一种时域有限元法求解动力学和传热学问题

大连理工大学

硕士学位论文

一种时域有限元法求解动力学和传热学问题

姓名：李雪贵

申请学位级别：硕士

专业：固体力学

指导教师：杨海天

20050601

大连理工大学硕士学位论文

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工程中存在大量与时间有关的问题例如热传导或者弹性动力学这类的瞬态场和动态问题。时域问题的研究，具有重要的理论探讨价值和实际工程意义。

本文给出一种在运用适当的空间离散技术后建立一般的数值正演模型的解决方法，在时域上利用加权余量原理，给出基于时域的递推格式，推导出一种时域有限元算法。该方法具有简便、实用、精度较高的特点。

本文所作的主要工作如下：

一、基于加权余量原理，针对在空间域进行有限元离散后的一组常微分方程组，

在时间域上利用拉格朗日线性插值离散和有限元单元技术，推导了基于一阶和

二阶系统的时域有限元的递推格式。

二、在上面得到的理论基础上，推导出了求解一维动力问题的递推格式的时域有

限元算法，并对其进行了稳定性分析。

三、基于相同原理，推导出了求解二维抛物型瞬态传热问题和二维双曲型传热问

题的递推格式的时域有限元算法。

四、对动力学问题和传热问题分别进行了数值验算，数值结果表明，本文的计算

方法能较好的反映出问题的特性，是一种适合用于解决经过空间域离散后的常

微分方程组的有效方法，具有可靠的计算精度和工程应用价值。

关键词：加权余量，时域有限元，弹性动力学，传热

基于加权余量原理的时域有限元分析

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Ｍａｉｎｗｏｒｋｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｃｌｕｄｅｓ

１、Ａｐｐｌｙｉｎｇａｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌｗｅｉｇｈｔｅｄｒｅｓｉｄｕａｌｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｔｏａｓｅｒｉｅｓｏｆｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ

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４、ＡｃｏｕｐｌｅｏｆｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓＯｉｌｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒｐｒｏｂｌｅｍｓａｒｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｃａｒｌｂｅｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｏｒｄｉｎａｒｙｇｉｖｅｎａｎｄｔｈｅ

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独创性说明

作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。

作者签名：蕴：塑日期：竺互：ｉ：：７

大连理工大学硕士学位论文

１绪论

１．１时域有限元的发展状况

１．１．１问题的提出

工程中存在大量与时间有关的问题，例如热传导或者弹性动力学这类的瞬态场和动态问题，这类问题也可以采用与静态分析中的有限元法相类似的方法，是结构离散化，即把整体结构离散为有限个连续单元结构的组合体，这样，无限自由度系统的问题就变成了有限个自由度的问题，从数学角度看，就是把偏微分方程的求解问题转化为代数方程组的求解问题，最后用矩阵分析理论和计算机工具进行各种结构的动态分析。

动态问题和静态问题的主要差别在于动态问题具有随时间而变化的性质，即出现了时间变量，由于时间变量的影响，显然动态问题不能像静态问题那样具有单一的解，而必须建立相应于反应时程中感兴趣的全部时间的一系列解答，因雨增加了分析问题的难度，并且出现了静态问题所没有的特殊问题，例如：特征值分析、阻尼计算等问题。目前动态问题的分析方法，对空间域的离散与静力学中的空间离散没有多大差别，而对时间域的离散是动力分析中的新问题。

对于动态问题，在空间上的处理大致上可以分为四类【ｌＪ。即直接法，差分法，加权余量法和变分法。直接法一是一种物理近似，是一种古典的近似方法，只对结构空间进行离散，主要用于杆系结构。差分法一是一种数学上的离散近似方法，它将微分化为差分，然后直接对运动微分方程进行处理。如弹性薄板的弯曲问题，由于弹性薄板的边界常常是比较规则的，因此，常用差分格式处理该问题。加权余量法一也是一种数学上的离散近似方法，它可以直接从微分方程中求得近似解。变分法一是研究泛函取极值的方法。它从能量观点出发，运用变分方法得到能量变分原理。能量变分原理有势能原理，余能原理和广义变分原理等。

利用有限元法仅对空间域进行离散而不对时域离散，可以得到目前常见的动态问题的运动方程：

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