【新课标】备战2012年高考文科数学专题复习第08课时《平面向量及其综合应用》

(3)由tanβtanβ=16，得sinαsinβ=16cosαcosβ， 即4cosα· 4cosβ-sinαsinβ=0，所以a//b.
此题主要考查向量的模、两向量平行和垂直的充要条 件、向量的和、差、数乘、数量积等平面向量的基本概念 和基本运算，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍 角的正弦公式、两角和的正弦与余弦公式，具有较强的综 合性．解决这类综合性问题，除了正确理解和掌握相关的 知识以外，还需要具有较强的运算求解能力和推理论证能 力．熟练地掌握平面向量的四种运算、向量的模以及两向 量平行与垂直的充要条件这些平面向量的核心内容，是解 决这类问题的关键．
已知向量 AB AC，的模和数量积，把
设 BD BC (0 1)， BC AC AB， AD AB BD AB BC (1 ) AB AC， 所以 AD BC [(1 ) AB AC ] ( AC AB ) 2 2 AC (1 ) AB (1 2 ) AB AC. 2 2 又因为 AC 1， 4， AC 1，故 AB AB AD BC 4(1 ) (1 2 ) 7 5. 由于0 1，故 AD BC的取值范围是 5, 2， 故选D.
3.应用问题
x2 y 2 【例3】已知椭圆 2 2 1(a b 0)的一个焦点是F 1, 0 ， a b O为坐标原点． （1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正 三角形，求椭圆的方程； （2）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l 绕点 2 2 2 F 任意转动，恒有 | OA | | OB | | AB | ，求a的取值范围．
设P(2cos，sin )，F1 ( 3，， 0) PF1 PO ( 3 2cos， sin )(2cos， sin ) 2 3cos 4cos 2 sin 2 3 2 3(cos )， 3 因为cos 1,1，所以PF1 PO [0, 4 2 3]．
2.坐标问题 【例2】 设向量a (4 cos ， )，b (sin ，cos )，c sin 4 (cos ， 4sin )． （1）若a与b 2c垂直，求 tan( )的值；
（2）求 | b c | 的最大值； （3）若 tan tan 16，求证：a / /b.
2 2 2 把长度关系 | OA | | OB | | AB | 通过余弦定 理，转化为AOB为钝角，通过数量积OA OB 0， 再转化为弦端点的坐标关系：x1 x2 y1 y2 0，进而通 过韦达定理转化为系数a，b，m的不等关系．
【变式训练】(2011 月舟山中学模拟)设F 为抛物线 3 y 2 4x的焦点，A、B、C是该抛物线上的点，且 满足 FA+ FB+ FC =0,则 FA + FB + FC ( ) A． 9 C． 4 B． 6 D． 3
用已知表示未知是解题的基本规律，在具有几 何背景的向量问题中，充分利用向量的加减法则和 平面向量的基本定理，把未知向量用已知向量表示 出来实现问题的解决．
【变式训练】 (2011 月柯桥中学模拟)如图所示，A、B、 1 C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一 点D，若OC xOA yOB，则 A． x y 1 0 C．x y 1
专题二 三角函数与平面向量
1．设a ( x1，y1 )，b ( x2，y2 )，则：
1 a //b x1 y2 x2 y1 0； 2 a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0.
2．平面向量基本定理 如果e1 和e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么 对该平面内的任一向量a , 有且只有一对实数1，2， 使a 1e1 2 e2 .
（1）设M 、N 为短轴的两个三等分点． 因为 MNF 为正三角形， 3 3 2b 所以 | OF | | MN | ，即1 ， 2 2 3 解得b 3，a 2 b 2 1 4， 2 2 x y 因此，椭圆方程为 1. 4 3 （2）设A( x1，y1 )，B( x2，y 2 )． ①当直线AB与x轴重合时， | OA |2 | OB |2 2a 2，AB |2 4a 2 ( a 2 1)． | 2 2 2 因此，恒有 | OA | | OB | | AB | .
3．设a ( x1，y1 )，b ( x2，y2 )，则a b a | b | cos x1 x2 y1 y2；其几何意义是a b等于a的长度与b在 a的方向上的投影的乘积；a在b的方向上的投影 a cos a b x1 x2 y1 y2 . |b| x2 2 y2 2
又a b m 0， 2 2 2 2 2 2 2 所以 m a b b a b a 0对m R恒成立， 即a 2b 2 m 2 a 2 a 2b 2 b 2 对m R恒成立． 2 2 2 当m R时，a b m 的最小值为0， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 所以a a b b 0，a a b b ，a b ， 即a 4 3a 2 1 0， 3 5 3 5 2 2 解得a 或a (舍去)， 2 2 1 5 1 5 即a 或a (舍去)． 2 2 1 5 综合①②，a的取值范围为( ， )． 2
为锐角 a b 0且a，b不同向;〈a，b〉为直角 a b 0；〈a，b〉为钝角 a b 0且a，b不反向． 6.a，b同向时，a b || a | | b || a | b ||| a b | | (当a，b中有0时取等号)；a，b反向时，a b | | | a | | b | a | b | | a b | (当a,b中有0时取等号)； a，b不共线时， b a b a b . a
对于(1)，利用a·(b-2c)=0；对于(2)，利用 |b+c|2=(b+c)2求最大值；对于(3)，要证a∥b，只需 证x1y2-x2y1=0(其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2))．
(1)由于a与b-2c垂直，所以a·(b-2c)=a·b-2a·c=0， 即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0，所以tan(α+β)=2. (2)因为b+c=(sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ)， 所以|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β32cosβsinβ+16sin2β=17-30sinβcosβ=17-15sin2β. 所以|b+c|2的最大值为32， 所以|b+c|的最大值为 4 2 .

B．x y 1 D． 1 x y 0
此题可巧解，可用特殊图形位置法求解， 检验知C是正确的． 普通解法是：因为 AD OB mOC 1 m 0 ， 1 1 因此x ，y ，x y 1，故选C. m m m
1.三角形问题
【例1】如图所示，在ABC中，BAC 120，AB 2，AC 1，D是边BC 上的 一点(包括端点)，则AD BC 的取值范 围是( ) A． 2 1, C． 2 0, B． 0,1 D． 5, 2
AD BC用这两个向量的模和数量积来表示即可．
2 2 2
向量与解析几何的综合题是高考命题的热点， 解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化．常 用技巧有两个：一是以向量的运算为切入点；二是 结合向量的几何意义及曲线的有关定义作转化．
x2 2 【变式训练】 11 月嵊州一中模拟) F1是椭圆 y 1 (20 3 4 的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则PF1 PO的 取值范围是（ ）
设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，C ( x3，y3 )，p 2， p p p 则x1 x2 x3 0， 2 2 2 3p 所以x1 x2 x3 ， 2 3p 因此 FA FB FC x1 x2 x3 3 p 6. 2 答案B
②当直线AB不与x轴重合时， x2 y 2 设直线AB的方程为x my 1，代入 2 2 1， a b 整理，得(a 2 b 2 m 2 ) y 2 2b 2 my b 2 a 2b 2 0， 2b 2 m b 2 a 2b 2 所以y1 y2 2 ，y 1 y2 2 . 2 2 2 2 a b m a b m 2 2 2 因为恒有 | OA | | OB | | AB | ， 所以AOB恒为钝角． 即OA OB x1 x2 y1 y2 0恒成立， 因为x1 x2 y1 y2 (m 2 1) y1 y2 m( y1 y2 ) 1 m 2 a 2b 2 b 2 a 2b 2 a 2 0， 2 2 2 a b m
4．三点A，B，C 共线 AB与 AC共线；与AB共线的 设a ( x1，y1 )，b ( x2，y2 )， a b 则cos | a || b | x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2 .注意〈a，b〉
AB AC AB AC 7．三角形中向量性质1 ) )． | AB | | AC | | AB | | AC | 1 2 PG ( PA PB PC ) GA GB GC 0 3 G为ABC的重心． 3 PAPB PBPC PAPC P为ABC的垂心． AB AC 4 ( )( 0)对应的点所在直线过ABC内心． | AB | | AC | 1 2 2 2 5 SABC | AB || AC | sinA | AB | | AC | ABAC 2