NOIP普及讲座5-树的基础知识

C F I
l1
r1
先序：A 中序：D
l2
B B
D K
E G
G E
K H
H A
m
C F
F I
I C
r2
procedure try(l1,r1,l2,r2:longint); var m:longint;
begin
m:=pos(s1[l1],s2); if m>l2 then try(l1+1,l1+m-l2,l2,m-1); if m<r2 then try(l1+m-l2+1,r1,m+1,r2); write(s1[l1]);
特殊二叉树
（2）哈夫曼树 例：对权值分别是3,1,4,5,1,3的结点构造哈夫曼树。 5 3 3 1 2 1 25 13 3
10 4 17 5
1 4 7 4
1
5 12 1 2 1
初赛试题
（noip2014普及组选择题第16题） 1、一棵具有5层的满二叉树中结点数为（ A. 31 B. 32 C. 33 D. 16 ）。
二叉树的基本知识
（5）二叉树的基本运算 2、二叉树的遍历运算（先序、中序、后序） 先序遍历的操作定义如下： 若二叉树为空，则空操作，否则 ① 访问根结点 ② 先序遍历左子树 ③ 先序遍历右子树
A，B，C ，D，E，F，G， H
二叉树的基本知识
（5）二叉树的基本运算 2、二叉树的遍历运算（先序、中序、后序） 中序遍历的操作定义如下： 若二叉树为空，则空操作，否则 ① 中序遍历左子树 ② 访问根结点 ③ 中序遍历右子树
i个结点
n-1-i个结点
二叉树的应用
【分析】
F0=1 F1=1
F2=F0*F1+F1*F0=1*1+1*1=2
F3=F0*F2+F1*F1+F2*F0=1*2+1*1+2*1=5 …… Fn=F0*Fn-1+F1*Fn-2……+Fn-2*F1+Fn-1*F0
Fn Fi * Fn 1 i
树的基本概念
（2）树的表示方法 ① 图示表示： ② 广义表表示： =（T） =（1（T1，T2 ，T3 ）） =（1（2（T11，T12），3，4（T31））） =（1（2（5，6），3，4（7（T311，T312））））
=（1（2（5，6），3，4（7（8，9））））
树的基本概念
（3）树的基本术语 ① 结点的度和树的度 结点的度：每个结点具有的子树的个数或者说其后继结点 的个数被定义为该结点的度。 树的度：所有结点的度的最大值定义为该树的度。
二叉树的应用
【例1】已知一棵二叉树的先序遍历和中序遍历的结果，请 你编程输出这棵二叉树的后序遍历结果。 【样例输入】 ABDEGKHCFI DBKGEHAFIC
【样例输出】
DKGHEBIFCA
二叉树的应用
【分析】 先序：A B D E G K H C F I 中序：D B K G E H A F I C 因为二叉树的先序遍历是先访问根结点A，再遍历左子 树，最后遍历右子树。而中序遍历是先遍历左子树，再访 问根结点A，最后遍历右子树，所以结点A把中序遍历的字 符串分成了两个部分，A之前的是左子树上的结点，A之后 的是右子树上的结点。依此类推，便可得到整个二叉树。
二叉树的应用
【分析】 先序：A 中序：D B B D K E G G E K H H A C F F I I C
A
B D E G K H
C F I
二叉树的应用
【分析】 先序：A 中序：D B B D K E G G E K H H A C F F I I C
A
B D E G D K H
E G K H
（4）二叉树的建立（顺序存储） string s; s=“LDPCFM###EH#N”
L D C F M P
E
H
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
L
D
P
C
F
M
#
#
#
E
H
#
N
二叉树的基本知识
（4）二叉树的建立（链式存储） L 2 3 D 4 5 P 6 0 C 0 0 F 7 8 M 0 9 E 0 0
二叉树的基本知识
（2）二叉树的性质
⑤ 性质5：对于一棵n个结点的完全二叉树，对任一个结点（编号为i） 如果i=1，则结点i为根，无父结点；如果i>1，则其父结点编号为 trunc(i/2)。 如果2i>n，则结点i无左孩子，即结点i为叶结点；否则左孩子编号为2i。 如果2i+1>n，则结点i无右孩子，否则右孩子编号为2i+1。
cout<<s1[l1];
}
二叉树的应用
【例2】具有n个结点的不同形态的二叉树有多少棵？ 【样例输入】 3 【样例输出】 5
Bi * Bn i 1
i 0
n 1
二叉树的应用
【分析】
一般情况，一棵具有n(n>0)个结点的二叉树可以看成 是由一个根结点、一棵具有i个结点的左子树、和一棵具 有n-1-i个结点的右子树组成，其中0<=i<=n-1,i=0表示无 左子树，i=n-1表示无右子树，根据乘法原理可以得出具 有n个结点的不同形态的二叉树有Fn棵。
C，B，A ，F，E，G，D， H
二叉树的基本知识
（5）二叉树的基本运算 2、二叉树的遍历运算（先序、中序、后序） 后序遍历的操作定义如下： 若二叉树为空，则空操作，否则 ① 后序遍历左子树 ② 后序遍历右子树 ③ 访问根结点
C，B，F ，G，E，H，D， A
二叉树的基本知识
（5）二叉树的基本运算 3、求二叉树的深度 若二叉树为空，则深度为0 否则，深度=左子树与右子树中最大深度+1
4 C 0 0
5 F 7 8
6 M 0 9
7 E 0 0
8 H 0 0
9 N 0 0
二叉树的基本知识
（4）二叉树的建立（顺序存储） s:string; s:=“LDPCFM###EH#N”
L D C F M P
E
H
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
L
D
P
C
F
M
#
#
#
E
H
#
N
二叉树的基本知识
（noip2015提高组问题求解第2题） 2、结点数为5的不同形态的二叉树一共有 种。 （结点数为2的二叉树一共有2种：一种是根结点和左儿 子，另一种是根结点和右儿子。）
初赛试题
（noip2016普及组选择题第11题） 3、一棵二叉树如右图所示，若采用顺序存储结构，即 用一维数组元素存储该二叉树中的结点（根结点的下标 为1，若某结点的下标为i，则其左孩子位于下标2i处、 右孩子位于下标(2i+1)处），则图中所有结点的最大下 标为（ ）。
二叉树的基本知识
（3）二叉树的存储结构 ① 顺序存储 对一个完全二叉树的所有结点按层编号，将编号为i的结 点存入一维数组的第i个单元。
1 A
2 B
3 I
4 C
5 F
6 J
7 L
8 D
9 E
10 11 12 G H K
二叉树的基本知识
（3）二叉树的存储结构 ① 顺序存储 对一个完全二叉树的所有结点按层编号，将编号为i的结 点存入一维数组的第i个单元。
i 0
n 1
特殊二叉树
（1）二叉排序树 1、定义 二叉排序树具有这样的性质：任何结点的值都大于它 左子树上结点的值，小于右子树上结点的值，然后采用中 序遍历就可以生成一个有序序列。
3
1
4 2 5 6
特殊二叉树
（1）二叉排序树 2、建立二叉排序树 先生成一个结点，加入到树中，如果不是根结点，再 根据大小决定这个结点是插在某个节点的左子树上还是右 子树上，如此重复。
特殊二叉树
（2）哈夫曼树 2、构造哈夫曼树 ①根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}，构造n棵二叉树的 集合F={T1,T2,…,Tn}，其中每棵二叉树中均只含一个带 权值为wi的根结点，其左、右子树为空树； ②在F中选取其根结点的权值为最小的两棵二叉树，分别 作为左、右子树构造一棵新的二叉树，并置这棵新的二叉 树根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和； ③从F中删去这两棵树，同时加入刚生成的新树； ④重复②和③ 两步，直到F中只含一棵树为止。
二叉树的基本知识
（2）二叉树的性质 ③ 性质3：对任何一棵二叉树，如果其叶结点数n0，度为2的结 点数为n2，则一定满足：n0=n2+1。 ④ 性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为trunc(log2n)+1。 完全二叉树的定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每 一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应 时，称为完全二叉树。
树的基本概念
（3）树的基本术语 ④ 树的深度和宽度 树中的结点的最大层数称为树的深度或高度。 整棵树中某一层中最多的结点数称为树的宽度。
二叉树的基本知识
（1）二叉树的基本概念 二叉树是一种特殊的树型结构，它是度数最多为2的树， 即二叉树的每个结点最多有两个子结点。
二叉树的基本知识
（2）二叉树的性质 ① 性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i≥1）。 ② 性质2：深度为h的二叉树至多有2h-1个结点（h≥1）。 一棵深度为k且有2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。
L D C F M P
E
H
N