展开图图示

第八章 立体表面展开
立体表面可看作由若干小块平面组成，把表面 立体表面可看作由若干小块平面组成， 沿适当位置裁开，按每小块平面的实际形状和大小， 沿适当位置裁开，按每小块平面的实际形状和大小， 无褶皱地摊开在同一平面上， 无褶皱地摊开在同一平面上，称为立体表面展开， 展开后所得的图形称为展开图 。
第一篇 画法几何
第一篇 画法几何 第八章 立体表面展开
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§8－2 可展曲面的展开
例8－7 已知截头圆锥的
投影图，试作其展开图。 投影图，试作其展开图。
为了便于作图，本 例使展开图中扇形的圆 心与锥顶正面投影s′重 合。当然，也可将扇形 的圆心布置在图中其他 适当位置。
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第八章 立体表面展开
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例8－1 已知料斗下部出料管的投影图，试作其展 已知料斗下部出料管的投影图，
开图。 开图。
然后，过 出料管边线AB 作棱柱的正截 面，在展开图 中作水平线 RBAKR，将其 上各点正面投 影中的长度量 取到相应的竖 直线上，连点， 即得展开图。
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§8－1 多面体表面展开
例8－7 已知截头圆锥的投影
图，试作其展开图。 试作其展开图。
圆锥面上各素线长度相等，在正 面投影中外形素线反映实长。锥底圆 的水平投影反映实形。 若圆锥没有 被截断，则它的展开图为一扇形，扇 形的半径L等于素线实长，扇形的弧长 等于直径为D的底圆的周长。 对于截 头圆锥，可通过截交线上点的正面投 影作水平线，与外形素线交于各点， 从而得到被截断的各素线实长。
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§8－2 可展曲面的展开
变形接头
在圆形和矩形之间由平面和锥面组合而成的表 面为变形接头或方圆接头的表面， 面为变形接头或方圆接头的表面，在钣金工中俗 称天圆地方。变形接头在工程中应用较广， 称天圆地方。变形接头在工程中应用较广，如料 管道中的渐变段等。 斗、管道中的渐变段等。
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因为已知棱锥的底 面为水平面，所以水平 投影反映各条底边的实 长。各棱边实长可以利 用直角三角形法作得。 依次拼画各棱面的实形 在一起，即得截头三棱 锥的展开图。
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例8－2
§8－1 多面体表面展开
例8－3 已知料斗进口的投影图，试作其展开图 。 已知料斗进口的投影图，
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§8－2 可展曲面的展开
已知圆柱面叉管的投影图， 已知圆柱面叉管的投影图，主管直径 支管直径为d 试作其展开图。 为D1，支管直径为d1，试作其展开图。
首先，作叉管的相贯线，通过作 支管圆柱面端部的辅助半圆，得 出相贯线上的点。然后，作支管 展开图。为了便于作图，将支管 正截面（圆）展开成长度为πd1 的直线，使此直线位于支管端部 底圆正面投影的延长线上，这样， 就可按例8－4截头圆柱面展开的 方法作出支管柱面展开图。
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§8－2 可展曲面的展开
已知直径为d的截头圆柱的投影图， 已知直径为d的截头圆柱的投影图，试 作圆柱面的展开图。 作圆柱面的展开图。
例8－4
柱底为水平面，且为柱的正截面。将柱底圆展开 成一条水平线(长度为πd)，将其与正面投影对齐。 将柱底圆及其展开线作相同的等分，过各等分点作 柱面素线的正面投影。用光滑曲线连接各点，得到 截交线的展开曲线。即得截头圆柱面的展开图。
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例8－6
§8－2 可展曲面的展开
已知圆柱面叉管的投影图， 已知圆柱面叉管的投影图，主管直径 支管直径为d 试作其展开图。 为D1，支管直径为d1，试作其展开图。
最后，作主管 展开图。为了 便于作图，将 主管正截面 （底圆）展开 成长度为πD1的 直线，使其位 于主管底圆正 面投影的延长 线上。
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§8－1 多面体表面展开
棱柱
棱柱的各棱线互相平行， 棱柱的各棱线互相平行 ， 若用一个垂直 于棱线的正截面截棱柱， 于棱线的正截面截棱柱，则沿截交线展开 后，截交线成为一直线，且展开后的各棱 截交线成为一直线， 线垂直于该直线。棱柱表面展开， 线垂直于该直线。棱柱表面展开，一般利 用这种正截面方法进行。 用这种正截面方法进行。
§8－2 可展曲面的展开
例8－8 已知斜圆台的投
影图，试作其表面展开图。 影图，试作其表面展开图。
延长斜圆台的外形线得锥顶，可 利用锥顶S作其展开图。锥底圆的水 平投影反映实形，将其12等分，并作 出锥面上的12条素线，利用直角三角 形法作出各素线的实长。这样，斜圆 锥面被分成12部分，每一部分作为一 个三角形平面，依次作出斜圆锥面上 各个三角形的实形，拼画在一起，便 得到斜圆锥面的展开图。
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§8－1 多面体表面展开
多面体的表面由若干多边形平 面组成。如图所示的料斗， 面组成。如图所示的料斗，上部有 棱锥体表面，下部为棱柱体表面。 棱锥体表面，下部为棱柱体表面。 棱锥和棱柱的表面由矩形和梯形组 成。因此，要作出多面体表面的展 因此， 开图， 开图，只要作出属于多面体表面的 所有多边形的实形， 所有多边形的实形，并依次把它们 画在同一平面上。 画在同一平面上。
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§8－2 可展曲面的展开
已知由四节圆柱面管节组成的直角弯 管的投影图，管径为d 试作其展开图。 管的投影图，管径为d，试作其展开图。
柱底弯管两端的管节Ⅰ和Ⅳ相同， 中间的管节Ⅱ和Ⅲ相同，而且端部管节 恰为中间管节的一半。如果把管节Ⅱ和 Ⅳ分别绕它们各自的轴线旋转180°，则 可与管节Ⅰ和Ⅲ组成一个直圆柱面管， 这样，对于每一个管节都可以按例8－4 截头圆柱面展开的方法作出展开图。
因为四棱台表面有两个互相垂直的对称面，因此，以对称 线为基准进行展开，有利于作图。首先，作前、后两个长边棱 面的实形。然后，作左、右两个短边棱面的实形，拼画在一起， 从而可得四棱台四个棱面的展开图 。
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§8－2 可展曲面的展开
柱面
柱面可以看作为棱线无限增多的棱柱面， 柱面可以看作为棱线无限增多的棱柱面 ， 因而其展开方法与棱柱面类似。 因而其展开方法与棱柱面类似。这里主要 讨论圆柱面的展开。 讨论圆柱面的展开。
棱锥
棱椎的侧表面都是三角形， 棱椎的侧表面都是三角形 ， 只要求出各 棱线和底边的实长，依次画出各棱面（ 棱线和底边的实长，依次画出各棱面（三 角形）的实形，即为展开图。 角形）的实形，即为展开图。
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§8－1 多面体表面展开
已知截头三棱锥SABC的投影图 已知截头三棱锥SABC的投影图，截交 的投影图， 线为DEF，试作展开图。 线为DEF，试作展开图。
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复习思考题
1．什么是立体表面的展开图？ 2．柱面和锥面的展开方法各有什么特点？ 3．求斜圆锥面上素线的实长时，为什么例8-8和例8-10采用了 ．求斜圆锥面上素线的实长时，为什么例8 和例8 10采用了 不同的画法？ 4．立体表面的裁开处对展开图的形状、用料和拼装等有什么 影响？例8 中若沿G 影响？例8-7中若沿GⅦ线裁开，展开图是什么形状？ 5．两相贯体表面展开时如何使两立体表面拼接时在相贯线处 吻合得最好？
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§8－2 可展曲面的展开
例8－8 已知斜圆台
的投影图， 的投影图，试作其表面 展开图。 展开图。
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§8－2 可展曲面的展开
例8－9 已知岔管的
水平投影图， 水平投影图 ， 主管为 圆柱面， 圆柱面 ， 对称的分岔 管为圆锥面。 管为圆锥面 。 试作其 展开图。 展开图。
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§8－2 可展曲面的展开
例 8－ 9
作圆柱面展开图。在底圆上作辅助半圆。并把它n=6等分，从 而可作出柱面上的素线，它们与岔管的交线交于点a、b、c、e、g、 j、k。于是可参照例8－4截头圆柱面展开图的画法作出其展开图。
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例8－6
§8－2 可展曲面的展开
锥面
锥面可以看作为棱线无限增多的棱锥面， 锥面可以看作为棱线无限增多的棱锥面 ， 因而其展开方法与棱锥面类似， 因而其展开方法与棱锥面类似，采用三角 形法。 形法。
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§8－2 可展曲面的展开
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例 8－ 5
§8－2 可展曲面的展开
已知由四节圆柱面管节组成的直角弯 管的投影图，管径为d 试作其展开图。 管的投影图，管径为d，试作其展开图。
各管节的 展开图拼 合成一个 矩形，这 样可以充 分利用板 料。
例 8－ 5
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例8－1 已知料斗下部出料管的投影图，试作其展 已知料斗下部出料管的投影图，
开图。 开图。
从展开作图可以看出， 这样展开所得到的上、下两 部分棱柱表面的展开图可以 拼画在一起，从而可节省板 料，而且上、下两部分连接 处的展开折线在安装时能准 确地拼合。
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§8－1 多面体表面展开第一篇 Biblioteka 法几何第八章 立体表面展开
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§8－1 多面体表面展开
例8－1 已知料斗下部出料管的投影图，试作其展 已知料斗下部出料管的投影图，