12.5因式分解二(公式法)
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 2 公式法课件
(2)原式=（2a）²－ 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2.
第十六页，共二十页。
3.多项式4a²+ma+9是完全平方式(fāngshì)，那么m的值是（D ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12
4.计算： 2 0 1 4 2 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 2 .
解
步骤
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
一提：公因式；
二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止.
第十八页，共二十页。
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
12.5 因式分解。（3）-x2-y2。三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）。3.中间有两 底数之积的±2倍.。（5）x2+x+0.25.。（4）因为ab不是a与b的积的2倍.。所以16x2+24x+9是一个完全平 方式，。（2）-x2+4xy-4y2.。解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）。分析：（1）中有公因式3a,应先提出(tí chū)公因式，再进一步分解因式。1002－2×100×99+99²。二套：公式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
第六页，共二十页。
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式(gōngshì)来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 第2课时 因式分解教案 (新版)华东师大版
第2课时因式分解(2)1．能熟练运用公式将多项式进行因式分解．2．能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底．3．提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力．重点掌握公式法进行因式分解．难点找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底．一、创设情境1．乘法公式有哪些？(1)两数和乘以这两数的差的公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(2)两数和或差的完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.2．试计算：(1)(a＋3)(a－3)；(2)(a－3b)2；(3)(a＋2b)2.二、探究新知1．根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？(1)a2－6ab＋9b2＝( )( )；(2)a2－9＝( )( )；(3)a2＋4ab＋4b2＝( )( )．2．观察复习与回顾的练习，你能发现它们之间的联系与区别吗？学生反复仔细观察、对比，找出其中的联系与区别．议一议：由a(a＋1)(a－1)得到a3－a是什么运算？由a3－a得到a(a＋1)(a－1)的变形与它有什么不同？3．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.4．说一说：利用a2－b2＝(a＋b)(a－b)和a2±2ab＋b2＝(a±b)2乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法就称为公式法．其中，a，b可以表示单项式，也可以表示多项式．判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？(1)x2－4y2＝(x－2y)(x＋2y)；(2)2x(x－3y)＝2x2－6xy；(3)(5a－1)2＝25a2－10a＋1；(4)x2＋4x＋4＝(x＋2)2；(5)(a＋3)(a－3)＝a2－9；(6)m2－4＝(m＋2)(m－2)．三、练习巩固1．把下列各式分解因式：(1)－492＋x2；(2)4(x＋m)2－(x－m)2.2．把下列各式分解因式：(1)x2－12xy＋36y2；(2)a2－14ab＋49b2；(3)16a4＋24a2b2＋9b4；(4)49a2－112ab＋64b2.3．把下列各式分解因式：(1)a3－14a2＋49a；(2)3a3－27ab2；(3)2am＋an＋2bm＋bn；(4)－20xy＋25x2＋4y2.四、小结与作业小结1．在这节课中你学到了什么？2．因式分解和整式乘法有何区别？3．分解因式要注意几个问题？4．常用的因式分解有几种方法？作业教材第45页习题12.5第1题(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)，第3题．本节课中公式法与提公因式法常综合使用，注意通过适当地训练与归纳使之熟练化，对于复杂变形后的因式分解，课标不做要求，不必加重学生负担．。
华东师大版八年级上册数学第12章12.5 因式分解
课堂小结
定义
am+bm+mc=m(a+b+c)
因式 分解
方
确定公因式的方法：三定，
即定系数；定字母；定指数
提公因式法
分两步：第一步找公因
法
式；第二步提公因式
公式法
（下节课学习）
注意
1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
1．公因式： 多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之
为公因式．
2．相信我能行：
多项式
8x＋12y 8ax＋12ay 8a3bc＋12a2b2y 9x2－6xy＋3x
公因式
4 4a 4a2b 3x
3.相信我能行，填空： (1) 2x－6xy＝_2_x_(_1_－__3_y_)； (2) －6x3＋9x2＝_－__3_x_2(_2_x_－__3_)． 提公因式法：
3．观察以上两组题目有什么不同点？又有什么联系？ 答：左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运算 的变形过程． 4.归纳概括：把__一__个__多__项__式__化__为__几__个__整__式__的__积__的__形__式__， 叫做多项式的因式分解．
5．判断：下列各式由左到右变形，哪些是因式分解？
情景导入
1．情境引入 这是教室的一块大黑板，如图所示，请同学们计算它 的面积． (1)问：m(a＋b＋c)与ma＋mb＋mc相等吗？ 答：相等，m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc. (2)从左边到右边的变形是什么？从右边到左边的变形 是什么？ 答：整式乘法，因式分解．
2．温故知新 (1)整式乘法有几种形式？ 答：单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式 乘以多项式． (2)乘法公式有哪些？ 答：平方差公式；完全平方公式．
公式法
3．(8分)因式分解： (1)4x2－y2； 解：(2x＋y)(2x－y)
x2 (3) －25y2； 100
x x 解：( ＋5y)( －5y) 10 10
(2)－16＋a2b2； 解：(ab＋4)(ab－4)
(4)(2014·武汉)a3－a.
解：a(a＋1)(a－1)
4．(6分)利用因式分解计算： (1)1.952－2.952； 解：－4.9
C．(a－b)4
D．(a＋b)2(a－b)2
14．已知a，b，c是三角形的三边长，那么代数式a2－ 2ab＋b2－c2的值( A ) A．小于0 B．等于0
C．大于0
D．不能确定
b 2 15．若非零实数 a，b 满足 4a2＋b2＝4ab，则 ＝____. a
16．因式分解：ab2－2ab＋a＝ x2y－4xy＋4y＝ y(x－2)2
解：ab(2a－b)2
(2)－64x2＋16xy－y2； 解：－(8x－y)2
(4)(x2＋y2)2－4x2y2.
解：(x＋y)2(x－y)2
2 20．(6 分)已知 a＋b＝ ，ab＝2，求代数式 a2b＋2a2b2＋ab2 的值． 3
1 解：原式＝ab(a＋2ab＋b)＝9 3
2 2 x ＋ y 21．(8 分)已知 x(x－1)－(x2－y)＝－2，求 －xy 的值． 2
a(b－1)2
．
；
17．若正方形的面积是 4x2＋4xy＋y2(x＞0，y＞0)，则这个正方形 的周长是
8x＋4y
．
18．已知 x－y＝3，xy＝5，则多项式 x3y－2x2y2＋xy3 的值是____．
45
19．(12分)分解因式：
(1)9x2－12xy＋4y2； 解：(3x－2y)2
12.5因式分解(二)完全平方公式
4 3ax
2
6axy 3ay
2
解：1 25x
5 x 1 2 2 2 x 4 y 4xy 2 2 x 4 y 4 xy
2 2
10x 1 2 2 2 5x 2 5x 1 1
4 2
x 4 xy 4 y 2 x 2y
复习回顾
还记得前面学的完全平方公式吗？
a b a 2ab b a b2 a2 2ab b2 2 a b a2 2ab b2
2 2 2
计 算 ：
2 x 44 x __________ x 8 x 16 2 2 7 b __________ b 14b 49 2 m 99 m __________ __ m 18m 81
2 ( a +3) = _____________
②
n2–10n+25
2 ( n – 5) = ___________
2 4( t – 1) ③ = _____________ 2 (2x–3y) ④ 4x2–12xy+9y2 =__________
例3、将下列各式分解因式。
1 25x 10x 1 2 2 2 x 4 y 4xy 2 3 x y 10 x y 25
2
1
利用完全平方 公式分解时， 找准公式里的 “a”“b”
2
b a 2 a b a b
2 2
2
2
4x 20x 25 2 2 解：原式 2 x 2 2 x 5 5 2 2 x 5
针对性练习(将下列各式因式分解) ： ① a2+6a+9 4t2–8t+4
12.5.2因式分解2
12.5因式分解第二课时 公式法分解因式【学习目标】1. 了解因式分解的意义，能正确区分因式分解与与整式乘法运算。
2. 理解公因式的概念，会用提公因式法进行因式分解【重点难点】重点：了解因式分解的意义，能正确区分因式分解与与整式乘法运算。
难点：理解公因式的概念，会用提公因式法进行因式分解。
、【学法指导】自主预习，小组合作、归纳【知识链接】1、因式分解定义：2、两数和与这两数差的积，等于这两个数的3.用字母表示两数和（差）的平方公式为：【自学指导、合作探究】一、自学指导独立思考，相信聪明的你一定能出色完成下列任务！自学1、运用前面所学的知识填空：（1） m （a ＋b ＋c ）＝ ；（2）（a ＋b ）（a －b ）＝ ；（3）（a ＋b ）2＝ ．自学2、试一试 填空：（1） ma ＋mb ＋mc ＝（ ）（ ）；（2） a 2－b 2＝（ ）（ ）；（3） a 2＋2ab ＋b 2＝（ ）2．自学3、思考；（1）公式法因式分解定义是什么？（2）常用的公式有几种？是什么？二、合作探究针对上述思考内容小组讨论归纳：公式法因式分解定义： 常用的两种公式：平方差公式（1）平方差公式： ；(2)完全平方公式：考考你：(1)多项式22y x +，22y x -，22y x +-，22y x --中能用平方差公式因式分解的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个（2）下列各式中能用完全平方公式因式分解的有（ ）A. 222y xy x -+B. 2241y xy x +- C. 222y xy x ++- D. 22y xy x ++例题讲解：例1把下列多项式分解因式：（1） 25x 2－16y 2； （2） x 2＋4xy ＋4y 2．例2：把下列各式分解因式(1) 2251b - (2) 110252++x x (3) 3a x 2+6axy+3ay 2归纳：把一个多项式因式分解，一般可按下列步骤进行：（1） 如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
华师版八年级数学上册 12.5因式分解第2课时公式法(1)1
－__5__)2，再化为__1_002－2×100×5＋52 __9_025 _；
_，结果等于
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3
12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解
(4)计算 1052－2×100×5＋52 时，可以逆着(2)的思路把 它化为(_1_0_5_－__5__)2，结果等于_1_0_0_0．0 感谢您下载包图网平台上提供的PPT作品，为了您和包图网以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！包图网将对作品进
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4
12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解
新知梳理
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► 知识点 利用两数和(差)的平方公式因式分解
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技巧：
(1)当多项式有公因式时，首先提取公因式． (2)当多项式为两项时，常用平方差公式分解因式． (3)当多项式为三项时，常用两数和(差)的平方公式分解因 式．
(4)当多项式是四项以上时，常用分组分解法．
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[解析] (3)小题中把 x2－4 利用平方差公式可转化为(x＋2)(x －2)，这时多项式中有公因式(x＋2)，因此再利用提公因式法便 感谢您下载包图网平台上提供的PPT作品，为了您和包图网以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！包图网将对作品进
12.5.2运用公式法因式分解
用完全平方公式因式分解
(1)m2 2nm n2；（2）1 a a2 4
(3) 4x2 4xy y2；（4）1 9a2 6a (5)(a b)2 4ab；（6） 25y2 20xy 4x2
(7)(a b)2 2(a b) 1
复习： 一、因式分解的定义：
1、 3xy3z 6x2 y2
2、 把 2a(b-c) -3(b-c)分解因式.
二、提公因式的方法：①看系数，找系数 的最大公约数 ②看字母，找所有项的相同字母 ③看指数，找相同字母的最小指数
三、整式的乘法与因式分解有什么关系？
平方差公式 与完全平方公式 1、平方差公式： (a b)(a b) a2 b2
号提出来，或者交换加数 的位置。 （2）有公因式要先提公 因式。 （3看看可不可以运用平 方差公式法 （4）观察结果，看还可 不可以分解。
14x2 64
2 1 b2 9a2
9
325a3 49a 4(2a 3b)2 (3a 2b)2 5a4 81 63x4 y(a b) 27x2 y3(a b)
本节课开始的速算题你现在会做吗？
（1） 20082 4016 2007 20072
解：原式 2008 2 2 2008 2007 2007 2
1 （2008 2007）2
（2） 20082 20072
解：原式 （2008 2007）(2008 2007)
a2-b2=(a+b)(a-b) 四、因式分解的步骤：①首项有“-”，把“-” 提出来 ②有公因式先提，③使用平方差公 式因式分解④检查最后结果是否分解完全。
华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》(第1课时)教学设计
华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第1课时）教学设计一. 教材分析“因式分解”是初中数学的重要内容，也是八年级上册的教学重点。
华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第1课时）的教学设计，主要让学生掌握因式分解的基本方法和应用。
本节课的内容包括：认识因式分解，掌握提公因式法和公式法进行因式分解，以及理解因式分解在解决实际问题中的应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法，包括提公因式法和公式法。
但是，对于因式分解的概念和方法，以及如何运用因式分解解决实际问题，还需要进一步的学习和理解。
同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以便更好地掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.让学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。
2.培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.因式分解的概念和方法。
2.运用因式分解解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过问题引导学生思考，案例让学生理解因式分解的方法，小组合作学习法培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考：已知一个二次方程的解为2和-3，求这个二次方程。
让学生认识到因式分解在解决实际问题中的重要性。
2.呈现（10分钟）讲解因式分解的概念和方法，通过PPT课件展示提公因式法和公式法的步骤和例子。
让学生理解因式分解的方法，并能够运用到实际问题中。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选择一个练习题进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生总结因式分解的步骤和注意事项，并通过PPT课件进行讲解。
然后，再让学生进行一次练习，巩固所学的知识。
5.拓展（10分钟）让学生运用因式分解解决实际问题，如分解一个多项式，或者解决一个优化问题。
八年级数学 第12章 整式的乘除12.5 因式分解第2课时 公式法作业 数学
a☆b＝a3－ab，那么将多项式a☆4因式分解，
其结果为
．
a(a＋2)(a－2)
第十二页，共二十一页。
12．如图，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，小亮将图①中的阴影
部分拼成一个长方形，如图②所示，
这一过程(guòchéng)可以验证等式 a2－b2＝(a＋b)(a－b) ．
第十三页，共二十一页。
17．(阿凡题 1072023)有一系列等式： 1×2×3×4＋1＝(12＋3×1＋1)2； 2×3×4×5＋1＝(22＋3×2＋1)2； 3×4×5×6＋1＝(32＋3×3＋1)2； 4×5×6×7＋1＝(42＋3×4＋1)2. (1)观察(guānchá)、归纳并发现规律，写出9×10×11×12＋1的结果； (2)试猜想n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1的结果； (3)说明你的猜想的正确性．
A．(x－1)(x－2) B．x2
C．(x＋1)2 D．(x－2)2
10．(宜昌中考)多项式x－y，x＋y，a－b，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字
：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息
可能(kěnéng)是( )
C
A．我爱美 B．宜昌游
第十九页，共二十一页。
解：
(1)9×10×11×12＋1＝(92＋3×9＋1)2 (2)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2 (3)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1＝ (n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2
第二十页，共二十一页。
试说明这个三角形是等边三角形．
解：∵a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca， ∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0， ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0， ∴a＝b＝c，即三角形为等边三角形
2022秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解2公式法__平方差公式课件新版华东师大版
答案显示
a2－b2＝_(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_，即两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积．
1．【2020·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分 解因式的是( C )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
2．【中考·济宁】多项式4a－a3分解因式的结果是( B ) A．a(4－a2) B．a(2－a)(2＋a) C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
(3)因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用a2－b2＝(a＋ b)(a－b)简算：
①999.92－0.12；
解：999.92－0.12 ＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1) ＝999.8×1 000 ＝99962 ＝356－3316×356＋3316 ＝－1138×1 ＝－1138.
任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)说明这个规律的正确性．
解：设m、n为两个整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和 2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当 m、n同是奇数或同是偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m －n)一定是8的倍数；②当m、n一奇一偶时，m＋n＋1一 定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述， 任意两个奇数的平方差是8的倍数．
【点拨】设较小的偶数为2n，则较大的偶数为2n＋2， 则(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2) ＝4(2n＋1)． ∴能被4整除，故选C.
15．【中考·宜昌】小强是一位密码编译爱好者，在他的
密码手册中，有这样一条信息：a－b、x－y、x＋y、
a＋b、x2－y2、a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱
12.5.因式分解-平方差公式
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边: （是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
下列多项式能转化成（ ）２－（ m2 －1 = m2 －12 (2)4m2 －9 = (2m)2 －32 (3)4m2+9 不能转化为平方差形式
(4)x2 －25y 2 ＝ x2 －(5y)2 (5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式 (6) －x2+25y2 = 25y2－x2 =(5y)2 －x2
铺路之石
填空：
平方差公式：
整式乘法
(a + b)(a - b) = a2 - b2
两个数的和与两个数的差的乘积， 等于这两个数的平方差。
a2 - b2 = (a+ b)( a - b)
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的乘积.
a 2 ▲- b 2 = ( a ▲+ b )( a -▲ b )
华师版 ·数学 ·八年级(上)
把-9x2y+6xy2-3xy分解因式 -3xy(3x-2y+1)
比一比
• 比一比，看谁算的又快又准确！
322-312
5.52-4.52
知识探索
平方差公式：
（a+b)(a-b)=a2-b2
a2-b2= (a+b)(a-b)
整式乘法 因式分解
这种分解因式的方法称为公式法。
（1） 1 ＝（
36
1 6
)2 ;
（3）9m2 ＝ ( 3m )2;
12.5 因式分解(第2课时 运用两数和乘以这两数的差公式因式分解)
利用因式分解计算
巩固
4. 计算：
(65 1 )2 (34 1 )2
2
2
探究 根据数的开方知识填空：
4 ( )2
3 ( )2
结论：
a ( a )2 (a 0)
范例 例4 在实数范围内因式分解：
(1)x2 3
(2) 5 4a2
巩固 5.在实数范围内因式分解：
4
范例 例2 因式分解：
(1)16(x y)2 9(x y)2 (2) 4 (2m n)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4. 把下列各式因式分解：
(1)(a b)2 c2 (2)( x p)2 (x q)2 (3)( x y)2 (z m)2
范例 例3 简便计算：
作业
2.已知 a b 3, a2 b2 12， 求 a b 的值。
范例 例1 因式分解：
(1)x2 4 (2) 4n2 9m2
先确定a2和b2
巩固
2.下列多项式能否用两数和乘以这两数 的差的公式因式分解？
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a2和b2的符号相反
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
巩固 3. 因式分解：
(1) 9 4x2 (2)x2 y2 1 z2
探究
Ⅰ.怎样将多项式 a 2 b2 进行因式分
解？
(a b)(a b) a2 b2
整式乘法
a2 b2 (a b)(a b)
因式分解
归纳
因式分解方法
公式法分解因式：
两数的平方差，等于这两数的和 与这两数差的积。
八年级数学上册 12.5 因式分解《第2课时 公式法》教案 (新版)华东师大版
12.5 因式分解一、课题： 12.5 因式分解（第二课时—公式法）二、教学目标：1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解.2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力.重点：掌握公式法进行因式分解.难点：找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.三、教学过程：（一）读一读：学生自主学习课本第44页例题1（3）（4）的内容，回答下列问题：1.我们学过哪些乘法公式？请把公式表示出来.2.乘法公式如果反过来用，它们的结果都是什么形式?能够成为什么公式呢？这些公式用语言可以怎样叙述？3.用这种方法对多项式进行因式分解的方法叫( )（二）查一查：下列各式能否用公式来分解因式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，请说明理由.(1)x2-4x+4；(2)1+16a2 (3)4x2+4x-1； (4)x2+6x+9（三）学一学例1、对下列多项式进行因式分解：（1）25x2 -16y2（2）-z2+(x-y)2分析：以上各式均满足使用( )公式分解因式的条件，所以可直接利用( )公式进行因式分解.例2 把多项式x2+4xy+4y2分解因式．分析：(1)判断左边是否为完全平方式．(2)判断中间一项是哪两个数积的二倍．(3)看清中间一项的符号，写出因式分解结果例3. 把下列多项式分解因式(1) 4x3y+4x2y2+xy3(2) 3x3 -12xy先用( )方法分解因式,再用( )方法分解因式. （四）练一练:课本45页练习题（五）比一比：(学生独立完成)1.把下列各式分解因式：（1）-492+x2（2）4(x+m)2 -(x-m)22.把下列各式分解因式：(1)x2-12xy+36y2；(2)a2-14ab+49b2；(3)16a4+24a2b2+9b4；(4)49a2-112ab+64b2．3.把下列各式分解因式。
(1) a3-14a2+49a (2) 3a3-27ab2(3) 2am+an+2bm+bn (4) -25xy+25x2+4y2（六）谈一谈：让学生自由发言，谈出本节课的收获，解答此类问题的关键。
12.5 因式分解 第2课时 公式法 【八年级上册数学(华东师大版)】
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3．因式分解： (1)(2017·河池)x2－25＝_(_x_＋__5_)(_x_－__5_)_； (2)(孝感中考)(a－b)2－4b2＝__(a_＋__b_)_(a_－__3_b_)__．
4．(例题1变式)因式分解： (1)4a2－64； 解：原式＝4(a＋4)(a－4)
(2)9x2－ 1 y2.
b2＝40，∴a－b＝2.将 a－b＝2 与 a＋b＝20 联立成方程组，解
得 a＝11，b＝9，∴a2＝121，b2＝81，答：这两个花坛的面积分
别为 121 m2 和 81 m2
16．如果△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足等式a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，试说明△ABC是等边三 角形．
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第十二章 整式的乘除
12．5 因式分解
第2课时 公式法
华师专版·八年级上册
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1．下列多项式不能用平方差公式分解因式的是( D ) A．－a2＋b2 B．16m2－25m4 C．2x2－ 1 y2 D．－4x2－9
2
2．下列因式分解正确的是( D ) A．a2－2b2＝(a＋2b)(a－2b) B．－x2＋y2＝(－x＋y)(x－y) C．－a2＋9b2＝－(a＋9b)(a－9b) D．4x2－0.01y2＝(2x＋0.1y)(2x－0.1y)
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9．两个连续奇数的平方差是( B ) A．6的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．16的倍数
华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》(第2课时)教学设计
华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第2课时）教学设计一. 教材分析《因式分解》（第2课时）是华师大版数学八年级上册12.5章的重要内容。
这部分内容主要包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法。
学生在学习这部分内容时，需要掌握因式分解的基本概念和方法，能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过例题和练习题，帮助学生巩固因式分解的技巧，提高解题能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了整式的乘法，具备一定的代数基础。
但是，对于因式分解的概念和方法，部分学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学。
同时，由于因式分解的方法较多，学生可能难以区分和选择合适的方法，教师需要引导学生理解各种方法的适用场景，提高学生的解题能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解的基本方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过例题和练习题，培养学生运用因式分解方法解题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作探讨的学习态度，使学生感受到数学的实用性。
四. 教学重难点1.重点：掌握因式分解的基本方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法。
2.难点：如何选择合适的因式分解方法，以及如何灵活运用各种方法解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生理解因式分解的概念和方法。
2.示例法：教师通过讲解典型例题，展示因式分解的过程，引导学生模仿和理解。
3.练习法：学生通过大量练习，巩固因式分解的方法，提高解题能力。
4.讨论法：学生分组讨论，合作解决问题，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材：华师大版数学八年级上册。
2.教案：详细的教学设计。
3.课件：用于辅助教学的PPT或其他多媒体材料。
4.练习题：针对本节课内容的练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。
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练习
(1) x2y2 - z2 (2) 0.25m2 - 0.01n2
(3) ( x + p )2 - ( x + q )2
(4)
2 2 16(a-b) -9(a+b)
三、利用完全平方公式进行分解因式
ab a 2ab b ab a 2ab b
2
2
2
2
2
2
二、利用平方差公式进行分解因式
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2 反过来，就得到：
a2-b2=(a+b)(a-b)
看三个例子：
(1) x2 - 16 (2) 9m2 - 4n2 (3) 1 - 25b2
能否将这两个多项式进行因式分解。
显然，在以上三个多项式中，不能找 到公因式，因此不能使用提公因式法 进行分解 但是通过观察我们能够发现，两个多 项式都能够写成平方差的形式，由此 我们可以利用刚才学习的平方差公式 进行分解。
(1) x2 - 16
分析： 因为16 = 42， 所以x2 - 16=x2 - 42,
利用平方差公式： x2 - 16 = x2 - 42 =( x + 4 ) ( x – 4 )
a2 - b2 =( a + b ) ( a - b )
(2) 9m2 - 4n2
分析： 因为9m2 = ( 3m )2,4n2 = ( 2n )2,
所以9m2-4n2=(3m)2-(2n)2
化成平方差公式： 9m2 - 4n2 =（3m )2 - ( 2n )2 =( 3m + 2n)(3m - 2n)
a2
-
b2 = ( a + b ) ( a - b )
(3) 1 - 25b2
分析： 因为12 = 1 2, 25b2 = ( 5b )2, 所以1 - 25b2 =12-(5b)2
1 1 5 x x 原式 x 4 2 2 2 2 6 4a 12ab 9b 原式 2a 3b
2
2
练习
⑴x2＋10x＋25 ⑵y2－6y＋9 （3）9x2－12x＋4 （4）－9x2＋24xy－16y2 (5)4x3y＋4x2y2＋xy3 (6)x4－18x2＋81
2 2
判别下列各式是不是 完全平方式
2 2 1 a b 2ab 是 2 2
下列各式是不是完全平方式
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
2 2 2 2
1 5 x x 是 4 2 2 否 6 a 2 ab 4 b
一、复习旧知
1、请同学们说出平方差公式和完全平方公式
⑴ （a ＋ b）(a－b) = a2-b2 ⑵（a+b)2 = a2 ＋2ab＋b2
(3) (a －b)2
= a2 －2ab＋b2
2、因式分解的定义：
一般的，把一个多项式化为几个整 式的积的形式称为把这个多项式因式分解。
整式乘法与因式分解互为逆运算 所以如果把乘法公式反过来， 就可以用来把某些多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做运用公式法.
2
反过来：
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
2 2
2
2
2 2 2 首 2首尾 尾 =(首±尾)
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式 我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
1x 2 xy y 是 2 2 是 2A 2 AB B 2 2是 3甲 2 甲乙 乙 2 2 是 4 2
2
例：把下列式子分解因式 2 2 4x +12xy+9y
2 2
2 x 2 2 x 3 y 3 y 2 x 3 y
2
2 2 2 =( 首±尾 ) 首 2首尾 尾
请运用完全平方公式把下列各式 分解因式： 2 2 1 x 4 x 4 原式 x 2 2 2 2 a 6a 9 原式 x 3 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
拓展训练： （1）已知x2 －6xy＋9y2 ＋ ∣y －1∣=0 求x2y ＋xy2的值 （2）x2+kx+64是一个完全 平方式，求k的取值
分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法 （如平方差公式、完全平方公式） (3)务必检查是否分解彻底了
作业： (1) a2 - 0.25x2 (3) 4x2 - 9y2 (5) -2ab+a2+b2 1 2 2 (7) x -xy+y 4 (2) 36 - m2 (4) 0.81a2 - 16b2 (6) x2+4xy+4y2 (8) a b 4 a b 4
原式= 12-(5b)2= （ 1 + 5b )( 1 - 5b )
注意：
平方差公式中的字母a，b不仅可以代 表数，而且可以代表代数式。例如， 第（2）题中，利用a2 - b2 =( a + b ) ( a - b )分解因式时，其中a表示3m,b 表示2n
利用 平方差公式分解因式的步 骤:
1. 确定公式中的a 和 b. 2.变成a2 -b2 的形式 3. 根据a2-b2=(a+b)(a-b)写出结果即可. 简单的记为: 1.定a , b 2.变形式 3 .写结果. ●注意:最终结果要保证不能再分解为止,也就是说分解 要彻底.