，所以()200'3g x x =， 所以直线l 的方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-①. 假设直线l 与()f x 的图象也相切，切点为()11,ln x x . 因为1'()f x x=，所以()111'f x x =， 所以直线l 的方程也可以写为()1111ln y x x x x -=-. 又因为20113x x =，即12013x x =， 所以直线l 的方程为20220011ln 333y x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即20032ln ln 31y x x x =---②. 由①②得3002ln ln 312x x ---=-，即30022ln 1ln 30x x ---=.令()()3000022ln 1ln300m x x x x =---=>， 所以()20002'6m x x x =-.令()20002'60m x x x =-≥，得0x ≥ 所以()0m x在⎛ ⎝]单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增， 所以()0min 121ln 33m x m ==⨯--11ln 3033=--<. 又因为当0x →时，()0m x →+∞；当x →+∞时，()0m x →+∞.所以()300022ln 1ln30m x x x =---=在()0,+∞有且只有两个实数根. 故存在这样的点P 使得直线l 与函数()f x 的图象也相切，这样的点P 有且只有两个.22. 解：（1）由1C ：112x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩消去参数t ，得到22221142y x t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴1C ：221416x y -=，∴2C ：sin 3cos 2ρθρθ-=，∴32y x -=. （2）设11,2P t t t t ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则P 到直线2C ：32y x -=的距离为d ，d PQ ==≥∵522t t ++≥，522t t++≤-，∴PQ ≥，此时t =,55P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 23.（1）证明：因为0a >，所以()22()f x x x a x x a a a=-++≥--+， 所以2()f x a a ≥+.因为0a >，2a a+≥()f x ≥ （2）解：因为0a >，所以当()0,1x ∈时，2()3f x x x a a =-++≤， 即233x a x x a a+-≤-≤--恒成立，所以23223aaaa⎧-≤-⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，解得12a≤≤.综上，a的取值范围是[]1,2.。
贵州省遵义市2021届高三上学期第一次联考理科数学试题(含答案解析)
贵州省遵义市2021届高三上学期第一次联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2A x x =，{}lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{}22x x -≤≤ B ．{12}x x <≤ C ．{1}x x >D ．{02}x x <<2．设复数z 满足|1|1+=z ，且z 在复平面内对应的点为(,)x y 则,x y 满足（ ） A ．22(1)1x y ++= B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1y x +-=D ．22(1)1x y ++=3．从2019年12月底开始，新型冠状病毒引发的肺炎疫情不断蔓延，给全国人民带来了重大损失，如图是我国2020年1月20日至2月10日，湖北内外新增确诊人数的折线统计图，由图可知，1月20日至2月10日这几天内，下列选项中正确的是（ ）A ．湖北新增确诊人数逐日增加B ．全国新增确诊人数呈增加的趋势C ．2月4号全国患病人数达到最多D ．湖北地区新增确诊人数的方差大于非湖北地区新增确诊人数的方差4．如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为36、96，则输出的a =（ ）A ．0B ．8C ．12D ．245．若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞6．过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，若点()1,0C x 与点()2,0D x 关于直线32x =对称，则||AB =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若tan ,tan αβ是方程250x -+=的两根，则αβ+=（ ） A ．3π-或23π B ．3π-C ．23π D ．56π 8．已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）A ．()sin x x y e e -=+B ．()sin x x y e e -=-C ．()cos x xy e e-=-D ．()cos x xy e e -=+9．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“312++”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2310．已知ABC 的外接圆的的圆心是M ，若2PA PB PC PM ++=，则P 是ABC 的（ ） A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心11．已知c 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的半焦距，则a b c+的最大值是（ ）AB．2CD12．已知1232a e =，2343b e =，13138c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>二、填空题13．已知可行域10101x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则目标函数22z x y =+的最小值为_____．14．多项式22212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.（用数字作答）15．三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB SA SB SC a ====，则该三棱锥的外接球的体积为_____．16．已知数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前32项之和为__________.三、解答题17．ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知sin sin (sin sin )c C b B a A B -=-．（1）求角C ；（2）若D 为AB 中点，且2c =，求CD 的最大值．18．为激活国内消费布场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”.现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图，如图所示.（1）求出频率分布直方图中的a 值和这200人的平均年龄；（2）从第2，3，5组中用分层抽样的方法抽取12人，并再从这12人中随机抽取3人进行电话回访，求这三人恰好属于不同组别的概率；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关？ 附：)20K 0.1502.072()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++19．如图，正方形AMDE 的边长为2，B C 、分别为线段AM MD 、的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD PC 、分别交于点G H 、．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．20．已知椭圆()3222:10x y E a b a b+=>>，以抛物线2y =的焦点为椭圆E 的一. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点，且满足OP OA OB =+（其中O 为坐标原点），试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅的值；若不存在，请说明理由.21．已知222()ln (0)2a a f x a x x ax a +=-+≠.（1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为24y x =，直线l 的参数方程为cos 2+sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 的斜率为1-，且与曲线C 交于,M N 两点，求||MN 的长.23．设函数1()||f x x x a a=++-． （1）若(2)1f a >+，求a 的取值范围；（2）若对(0,),()a f x m ∀∈+∞≥恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1．B 【分析】先利用绝对值不等式求解，对数函数求定义域，解出集合,A B ，再利用集合的交集运算求解即可. 【详解】 由{}2A x x=可得{}22A x x =-≤≤，由{}lg(1)B x y x ==-可得{}1B x x =>， 所以{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算以及求对数函数的定义域.属于较易题. 2．A 【分析】设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|1+=z ，再由复数模的计算公式求解. 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈， 由|1|1+=z 得：|1|1x yi ++==，即22(1)1x y ++=， 故选：A 【点睛】本题考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 3．D 【分析】观察图象根据点的波动逐项判断. 【详解】湖北最新确诊人数有增有减，A 错误；全国最新确诊人数呈先增加后减少的趋势，B 错误；2月4号全国新增确诊人数达到最多，并非患病人数最多，C 错误；非湖北地区1月20日至2月10日这几天内新增确诊人数相较于湖北地区新增确诊人数的波动性较小，变化比较平稳，方差更小，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查统计图表的实际应用，属于基础题. 4．C 【分析】根据题意，由程序框图，逐步运算，即可得出结果. 【详解】第一步：初始值36a =，96b =；此时ab ；进入循环；第二步：3696a =<，计算963660b =-=，此时3660≠，进入循环； 第三步：3660a =<，计算603624b =-=，此时3624≠，进入循环； 第四步：3624a =>，计算362412a =-=，此时1224≠，进入循环；第五步：1224a =<，计算241212b =-=，此时1212=，结束循环，输出12a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查循环程序框图求输出值，属于基础题型. 5．B 【分析】求出函数的导数，问题转化为()0f x =最多1个实数根，根据二次函数的性质求出a 的范围即可. 【详解】321()53f x x ax x =-+-, 2()21f x x ax '∴=-+，由函数321()53f x x ax x =-+-无极值点知，()0f x '=至多1个实数根，2(2)40a ∴∆=--≤，解得11a -≤≤，实数a 的取值范围是[1,1]-， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于中档题. 6．C 【分析】利用抛物线的焦半径公式可得12pAF x =+，22p BF x =+，再由||AB AF BF =+即可求解. 【详解】抛物线24y x =，2p ∴=，过焦点F 的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点， 其横坐标分别为12,x x ，利用抛物线焦半径公式， 则1112p AF x x =+=+，2212pBF x x =+=+， 12||2AB AF BF x x =+=++∴，又点()1,0C x 与点()2,0D x 关于直线32x =对称， 则123232x x +=⨯=， 所以||325AB =+=. 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 7．C 【分析】根据韦达定理可得tan ,tan αβ的和与积关系, 再根据,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭判断,αβ的范围.再代入两角和的正切公式求解,判断αβ+的大小即可. 【详解】因为tan ,tan αβ是方程250x -+=的两根可得tan tan αβ+=tan tan 5αβ⋅=.所以tan ,tan αβ均为正数,又,,22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,故,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===-⋅.又()0,αβπ+∈.故23παβ+=.故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式的运用,包括根据正切值范围求解角度范围的方法等.属于中等题型. 8．D 【分析】根据0x =时的函数值，即可选择判断. 【详解】由图可知，当0x =时，0y <当0x =时，()sin x xy e e-=+20sin =>，故排除A ； 当0x =时，()sin x xy e e-=-00sin ==，故排除B ； 当0x =时，()cos x xy e e-=-010cos ==>，故排除C ； 当0x =时，()cos x xy e e-=+20cos =<，满足题意. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题. 9．A 【分析】先由列举法计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到历史、地理两门功课的基本事件的个数，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】由题意，记物理、历史分别为A 、B ，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为a 、b 、c 、d ，从中选择2门；则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：(),,A a b ，(),,A a c ，(),,A a d ，(),,A b c ，(),,A b d ，(),,A c d ，(),,B a b ，(),,B a c ，(),,B a d ，(),,B b c ，(),,B b d ，(),,B c d ，共12个基本事件；该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：(),,B a b ，(),,B b c ，(),,B b d 共3个基本事件；∴该同学选到物理、地理两门功课的概率为31124P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于基础题型. 10．D 【分析】由题意画出相关示意图，D 、F 分别是AB 、PC 的中点，连PD ，DM ，FM ，根据向量在几何图形中的应用有2PA PB PD +=，即得DM 与PF 共线即可知P 与ABC 的关系. 【详解】如图，D 、F 分别是AB 、PC 的中点，连PD ，DM ，FM ，则有2PA PB PD +=，而2PA PB PC PM ++=，∴()22PC PM PD DM =-=，即有2PCDM PF ==，有DM 与PF 共线， ∵ABC 的外接圆的的圆心是M ，有MD AB ⊥，则PC AB ⊥，同理有PB AC ⊥，PA BC ⊥，∴P 是ABC 的垂心. 故选：D. 【点睛】本题考查了向量的几何应用，根据几何线段的向量表示，结合向量线性运算求证点与三角形的关系. 11．C 【分析】根据题中条件，得到c ，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为c 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的半焦距，所以c =则a b c +==== 当且仅当a b =时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，考查双曲线的性质，属于基础题型. 12．D 【分析】运用作商法，结合对数函数的单调性，即可得到所求关系． 【详解】解：11136213131212c ee a --==，令()()111ln ln 1ln 66x f x x x x +=-=+-- 则()()111011f x x x x x-'=-=<++ 即()()1ln 1ln 6f x x x =+--在定义域上单调递减，又()50f >，()60f < 所当6x >时()0f x <，由0131ln 621c lna =-<，即有1c a<，即c a <； 1698a eb -=， 由91086a lnln b =-<，即a b <， 则c a b <<，即b a c >>． 故选：D ． 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题． 13．12【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为可行域内的点(),x y 到原点距离的最小值的平方，由图象利用点到直线的距离公式求解，代入即可得到结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：22z x y =+的最小值表示的几何意义是可行域内的点(),x y 到原点距离的最小值的平方，由图象可知：当OA 垂直于直线10x y +-=时，目标函数z 最小，由点O 到直线10x y +-=的距离公式得：2AO ==， 2min 12z AO ∴==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查线性规划中的平方和型函数的最值的求解问题，关键是能够将目标函数转化为可行域内的点到直线的距离的平方的问题，利用几何意义求得最值.属于中档题. 14．6 【分析】首先化简多项式2422112x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据展开式的通项公式求常数项. 【详解】2422112x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 通项公式()44214411rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，当420r -=时，2r ，22146T C +==. 故答案为：6 【点睛】本题考查多项式求常数项，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.15．327π 【分析】首先确定外接球的球心，进—步确定球的半径，最后求出球的体积. 【详解】如图所示，取AB 中点D ，连,SD CD ，,SA SB SD AB =∴⊥，又三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，,,D SB SC CD BD SBD SC ∴==≅∴△△， 90SDC SDB ∴∠=∠=︒，即SD CD ⊥，,AB CD D SD =∴⊥平面ABC ，∴三棱锥的外接球的球心O 在SD 上，连OB ，且AB SA SB SC a ====，所以2SD =， 设外接球的半径为R ，则在△BOD 中，利用勾股定理：222()()22aa R R -+=， 解得R =，所以334433S R ππ=⋅=⋅=【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球问题，球的体积公式，考查了运算能力，属于中档题. 16．528 【分析】分n 为奇数和偶数两种情况，发现数列的特点，再分组求和. 【详解】当n 为奇数时，121n n a a n +-=-，2121n n a a n +++=+，两式相减得22n n a a ++=，当n 为偶数时，121n n a a n ++=-，2121n n a a n ++-=+，两式相加得24n n a a n ++= ，所以()()32135312432......S a a a a a a a =++++++++()()23028426 (3016485282)+=⨯++++=+⨯⨯=.故答案为：528 【点睛】本题考查递推数列，数列求和，重点考查转化与变形，分组求和，属于中档题型.17．（1）3C π=；（2【分析】（1）先根据正弦定理完成角化边，然后利用余弦定理求解出C 的值；（2）先根据已知条件表示出CD ，再利用基本不等式求解出ab 的范围，从而可求解出CD的最大值. 【详解】（1）因为sin sin (sin sin )c C b B a A B -=-，所以222c b a ab -=-， 所以222c a b ab =+-且2222cos c a b ab C =+-，所以1cos 2C =， 所以3C π=；（2）因为2CA CBCD +=，所以2222112444CA CB ab CD a b ⎛⎫+==++ ⎪ ⎪⎝⎭， 又因为2224c a b ab =+-=，所以2242a b ab ab +=+≥，所以4ab ≤（取等号时2a b ==），所以22211224344422ab ab CD a b ++=++=≤=，所以CD ≤2a b ==），所以CD 【点睛】本题考查解三角形的综合应用，其中涉及到正弦定理完成边化角以及利用余弦定理求解最值，对学生的转化与计算能力要求较高，难度一般.注意：使用基本不等式时要说明取等号的条件.18．（1）0.035a =；41.5；（2）21110；（2）没有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关； 【分析】（1）由频率分布直方图各小长方形的面积总和为1，可计算频率分布直方图中a 的值，以各组的区间中点值代表该组的取值，即可得出结论. （2）利用古典概型的概率公式计算可得结果；（3）根据题中的数据，列出列联表，计算出观测值，再利用独立性检验的基本思想即可求解. 【详解】（1）由题意得：()20.010.0150.03101a ⨯+++⨯=， 所以0.035a =，200人的平均年龄为：200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）依题意按照分层抽样从第2组中抽取3人，第3组中抽取7人，第5组中抽取2人；再从这12人中抽取3人一共有312C 种结果；其中这三人恰好来自不同组别有111372C C C故这三人恰好属于不同组别的概率11137231221110C C C P C == （3）由题意可得22⨯列联表为：故()2220010********* 2.083 6.635120801604012K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故没有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关. 【点睛】本题主要考查了利用频率分布直方图求平均数的问题，考查了古典概型的概率公式，考查了列联表、独立性检验的基本思想、考查了考生的分析能力、计算能力，属于中档题. 19．（1）详见解析（2）6π【详解】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得//AB DE ，从而有//AB 平面PDE ．而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明（2）利用空间向量解决线面角，一般先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求大小.试题解析：解：（1）证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ． 又因为AB ⊄平面PDE ，所以//AB 平面PDE ．因为AB 平面ABF ，且平面ABF平面PDE FG =，所以//AB FG（2）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以,PA AB PA AE ⊥⊥，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()()()()1,0,0,2,1,0,0,0,2,0,1,1B C P F ，(1,1,0)BC =． 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n AB n AF ⎧=⎨=⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1z =，则1y =-，所以()0,1,1n =-． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则·1sin cos ,2n BC n BC n BCα===， 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角 【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20．（1）2212x y +=；（2）3,02T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12OP TP ⋅=.【分析】（1）利用椭圆以抛物线2y =的焦点为顶点，且离心率为2，求出,,a b c ，即可求椭圆E 的方程；（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理确定P 的坐标，代入椭圆方程，再利用向量的数量积公式，即可得到结论． 【详解】（1）抛物线2y =的焦点即为椭圆E的顶点，即a =∵离心率为2，2c e a ∴== 1c ∴=，1b ∴=∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 直线方程代入椭圆方程，可得()222124220kxkmx m +++-=122412km x x k -∴+=+，21222212m x x k -=+ 122212m y y k+=+ 2242,1212km m P k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭代入椭圆方程可得222242121212km m k k -⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭ 22421m k ∴=+设T （t ，0），Q （﹣4，m ﹣4k ），()4,4TQ t m k ∴=---，2242,1212kmm OP k k -⎛⎫= ⎪++⎝⎭∴()()22224226444121212km m m km kmtOP TQ t m k k k k -++∴⋅=⨯--+⨯-=+++ 22421m k =+()32122k t OP TQ m+∴⋅=+ ∴要使OP TP ⋅为定值，只需320t +=32t ∴=- ∴在x 轴上存在一点T （32-，0），使得12OP TP ⋅=．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（1）单调递减区间为()1,+∞，单调递增区间为()0,1（2）()1,0,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，把1a =-代入函数解析式，求出导函数，利用导函数的零点对定义域分段，可得原函数的单调区间；（2）()()()11a x a x a f x x -++⎡⎤⎣⎦'=-，对a 分类讨论，分为0a >，1a ≤-，12a =-，112a -<<-，102a -<<，结合求解可得使()f x 在1x =处取得极大值的a 的取值范围. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =-时，()ln f x x x =-，()1x f x x-'=， 令()0f x '=，得1x =若()0,1x ∈，()0f x '>；若()1,x ∈+∞，()0f x '<∴()f x 的单调递减区间为()1,+∞，单调递增区间为()0,1（2）()()()()2211a x a x a a f x a a x a x x '-++⎡⎤⎣⎦=-++=-， ①当0a >时，()10a x a ++>，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >.所以()f x 在1x =处取得极大值.②当1a ≤-时，()10a x a ++<，由①可知()f x 在1x =处取得极大值③当12a =-时，()()2104x f x x'-=≥，则()f x 无极值. ④当112a -<<-时，令()0f x '>，得01x <<或1a x a >-+； 令()0f x '<，得11a x a <<-+.所以()f x 在1x =处取得极大值. ⑤当102a -<<时，令()0f x '>，得01a x a <<-+或1x >； 令()0f x '<，得11a x a -<<+所以()f x 在1x =处取得极小值. 综上，a 的取值范围为()1,0,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，体现了分类讨论的数学思想方法，属于难题.22．（1）2sin 4cos ρθθ=；（2）【分析】（1）根据sin ,cos y x ρθρθ==，代入计算即可.（2）根据直线的斜率可得直线的参数方程，然后与曲线C 的普通方程联立可得280t ++=，使用韦达定理计算即可.【详解】（1）()224sin 4cos y x ρθρθ=∴=， 2sin 4cos ρθθ∴=，∴曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（2）直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入C的方程得2=-280∴++=t ， 设直线l 与曲线C 交于点,M N ，对应参数分别为12t t ，，易知∆>0，12128t t t t ⎧+=-⎪∴⎨=⎪⎩12||t t ∴-=即12||||=-=MN t t .【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的应用，熟练掌握三种方程之间的互化方法，尤其对于直线参数方程中的参数的几何意义，考查分析能力，属中档题.23．（1）()3+17,00,4⎛-∞ ⎝⎭；（2）(],2-∞. 【分析】（1）计算出()2f 的值，对a 采用零点分段的方式解不等式，注意0a ≠，从而求解出a 的取值范围；（2）先分析()f x 的最小值，再根据条件将问题转化为()min f x 与m 的关系，从而求解出m 的取值范围.【详解】 （1）因为()21f a >+，所以12|2|1a a a++->+， 当1,2a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，1221a a a++->+，则22310a a -->，解得：12a <-； 当1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，1221a a a --+->+，则2210a a ++>，解得：1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当(]0,2a ∈时，1221a a a ++->+，则22310a a --<，解得：a ⎛∈ ⎝⎭； 当()2,a ∈+∞时，1221a a a ++->+，则11a >，此时无解， 综上可知：()3+17,00,4a ⎛∈-∞ ⎝⎭；（2）因为()111()f x x x a x x a a a a a ⎛⎫=++-≥+--=+ ⎪⎝⎭，所以()min 1f x a a =+,当且仅当()10x x a a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭时取等号， 又因为(0,),()a f x m ∀∈+∞≥恒成立，所以()min f x m ≥，所以1a m a+≥恒成立，且12a a +≥（取等号时1a =）， 所以2m ≤，即(],2m ∈-∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的综合应用，其中涉及到零点分段法求参数范围以及不等式恒成立求解参数范围，对学生的计算与转化能力要求较高，难度一般.。
2021年高三数学上学期联考试题 理(I)
2021年高三数学上学期联考试题 理(I)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置）1．设集合，则使M ∩N ＝N 成立的的值是（ ）A.1B.－1C.0D.1或－12．已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于（ ）A.1或－3B.－1或3C.1或3D.－1或33. 设等差数列前项和为，若，，则公差为 （ ）A. B. C. D.4.下列说法中，正确的是 ( )A.命题“若，则”的否命题是假命题.B.设为两个不同的平面，直线，则“”是“” 成立的充分不必要条件C.命题“存在”的否定是“对任意 ”.D.已知，则“”是“”的充分不必要条件.5.已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 ( ) A ． B ． C ． D ．6．函数的零点所在的区间是A.B. C.D.7．已知双曲线的焦距为，焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为 （ ） A.B.C.或D.或8.函数的图象与轴的交点坐标成一个公差为的等差数列.要得到函数的图象，只需要的图象( )A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位9.空间四点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，AD⊥平面ABC ，AD ＝2AB＝6，则该球的体积为( )A.32B.48C.64D.16(第5题图)10.抛物线y=2x 2上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）关于直线y=x+m 对称，且x 1•x 2=﹣，则m 等于 ( )A. B.2 C. D.311.已知函数 若方程有四个不同的实数根,,,，则的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 12．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。
2021年高三数学上学期联考试题 理
2021年高三数学上学期联考试题理本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列。
考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦十净后，冉选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体T整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后冉用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设i是虚数单位，复数（A） 3－2i （B） 3+2i （C）2—3i （D） 2+3i（2）若集合A=，且AB．则实数a的取值范围是（A）（,-2] （B）[－2,2] （C）[－2,）（D）[2, ）（3）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若a3=7，S3=21，则数列{a n}的公比是（A）（B）1 （C）或1 （D）－或1（4）设a>1, 则函数的图像大致为（5）若非直角△ABC的内角A、B、C成等差数列，则tanA+tanC－tanAtanBtanC= （A）（B）（C）（D）（6）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时f（x）=，则f(f（－24）)= （A）－4 （B）－2 （C）2 （D）4（7）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a2+2a4+5a6=48，则S9=（A）36 （B）45 （C）54 （D）63（8）已知向量a=（0，sin），b=（1,2cos），函数f（x）=a·b，g（x）=a2+b2－，则f（x）的图像可由g（x）的图像经过怎样的变换得到（A）向左平移个单位长度（B）向右平移个单位长度（C）向左平移个单位长度（D）向右平移个单位长度（9）已知a、b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围是（A）（0，）（B）（0，1）（C）（0，）（D）（10）在△ABC中，若（4）⊥，则sinA的最大值为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷．．．．．。
2021年高三联考理数学试题 含答案
2021年高三联考理数学试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A． B． C． D．2.复数（）A． B． C． D．3.在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80-100分的学生人数是（）A． 15 B． 18 C． 20 D． 254.如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）A ． 3B ． 4 C. D ． 5.已知平面向量的夹角为则（ ） A ． 2 B ． C. D ． 6.若满足约束条件则的最大值为（ ） A ． B ． 1 C. -1 D ．-37.在如图所示的程序图中，若函数，则输出的结果是（ ）A ． -3B ． C. D ．48.双曲线的左右焦点分别为和，为右支上一点，且，则双曲线的离心率为（ ） A ． 3 B ．5 C. D ．9.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角S 的取值范围是（ ） A ． B ． C. D ． 10.已知函数，满足，且当时，成立，若()()0.10.1221122,ln 2ln 2,log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，则的大小关系是（ ） A ． B ． C. D ．11.已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ） A ． B ． C. D ．12.在平面直角坐标系中，直线：，圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，且在圆:上，则圆心的横坐标的取值范围是（）A． B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则．14.在的展开式中，的系数为（用数字作答）．15.设函数的最大值为，最小值为，则．16.设是数列的前项和，且，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在中，角所对的边分别为.且.（1）求的值；（2）若，求的面积.18. （本小题满分12分）如图，四边形为正方形，平面,（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.19. （本小题满分12分）2016年1月1日起全国统一实施全面的两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后80后作为调查对象，随机调查了100人并对调查结果进行统计，70后不打算生二胎的占全部调查人数的，80后打算生二胎的占全部被调查人数的，100人中共有75人打算生二胎.（1）根据调查数据，判断是否有以上把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由；（2）以这100人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中（人数很多）随机抽取3位，记其中打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列，数学期望和方差.参考公式：（，其中）20. （本小题满分12分）已知，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若点是第一象限内椭圆上的一点，,求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数（其中，）.（1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线：（为参数），曲线：（为参数）.（1）设与相交于两点，求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13. ； 14. 120； 15. 2 16.三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得：……3分所以()()43sin sin434343 sin sin33sin sin3sin sin3A B ba ba Ab BA B A B++=⋅=⋅==++ (6)分（2）由余弦定理得：，即……9分又，所以，解得或（舍去）.所以.……12分18. 解：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则，所以，()()()1,1,0,0,0,1,1,1,0DQ DC PQ ===- 所以，,即，且,故平面，又平面内，所以平面平面……5分 （2）依题意，,设是平面的一个法向量，则，即， 因此可取……7分设是平面的一个法向量，则，即， 因此可取……9分 所以，……11分故二面角的正弦值为……12分19.由题意得年龄与生二胎的列联表为：所以22100(30104515)1002.7067525455533k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有以上把握认为“生二胎与年龄有关”.……4分 （2）由已知得该市70后“生二胎”的概率为，且……6分所以()()332210,1,2,333kkk P X K C k -⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故的分布列为：……10分 所以……12分20.（1）易知.……2分 ，设，则()22125,,34PF PF x yx y x y ⋅=----=+-=-，又.联立，解得，故.……4分（2）显然不满足题设条件，可设的方程为， 设，联立()()2222221424141612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇔++=⇔+++=⎨⎪=+⎩……6分 由 ，得.① 又为锐角， ……8分又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++()()()22121212122212161241241414x x y y k x x k x x k k k k ⎛⎫∴+=++++=+⋅+⋅-+ ⎪++⎝⎭()()2222221214421614044141414k k k k k k k k+-⋅=-+=>∴-<<+++.②……11分 综①②可知的取值范围是……12分 21.（1）由题()()222444440,4ln ,1ax x a x f x a x x f x a x x x x -+⎛⎫⎛⎫'>=--=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……2分 ①当时，知，则是单调递减函数；②当时，只有对于，不等式恒成立，才能使为单调函数，只需，解之得或，此时. 综上所述，的取值范围是……4分（2），其中()2220,1b b x bx bx f x x x x-++'>=-+=. （）当时，，于是在上为减函数，则在上也为减函数. 知()()max 110b f x f e b e b e e e ⎛⎫==--=--< ⎪⎝⎭恒成立，不合题意，舍去.……6分 （）当时，由得，列表得……8分①若，即，则在上单调递减. 知()()max 11b f x f e b e b e e e ⎛⎫==--=-- ⎪⎝⎭，而， 于是恒成立，不合题意，舍去. ②若，即.则在上为增函数，在上为减函数， 要使在恒有恒成立，则必有 则，所以……11分 由于，则，所以.综上所述，存在实数，使得恒成立.……12分 22.解：（1）直线的普通方程为的普通方程为. 联立方程组，解得与的交点为，则……5分 （2）的参数方程为（为参数） 设点的坐标是，从而点到直线的距离为24d πθ⎤⎛⎫==-+ ⎪⎥⎝⎭⎦由此当时，取最小值，且最小值为.……10分 23.解：（1）当，而， 解得或.……5分 （2）令，则，所以当时，有最小值，只需，解得，所以实数的取值范围是.……10分c%20277 4F35 伵-25997 658D 斍34480 86B0蚰[39669 9AF5 髵29931 74EB 瓫37883 93FB 鏻-<a。
2021年高三上学期第一次联考数学理试题 含答案
2021年高三上学期第一次联考数学理试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. “”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2. 已知，其中i为虚数单位，则＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33. 若，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．4.下列四个命题中，正确的是（）A．已知服从正态分布，且，则B．已知命题;命题．则命题“”是假命题C．设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2个单位D．已知直线,，则的充要条件是 =-35. 已知单位向量满足，则夹角为（）A．B．C．D．6. 若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（）A. B. C. D.7. 设，满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为12，则的取值范围是（）A. B. C. D.8. 记集合, M=}4,3,2,1,|10101010{4433221=∈+++i T a aa a a i ,将M 中的元素按从大到小排列，则第xx 个数是（ ）A. B. C. D.第二部分 非选择题（共110分）二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（9～13题）9． 在展开式中的系数为,则实数的值为 .10．计算定积分 .11.已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程是____________________.12．在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，则 .．将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数 列第项 ;第项 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线（）截圆所得弦长是 .15．（几何证明选讲选做题）如图（图2）是圆的直径，过、的两条弦和相交于点，若圆的半径是，那么的值等于________________.图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。
2021年高三上学期第一次联考数学(理)试题WORD版含答案
江西省横峰中学等四校xx 届高三第一次联考数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2021年高三上学期第一次联考数学（理）试题WORD 版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．i 是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数k 的范围是（ ） A ． B ． C ． D ．2.若集合}5|{},0162|{52≤=≤--=xC x B x x x A ，则中元素个数为 （ ）A .6个 B.4个 C . 2个 D. 0个 3.“”是“”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.若a 、b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 5.根据如下样本数据：得到的回归方程为，则（ ） A. , B. , C. , D. ,6.使得的展开式中含有常数项的最小的是（ ）A.4B.5C.6D.77.将5名大学生分配到3个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案种数为( )A.150B.240C.60D.120 8.设函数在R 上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图像可能是（ ）9.在四棱锥，面，面中，PAB BC PAB AD ABCD P ⊥⊥-底面ABCD 为梯形， 满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆的一部分 B ．线段C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分10.已知函数与图象上存在关于轴对称的点， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D.第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 11.已知随机变量,若，则 . 12．给出下列等式：；；3322411214352132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，…… 由以上等式推出一个一般结论：对于n n n n N n 21)1(22132421213,2*⨯++++⨯⨯+⨯⨯∈ = . 13．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 _. 14．已知函数，当时，给出下列几个结论： ①；②； ③;④当时，.其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）．三、选做题（考生只能从中选一题，两题都做的，只记前一题的分.本小题5分）15.（1）（不等式选做题）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 . （2）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t 为参数）相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.） 16. （本小题满分12分）已知，求： （1）； （2）.17.（本小题满分12分）已知函数（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）如图1,在直角梯形中,,,, 为线段 的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示. (1) 求证:平面； (2) 求二面角的 余弦值.19．（本小题满分12分）某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响. （1）求选手甲进入复赛的概率；（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.20. （本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍,且经过点,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （），l 交椭圆于A 、B 两个不同点. （1）求椭圆的方程；（2）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.y ABCDACD.21. （本小题满分14分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时对于任意的，函数在区间上总存在极值；（3）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．xx 届高三年级第一次联考数学（理）参考答案一、选择题1-5: B B B D C 6-10: B A D A B 二、填空题11. 16 12． 13． 【解析】易知圆的圆心坐标为，则圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点， 作抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可知，则，当点位于圆与轴的交点时，取最大值，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值为，此时与重合，由于、、构成三角形，因此，所以，因此的周长的取值范围是.，又因为f （x ）在（，+∞）递增，所以时，即，所以时，，故为增函数，所以，所以2222111()()2()()x x f x x f x x f x ϕ=-+，故④正确.三、选做题 15.（1）；（2）C DyxOBAFxA BCDMyz O17. 【解析】 解：（1）， 因此在处的切线的斜率为， 又直线的斜率为， ∴（）＝－1，∴ ＝－1. …………6分 （2）∵当>0时，恒成立，则恒成立， 设＝，则＝， …………8分 当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减， …………10分 故当＝1时，取得极大值，，∴ 实数的取值范围为． …………12分 18. 【解析】（1）由已知可得,从而,故 …………3分 ∵面面,面面,面,从而平面 …………6分 （2）建立空间直角坐标系如图所示,则, ,, 设为面的法向量, 则即,解得令,可得 …………9分又为面的一个法向量 …………10分 ∴∴二面角的余弦值为. …………12分 19. 【解析】(1）设选手甲答对每个题的概率为，则，设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：； …………2分 或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛， …………4分 或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛选手甲进入复赛的概率 …………6分(2)的可能取值为3,4,5，对应的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率2322324321128(X 5)()()()()333327P C C ==⋅+⋅=…………9分…………10分 …………12分20. 【解析】 解：（1）设椭圆方程为则…………4分∴椭圆方程为…………6分（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为，只需证明即可 …………7分设 直线 则联立方程 得 …………9分 …………11分 而()()()()()()2221211111211*********----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k k所以故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. …………13分 21. 【解析】 解：（1）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是； …………4分 （2）由,∴，. …………6分 故3232()'()(2)222m mg x x x f x x x x ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦，∴,∵ 函数在区间上总存在极值，∴有两个不等实根且至少有一个在区间内 …………7分 又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………8分由，∵在上单调递减，所以；∴，由，解得；综上得： 所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。
2021年高三数学上学期12月联考试题 理
2021年高三数学上学期12月联考试题 理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知，则复数 是虚数的充分必要条件是 （ ） A. B. C. D. 且 2．函数的定义域是 （ ） A ．[-1，4]B ．C ．[1，4]D ．3．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A.0B.1C.2D.34、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ）A.8B.7C.6D.55.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若255(sin),(cos ),(tan )777a fb fc f πππ===,则 （ ） A. B. C. D.6 ．由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是 （ ） A. B. C. D. 7．已知点分别是正方体的棱的中点，点分别在 线段上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（ ）8、运行如左下图所示的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是 （ ）EF 11A 1D C A NM QINPUT “n=”；k=1p=1WHILE K <= np=p * kk=k+1WENDPRINT pENDA.120B.720C.1440D.50409、函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如右上图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)10、已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则( ).A. B.-1 C.2 D.1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11、已知各项均为正数的等比数列中，则。
2021年高三(上)12月联考数学试卷(理科)
2021年高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）设集合A={x|y=log2（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∪B=（1，+∞）．考点：并集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A，集合B，然后求解它们的并集即可．解答：解：因为集合A={x|y=log2（x﹣2）}={x|x＞2}，集合B={x|x2﹣5x+4＜0}={x|1＜x＜4}，所以A∪B={x|x＞1}．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查集合的求法并集的基本运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．解答：解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（5分）已知点A（﹣1，﹣5）和向量，若，则点B的坐标为（5，7）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设B（x，y），则=（x+1，y+5），然后由==（6，12）可求x，y，即可求解B解答：解：设B（x，y），则=（x+1，y+5）∵==（6，12）∴x+1=6，y+5=12∴x=5，y=7故答案为：（5，7）；点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题4．（5分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），由此即可求出a，b．解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f（x）为偶函数，得f（﹣x）=f（x），即ax2﹣（b﹣3）x+3=ax2+（b﹣3）x+3，2（b﹣3）x=0，所以b=3．所以a+b=3﹣1=2．故答案为：2．点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．5．（5分）已知x∈R，那么的必要不充分条件（“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”“既不充分又不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意把x2＞1，解出来得x＞1或x＜﹣1，然后根据命题x＞1与命题x＞1或x＜﹣1，是否能互推，再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：∵x2＞1，∴x＞1或x＜﹣1，∴x＞1⇒x2＞1，反之不能推出，∴那么的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．点评：此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．6．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：阅读型．分析：根据函数的平移左加右减的原则，把y=cos2x的向右平移个单位得到函数的图象．解答：解：将函数函数y=cos2x的图象向右平移个单位得到函数的图象，故答案为右，点评：本题主要考查了三角函数图象的变换．属基础题．7．（5分）若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值范围是（﹣∞，5）．考点：特称命题．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数f（x）=2x2﹣ax+2，若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0，进而可得实数a的取值范围解答：解：令f（x）=2x2﹣ax+2若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0即4﹣a＞0，或10﹣2a＞0，即a＜4，或a＜5故a＜5即实数a的取值范围是（﹣∞，5）故答案为：（﹣∞，5）点评：本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题（特称命题），转化为不等式问题是解答的关键．8．（5分）（xx•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，可知，圆锥的母线为：l；因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆柱的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（5分）（xx•如皋市模拟）已知=．考点：两角和与差的正弦函数．分析：观察题中角之间的关系，x+与是互补的关系，x+与是互余关系，这是解题的突破口，用诱导公式求出结论中要用的结果，题目得解．解答：解：∵，∴，∴===，故答案为：点评：在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．10．（5分）定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x2+1，5﹣3x}，则f（x）的最大值是2．考点：函数的值域．专题：新定义．分析：根据min{a，b，c}的意义，画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，可得答案．解答：解：解：画出y=2x+4，y=x2+1，y=5﹣3x的图象，观察图象可知，当x≤﹣1时，f（x）=2x+4，当﹣1≤x≤1时，f（x）=x2+1，当x＞1时，f（x）=5﹣3x，f（x）的最大值在x=±1时取得为2，故答案为：2点评：本题考查函数的图象函数的图象、函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．11．（5分）在直角三角形ABC中，AB⊥AC，AB=AC=1，，则的值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：先建立直角坐标系，由可求D的坐标，代入可求，，然后代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：建立如图所示的直角坐标系则A（0，0），B（0，1），C（1，0），设D（x，y）∴=（x，y﹣1），=（1﹣x，﹣y）∵∴x=，y﹣1=∴x=，y=则=（）•（，）==故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是合理的建立直角坐标系．12．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c将用”＜”连接得c＜a＜b．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：因为=，=ln ，=，所以先比较，，的大小，然后再比较，，的大小关系．解答：解：∵=，=ln ，=，∵，，，，∴，考察对数函数y=lnx，它在（0，+∞）是增函数，∴∴．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查对数值的大小比较，解题时要注意对数单调性的合理运用．13．（5分）（xx•四川）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是3．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB ﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．∴AB=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．故答案为：3．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．14．（5分）已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．解答：解：当x∈（，1]时，是增函数，y∈（，1]，当x∈[0，]时，f（x）=﹣x+是减函数，∴y∈[0，]，如图．∴函数的值域为[0，1]．值域是，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数的最值，分段函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．二．解答题：（本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，且，A∪B=R，（1）求A；（2）实数a+b的值．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：（1）由分式不等式的解法，解＞0可得其解集，即可得集合A；（2）根据题意，由（1）的结论，分析可得集合B，进而可得方程x2+ax+b=0的解，又由方程的根与系数的关系，可得a、b的值，将其相加即可得答案．解答：解：（1）根据题意，＞0⇒（2x﹣1）（x+2）＞0，解可得x＜﹣2或x＞，则A=（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；（2）由（1）可得又由，A∪B=R，必有B={x|﹣2≤x≤3}，即方程x2+ax+b=0的解是x1=﹣2，x2=3于是a=﹣（x1+x2）=﹣1，b=x1x2=﹣6，∴a+b=﹣7．点评：本题考查集合的交集、并集的应用，（2）的关键是根据A、B的交集与并集，求出集合B．16．（14分）如图，斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C 是菱形，，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB1C1C；（2）平面CEF⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，证明FM，推出四边形EFMC1为平行四边形，然后证明EF∥平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，证明OCA1E，得到ECA1O1，证明A1O⊥底面ABC．得到平面CEF⊥平面ABC．解答：证明：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，在△ABC中，因为F，M分别为BA、BC的中点，所以FM，因为E为A1C1的中点，AC，所以EF∥EC1，又FM∥A1C1从而四边形EFMC1为平行四边形，所以EF∥C1M，又因为C1M⊂平面BB1C1C，EF⊄平面BB1C1C，EF∥平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，因为∠A1AC=60°，所以AO=AA1=AC，从而O为AC的中点．所以OCA1E，因而ECA1O1，因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC．所以EC⊥底面ABC，又因为EC⊂平面EFC，所以平面CEF⊥平面ABC．点评：本小题主要考查空间线面关系，考查直线与平面平行，平面与平面垂直的证明，考查空间想像能力和推理论证能力．17．（14分）若a、b、c是△ABC三个内角A、B、C所对边，且asinAsinB+bcos2A=a （1）求；（2）当cosC=时，求cos（B﹣A）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）利用正弦定理即可求得；（2）利用余弦定理可求得c=a，从而可判断三角形△ABC为直角三角形，利用两角差的余弦即可求得答案．解答：解：（1）由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA（2分）即sinB=sinA，∴= （6分）（2）∵=，∴b=a，∴由余弦定理=得c=a（8分）∴b2=3a2=a2+2a2=a2+c2，∴B=90°（10分）∴cos（B﹣A）=sinA=cosC=．（12分）点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查两角和与差的余弦与诱导公式的应用，属于中档题．18．（16分）如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km．（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．考点：已知三角函数模型的应用问题．专题：综合题．分析：（1）根据规划要求△ECF的周长为2km，建立等式，再利用和角的正切公式，即可求得α+β的大小；（2）先表示三角形的面积，再利用三角函数求面积的最值，从而可确定点E、F的位置．解答：解：（1）设CE=x，CF=y（0＜x≤1，0＜y≤1），则tanα=1﹣x，tanβ=1﹣y，由已知得：x+y+，即2（x+y）﹣xy=2…（4分）∴tan（α+β）===1∵0＜α+β，∴α+β=；…（8分）（2）由（1）知，S△EAF==AE×AF====…（12分）∵，∴2α=，即α=时，△EAF的面积最小，最小面积为﹣1．∵tan=，∴tan=﹣1，故此时BE=DF=﹣1．所以，当BE=DF=﹣1时，△EAF的面积最小．…（15分）点评：本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线l：x=2．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．①若PQ=，求圆D的方程；②若M是l上的动点，求证：点P在定圆上，并求该定圆的方程．考直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．点：专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可知：，解方程可求a，c利用b2=a2﹣c2，可求b，即可求解椭圆C的方程（2）①先设M（2，t），然后求出圆D的方程及直线PQ的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系及弦长公式及已知，可求t，进而可求②设出P，由①知P满足圆D及直线PQ的方程，代入后消去参数t即可判断解答：解：（1）由题意可知：，∴a=，c=1，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程为：（2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），则圆D的方程：，直线PQ的方程：2x+ty﹣2=0，∴，∴∴t2=4，t=±2∴圆D的方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2 ②证明：设P（x1，y1），由①知：，即：消去t得：=2∴点P在定圆x2+y2=2上．点评：本题综合考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与圆，与椭圆位置关系的应用，还考查了运算的能力20．（16分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求导函数，令f′（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值范围；（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y 轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1，则是否存在P，Q等价于方程﹣t2+F（t）（t3+t2）=0在t＞0且t≠1时是否有解．解答：解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或．列表如下：x 0f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘极小值↗极大值↘∵，，∴，即最大值为，∴b=0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O （O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查是否存在问题的探究，综合性强．三、附加题21．（10分）设函数f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的运算法则即可得到f′（x），再利用导数与函数单调性、极值与最值的关系即可得到f（x）的最小值．解答：解：对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1﹣x）ln（1﹣x）]'=lnx﹣ln（1﹣x）=．令f′（x）=0，则，解得．当0＜在区间是减函数，当1＞在区间是增函数．所以时取得最小值，．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、最值是解题的关键．22．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）求：（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）若向量a分别与向量垂直，且|a|=，求向量a的坐标．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：（1）由已知中空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），我们分别求出向量，，的坐标，进而根据它们三个的模相等，判断出三角形ABC为等边三角形，进而得到以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）根据（1）中结论，易向量分别与向量垂直，且||=，设出向量的坐标，进而构造方程组，解方程组即可求出向量的坐标．解答：解：（1）∵空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），=（3，﹣2，﹣1）∵||=||=||=∴△ABC为等边三角形，故以向量为一组邻边的平行四边形的面积S==7 （2）设=（x，y，z），由已知中向量分别与向量垂直，且||=，∴解得x=y=z=±1=（1，1，1）或=（﹣1，﹣1，﹣1）点评：本题考查的知识点是向量模的运算及向量垂直的坐标表示，是平面向量的综合题，熟练掌握平面向量模的计算公式，及向量平行和垂直的坐标运算公式是解答本题的关键．23．（10分）（2011•日照模拟）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考充分条件；命题的真假判断与应用．点：分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤2点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．24．（10分）（xx•江苏二模）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1，D1P⊥平面PCE．试求：（1）线段D1P的长；（2）直线DE与平面PCE所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，利用D1P⊥平面PCE，确定P的坐标，从而可求线段D1P的长；（2）由（1）知，平面平面PCE，利用向量的夹角公式可求直线DE与平面PEC所成角的正弦值为．解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，2），E（2，1，0），C （0，2，0）．设P（x，y，2），则，，因为D1P⊥平面PCE，所以D1P⊥EP，D1P⊥EC，所以，解得（舍去）或…（4分）即P（），所以，所以．…（6分）（2）由（1）知，平面平面PCE，设DE与平面PEC所成角为θ，与所成角为α，则所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为．…（10分）点评：本题考查的知识点是用空间向量表示直线与平面所成角，建立适当的空间直角坐标系，将空间点，线，面之间的关系问题转化为向量问题是解答此类问题的关键．29520 7350 獐39259 995B 饛32199 7DC7 緇b31391 7A9F 窟Ml32561 7F31 缱29074 7192 熒z 21206 52D6 勖。
2021年高三上学期12月份统考数学(理)试题含答案
2021年高三上学期12月份统考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集R ，，则A ． B. C ． D ．2.下列命题中正确的个数是①若是的必要而不充分条件,则是的充分而不必要条件②命题“对任意,都有”的否定为“存在,使得”③若p ∧q 为假命题，则p 与q 均为假命题A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3.把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A ．B ．C ．D ．4.由曲线 围成的封闭图形面积为A. B. C. D. 5.已知变量满足约束条件，则的最大值为A. B. C. D.6.若，，则的值为A ．B ．C ．D ．7.已知数列满足，那么的值是A. xxB.xx2016C.xxD.xx8.在锐角中，角所对的边分别为，若，，，则的值为A. B. C ． D ．9.如图，设E ，F 分别是Rt△ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·AF →＝A ．8B ．10C ．11D ．1210.已知函数f (x )对定义域R 内的任意x 都有f (x )=f (4-x )，且当x ≠2时，其导数f ′(x )满足xf ′(x )>2f ′(x)，若2<a<4，则A. B.C. D.第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11.已知与的夹角为，若，且，则在方向上的正射影的数量为 .12.若存在，使不等式成立，则实数a的最小值为．13.已知向量==,若，则的最小值为 .14.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第10个图中有个点．15.已知函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为 .三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本题满分12分）已知，，,（）．（I）求函数的值域；（II）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，求的值．17.（本题满分12分）已知函数,求函数的单调递减区间．18.（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°．（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A—PD—C的余弦值．19.（本题满分12分）等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，且．（I）求数列，的通项公式；（II）设，求数列的前项和．20.（本题满分13分）某旅游景点预计xx年1月份起，前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝12x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝．（I）写出xx年第x个月的旅游人数f (x)(单位：人)与x的函数关系式；（II）试问xx年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？21.（本小题满分14分）已知函数．（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论函数在其定义域内的单调性；（III）若函数的图象上存在一点，使得以为切点的切线将其图象分割为两部分，且分别位于切线的两侧（点除外），则称为函数的“转点”，问函数是否存在这样的一个“转点”，若存在，求出这个“转点”，若不存在，说明理由．高三数学(理科)试题参考答案一、选择题 1--5 DCDAB 6--10 ABABC二、填空题11、-1 12、1 13、6 14、91 15、三．解答题：16.（I ）解： 2(sin 2cos cos 2sin )(1cos 2)66x x x ππ=-+--1cos 221cos(2)123x x x π=+=++ ，，从而有，所以函数的值域为（II ）由得，又因为所以，从而，即因为，由余弦定理得得，解得的值为1或2. （经检验满足题意）17.解：，，()()()()22221111x a x a x a x a a h x x x x x -++--+'=-+== ①当时，由得：，所以的单调递减区间为②当时，由得：，所以的单调递减区间为③当时，，故无单调递减区间④当时，由得，此时的单调递减区间为18.(Ⅰ)证明：取AD 的中点E ，连接PE ，BE ，BD ．∵PA ＝PD ＝DA ，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，∴△PAD 和△ABD 为两个全等的等边三角形，则PE ⊥AD ， BE ⊥AD ，∴AD ⊥平面PBE又PB ⊂平面PBE ，∴PB ⊥AD ；．．．．．．4分(Ⅱ)解：在△PBE 中，由已知得，PE ＝BE ＝3，PB ＝6，则PB 2＝PE 2＋BE 2，∴∠PEB ＝90°，即PE ⊥BE ，又PE ⊥AD ，∴PE ⊥平面ABCD ；以点E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E (0,0,0)， C (－2,3,0)，D (－1,0,0)，P (0,0,3)则＝(1,0,3)，＝(－1,3,0)，设平面APD 的一个法向量为＝(0,1,0),设平面PDC 的一个法向量为＝(x ,y ,z )，列方程得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0，令y ＝1，则x ＝3，z ＝－1，∴＝(3,1,－1)；则·＝1， ∴cos<m , n >＝＝ 1 5＝55由题意知二面角A －PD －C 的平面角为钝角，所以余弦值为－5519.（I ）由题意，，得，，当时，，当时，得，所以的通项公式为（II ）当为偶数时，为奇数时所以20.（I ）当2≤x ≤12，且x ∈N *时 f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ， 当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，验证x ＝1也满足此式所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)（II ）第x 个月旅游消费总额g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－3x 2＋40x ）（35－2x ）（x ∈N *，且1≤x ≤6），（－3x 2＋40x ）·160x （x ∈N *，且7≤x ≤12），即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x （x ∈N *，且1≤x ≤6），－480x ＋6 400（x ∈N *，且7≤x ≤12）. ①当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x <5时，g ′(x )>0，当5<x ≤6时，g ′(x )<0， ∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(万元)②当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040(万元)综上，xx 年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3125万元21.（I ）当时，，则由此得点处切线的斜率所以曲线在点处的切线方程为，即 （II ）对求导，得2121()21(0),ax x f x ax x x x--+'=--=> ①当时，， 在上递增，在上递减②当时，设， 因为，则i ）当时，，所以，于是在上单调递增ii ）当时，，方程的两根为易知，则所以在上单调递增，在上单调递减综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增当时，在上单调递增，在上单调递减（III ），设，，则在点处的切线方程为.令则.000012'()()()()(0)ax x G x f x f x x x x x x+''=-=--⋅> ①当时，，有；，有所以在上单调递增，在上单调递减，于是故都在切线的同侧，此时不存在“转点”②当时，取，即200020012()'()()0ax x x x G x x x x x x x+-=--⋅=≥,所以在上单调递增 又，所以当时，；当时，.即的图象在切线的两侧，所以为函数的一个“转点”综上所述：当时，存在是函数的一个“转点”当时，不存在“转点” *39557 9A85 骅28394 6EEA 滪21335 5357 南 30627 77A3 瞣dL36962 9062 遢21697 54C1 品39110 98C6 飆 21419 53AB 厫28117 6DD5 淕312427A0A 稊。
2021年高三上学期期末统一考试数学(理)试题 含解析
2021年高三上学期期末统一考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集，集合，，则A． B．C． D．2．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是A． B． C． D．4．若，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．从中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A．B．C．D．6．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A．B．C．D．7．在中，，点D是边上的动点，且，,()，则当取得最大值时,的值为俯视图正视图侧视图A．B．C．D．8．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则等于．10．已知等差数列的前n项和为．若，，11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为．12．在△中，已知，则．13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D的取值范围是．14集合（），：是从集合到集合的一个函数，①如果都有，就称是保加法的；②如果都有，就称是保乘法的；③如果既是保加法的，又是保乘法的，就称在上是保运算的．在上述定义下，集合封闭的（填“是”或“否”）；若函数在上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求的分布列及数学期望．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中， 四边形为正方形，四边形为直角梯形，且平面平面 .（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若二面角为直二面角，（i ）求直线与平面所成角的大小； （ii ）棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18． （本小题满分13分）已知椭圆上的动点与其顶点,不重合． （Ⅰ）求证：直线与的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点，在椭圆上，为坐标原点，当,时，求的面积．19．（本小题满分14分） 设函数，，．（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围； （Ⅲ）证明．20．（本小题满分13分）设是正整数，数列，其中是集合中互不相同的元素．若数列满足：只要存在使，总存在有，则称数列是“好数列”． （Ⅰ）当时，FADCBE（ⅰ）若数列是一个“好数列”，试写出的值，并判断数列：是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列是“好数列”，且，求共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列是“好数列”，且是偶数，证明：．详细答案部分1.【考点】集合的运算【解析】由得，由得，，，故选B.【答案】B2.【考点】复数综合运算【解析】，对应的点为，所以在第四象限，故选D.【答案】D3.【考点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【解析】，所以为偶函数，在上为减函数，不满足题意；为开口向下的二次函数，关于轴对称为偶函数，在上单调减，不满足题意；，为偶函数，当时，在上为减函数，不满足题意，，为偶函数，当时，函数为增函数，故选D.【答案】D4.【考点】充分条件与必要条件【解析】函数在上是减函数，则，函数在上是增函数，则，解得，所以时满足，“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分条件，时，不一定有，故“函数在上是减函数”不是“函数在上是增函数”的必要条件，故答案为A.【答案】A5.【考点】排列与排列的运用【解析】当末位数字为0时，首位可以是1，2，3，4中的一个，有4个，当末位数字为2或4时，首位可以是除了0之外的其它3个数字中的1个，故有种，所以偶数的个数是10个，故选C.【答案】C6.【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【解析】还原三视图后放到长方体里如图所示，，，，为四棱锥的高体积为，故答案为B.【答案】B7.【考点】线性运算【解析】点D是边上的动点，则三点共线，满足，所以，即，又，所以，，，当且仅当时，等号成立，此时为的中点，，.故选C.【答案】C8.【考点】集合的运算【解析】设跳远和掷实心球测试都合格的为人，则，解得，所以选B.【答案】B9.【考点】双曲线【解析】双曲线的渐近线方程为，所以，又，所以。
2021年高三上学期期末联考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期期末联考数学（理）试题含答案（试卷满分150分）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则A∩B＝( )A．[－2，2] B．[0，2] C．(0，2] D．[0，＋∞)2．函数f(x)＝2－xlg x的定义域是( )A．(0，2) B．(0，1)∪(1，2) C．(0，2] D．(0，1)∪(1，2]3．已知数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若，则这9个数的和为( )A．16 B．32 C．36 D．724．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B． C.40 D.805．已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是( )A．28 B．48 C．28或48 D．1或286.由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为( )A. B．4 C. D.67.某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分) 的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，已知130～140分数段的人数为90，90～100分＝1①已知复数，在复平面内对应的点位于第四象限；②若是实数，则“”的充要条件是“”；③命题P：“”的否定P：“”；A．3 B．2 C．1 D．09.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是（）A．B．C．D．10.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP 的长为，原点O 到弦AP 的长为d ，则函数d ＝f ()的图像大致是( )第Ⅱ卷（共100分） 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
11．若点在直线上，其中则的最小值为 .12．如图，设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·AF →＝ . 13．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为 .14．设函数在其图像上任意一点处的切线方程为，且,则不等式的解集为 ． 15．选作题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按第一题评阅计分。
2021-2022年高三上学期期末联考数学理试题 含答案
2021年高三上学期期末联考数学理试题含答案学校：重庆市进盛实验中学校等八校第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设全集，集合，则（）A、 B、 C、 D、2、等差数列中，，，则=( )A、 B、C、 D、3、已知向量，，若, 则实数( )A、 B、 C、 D、4、已知，且，则的最小值是（）A、 B、 C、 D、5、若满足约束条件，则的最小值为（）A、1B、C、D、6、已知则（）A、 B、 C、 D、7、下列说法中，正确．．的是（）A、已知，命题“若，则”为假命题；B、“”是“ ”的必要不充分条件；C、命题“或”为真命题，为真，则命题为假命题；D、命题“”的否定是：“”．8、秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为4，3，则输出v的值为（）A、61B、62C、183D、1849、将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A、 B、 C、 D、10、已知数列的前项和为，若，且，则（）A、 B、 C、 D、11、已知函数是奇函数，当时，.若不等式（且）对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A、 B、 C、 D、12、已知定义在上的函数满足：函数的图像关于直线对称，且当时，成立（是函数的导函数），若，，，则的大小关系是（）A、 B、 C、 D、第Ⅱ卷注意事项：1、第Ⅱ卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
若在试卷上作答，答案无效。
2、本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题~ 第23题为选考题，考生根据要求做答。
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13、已知复数满足，则14、已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的坐标为__________15、在边长为的等边三角形中，则16、函数且对于方程有7个实数根，则实数的取值范围是________________三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、（本题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数在区间上的值域.18、（本题满分12分）已知数列是公差不为的等差数列，为数列的前项和，，成等比数列。
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O A
B 1 A
B A n
B
【全国百强校】 ２０１５－２０１６学年江西省新余一中、万载中学、宜春中学高三联考模拟试题数学（理）试卷（Word 答案）
2021年高三上学期联考数学（理）试卷 含答案
一．选择题（每小题5分，共60分） 1.设函数，，则（ ）
2.已知的内角A 满足，则（ ）
3.已知集合或，则的充要条件是（ ）
4.下列命题中，真命题是（ ） A.存在，使得 B.任意，
C.是的必要条件
D.对任意正实数恒成立
5.函数的单调递减区间是( )
6.已知，则实数的值为（ ）
7.数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为 C.200 D.100
8.已知首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）
9.已知平面向量满足：，，则实数的值为（ ） C.2 D.4 10.已知，则的值为（ ）
11.已知是函数的一个零点，，则( )
12.设函数，对任意给定的，都存在唯一的，满足则正实数的最小值是（ ） C.2 D.4 二．填空题（每小题5分，共20分）
13.已知,O 为坐标原点，A,B,M 三点共线，且 ,则点M 的坐标为：
14.函数是奇函数，则的值为：
15.设函数的导函数的图像位于轴右侧的所有对称中心从左到右依次为，O 为坐标原点，则的坐标为： 16.如图，点列依次在角O 的两条边上，所有相互平行，且所
有梯形的面积均相等，设，则数列的通项公式为：
三．解答题（17题10分，18~22题各12分，共70分）
17.已知命题：对任意
命题：存在，证明是的充分不必要条件
18.设的角的对边分别为，已知成等差数列
（1）若成等比数列，求（2）若，求
19.等差数列的各项均为正数，，前项和为，等比数列中，，且（1）求与（2）证明
单位得的图像，求的单调递增区间（2）当与共线时，求的值
21.已知函数（1）判断是否为定义域上的单调函数，并说明理由（2）设恒成
立，求的最小整数值
22.已知（1）若的单调递减区间是，求实数的值（2）若，且对任意，都有，求
实数的取值范围
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高三10月考理科数学试卷答案选择题：CAADD BDDBC BA
填空题：13. 14. 15. 16.
解答题：17.真时， 4分
真时 8分
因为A是B的真子集，所以是的充分不必要条件 10分
18.(1) 2分 5分 A=B=C= 6分
代入 9分或 12分
19.（1） 2分（舍弃） 5分
6分
（2） 8分
20.（1） 2分
4分
增区间 6分
（2） 8分
21.（1）令 2分
所以是定义域上的增函数 6分
（2）， 8分
10分
11分
的最小整数值为2 12分
22.（1） 2分
在上的解集为得 4分
（2）设， 5分
令，则是上的递减函数 6分
数，故 11分
所以实数的取值范围是 12分
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