苏州中学高三数学综合训练(7).doc

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江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学

江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭若,A B =则锐角θ=2．若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为3．如图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图，则其平均得分为4．已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数,3614,,2a a ==则45a a +=6．一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为7．右图是一个算法的流程图,则最后输出W 的值为NY18．已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 9．已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为10．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 11．已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为12．函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是13．如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为14．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝b cos A ．（1）求ba的值；（2）若sin A ＝13，求sin(C －π4)的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱PA 的中点．（1）求证：PC // 平面BDE ；（2）若PC ⊥PA ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分14分）某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n ＝ax ＋5．已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍．（1）写出新建道路交叉口的总造价y （万元）与x 的函数关系式；（2）设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3．问：P 能否大于120，说明理由．18．（本小题满分16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ．（1）求椭圆的方程；（2）若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．P A BCDE（第16题图）19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x －b ，b ∈R ．（1）若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求b 的值；（2）设T (x )＝f (x )＋ag (x )，a ∈R ，求函数T (x )的单调增区间；（3）设h (x )＝|g (x )|·f (x )，b ＜1．若存在x 1，x 2∈[0，1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立，求b 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16．（1）求数列{a n }的前n 项和S n ；（2）设T n ＝i =1∑n (－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，说明理由．（第18题图）江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题．．纸指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在圆O 中，AB ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD 的延长线交于点E ，求证：AD 2＝AB ·ED ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知点P (3，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1变换下得到点P ′(5，－1)．试求矩阵A 和它的逆矩阵A －1．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x=m+2cos α，y=2sin α（α为参数，m 为常数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ（第21题（A ）图）－π4)=2．若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围．D ．选修4－5：不等式选讲设实数x ，y ，z 满足x ＋5y ＋z ＝9，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）假定某射手射击一次命中目标的概率为23．现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X ，求：（1）X 的概率分布；（2）数学期望E (X )．23．（本小题满分10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中，AB ＝2，CE ＝1，CE ⊥平面ABCD ．（1）求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；（2）求二面角A －DF －B 的大小．ABCDEF（第23题图）江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭若,A B =则锐角θ=【答案】3π 【解析】试题分析：由题意得：1cos =2θ，又因为θ为锐角，所以.3πθ=考点：集合相等2．若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为【答案】-2 【解析】试题分析：12=(a+2i)(1-i)=(a+2)-(a-2)i z z 为纯虚数，所以a+2=0a-20a=-2.≠，，考点：纯虚数3．如图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图，则其平均得分为【答案】31 【解析】试题分析：由题意得平均得分为18+28+30+32+38+40=31.6考点：茎叶图 4．已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数,则实数a 的值为【答案】1 【解析】试题分析：由奇函数得：()()22+--log =-log 11-a x a x f x f x x x -=+，，1-=1a x xx a x-++，21a =，因为1a ≠-，所以 1.a = 考点：奇函数5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数,3614,,2a a ==则45a a +=【答案】3 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q,则36311,.82a q q a ===因此645321 3.a a a a q q+=+=+= 考点：等比数列6．一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为【答案】0.6 【解析】试题分析：从中一次性随机摸出2只球共有2510C =种基本事件, 恰好有1只是白球包含11326C C =种基本事件，因此所求概率为6=0.6.10考点：古典概型概率7．右图是一个算法的流程图,则最后输出W 的值为【答案】14 【解析】试题分析：第一次循环：11;T S ==，第二次循环：23;T S ==，第三次循环：36;T S ==，第四次循环：410;T S ==，结束循环，输出14.W = 考点：循环结构流程图8．已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为【答案】y x = N14Y1试题分析：由题意得：3,4m ==，而双曲线的渐近线方程为y x=，即y 2x =± 考点：双曲线的渐近线9．已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为【答案】84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：由题意得：262,16,48T A T T ππω==-===, 又sin 21,2()842k k Z πππϕϕπ⎛⎫⨯+=+=+∈ ⎪⎝⎭，2πϕ<，所以=4πϕ考点：三角函数解析式10．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2【解析】试题分析：设球的直径为2R ，则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅= 考点：球的表面积11．已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为【答案】【解析】试题分析：因为CPQ ∆的面积等于1sin 2PCQ ∠,所以当=90PCQ ∠时CPQ ∆的面积最大，此时圆心到直线3y x =，因此22a = 考点：直线与圆位置关系12．函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是【答案】63516a -<<-试题分析：由()220f x ax ax a '=+-=得：1,x =或2x =-，结合图像可知函数的图象经过四个象限的充要条件是()0,10,(2)0a f f <>-<，即63516a -<<-考点：利用导数研究函数图像13．如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为【答案】24 【解析】试题分析：因为211()33AQ AB AP AP PB AP ⋅=⋅+=,所以2=12AP ，因此222=)361224.B Q B P B P P Q B P B P A B A P ⋅+⋅==-=-=（考点：向量表示14．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为【答案】4【解析】试题分析：由题意得24,a b =又由2=c x ax b ++得：12||AB x x =-==，同理CD =因为四边形ABCD 为梯形，所以1255,2=⨯解得 4.c = 考点：二次函数二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）由a cos B ＝b cos A ，得sin A cos B ＝sin B cos A ， …………………………3分即sin(A －B )＝0．因为A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(－π，π)，所以A －B ＝0，所以a ＝b ，即b a＝1． ………………………………………………………………6分（2）因为sin A ＝13，且A 为锐角，所以cos A ＝223． ………………………………8分所以sin C ＝sin(π－2A )＝sin2A ＝2sin A cos A ＝429， ……………………………10分cos C ＝cos(π－2A )＝－cos2A ＝－1＋2sin 2A ＝－79．…………………………………12分所以sin(C －π4)＝sin C cos π4－cos C sin π4＝8＋7218．………………………………14分16．证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ．因为ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ．…………………………………………………2分因为 E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ．…………………………………………………4分因为PC /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC // 平面BDE ．……………………………6分（2）因为E 为PA 中点，PD ＝AD ，所以PA ⊥DE ．………………………………………8分因为PC ⊥PA ，OE ∥PC ，所以PA ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE ＝E ，所以PA ⊥平面BDE ．………………………………12分因为PA ⊂平面PAB ，所以平面BDE ⊥平面PAB ． ………………………………14分17．解：（1）依题意得 y ＝mkn ＝mk (ax ＋5)，x ∈N *． …………………………………4分（2）方法一依题意x ＝0.2a ． ……………………………………………6分PABCDEO所以P ＝mx y ＝x k (ax ＋5)＝0.2a k (0.2a 2＋5)＝ak (a 2＋25) ……………………………8分≤a3(a 2＋25)＝13(a ＋25a )≤13×(2 a ×25a)＝130＜120． …………………………13分答：P 不可能大于120． …………………………………………14分方法二依题意x ＝0.2a ． …………………………………………6分所以P ＝mx y ＝x k (ax ＋5)＝0.2a k (0.2a 2＋5)＝a k (a 2＋25)．……………………………8分假设P ＞120，得ka 2－20a ＋25k ＜0． …………………………………10分因为k ≥3，所以△＝100(4－k 2)＜0，不等式ka 2－20a ＋25k ＜0无解．……………13分答：P 不可能大于120． ……………………………………14分 18．解： ⑴因为c a ＝22，a 2c= 2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝１．故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． ………………………………………4分⑵解法一设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1， – y 1)．因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1．令y = 0，解得m ＝－x 1y 1－1. ……………………………………8分因为k AQ ＝－y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1．令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1． ……………………………………12分所以mn ＝－x 1y 1－1 x 1y 1＋1＝x 211－y 21． ………………………………………14分又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22+ y 2 = 1上，所以x 212 + y 21= 1，即1－y 21= x 212，所以x 211 – y 21＝2，即mn ＝2．所以mn 为常数，且常数为2． ………………………………16分解法二设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y = kx +1，令y = 0，得m ＝－1k． ………………………………6分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y = kx + 1，x 22 + y 2＝1，[来源:学。

高三数学综合题试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，则函数的对称中心为（）A.（1，0）B.（0，1）C.（1，1）D.（0，0）2. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 + a_5 = 8$，$a_2 + a_4 = 12$，则$a_3$的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 123. 已知直线$y = kx + b$与圆$x^2 + y^2 = 4$相切，则$k^2 + b^2$的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 设复数$z = a + bi$（$a$，$b$为实数），若$\overline{z} = 2a - 3bi$，则$\frac{b}{a}$的值为（）A. 3B. -3C. $\frac{1}{3}$D. $-\frac{1}{3}$5. 已知函数$f(x) = \ln x + \frac{1}{x}$，则$f(x)$在定义域内的（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增6. 若向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (2, 3, 4)$，则$\vec{a} \cdot \vec{b}$的值为（）A. 11B. 12C. 13D. 147. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\cos A =\frac{1}{2}$，$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则角C的大小为（）A. $30^\circ$B. $45^\circ$C. $60^\circ$D. $90^\circ$8. 若$a > b > 0$，则$\sqrt{a} - \sqrt{b}$的取值范围为（）A. $(-\infty, 0)$B. $[0, +\infty)$C. $(-\infty, +\infty)$D. $(0, +\infty)$9. 已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则$f(x)$的定义域为（）A. $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$B. $(-\infty, 1) \cup [1,+\infty)$ C. $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$ D. $(-\infty, 1) \cup [1, +\infty)$10. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，则$f'(x)$的零点为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$，则$f(2) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\。

高三数学综合试卷模拟题

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为：A. 2B. 4C. 6D. 82. 下列各式中，能表示平面α上的点M(x, y, z)到原点O的距离的是：A. x^2 + y^2 + z^2B. x^2 - y^2 - z^2C. x^2 + y^2 - z^2D. x^2 - y^2 + z^23. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 + a2 + a3 = 12，a1 + a2 + a3 + a4 = 20，则数列{an}的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 函数y = |x|在R上单调递增C. 平面α与平面β相交，则直线l在平面α和平面β上D. 任意两个不共线的向量都存在唯一的实数λ使得λa + b = 05. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的对称中心为：A. (0, 2)B. (1, 0)C. (0, 0)D. (1, 2)6. 下列各式中，能表示平面α与平面β的夹角θ的余弦值的是：A. cosθ = |cosα - cosβ| / √(1 + cos^2α + cos^2β)B. cosθ = (cosα + cosβ) / √(1 + cos^2α + cos^2β)C. cosθ = (cosα - cosβ) / √(1 + cos^2α + cos^2β)D. cosθ = (cosα + cosβ) / √(1 - cos^2α - cos^2β)7. 已知等比数列{bn}的公比为q，且b1 + b2 + b3 = 27，b1 + b2 + b3 + b4 = 81，则q的值为：A. 2B. 3C. 4D. 58. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^59. 已知函数f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)，则f(x)的零点个数为：A. 2B. 3C. 4D. 510. 下列各式中，能表示空间直线l与平面α所成角θ的正弦值的是：A. sinθ = |cosα - c osβ| / √(1 + cos^2α + cos^2β)B. sinθ = (cosα + cosβ) / √(1 + cos^2α + cos^2β)C. sinθ = (cosα - cosβ) / √(1 + cos^2α + cos^2β)D. sinθ = (cosα + cosβ) / √(1 - cos^2α - cos^2β)二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = (x - 1)^2 - 4在x=2时的值为______。

2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷07(解析版)

直线 AB 的方程为____________．
答案：x＋y－3＝0
解析：设圆心为 C，由题知 kAB·kCP＝－1，又 kCP＝2－1＝1，∴ kAB＝－1，∴ 直线 AB 的方程为 y＝ 1－0
－(x－1)＋2，即 x＋y－3＝0.
11. 在△ABC 中，BC＝2，A＝2π，则A→B·A→C的最小值为________． 3
抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案： y＝± 3x 解析：由题设知a2＝1，又易知双曲线焦点在 x 轴上，且 a＝1，所以 b2＝c2－a2＝3，从而双曲线方程为
c2
x2－y2＝1，所以双曲线渐近线方程为 y＝± 3x. 3
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝________．答案：6 解析：由题知|4m－4|＝4，得 m＝6 或－4，∴ P(6，1)或 P(－4，1)．又 2x＋y≥3，∴ m＝6. 5
11
＝
a
[π
－ 1 x4＋4x3－12x2 25 3
＋12×104]，(10
分)
11
令 f(x)＝－ 1 x4＋4x3－12x2，则 25 3
f′(x)＝－
4
x3＋4x2－24x＝－4x
1 x2－x＋6 25
.
25
由 f′(x)＝0，解得 x＝0(舍去)或 x＝10 或 x＝15，(12 分)
列表如下：
a
a
14. 已知等比数列{an}的首项为4，公比为－1，其前 n 项和为 Sn，若 A≤Sn－ 1 ≤B 对 n∈N*恒成立，则 B

压轴题07 数列的通项、求和及综合应用(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题07数列的通项、求和及综合应用数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．考向一：数列通项、求和问题考向二：数列性质的综合问题考向三：实际应用中的数列问题考向四：以数列为载体的情境题考向五：数列放缩1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列{}n a 满足1n n a a d +-=（常数）（2n ≥，n *∈N ）不能判断数列{}n a 为等差数列，需要补充证明21a a d -=；2、数列{}n a 满足212n n n a a a +++=()*n ∈N ，则{}n a 是等差数列；3、数列{}n b 满足1n n b qb +=()*n ∈N ，q 为非零常数，且10b ≠，则{}n b 为等比数列；4、在处理含n S ，n a 的式子时，一般情况下利用公式n a =1*1,1,2,n n S n S S n n - =⎧⎨-∈⎩N≥且，消去n S ，进而求出{}n a 的通项公式；但是有些题目虽然要求{}n a 的通项公式，但是并不便于运用n S ，这时可以考虑先消去n a ，得到关于n S 的递推公式，求出n S 后再求解n a ．5、遇到形如1()n n a a f n +-=的递推关系式，可利用累加法求{}n a 的通项公式，遇到形如1()n na f n a +=的递推关系式，可利用累乘法求{}n a 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：（1）形如1n n a pa q +=+（1p ≠，0q ≠），可变形为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，则1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11q a p +-为首项，以p 为公比的等比数列，由此可以求出n a ；（2）形如11n n n a pa q ++=+（1p ≠，0q ≠），此类问题可两边同时除以1n q +，得111n n n n a a p q q q ++=⋅+，设n n n a b q =，从而变成1n b +=1n pb q+，从而将问题转化为第（1）个问题；（3）形如11n n n n qa pa a a ++-=，可以考虑两边同时除以1n n a a +，转化为11n nq pa a +-=的形式，设1n nb a =，则有11n n qb pb +-=，从而将问题转化为第（1）个问题．7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．81k=，1111()n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．常见的裂项公式：（1）111(1)1n n n n =-++；（2）1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（3）1111(2)22n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；（5）(1)(2)(1)(1)(1)3n n n n n n n n ++--++=．9、用错位相减法求和时的注意点：（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．10、分组转化法求和的常见类型：（1）若n n n a b c =±，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和；（2）通项公式为,, n n nb n ac n ⎧=⎨⎩奇数偶数，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．11、在等差数列{}n a 中，若2m n s t k +=+=（m ，n ，s ，t ，k *∈N ），则2m n s t k a a a a a +=+=．在等比数列{}n a 中，若2m n s t k +=+=（m ，n ，s ，t ，k *∈N ），则2m n s t k a a a a a ==．12、前n 项和与积的性质（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ．①n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等差数列，公差为2n d ．②n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，且122n S d d n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，公差为2d ．③若项数为偶数2k ，则 S S kd -=奇偶，1k kS a S a +=偶奇．若项数为奇数21k +，则1 k S S a +-=奇偶，1S k S k+=奇偶．（2）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为.n S ①当1q ≠-时，n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等比数列，公比为.n q ②相邻n 项积n T ，2n n T T ，32n nT T ，…也成等比数列，公比为()nn q 2n q =．③若项数为偶数2k ，则()2111k a q S S q--=+奇偶，1S S q=奇偶；项数为奇数时，没有较好性质．13、衍生数列（1）设数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且等差数列{}n a 的公差为d ，λ，μ为常数．①{}n a 的等距子数列{}2,,,m m k m k a a a ++ ()*,k m ∈N 也是等差数列，公差为kd ．②数列{}n a λμ+，{}n n a b λμ±也是等差数列，而{}na λ是等比数列．（2）设数列{}n a 和{}n b 均是等比数列，且等比数列{}n a 的公比为q ，λ为常数．①{}n a 的等距子数列{}2,,,m m k m k a a a ++ 也是等比数列，公比为k q ．②数列{}(0)n a λλ≠，(0)n a λλ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，{}n a ，{}n n a b ，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}mn a也是等比数列，而{}log a n a ()010n a a a >≠>，，是等差数列．14、判断数列单调性的方法（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）方法1：利用数列的单调性；方法2：设最大值项为n a ，解方程组11n n nn a a a a -+⎧⎨⎩≥≥，再与首项比较大小．一、单选题1．（2023·上海闵行·统考二模）若数列{}n b 、{}n c 均为严格增数列，且对任意正整数n ，都存在正整数m ，使得[]1,m n n b c c +∈，则称数列{}n b 为数列{}n c 的“M 数列”．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列选项中为假命题的是（）A ．存在等差数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”B ．存在等比数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”C ．存在等差数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”D ．存在等比数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”2．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1530S =，160S <，则（）A ．当15n =时，n S 最大B ．当16n =时，n S 最小C ．数列{}n S 中存在最大项，且最大项为8SD ．数列{}n S 中存在最小项3．（2023·山西·校联考模拟预测）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若70a >，70S <，则（）A ．360a a +<B ．580a a +>C ．47S S <D ．1493S a >4．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足：212n n n a a a +++=对*n ∈N 恒成立，且981a a <-，其前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的最大的n 的值是（）A ．10B ．12C ．15D ．175．（2023·北京门头沟·统考一模）已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=-.给出下列四个结论：①数列{}n a 每一项n a 都满足*01()n a n <≤∈N ；②数列{}n a 的前n 项和2n S <；③数列{}n a 每一项都满足21n a n ≤+成立；④数列{}n a 每一项n a 都满足1*1(()2n n a n -≥∈N .其中，所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②④6．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知一族曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（）A ．数列{}n x 的通项为1n nx n =+B ．数列{}n y的通项为n y =C ．当3n >时，1352111n n nx x x x x x --⋅⋅⋅>+ Dnnxy <7．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）在正三棱柱111ABC A B C -中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面ABC 的概率为n P ，有如下说法：①112P =；②21325P =；③12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；④11111052n n P -⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭，其中说法正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）给定函数()f x ，若数列{}n x 满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为函数()f x 的牛顿数列．已知{}n x 为()22f x x x =--的牛顿数列，2ln1n n n x a x -=+，且()11,1n a x n +=<-∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．则2023S =（）A ．202321-B ．202421-C ．2022112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2023112⎛⎫- ⎪⎝⎭9．（2023·河南安阳·统考二模）已知数列{}n x 和{}n a 满足()212223n n n n x x x x +-=>-，2ln1n n n x a x -=-，11a =．若()22n n n b a a n *++=+∈N ，124b b +=，则数列{}n n b a -的前2022项和为（）A ．20222B ．20202C ．202224-D ．202023-10．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，119a =-，746a a -=，若对于任意的*n ∈N ，总有n m S S ≥恒成立，则m =（）A ．6B ．7C ．9D ．10二、多选题11．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）如果有限数列{}n a 满足()11,2,,i n i a a i n -+== ，则称其为“对称数列”，设{}n b 是项数为()*21N k k -∈的“对称数列”，其中121,,,k k k b b b +- 是首项为50，公差为4-的等差数列，则（）A ．若10k =，则110b =B ．若10k =，则{}n b 所有项的和为590C ．当13k =时，{}n b 所有项的和最大D ．{}n b 所有项的和可能为012．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）如图，有一列曲线1Ω，2Ω，L ，n Ω，L ，且1Ω是边长为6的等边三角形，1i +Ω是对(1,2,)i n Ω= 进行如下操作而得到：将曲线i Ω的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到1i +Ω，记曲线(1,2,)n n Ω= 的边长为n a ，周长为n c ，则下列说法正确的是（）A ．212(3n n a -=⋅B ．52569c =C ．在3Ω中OA OC OD OC ⋅=⋅D ．在3Ω中40OB OC ⋅=13．（2023·浙江·统考二模）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数x ，如果x 是奇数㩆乘以3再加1，如果x 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设*N k ∈，各项均为正整数的数列{}n a 满足11a =，1,,2,,nn n n n a a a a k a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数则（）A ．当5k =时，54a =B ．当5n >时，1n a ≠C ．当k 为奇数时，2n a k≤D ．当k 为偶数时，{}n a 是递增数列14．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知数列{}n a 满足12a =，11,2,n n n n a n a a n ++⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（）A ．524a =B ．2nn b n =⋅C ．12n n T n +=⋅D ．()122122n n S n +=-+15．（2023·河北唐山·统考二模）如图，ABC 是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到111A B C △，再连接111A B C △的各边中点得到222A B C △，…，如此继续下去，设n n n A B C 的边长为n a ，n n n A B C 的面积为n M ，则（）A ．234n n M =B ．2435a a a =C ．21222nn a a a -++⋅⋅⋅+=-D．12n M M M ++⋅⋅⋅+16．（2023·浙江金华·模拟预测）已知定义在R 上且不恒为0的函数()f x ，若对任意的,R x y ∈，都有()()()f xy xf y yf x =+，则（）A ．函数()f x 是奇函数B ．对*N n ∀∈，有()()nf x nf x =C ．若()22f =，则()()()23(2)222(1)2-2n nf f f f n ++++=+ D ．若(2)2f =，则2310111122210232123101024f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++=-三、填空题17．（2023·广西·统考模拟预测）有穷数列{}n a 共有k 项，满足127a =，2737a =，且当*n ∈N ，3n k ≤≤时，211n n n n a a a ---=-，则项数k 的最大值为______________．18．（2023·江西九江·校联考模拟预测）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数()f x ，若数列{}n x 满足1()()n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为牛顿数列，若函数2()f x x =，2log n n a x =，且11a =，则8a =__________.19．（2023·北京石景山·统考一模）项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，满足123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，其中10a ≠.给出下列四个结论：①若2k =，则22a =；②若3k =，则满足条件的数列{}n a 有4个；③存在11a =的数列{}n a ；④所有满足条件的数列{}n a 中，首项相同.其中所有正确结论的序号是_________.20．（2023·广西·统考一模）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有10层，则该锥垛球的总个数为___________.（参考公式：()2222*(1)(21)1236n n n n n ++++++=∈N ）21．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列{}n a 中，11,0n a a =>，前n 项和为n S .若)*1N ,2n n n a S S n n -=∈≥，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项和为___________.22．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*122n n n a a a n ++=+∈N ，且3a ，7a 为方程218650x x -+=的两根，且73a a >.若对于任意*n ∈N ，不等式()()2241nn n a a λ->-恒成立，则实数λ的取值范围为___________.23．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知在正项等比数列{}n a 中，38a =，532a =，则使不等式511n S >成立的正整数n 的最小值为________．24．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）数列{}n a 满足n a n p =-+，数列{}n b 满足52n n b -=，设,,n n nn n nn a a b c b a b ≤⎧=⎨>⎩，且对任意*n ∈N 且9n ≠，有9n c c >，则实数p 的取值范围为____.四、解答题25．（2023·全国·模拟预测）已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项的和，21511S S =，112n n naa a++=-.(1)求1a ，2a 的值，并证明11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)证明：11111222n n n n S n +-+<<-+.26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2023·天津·校联考一模）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，其前8项的和为64；数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记211n n n n na c a ab ++-=，*n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)记()12221,21,N1,2,N n n n n n a n k k a d n k k b +**⎧-⋅=-∈⎪⎪+=⎨=∈⎪⎪⎩，求221nn k k S d ==∑．28．（2023·广西桂林·校考模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 与4-n 的等差中项为n n S a -.(1)证明：数列{}2n a +是等比数列；(2)设32log 2n n a b +=，证明：1352111111111n b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 29．（2023·天津·统考一模）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，()24Nn n a a n *+-=∈，数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)若215n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)在（2）的条件下，设124n n n n n b c b b ++=，求证：111346822n n n k n n --=++-<-.30．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．31．（2023·天津河北·天津外国语大学附属外国语学校校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n =∈N ，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项．(1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)若数列()()1322(1)11+⋅-=+-⋅--n nn n n n n c a b b b ，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；(3)求证：()2131nii i b b =<-∑．32．（2023·河北石家庄·统考一模）伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数1x >-且0x ≠，正整数n 不小于2，那么(1)1n x nx +≥+．研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题．(1)证明：当[1,)α∈+∞时，(1)1x x αα+≥+对任意1x >-恒成立；(2)证明：对任意*n ∈N ，123(1)n n n n n n n ++++<+ 恒成立．。

苏州市2023-2024学年高三上学期期中调研数学试卷(含答案)

苏州市2023～2024学年第一学期高三期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1．下列条件中，使得“>a b ”成立的充分不必要条件是A ．>a bB ．11>a bC ．22>a b D ．ln ln >a b2．已知集合2{650}=-+<A x x x ，{}=<B x x a ，且=A B A ，则实数a 的取值范围为A ．(1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞3．已知4cos 35-πα（）=，则sin 6+πα（）的值为A ．45-B ．35-C ．35D ．455．在△ABC 中，3=A π，AB 边上的高等于3AB ，则sin =CA ．14B ．14C ．14D ．146．已知曲线e ln =+x y a x x 在点(1,e)a 处的切线方程为2=+y x b ，则7二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．10．函数()tan 4=-f x x （2，则A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 是增函数C ．()f x 的图象关于点3π(,0)8对称D ．将函数tan 2=y x 的图象向右平移π4个单位长度可得到()f x 的图象11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1AA 的中点，点P 在对角线1A B 上，则A ．三棱锥-P CEF 体积为16B ．点P 到平面CEF 的距离为23C ．1APD P +的最小值为D ．四面体BCEF 外接球的表面积为14π12．对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 为无界数列．下列说法正确的有三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．（第14（第15题图．如图，一个半径为3两点为直径AB 的三等分点，⋅DE=▲．已知函数()3=-f x x 且()()=f m f n ，则m 的取值范围为围为▲.（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．(本小题满分10分)已知函数()2sin cos 442=+x x xf x .（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．18．(本小题满分12分)在①∠BAC 的平分线长为65；②D 为BC 中点，AD ；③AH 为BC 边上的高，AH 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．△ABC 中，角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ，已知b =2，2cos 3cos =-A a B .（1）求c ;（2）若，求∠BAC 的大小.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，2=AD BC ，090∠=DAB ，平面⊥PDB 平面ABCD ，⊥AC BD ，⊥AB PD ，1=BC ，2=PD .（1）求证：⊥PD 平面ABCD ；（2）求二面角--D PC B 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知函数()f x 满足2()e 2=-+x f x x x ．（1）求()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(2)1>-+f x a x 在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，21221++=++n n S S n n ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11=b ,1(1)++-=n n n n b b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．(本小题满分12分)已知函数2()+(2)ln =--f x ax a x x ．（1）若()f x 在区间(1,2)上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当01<<a 时，求证：()f x 有两个零点1x ，2x 12()≠x x ，且12()()0''+<f x f x ．2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数学参考答案及评分建议2023.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．题号12345678答案DCDBDACB二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．题号9101112答案ADACBCDABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．20;;15．12;16．(，(3,3)-四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．（本小题满分10分）解：（1）因为()sin 2sin()2223π=+=+x x x f x ，……………………………………………2分当2,232ππ+=-+π∈x k k Z 即54,3π=π-∈x k k Z 时，f (x )取得最小值－2，………………4分所以f (x )的最小值为－2，此时x 的取值集合为5{|4,}3π=π-∈x x k k Z ．………………5分（2）设()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到函数()g x ，则()2sin()23-π=+x m g x ，因为()g x 为偶函数，所以()()-=g x g x ，即sin()sin()223223ππ-+=--+x m x m ，所以sin cos()0223π-+=x m 恒成立，所以,232ππ-+=+π∈m k k Z ，………………………8分所以2,3π=--π∈m k k Z ，…………………………………………………………………9分又因为0>m ，所以min 53π=m ．……………………………………………………………10分18．(本小题满分12分)解：（1）由b =2及2cos 3cos =-A a B 得cos 3cos b A a B =-，即cos cos 3+=b A a B，………2分由余弦定理得222222322+-+-+=b c a a c b b a bc ac，……………………………………………4分所以3c =．……………………………………………………………………………………5分（2）若选①，记∠BAC=2θ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，则有=+ABC ABD ACD S S S △△△，…………………………………………………………………………………………6分即111sin 2sin sin 222=⋅+⋅bc b AD c AD θθθ，…………………………………………………7分即12186sin 2sin sin 55=+θθθ即sin 2sin =θθ，所以2sin cos sin =θθθ，………………9分因为(0,)2∈πθ，所以sin 0≠θ从而1cos 2=θ即3=πθ，…………………………………11分所以23∠=BAC π.……………………………………………………………………………12分若选②，由于D 为BC 中点，所以1()2=+AD AB AC ，…………………………………6分z即22242=++⋅ADAB AC AB AC，…………………………………………………………7分又因为72= AD ，3=AB ，2=AC ，所以3⋅=-AB AC ，……………………………9分即cos 3⋅⋅∠=-AB AC BAC ，所以1cos 2∠=-BAC ，……………………………………11分又因为(0,)∠∈BAC π，所以23∠=BAC π.………………………………………………12分若选③，由于AH 为BC 边上的高，在t R BAH△中，2229571449191919⨯=-=-=⨯BH AB AH ，所以121919=BH ，……………7分在t R CAH △中，222957494191919⨯=-=-=⨯CH AC AH ，所以71919=CH ……………9分所以19=+=BC BH CH 由余弦定理得22294191cos 22322+-+-∠===-⋅⨯⨯AB AC BC BAC AB AC，…………………………11分又因为(0,)∠∈BAC π，所以23∠=BAC π.………………………………………………12分19．(本小题满分12分)解：（1）因为平面⊥PDB 平面ABCD ，平面PDB 平面ABCD =BD ，⊥AC BD ，⊂AC 平面ABCD所以AC ⊥平面PDB ，…………………………………………………………………………1分又因为⊂PD 平面PDB ，所以AC ⊥PD ，…………………………………………………2分又因为⊥AB PD ，=AC AB A ，⊂AC 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ，………………………………………………………………………4分（2）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又AD⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，过A 引AZ PD ∥，则有AZ ⊥AD ，AZ ⊥AB ，又因为090∠=DAB ，即AD AB ⊥，以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AZ 为z轴建立空间直角坐标系，……5分设(0)=>AB t t ，则)0,0,0(A ，)0,0,(t B ，)0,1,(t C ，(0,2,0)D ，(0,2)P ,所以)0,1,(t AC =，)0,2,(t BD -=，)2,0,0(=DP ,由于⊥AC BD ，所以⋅AC 0=BD ，所以22=t ，即2=t ，………………………………………………………………………7分从而)0,1,2(C ，则)0,1,2(-=DC ，………………………………………………………8分设平面PDC 的一个法向量为),,(z y x n =，则有00⎧⋅=⎨⋅=⎩n DP n DC ，，即2020⎧=⎨-=⎩y ，，取1=x ，解得2,⎧=⎨⎩y z 即20)=n，………………………………………………9分同理，可求得平面PBC 的一个法向量为)1,0,1(=m ，…………………………………10分所以|cos,||<>== m n …………………………………………………………11分设二面角B PC D --的平面角为θ，θ为钝角，所以二面角B PCD --的平面角余弦值为.…………………………………………12分20．(本小题满分12分)解：（1）因为2()2=-+x f x e x x ，所以()22'=-+x f x e x ，………………………………………1分()()22'==-+x m x f x e x 令，则()2'=-x m x e ，当(,ln 2)∈-∞x 时，()0'<m x ；当(ln 2,)∈+∞x 时，()0'>m x ．所以()m x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增．所以min ()(ln 2)2(2ln 2)0==->m x m ，…………………………………………………………3分即()0'>f x 恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间．…………………………………5分（2）由题意()(2)1>-+f x a x 在区间(0,)+∞上恒成立，即2221-+>-+xe x x x ax 恒成立，即1e>+-xax xx 在区间(0,)+∞上恒成立，………………6分令1e ()=+-xg x x xx ，(0,)∈+∞x ，只需max ()>ag x ，……………………………………………7分有222(1)(1e )1e e ()1-+--'=-+-=x x x x x x g x x x x ，(0,)∈+∞x ，……………………………………8分令()1e =+-x h x x ，[0,)∈+∞x ，有()1e 0'=-x h x ≤，从而()(0)0=h x h ≤，…………………9分所以当(0,1)∈x 时，()0'>g x ；当(1,)∈+∞x 时，()0'<g x ，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，……………………………………10分所以()(1)2e ==-g x g max ，…………………………………………………………………11分所以2>-ae .…………………………………………………………………………………12分21．(本小题满分12分)解：（1）法一:当1n =时，215S S +=，即2125a a +=，由11a =，得23a =，由21221n n S S n n ++=++，得212(1)2(1)1n n S S n n -+=-+-+(2)n ≥，两式相减得：14(2)++=n n a a n n ≥．又214a a +=，满足上式．所以当*n N ∈时，14n n a a n++=，…………………………………………………………1分又当2n ≥时，14(1)n n a a n -+=-，两式相减得：114(2)+--=n n a a n ≥，…………………………………………………………2分所以数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-nn a a n n (n 为奇数)，……………………………………3分数列{}n a 的偶数项是以23a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-nn a a n n (n 为偶数)，……………………………………4分所以21=-n a n ，即{}n a 的通项公式是21n a n =-．…………………………………………5分法二：因为21221++=++n n S S n n ，所以22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，………2分因为2110-=S ，所以20n S n -=，即2n S n =，………………………………………………3分当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，…………………………………………4分当1=n时，11a =适合上式，所以{}n a 的通项公式是21n a n =-.…………………………5分（2）因为1(1)n n n n b b a ++-=，所以：当*21()n k n N =-∈时，221212(21)143k k k b b a k k ---==--=-……①当*2()nk n N =∈时，212222141k k k b b a k k ++==⨯-=-……②①、②两式相减得：21212(1)+-+=k k b b k ≥，…………………………………………………6分因为11b =，312b b +=，所以31b =，因为21212(1)+-+=k k b b k ≥，所以当n 为奇数时，1n b =，…………………………………7分当n 为偶数时，112(1)123n n n b b a n n ---==--=-，所以1123122n n b a n n -=+=-+=-，…………………………………………………………8分所以1,22,nn b n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，…………………………………………………………………9分(i)当n 为偶数时，213124(222)112()()12222-+-=+++++++=⨯+=+ n n n n n n T b b b b b b n n ．…………10分(ii)当n 为奇数时，2111111[(1)(1)][2(1)2]22++++=-=-=+++-+-n n n n n T T b T b n n n 211122=-+n n ．………11分综上,22111,221122⎧-+⎪=⎨+⎪⎩n n n n T n n n 为奇数，为偶数.………………………………………………………12分22．(本小题满分12分)解：（1）因为2()(2)ln f x ax a x x =+--，(1,2)x ∈所以22(2)1(21)(1)1()22+--+-'=+--==ax a x x ax f x ax a x x x，…………………………1分①当0a ≤时，()0f x '<所以()f x 在(1,2)上单调递减，所以()f x 在(1,2)上无极值点，…………………………2分②当0a>时，当1(0,)∈x a 时，()0f x '<；当1(,)∈+∞x a 时，()0g x '>，所以()f x 在1(0,a 上单调递减，在1(,)+∞a上单调递增．所以()f x 的极小值点为1a，无极大值点，因为()f x 在(1,2)上有极值，所以1(1,2)∈a，所以112<<a .……………………………………………………………………………4分（2）当01a <<时，(21)(1)()+-'=x ax f x x，0x >由(1)知：111()()ln 1==--+f x f a a a 极小，01a <<，11>a令1=t a，1t >，则()ln 1f t t t =--+因为1()10'=--<f t t ，(1,)t ∈+∞恒成立，所以()f t 在(1,)+∞上单调递减所以()(1)0f t f <=即1()(0=<f x f a极小，…………………………………………………5分因为221212(ln 10-=+-=++->a a a a f e e e e ee e ，由(1)知：()f x 在1(0,a上单调递减，且11(()0⋅<f f e a ，所以()f x 在1(0,a上存在唯一的零点1x ，使1()0f x =，……………………………………6分因为3(2)39333()ln 3ln -=+-=+-a f a a a a a a ，又33ln 1,01<-<<a a a，所以3(3140>+=>f a ，由(1)知()f x 在1(,)+∞a上单调递增，且13()()0⋅<f f a a ，所以()f x 在1(,)+∞a上存在唯一的零点2x ，使2()0f x =．所以()f x 有两个零点1x ，212()x x x ≠.………………………………………………………7分下面证明12()()0f x f x ''+<：设120x x <<，则22111111112222222222()(2)ln ()2ln 0()(2)ln ()2ln 0f x ax a x x a x x x x f x ax a x x a x x x x ⎧=+--=+--=⎨=+--=+--=⎩．两式相减：2212121212[()()]2()(ln ln )0-+-----=a x x x x x x x x 即11212122()(1)2()ln 0-++---=x a x x x x x x x 所以112212122()ln ()(1)-+=-++xx x x a x x x x ，………………………………………………………………8分因为22(2)11()22+--'==-+-ax a x f x ax a xx 所以12121212121111()()2()()2(2)2(1)(4''+=+-++-=++-+-f x f x a x x a a x x x x x x 1112221212112121222()ln 2ln ()(1)(11112(1)()4())-+-++-=++-+-=-+x x x x x x xx x x x x x x x x x x ，……………9分要证：12()()0f x f x ''+<，即证：1211212211()0()02()ln-+<<<-x x x x x x x x ，只要证：122211112ln (()0)--+>x x x x x x ，即证：12212102ln -+>xx x x x x .……………………10分令12,(0,1)=∈x t t x ，即证：1ln 02-+>t t t ，(0,1)t ∈．令()2ln 1-=+m t t t t ，(0,1)t ∈，则222(1)112(0)----='=<m t t t t t ，(0,1)t ∈恒成立所以()m t 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0m t m >=．即12212102ln-+>x x x x x x 成立，故()f x 有两个零点1x ，2x 12()≠x x ，且12()()0''+<f x f x .……………………………12分。

江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期高三数学期初考试及解析word

江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学2019.8一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.已知R 为实数集，集合{1,0,1}A =-，集合{|0}B x x =≤，则R A C B ⋂=______________.2.若复数122,2z i z a i =+=-（i 为虚数单位），且12z z 为实数，则实数a =______________.3.已知函数1()1x f x a e =+-为奇函数，则实数a =___________. 4.抛物线214y x =的准线方程为__________________. 5.设函数2()22f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切x 值都有0f x >()，则实数a 的取值范围为_____________.6.已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称，则(0)f =__________. 7.若曲线(1)xy ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________. 8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264,,S S S 成等差数列，则246a a a +的值为____________. 9.若双曲线22219x y b -=满足9b ≥，则该双曲线离心率的取值范围是_______________. 10.已知ABC ∆的三边上高的长度分别为2，3，4，则ABC ∆最大内角的余弦值等于___________. 11.已知函数2()6f x x =-，若0a b >>，且()()f a f b =，则2a b 的最大值是______________. 12.直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是_______________.13.如图，已知AC 与BD 交于点E ，AB CD ∥，AC =26AB CD ==，则当tan 3A =时，BE CD ⋅=u u u r u u u r _____________.14.已知C e 的方程为：222(3)(2)(0)x y r r -+-=>，若直线33x y +=上存在一点P ，在C e 上总存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，则C e 的半径r 的取值范围是_____________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分14分）已知集合{}2|3100A x x x =--≤，（1）若集合{21,1}B m m =---+，且A B A =U ，求实数m 的取值范围；（2）若集合{|211}B x m x m =--≤≤-+，且A B A =U ，求实数m 的取值范围. 16.（本题满分14分）已知cos 0,72παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （1）求sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若11cos()14αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值. 17、（本题满分14分）已知数列{}n a ，{}n b 满足()22n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式. 18.（本题满分16分）如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD 及矩形的停车场EFGH ，剩余的地方进行绿化.其中半圆的圆心为O ，半径为r ，矩形的一边AB 在直径上，点C ，D ，G ，H 在圆周上，E ，F 在边CD 上，且60BOG ︒∠=，设BOC θ∠=.（1）记市民活动广场及停车场的占地总面积为()f θ，求()f θ的表达式；（2）当cos θ为何值时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大. 19.（本题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆上一点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点(0,1)C 且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，若122k k =，求直线l 斜率的值. 20.（本小题满分16分）若对任意的实数k ，b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”. （1）判断函数2()f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()ln (0)f x m x m m =+≠是“恒切函数”，求实数m ，n 满足的关系式；（3）若函数()()1x x f x e x e m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<…. 江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上. 1. 答案：{1} 2. 答案：4a =3. 答案：12a =4. 答案：1y =-5. 答案：12a >6. 答案：127. 答案：2a =- 8. 答案：29.答案：)+∞ 10. 答案：1124-解析：ABC ∆三边之比为12，13，14，最大内角所对边为12，由余弦定理得22211111342cos 1124234θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-⨯⨯11. 答案：16解析：作图易知0b a <<<，且260b -<，260a ->，于是222222()()666612f a f b a b a b a b ==⇒-=-⇒-=-⇒+=()2231212,a b b b b b b =-=-+∈令32()12,()3123(2)(2)g b b b g b b b b '=-+=-+=--+，列表易知当2b =时，()g b 有最大值16 12.答案：(1,1]{-U解析：易知曲线x =(1,1]{b ∈-U .13. 答案：12解析：tan 3cos 10A A =⇒=，2211111()||66122222102BE CD AE AB AB AE AB AB ⎛⎫⋅=--=-⋅+=-⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .14.答案：⎫+∞⎪⎪⎣⎭解析：法一（利用直线与圆的性质）：圆心(3,2)到直线33x y +=距离d =，若C e 上总存在不同的两点M ，N ，则123d r r r d -≤⇒≥，即15r ≥.法二：（利用两个相关点关系）设()()1122,,,,(,33)M x y N x y P t t -，因为M ，N 均为C e 上的点，所以()()()()22211222223232x y rx y r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，又因为M 是线段PN 的中点，则2121212122332233x t x x x t y t y y y t ⎧+==-⎧⎪⇒⎨⎨+-==+-⎪⎩⎩ 于是()()()()()()()()()()22222222211111122222222222111132323233532232332222x y r x y r x y r t t r x y r x t y t r x y ⎧⎧-+-=⎧-+-=-+-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=--++--=-++=⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎩转化为两圆有公共点，可得322r r ≤≤，整理可得2221012109r t t r ≤-+≤，存在点P ，即存在t 使得不等式成立，则只需()22min3291012105r t t ≥-+=，2324515r r =⇒≥. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解：[2,5]A =-（1）A B A B A ⋃=⇒⊆，所以122153132215243m m m m m ⎧⎧-≤--≤-≤≤⎪⎪⇒⇒-≤≤⎨⎨-≤-+≤⎪⎪-≤≤⎩⎩.（2）A B A B A ⋃=⇒⊆，①若B =∅，则2112m m m -->-+⇒<-，②若B =∅，则2m ≥-，又B A ⊆，则12121421524m m m m m ⎧⎧--≥-≤⎪⎪⇒⇒-≤≤⎨⎨-+≤⎪⎪≥-⎩⎩，即122m -≤≤，综上1,2m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.16. 解：（1）cos 0,72παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，得1sin 7α===，所以sin sin cos cos sin 444πππααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭17=+= （2）因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(0,)αβπ+∈. 又11cos()14αβ+=，则sin()14αβ+===所以sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+11111471472=-⨯=. 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πβ=. 17. 解：（1）12133n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2113311112313nn n S ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，1111112133222121223333nnn n n n n S b a --⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为n b n =，则()22n n S a n =+，当1n =时，易得12a =，又23a =，因为()22n n S a n =+①，则()1122(1)(2)n n S a n n --=+-≥②， ①-②得1(2)(1)2n n n a n a --=--③，则1(1)2n n n a na +-=-④③-④得，11(22)(1)(1)(2)n n n n a n a n a n +--=-+-≥，即112(2)n n n a a a n +-=+≥ 则数列{}n a 为等差数列，又12a =，又23a =，则公差1d =，所以1n a n =+ 18.解：（1）∵半圆的半径为r ，BOC θ∠=，90OBC ︒∠= ∴在直角三角形OBC 中，cos ,sin ,2cos OB r BC r AB r θθθ==∴=∴2ABCD 2sin cos S AB BC r θθ=⋅=矩形.又∵60BOG ︒∠=，由半圆的对称性可知，60,60HOA HOG ︒︒∠=∴∠=.∴HOG ∆为等边三角形，,sin sin HG r HE r r θθ⎫∴==-=-⎪⎪⎝⎭.∴2sin S EF EH r θ⎫=⋅=-⎪⎪⎝⎭矩形EFGH .∴2ABCD ()2sin cos sin 2EFGHf S S r θθθθ⎛=+=-+ ⎝⎭形矩矩形，其中0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）∵()()22222()2cos 2sin cos 4cos cos 2f r r θθθθθθ'=--=--. 令()0f θ'=，即24cos cos 20θθ--=，解得：cos θ=或cos θ=.令01cos 8θ=，00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.令0cos θ=，00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 1°当()00,θθ∈时，()0f θ'>，()f θ单调递增； 2°当0,3πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'<，()f θ单调递减.∴.当0θθ=时，()f θ取得最大值.答：当1cos 8θ+=时，可使市民活动广场和停车场的面积总和最大 19. 解：（1）∵椭圆的离心率为12，∴2a c =. 又∵222a b c =+，∴b =.∴椭圆的标准方程为：2222143x y c c+=又∵点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆上一点，∴22914143c c +=，解得：1c =∴椭圆的标准方程为：22143x y +=. （2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为1y kx =+. 设()()1122,,,M x y N x y .联列方程组：221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得：()2234880k x kx ++-=. ∴由韦达定理可知：12122288,3434k x x x x k k +=-=-++ ∵121211,22y y k k x x ==+-，且12121222,22y y k k x x =∴=+- 即()()22122212422y y x x =+-.①又∵()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上， ∴()()22221122334,444y x y x =-=-.② 将②代入①可得：()211242222x x x x +-=+-，即()1212310120x x x x +++=∴22883101203434k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即2122030k k -+=. 解得：16k =或32k =. 又∵1k >，∴32k =. 20. 解：（1）函数()f x 为“恒切函数”，设切点为()00,x y . 则()()0000f x kx b kx b f x k k '++=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()()000f x f x '=⎧⎪⎨=⎪⎩ 对于函数2(),()2f x x f x x '==.设切点为()00,x y ，∴20020x x ⎧=⎨=⎩，解得：00x =.∴2()f x x =是“恒切函数”.（2）若函数()ln (0)f x m x nx m =+≠是“恒切函数”，设切点为()00,x y .000ln 0(),0m x nx m f x n mn x x '+=⎧⎪=+∴⎨+=⎪⎩Q ，解得：0ln 1x =，即0x e =.∴实数m ，n 满足的关系式为：0m ne +=.（3）函数()()1x x f x e x e m =--+是“恒切函数”，设切点为()00,x y .∵()()22x x f x e x e '=--，∴()()00000010220x x x x e x e m e x e ⎧--+=⎪∴⎨--=⎪⎩，∴()00000122x xx m e x e e x ⎧=---⎪⎨=+⎪⎩.考查方程22x e x =+的解，设()22xg x e x =--. ∵()21xg x e '=-，令()0g x '=，解得：ln 2x =-. ∴当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(ln 2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增. ∴min ()(ln 2)ln 210g x g =-=-<.1°当(,ln 2)x ∈-∞-时 ∵242(2)0,(1)10g g e e-=>-=-<. ∴()22xg x e x =--在(,ln 2)-∞-上有唯一零点0(2,1)x ∈--. 又∵()()00001124xx m e x ex x =---=+， ∴1,04m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. 2°当(ln 2,)x ∈-+∞时∵(0)0g =，∴()22xg x e x =--在(ln 2,)-+∞上有唯一零点0，∴0m =. 综上可知：104m -<….。

2020届江苏省苏州市高三数学过关题7 平面向量(教师版)

2020届苏州市高三数学过关题7 平面向量平面向量连接着数和形的两端，尤其凸显工具性的作用.在高考中主要和三角函数、解三角形、解析几何等结合起来.1. 平面向量与图形紧密结合，利用平面向量基本定理可以先考查线性表示，再进一步进行数量积的运算．2. 平面向量与三角函数相结合，在知识点的交汇处出题，将三角公式的考查糅合在一起．3. 正、余弦定理在教材中采用平面向量予以证明，将平面向量和解三角形置于一处也是命题的热点.4. 用平面向量可以表示图形的平行、垂直等几何关系，配合向量的坐标运算与解析几何合作，也成为命题方向.一、填空题1.已知向量()4,2a =r ，向量(),3b x =r ，且a r //b r ,则x = ．答案 6.解析 4320,x ⨯-⨯=则6x =.2.已知点,,C D E 是线段AB 的四等分点，O 为直线AB 外的任意一点，若()OC OD OE m OA OB ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数 m 的值为．答案 32. 解析 OC OD OE ++=u u u r u u u r u u u r m ()OA OB +⇒u u u r u u u r 3OD =u u u r m 2OD ⇒u u u r 23=m ． 3．设1e u r 与2e u u r 是两个不共线向量，1232AB e e =+u u u r u r u u r ，12CB ke e =+u u u r u r u u r ，1232CD e ke =-u u u r u r u u r，若,,A B D 三点共线，则=k ．答案－49. 解析 12(3)(21)BD CD CB k e k e =-=--+u u u r u u u r u u u r u r u u r ，设AB BD λ=u u u r u u u r .则3(3)k λ=-且2(21)k λ=--，解得94k =-．4．在矩形ABCD 中， 4,2,AB AD ==u u u r u u u r 则BA BD BC ++=u u u r u u u r u u u r ．答案 54.解析 2BA BC BD BD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，BA BD BC ∴++=u u u r u u u r u u u rADB C5．如图，平面四边形ABCD 中，若AC ＝5，BD ＝2，则(→AB ＋→DC )·(→AC ＋→BD )＝．答案 1.6.向量a r 、b r 满足1,4,a b ==r r 且2a b =r r g，则a r 与b r 的夹角为．答案 60o. 7.在平行四边形ABCD 中，3AC AD AC BD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则线段AC 的长为．答案 3.解析 ()3330AC BD AC AD AB AC AD AC AB AC AB ⋅=⇒⋅-=⇒⋅-⋅=⇒⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． ()223333AC AD AC AC CD AC AC AB AC AC ⋅=⇒⋅+=⇒-⋅=⇒=⇒=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 8.已知向量)1,(λ=，)1,2(+=λ，若a b a b +=-r r r r，则实数λ的值为．答案 1-.解析 22222201a b a b a a b b a a b b a b λ+=-⇒+⋅+=-⋅+⇒⋅=⇒=-r r r r r r r r r r r r r r． 9.在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =u u u r u u u r ，CA CE λ=u u u r u u u r ，若14AD BE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为．答案 3.解析在边长为1的正三角形ABC 中，所以2211,2AB AC AB AC ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r . 由已知可得：11()()2AD BE AB AC BC CA λ→→→→→→⋅=+⋅+11()()2AB AC AC AB AC λ→→→→→=+⋅-- 4143])11[()(21-=-=--⋅+=→→→→λλAB AC AC AB , 3=∴λ．10.如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，点F 为DE 中点，则BF DE u u u r u u u r g 的值为．AF EDBC答案4.解析 1132DE AE AD AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , ()111311226432BF DE BD DF DE AB DE DE AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=-+⋅=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2213141883AC AB AB AC =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ．11．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r 的值为．答案 10.解析注意到1+4=2+3，设计退化的四边形为线段,容易计算答案为10.12．（2019江苏七市高三第一次）在平面四边形ABCD 中，1AB DA DB ==，，32AB AC AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则2AC AD +u u u r u u u r 的最小值为．答案(0,0),B(1,0)1,(,m)(m 0)23,1,13(,n)(n 0)232,+22A AB x DA DB D AB AC AB ACAB AC AD mn =>==>==u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r u u u r g 解析以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则A 因为所以可设因为由数量积的几何意义知在方向的投影为，所以可设C 又所以即221=22184184251=,12mn AC AD m n mn m n +=++≥+==u u u r u u u r 故当且仅当时取等号 13、（2019苏州市高三第一次）在△ABC 中，已知 AB = 2， AC = 1，∠BAC = 90º， D ，E 分别为 BC ，AD 的中点，过点 E 的直线交 AB 于点 P ，交 AC 于点 Q ，则BQ CP ⋅u u u r u u r 的最大值为．答案 49-. (2a b)P,Q,E 11=12411529(2a b)(2a b)()244243494A AB x BQ CP a bb a a b a b a b BQ CP =-+++=++=++≥==u u u r u u u r g u u u r u u u r g 解析以为坐标原点，为轴建立直角坐标系设P(a,0),Q(0,b)得因为三点共线所以故当且仅当时取等号故的最小值为- 14. （2019宿迁市高三第三次）在平面四边形ABCD 中，，，．若，则的最小值为____．答案 226. 解析如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.则，，设，则，，因为所以，即：整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上。

江苏省苏州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版考试(综合卷)完整试卷

江苏省苏州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知的展开式中的常数项为0，则（）A．3B．C．2D．第(2)题已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则（）A．B．C．D．第(3)题若，，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知定义在上的函数满足，，，且，则（）A．1B．2C．D．第(5)题（）A．B．C．D．第(6)题设函数，则（）A．B．C．D．第(7)题过外接圆上异于该三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线，该定理称为西姆松定理，过三垂足的直线称为关于点的西姆松线．若中，直线与轴垂直，轴上的点为劣弧的中点，关于点的西姆松线与直线交于点，则外接圆的标准方程为（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，若，则a的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知菱形中，，，与相交于点，将沿折起来，使顶点移至点的位置，在折起的过程中，下列结论正确的是（）A．存在某个位置使得B．当为等边三角形时，C．当二面角为时，三棱锥外接球表面积为D．设为线段的中点，则三棱锥体积的最大值为第(2)题三棱锥各顶点均在半径为2的球的表面上，，，平面与平面所成的角为，则下列结论正确的是（）A．直线平面B．三棱锥的体积为C．点到平面的距离为D．点形成的轨迹长度为第(3)题产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标.下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图.在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.据上述信息，下列结论中正确的是（）A．2015年第三季度环比有所降低B．2016年第一季度同比有所降低C．2017年第三季度同比有所提高D．2018年第一季度环比有所提高三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则m=______．第(2)题若钝角△ABC中，，则△ABC的面积为___________．第(3)题向量是单位向量，，，则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知在中，，，分别为角，，的对应边，点为边的中点，的面积为.（I）求的值；（II）若，，求.第(2)题如图，多面体中，底面四边形为菱形，平面且(1)求证：；(2)求点A到平面的距离第(3)题已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，求函数在区间上的最大值．第(4)题已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若，的最小值为，求证：．第(5)题如图所示，四棱锥中，平面，，，，为棱上的动点.(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.。

江苏省苏州中学高三数学综合试卷

江苏省苏州中学高三数学综合试卷
夏炎
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1996(0)5
【摘要】一、选择题(每题4分、共60分) 1.设全集I={2,3,a~2+2a-
3},A={|a+1|,2},(?)={5},则a的值是 ( ) (A)2 (B)-3或1 (C)-4 (D)-4或2 2.若复数2-i和3-i的辐角主值分别是。

、卢,则。

+夕的值是
( )(A)(3π)/4(B)(7π)/4(c)(11π)/4(D)(15π)/4 3.函数y=lg(2/(1+x)-1)的图象关于( )(A)x轴对称 (B)y轴对称(C)原点对称 (D)直线y=x对称
【总页数】3页(P43-45)
【作者】夏炎
【作者单位】苏州中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
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吴江中学数学高三试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -1C. 1D. 52. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x+1)B. y = x^2 - 4C. y = log2(x-1)D. y = 1/x3. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项an的值为（）A. 27B. 30C. 33D. 364. 已知向量a = (2, -1)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/55. 已知圆C：x^2 + y^2 = 16，直线l：y = x + 2，圆C与直线l相交于A、B两点，则弦AB的长度为（）A. 4√2B. 6√2C. 8√2D. 10√26. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x - 4C. 3x^2 + 6x + 4D. 3x^2 + 6x - 47. 已知复数z = 2 + 3i，则|z|^2的值为（）A. 13B. 25C. 13iD. 25i8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an = 2an-1 + 1，a1 = 1，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^n - 2D. an = 2^n + 29. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 3，公比q = 2，则第n项bn的值为（）A. 3 2^(n-1)B. 3 2^nC. 3 2^(n-2)D. 3 2^(n+1)10. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若a + b + c = 0，则f(x)的图像与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 0二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

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苏州中学高三数学综合训练（7）班级姓名得分一、选择题：1．在锐角ABC ∆中，若1tan ,1tan -=+=t B t A ，则t 的取值范围为（）A ．),2(+∞B ．（1，+∞）C ．)2,1(D ．（―1，1）2．已知x ,y 为正实数，且x ，a 1, a 2, y 成等差数列，x , b 1, b 2, y 成等比数列，那么21221)(b b a a ⋅+的取值范围是（）A ．（0，+∞）B ．),4[+∞C ．]4,0(D ．[2，4]3．已知函数f (x )（0≤x ≤1）的图象是一段圆弧（如图所示）若1201x x <<<，则（）A ．1212()()f x f x x x < B ．1212()()f x f x x x =C ．1212()()f x f x x x >D ．前三个判断都不正确 4．已知sin cos 21,tan(),tan(2)1cos23αααββαα⋅=-=---则等于（）A ．－47B ．－81C ．81D ．745．已知a ,b,c 为三条不同的直线，且a ⊂平面α，b ⊂平面β，α∩β=c①若a 与b 是异面直线，则c 至少与a ，b 中的一条相交. ②若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直. ③若a //b ，则必有a //c ④若a ⊥b ，a ⊥c ，则必有α⊥β 以上的命题中，正确的是（）A ．②③④B ．①③C ．①④D ．②③6．已知集合A={1，2，3，4，5，6}，若a ∈A ，b ∈A ，则离心率互不相同的椭圆12222=+by a x 的个数为（）A ．15B ．13C ．12D ．117．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c(a >c>0)，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（）A ．2(a －c)B ．2(a +c)C ．4aD ．以上答案均有可能8．已知函数f (x )=a |x |(a >0且a ≠1)，f (a )<1设)]([),2(log ),(a f f s af n a f m a ==-=则（） A ．n<s<mB ．m<s<nC ．s<m<nD ．n<m<s9．区间[0,]:2m f x x m →+在映射所得的象集区间为[,]a b ，若区间[,]a b 的长度比区间[0,]m 的长度大5，则m ＝（）A ．5B ．10C ．2．5D ．1 10．已知(,)P t t ，t ∈R ，点M 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点，则||||PN PM -的最大值是（）A1 BC ．1D ．2二、填空题：11．已知x 2+xy+y 2=3，则x 2+y 2的范围是．12．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为2，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为． 13．将函数12)(-+=x x x f 的反函数的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位之后，得到函数g(x )的图象，则g(1)+3·g(3)+5·g(5)+7·g(7)+9·g(9)的值等于．.14．已知F 1、F 2为双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2=30°，则双曲线的渐近线方程为．15．如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中间4个点在某个圆内，其余12个点在圆外. 在16个点中任选3个点构成三角形，其中恰有两个顶点在圆内的三角形有个；至少有一个顶点在圆内的三角形有个.16．一只电子蚂蚁在如图2所示的网络线上由原点(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m,n)(m,n ∈Ｎ)，记可能的爬行方法总数为f(m,n), 下列有４逐步形成结论： ①f(2,1)=f(1,2)=3; ②f(2,2)=6; ③f(3,3)=21; ④f(n,n)=2(2)!,(!)n n 其中所有正确结论的序号是三、解答题：17．一张形状为等边三角形的球桌，设其顶点为C B A ,,边的中点D 击出，击中BC边上的某点E ，并且依次碰击CA F ，最后击中AB 边于点G ，设θ=∠BDE ，求θ（∠DEB=∠CEF ，∠EFC=∠AFG ）18．已知集合M 是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体：①f(x)在其定义域上是单调增函数或单调减函数；②在f(x)的定义域内存在区间[a ，b]，使得f(x)在[a ，b]上的值域是[12a ，12b]． (1)判断函数y ＝－x 3是否属于集合M ？并说明理由．若是，请找出区间[a ，b]． (2)若函数y ＝x －1＋t ∈M ，求实数t 的取值范围．19．如右图，正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为2，P 是棱1AA 上的一动点．（1）当P 在棱1AA 上运动时，P B 1是否有能与平面11A ACC 垂直，说明理由；（2）当P B BC 11⊥时，求线段AP 的长；（3）在（2）的条件下，求二面角11C P B C --的大小．CBE20．如图，A 为椭圆12222=+b y a x (0)a b >>上的一个动点，弦AB AC 、分别过焦点12F F 、．当AC 垂直于x 轴时，恰好12:3:1AF AF =．（I ）求该椭圆的离心率；（II ）设F AF 111λ=，F AF 222λ=，试判断21λλ+是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数()f x 的定义域为[0，1]，且同时满足：（1）对任意[0,1]x ∈，总有()2f x ≥；（2） (1)3f =；（3）若12120,0,1x x x x ≥≥+≤且，则有1212()()()2f x x f x f x +=+-．（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）试求()f x 的最大值；（Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足*111,(3),.2n n a S a n N ==--∈求证：12131()()()2.223n n f a f a f a n -++⋅⋅⋅+=+-⨯苏州中学数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题11．[2，6] 12．13．1514． y =±2x 15．60；312 16．①、②、④ 三、解答题17．解：由ABC ∆为等边三角形及入射角等于反射角易见BDE ∆∽CFE ∆∽AFG ∆，2分∴FAAGCF EC DB BE ==． 3分不失一般性，设等边ABC ∆的边长为2，且k BE =，则有1=DB ，且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<<<<⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-=<<-=<<-=<<-=<<=<3432232202230223022022020k k k k AG k k FA k k CF k EC k BE3432<<⇒k ． 8分在BDE ∆中，由正弦定理得 θθθθsin )120sin(1,)120sin(sin -︒=∴-︒=k DB BE 21cot 23+=θ． 10分而332cot 63,23143<<∴<<θk ，（文12分）即32arctan 23arctan .32tan 23<<∴<<θθ． 12分 18．解：(1)y ＝－x 3的定义域是R ，y'＝－3x 2≤0，∴y ＝－x 3在R 上是单调减函数．则y ＝－x 3在[a ，b]上的值域是[－b 3，－a 3]．由⎩⎨⎧－b 3＝12a －a 3＝12b 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－22b ＝22或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22b ＝－22(舍去)或⎩⎨⎧a ＝0b ＝0 (舍去)∴函数y ＝－x 3属于集合M ，且这个区间是[－22，22] (2)设g(x)＝x －1＋t ，则易知g(x)是定义域[1，＋∞)上的增函数．g(x)∈M ，∴存在区间[a ，b]⊂[1，＋∞)，满足g(a)＝12a ，g(b)＝12b ．即方程g(x)＝12x 在[1，＋∞)内有两个不等实根．[法一]：方程x －1＋t ＝12x 在[1，＋∞)内有两个不等实根，等价于方程x －1＝(12x －t)2在[2t ，＋∞)内有两个不等实根．即方程x 2－(4t ＋4)x ＋4t 2＋4＝0在[2t ，＋∞)内有两个不等实根．根据一元二次方程根的分布有⎩⎨⎧f(2t)＝(2t)2－(4t ＋4)·2t ＋4t 2＋4≥0△＝(4t ＋4)2－4(4t 2＋4)＞0对称轴4t ＋42＞2t解得0＜t ≤12．因此，实数t 的取值范围是0＜t ≤12．[法二]：要使方程x －1＋t ＝12x 在[1，＋∞)内有两个不等实根，即使方程x －1＝12x －t 在[1，＋∞)内有两个不等实根．如图，当直线y ＝12x －t 经过点(1，0)时，t ＝12，当直线y ＝12x －t 与曲线y ＝x －1相切时，方程x －1＝12x －t 两边平方，得x 2－(4t ＋4)x ＋4t 2＋4＝0，由△＝0，得t ＝0．因此，利用数形结合得实数t 的取值范围是0＜t ≤12．19．解：（1）无论P 在1AA 的任何位置P B 1都不能与平面11A ACC 垂直．反证法：假设⊥P B 1平面11A ACC ，则11AA P B ⊥，必有P 与1A 重合；⊥P B 1平面11A ACC ，则必有111C A P B ⊥，即111AA A B ⊥与︒=∠60111C A B 矛盾． 3分（2）连结C B 1交1BC 于点O ，则11BC C B ⊥，又11BC P B ⊥， 4分∴⊥1BC 平面C PB 1，且垂足为O ．∴PC BC ⊥1．取AC 的中点E ，连结BE 、1EC ，则⊥BE 面1AC 而1EC 为1BC 在面1AC 内的射影，由三垂线逆定理知PC EC ⊥1，而四边形11A ACC 为正方形， 7分∴易见P 为棱A A 1的中点．∴1=AP ． 8分（3）由（2）知，⊥O C 1面PC B 1，过1C 作P B D C 11⊥于D ，连OD 则DO C 1∠所求二面角的平面角， 9分在11PB C ∆中（如右图）511==PC PB ，∴.554545152)2(12112111==-⋅=-⋅=PC B C PC PB D C在DO C 1Rt ∆中，22111==BC O C ， 410sin 111==D C OC DO C ． 11分（文12分） ∴所求二面角大小是410arcsin ． 12分20．解：（I ）当A C 垂直于x 轴时，12:3:1AF AF =由122AF AF a +=，得132a AF=，22aAF = 在Rt △12AF F 中，21AF =222(2)AF c +解得 e=2．（II ）由e =22，则221222=-=-=e a c a a b ，c b =．焦点坐标为12(0)(0)F b F b -，，，，则椭圆方程为122222=+by b x ，化简为22222b y x =+．设00()A x y ，，1122()()B x y C x y ，，，， ①若直线AC 的斜率存在，则直线AC 方程为)(00b x bx y y --=代入椭圆方程有0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b ．由韦达定理得：022022023bx b y b y y --=，∴0202223bx b y b y --= 所以bx b y y CF AF 02022223-=-==λ，同理可得b x b b x b 0012323+=---=λ故21λλ+=66=bb． ②若直线AC x ⊥轴，b x =0，12=λ，5231=+=bbb λ∴21λλ+＝6．综上所述：21λλ+是定值6．。