A卷晋城20届6月质监考试理数答案
【2019-2020高三理科数学试卷】人教A版2020届高三半期考质量检测 答题卡及答案解析
2020届高三半期考质量检测数学（理科）试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A=,集合,则( )A.B.C.D.2.角的始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点,则=（ ）A. B. C. D.3. 在，则是成立的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图所示，在中，，,则实数=( )AB CDA. B. C. D.5. 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0，且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A.13 B.23C.1D.26.已知函数,对,有恒成立，则实数的取值范围（ ）xyx yx y xyA. B. C. D.7.计算( )A.1+2cos2B.1C.0D.1-2cos2 8. 函数的图像可能是（ ）A ．BCD 9.若所在平面内存在点M 满足：,则=( )A.2B.C. 1 DAOC xy B10.等边边长为2，O 为坐标原点，当顶点A,B 分别在轴上运动时，则的最大值为（ ）A. B. C.D.11.在中，三个角A,B,C 所对的边分别是.若,则最大值（ ）A. B.C.2D.412.函数在区间内没有极值点，则的取值范围（ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13.已知,，则 __________14. 已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．15. 已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.16.已知有两个不同的零点,且,求实数的取值范围___________三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（满分10分）已知等差数列{a n }的公差d ＞0，前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝S nn ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．18.（满分12分）已知函数f (x )＝sin 5π6－2x －2sin x －π4cos x ＋3π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x ∈π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值．19.在中，三个角A,B,C 所对的边分别是,且,(1)求A 的大小； (2)设AD 为BC 边上的高，求AD 的取值范围。
数学(理科A卷)答案2020年五月 高考全省联考
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【2019-2020高三理科数学试卷】人教A版2020届高三半期考质量检测一 答题卡及答案解析
2020届高三半期考质量检测一数学（理科）试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的区间是( )A ．[0,1]B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－143.设等比数列{a n }的前n 项和S n ，则“a 1>0”是“S 3>S 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 若命题“∀x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≥0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)5. 设a ＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b ＝22(sin56°－cos56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >c B ．b >a >c C.c >a >bD ．a >c >b6. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A.23AB →－13AD → B.13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →7. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－198. 已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )9. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤1，y ≥0，则z ＝2x ·8y的最大值是( )A ．4B ．8C ．16D ．3210. 若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π11. 函数y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值是( )A. 3 B ．2 C ．2 2 D ．2 312. 已知函数f (x )＝ln x －a x ，若函数f (x )在[1，e]上的最小值为32，则a 的值为( )A ．－eB ．－e 2C ．－32D ．e 12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13. 已知sin α＝cos2α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________. 14．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．15. 若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为________．16. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（满分10分）已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．18.（满分12分）已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．19.（满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，求数列{b n }的前n 项和T n .20.（满分12分）已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .21.（满分12分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A.(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． 22. 已知函数f(x)＝x e x－a(ln x ＋x)，a ∈R .(1)当a ＝e 时，判断f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．2020届高三半期考质量检测一姓名 座号数学（理科）试卷答题卡成绩：一、选择题（本题满分60分）、填空题（本题满分20分）13 . 14.15. 16.三、解答题（本题满分70分）2020届高三半期考质量检测一数学（理科）试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的区间是( )A ．[0,1]B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【答案】 D【解析】 A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14【答案】 A【解析】 当a ≤1时不符合题意，所以a >1，即－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.3.设等比数列{a n }的前n 项和S n ，则“a 1>0”是“S 3>S 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 C【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0，S 3>S 2⇔S 2＋a 3>S 2⇔a 1q 2>0⇔a 1>0，所以“a 1>0”是“S 3>S 2”的充要条件．4. 若命题“∀x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≥0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,3)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)【答案】 C【解析】 由题意得，原命题的否定“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4>0.所以a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.5. 设a ＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b ＝22(sin56°－cos56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >c B ．b >a >c C.c >a >b D ．a >c >b【答案】 D【解析】 a ＝cos50°cos127°＋cos40°cos37° ＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°) ＝cos(－77°)＝cos77°＝sin13°.b ＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56° ＝sin(56°－45°)＝sin11°.c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos78°＝sin12°. 因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2为增函数．所以sin13°>sin12°>sin11°，即a >c >b .6. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A.23AB →－13AD →B.13AB →－23AD → C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →【答案】 C【解析】 BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.7. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n －1＋r －32n －3－r ＝8·32n －3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝32－1＋r ＝3＋r ，∵数列是等比数列，∴当a 1满足a n ＝8·32n －3，即8·32－3＝3＋r ＝83，即r ＝－13，故选B.8. 已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )【答案】 C【解析】 由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )． 9. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤1，y ≥0，则z ＝2x ·8y的最大值是( )A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】 D【解析】 先根据实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤1，y ≥0画出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y －x ＝1，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，当直线u ＝x ＋3y 过点A 时，u 取得最大值是12＋3×32＝5，则z ＝2x ·8y ＝2x ＋3y 的最大值为25＝32.10. 若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 【答案】 B【解析】 依题意，函数f (x )图象的一条对称轴为x ＝0＋π32＝π6，又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，所以π6－0≤T 4≤π2－π6，所以2π3≤T ≤4π3.根据选项可得，f (x )的最小正周期为π.11. 函数y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值是( )A. 3 B ．2 C ．2 2 D ．2 3 【答案】 B 【解析】y ＝⎠⎛x(sin t ＋cos t sin t )d t=12. 已知函数f (x )＝ln x －a x ，若函数f (x )在[1，e]上的最小值为32，则a 的值为( )A ．－ eB ．－e 2C ．－32D ．e 12【答案】 A【解析】 f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2，若a ≥0，则f ′(x )>0，f (x )在[1，e]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，则a ＝－32，矛盾．若a <0，则由f ′(x )＝0得x ＝－a .若1<－a <e ，即－e<a <－1，则在[1，e]上，f (x )min ＝f (－a )＝ln (－a )＋1＝32，解得a ＝－e ，符合题意．故选A.事实上，若－a ≥e，即a ≤－e ，则在[1，e]上，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上单调递减，∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，解得a ＝－e2，矛盾；若－a ≤1，即a ≥－1，则在[1，e]上，f ′(x )≥0，f (x )在[1，e]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，解得a ＝－32，矛盾．一、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13. 已知sin α＝cos2α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________. 【答案】 －33【解析】 sin α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0. ∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2sin α－1＝0.∴sin α＝12，cos α＝－32.∴tan α＝－33. 14．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【答案】2011【解析】 由题意可知，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝，则1a n＝＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项的和为1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 15. 若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为________．【答案】π3【解析】 由|a ＋b |＝|a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝|a |2. 故向量a ＋b 与a 的夹角θ的余弦值为cos θ＝a ＋b ·a |a ＋b ||a |＝|a |22|a ||a |＝12.又0≤θ≤π，所以θ＝π3.16. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．【答案】 5【解析】 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．故填5. 三、解答题（共6大题，满分70分）17.（满分10分）已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】 (1)因为f (x )＝b ·a x的图象过点A (1,6)，B (3,24)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，所以a ＝2，b ＝3， 所以f (x )＝3·2x.(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立可化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在x ∈(－∞，1]时恒成立．令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， 所以m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56. 18.（满分12分）已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．【解析】 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．19.（满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以S n n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－n )－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1也符合上式， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3.(2)当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝2a 1＝2.当n ≥2时，由a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，①得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.② ①－②，得a n b n ＝(4n －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.因为a n ＝4n －3，所以b n ＝2n(当n ＝1时也符合)，所以b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以T n ＝＝2n ＋1－2.20.（满分12分）已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . 【解析】 (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n，a n b n ＝(－2n ＋5)×2n.T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ，2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1，两式相减，得T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6＝(7－2n )·2n ＋1－14.21.（满分12分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A. (1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． 【解析】 (1)∵a＝2b sin A ， 根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ， ∵sin A≠0，∴sin B ＝12，又△ABC 为锐角三角形，∴B＝π6.(2)∵B＝π6，∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3. 由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B>π2，∴π3<A<π2，∴2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴32<3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫32，32. 22. 已知函数f(x)＝x e x－a(ln x ＋x)，a ∈R. (1)当a ＝e 时，判断f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围． 【解析】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝e 时，f ′(x )＝＋xx e x －x，令f ′(x )＝0，得x ＝1，∴f (x )在(0,1)上为减函数；在(1，＋∞)上为增函数．(2)记t ＝ln x ＋x ，则t ＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上单调递增，且t ∈R. ∴f (x )＝x e x－a (ln x ＋x )＝e t－at ，令g (t )＝e t－at .∴f (x )在x >0上有两个零点等价于g (t )＝e t－at 在t ∈R 上有两个零点． ①当a ＝0时，g (t )＝e t，在R 上单调递增，且g (t )>0，故g (t )无零点；②当a <0时，g ′(t )＝e t－a >0，g (t )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝e 1a－1<0，故g (t )在R 上只有一个零点；③当a >0时，由g ′(t )＝e t－a ＝0可知g (t )在t ＝ln a 时有唯一的一个极小值g (ln a )＝a (1－ln a )． 若0<a <e ，g (t )极小值＝a (1－ln a )>0，g (t )无零点； 若a ＝e ，g (t )极小值＝0，g (t )只有一个零点； 若a >e ，g (t )极小值＝a (1－ln a )<0，而g (0)＝1>0， 由y ＝ln x x在x >e 时为减函数，可知当a >e 时，e a >a e >a 2， 从而g (a )＝e a－a 2>0，∴g (x )在(0，ln a )和(ln a ，＋∞)上各有一个零点．综上，当a>e时，f(x)有两个零点，即实数a的取值范围是(e，＋∞)．。
山西省晋城市第一中学校2023届高三上学期第六次调研数学试题(解析版)
晋城一中高三年级第六次调研考试数学试题第I 卷一､单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1.若集合{A y y ==，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A.(]0,9 B.[)4,9 C.[]4,6 D.[]0,9【答案】A 【解析】【分析】先解出集合A 、B,再求A B .【详解】因为{{}0A y y y y ===≥，{}{}3log 209B x x x x =≤=<≤，所以{}09A B x x ⋂=<≤.故选：A ．2.若12i z =-+，则i4z z z +=⋅-（）A.13i -+B.13i-- C.13i+ D.13i-【答案】A 【解析】【分析】由共轭复数的概念与复数的四则运算法则求解即可【详解】因为12i z =-+，所以()()412i 12i 41441z z ⋅-=-+---=+-=，所以ii 13i 4z z zz +=+=-+-，故选：A3.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若tan A =，ABC ，则bc 的最小值为（）A.16B.C.48D.【答案】C【解析】【分析】求出角A 的值，利用三角形的面积公式可得出4bca =，利用余弦定理结合基本不等式可求得bc 的最小值.【详解】因为0A π<<且tan A =，则23A π=，因为1sin 24ABC S bc A ===△，所以，4bc a =，由余弦定理可得()2222222cos 316bc a b c bc A b c bc bc ==+-=++≥，所以，48≥bc ，当且仅当b c ==bc 的最小值为48.故选：C.4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A.()2,6-B.(6,2)-C.(2,4)-D.(4,6)-【答案】A 【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.5.已知函数()sin f x x x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，则12x x +的最小值为（）A.6πB.3πC.23π D.43π【答案】C 【解析】【分析】根据12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，由12x x ，关于函数的对称中心对称求解.【详解】()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，令,3x k k Z ππ-=∈,得函数的对称中心为,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又因为12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，所以1223k x x ππ=++，当0k =时，12x x +的最小值为23π.故选：C.6.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B 为“第一次记录的数字为奇数”，事件C 为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.事件B 与事件C 是对立事件B.事件A 与事件B 不是相互独立事件C.()()()18P A P B P C ⋅⋅=D.()18P ABC =【答案】C 【解析】【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.【详解】对于A ，事件B 与事件C 是相互独立事件，但不是对立事件，故A 错误；对于B ，对于事件A 与事件B ，()()()111,,224P A P B P AB ===,事件A 与事件B 是相互独立事件,故B 错误；对于C ，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有4416⨯=种，其中，事件A 发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有22228⨯+⨯=种，所以()81162P A ==，因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以()2142P B ==，()2142P C ==，所以()()()31128P A P B P C ⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，事件ABC 表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故()221444P ABC ⨯==⨯，故D 错误.故选：C ．7.ABC 中，2222sin 3sin sin 2sin sin sin A C B A B C +-=，则B =（）A.π4B.3π4C.π4或3π4 D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理角化边，再利用余弦定理和基本不等式求得最小值，利用辅助角公式求得最大值，即可得到B 的取值.【详解】因为2222sin 3sin sin 2sin sin sin A C B A B C +-=，由正弦定理得22222222232sin 22sin a c b ac B a c b a c ac B +-=⇒+-++=,由余弦定理得222cos 22sin ,ac B a c ac B ++=即12sin cos 2a c B B c a ⎛⎫-=+≥ ⎪⎝⎭又πsin cos 4B B B ⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭则πsin cos 4B B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭当且仅当ππ2π,Z 42B k k -=+∈时，即3π2π,Z 4B k k =+∈时取等，因为0πB <<,所以3π4B =.故选:B.8.已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且12//PF QF ．若12PF QF b +≥，则C 的离心率的取值范围是（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.30,2⎛ ⎝⎦D.3,12⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意延长1PF 交椭圆另一交点为A ，由条件结合椭圆性质可知11PF F A PA +=，再通过通径的性质有2min2PA b b a=≤即可得解.【详解】由点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，延长1PF 交椭圆另一交点为A ，由12//PF QF 再结合椭圆的对称性，易知11PF F A =，所以11PF F A PA +=，由椭圆过焦点的弦通径最短，所以当PA 垂直x 轴时，PA 最短，所以2min2PA b b a=≤，所以22ab b ≤，解得02e <≤.故选：C9.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若,AB CD 都是直角圆锥SO 底面圆的直径，且3AOD π∠=，则异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为（）A.13B.4C.4D.3【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件证明//DB AC ，得到SAC ∠或其补角为异面直线SA 与BD 所成的角.在SAC 中利用余弦定理计算可得结果.【详解】如图，连接,,,AD BC AC SC .因为O 为,AB CD 中点，且AB CD =，所以四边形ADBC 为矩形，所以//DB AC ，所以SAC ∠或其补角为异面直线SA 与BD 所成的角.设圆O 的半径为1，则SA SC ==因为3AOD π∠=，所以3ADO π∠=.在直角DAC △中，2CD =，得AC =.所以2226cos4SAC ∠=，所以异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为64.故选：C.10.已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A.a b c<< B.c b a<<C.c a b <<D.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1x g x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10e x <<时，()0f x '<，当1ex >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.二､多选题（本题共2小题，每题5分，共10分，下列四个选项中有多个符合题意，全部选对5分，部分选对3分，有选错的0分）11.已知向量)a = ，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题正确的是（）A.若a b ⊥，则tan θ=B.若b 在a 上的投影向量为36a - ，则向量a 与b 的夹角为23π C.若b 与a 共线，则b 为63,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或63,33⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.存在θ，使得a b a b+=+ 【答案】BD 【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示可知A 错误，由投影向量的定义可知B 正确，由单位向量和共线向量的定义可知C 错误，由向量a 与b 同向，可求得tan 2θ=，可知D 正确.【详解】对于A ，若a b ⊥sin 0θθ+=，即tan θ=A 错误；对于B ，a = ，b 在a 上的投影为12=-，又因为1= b ，所以1cos 2θ=-，23πθ∴=，B 正确；对于C ，若b与a共线，设b =),λ1=，解得3λ=±，因为()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤ ，sin 0θ≥，33λ∴=，所以63,33b = ，C 错误；对于D ，若a b a b +=+ 成立，则a 与b 同向，所以,(0)a b λλ=>cos λθ=，1sin λθ=，解得2tan 2θ=，故D 正确.故选：BD.12.已知函数()y f x a =-的图象关于直线x a =对称，函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+<(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则下列不等式成立的是（）A.36f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.36f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.43f ππ⎛⎫⎛⎫<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】根据已知条件，易得函数()y f x =偶函数，再结合()()cos sin 0f x x f x x '+<，构造函数()()cos f x g x x=-，只需判断函数()y g x =的单调性，即可做出正确选择.【详解】由()()cos sin 0f x x f x x '+<，得()()()()cos cos 0f x x f x x ''--->，令()()cos f x g x x =-，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()()()()()()2cos cos cos f x x f x x g x x ''---'=-，因()()()()cos cos 0f x x f x x ''--->，则()0g x '>，故()y g x =在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，因函数()y f x a =-的图象关于直线x a =对称，知函数()y f x =偶函数，故函数()y g x =也为偶函数.对于选项A ，因0632πππ<<<，则63g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此A 正确；对于选项B ，因0632πππ>->->-，则63g g ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此B 错；对于选项C ，因0432πππ<<-<，则43g g ππ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此C 错；对于选项D ，因042ππ<-<，则()04g g π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，()04f π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，因此D 正确.故选：AD.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第II 卷三､填空题（每空5分，共20分）13.在6()2x y x y ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，x 2y 5项的系数是___________.【答案】-12【解析】【分析】6()x y +的通项为616C r rr r T xy -+=，求出65,T T 的系数即得解.【详解】解：6()x y +的通项为616C rrr r T xy -+=，令61,5,r r -=∴=此时55566C 6T xy xy ==，令4,r =此时4242456C 15T x y x y ==，所以展开式中，x 2y 5项的系数是1615122⨯-=-.故答案为：-1214.已知A ，B 是球O 的球面上两点，2AB =，过AB 作互相垂直的两个平面截球得到圆1O 和圆2O ，若190AO B ∠= ，260AO B ∠= ，则球的表面积为__________.【答案】20π【解析】【分析】结合球体和圆的性质，分别求出1OO 和1O A ，然后利用勾股定理求球的半径，最后利用球的表面积公式求解即可.【详解】由题意，取AB 的中点H ，连接1OO ，2OO ，1O H ，2O H ，如下图所示：由球体性质可知，四边形12OO HO 为矩形，因为2AB =，190AO B ∠= ，260AO B ∠=，所以11O A O B ==，且2AO B V 为正三角形，故222O A O B ==，21O H OO =，从而球O 的半径R OA ===，故球的表面积为2420S R ππ==.故答案为：20π.15.已知圆C ：(x ﹣1)2+y 2=1，点P (x 0，y 0)在直线x ﹣y +1=0上运动.若C 上存在点Q ，使∠CPQ =30°，则x 0的取值范围是___________.【答案】[]1,1-【解析】【分析】首先根据题意画出图形，根据题意得到符合条件的点在以()1,0为圆心，2为半径的圆与直线交于P ，1P 两点之间，再联立方程组求解即可.【详解】如图圆()1,0C ，P 在直线10x y -+=上，若圆存在点Q ，使得30CPQ ∠= ，当P 在直线10x y -+=上运动，极端情况，PQ 与圆C 相切，30CPQ ∠= .在RT CPQ △中，1CQ =，所以2CP =.所以以()1,0为圆心，2为半径的圆与直线交于P ，1P 两点.符合条件的点在线段1PP 之间.所以()22101214x y x y x y -+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩或10x y =-⎧⎨=⎩.故0x 的取值范围为[]1,1-.故答案为：[]1,1-16.如图，在四边形ABCD 中，60,3,6B AB BC ∠=== ，且3,,,2AD BC AD M N AB λ→→→→=⋅=-是线段BC 上的动点，且1MN →=，则DM DN →→⋅的最小值为__________.【答案】132##6.5【解析】【分析】先根据已知求出16λ=，再以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），再利用二次函数求解.【详解】AD BC λ→→=Q ，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠= ，cos120AB AD BC AB BC AB λλ→→→→→→⋅=⋅=⋅o 1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴ ，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为333,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∵又∵16AD BC →→=,则5,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），533,22DM x →⎛=-- ⎝⎭，333,22DN x →⎛=-- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x →→⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN →→⋅取得最小值132.故答案为：132.四､解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c B ，cos B -是方程220x x k -+=的两个实根.（1）求B 和k ；（2）若2sin sin cos 21A C B +=，求sin sin A C +的值.【答案】（1）π3B =，38k =-，（2【解析】【分析】（1）利用韦达定理及其同角三角函数平方关系即可求解；（2）先利用余弦的二倍角公式恒等变形，再利用正弦定理角化边，最后结合余弦定理即可求解.【小问1详解】由题意可知，180k ∆=-≥，即18k ≤，cos 1B B -=，cos 2B B k =，将sinB =22sin cos 1B B +=解得1cos 2B =，又∵B 是△ABC 的内角，∴π3B =，∴ππcos 233k =，解得38k =-，【小问2详解】由2sin sin cos 21A C B +=得2sin sin sin B A C =，根据正弦定理可得2b ac =，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-=，即22122a c ac ac+-=，∴a c =，又∵π3B =，∴△ABC 是等边三角形，因此sin sin A C +=.18.已知数列{}n a 和{}n b 的项均为正整数，前n 项和分别为,n n S T ，且()2*12n n nS n n T =+∈-N ．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和．【答案】（1）2,1,21, 2.n n a n n =⎧=⎨-⎩ ，12n n b -=（2）(23)24n n -⋅+【解析】【分析】（1）根据整数的性质可得2121n n n S n T ⎧-=⎨-=⎩或2121n n n S n T ⎧-=-⎨-=-⎩，从而可求n S ，n T ，从而可求,n n a b .（2）利用错位相减法可求n C .【小问1详解】因为{}n a 和{}n b 的项均为正整数，所以前n 项和,n n S T 也为正整数．又()2*12n n nS n n T =+∈-N ，从而得()()221n n n S n T --=，所以得2121n n n S n T ⎧-=⎨-=⎩或2121n n n S n T ⎧-=-⎨-=-⎩，若21n S n -=-，则110a S ==，与{}n a 的项均为正整数相矛盾，故不符合题意，所以21n S n =+，21n n T =-．当1n =时，112a S ==，当2n 时，()22111121n n n a S S n n n -=-=+---=-，所以2,1,21, 2.n n a n n =⎧=⎨-⎩ 同理，12n n b -=．【小问2详解】记{}n n a b 的前n 项和为n C ，当1n =时，12a =，11b =，所以1112C a b ==；当2n 时，则21213252(21)2n n C n -=⨯+⨯+⨯++-⋅ ，①①2⨯，得232223252(21)2n n C n =⨯+⨯+⨯++-⋅ ，②由①-②得()24821(21)2n n n C n --=+---⋅，化简得(23)24n n C n =-⋅+，而12C =也符合该式，综上，{}n n a b 的前n 项和(23)24nn C n =-⋅+．19.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，F 为AD 的中点，平面PAD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：平面BEF ⊥平面；（Ⅱ）若PC 与底面ABCD 所成的角为3π，求二面角E BF A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）77-.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线段中点的性质、平行四边形形的判定定理和性质定理，结合面面垂直的性质定理和判定定理、平行线的性质进行证明即可；（Ⅱ）连结PF ，根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质定理可以证明出PF ⊥底面ABCD ，这样可以建立以FA ，FB ，FP分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（Ⅰ）//BC ∴四边形BCDF 是平行四边形//BF CD ∴.又CD AD ⊥ ，BF AD ∴⊥.又 面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，BF ⊂面ABCDBF ∴⊥面PAD且BF ⊂面BEF∴平面BEF ⊥平面PAD .（Ⅱ）连结PF ，PA PD = ，F 为AD 中点，PF AD∴⊥又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PF ∴⊥底面ABCD ，又BF AD ⊥，以FA ，FB ，FP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设()0,0,P t ，()1,1,0C -，取平面ABCD 的法向量()10,0,1n = ，()1,1,PC t =-- ，()0,1,0B ，11sin 3n PC n PC π⋅∴=⋅32=，t ∴=(P ∴，116,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设平面EBF 的法向量()2,,n x y z =，221102220n FE x y z n FB y ⎧⋅=-++=⎪∴⎨⎪⋅==⎩ ，令1z =，x ∴=)2n = .设二面角E BF A --的平面角为θ12127cos 7n n n n θ⋅∴==⋅ 又θ为钝角，7cos 7θ∴=-，即二面角E BF A --的余弦值为77-.【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的平面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.20.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P Xi p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x+++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）利用公式计算可得()E X .（2）利用导数讨论函数的单调性，结合()10f =及极值点的范围可得()f x 的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p =++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++，若()1E X ≤，则123231p p p ++≤，故2302p p p +≤.()()23220332f x p x p x p p p '=+-++，因为()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+-≤，故()f x '有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<≤，且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上为增函数，在()12,x x 上为减函数，若21x =，因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =，而当()20,x x ∈时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X ≤，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>.此时()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+->，故()f x '有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，且()()34,,x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；()34,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()3,x -∞，()4,x +∞上为增函数，在()34,x x 上为减函数，而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.21.如图，椭圆()2222:10y x M a b a b =>>+的两顶点()2,0A -，()2,0B ，离心率32e =，过y 轴上的点()()40,,0t F t t <≠的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .（1）当t =且4CD =时，求直线l 的方程；（2）当点P 异于A ，B 两点时，设点P 与点Q 横坐标分别为P x ，Q x ，是否存在常数λ使P Q x x λ⋅=成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（10y -+=0y +-=（2）存在，4λ=【解析】【分析】（1）先求得椭圆M 的方程，再以设而不求的方法即可求得直线l 的方程；（2）先以设而不求的方法得到P Q x x 、的解析式，再去计算P Q x x ⋅是否为定值即可解决.【小问1详解】椭圆的方程()222210y x a b a b+=>>，由题可得2b =；由2c e a ==，结合222a b c =+，得4a =，椭圆的标准方程：221164y x +=；当直线l 的斜率不存在时，8CD =，与题意不符，故设直线l 的方程为y kx =+，代入椭圆方程22416y x +=整理得()22440k x ++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，1224x x k -+=+，12244x x k -⋅=+；()228144k CD k +∴====+，解得k =则直线l0y -+=0y +-=.【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 与y 轴重合，由椭圆的对称性可知直线AC 与直线BD 平行，不符合题意；∴由题意可设直线的方程：x my n =+()0,0m n ≠≠代入椭圆方程，得()2221484160m y mny n +++-=；设()11,C x y ，()22,D x y ，122814mn y y m -∴+=+，212241614n y y m-⋅=+；()2121242n my y y y n-∴⋅=+①直线AC 的方程为()1122y y x x =++②则直线BD 的方程为()2222y y x x =--③由②③得()()()()()()1212121212112222222222y x y my n my y y n x x y x y my n my y y n -+-+--===++++++由①代入，得()()()()()()()()2121222222222n n y n y n x x n n n y n y -++-⎡⎤--⎣⎦==+++++-⎡⎤⎣⎦，解得4x n=，即4Q x n =；且知P x n =；44P Q x x n n ∴=⨯=⋅（常数）即点P 与点Q 横坐标之积为定值4.故存在常数4λ=22.已知函数()e ()x f x x x a =-+，21l )n (g x x x =-+.（1）若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的最小值；（2）求证：当a 取（1）中的最小值时，()()f x g x ≥.【答案】（1）最小值为1-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先根据题意的得到()(1)e 20x f x x x a '=+-+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，设()2(1)e x h x x x =-+，从而得到max ()a h x ≥，再根据()h x 在(0,)+∞上单调递减求解即可.（2）首先根据题意得到证明e ln 10x x x x ---≥，设e x t x =，得到ln ln t x x =+，从而得到即证ln 10t t --≥，再设()ln 1(0)m t t t t =-->，利用导数证明即可.【详解】（1）因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(1)e 20x f x x x a '=+-+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，即2(1)e x a x x ≥-+对(0,)x ∈+∞恒成立.令()2(1)e x h x x x =-+，(0,)x ∈+∞，则max ()a h x ≥.因为(0,)x ∈+∞，所以22x +>，e 1x >，所以()2(2)e 0x h x x '=-+<，即()h x 在(0,)+∞上单调递减，所以()(0)1h x h <=-，从而1a ≥-，故实数a 的最小值为1-.（2）由（1）知，1a =-，此时()()e 1x f x x x =--，于是要证()()f x g x ≥，即证()2e 11ln x x x x x --≥-+，也就是e ln 10x x x x ---≥.设e x t x =，0x >，则ln ln t x x =+，问题即转化为证ln 10t t --≥.由(1)e 0x t x '=+>可知，e x t x =在(0,)+∞上单调递增，所以0t >.令()ln 1(0)m t t t t =-->，则11()1t m t t t -'=-=，当01t <<时，()0m t '<，当1t >时，()0m t '>，所以()m t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，于是()(1)1ln110m t m ≥=--=，所以ln 10t t --≥，即()()f x g x ≥.第23页/共23页。
山西省晋城市2020年新高考高二数学下学期期末质量跟踪监视试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，若输出的57S=，则判断框内应填入的条件是（）A．4k>B．5k>C．6k>D．7k>2．已知直线ax by c10(b++-=、c0)>经过圆22x y2y50+--=的圆心，则41b c+的最小值是( )A．9B．8C．4D．23．已知m＞0，n＞0，向量(,1),(1,1),a mb n a b==-⊥且则12m n+的最小值是（）A．22B．2 C．322+D．422+4．若函数()2log3,02,0xx x xf xx-+->⎧=⎨<⎩，则()()3f f=（）A．13B．32C．52D．35．已知函数21()()xf x a ex=+在(2,)+∞有极大值点，则a的取值范围为（）A．1(,)2-+∞B．13(,)28--C．3(,0)8-D．1(,0)4-6．直线23y x=--与曲线2194x xy-=的公共点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知2log e=a，ln2b=，121log3c=，则a，b，c的大小关系为A．a b c>>B．b a c>>C．c b a>>D．c a b>>8．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要9．下列函数中，即是奇函数，又在(0,)+∞上单调递增的是 A ．x x y e e -=+B ．3y x x =+C ．2sin y x x =+D ．ln ||y x =-10．过点(,)e e -作曲线x y e x =-的切线，则切线方程为（ ） A ．2(1)y e x e =--+ B ．2(1)y e x e =-- C ．12(1)e e y e x e ++=--D ．1(1)e e y e x e +=--11．若函数()()22xf x x ax e =++在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．()(),22,-∞-⋃+∞B ．][(),22,-∞-⋃+∞ C ．()2,2-D ．[]2,2-12．5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是（ ） A ．45CB ．45AC ．45D ．54二、填空题：本题共4小题13．试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项_____． 14．已知纯虚数z 满足122zi z+=-+(其中i 是虚数单位)，则z =__________. 15．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍； 16．已知X 的分布列如图所示，则（1）()0.3E X =， （2）()0.583D X=，（3）(1)0.4P X ==，其中正确的个数为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020学年山西省晋城市新高考高一数学下学期期末质量跟踪监视试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆C （C 为圆心，且C 在第一象限）经过(0,0)A ，(2,0)B ，且ABC ∆为直角三角形，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)4x y -+-=B ．22((2x y -+-=C ．22(1)(2)5x y -+-=D ．22(1)(1)2x y -+-=2．设向量a ，b 满足10a b +=，6a b -=，则•a b =（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．5 3．给出下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③若直线,,a b c 满足a b b c ⊥∥，，则a c ⊥；④若直线1l ，2l 是异面直线，则与1l ，2l 都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2n a ，④{}2log ||n a .其中一定为等比数列的是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．①②5．在ABC ∆中，角,B C 所对的边分边为,b c ，已知40,20,60b c C ===︒，则此三角形的解的情况是（ ） A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定6．经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上的圆方程为（ ）A ．()()22122x y +++=B ．()()22122x y -+=+ C ．()()22122x y ++-=D ．()()22122x y -+-= 7．以下给出了4个命题：（1）两个长度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起点必相同；（3）若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =；（4）若向量a 的模小于b 的模，则a b ＜．其中正确命题的个数共有（ ）A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0个 8．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是（ ）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i <9．如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120°的等腰三角形，若过该圆锥顶点S 的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为A ．3πB ．23πC ．163πD ．4π10．某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品・产量之比为2:3:4.为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为A ．16B ．24C ．32D ．48 11．函数1lg y x=的大致图像是下列哪个选项（ ） A ． B ．C ．D ．12．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A ．1()3x y = B ．3log y x = C ．1y x = D ．cos y x =二、填空题：本题共4小题13．在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，若MN x AB y AC =+，则x ＝________，y ＝________.14．将角度化为弧度：15︒=________()rad .15．已知2cos 3x =-，[,]2x ππ∈，则x =________ 16．已知1e ，2e 是夹角为3π的两个单位向量，向量122a e e =+，12b ke e =-，若0a b =，则实数k 的值为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020学年山西省晋城市新高考高二数学下学期期末质量跟踪监视试题
同步练习 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若展开式中各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为（ ）A ．-5B ．5C ．-405D ．4052．已知随机变量X ~N(2,1)，则P(01)X <<=参考数据：若X ~N(,),P()0.6826X μσμσμσ-<<+=，P(22)0.9544,X μσμσ-<<+=P(33)0.9974X μαμα-<<+=A ．0.0148B ．0.1359C ．0.1574D ．0.3148.3．下列5个命题中：①平行于同一直线的两条不同的直线平行；②平行于同一平面的两条不同的直线平行；③若直线l 与平面α没有公共点，则//l α；④用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行；⑤若//l α，则过l 的任意平面与α的交线都平行于l .其中真命题的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．设随机变量ξ～N （μ，σ2），函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（ ）A ．1B ．4C ．2D ．不能确定5．幂函数y=kx a 过点（4，2），则k –a 的值为A ．–1B ．12 C ．1 D ．32 6．复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳8．2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（ ） A ．150种 B ．240种 C ．300种 D ．360种9．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是,,a b c ，当且仅当a b c b >>且时称为“凹数”，若{},,1234a b c ∈，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A ．13B ．532C ．732D ．71210．下列四个推理中，属于类比推理的是（ ）A ．因为铜、铁、铝、金、银等金属能导电，所以一切金属都能导电B ．一切奇数都不能被2整除，()5021+是奇数，所以()5021+不能被2 整除C ．在数列{}n a 中，111,1n n n a a a a +==+，可以计算出234111,,234a a a ===，所以推出1n a n= D ．若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2，类似的，若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为1211．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，如果M 、N 分别为1A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的大小为（ ）A ．3arccos 2B ．10arccos10 C ．3arccos 5 D ．2arccos 5 12．若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题13．已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是_______.14．某校高二成立3个社团，有4名同学，每人只选一个社团，恰有1个社团没有同学选，共有种不同参加方案（用数字作答）.15．在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n （3n ≥）行左起第3个数为_______。
2020年山西省晋城市北诗中学高一数学理月考试题含解析
2020年山西省晋城市北诗中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知1，a，b，c，5五个数成等比数列，则b的值为（）A. B. C. D. 3参考答案：A【分析】根据等比数列奇数项也成等比数列，求解.【详解】因为1，a，b，c，5五个数成等比数列，所以也成等比数列，等比数列奇数项的符号一致，，.故选A.【点睛】本题考查了等比数列的基本性质，属于简单题型，但需注意这个隐含条件.2. 如右上图所示的方格纸中有定点，则A． B． C． D．参考答案：C3. 下列4对函数中表示同一函数的是( )A．，= B．，=C．=， D．，=参考答案：B略4. 函数是( )A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数参考答案：D略5. （3分）函数f（x）=a x（0＜a＜1）在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（）A．B．C．D．参考答案：A考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数为单调函数，故函数f（x）=a x（0＜a＜1）在区间在区间上的最大值与最小值的差是，由此构造方程，解方程可得答案．解答：解：∵函数f（x）=a x（0＜a＜1）在区间上为单调递减函数，∴f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（2）=a2，∵最大值比最小值大，∴1﹣a2=，解得a=故选：A．点评：本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数的单调性是解答的关键6. 已知f（x）=2x，且f(x－1)=（x≠1），则g（x）的值域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，+∞）参考答案：B【考点】函数的值域．【分析】根据f（x）=2x，（x≠1），求出g（x）的解析式，根据反比例的性质求解即可．【解答】解：f（x）=2x，（x≠1），那么：g（x）=．∵2x﹣1﹣1＞﹣1，根据反比例的性质，可知，g（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．故选B．7. 函数f（x）=log2（x2﹣x﹣2）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．C．D．（2，+∞）参考答案：A【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=x2﹣x﹣2，可得函数f（x）=log2t，由t＞0 求得函数的定义域，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性值可得结论．【解答】解：令t=x2﹣x﹣2，可得函数f（x）=log2t，∴t＞0，∴x＜﹣1，或x＞2，故函数的定义域为{x|x＜﹣1，或x＞2 }．故本题即求函数t在定义域内的减区间．利用二次函数的性值可得t在定义域内的减区间为（﹣∞，﹣1），故选：A．【点评】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质，属于中档题．8. 已知点A(1，-2)，若向量与a=(2，3)同向，且，则点B的坐标为( )·(A) (5，-4) (B) (4，5)(C) (-5，-4) (D) (5，4)参考答案：D9. 已知函数f（x）=sin（πx﹣）﹣1，则下列命题正确的是（）A．f（x）是周期为1的奇函数B．f（x）是周期为2的偶函数C．f（x）是周期为1的非奇非偶函数D．f（x）是周期为2的非奇非偶函数参考答案：B【考点】H3：正弦函数的奇偶性；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】直接求出函数的周期，化简函数的表达式，为一个角的一个三角函数的形式，判定奇偶性，即可得到选项．【解答】解：因为：T==2，且f（x）=sin（πx﹣）﹣1=﹣cosπx﹣1，因为f（﹣x）=f（x）∴f（x）为偶函数．故选B．10. 若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是增函数，则（）A．m＞1 B．m＜1 C．m=1 D．不能确定参考答案：A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的单调性即可得出．【解答】解：幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是增函数，故m﹣1＞0，解得：m＞1，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在图的正方形中随机撒一把芝麻,用随机模拟的方法来估计圆周率的值.如果撒了1000个芝麻,落在圆内的芝麻总数是776颗,那么这次模拟中的估计值是_________.(精确到0.001)参考答案：略12. 若函数y =有最小值,则a的取值范围是参考答案：1<a<213. 若，则= ．参考答案：2【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．【解答】解：若，则===2，故答案为：2．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．14. 设定义域为R的函数 ,则关于x的函数的零点的个数为 .参考答案：715. 函数的最大值为．参考答案：3【考点】函数的值域．【分析】原式可化为：y（2﹣cosx）=2+cosx，可得cosx=，由﹣1≤cosx≤1，即可求出y的取值范围．【解答】解：原式可化为：y（2﹣cosx）=2+cosx，∴cosx=，∵﹣1≤cosx≤1，∴﹣1≤≤1，解得：≤y≤3，故y的最大值为3，故答案为：3．【点评】本题考查了函数的值域，难度一般，关键是根据余弦函数的有界性进行求解．16. （5分）（lg25﹣lg）÷100= ．参考答案：20考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的运算法则和有理数的公式进行化简即可．解答：（lg25﹣lg）÷100=（lg100）×=2×10=20，故答案为：20．点评：本题主要考查有理数的化简，比较基础．17. 若直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则实数a的值为．参考答案：1或﹣3【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，知a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，由此能求出实数a的值．【解答】解：∵直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，∴a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，解得a=1或a=﹣3．故答案为：1或﹣3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省南充市晋城中学2020年高三数学理联考试卷含解析
四川省南充市晋城中学2020年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列4个命题中正确的个数为①若②若③若④若m,n是异面直线，，则A． B． C． D．参考答案：A略2. 执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是A. 2B.1 C. D.参考答案：A3. 已知为第二象限角，是关于x的方程的两根，则的等于A． B． C． D．参考答案：【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7A 解析：由已知得又为第二象限角，所以==，故选 A.【思路点拨】由已知得，又为第二象限角，所以==.4. 已知非零向量满足，则为A.等腰非等边三角形B.等边三角形C.三边均不相等的三角形D.直角三角形参考答案：A5. 已知正项等比数列{a n}满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（）A．B． C．D．参考答案：B设正项等比数列的公比为，且，由，得，化简得，解得或（舍去），因为，所以，则，解得，所以，当且仅当时取等号，此时，解得，因为，取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当，时，取最小值为，故选B．6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．2参考答案：B7. 已知复数z满足z?i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．2﹣i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z?i=2﹣i，得．故选：D．8. 在平面直角坐标系中，设点，定义，其中O为坐标原点．对于下列结论：（1）符合的点P的轨迹围成的图形的面积为2；（2）设点P是直线：上任意一点，则；（3）设点P是直线：上任意一点，则“使得最小的点P 有无数个”的充要条件是“”；（4）设点P是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为（）（A）（1）、（2）、（3）（B）（1）、（3）、（4）（C）（2）、（3）、（4）（D）（1）、（2）、（4）参考答案：A9. 已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B等于( )A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x≤﹣1或1≤x＜2} C．{x|1＜x＜2}D．{x|1≤x＜2}参考答案：D考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．解答：解：∵集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|x≥1}={x|1≤x＜2}故选D．点评：本题是基础题，考查集合的基本运算，不等式的解法，考查计算能力．10. 设函数在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是 A．（-1,-log3 2） B．（0,log3 2） C．（log3 2,1） D．（l,log3 4）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 无穷等比数列{an}满足：a1=2，并且=，则公比q= 。
山西省晋城市2020高考数学质量跟踪监视试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ==，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ） ABCD2．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．83．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ） A ．5B ．3C ．－12D ．－134．已知函数()()()1sin,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1niii a b =+∑的值为（ ）A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+5．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ） A ．54B ．5 CD6．已知锐角α满足2sin 21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．47．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-328．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ） A． B．2C ．12-D ．123ln x a x（） A ．(,3)(3,)e +∞B ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞10．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．111．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.954412．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x a x bx =+的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数D ．不存在满足条件的实数a ，b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届山西省晋城市高三第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届山西省晋城市高三第一次模拟考试试题数学（理）一、单选题1．已知集合{|ln 1}A x x =<，{|12}B x x =-<<，则A B =I （ ） A ．(0,)e B ．(1,2)-C ．(1,)e -D ．(0,2)【答案】D【解析】解不等式ln 1x <，化简集合A ，根据交集定义即可求解. 【详解】因为{|ln 1}A x x =<{|0}x x e =<<，所以{|02}A B x x ⋂=<<. 故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题. 2．已知复数z =，则复数z 的共轭复数z =（ ）A 12iB ．12 C ．12i + D ．12+ 【答案】A【解析】复数z 实数化，即可求解. 【详解】因为2i z ===，所以122z i =-.故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属于基础题. 3．已知tan 3α=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．10B ．710C ．10-D ．710-【答案】B【解析】利用“1”的变换，所求式子化为关于sin ,cos αα的齐次分式，化弦为切，即可求解.【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++. 故选:B 【点睛】本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题.4．设,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A ．0B ．-4C ．-8D ．-6【答案】D【解析】作出可行域，利用数形结合即可求解. 【详解】作出可行域，如下图所示：当目标函数3z x y =-经过(0,2)A 时， z 取得最小值-6.故选:D【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最小值，属于基础题.5．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ）A ．甲得分的平均数比乙的大B ．乙的成绩更稳定C ．甲得分的中位数比乙的大D ．甲的成绩更稳定【答案】B【解析】根据图形中的数据，可求出甲乙的平均数，中位数，分析数据的离散程度，确定方差大小，即可求解. 【详解】甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13， 甲得分的方差明显比乙大. 故选:B 【点睛】本题考查数据的处理以及数据的分析，属于基础题.6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x a x a =+，若()4f e -=，则(0)(1)f f +=（ ） A ．-1 B ．0C ．-2D ．1【答案】C【解析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，由()4f e -=可得()4f e =-，求出a ，即可得出结论.【详解】因为()f x 是奇函数，所以()()24f e f e a -=-=-=， 可得2a =-.所以当0x >时，()2ln 2f x x =--， 所以(1)2f =-，又(0)0f =，所以(0)(1)2f f +=-. 故选:C 【点睛】本题考查奇函数的对称性，属于基础题.7．函数()ln cos sin x xf x x x⋅=+在[)(],00,ππ-⋂的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先求出函数()f x 为奇函数，再通过特殊值确定答案. 【详解】函数的定义域关于原点对称. 因为()()ln cos sin x xf x f x x x-=-=-+g ，所以()f x 为奇函数. 又因为()10f ±=.0,(02())3f f ππ±=>.()0f π<， 故选：D . 【点睛】本题主要考查图象的确定问题，考查函数奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．4B ．23C ．2D ．25【答案】C【解析】由三视图可得直观图为四棱锥，即可求出结论. 【详解】根据三视图，还原直观图如图所示，最长棱为1122AC AB ==. 故选:C【点睛】本题考查三视图应用，三视图还原成直观图是解题的关键，属于基础题.9．已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若||2PF =，3PFO π∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．26y x = B ．22y x =C ．2y x =D ．24y x =【答案】A【解析】||2PF =，3PFO π∠=，可求出P 点的坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】过P 向x 轴作垂线，设垂足为Q ， ∵3PFO π∠=，||2PF =，∴||3PQ =||1QF =，(1,3)2pP -±， 将P 点的坐标代入22y px =，得3p =，故C 的方程为26y x =. 故选:A 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题.10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（ ）A ．98πB ．196πC ．784πD ．13723π 【答案】B【解析】先做出BD 与1AC 所成角的角下图中的∠BOE ，设,,CE x OE BE =用x 表示，然后用余弦定理求出x ，求出长方体的对角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案. 【详解】连AC 与BD 交于O 点,则O 为AC 中点， 取1CC 中点E ，连,BE OE ，则1//AC OE EOB ∴∠为异面直线BD 与1AC 所成角,设,CE x =则236BE x =+，8AB =，6AD =，25,25OB OC OE x ===+在OBE ∆中，由余弦定理得2222362cos BE x OB OE OB OE EOB =+=+-⨯⨯∠222362525225x x x +=++-+，解得26x =1246CC x ==，所以长方体的对角线长为36649614++= 所以长方体的外接球的半径为7， 所以长方体外接球的表面积为196π. 故选:B【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角，解三角形是解题的关键，属于较难题.11．双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切，且该双曲线过点2,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则该双曲线的虚轴长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】221(0)mx ny mn +=<的渐近线与圆22:(5)9E x y -+=相切等价于圆心(5,0)到渐近线的距离等于半径3r =，推出mn 的方程，结合点在双曲线上，求解m ，n 然后求解双曲线的虚轴长．【详解】双曲线221(0)mx ny mn +=<0-=． 圆22:(5)9E x y -+=的圆心(5,0)，半径3r =．Q 渐近线与圆22:(5)9E x y -+=相切，∴3=，即16||9||m n =，①该双曲线过点P ， 45414nm ∴+=， ② 解①②可得19n =，116m =-， 双曲线221916y x -=，该双曲线的虚轴长为8．故选：D ． 【点睛】熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键，是中档题．12．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）A B ．2C ．1D ．【答案】A【解析】222sin()SA C b c+=-结合面积公式，可得出22b c ac =+，由余弦定理得出2cos a c B c -=，再用正弦定理化边为角，得出2B C =，把所求式子用角C 表示，并求出角C 范围，最后用基本不等式求最值. 【详解】因为222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c =-，所以22sin sin ac BB b c=-，因为sin 0B ≠， 所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-， 所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=， 得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得64C ππ<<，即tan C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥-当且仅当tan 2C =，取等号. 故选:A 【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.二、填空题13．已知向量(1,)a m =r，,22b =-r ，若a b ⊥r r ，则m =__________．【答案】1【解析】根据垂直向量的坐标关系，即可求解. 【详解】由1(022m ⨯+⨯-=，得1m =. 故答案为:1 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 项的系数是__________．（用数字作答）【答案】560-【解析】分析：先求出二项式712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，令x 的指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中x 项的系数.详解：712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()()()71772177212rrrrrr r r T C x x C x ----+=-=-，7213r r -=⇒=，展开式x 项的系数为()334712560C -⨯=-故答案为560-.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15．若函数()sin cos f x x a x =-图像的一条对称轴方程为3x π=，则a =__________．【答案】【解析】利用对称轴的点纵坐标为函数的最大或最小值，即可求解. 【详解】|()|3f π=，得a =.故答案为:-【点睛】本题考查正弦型函数性质的应用，属于基础题.16．若111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，则221212()()x x y y -+-的最小值为__________，此时2x =_______. 【答案】45125【解析】设1122(,),(,)A x y x y ，点A 在函数ln 2y x x =-+图像上，点B 在直线242ln 20x y +--=上，221212()()x x y y -+-为,A B 两点距离的平方，转化为函数ln 2y x x =-+图像上的点到直线242ln 20x y +--=的距离平方最小，利用数形结合方法，即可求出2||AB 的最小值. 【详解】设1122(,),(,)A x y x y ，点A 在函数ln 2y x x =-+图像上， 点B 在直线242ln 20x y +--=上，221212()()x x y y -+-221212()()x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图像上的点与直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方，由ln 2y x x =-+，可得1'1y x=-， 与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12-， 令1112x -=-，得2x =，所以切点坐标为(2,ln 2)， 切点到直线242ln 20x y +--=的距离d == 即221212()()x x y y -+-的最小值为45， 过切点与直线242ln 20x y +--= 垂直的直线24ln 20x y --+=，由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩，得2125x =.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，解题的关键是要把问题转化为点到直线的距离，属于难题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n kn k =++.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) 42n a n =- (2) 84n nT n =+【解析】（1）根据前n 项和为n S 与通项的关系，即可求出结论； （2）用裂项相消法，求出数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（1）当1n =时，1122a S k ==+，当2n ≥时，2212[2(1)(1)]42n n n a S S n kn k n k n k n k -=-=++--+-+=-+{}n a 是等差数列，41222k k ⨯-+=+，得0k =所以42n a n =- （2）因为111111()(42)(42)82121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以11111111(1)()()8383582121n T n n =-+-++--+L 11(1)82184n n n =-=++ 【点睛】本题考查由数列的前n 项和求通项，考查用裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题. 18．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：（1）求新能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性相关系数r ，并判断y 与x 是否线性相关；（2）请将上述22⨯列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例,从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人,记选到女性车主的人数为X ,求X 的数学期望与方差.参考公式：()()niix x y y r --=∑，22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.25≈，若0.9r >，则可判断y 与x 线性相关.附表：【答案】(1) 0.94r ≈,y 与x 线性相关. (2)见解析，有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.(3) 数学期望20.方差12【解析】（1）根据已知数据以及给定公式，求出相关系数，再判断y 与x 是否线性相关； （2）由调查数据，即可补充列联表，代入2K 公式，结合附表数据，即可得结论； （3）应用二项分布的期望和方差公式，即可求解. 【详解】 （1）依题意，2014201520162017201820165x ++++==，810132524165y ++++==故51()()(2)(8)(1)(6)192847iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑521()411410ii x x =-=+++=∑，521()643698164254i i y y =-=++++=∑，则5()()0.940.9iix x y y r --===≈>∑故y 与x 线性相关.（2）依题意，完善表格如下：2230(18426)15 3.75 2.70620102464K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关. （3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为42105=， 则2(50,)5X B :， 所以250205EX =⨯=， 2250(1)1255DX =⨯⨯-=.【点睛】本题考查判断变量间是否线性相关，考查列联表独立性检验，以及二项分布期望，方差，考查计算能力，属于中档题.19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，60BAD ∠=︒，1CD =，2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =.（1）证明：1D G ∥平面11BB C C . （2）求二面角11A D G A --的余弦值.【答案】(1)见解析531【解析】（1）连接1C B ，证明11GB CD D C P P 得到四边形11GBC D 为平行四边形，故11D G C B P 得到证明.（2）作DH AB ⊥于H ，以D 点为坐标原点，分别以DH ，DC ，1DD 所在直线为x轴，y 轴，z 轴，计算平面11A D G 的法向量为(3,33m =u r，平面1AD G 的法向量为(3n =r，计算夹角得到答案.【详解】（1）证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，44AB CD ==，3AG GB =，则11GB CD D C P P ，且111GB D C ==，所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11D G C B P .又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ，所以1D G ∥平面11BB C C.（2）作DH AB ⊥于H ，以D 点为坐标原点，分别以DH ，DC ，1DD 所 在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()10,0,1D ，)13,1,1A -，()3,1,0A-，()10,0,1D ，)3,2,0G，所以)113,1,0D A =-u u u u r ，()13,2,1D G =-u u u u r，()0,3,0AG =u u u r.设平面11A D G 的法向量为()111,,m x y z =u r，则1111111130,320,D A m x y D G m x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u u v v u u u u v v 令11x =，得(3,33m =u r . 设平面1AD G 的法向量为()222,,n x y z =r，则2122230,320,AG n y D G n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v vu u u u v v 令21x =，得(3n =r . 所以531cos ,31431m n ==⨯u r r 因为二面角11A D G A --531. 【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P O 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅u u u r u u u r为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，使得RP RQ u u u r u u u r g 为定值74- 【解析】（1）根据已知求出,a b 即得椭圆C 的标准方程；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，设(),0R m ，利用韦达定理和向量的数量积求出52m =-，此时RP RQ u u u r u u u r g 为定值74-；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，求出此时点R 也满足前面的结论，即得解. 【详解】(1)依题意，得2c b ==， 则222448a b c =+=+=，故椭圆的标准方程为22184x y +=.()2①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，代人椭圆C 的方程，可得()2222218880k k x x k +++-=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+ 设(),0R m ，则()()1122,,RP RQ x m y x m y =--u u u r u u u rg g()()1212x m x m y y =--+=()()()122112224x m x k x x x m x +--+++⎡⎤⎣⎦()()22222228288421211k k k m k m k k k --++=+-++()2222284821m m k m k +++-=+ 若()2222284821mm k m k +++-+为定值，则22812842m m m -=++，解得52m =- 此时()222228487214mm k m k +++-=-+R 点的坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，代人22184x y +=，得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设((,2,P Q --，若5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，则11,,22RP RQ ⎛⎛== ⎝⎝u u u r u u u r74RP RQ =-u u u r u u u r g综上所述，在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫⎪⎝⎭，使得RP RQ u u u r u u u r g 为定值74-【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定点定值问题，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平.21．已知函数()f x 的定义域为R 且满足2()()f x f x x -+=，当0x ≥时，'()f x x <.（1）判断()f x 在(,0]-∞上的单调性并加以证明；（2）若方程()f x x =有实数根0x ，则称0x 为函数()f x 的一个不动点，设正数0x 为函数()(1)1x xg x xe a e x =+-++的一个不动点，且0001()(1)2f x f x x +≥-+，求a 的取值范围.【答案】(1) 单调递减. 见解析(2) )+∞（或)+∞）. 【解析】（1）根据已知条件'()f x x <，构造函数2()()2x x f x ϕ=-，可证()x ϕ在[0,)+∞上单调递减.，再通过()x ϕ的奇偶性，可得出2()()2x x f x ϕ=-在(,0]-∞上单调递减，即可判断()f x 在(,0]-∞上的单调性；（2）0001()(1)2f x f x x +≥-+转为为（1）中的()x ϕ两个函数值，利用()x ϕ的单调性，求出0x 的范围，再根据不动点的定义转化为()g x x =在1(0,]2有解，，分离参数11x x a x e +=+-，转化为研究y a =与函数1()1x x m x x e +=+-在1(0,]2有交点，通过两次求导得出1()1x x m x x e +=+-在1(0,]2单调性，即可求出在a 的范围.【详解】（1）令2()()2x x f x ϕ=-，则'()'()x f x x ϕ=-，∵当0x ≥时，'()f x x <，∴'()0x ϕ<，∴2()()2x x f x ϕ=-在[0,)+∞上单调递减，又∵2()()f x f x x -+=，∴22()()()()022x x x x f x f x ϕϕ+-=-+--=，∴()x ϕ为奇函数，∴2()()2x x f x ϕ=-在(,0]-∞上单调递减.又∵22x y =在(,0]-∞上单调递减，∴2()()2x f x x ϕ=+在(,0]-∞上单调递减.（2）由（1）可知，2()()2x x f x ϕ=-在R 上单调递减.∵0001()(1)2f x f x x +≥-+，∴00()(1)x x ϕϕ≥-， ∴001x x ≤-，故012x ≤.∵正数0x 为函数()g x 上的一个不动点，∴方程()g x x =在1(0,]2上有解，即方程(1)10x xxe a e +-+=在1(0,]2上有解，整理得：1(1)11111x x x x xxe x e x x a x e e e +-+++===+---. 令1()1x x m x x e +=+-，2(2)'()(1)x x x e e x m x e --=-，设()2x h x e x =--，1(0,]2x ∈，则'()10xh x e =->，∴()h x 在1(0,]2上单调递增，又15()022h =<， ∴()20xh x e x =--<，∴2(2)'()0(1)x x x e e x m x e --=<-， ∴()m x 在1(0,]2上单调递减，∴12()()222e m x m e +≥=-（或()m x ≥），即a的取值范围是)+∞（或)+∞）. 【点睛】本题考查利用导数研究函数性质的综合应用，构造函数法判断函数的单调性，注意审题，对于新定义问题转化为函数的零点，并用分离参数法研究函数的零点问题，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()23πρθ+=.（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于,A B两点，若||||PA PB +=m 的倾斜角.【答案】(1) 226x y +=，40x --= (2)6π或56π. 【解析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数化曲线C 为普通方程，运用cos ,sin x y ρθρθ==，即可化直线l 极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线C 方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）曲线C 的普通方程为226x y +=，因为cos()23πρθ+=，所以cos sin 40ρθθ-=，直线l的直角坐标方程为40x --=. （2）点P 的坐标为(4,0)， 设直线m 的参数方程为4cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立直线m 与曲线C 的方程得28cos 100t t θ++=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则121228cos 1064cos 400t t t t θθ+=-⎧⎪=⎨⎪∆=->⎩，所以1212||||||||||8|cos |PA PB t t t t θ+=+=+==，得cos θ=，且满足>0∆， 故直线m 的倾斜角为6π或56π. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.23．已知函数()|31||33|f x x x =-++. （1）求不等式()10f x ≥的解集； （2）正数,a b 满足2a b +=.【答案】(1) 4(,2][,)3-∞-+∞U (2)证明见解析【解析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解； （2）要证不等式两边平方，等价转化证明()f x a b ≥++，即证min ()f x a b ≥++根据绝对值的不等式求出min ()f x ，运用基本不等式即可证明结论. 【详解】（1）当1x <-时，()13336210f x x x x =---=--≥， 解得2x -≤，所以2x -≤； 当113x -≤≤时，()1333410f x x x =-++=≥，x φ∈； 当13x >时，()31336210f x x x x =-++=+≥， 解得43x ≥，所以43x ≥.综上，不等式()10f x ≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞U .（2）证明：因为,a b≥等价于()f x a b ≥++对任意的x ∈R 恒成立.21又因为()|31||33|4f x x x =-++≥，且2a b +=1，12a b +≤=，当且仅当1a b ==时等号成立.成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.。
山西省晋城市(新版)2024高考数学统编版质量检测(自测卷)完整试卷
山西省晋城市（新版）2024高考数学统编版质量检测(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，若存在实数，当时，满足，则的取值范围是（）A．B．[C．D．第(3)题已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A．B．C．D．第(4)题将函数的图像沿轴向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于轴对称，则的最小值为（）A．B．C．D．第(5)题现有一项需要用时两天的活动，要从5人中安排2人参加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有（）A．20种B．10种C．8种D．6种第(6)题已知满足，若在区间内，关于的方程()有4个根，则实数的取值范围是A．或B．C．D．第(7)题如图，为正方体，下面结论错误的是（ ）A．平面B．C．平面D．异面直线与所成的角为第(8)题设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为（）A．是等比数列B．或是等比数列C．和均是等比数列D．和均是等比数列，且公比相同二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将原始分换算为标准分.某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算模型为：，其中x为原始分，y为换算后的标准分.已知在本校2000名高三学生中某学科原始分最高得分为150分，最低得分为50分，经换算后最高分为150分，最低分为80分.则以下说法正确的是（）A．若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分B．若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数C．该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同D．该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分第(2)题如图，已知二面角的棱上有不同两点和，若，，，，则（）A．直线和直线为异面直线B．若，则四面体体积的最大值为2C．若，，，，，，则二面角的大小为D．若二面角的大小为，，，，则过、、、四点的球的表面积为第(3)题设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题的展开式中，的系数为________．第(2)题如图所示的平行四边形ABCD中，为DC的中点，则____________.第(3)题中国最早的化妆水是年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为.则当圆柱的底面半径___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．第(2)题已知函数f(x)＝e x＋，其中e是自然对数的底数.（1）若关于x的不等式mf(x)≤＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；（2）已知正数a满足：存在x∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x03＋3x0)成立.试比较与的大小，并证明你的结论.第(3)题如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点.(1)求证：平面平面PAD；(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；(3)求B点到平面EAC的距离.第(4)题我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系．（1）已知第天的报名人数为，求关于的线性回归方程，并预测第7天的报名人数（结果四舍五入取整数）．（2）该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如下列联表：有兴趣无兴趣合计男生45550女生302050合计7525100请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0．001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”参考公式及数据：回归方程中斜率的最小二乘估计公式为：，；，其中．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828第(5)题人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为.为测试软件的识别能力，计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给两个小组识别，每首音乐只被一个软件识别一次，并记录结果；方案二：对同一首歌，两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的；在正确识别的音乐数中，组占；在错误识别的音乐数中，组占.（i）请根据以上数据填写下面的列联表，并通过独立性检验分析，是否有的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A组软件B组软件合计100（ii）利用（i）中的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证软件的有效性，需多次执行方案二，假设，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的期望值为16？并求此时的值.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828。
山西省晋城市(新版)2024高考数学苏教版质量检测(综合卷)完整试卷
山西省晋城市（新版）2024高考数学苏教版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数.则下列说法中错误的是（）A．当时，在上单调递增B．当时，的最小值是一个与无关的常数C．可能有三个不同的零点D．当时，有且仅有一个零点第(2)题已知2015—2022年和2023年1～9月某新能源汽车企业的营业收入（单位：亿元）和净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业收入的增长率的统计图如图所示，2023年第二、三、四季度的净利润相比上一季度的增长率均为，则下列结论正确的是（）A．2015—2022年该企业年营业收入逐年增加B．2015—2022年该企业年营业收入增长率最大的是2015年C．2022年该企业年净利润超过2017—2021年年净利润总和D．2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多约30亿元第(3)题已知函数存在两个极值点，若对任意满足的，均有，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题已知函数的零点为，存在零点，使，则不能是（）A．B．C．D．第(5)题设集合,．则（）A．B．C．D．第(6)题已知，则（）A．B．C．或D．或第(7)题已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题已知函数，（，为自然对数的底数），若对任意给定的，在上总存在两个不同的（，），使得成立，则的取值范围是A．B ．C．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数z ，，，下列结论正确的有（ ）A ．若复数z 满足，则B ．若，z 满足，则C ．若，则D ．若复数z 满足，则z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆第(2)题已知动点M 的坐标满足方程，直线：，过点且方向向量为的直线与动点M 的轨迹交于A ，B 两点，则（ ）A ．动点M 的轨迹是一条抛物线B ．直线与动点M 的轨迹只有一个交点C ．D ．第(3)题下列命题正确的是（ ）A ．若为复数，则B ．若为向量，则C ．若为复数，且，则D ．若为向量，且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知的展开式中的常数项为240，则______．第(2)题已知，是双曲线：的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于，两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为________．第(3)题某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数的两个极值点分别为，证明：；(3)设，求证：当时，有且仅有2个不同的零点．（参考数据：）第(2)题在极坐标系下，方程的图形为如图所示的“三叶玫瑰线”.（1）当玫瑰线的时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；（2）求曲线上的点与玫瑰线上的点距离的最小值及取得最小值时的点､的极坐标.第(3)题已知定义在上的函数的最小值为.(1)求的值；(2)设，，求证：.第(4)题若函数（1）求的最小正周期；（2）求的最大值及相对应的的取值.第(5)题对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.(1)若函数，证明：都存在“关联切线伴随数列”；(2)若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；(3)若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，.。
山西省晋城市(新版)2024高考数学部编版质量检测(综合卷)完整试卷
山西省晋城市（新版）2024高考数学部编版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（）A．2B．4C．6D．8第(2)题已知不共线的两个非零向量，则“与所成角为锐角”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(3)题已知集合，则（）A．B．C．D．或第(4)题如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（）A．B．C．D．第(5)题已知数列的通项公式为，若为递增数列，则k的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题黄山是中国著名的旅游胜地，有许多值得打卡的旅游景点，其中包括黄山风景区，齐云山，宏村，徽州古城等.甲，乙，丙人准备前往黄山风景区，齐云山，宏村，徽州古城这个景点游玩，其中甲和乙已经去过黄山风景区，本次不再前往黄山风景区游玩.若甲，乙，丙每人选择一个或两个景点游玩，则不同的选择有（）A．种B．种C．种D．种第(8)题用数学归纳法证明等式时，当时，左边等于（）A．1B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知双曲线E：的左､右焦点分别为，，过点作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则（）A．若，则B．若，则双曲线的离心率C．周长的最小值为8D．△AOB（O为坐标原点）的面积为定值第(2)题已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（）A．函数有且仅有两个零点B．函数有且仅有三个零点C．当时，不等式恒成立D．在上的值域为第(3)题已知，，，若（），则n的可能值为（）A．6B．8C．11D．13三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为______．第(2)题某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．第(3)题陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫做陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为，，r，且，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为.直线与相交于A，B两点，.(1)求证：(2)若直线l与相交于P，Q两点，求的取值范围.第(2)题某农场更新技术培育了一批新型的“盆栽果树”，这种“盆栽果树”将一改陆地栽植果树只在秋季结果的特性，能够一年四季都有花、四季都结果.现为了了解果树的结果情况，从该批果树中随机抽取了容量为120的样本，测量这些果树的高度（单位：厘米），经统计将所有数据分组后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求；（2）已知所抽取的样本来自两个实验基地，规定高度不低于40厘米的果树为“优品盆栽”，（i）请将图中列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“优品盆栽”与两个实验基地有关？优品非优品合计基地60基地20合计（ii）用样本数据来估计这批果树的生长情况，若从该农场培育的这批“盆栽果树”中随机抽取4棵，求其中“优品盆栽”的棵树的分布列和数学期望.附：.第(3)题已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，以椭圆的短轴为直径的圆过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于，两点，且，求四边形面积的取值范围．第(4)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）设点的极坐标为，射线与的交点为（异于极点），与的交点为（异于极点），若，求的值．第(5)题已知函数(1)若，证明：曲线与曲线有且仅有一条公切线；(2)当时，，求a的取值范围．。
2020届河南省高三6月质量检测数学(理)试题解析
2020届河南省高三6月质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，则1111i ii i+--=-+（ ） A ．2i - B ．2iC ．－2D ．2答案：B 解：()()()()2211114211112i i i i ii i i i i +--+--===-++-.故选B. 2．已知集合{}2|23A x x x =+>，(],2B a a =+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)0,1 B ．()1,2C ．(],0-∞D ．()1,+∞答案：A 解： 由()(),12,A =-∞+∞，A B =R ，则221a a +≥⎧⎨<⎩，得01a ≤<.故选A. 3．曲线()21ln 22y x x =-在某点处的切线的斜率为32-，则该切线的方程为（ ）A ．3210x y +-=B ．3210x y ++=C ．6450x y +-= D ．12870x y +-=答案：D 解： 由132y x x '=-=-，解得2x =-（舍去）或12x =，可得切点的坐标为11,28⎛⎫⎪⎝⎭，所以该切线的方程为131822y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得12870x y +-=.故选D. 4．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.已知半径为1的圆O 内接正二十四边形，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正二十四边形内()*,,a b b a ∈<N ，则圆周率的近似值为（ ）A．()3632a b+ B ．()3632b a+ C ．()3632a b- D ．()3632b a-答案：C 解：正二十四边形的面积为()2162241sin152436228︒-⨯⨯⨯=⨯=-，有()362a bπ=-，可得()3632abπ-=.故选C. 5．已知实数x ，y 满足约束条件23402402540x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．－5B ．－4C ．－3D ．－2答案：B 解：如图，可行域为图中阴影部分，可行域的端点的坐标为()1,2，()2,0-，()3,2-，由2z x y =-，则2y x z =-，可知z 的最小值为与直线2y x =平行的直线与可行域有交点，且截距最大时，可知当2x =-，0y =时，z 的最小值为－4.故选B.6．函数()()2ln1xf x x x =+-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D 解：由题意知())2ln1f x x x x =+，则())2ln1f x x x x -=-+，有()()()22ln 10x x f x x f x ⎡⎤-=+-=⎣⎦-，得()()f x f x =-，所以函数()f x 为偶函数，排除选项A ，B ；又())1ln210f =<，排除选项C.故选D.7．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，得到的点数分别为a ，b（{},1,2,3,4,5,6a b ∈），若直线1:210l x y -+=，2:20l ax by -+=，则直线12//l l 的概率为（ ） A ．112B ．118C ．19D ．536答案：B 解：基本事件共36个，若直线12l l ，包括的基本事件为①1a =，2b =；②3a =，6b =；当2a =，4b =时，直线1l 和2l 重合，不合题意，所以直线12l l 的概率为213618=.故选B.8．若非零向量a ，b 满足()()22a b a b +⊥-，()()3a b a b +⊥+，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．78-B ．58-C ．34-D ．38-答案：A 解：由题意有()()222240a b a b a b +⋅-=-=，可得2a b =；又由()()222343704a b a b a a b b a b b +⋅+=+⋅+=⋅+=，得274a b b ⋅=-，所以向量a 与b 夹角的余弦值为2277482ba b a b b⋅=-=-⋅.故选A. 9．已知函数()2e e 2,01,0x x xf x x x -⎧-+>=⎨-≤⎩，若0.015a =，33log 22b =，3log 0.9c =，则有（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f c f a f b >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()fa f c fb >>答案：C 解：可得函数()f x 在R 上单调递增，又由0.0151a =>，30log 1b <=<，0c <，得a b c >>，所以()()()f a f b f c >>.故选C.10．已知数列{}n a 中，112a =，()*111122n n n a a n ++=+∈N ，则数列{}n a 的前10项的和为（ ） A ．3316B ．12964C ．509256D ．6532答案：C 解： 由题意得11221n n n n a a ++=+，所以{}2n n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()211n n a n n =+-=，得2n n na =.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则211212222n n nn n S --=++++，231112122222n n n n nS +-=++++，作差得23111111222222n nn n S ，得111122111222n n n n S +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--，即222n n n S +=-，所以10108123350922222256256S =-=-=-=.故选C. 11．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AD BP ⊥，PA AC =，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，则三棱锥P ACD -体积的最大值为（ ）A ．23B ．12C 3D ．24答案：A 解：设AB a ，BC b =，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，得外接球的半径2R =又PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，所以()2222222228AB BC AP AC AP AP R ++=+===，所以2AP =，所以224a b +=.因为PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，所以24PB a =+224BD a=+，过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE PA ∥，所以DE BDPA BP=，所以2224a DE a=+，所以()()()222221124423643432P ABC D ABCACD P ACD a ab ab V V S PA DE ab V a a a b ---⎛⎫-=-=-== ⎪++⎝=+⎭△4223623a b b a =≤=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b b a =，即23a =26b =时，“=”成立，所以三棱锥P ACD -2.故选A.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与双曲线C 的左支相交于点A ，与双曲线的右支相交于点B ，O 为坐标原点.若2123BF AF =，且122F F OB =，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 5答案：D 解：设12AF m =，则23BF m =，因为212AF AF a -=，所以222AFm a =+.同理，123BF a m =+，所以112322BF AF a m A m a m B =-=+-=+.因为122F F OB =，所以12BF BF ⊥；在2RtABF 中，22222AF AB BF +=，即()()2222229m a a m m +=++，解得23am =，有22BF a =，14BF a =.在12Rt BF F 中，由2221212F F BF BF =+，即2224416c a a =+，得5c a =，所以5e =.故选D.二、填空题 13．若()()()6323456012345611,1,2,3,4,5,6i x x x a a x a x a x a x a x a x a i ---=++++++∈=R ，则4a =________. 答案：14 解：由题意知246115114a C =-=-=.14．已知在等比数列{}n a 中，1231a a a =，12311172a a a ++=，则数列{}n a 的通项公式为_______. 答案：()2*2nn a n -=∈N 或()2*2n nan -=∈N解：设数列{}n a 的公比为q ，因为1231a a a =，所以321a =，得21a =，所以131311152a a a a =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13212a a =⎧⎪⎨=⎪⎩或13122a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩.当112a =时，因为21a =，所以2q ，所以121222n n n a --=⨯=；当12a =时，因为21a =，所以12q =，所以22n n a -=，所以()2*2n n a n -=∈N 或()2*2n n a n -=∈N .15．已知函数()()sin cos 05,0f x x a x a ωωω=+<<>对任意的1x ，2x 都有()()124f x f x +≥-，且存在0x ∈R ，()02f x =-，点,06π⎛⎫⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心.若将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()0g =________.答案：解：()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+（其中ϕ为锐角且tan a ϕ=），因为对任意1x ，2x ，恒有()()124f x f x +≥-成立，且存在0x ∈R ，()02f x =-，所以2=，解得a =，所以()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为点,06π⎛⎫⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心，即()63k k ππωπ+=∈Z ，得()62k k ω=-∈Z .因为05ω<<，所以4ω=，所以()2sin 43πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()22sin 42sin 4433g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()202sin 3g π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.16．已知点()(),20P t t t >在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两条直线分别交抛物线C 于相异两点A ，B ，若直线PA ，PB 的倾斜角互补，则直线AB 的斜率为________. 答案：－1 解：将点P 的坐标代入抛物线C 的方程得244t t =，又0t >，所以1t =，所以点P 的坐标为()1,2.由题意知AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的方程为()0y kx b k =+≠，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，消去x 后整理为2440ky y b -+=，则124y y k+=，124b y y k =，16160kb ∆=->.直线PA 的斜率为11211122411214y y x y y --==-+-，同理，直线PB的斜率为242y +，由直线PA ，PB 的倾斜角互补，即1244022y y +=++，得124y y +=-，可得44k=-，所以1k =-.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c （a ，b ，c 互不相等），且满足()cos 2cos b C b c B =-.（1）求证：2A B =； （2）若c =，求cos B .答案：（1）证明见解析；（2）cos 4B =. 解：（1）证明：因为()cos 2cos b C b c B =-，由正弦定理，得sin cos 2sin cos sin cos B C B B C B =-，所以()sin sin 2B C B +=，所以sin sin 2A B =.又因为0A π<<，022B π<<，所以2A B =或2A B π+=.若2A B π+=，又A B C π++=，所以B C =，与a ，b ，c 互不相等矛盾，所以2A B =. （2）解：由（1）知()3ππ=-+=-C A B B ，所以03B π<<.因为c =，所以sin C A =，则()sin 32B B π-=，可得sin 32B B =.又因为()22sin3sin 2sin 2cos cos2sin 2sin cos 2sin cos sin 3sin 4sinB B B B B B B B B B B B B =+=+=+-=-，所以33sin 4sin 4sin B B B B -=-.因为03B π<<，所以sin 0B >，所以234sin B B -=，所以24cos 10B B --=，解得cos 4B =，又03B π<<，得cos 4B =.18．随着互联网金融的发展，很多平台都推出了自己的虚拟信用支付，比较常用的有蚂蚁花呗、京东白条.花呗与信用卡有一个共同点就是可以透支消费，对于很多90后来说，他们更习惯提前消费.某研究机构随机抽取了1000名90后，对他们的信用支付方式进行了调查，得到如下统计表：每个人都仅使用一种信用支付方式，各人支付方式相互独立，以频率估计概率. （1）估计90后使用蚂蚁花呗的概率；（2）在所抽取的1000人中用分层抽样的方法在使用银行信用卡和蚂蚁花呗的人中随机抽取8人，再在这8人中随机抽取4人，记X 为这4人中使用蚂蚁花呗的人数，求X 的分布列及数学期望和方差.答案：（1）0.5；（2）分布列见解析，()52E X =，()1528=D X ..解：解：（1）100030015050500a =---=， 所以使用蚂蚁花呗的概率为5000.51000=.（2）这8人中使用信用卡的人数为30083300500⨯=+人，使用蚂蚁花呗的人数为5人，则随机变量X 的取值为1，2，3，4，C ！所以()3135481114C C P X C ===， ()223548327C C P X C ===， ()133548337C C P X C ===，()45481414C P X C ===.所以随机变量X 分布列为X 1 2 3 4P114 37 37 114故()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()222251535351151234214272721428D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，2AD AP ==，E 为PD 的中点，F 为BP 的中点.（1）求证：//CE 平面PAB ； （2）求二面角P CE F --的正弦值. 答案：（1）证明见解析；（26解：（1）证明：如图，取AP 的中点G ，连接EG ，BG . ∵DE PE =，AG PG =，∴且2AD GE =. ∵2AD =，∴1GE =.∵BC AD ∥，1BC =，∴GE BC ∥且GE BC =， ∴四边形BCEG 为平行四边形， ∴CE BG ∥.又∵BG ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴CE平面PAB .（2）解：∵AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，∴AP ，AB ，AD 两两垂直，∴以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,2,0D，()1,1,0C ，()002P ,,，()0,1,1E ，1,0,12F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()0,1,1PE =-，1,1,02FE ⎛⎫=-⎪⎝⎭，(1,0,1)CE =-. 设平面PCE 的一个法向量为(),,m x y z =，则00PE m y z CE m x z ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩，解得y zx z =⎧⎨=⎩，取1z =，得()1,1,1m =；设平面CEF 的一个法向量为(),,n a b c =，则1020FE n a b CE n a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，解得12b a c a⎧=⎪⎨⎪=⎩，令2a =，得()2,1,2n =， 所以2125m n ⋅=++=，3m =，3n =，有cos,m n =，所以二面角P CE F --=. 20．已知椭圆()2222:10x y C ab a b +=>>O 为圆心，椭圆C 焦距的一半为半径的圆椭圆C 有四个交点，且这四个交点所构成的四边形的面积3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是椭圆C 的左顶点，过点()1,0D 且斜率不为零的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线PA ，PB 与直线4x =分别相交于M ，N 两点，求证：直线AN 与直线BM的交点为定点，并求该定点的坐标.答案：（1）2214x y +=；（2）证明见解析，定点的坐标为()2,0. 解：（1）解：设椭圆C 的焦距为2c .因为c a =a =，所以222222433c c b a c c =-=-=，所以223c b =，224a b =，所以椭圆C 的方程为222214x y b b+=，整理为2244x y b +=.以原点O 为圆心，c 为半径的圆的方程为2223x y b +=，联立方程222222443x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，解得22228313x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以四边形的面积为24=2=，所以1b =. 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）证明：由题意可知点P 的坐标为()2,0-，设直线AB 的方程为1x my =+，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程22141x y my x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 后整理为()224230m y my ++-=，所以1221222434m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩当直线AB 与x 轴垂直时，直线PA 与直线PB 关于x 轴对称，此时直线AN 与直线BM的交点在x 轴上，又易知此时AB 是PMN 的中位线，所以2AB MN =，所以此时直线AN 与直线BM 的交点坐标为()2,0Q .下面证明直线AN 与直线BM 的交点始终为点()2,0Q ： 直线PB 的方程为()2222y y x x =++，代入4x =可得点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭. 因为111121AQy y k x my ==--，22222262334223NQ y x y y k x my +===-++， 所以()()()()()2212121212121266323440131313AQNQm my y my y y y m m kk my my my my my my -++-++-=-===-+-+-+， 所以点A ，N ，Q 三点共线，可得直线AN 过点()2,0Q ，同理可证，直线BM 也过点()2,0Q .所以直线AN 与直线BM 的交点为定点，该定点的坐标为()2,0. 21．已知函数()()2xax af x x a e+=+∈R 有两个零点. （1）求实数a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，求证：12110x x +<. 答案：（1）(),0-∞；（2）证明见解析. 解：（1）解：函数()f x 的定义域为R ，则()()22x x xx e a ax f x x e e-'=-=. ①当0a =时，()2f x x =，此时函数()f x 仅有一个零点0x =，不合题意.②当0a <时，令()0f x '>，得0x >，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增，令()0f x '<，得0x <，故()f x 在(),0-∞上单调递减.又由()00f a =<，()11f -=，所以()f x 在(),0-∞上有唯一零点； 令()()10x x g x x e +=≥，则()0xxg x e '=-≤，所以函数()g x 单调递减，有()()001g x g <≤=，即101x x e +<≤，可得x ax aa e+≥.又当x >20x a +>，所以()20f x x a ≥+>，所以()f x 在[)0,+∞上有唯一零点，所以当0a <时，函数()f x 有两个零点 ③当0a >时，令()0f x '=，得0x =，ln2a x =， i ）当ln 02a=，即2a =时，()()210xx x e f x e-'=≥，此时函数()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点，不合题意 ii ）当ln02a <，即02a <<时，令()0f x '>，得ln 2ax <或0x >，所以函数()f x 在,ln2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,∞+上单调递增，令()0f x '<，得ln 02ax <<，所以()f x 在ln ,02a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()ln 2a f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭极大值，()()0f x f =极小值，又()00f a =>，可得此时函数()f x 最多有一个零点，不合题意；iii ）当ln02a >，即2a >时，令()0f x '>，得ln 2ax >或0x <，所以函数()f x 在(),0-∞、ln ,2a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<，得0ln 2ax <<，所以()f x 在0,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.又当0x ≥时，有()0f x >，且函数()f x 在(),0-∞单调递增，所以函数()f x 最多仅有一个零点，不合题意.综上，若函数()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为(),0-∞.（2）证明：由（1）知，当(),0a ∈-∞时，函数()f x 有两个零点，且一个为正、一个为负.不妨设120x x <<，有()()12f x f x =. 由()()()()112211211111x x ax a ax a f x f x f x f x x x e e -+-+⎛⎫⎛⎫--=--=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111111x x a x e x e -⎡⎤=++-⎣⎦.令()()()()110x xh x x e x e x -=-++<，则()()()210x x x xx e h x x e e e--'=-=>，所以函数()h x 在(),0-∞上单调递增，所以对0x ∀<，()()00h x h <=. 又0a <，所以()()210f x f x -->，即()()21f x f x >-.又10x <，10x ->，且函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以21x x >-，所以120x x +>.又120x x <，所以121212110x x x x x x ++=<， 所以12110x x +<. 22．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()1,0；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点M的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）若点N 为曲线1C 上的动点，求线段MN 的中点T 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）在（1）的条件下，若过点P 的直线l 与曲线2C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值.答案：（1）()2211x y +-=；（2）1. 解：解：（1）点M 的直角坐标方程为()2,2-，将ρ=cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线1C 的极坐标方程，所以曲线C的直角坐标方程为2240x y x +-=，整理为()2224x y -+=. 设点T 的坐标为(),x y ，点N 的坐标为(),m n ，则()2224m n -+=.由T 为MN 的中点，有2222x m y n =-⎧⎨=+⎩，得2222m x n y =+⎧⎨=-⎩，代入()2224m n -+=，得()224224x y +-=，整理得()2211x y +-=.故线段MN 的中点T 的轨迹2C 的直角坐标方程为()2211x y +-=.（2）设直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数），A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .将直线l 的参数方程代曲线2C 的直角坐标方程后整理为()22cos sin 10t t θθ+-+=，得()122cos sin t t θθ+=--，121t t ⋅=， 所以121PA PB t t ⋅==. 所以PA PB ⋅的值为123．已知函数()221f x x x =-++. （1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若函数()1y f x x =++的最小值为k ，求()220km m m+>的最小值. 答案：（1）51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）6.解：解：（1）①当1x ≤-时，不等式|2214x x -++≤可化为()()2214x x --+≤，得1x ≥-，故有1x =-；②当11x -<<时，不等式2214x x -++≤可化为()()2214x x --+≤，得1x ≥-，故有11x -<<；③当1x ≥时，不等式2214x x -++≤可化为()()2214x x --+≤，得53x ≤，故有513x ≤≤. 综上，不等式()4f x ≤的解集为51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）因为()()()121212112114y f x x x x x x x x =++=-++=-++≥--+=，所以4k =所以2222224226km m m m m m m +=+=++≥=， 当且仅当222m m=，即1m =时“＝”成立， 所以22km m +的最小值为6.。