基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解
对勾函数专题讲解
对勾函数专题讲解专题：对勾函数及其应用1.对勾函数定义对勾函数是指形如 y = ax + (a>0.b>0) 的一类函数，因其图像形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的性质1) 定义域：(-∞。
0) ∪ (0.+∞)。
2) 值域：(-∞。
-2ab] ∪ [2ab。
+∞)。
3) 奇偶性：在定义域内为奇函数。
4) 单调性：(-∞。
-a/b)，(a/b。
+∞) 上是增函数；(-a/b。
0)，(0.a/b) 上是减函数。
3.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的单调区间的分界点：±a/b。
求分界点方法：令 ax = 0，即可得到 x = ±a/b。
特殊的，当 a>0 时，y = x + 的单调区间的分界点为 ±a。
4.对勾函数应用时主要是利用其单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解。
5.利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若 a>0，b>0，则 x>0 时，ax + b ≥ 2ab。
当且仅当 ax = b，x = a/b 时取等号。
例1：已知 f(x) = x + (x>0)，求 f(x) 在下列区间的最小值：(1) [1,2]。
(2) [3,4]。
(3) [-3,-1]。
变式训练：已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 1，求其值域。
例2：求函数 f(x) = (x+2)/((1+x^2)(x^2+5)) 的最小值，并求此时 x 的值。
变式训练：求函数 f(x) = (x-1)/(x-1) 的值域。
强化训练：1.下列函数中最小值是 4 的是 ()。
A。
y = x^4 + x^2B。
y = x^4 + xC。
y = x^4 - xD。
y = x^2 + 42.函数 y = x/(x^2+1)。
x∈(1,3] 的值域为 ()。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数全面解析
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，X。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它与了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点与渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
a>0 b>0对勾函数的图像（ab(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。
对勾函数.doc
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，yXOy=ax。
数学对勾函数(详细分析“函数”共8张)
性质一
➢ 函数y=ax+b/x的性质 ➢ Ⅰ当a、b均大于零时，性质 ： ➢ ⑴定义域：x≠0 ➢ ⑵值 域：〔-∞，-2 根号ab〕∪〔2根号ab ，
+∞〕 ⑶奇偶性：奇函数 ➢ ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，
y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函 数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y 为减函数 当x﹤根号b/a- 时，y为增函 数
第7页，共8页。
图像三
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数学对勾函数
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简介对Biblioteka 函数：图像，性质，单调性对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示。 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，
又被称为“双勾函数〞、"勾函数"等。也被形象称 为“耐克函数〞
所谓的对勾函数〔双曲线函数〕，是形如 f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值〔这里为了研究方 便，规定a>0，b>0〕，也就是当x=sqrt(b/a)的时候 〔sqrt表示求二次方根〕
第6页，共8页。
图象二
Ⅰ当a、b均大于零时，性质 ： 当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近线的锐角之间局部，由于其对称性，只讨论第一象限中的情形。 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y为减函数 当 x﹤根号b/a- 时，y为增函数 对号函数是双曲线旋转得到的，所以也有渐近线、焦点、顶点等等 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示。 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y为减函数 当 x﹤根号b/a- 时，y为增函数 Ⅰ当a、b均大于零时，性质 ： ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y为减函数 当 x﹤根号b/a- 时，y为增函数 当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近线的锐角之间局部，由于其对称性，只讨论第一象限中的情形。 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y为减函数 当 x﹤根号b/a- 时，y为增函数 对号函数永远是奇函数，关于原点呈中心对称 ⑵值 域：〔-∞，-2 根号ab〕∪〔2根号ab ，+∞〕 ⑶奇偶性：奇函数 当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值〔这里为了研究方便，规定a>0，b>0〕，也就是当x=sqrt(b/a)的时候〔sqrt表示求二次方根〕 ⑹对称性：图像关于原点对称 利用平均值不等式〔a>0，b>0且ab的值为定值时，a+b≥2√ab〕可知最小值是2倍根号ab，在x=根号下b/a的时候取得，所以在〔0，负根号下b/a〕 上单调递减，在〔根号下b/a，正无穷〕上单调递增
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：1、求函数324222++++=x x x x y 的最小值。
解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x ttt t t y 112+=+= yXOy=ax根据对号函数tt y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值223。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数绝对经典
对勾函数绝对经典
对勾函数是一种常见而特殊的函数。
虽然在高中教材上不出现，但是考试经常涉及，因此需要了解它。
一、对勾函数的图像
对勾函数形如f(x)=ax+b/x，是一种类似于反比例函数的一般函数。
当a≠0，b≠0时，它是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x的“叠加”而成。
当a，b同号时，对勾函数的图像由直线y=ax和双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾，因此称为“对勾函数”、“勾勾函数”或“海鸥函数”。
当a，b异号时，图像会发生质的变化，但仍可以看作是两个函数的“叠加”。
二、对勾函数的顶点
对勾函数的顶点坐标可以通过均值不等式求得，当x>0时，顶点坐标为(-b/a,a)，当x<0时，顶点坐标为(b/a,-a)。
三、对勾函数的定义域、值域
由顶点坐标可以确定对勾函数的定义域和值域。
当a>0，b>0时，定义域为(-∞,-b/a)∪(0,∞)，值域为(-∞,0)∪(b/a,∞)。
四、对勾函数的单调性
对勾函数在定义域内是单调递减的。
五、对勾函数的渐进线
对勾函数的渐进线为y=ax，即当x趋近于无穷大时，函数值趋近于y=ax。
六、对勾函数的奇偶性
对勾函数在定义域内是奇函数。
对勾函数的性质在解数学题时非常有用。
例如，可以通过求顶点坐标来求函数的最小值。
又如，可以利用单调性来确定函数的单调区间。
(经典讲义)基本不等式
根本不等式与对勾函数一、知识梳理1、根本不等式的根本形式：〔1〕,R a b ∈，那么222a b ab +≥，当且仅当时取等号。
〔2〕,R a b +∈，那么2a b ab +≥2、公式变形：〔1〕222a b ab +≤；〔2〕22a b ab +⎛⎫⎪⎝⎭≤；3、求最值：当为定值时.a b +22a b +有最小值；当a b 或为定值时，有最大值〔〕。
4、运用根本不等式时注意深刻理解“一正〞、“二定〞、“三相等〞的意义。
5、对勾函数by ax x=+)0,0(>>b a 的图像与性质性质：〔1〕定义域：),0()0,(+∞⋃-∞ 〔2〕值域：),2()2,(+∞⋃--∞ab ab〔3〕奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾〞的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 〔4〕图像在一、三象限当0x >时，由根本不等式知by ax x =+≥ab 2〔当且仅当bx a=， 即)(x f 在x=ab时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=ab-时，取最大值ab 2- 〔5〕单调性：增区间为〔∞+,a b 〕，〔a b -∞-,〕 减区间是〔0，ab 〕，〔a b -,0〕二、典型例题例1、以下说法结论正确的选项是〔 〕A ．1y x x =+的最小值是2B．2y =的最小值是2C ．4sin ,(0,π)sin y x x x =+∈的最小值是4D．2y =5变式1、以下结论正确的选项是〔 〕A ．当且时，2≥B ．2 C ．当2x ≥时，的最小值为2D ．02x <≤时，无最大值例2、〔1〕设0a >.0b >3a 与3b的等比中项，那么11a b +的最小值为〔〕 A ．8B ．4 C ．1D ．〔2〕0,0>>b a ，且32=+b a ，那么512a b的最小值为〔3〕假设03x ，那么113xx的最小值为〔4〕假设21<<x ，那么xx -+-2111的最小值为〔5〕20<<x ，那么)2(x x -的最大值为0x >1x ≠1lg lg x x+0x >1x x +1x x-14〔6〕203x，那么2(23)x x 的最大值为〔7〕0,>b a .1222=+b a 那么21b a +的最大值为变式2、〔1〕0,0>>y x ，且12=+y x ，求y x 11+的最小值。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数讲解与例题解析对勾函数是一种常见而特殊的函数，虽然在高中教材中不常出现，但在考试中却经常被考到。
对勾函数的图像由直线和双曲线组成，当a，b同号时，形状类似双勾，因此被称为“对勾函数”、“勾勾函数”、“海鸥函数”。
当a，b异号时，图像会发生质的变化，但仍可看作是两个函数叠加而成。
对勾函数认为是反比例函数的一种延伸，其顶点坐标可以通过均值不等式求得。
对勾函数的定义域、值域也可根据顶点坐标得出，且在定义域内是奇函数。
对勾函数的单调性和渐进线也可以从图像中得到。
研究勾函数性质需要用到均值不等式。
均值不等式是根据二次函数推导而来的。
二次函数展开后可以得到a^2+b^2≥2ab，整理后得到(a+b)^2≥4ab，开根号后得到a+b≥2√ab。
将ax+b/x套用这个公式，可以得到ax+b/x≥2√ab，当且仅当ax=b/x时取到最小值，此时x=sqrt(b/a)，对应的f(x)=2√ab。
均值不等式可以写成(a+b)/2≥√ab，其中前面的式子是算术平均数，后面的式子是几何平均数，总结起来就是算术平均数不小于几何平均数。
要求函数y=x+1/x的最小值，可以用均值不等式来解。
因为x>0，所以y=x+1/x≥2√x/x=2，当且仅当x=1时取到最小值，此时y=2.另一种解法是用二次函数的方法，将y=x+1/x表示为y=x^2+1/x^2+2，然后用求根公式求出当y取最小值时对应的x=1，此时y=2.单调性定义是指函数在一定区间内单调递增或单调递减。
如果对于任意的x1,x2，只有x1,x2∈(a,b)时，f(x1)-f(x2)>0，则函数在(a,b)内单调递增；如果对于任意的x1,x2，只有x1,x2∈(a,b)时，f(x1)-f(x2)<0，则函数在(a,b)内单调递减。
因为y=x+1/x在(0,1)内单调递增，在(1,∞)内单调递减，所以当x=1时取到最小值，y=2.复合函数的单调性是指由两个单调递增或单调递减的函数组成的复合函数在一定区间内也具有相同的单调性。
基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解
第2讲 基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解【学习目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.会用对勾函数的性质求特定函数的最值3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【要点梳理】要点1 对勾函数()0,0by ax a b x=+>>的图像与性质 （1） 定义域：()(),00,-∞+∞；（2） 值域：(),2,ab ⎡-∞-+∞⎣； （3） 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称；（4） 图像在一、三象限，当0x >时，by ax x=+≥x =等号），即()f x 在x =0x <时，()f x 在x =-；（5） 单调性：增区间⎫+∞⎪⎪⎭，,⎛-∞ ⎝，减区间是⎛ ⎝，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭要点2 基本不等式 基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 要点3 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 要点4 利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 【经典例题】 题型1 基本公式套用例1 【★】已知a ，b ，0c >，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为________．例2 【★•2019秋•徐汇区校级期中】设0x >，0y >，下列不等式中等号能成立的有（ ）． ①114x yx y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②()114x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；24；④4x y ++；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3 【★•2019秋•历下区校级月考】设,a b +∈R ，则下列各式中不一定成立的是（ ）． A ．2a b ab + B ．2b aa b+C 222abD ．2ab ab a b+例4 【★•2019秋•迎泽区校级月考】已知实数1x >，则91x x +-的最小值为（ ）． A ．4B ．6C ．7D ．10例5 【★★】设a ，0b >，5a b +=+________．例6 【★★•2019秋•梅河口市校级期末】已知a ，b 为正数，2247a b +=，则大值为（ ）．A B C ．D ．2题型2 对勾函数例1【★★•2019秋•淮安期末】函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2B ．4C ．6D ．8例2【★★•2020春•龙华区校级月考】若1x >，则1411x x ++-的最小值等于( ) A ．6B ．9C ．4D ．1例3【★★•2019春•河北月考】若1x <，则2471x x x -+-的( )A ．最小值为2B ．最大值为2C ．最小值为6-D ．最大值为6-例4【★★•2019春•东湖区校级月考】函数24(0)1x x y x x ++=>+的最小值是( )A ．3B ．4C ．103D ．6例5【★★•2019秋•常熟市期中】若2x >，则函数42y x x =+-的最小值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6题型3 “1”的代换例1．【★★•2020•韶关二模】已知0x >，0y >，且121x y+=，则2x y +的最小值是( ) A ．7B ．8C ．9D ．10例2．【★★•2020•辽阳二模】已知0a >，0b >，32a b ab +=，则23a b +的最小值为()A ．20B ．24C ．25D ．28例3．【★★•2020春•九龙坡区校级期中】若x ，y R +∈，且315x y+=，则34x y +的最小值是( )A ．5B ．245C D ．195例4．【★★•2020春•昌吉市期中】若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为( ) A ．5 B ．6C ．8D ．9题型4 x ，y ，xy 型例1【★★•2019春•江岸区校级期末】已知223a b ab ++=，0a >，0b >，则2a b +的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[33)C ．[2，)+∞D ．[2，3)例2【★★•2020春•浙江期中】已知0x >，0y >，3236x y xy ++=，则3x y +的最小值为 ．例3【★★•2020春•定海区校级月考】已知实数a ，b 满足1a >，0b >且2220a b ab +--=，那么2a b +的最小值是 ．例4【★★•2020•红桥区模拟】已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是 ． 例5【★★•2020•河西区二模】已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为例6【★★•2020•锡山区校级模拟】已知01a <<，01b <<，且44430ab a b --+=，则12a b+的最小值是 ．题型5 2x ，2y ，xy 型例1【★★•2020•浙江模拟】对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为( ) A ．12-B ．12C ．2-D ．2例2【★★•2019秋•聊城期末】若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是()A ．6B ．4C D ．23例3【★★•2020春•浙江期中】若正数x ，y 满足2249330x y xy ++=，则xy 的最大值是() A ．43B ．53C ．2D ．54例4【★★•2020•南通模拟】（2020•南通模拟）已知实数x ，y 满足22210x xy y ---=，则222522x yx xy y +++的最大值为 ．【课后练习】1．【★2020春•福州期中】以下结论，正确的是（ ） A ．y ＝x +≥4 B ．e x +＞2C ．x （1﹣x ）≤（）2＝D ．sin x +（0＜x ＜π）的最小值是22．【★★2020•湖北模拟】直线2ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ） A ．9B ．4C ．8D ．103．【★★2020•滨海新区模拟】已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则的最小值为（ ） A ．13B ．11C ．10D ．94．【★★2020•河东区一模】已知实数a 、b ，ab ＞0，则的最大值为（ ）A．B．C．D．6。
对勾函数与基本不等式
对勾函数与基本不等式
对勾函数与基本不等式是数学中的重要概念，它们在科学研究、数学模型建构中具有重要作用。
一、对勾函数
1、定义：对勾函数（即条件反馈函数或称Hat函数）可表示
为： f(x)=x^2,x∈[ln2,1]。
2、特点：它是以 ln2 为起点，向右变化的单调函数，而能够经受大量噪声进行计算。
3、应用：由于它可用于最小二乘拟合，对勾函数被广泛应用于机器学习中，尤其是神经网络模型中，能够有效增加模型的准确性和稳定性。
二、基本不等式
1、定义：基本不等式是指任何一种数学不等式，它表示一种集合的全体元素之间的关系，通常用可证明的条件来表示。
2、分类：基本不等式可分为：奇异不等式(singularinequality)、实号不等式(realinequality)、共同不等式(commoninequality)和绝对值不等式(absolutevalueinequality)。
3、应用：基本不等式广泛应用于数学上的分析和数学建模。
它可以用来画出一个给定问题的完整图像，也可以分析正确性，限制未知数的变化范围，解决复杂的求解问题和进行证明逻辑归纳。
对勾函数专题讲解
专题 对勾函数及其应用1．对勾函数定义对勾函数是指形如：y ＝ax ＋bx (a>0,b>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2．对勾函数y ＝ax ＋bx(a >0，b >0)的性质(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2ab ]∪[2ab ，＋∞)． (3)奇偶性：在定义域内为奇函数． (4)单调性：(－∞，－b a)，(ba，＋∞)上是增函数；(－ba，0)，(0，ba)上是减函数． 3．y ＝ax ＋bx (a >0，b >0)的单调区间的分界点：±b a. 求分界点方法：令ax ＝bx⇒x ＝±b a. 特殊的，a >0时，y ＝x ＋ax的单调区间的分界点：±a .4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解． 5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式： 若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋bx ≥2ab .当且仅当ax ＝bx，x ＝ba时取等号． 例1 已知f (x )＝x ＋5x ，求f (x )在下列区间的最小值．(1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．变式训练 已知函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值．例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2(0≤x ≤3)的值域．变式训练 求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1，x ∈[]2，5的值域．强化训练1．下列函数中最小值是4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝x ＋2x C ．y ＝4x x-D ．y ＝x 2＋1x 2＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x，x ∈(1,3]的值域为( )A ．[133，5)B ．[4,5)C ．[133，4) D ．(4,5)3．函数y ＝－x ＋41－x ＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________．4．y ＝2x 2＋31＋x 2的最小值是________．5．已知x >0，则2＋x ＋4x的最小值是________．6．函数y ＝x ＋3x 在区间[-2,-1]上的最大值为____________．7．若函数y ＝xax y 2+=(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x (x ∈[2，＋∞))．(1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>21122+-a a 恒成立，求a 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，a >0.(1) 当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a .10求函数()f x x=的最大值.（较难）参考答案1．C A 选项，由于x 可取负值，显然最小值不是4，排除A ； B 选项，由于x 可取负值，显然最小值也不是4，排除B ； C 选项，由于y ＝2·2x ＋22x ＝2(2x ＋12x )，换元，令t ＝2x ，t >0，则y ＝2(t ＋1t )≥4，当且仅当t ＝1即x ＝0时，函数有最小值4，D 选项，由于y ＝x 2＋1x 2＋1＋3＝x 2＋1＋1x 2＋1＋2，换元，令t ＝x 2＋1，t >1，则y ＝t ＋1t ＋2，函数在(1，＋∞)上单调递增，因此y >4，排除D 选项．综上，答案为C.2．B 由对勾函数性质可知，当x ＝4x ，即x ＝2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133，所以值域为[4,5)，答案为B.3．[6,7)解析 y ＝－x ＋41－x ＋3＝1－x ＋41－x ＋2，换元，令t ＝1－x ，则x ∈[)－1，0时t ∈(1,2]， y ＝t ＋4t ＋2，函数在(1,2]上单调递减，若t ＝1，则y ＝1＋41＋2＝7，若t ＝2，则y ＝2＋42＋2＝6，故函数值域为[6,7)． 4．26－2解析 换元，令t ＝1＋x 2，则t ≥1，x 2＝t －1， y ＝2(t －1)＋3t ＝2t ＋3t －2，函数在[1，32]上单调递减，在[32，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝32时，函数有最小值26－2. 5．6解析 由对勾函数性质可知，当x ＝4x ，即x ＝2时，表达式有最小值6.6．23解析 因为y ＝x ＋3x 在区间[1, 3 ]上单调递减，在[3，2]上单调递增，所以当x ＝3时函数有最小值2 3.7．(0,5] 8．1 760解析 池底面积为82＝4 cm 2，设池底宽为x cm ，则长为4x cm ，则水池的造价为4×120＋2(4x ×2＋x ×2)×80＝480＋1 280x＋320x ≥480＋2 1 280x×320x ＝1 760. 9．解析 (1)设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米． 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x，则S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010(2x ＋5x)＋4 160， 即S ＝8010(2x ＋5x)＋4 160. (2)S ＝8010(2x ＋5x)＋4 160≥16010·10＋4 160＝5 760， 当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时取等号，此时a ＝40， ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米． 10．解析 (1)设AD ＝t 米，则由题意得xt ＝600，且t >x ， 故t ＝600x>x ，可得0<x <106，则y ＝800(3x ＋2t )＝800(3x ＋2×600x )＝2 400(x ＋400x)，所以y 关于x 的函数解析式为y ＝2 400(x ＋400x )(0<x <106)．(2)y ＝2400(x ＋400x)≥2 400×2x ·400x＝96 000， 当且仅当x ＝400x，即x ＝20时等号成立．故当x 为20米时，y 最小．y 的最小值为96 000元． 11．解析 (1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)， 且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x ＋2.则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) (1－3x 1x 2)， ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0， 又∵x 1≥2，x 2>2， ∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 故f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝112.(2)∵f (x )>a 恒成立，∴只需f (x )min >a . 又∵f (x )min ＝112，∴a <112.12．解析 (1) a ＝12时， f (x )＝x ＋12x ， x ∈[1，＋∞)．令x ＝12x (x >0)，得x ＝22∉[1，＋∞)，∴不能用不等式求最值． 设1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝(x 1－x 2)＋(12x 1－12x 2)＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)<0， ∴函数 f (x ) 在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝32.(2)当0<a <1时，令x ＝ax ，得x ＝a <1,∵a ∉[1，＋∞) ，∴类似于(1)可知函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝1＋a ＝4， 得a ＝3，与0<a <1不符(舍)；当a ≥1时，a ≥1，∴由不等式知x ＋ax ≥2a ，当x ＝ax ，即x ＝a 时， f min (x )＝2a ＝4，解得a ＝4.综上所述，函数f (x )的最小值为4时，a ＝4.13．解析 (1)依题意，当x ＝0 时，C ＝8，∴k ＝40 ， ∴C (x )＝403x ＋5，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10，设3x ＋5＝t ，t ∈[5,35]， ∴y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t－10＝70，当且仅当2t ＝800t ，即t ＝20时等号成立．这时x ＝5 ，因此f (x )的最小值为70.即隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
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第2讲 基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解
【学习目标】
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用对勾函数的性质求特定函数的最值
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
【要点梳理】
要点1 对勾函数()0,0b
y ax a b x
=+>>的图像与性质 （1） 定义域：()
(),00,-∞+∞；
（2） 值域：()
,2,ab ⎡-∞-+∞⎣
； （3） 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，
且函数图像关于原点呈中心对称；
（4） 图像在一、三象限，当0x >时，b
y ax x
=+
≥x =
等号），即()f x 在x =
0x <
时，()f x 在x =-；
（5） 单调性：增区间⎫+∞⎪⎪⎭，,⎛-∞ ⎝，减区间是⎛ ⎝，⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
要点2 基本不等式 基本不等式：ab ≤
a ＋
b 2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 要点3 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )．
(4)a 2＋b 22≥⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 要点4 利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 2
4.(简记：和定积最大) 【经典例题】 题型1 基本公式套用
例1 【★】已知a ，b ，
0c >，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为________．
例2 【★•2019秋•徐汇区校级期中】设0x >，0y >，下列不等式中等号能成立的有（ ）． ①114x y
x y ⎛⎫⎛
⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②()114x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；24；④4x y ++；
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例3 【★•2019秋•历下区校级月考】设,a b +∈R ，则下列各式中不一定成立的是（ ）． A ．2a b ab + B ．2b a
a b
+
C 22
2ab
D ．
2ab ab a b
+
例4 【★•2019秋•迎泽区校级月考】已知实数1x >，则9
1
x x +-的最小值为（ ）
． A ．4
B ．6
C ．7
D ．10
例5 【★★】设a ，0b >，5a b +=+________．
例6 【★★•2019秋•梅河口市校级期末】已知a ，b 为正数，2247a b +=，则大值为（ ）．
A B C ．D ．2
题型2 对勾函数
例1【★★•2019秋•淮安期末】函数2
2(1)1
y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
例2【★★•2020春•龙华区校级月考】若1x >，则1
411
x x ++-的最小值等于( ) A ．6
B ．9
C ．4
D ．1
例3【★★•2019春•河北月考】若1x <，则247
1
x x x -+-的( )
A ．最小值为2
B ．最大值为2
C ．最小值为6-
D ．最大值为6-
例4【★★•2019春•东湖区校级月考】函数2
4(0)1x x y x x ++=>+的最小值是( )
A ．3
B ．4
C ．10
3
D ．6
例5【★★•2019秋•常熟市期中】若2x >，则函数4
2
y x x =+-的最小值为( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
题型3 “1”的代换
例1．【★★•2020•韶关二模】已知0x >，0y >，且12
1x y
+=，则2x y +的最小值是( ) A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
例2．【★★•2020•辽阳二模】已知0a >，0b >，32a b ab +=，则23a b +的最小值为(
)
A ．20
B ．24
C ．25
D ．28
例3．【★★•2020春•九龙坡区校级期中】若x ，y R +∈，且31
5x y
+=，则34x y +的最小值是( )
A ．5
B ．
24
5
C D ．
195
例4．【★★•2020春•昌吉市期中】若0a >，0b >，23a b +=，则36
a b
+的最小值为( ) A ．5 B ．6
C ．8
D ．9
题型4 x ，y ，xy 型
例1【★★•2019春•江岸区校级期末】已知223a b ab ++=，0a >，0b >，则2a b +的取值范围是( )
A ．(0,3)
B ．[33)
C ．[2，)+∞
D ．[2，3)
例2【★★•2020春•浙江期中】已知0x >，0y >，3236x y xy ++=，则3x y +的最小值为 ．
例3【★★•2020春•定海区校级月考】已知实数a ，b 满足1a >，0b >且2220a b ab +--=，那么2a b +的最小值是 ．
例4【★★•2020•红桥区模拟】已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是 ． 例5【★★•2020•河西区二模】已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为
例6【★★•2020•锡山区校级模拟】已知01a <<，01b <<，且44430ab a b --+=，则12
a b
+的最小值是 ．
题型5 2x ，2y ，xy 型
例1【★★•2020•浙江模拟】对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345
a b c
-+的最小值为( ) A ．12
-
B ．
12
C ．2-
D ．2
例2【★★•2019秋•聊城期末】若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是(
)
A ．6
B ．4
C D ．
23
例3【★★•2020春•浙江期中】若正数x ，y 满足2249330x y xy ++=，则xy 的最大值是(
) A ．
43
B ．53
C ．2
D ．
54
例4【★★•2020•南通模拟】（2020•南通模拟）已知实数x ，y 满足22210x xy y ---=，则22
2522x y
x xy y +++的最大值为 ．
【课后练习】
1．【★2020春•福州期中】以下结论，正确的是（ ） A ．y ＝x +≥4 B ．e x +
＞2
C ．x （1﹣x ）≤（）2＝
D ．sin x +
（0＜x ＜π）的最小值是2
2．【★★2020•湖北模拟】直线2ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）过函数图象的
对称中心，则的最小值为（ ） A ．9
B ．4
C ．8
D ．10
3．【★★2020•滨海新区模拟】已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则的最小值为
（ ） A ．13
B ．11
C ．10
D ．9
4．【★★2020•河东区一模】已知实数a 、b ，ab ＞0，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．6。