《分式》典型例题分析

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分式知识点及例题

分式知识点及例题一、分式的概念形如$＼dfrac{A}｛B}＄（＄A$、＄B$是整式，且$B$中含有字母，＄B\neq 0$）的式子叫做分式。

其中，＄A$叫做分子，＄B$叫做分母。

例如：＄＼dfrac{x}｛y}＄，＄＼dfrac{2}｛x ＋ 1}＄，＄＼dfrac{3x 1}｛x^2 1}＄等都是分式。

需要注意的是：（1）分式的分母中必须含有字母。

（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式就没有意义。

例如，在分式$＼dfrac{x}｛x 1}＄中，当$x 1 ＝ 0$，即$x ＝ 1$时，分式没有意义。

二、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于$0$的整式，分式的值不变。

即：＄＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼times M}｛B ＼times M}＄，＄＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼div M}｛B ＼div M}＄（＄M$为不等于$0$的整式）例如：＄＼dfrac{x}｛y} ＝＼dfrac{x ＼times 2}｛y ＼times 2} ＝＼dfrac{2x}｛2y}＄三、分式的约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子与分母的公因式。

确定公因式的方法：（1）系数：取分子、分母系数的最大公约数。

（2）字母：取分子、分母相同字母因式的最低次幂。

例如：＼＼begin{align}＼dfrac{6xy}｛9x^2y} ＆＝＼dfrac{2 ＼times 3 ＼times x ＼times y}｛3 ＼times 3 ＼times x ＼times x ＼times y}＼＼＆＝＼dfrac{2}｛3x}＼end{align}四、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数。

（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。

分式知识点及典型例题

分式【知识网络】【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ∙=,b c b d bda d a c ac÷=∙=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2一、考点、热点知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。

知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：C B C ∙∙=A B A ，CB C÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

分式经典题型分类例题及练习题

分式经典题型分类例题及练习题分式的运算一、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义在代数式 $\frac{x_1}{a-bx}-\frac{y}{x+y}$ 中，$\frac{x_1}{a-bx}$ 是分式。

题型二：考查分式有意义的条件当 $x$ 满足以下条件时，下列分式有意义：1）$\frac{x-4}{x+4}$2）$\frac{3x}{x^2+2}$3）$\frac{2}{x^2-1}$4）$\frac{16-x}{5-x}$5）$\frac{1}{|x|-3}-\frac{x}{x}$题型三：考查分式的值为的条件当 $x$ 取以下值时，下列分式的值为 $0$：1）$\frac{x-1}{x+3}$2）$\frac{|x|-2}{x-4}-\frac{2}{x}$3）$\frac{x^2-2x-3}{x-5}-\frac{x-6}{2}$题型四：考查分式的值为正、负的条件1）当 $x$ 为何值时，分式 $\frac{4}{8-x}$ 为正；2）当 $x$ 为何值时，分式 $\frac{5-x}{23+(x-1)/(x-2)}$ 为负；3）当 $x$ 为何值时，分式 $\frac{x+3}{|x|}$ 为非负数。

练：1.当 $x$ 取以下值时，下列分式有意义：1）$\frac{1}{6|x|-3}$2）$\frac{3-x}{(x+1)^2+1}$3）$\frac{1}{x}+\frac{1}{1+x}$2.已知 $x+\frac{1}{x}=3$，求$\frac{x^2+x+1}{2x+x^2}$ 的值。

3.解以下不等式：1）$\frac{1}{|x|-2}\leq x+1$2）$\frac{x+5}{x+2}-\frac{3}{x+3}>0$二、分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质：frac{AA}{BB}=\frac{MA\cdot MA^{-1}}{MB\cdot MB^{-1}}=\frac{A}{B}$2.分式的变号法则：frac{-a}{a}=-1$，$\frac{-b+b}{b-b}=1$题型一：化分数系数、小数系数为整数系数不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数。

分式压轴题解析

分式【知识脉络】【基础知识】1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（0≠C ）3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

;a c ac a c a d adb d bd b d bc bc •=÷=•=()n n n a a b b =A A C B B C •=•A A C B B C ÷=÷5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n a a 1=- （)0≠a6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：m n m n a a a +•=；（2）幂的乘方：()m n mn a a=; （3）积的乘方：()n n nab a b =；（4）同底数的幂的除法：m n m n a a a -÷=( a ≠0)；（5）商的乘方：()nn n a a b b=；(b ≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

分式典型知识点与例题总结

人教版八年级下册分式全章知识点和典型例习题知识点回顾知识点一：分式形如的式子叫做分式。

知识点二：分式B A 的值1.当时,分式有意义;2.当时,分式无意义;3.当时,分式的值为0;4.当时,分式的值为1;5.当时, 分式的值为正;6.当时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示知识点四：分式中的符号法则用式子表示知识点五：分式的约分约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。

2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。

1.最简公分母= 。

2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示除法法则：用式子表示知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式：套平方差公式： 2 . 公完全平方和：式完全平方差：知识点九：分式的加减法法则加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先再最后再。

知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成其中101<≤a 。

知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤、、、、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。

分式经典例题及答案

分式的性质一、知识回顾1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

2、分式有意义、无意义的条件：① 分式有意义的条件：分式的分母不等于0；② 分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3、分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

4、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

5、分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

6、分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

二、典型例题A．x=-2 B．x=0C．x=1或2 D．x=1分析：先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．这种题一定要考虑到分母不为0.解答：∴{ x-1=0 ①{ x+2≠0② ，解得x=1．故选D．A．x=1 B．x=-1C．x=±1D．x≠1分析：要使分式的值为0，一定要分子的值为0并且分母的值不为0．解答：由x2-1=0解得：x=±1，又∵x-1≠0即x≠1，∴x=-1，故选B．A．x≠5B．x≠-5 C．x>5 D．x>-5分析：要使分式有意义，分式的分母不能为0．解答：∵x-5≠0，∴x≠5；故选A．A．x<2 B．x<2且x≠-1 C．-1<x<2 D．x>2分析：易得分母为非负数，要使分式为正数，则应让分子大于0，分母不为0．解答：根据题意得：2-x>0，且（x+1）2≠0，∴x<2且x≠-1，故选B．A．x>0 B．x≥0C．x≥0且x≠1D．无法确定分析：分母x2-2x+1=（x-1）2，为完全平方式，分母不为0，则：x-1≠0时，要使分式的值为非负数，则3x≥0，由此列不等式组求解．解答：依题意，得{ 3x≥0①{ x-1≠0② ，解得x≥0且x≠1，故选C．例6：下列说法正确的是（）A．只要分式的分子为零，则分式的值为零B．分子、分母乘以同一个代数式，分式的值不变C．分式的分子、分母同时变号，其值不变分析：根据分式的值为 0 的条件是：（1）分子为 0；（2）分母不为 0．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变．解答：A、分式的分子为零，分母不为 0，则分式的值为零，故错误；B、分子、分母乘以同一个不等于 0 的代数式，分式的值不变，故错误；C、正确；D、当 x 取任意实数时，分式（|2-x|+x）/2 有意义，故错误．故选C．A．-7/2 B．7/2 C．2/7 D．-2/7分析：先把分式的分子、分母都除以 xy ，就可以得到已知条件的形式，再把 1/x-1/y=3 代入就可以进行计算．解答：根据分式的基本性质，分子分母都除以 xy 得，故选 B．分析：根据已知条件求出（a-b）与 ab 的关系，再代入所求的分式进行求值．分析：设恒等式等于一个常数，求出 x ，y ， z 与这个常数的关系式，再进行证明．解答：解：则 x=ka-kb， y=kb-kc， z=kc-ka，x+y+z=ka-kb+kb-kc+kc-ka=0 ，∴x+y+z=0．三、解题经验本节题目变化多端，我们要多做练习以积累经验，牢记分式有无意义的条件。

分式典型例题

【分式典型例题】例1. 若分式11||+-x x 的值为零，求x 的值。

解：当⎩⎨⎧=-≠+)2(01||)1(01x x 时，分式的值为零。

由（1）得：1-≠x由（2）得：1±=x ∴当1=x 时，11||+-x x 的值为零。

例2. 若分式732-x x 的值为负，求x 的取值范围。

分析：欲使732-x x 的值为负，即使0732<-x x ，就要使2x 与73-x 异号，而02≥x ，若0=x 时，732-x x 不能为负，因此，只有⎩⎨⎧<->07302x x 才成立。

解：当⎩⎨⎧<->)2(073)1(02x x 时，分式732-x x 的值为负，由（1）得0≠x ，由（2）得37<x 037≠<∴x x 且∴x 的取值范围是037≠<x x 且例3. 如果把分式y x xy+的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（）A. 不变B. 扩大3倍C. 缩小3倍D. 缩小9倍分析：x ，y 都扩大3倍，即变为3x ，3y ，则y x xy yx xy y x xy y x y x +⨯=+=+=+⋅33)(393333 因此，分式y x xy+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式值扩大3倍。

解：选B 。

!例4. 计算：（1）x x x x x x x 4126)3(446222--+⋅+÷+-- （2）22221111⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--a a a a a a a（3）x x x -+-++1111112 （4）231421222+++⋅--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a a a a a a 解：（1）x x x x x x x 4126)3(446222--+⋅+÷+-- 421)2(21)3(4)2)(3(31)2()3(22--=--=---+⋅+⋅--=x x x x x x x x （2）22221111⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--a a a a a a a 】aa a a a a a a a a 1)1()1()1()1)(1()1(2222+-=-+⋅-⋅-+--=（3）x x x -+-++1111112 11)1)(1(111---+++=x x x x 11)1)(1(1)1)(1(111)1)(1(1)1)(1(1)1)(1(12--=-+-=-+--+-=-++--++-+-=x x x x x x x x x x x x x x x （4）231421222+++⋅--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a a a a a a 231241)1(222+++⋅--⋅+-+=a a a a a a a a a a1)1)(2(1)2()2)(2(12+=+++⋅--+⋅+=a a a a a a a a a a a例5. 解方程。

《分式》典型例题及解析

《分式》典型例题及解析例1．分式中，当x = a时，下列说法正确的是( )A．分式的值为零 B．分式无意义C．当a≠时，分式的值为零D．当a≠−时，分式无意义答案：C说明：当x = a时，分子x−a = 0，但需满足分式有意义，即分母2x−3≠0，x≠∴当a≠时，分式值为0，因此，答案为C．例2．分式有意义，则x的值为( )A．x≠−1 B．x≠−2 C．x≠1 D．x ≠−1，x≠−2且x≠1答案：D说明：有意义，需满足x+1≠0且x−≠0，得x≠−1且≠0，即，所以当x≠−1，x≠−2且x≠1时分式有意义，答案为D．例3．下列各式从左到右变形错误的是( )A．=B．=C．=D．=答案：D说明：选项A、B中的变形都是将左边的分式分子、分母同乘以−1，即得到右边的分式，变形过程都是正确的；选项C左边的分式隐含条件a≠0，因此，分子、分母可以同时除以a，即得到右边的分式，变形过程也是正确的；只有选项D中的变形需附加条件b ≠0，因此，答案为D．例4．当=时，A应为( )A．x−1 B．x+1 C．3(x+1)D．3(x−1)答案：D说明：由=得=，因为分式的分母x+2乘以(x−1)才能化为x2+x−2，所以根据分式的基本性质，分子3也应乘以(x−1)得3(x−1)，所以A = 3(x−1)，答案为D．例5．下列命题中不正确的是( )A．不论x取任何实数时，分式都有意义B．x = 0时，分式的值为0C．(2x+y)÷(y−x) =D．当x<0时，分式<0答案：B说明：不论x取任何实数，x2+1始终不会为0，所以分式有意义，选项A命题成立；选项B中命题显然错误；选项C、D中的命题不难看出都是正确的，所以答案为B．例6．分式与是同一个分式吗？分析：分式=它有意义的条件是(x+2)(x−3)≠0即x≠−2且x≠3，而分式有意义的条件是x−3≠0即x≠3，当x = −2时，分式有意义．答：由于两分式有意义的条件不同，所以与不是同一个分式．。

分式知识点及典型例题

分式知识点及典型例题一、分式的概念形如 A/B（A、B 是整式，B 中含有字母且 B 不等于 0）的式子叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

例如：1/x ，（x ＋ 1)／（x 2) 都是分式，而 2/3 ，5 就不是分式。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不等于零。

例如，对于分式 1/（x 1)，要使其有意义，分母x 1 ≠ 0，即x ≠ 1。

三、分式的值为零的条件分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零。

例如，若分式（x 2)／（x ＋ 3) 的值为 0，则 x 2 ＝ 0 且 x ＋3 ≠ 0，解得 x ＝ 2。

四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C ，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于0 的整式）例如：将分式 2x/（3y) 的分子分母同时乘以 2，得到 4x/（6y)，分式的值不变。

五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。

约分的关键是确定分式中分子和分母的公因式。

例如：对分式（6x²y)／（9xy²) 进行约分，分子分母的公因式为3xy，约分后得到 2x/3y。

六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

例如：将 1/2x 和 1/3y 通分，最简公分母为 6xy，通分后分别为3y/6xy 和 2x/6xy 。

七、分式的运算1、分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

例如：（2x/y)×（y/3x) ＝ 2/3 ；（4x/y)÷（2x/3y) ＝（4x/y)×（3y/2x) ＝ 6 。

分式方程的典型例题解析

分式方程的典型例题解析分式方程是一种含有分式的方程，它的解法可以通过化简分式，通分消去分母，然后根据整式方程的解法进行求解。

在解分式方程时，我们需要注意分式的约分和消去分母的方法，以及解方程过程中可能出现的特殊情况。

下面我们通过几个典型的例题来具体解析分式方程的解法。

例题一：求解方程$\frac{2}{x} + \frac{3}{x+2} = \frac{5}{x^2+2x}$。

解：首先将分式方程中的分式通分，得到$\frac{2(x+2)}{x(x+2)} +\frac{3x}{x(x+2)} = \frac{5}{x(x+2)}$。

然后将分式相加并合并同类项，得到$\frac{2x+4+3x}{x(x+2)} =\frac{5}{x(x+2)}$。

继续化简，得到$\frac{5x+4}{x(x+2)} = \frac{5}{x(x+2)}$。

由于等号两边的分式相等，所以分子相等，即$5x+4=5$。

解得$x=1$。

因此，原方程的解为$x=1$。

例题二：求解方程$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-3}$。

解：同样地，将方程通分，得到$\frac{x-2}{(x-1)(x-2)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3(x-2)}{(x-1)(x-2)}$。

合并同类项，得到$\frac{x-2+2(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3(x-2)}{(x-1)(x-2)}$。

进一步化简，得到$\frac{x-2+2x-2}{(x-1)(x-2)} = \frac{3x-6}{(x-1)(x-2)}$。

继续化简，得到$\frac{3x-4}{(x-1)(x-2)} = \frac{3x-6}{(x-1)(x-2)}$。

由于等号两边的分式相等，所以分子相等，即$3x-4=3x-6$。

然而，这个方程没有解，因为等号两边的式子相等，无法将方程化简成一个恒等式。

分式方程典型易错点及典型例题分析

分式方程典型易错点及典型例题分析一、错用分式的基本性质例1 化简错解：原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.正解：原式二、错在颠倒运算顺序例2 计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.正解：原式三、错在约分例1 当为何值时，分式有意义[错解]原式.由得.∴时，分式有意义.[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.[正解]由得且.∴当且，分式有意义.四、错在以偏概全例2 为何值时，分式有意义[错解]当，得.∴当，原分式有意义.[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.[正解] ，得，由，得.∴当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母例3 计算.[错解]原式=.[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.[正解]原式.六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时，分式的值为零.[错解]由，得.∴当或时，原分式的值为零.[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.[正解]由由，得.由，得且.∴当时，原分式的值为零.典例分析类型一：分式及其基本性质1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A. B.C.D.2．若分式的值等于零，则x ＝_______；3．求分式的最简公分母。

【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（）A．－1B．0C．1 D．±１（2）当x________时，分式没有意义．【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（）A．B．C．D．(一) 通分约分4．化简分式:【变式1】顺次相加法计算：【变式2】整体通分法计算：（二）裂项或拆项或分组运算5．巧用裂项法计算：【变式1】分组通分法计算：【变式2】巧用拆项法计算：类型三：条件分式求值的常用技巧6．参数法已知，求的值．【变式1】整体代入法已知，求的值.【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．已知：，求的值．【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．已知：，求的值．解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．（一）与异分母相关的分式方程7．解方程=【变式1】换元法解方程：32121---=-xxx （二）与同分母相关的分式方程 8．解方程3323-+=-x x x 【变式1】解方程87178=----xx x 【变式2】解方程125552=-+-xx x9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？【变式1】甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A 地同时出发到B ．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少【变式2】 A 、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度．【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca aaa±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c ac ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a m b n , (a m)n= a mn7.负指数幂: a-p=1a0=1pa8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2。

分式例题讲解与剖析

分式例题讲解与剖析一、一周知识概述（一）知识点讲解1 、分式的意义（1）如果一个代数式的分子、分母都是整式、且分母中含有字母，那么这样的代数式叫分式 ; 且对任意分式 , 分母不为零 . 若 A ， B 是整式，则.A 称分式的分子， B 称分式的分母，如：不是分式，而是分式，且 x ≠ 0.（2）分式是分数的继续与拓展，分数是分式的特例，所以分数的性质分式亦成立 . 因此可得出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（除以）同一个不为零的整式，分式的值不变 .（3）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分 .（4）分式的变号法则：先明确一个概念，在分式中，如：，我们把“＋”或“－”叫做分式本身的符号 . 例如：的前面是“正号”，的前面是“负号”.在一个分式中，对分子、分母、分式本身的符号中，若改变它们其中任何两个的符号，分式的值不变 .（5）分式可写成 A·B－1，它们只是形式上的不同，实质一样 .2 、分式的乘除（1）分式的乘除法则：两个分式相乘把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 .（2）约分是分式乘法中一个重要运算过程，可将分式的分子、分母同除以最大公因式 . 有的要进行多次约分，使分子、分母再无公因式为止 . 这种最后形式的分式叫最简分式 . 相当于分数的约分直到最简分数 . 约分的过程和类型 .①若分子、分母是单项式，可直接约去分子、分母中相同因式的最低次幂及系数的最大公约数 .②若分子、分母是多项式，应分解因式后再约分 .③运算的最后结果按字母的降幂排列，且尽量使最高次项的系数为正 .（二）重难点解析1 、重点（1）分式的意义及符号法则（2）分式的基本性质（3）最简分式2 、难点：分式的值为零的条件：分子等于零但分母不为零，所以由分子等于零求出的字母的值，必须代入字母进行检验，看是否为零，若使分母的值为零，则分式无意义，那么这个字母的值要舍去 .二、例题讲解与剖析例一、1 、代数式中，分式的个数有（）A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个2 、根据下列各题要求回答问题（1） x 为何值时，分式无意义 .（2） x 为何值时，分式有意义 .（3） x 为何值时，分式的值为零 .（4） x 为何值时，分式的值为零解析：1、解：分式为：不是，因为π是一个无理数，所以选 C.2、解：（1）要使分式无意义，则分母为零，即 (2x－1)(x＋3)=0.∴ 2x－1=0 或 x＋3=0 ∴ x=或 x=－3.即当 x=或 x=－3 时，分式无意义 .（2）根据题意，得∴ x≠1 且 x≠0.即当 x 取 1 和 0 以外的任何实数分式有意义 .（3）根据题意，得∴只有当 x=－3 时，分子 |－3|－3=0 分母 (－3－3)2 ≠ 0∴当 x=－3 时，分式的值为零 .（4）由（3）：把 x=3 或－3分别代入分母中均不为零，∴当 x=3 或－3 时，分式的值为零 .例二、1 、若分式的值为非负数，求 x 的取值范围 .2 、若将分式（a、b 均为正数）中的字母 a、b 的值分别扩大为原来的 2 倍，则分式的值（）A ．扩大为原来的 2 倍B ．缩小为原来的C ．不变D ．缩小为原来的3 、下列等式中成立的是（）A ．B ．C ．D ．解析：1 、解：依题意，得由（Ⅰ）得由（Ⅱ）得无公共解 .∴当时，分式的值为非负数 .2 、解：选 B ，依题意，分子只扩大 2 倍，分母扩大了 4 倍 .3 、解：选 D. 利用分式基本性质，分子、分母都扩大 100 倍，分式的值不变 .例三、下列分式中，最简分式有（）A ． 1 个 B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个解：当分子、分母无公因式的分式，才是最简分式，按顺序只有③⑤两个式是最简分式，选 B.例四、求下列各式的值1 、已知 x2－3x＋1=0 ，求.2 、 x2＋2x＋y2－8y＋17=0 ，求的值 .3 、若 abc=1 ，求的值 .解析：1 、分析：从条件可分析出 x≠0 ，若 x=0 ，则 1=0 矛盾，与所求式子比较，可知等式两边同除以 x. 解：∵ x2－3x＋1=0 ，两边同除以 x （x≠0）∴∴又.2 、解：∵ x2＋2x＋y2－8y＋17=0 ∴ (x2＋2x＋1)＋(y2－8y＋16)=0∴ (x＋1)2＋(y－4)2=0 ∴ x=－1,y=4,.3 、解：分析：充分利用 abc=1 的条件，以及从左到右逐步代换方法：例五、计算下列各式1 、2 、3 、一台电子收报机它的译电效率相当于人工译电效率的 75 倍，试计算人工译电 2000 个字所用时间是电子收报机译电 3000 个字所需时间的多少倍 .解析：1 、分析：乘除混合运算是同级运算，应从左到右有顺序地进行 . 再者，将除式的分子、分母颠倒后相乘，分子、分母是多项式时，能分解因式要先分解因式 .2 、分析：有括号的先算括号内的，再算括号外的 .3 、分析：可利用字母表示人工译电和电子收报机译电在单位时间内译出的字数，然后相除 .解：设人工译电每分钟译 x 个字，则电子收报机每分钟可译 75x 个字 .依题意，得：，解此分式，答：人工译 2000 个字所用时间是电子收报机译 3000 个字所用时间的 50 倍。

8年级下册分式典型例题及解析

分式部分典型例题分析1. 已知实数a 满足a 2＋4a －8＝0，求1a ＋1－a ＋3a 2－1·a 2－2a ＋1a 2＋6a ＋9的值．分析：先化简，原式=4a 2+4a+3，从已知条件可知a 2＋4a=8，∴原式=48+3=411注：不需要解出a 的值，要有整体的思想，把a 2＋4a 看做一个整体，整体带入即可。

类型题1：已知a 2－3a ＋1＝0，则分式a 2a 4＋1的值是( )。

此题需要把a 4＋1看做一个整体，所以根据已知条件凑出a 4＋1这个整体来，其过程是把已知条件变形为a 2＋1=－3a ，再两边同时平方得，a 4＋2a 2+1=9a 2，即a 4＋1=7a 2，这样即可得到答案（1/7）。

类型题2：已知x −1x =3，求4−x 22+3x 2的值待求表达式中出现了x 的平方，而已知条件中没有x 的平方，∴把已知条件的左右两边同时乘以x(∵x ≠0)，整理得x 2-3x=1，4−x 22+3x 2=4−12(x 2−3x).同样把（x 2-3x ）看做整体。

2. 已知2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，且z≠0，求x 2＋y 2＋z22x 2＋y 2－z2的值分析：两个方程是无法解出三个未知数的，∴只能考虑消元带入。

观察已知两个方程的特点，可以考虑把它们相加，因为它们相加后的系数都为5.这样相加后得到x=y+z ①，再把①带入已知条件的任意一个方程可得到y=3z ②，把②带入①得到x=4z ③，最后再把②③带入待求的表达式即可算出结果（13/20）。

注：这里我们把x 和y 都用z 来表示，这样待求的表达式中就只含有未知数z 了，但是分子分母的每一个项都是含有z 2，所以可以约分。

类型题1：已知1a ＋1b ＝4，则4a ＋3ab ＋4b－3a ＋2ab －3b ＝________。

同样一个方程也无法解出两个未知数a,b 来，只能考虑带入。

观察待求表达式可变形为3ab+4(a+b)2ab−3(a+b)①，所以如果能把a+b 用ab 的乘积来表示，则问题就解决了。

初中数学分式方程应用例题分析含答案

分式方程应用例题分析一．解答题（共30小题）1．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，改造总费用不超过220万元，至少安排甲队工作多少天？2．某地下管道，若由甲队单独铺设，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独铺设，需要超过规定时间15天才能完成，如果先由甲、乙两队合做10天，再由乙队单独铺设正好按时完成．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民交通的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成，那么该工程施工费用是多少？3．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．4．某地在进入防汛期间，准备对4800米长的河堤进行加固，在加固工程中，该地驻军出色地完成了任务，它们在加固600米后，采用了新的加固模式，每天加固的长度是原来的2倍，结果只用9天就完成了加固任务．（1）求该地驻军原来每天加固大坝的米数；（2）由于汛情严重，该驻军部队又接到了加固一段长4200米大坝的任务，他们以上述新的加固模式进行了2天后，接到命令，必须在4天内完成剩余任务，求该驻军每天至少还要再多加固多少米？5．武汉某道路改造工程，若由甲、乙两工程队合作20天可完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，并且要求整个工期不能超过30天，问如何安排甲、乙工程队做这项工程使得花费最少？6．已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用27720元．乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙队多250元．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．7．雅安地震，某地驻军对道路进行清理．该地驻军在清理道路的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥部的一段对话：记者：你们是用9天完成4800米长的道路清理任务的？指挥部：我们清理600米后，采用新的清理方式，这样每天清理长度是原来的2倍．通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天清理道路的米数．8．某校为美化校园，计划对某一区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？9．某市政工程队承担着1200米长的道路维修任务．为了减少对交通的影响，在维修了240米后通过增加人数和设备提高了工程进度，工作效率是原来的4倍，结果共用了6小时就完成了任务．求原来每小时维修多少米？10．A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知乙工程队的工作效率是甲队的1.5倍，甲队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每周各铺设多少千米管道？11．仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价）12．老张用400元购买了若干只种兔，老李用440元也购买了相同只数的种兔，但单价比老张购买的种兔的单价贵5元．（1）老张与老李购买的种兔共有多少只？（2）一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了2只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，两人将兔子全部售出，则售价至少为多少元时，两人所获得的总利润不低于960元？13．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该商场第一次购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率＝×100%．14．“军运会”期间，某纪念品店老板用5000元购进一批纪念品，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用6000元购进同样数目的这种纪念品，但第二次每个进价比第一次每个进价多了2元．（1）求该纪念品第一次每个进价是多少元？（2）老板以每个15元的价格销售该纪念品，当第二次纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于900元，剩余的纪念品每个售价至少要多少元？15．某水果店2400元购进一批葡萄，很快售完；又用5000元购进第二批葡萄，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）求第一批葡萄每件进价多少元？（2）若以每件150元的价格销售第二批葡萄，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批葡萄的销售利润不少于640元，剩余的葡萄每件售价至少打几折（利润＝售价﹣进价）？16．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，同时也给自行车商家带来商机．某自行车行销售A型，B型两种自行车，经统计，2019年此车行销售这两种自行车情况如下：A自行车销售总额为8万元．每辆B型自行车的售价比每辆A型自行车的售价少200元，B型自行车销售数量是A自行车的1.25倍，B自行车销售总额比A型自行车销售总额多12.5%．（1）求每辆B型自行车的售价多少元．（2）若每辆A型自行车进价1400元，每辆B型自行车进价1300元，求此自行车行2019年销售A，B型自行车的总利润．17．春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？18．某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间又用2800元购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．（1）求该商店第一次购进水果多少千克？（2）该商店两次购进的水果按照相同的标价销售一段时间后，将最后剩下的100千克按照标价的半价出售．售完全部水果后，利润不低于1700元，则最初每千克水果的标价至少是多少？19．某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的羽绒服，B品牌羽绒服每件进价比A品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进A种羽绒服的数量是用7000元购进B种羽绒服数量的2倍．（1）求A、B两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？（2）若A品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进A、B两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利润不低于30000元，则最少购进B品牌羽绒服多少件？20．某商场第一次用22000元购进某款智能清洁机器人进行销售，很快销售一空，商家又用48000元第二次购进同款智能清洁机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进智能清洁机器人多少台？（2）若所有智能清洁机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每台智能清洁机器人的标价至少是多少元？21．张康和李健两名运动爱好者周末相约到丹江环库绿道进行跑步锻炼．（1）周日早上6点，张康和李健同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为6千米和1.6千米的绿道环库路入口汇合，结果同时到达，且张康每分钟比李健每分钟多行220米，求张康和李健的速度分别是多少米/分？（2）两人到达绿道后约定先跑6千米再休息，李健的跑步速度是张康跑步速度的a倍，两人在同起点，同时出发，结果李健先到目的地b分钟．①当a＝1.2，b＝6时，求李健跑了多少分钟？②求张康的跑步速度多少米/分？（直接用含a，b的式子表示）22．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达．若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息．小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n分钟．①当m＝3，n＝6时，求小强跑了多少分钟？②小明的跑步速度为米/分（直接用含m，n的式子表示）．23．为了全面推进青少年素质教育，我市某中学组织八年级学生前往距学校10km的“示范性综合实践基地”开展社会实践活动．一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．24．近年来骑自行车运动成为时尚，甲、乙两人相约由A地出发骑自行车去B景区游玩（匀速骑行），已知甲骑行180千米与乙骑行200千米所用的时间相同，且乙每小时比甲每小时多骑行5千米．（1）求甲、乙两人的速度各是多少；（2）如果A地到B景区的路程为180千米，甲、乙两人到达B景区游玩一段时间后，甲按原速返回A地，同时乙按原速骑行1.5小时后，因体力消耗，每小时骑行速度减少m 千米，如果甲回到A地时，乙距离A地不超过25千米，求乙的速度每小时最多减少多少千米．25．某周日，珂铭和小雪从新天地小区门口同时出发，沿同一条路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应节能环保，绿色出行的号召，两人步行，已知珂铭的速度是小雪的速度的1.2倍，结果珂铭比小雪早6分钟到达．（1）求小雪的速度；（2）活动结束后返回，珂铭与小雪的速度均与原来相同，若小雪计划比珂铭至少提前6分钟回到小区，则小雪至少要比珂铭提前多长时间出发？26．甲、乙两地相距120千米，一辆大巴车从甲地出发，行驶1小时后，一辆小汽车从甲地出发，小汽车和大巴车同时到达到乙地，已知小汽车的速度是大巴车的2倍，求大巴车和小汽车的速度．27．用分式方程解决问题：元旦假期有两个小组去攀登一座高h米的山，第二组的攀登速度是第一组的a倍．（1）若h＝450，a＝1.2，两小组同时开始攀登，结果第二组比第一组早15min到达顶峰求两个小组的攀登速度．（2）若第二组比第一组晚出发30min，结果两组同时到达顶峰，求第二组的攀登速度比第一组快多少？（用含a，h的代数式表示）28．八年级为筹备红色研学旅行活动，王老师开车前往距学校180km的研学训练营地考察，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前了40min到达研学训练营地．求王老师前一小时行驶速度．29．某次列车现阶段的平均速度是200千米/小时，未来还将提速，在相同的时间内，列车现阶段行驶a千米，提速后列车比现阶段多行驶150千米．（1）求列车平均提速多少千米/小时？（2）若提速后列车的平均速度是300千米/小时，则题中的a为多少千米？30．某车间接到一批限期（可以提前）完成的零件加工任务．如果每天加工150个，则恰好按期完成；如果每天加工200个，则可比原计划提前5天完成．（1）求这批零件的个数；（2）车间按每天加工200个零件的速度加工了m个零件后，提高了加工速度，每天加工250个零件，结果比原计划提前6天完成了生产任务，求m的值．分式方程应用例题分析参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.5x＝60．答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据题意得：7m+5×≤220，解得：m≥10．答：至少安排甲队工作10天．2．【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：（+）×10+＝1．解得：x＝30．经检验x＝30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝18（天），则该工程施工费用是：18×（5000+3000）＝144000（元），答：该工程的费用为144000元．3．【解答】解：设规定日期为x天．由题意得+＝1，3（x+6）+x2＝x（x+6），3x＝18，解之得：x＝6．经检验：x＝6是原方程的根．方案（1）：1.2×6＝7.2（万元）；方案（2）比规定日期多用6天，显然不符合要求；方案（3）：1.2×3+0.5×6＝6.6（万元）．∵7.2＞6.6，∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．4．【解答】解：（1）设原来每天加固x米，解得：x＝300，经检验x＝300是原方程的解，答：原来每天加固300米；（2）设每天还要再多加固a米，4（600+a）+2×600≥4200，解得：a≥150，答：至少比之前多加固150米．5．【解答】解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得：+＝1，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，∴＝30．答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队施工（30﹣0.5m）天，∵整个工期不能超过30天，∴m≤30．设甲、乙工程队完成这项工程需付施工费w万元，根据题意得：w＝m+2.5×（30﹣0.5m）＝﹣0.25m+75，∴w随m的增大而减小，∴当m＝30时，w取最小值，最小值＝﹣0.25×30+75＝67.5，此时30﹣0.5m＝30﹣0.5×30＝15．答：安排甲、乙工程队同时施工，甲工程队施工30天、乙工程队施工15天，施工费最低，最低施工费为67.5万元．6．【解答】解：（1）设甲需要x天，则乙需要1.5x天，根据题意可得：，解得：x＝20，经检验x＝20是原分式方程的解，则1.5x＝30，答：甲单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项工程各需30天；（2）设甲每天的费用是y元；乙每天的费用是（y﹣250）元根据题意可得：12y+12（y﹣250）＝27720解得：y＝1280元．1280﹣250＝1030元甲单独完成共需要费用：1280×20＝25600元乙单独完成共需要费用：1030×30＝30900元．因此甲单独完成需要的费用低．选甲工程队单独完成．7．【解答】解：设原来每天清理道路x米，，解得，x＝300检验：当x＝300时，2x≠0，∴x＝300是原方程的解，答：该地驻军原来每天清理道路300米．8．【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得﹣＝4解得：x＝50经检验：x＝50是原方程的解所以甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2）答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2．9．【解答】解：设原来每小时维修x米．根据题意得+＝6，解得x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．答：原来每小时维修80米．10．【解答】解：设甲工程队每周铺设管道x千米，则乙工程队每周铺设管道1.5x千米，根据题意得：﹣＝3，解得：x＝2，经检验x＝2是原方程的解，则乙工程队每周铺设管道1.5×2＝3千米管道，答：甲工程队每周铺设管道2千米，则乙工程队每周铺设管道3千米．11．【解答】解：（1）设第一批仙桃每件进价x元，则，解得x＝180．经检验，x＝180是原方程的根．答：第一批仙桃每件进价为180元；（2）设剩余的仙桃每件售价打y折．可得×0.1y﹣3700≥440，解得y≥6．答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．12．【解答】解：（1）设老张买的种兔共有x只，∴＝﹣5，解得：x＝8，经检验，x＝8是原分式方程的解，∴8+8＝16，答：老张与老李购买的种兔共有16只．（2）设售价为a元，由题意可知：（8+2）a+（8×2﹣1）a﹣400﹣400≥960，解得：a≥72，答：售价至少为72元时，两人所获得的总利润不低于960元13．【解答】解：（1）设该商场第一次购进这种运动服x套，第二次购进2x套，由题意得，﹣＝10，解得：x＝200，经检验：x＝200是原分式方程的解，且符合题意，答：该商场第一次购进200套；（2）设每套售价是y元，两批运动服总数：200+400＝600由题意得：600y﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%，解得：y≥200，答：每套售价至少是200元．14．【解答】解：（1）设该纪念品第一次每个进价是x元，∴第二次每个进价是（x+2）元，∴根据题意可知：＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是方程的解，答：该纪念品第一次进价为10元．（2）设剩余的纪念品每个售价要y元，×500×（y﹣12）+×500×（15﹣12）≥900，解得：y≥12，答：剩余的纪念品每个售价至少12元．15．【解答】解：（1）设第一批葡萄每件进价x元，根据题意，得：×2＝，解得x＝120．经检验，x＝120是原方程的解且符合题意．答：第一批葡萄每件进价为120元．（2）设剩余的葡萄每件售价打y折．根据题意，得：×150×80%+×150×（1﹣80%）×0.1y﹣5000≥640，解得：y≥7．答：剩余的葡萄每件售价最少打7折．16．【解答】解：（1）设每辆B型自行车的售价为x元，则每辆A型自行车的售价为（x+200）元．依题意，得方程两边乘x（x+200），得80000×1.25x＝80000×（1+12.5%）（x+200）解得x＝1800经检验，x＝1800是原分式方程的解，且符合实际意义．答：每辆B型自行车的售价为1800元．（2）每辆A型自行车的售价为1800+200＝2000元，销售数量为80000÷2000＝40辆；B型自行车的总销售额为80000×（1+12.5%）＝90000元，销售数量为40×1.25＝50辆．总利润为（80000+90000）﹣（1400×40+1300×50）＝49000元．答：此自行车行2019年销售A，B型自行车的总利润为.49000元17．【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据题意，得解得：x＝200（2）设每箱饮料的标价为y元，根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）解得：y≥296答：至少标价296元．18．【解答】解：（1）设第一次购进水果x千克，依题意可列方程：．解得x＝200．经检验：x＝200是原方程的解．答：第一次购进水果200千克；（2）由（1）可知，二次共购进水果600千克，设最初水果标价为y元，依题意可列不等式：500y+100×﹣3800≥1700．解得y≥10．答：最初每千克水果标价至少为10元．19．【解答】解：（1）设A种羽绒服每件的进价为x元，根据题意的解得x＝500经检验x＝500是原方程的解x+200＝700（元）答：A种羽绒服每件的进价为500元，B种羽绒服每件的进价为700元．（2）设购进B品牌的羽绒服m件，根据题意的（800﹣500）（80﹣m）+（1200﹣700）m≥30000解得m≥30∵m为整数∴m的最小值为30．答：最少购进B品牌的羽绒服30件．20．【解答】解：（1）设该商家第一次购进智能清洁机器人x台，则第二次购进智能清洁机器人2x台，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．答：该商家第一次购进智能清洁机器人200台．（2）设每台智能清洁机器人的标价为y元，依题意，得：（200+200×2）y﹣（22000+48000）≥（22000+48000）×20%，解得：y≥140．答：每台智能清洁机器人的标价至少为140元．21．【解答】解：（1）设李健的速度为x米/分，则张康的速度为（x+220）米/分，根据题意，得：，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意，∴x+220＝300．答：李健的速度为80米/分，张康的速度为300米/分．（2）①∵a＝1.2，b＝6，∴6÷（1.2﹣1）＝30（分钟）．答：李健跑了30分钟；②李健跑了的时间为分钟，张康跑了的时间为分钟，张康的跑步速度为米/分．22．【解答】解：（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据题意得：．解得：x＝80．经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意．∴x+220＝300．答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．（2）①设小明的速度为y米/分，∵m＝3，n＝6，∴，解之得．∴小强跑的时间为：（分）②小强跑的时间：分钟，小明跑的时间：分钟，小明的跑步速度为：分．故答案为：．23．【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，依题意，得：﹣＝，解得：x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意．答：骑车学生的速度是15km/h．24．【解答】解：（1）设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+5）千米/时，依题意，得：＝，解得：x＝45，经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意，∴x+5＝50．答：甲的速度为45千米/时，乙的速度为50千米/时．（2）依题意，得：180﹣50×1.5﹣（180÷45﹣1.5）（50﹣m）≤25，解得：m≤18．答：乙的速度每小时最多减少18千米．25．【解答】解：设小雪的速度是x米/分钟，则珂铭速度是 1.2x米/分钟，依题意得：，解得：x＝50，经检验x＝50是原方程的解，答：小雪的速度是50米/分钟．（2）1.2×50＝60（米/分钟），1800÷50＝36（分钟），1800÷60＝30（分钟），设小雪比珂铭提前a分钟出发，根据题意得，a+30﹣36≥6，解得a≥12，答：小雪至少要比珂铭提前出发12分钟．26．【解答】解：设大巴车速度为x千米/小时，则小汽车的速度为2x千米/小时．依题意，得﹣1＝，解得：x＝60，经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，∴2x＝120．答：大巴车速度为60千米/小时，小轿车的速度为120千米/小时．27．【解答】解：（1）设第一组的速度为xm/min，则第二组的速度为1.2xm/min，由题意得，﹣＝15，解得：x＝5，经检验：x＝5是原分式方程的解，且符合题意，则1.2x＝6．答：第一组的攀登速度5m/min，第二组的攀登速度6m/min；（2）设第一组的平均速度为ym/min，则第二组的平均速度为aym/min，由题意得，﹣＝30，解得：y＝，经检验：y＝是原分式方程的解，且符合题意，则ay﹣y＝﹣＝，答：第二组的平均攀登速度比第一组快m/min．28．【解答】解：设王老师前一小时行驶速度为xkm/h，则一小时后的行驶速度为1.5xkm/h，依题意，得：﹣（1+）＝，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．答：王老师前一小时行驶速度为60km/h．29．【解答】解：（1）设列车平均提速x千米/小时，依题意，得：＝，解得：x＝，经检验，x＝是原方程的解，且符合题意．答：列车平均提速千米/小时．（2）依题意，得：200+＝300，解得：a＝300，经检验，a＝300是原方程的解，且符合题意．答：题中的a为300千米．30．【解答】解：（1）设这批零件有x个，则由题意得：﹣＝5，解得：x＝3000，答：设这批零件有3000个．（2）由题意得：，解得：m＝2000答：m的值是2000．。

分式知识点及典型例题

分式【知识网络】【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2-b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2一、考点、热点知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。

知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：C B C ••=A B A ，CB C÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

分式基础知识详解+基础典型例题解析

【基本典型例题】(1)
类型一、分式的概念
1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
2 ， x ， m 1 ，3 x2 ， 5 ， a2 ， 2 ．
a3 m
a 3
【思路点拨】 x ， 5 ， 2 虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中 5 的分母中表示
3 3

一个常数，因此这三个式子都不是分式．
当 x 2 时， x2 4 (2)2 4 0 ，
x2
∴ 在分式有意义的前提下，分式
的值永不为 0．
x2 4
类型三、分式的基本性质
3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．
0.2x y
（1）
；
0.02x 0.5 y
1x1 y （2） 3 4 ．
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做
A
分式的基本性质，用式子表示是：

AM
，A

AM
（其中
M 是不等于零的整式）.
B BM B BM
要点诠释：（1）基本性质中的 A、B、M 表示的是整式.其中 B≠0 是已知条件中隐含着
的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0 是在解题过程中另外附加
要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改
变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.

分式知识点及典型例题

分式知识点及典型例题正文：分式，又称有理数，是数学中的一个重要概念，它由分子和分母组成，表示两个数的比值关系。

在分式的运算中，我们需要了解一些基本知识点，并且通过典型的例题来加深理解。

一、分式的定义和基本性质分式可以用“a/b”的形式表示，其中a为分子，b为分母。

分子和分母都可以是整数、小数或者其他分式。

分式也可以是正数、负数或者零。

分式的基本性质有：1. 当分子为0时，分式的值为0，即0/b=0。

2. 当分母为1时，分式的值等于分子本身，即a/1=a。

3. 当分子和分母互为相反数时，分式的值为-1，即（-a）/a=-1。

二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算遵循相同分母则分子相加减的原则。

具体步骤如下：（1）将两个分式的分母化为相同的分母；（2）将两个分式的分子按照相同分母相加减；（3）将结果化简为最简形式。

例如：计算1/3 + 1/4 - 1/6。

解：首先将三个分式的分母化为12，得到4/12 + 3/12 - 2/12，再将分子相加减，得到5/12。

2. 分式的乘除运算分式的乘除运算遵循分子相乘除，分母相乘除的原则。

具体步骤如下：（1）将两个分式的分子相乘或相除；（2）将两个分式的分母相乘或相除；（3）将结果化简为最简形式。

例如：计算2/3 × 5/8 ÷ 4/5。

解：根据乘除法的原则，分子相乘得到10，分母相乘得到24，再将结果化简为最简形式，得到5/12。

三、分式的简化分式的简化是将分子和分母的公因式约去，使其达到最简形式。

具体步骤如下：（1）求分子和分母的最大公因数；（2）将分子和分母分别除以最大公因数。

例如：将12/18简化为最简分式。

解：求12和18的最大公因数为6，将分子和分母都除以6，得到最简分式2/3。

四、分式的应用举例1. 问题：小明爸爸买了一块布长3米，要均分给他和他妹妹，他分到几分之几的布？解：设小明分到的布的长度为x米，他妹妹分到的布的长度为y米，则由题意可得分式x/y=3/2。

《分式》典型例题分析

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