精华在线 2015-2016届数学第2次月考试卷及答案

精华学校2015—2016学年度第一学期第二次月考试卷理数(新课标卷)本卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合M={x|﹣2＜x ＜1}，N={x|x 2﹣2x ≤0}，则M ∩N=（ ） A ． {x|0＜x ＜1} B ． {x|0≤x ＜1}C ． {x|﹣1＜x ≤1}D ．{x|﹣2＜x ≤1}2．设平面向量(1,2),(2,),//,|2|a b y a b a b ==--若则等于 （ ）A ．4B ．5C ．35D ． 453．点M （1，1）到抛物线y=ax 2准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．B ． ﹣C ．或﹣D ．﹣或4．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＞0，若S 5=S 9，则当S n 最大时，n=（ ） A ． 6 B ． 7C ． 10D ．95．4.函数9()3x xa f x -=的图像关于原点对称，()lg(101)x g x bx =++是偶函数，则=+b a （ ） A.1 B. 1- C. 21-D. 216．下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x ﹣1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x ﹣1＞0； ②p 是q 的必要不充分条件，则￢p 是￢q 的充分不必要条件；③命题“若x=y ，则sinx=siny ”的逆否命题为真命题；④“m=﹣1”是“直线l 1：mx+（2m ﹣1）y+1=0与直线l 2：3x+my+3=0垂直”的充要条件． A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个D ．4个7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体 的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ． 6 B ． 8C ．1 0 D. 128．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若|FB|≥d ，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ． （1，]B ． [，+∞）C ． （1，3]D ．[，+∞）9．设函数()ln(1)f x x x =+- ，记(1),(3),c (7)a f b f f ===则 （ ） A.c a b << B.a b c << C.c b a << D.b c a <<10．在ABC ∆中，=∠===∠C AB BC A 则,6,3,3π（ ）A ．4π或43πB ．43πC ．6πD ．4π11．（5分）已知数列{a n }满足a n =n 3﹣n 2+3+m ，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ） A ． B ．C ． ﹣D ．﹣12．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为．14．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为．15.（5分）设,x y满足约束条件2202xx ye yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，则(,)M x y所在平面区域的面积为___________.16．（5分）已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ．=三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．18（12分）已知等比数列{a n}的所有项均为正数，首项a1＝1，且a4,3a3，a5成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{a n＋1－λa n}的前n项和为S n，若S n＝2n－1(n∈N*)，求实数λ的值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF‖平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．22．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围月考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B．2．D 3．C．4．B 5．D 6．B．7．C 8．A．9．B 10．D 11．B．12.C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为90°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量垂直的条件可得（+）•（2﹣）=0，根据向量数量积的运算化简得=0，即可求出向量与的夹角．解答：解：因为||=1，||=，（+）⊥（2﹣），所以（+）•（2﹣）=2+﹣=0，则2+﹣2=0，即=0，所以，则向量与的夹角为90°，故答案为：90°．14．三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为64π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OAO′中，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．解答：解：在△ABC中，∠ACB=120°，CA=CB=2，由余弦定理可得AB=6，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OAO′中，得球半径R==4，故此球的表面积为4πR2=64π．故答案为：64π．15．【答案】22e-【解析】试题分析：画出2202xx ye yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩对应的平面区域，如图所示.(,)M x y所在平面区域的面积为222021|21122x xAOBe dx S e e e e∆-=-⨯⨯=--=-⎰.16．（5分）已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．解答：解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=sin（πx+φ﹣α），其中sinα=，cosα=．∵函数的图象关于直线x=1对称，∴π+φ﹣α=+kπ，即φ=α﹣+kπ，则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2××=，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：（1）由数量积和三角形的面积公式可得tanθ的范围，进而可得θ的取值范围；（2）化简可得f（θ）=1+2sin（2θ﹣），由θ的范围和三角函数公式可得．解答：解：（1）由题意可得•=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，变形可得cb=，∴•=cbcosθ==，由0＜•≤4，可得0＜≤4解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴向量夹角θ的范围为[，）；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[，），∴sin（2θ﹣）∈[，1]，∴f（θ）的取值范围为：[2，3]点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域，属中档题．18．（12分）解：(1)设数列{a n}的公比为q，由条件可知q3,3q2，q4成等差数列，∴6q2＝q3＋q4，解得q＝－3或q＝2，∵q>0，∴q＝2.∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1(n∈N*)．(2)记b n＝a n＋1－λa n，则b n＝2n－λ·2n－1＝(2－λ)2n－1，若λ＝2，则b n＝0，S n＝0，不符合条件；若λ≠2，则b n＋1b n＝2，数列{b n}为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n＝ 2－λ1－2(1－2n)＝(2－λ)(2n－1)，∵S n＝2n－1(n∈N*)，∴λ＝1.19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D 的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，通过中位线定理可得EF∥AM，利用线面平行的判定定理即得结论；（Ⅱ）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ的法向量的夹角的余弦值即为，计算即可．解答：证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴MF，正方形ABCD中E为AB中点，∴AE，∴AE MF，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，0），F （，，1），由题易知平面PAD 的法向量为=（0，1，0），假设存在Q 满足条件：设=λ，∵=（，0，1），∴Q （，，λ），=（，，λ），λ∈[0，1]，设平面PAQ 的法向量为=（x，y，z），由，可得=（1，﹣λ，0），∴==，由已知：=，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点．点评：本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）有已知：c=2，解得a=，b2=4，从而写出方程．（2）分AB斜率不存在或斜率存在两种情况讨论．解答：解：（1）有已知：c=2，∴a=，b2=4，故椭圆方程为；（2）当AB 斜率不存在时：，当AB 斜率存在时：设其方程为：，由得，由已知：△=16﹣8（2k2+1）=8，即：，|AB|=，O到直线AB的距离：d=，∴S△AOB ==，∴2k2+1∈[1，2）∪（2，+∞），∴，∴此时，综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：△AOB 面积取最大值为．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力，解题时要认真审题，仔细解答．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；（2）①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：f（x），f′（x）变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1∈（0，1），设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．解答：（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：x （0，﹣）﹣（﹣，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘依题意：g （﹣）=ln （﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；②由①知：f（x），f′（x）变化如下：x （0，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘由表可知：f（x）在[x1，x2]上为增函数，所以：f（x2）＞f（x1）又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x1∈（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1）（0＜x1＜1）设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），则h′（x）=lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）＞h（1）=﹣，也就是f（x1）＞﹣综上所证：f（x2）＞f（x1）＞﹣成立．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．22．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，平方后解一元二次不等式求得它的解集．（Ⅱ）根据f（x）的解析式，求出f（x）的最小值为f（），再根据f（）+2m2＜4m，求得m的范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，即4x2﹣4x+1＞x2+4x+4，即3x2﹣8x+3＞0，求得它的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，故f（x）的最小值为f（）=﹣，根据∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，可得4m﹣2m2＞﹣，即4m2﹣8m﹣5＜0，求得﹣＜m＜．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对会的函数，函数的能成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于。