高中数学 1_6 三角函数模型的简单应用(A卷)试题 新人教A版必修4
高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习(含解析)新人教A版必修4
高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习（含解析）新人教A版必修41．对于三角函数线，下列说法正确的是( )A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在答案 D解析当角的终边落在y轴上时，正切线不存在，但对任意角来说，正弦线、余弦线都存在．2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A．y轴上 B．x轴上C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上答案 B解析由题意得|cosα|＝1，即cosα＝±1，角α终边在x轴上，故选B．A．sin1>cos1>tan1 B．sin1>tan1>cos1C．tan1>sin1>cos1 D．tan1>cos1>sin1答案 C解析设1 rad角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，∵π4<1<π2，∴0<x<y<1，从而cos1<sin1<1<tan1．4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．a<c<b答案 C解析作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线，可知：b＝OM>0，a＝MP<0，c＝AT<0，且MP>AT．∴c<a<b．5．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )A．sinα＋cosα B．tanα＋sinαC．cosα－tanα D．sinα－tanα答案 B解析如图，作出sinα，cosα，tanα的三角函数线．显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|．∵MP>0，AT<0，∴MP<－AT．∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0．6．已知MP，OM，AT分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线，则这三条线从小到大的排列顺序是________．答案OM<MP<AT解析如图，在单位圆中，∠POA＝75°>45°，由图可以看出OM<MP<AT．7．利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)tan 4π3与tan 7π6；(2)cos 11π6与cos 5π3．解 (1)如图1所示，设点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，角4π3和角7π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，PO ，P ′O 的延长线与单位圆的过点A 的切线的交点分别为T ，T ′，则tan 4π3＝AT ，tan 7π6＝AT ′．由图可知AT >AT ′>0，所以tan 4π3>tan 7π6．(2)如图2所示，设角5π3和角11π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，过P ，P ′分别作x 轴的垂线，分别交x 轴于点M ，M ′，则cos 11π6＝OM ′，cos 5π3＝OM ．由图可知0<OM <OM ′，所以cos 5π3<cos 11π6．答案 0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π解析 由0≤θ<2π且tan θ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π．9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12；(3)tan α≥－1． 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z ．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k ＋4π3，k ∈Z．(3)在单位圆过点A (1，0)的切线上取AT ＝－1，连接OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1，P 2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，所以α的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－π4＋k π≤α<π2＋k π，k ∈Z，如图．一、选择题1．已知α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且方向相同，那么α的值为( ) A ．5π4或7π4 B ．π4或3π4C ．π4或5π4D ．π4或7π4答案 C解析 因为角α的正弦线与余弦线长度相等，方向相同，所以角α的终边在第一或第三象限，且角α的终边是象限的角平分线，又0<α<2π，所以α＝π4或5π4，选C ．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 答案 D解析 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角． 3．如果π<θ<5π4，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ 答案 D解析 本题主要考查利用三角函数线比较三角函数值的大小．由于π<θ<5π4，如图所示，正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，由此容易得到cos θ<sin θ<0<tan θ，故选D ．4．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3 B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 C ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π答案 D解析 由图1知当sin α<32时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π．由图2知当cos α>12时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π． 5．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 解法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝120°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．解法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点， 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2．若α，β是第一象限角，又sin α>sin β， 则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2． ∵y 1>y 2，∴α>β．∴cos α<cos β．∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P 1′(x 1′，y 1′)，P 2′(x 2′，y 2′)，其中sin α＝y 1′，sin β＝y 2′，则tan α－tan β＝y 1′x 1′－y 2′x 2′＝x 2′y 1′－x 1′y 2′x 1′x 2′． 而y 1′>y 2′>0，x 2′<x 1′<0， ∴－x 2′>－x 1′>0，∴x 1′x 2′>0，x 2′y 1′－x 1′y 2′<0，即tan α<tan β．∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D ． 二、填空题6．若α是第一象限角，则sin2α，cos α2，tan α2中一定为正值的个数为________．答案 2解析 由α是第一象限角，得2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，所以k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，所以α2是第一或第三象限角，则tan α2>0，cos α2的正负不确定；4k π<2α<π＋4k π，k ∈Z ，2α的终边在x 轴上方，则sin2α>0．故一定为正值的个数为2．7．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是________．答案π2，π 解析 由三角函数线知，在[0，2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈π4，5π4，使tan θ<sin θ的角θ∈π2，π∪3π2，2π，故θ的取值范围是π2，π．8．若函数f (x )的定义域是(－1，0)，则函数f (sin x )的定义域是________． 答案 －π＋2k π，－π2＋2k π∪－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )解析 f (x )的定义域为(－1，0)，则f (sin x )若有意义，需－1<sin x <0，利用三角函数线可知－π＋2k π<x <2k π，且x ≠－π2＋2k π(k ∈Z )．三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)sin1和sin π3；(2)cos 4π7和cos 5π7；(3)tan 9π8和tan 9π7；(4)sin π5和tan π5．解 (1)sin1<sin π3．如图1所示，sin1＝MP <M ′P ′＝sin π3．(2)cos 4π7>cos 5π7．如图2所示，cos 4π7＝OM >OM ′＝cos 5π7．(3)tan 9π8<tan 9π7．如图3所示，tan 9π8＝AT <AT ′＝tan 9π7．(4)sin π5<tan π5．如图4所示，sin π5＝MP <AT ＝tan π5．10．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2． 当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2(k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2．。
人教A版高中数学必修四+16+三角函数模型的简单应用+测试(教师版)+Word版含答案.docx
1.6三角函数模型的简单应用（检测教师版）答案：C为80.故选C.2. 单摆从某点开始来冋摆动，离开平衡位置的距离S cm 和时间十s 的函数关系为S= 8sin （2n t+yj,那么单摆来回摆动一次所需的时|'可为（答案：D 解析：因为G =2 Ji,所以7=—= 1.（I.）时间：40分钟总分：60分班级:姓名:-、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1. 某人血压满足函数式Az ）=24sin （160 Ji Z ）+110,其中为血压,（为时间，则此人每分钟心跳的次数为（A. 60B. 70C. 80D. 90解析：由于。
=160开，故函数的周期/=了,=80, 即每分钟心跳的次数B. nsC. 0.5 sD. 1 s3. 水平地面上发射的炮弹，初速度大小为ro,发射角为纥重力加速度为刃则炮弹上升的高度y 与飞行时间tZ 间的关系式为（）A. y= vol 1B. y= n )sin 0 t —~gtC. y= %sin 0 tD. y=旳cos 0 t答案:B解析：竖直方向的分速度K ）sin ",由竖直上抛运动的位移公式y= r o sin 0 t —^gt\故选B.4.单位圆上有两个动点从A ；同时从户（1,0）点出发, 沿圆周转动，弭点按逆时针方向转，速度 ^j-^-rad/s, N 点按顺时针方向转，速度为寸~rad/s,则它们出发后第三次相遇时各口走过的弧度数分别为（）B. D.答案：C解析：设IV 两点走过的弧长分别为Z 和厶，自出发至第三次相遇，经过七秒，则JI，2=亍・JI JI・・・百汁亍=6”，・・・Q12, ・・・22n,厶=4「5. 如图为2017年某市某天中6 h 至14 h 的温度变化曲线,其近似满足函数y=«inS+O ）+胡>0, 3>0, y<0<n 的半个周期的图彖，则该天8 h 的温度大约为（答案:D解析：由题意得 J=|x (30-10)=10,方=£x (30+10)=20. 72X(14-6)=16, A —=16,+20,将 x=6,尸 10 代入得 10sinlyX6+ 0 1+20、 JT “ 3 兀 An 3 nA 卜 0丿=一1,由于勺-〈0<兀，可得 ^=—, .•.y=10sin^—jr+—I的温度大约为13 °C,故选D ・6. 一根长/厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s （厘兀7. 电流/（mA ）随时间t （s ）变化的函数关系是/=3sinlOO7T f+y,则电流/变化的最小正周期、B. 15 °CC. 14 °CD. 13 °CJT(\・••尸 10sin (瓦卄 4>\= 10,即 sin]*20,[6, 14].当 ^=8 时，y=10sin|仔 X8+扌 n) + 20 = 20 —5电~13,即该天8 h米）和时间方（秒）的函数关系是：s=3cos jr+yj.已知尸980厘米/秒，耍使小球摆动的周期是1秒, 980 A. ------- c答案：C 245 C. _cm兀D.980 —cm 兀乡=980, 7=b 得 7=9801 — 245 "cm.二.填空题（共2小题，每题5分,共10分）A. 16 °C245解析：由周期线的长度应当是（），所以小球的摆动周期T=2 乂由1=\代入兀=3. 14, 2兀频率和振幅分别为 _____ , _______ , ______ . 答案:寺50 3解析：最小正周期7'=佥〜击；频率f#=50；振幅 43.8. 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4. 8 m,圆上最低点与地而距离为0. 8 m, 60秒转动一 圈，图中滋与地而垂直，以滋为始边，逆时针转动0角到处，设〃点与地面距离是力，则力 与（）间的函数关系式为 _____________________________ .解析:以0为原点建立坐标系，如右图，则以&为始边，处为终边的角为0 故点〃的坐标为（4.8cos （ “一*）, 4.8sin （ 0 三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9. 交流电的电压/单位：V ）随时间H 单位：s ）变化的关系式是上-220^sin （100 兀 H ■制，［0, +<^）.⑴求开始时（1=0）的电压；⑵求电压的最大值和首次达到最大值的时间:（3）求电压的最大值重复出现一次的时间间隔.解:（1）当十=0时，F=22甘Xsirr 才=11曾，即开始时的电压为11甘 V.（2）电压的最大值为220羽V.答案:：.h =5.6+4. 8sin 0当100Z+时，片血，即电压首次达到最大值的时间为肖S.（3）C 金'=帶，即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为帶s.10. 电流强度/（A ）随时间Ms ）变化的关系式是/=〃sin （讥+ 0）/>0, 6>>0, Rl<y.⑴若/=〃sin （讥+ 0）在一个周期内的图彖如图所示，试根据图彖写出/=Ssin （少汁0） 的解析式；JI JI (IT A2 ,・•・ ^―, /= 300sini IOO TI t+—\（2）由题意，知幻岛，・・・G 2200H ,・•・正整数Q 的最小值为629.G 1UU⑵为了使I=Asin^t+ 0）中的£在任意一个血 的时间段内电流强度/能取得最大值与最小值，那么正整数G 的最小值是多少? 解：（1）由图，可知月=300.设心=一计了乙=吉，1 1 f2=60* - T=tl ~U=^300・•・4=耳=100兀，・・・7=300sin(100兀z+O).将為0）代入解析式,, JI得—e=Ji .. Ji A (/>=—+2kTi , kEZ V R | <—,。
2019—2020年最新人教A版高中数学必修四1-6《三角函数模型的简单应用》同步练习(试题)含答案.doc
1．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90 解析：由题意可得频率f ＝1T ＝160π2π＝80(次/分)，所以此人每分钟心跳的次数是80.答案：C2．如图表示电流I 与时间t 的关系I ＝Asin(ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3 B ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫50πt －π3 C ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3 D ．I ＝300sin(100πt －π3) 解析：由图象得周期T ＝2(1150＋1300)＝150，最大值为300，图象经过点(1150，0)，则ω＝2πT＝100π，A ＝300， ∴I ＝300sin(100πt ＋φ)．∴0＝300sin(100π×1150＋φ)． ∴sin(2π3＋φ)＝0.取φ＝π3， ∴I ＝300sin(100πt ＋π3)． 答案：C3.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往复一次．解析：由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次．答案：0.84．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f(x)＝________.解析：由题意得⎩⎨⎧ A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4，∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.由于|φ|<π2，∴φ＝－π4， ∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6. 答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6 5.如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m?解：(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面的高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50. (2)令40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6(k ∈Z)，∴2k π＋2π3<2π3t<2k π＋4π3(k ∈Z)， ∴3k ＋1<t<3k ＋2(k ∈Z)．令k ＝0得1<t<2.因此，共有1 min P 点距地面超过70 m.。
高一数学必修4课件：1-6三角函数模型的简单应用
第一章
1.6
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[解析]
(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)
－A＋b＝700， A＋b＝900，
＋b(A>0，ω>0)，则
解得A＝100，b＝800，
又周期T＝2(6－0)＝12， 2π 2π π ∴ω＝ T ＝12＝6.
π 则有y＝100sin6t＋φ＋800.
kπ－φ ，0 ω
，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的
π kπ＋ －φ 2 最值，即对称轴是直线A版 · 必修4
(8)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两 个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中
第一章 1.6
)
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1 6．函数y＝ sin 2
π 2x－ 6
的振幅是________，周期是
________，初相为________，对称轴是直线________，对称 中心为________，单调增区间是________．
第一章
1.6
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[答案] C
第一章
1.6
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规律总结：由函数图象寻求函数解析式是近几年来的热 点试题，解答此类试题，一般是根据图象所反映出的函数性 质来解决，而函数的性质，如奇偶性、周期性、对称性、单 调性、值域，还有零点等等都可以作为判断的依据．
第一章
1.6
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π 3π 则sin8t＋ 4 ∈[－1,1]，可得ymin＝－10＋20＝10，
人教新课标A版 高中数学必修4 第一章三角函数 1.5 函数y=sin(wx+φ) 同步测试A卷
人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.5 函数y=sin(wx+φ) 同步测试A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2018高三上·黑龙江期中) 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度2. （2分）把函数的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·临沂期中) 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向左平移个单位长度4. （2分）用“五点法”作y=2sin2x的图象是，首先描出的五个点的横坐标是（）A . 0,,π,,2πB . 0,,,,πC . 0，π，2π，3π，4πD . 0,,,,5. （2分） (2020高三上·兴宁期末) 由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A .B .C .D .6. （2分）函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）A .B .C .D .7. （2分）要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A . 向左平移1个单位B . 向右平移1个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位8. （2分）已知函数f（x）=cos2x与g（x）=cosωx（ω＞0）的图象在同一直角坐标系中对称轴相同，则ω的值为（）A . 4B . 2C . 1D .9. （2分） (2017高一下·禅城期中) 三角函数y=sin（﹣2x）+cos2x的振幅和最小正周期分别为（）A . ，B . ，πC . ，D . ，π10. （2分） (2016高一下·岳阳期中) 若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A . 5B . 4C . 3D . 211. （2分）用“五点法”作函数y=cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是（）A . 0，，π，，2πB . 0，，，，πC . 0，π，2π，3π，4πD . 0，，，，12. （2分） (2016高三上·红桥期中) 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A . 2，﹣B . 2，﹣C . 4，﹣D . 4，13. （2分）函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到-1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（）A .B .C .D .14. （2分）(2017·合肥模拟) 已知函数f（x）=Asin（ωx+ ）﹣1（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则对于区间[0，π]内的任意实数x1 ， x2 ， f（x1）﹣f（x2）的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . 615. （2分）(2020·海南模拟) 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线，则的解析式为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=________17. （1分）(2016·杭州模拟) 函数y=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图，则函数表达式为________；若将该函数向左平移1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍得到函数g （x）=________．18. （1分） (2015高三上·河西期中) 已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则 =________．19. （1分）(2016·新课标Ⅲ卷理) 函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=sinx+ cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．20. （1分） (2017高一上·安庆期末) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ+ ）（ω＞0，0＜φ≤ ）的部分图象如图所示，则φ的值为________．三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分） (2019高一上·郁南月考) 已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为（，）此点与相邻最低点之间的曲线与x轴交于点（，0）且φ∈（- ，）（1）求曲线的函数表达式;（2）用“五点法”画出函数在[0，2 ]上的图象.22. （5分） (2020高一上·武汉期末) 已知函数 .（1）用五点法画出该函数在区间的简图；（2）结合所画图象，指出函数在上的单调区间.23. （5分）已知函数y=sin（2x+ ）+1．（1）用“五点法”画出函数的草图；（2）函数图象可由y=sinx的图象怎样变换得到？24. （5分） (2019高一下·蛟河月考) 函数的一段图像过点，如图所示.（1）求在区间上的最值；（2）若 ,求的值.25. （5分）(2017·黑龙江模拟) 某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+φ0π2πxAsin（wx+φ）05﹣50（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O 最近的对称中心．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分)21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、。
高中数学 第一章 三角函数 5.1正弦函数的图像 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
§5 正弦函数的性质与图像 5．1 正弦函数的图像1．问题导航(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？(2)利用“五点法”作y ＝sin x 的图像时，x 依次取－π，－π2，0，π2，π可以吗？(3)作正弦函数图像时应注意哪些问题？ 2．例题导读P 27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y ＝a sin x ＋b 在[0，2π]上的简图． 试一试：教材P 28练习题你会吗？1．正弦函数的图像与五点法(1)图像：正弦函数y ＝sin x 的图像叫作正弦曲线，如图所示．(2)五点法：在平面直角坐标系中常常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x 轴的交点和函数取最大值、最小值时的点)：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到函数y ＝sin x 在[0，2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”．(3)利用五点法作函数y ＝A sin x (A >0)的图像时，选取的五个关键点依次是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，A ，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－A ，(2π，0)． 2．正弦曲线的简单变换函数y ＝sin x 与y ＝sin x ＋k 图像间的关系．当k >0时，把y ＝sin x 的图像向上平移k 个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像； 当k <0时，把y ＝sin x 的图像向下平移|k |个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( )(3)用五点法作函数y ＝－2sin x 在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2，(2π，0)．( ) (4)将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．( )解析：(1)正确．观察正弦函数的图像知y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．(2)正确．观察正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．(3)正确．在函数y ＝－2sin x ，x ∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2，(2π，0)． (4)正确．当x ∈[－π，π]时，y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥0，－sin x ，sin x <0，于是，将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像翻折到x 轴上方即可得函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像时，下列点不是关键点的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C ．(π，0) D ．(2π，0)解析：选A.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)． 3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析：0＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.答案：5π4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________． (2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像形状________，位置________．(填“相同”或“不同”)解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2π]内最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1.(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像，形状相同，位置不同．答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 (2)相同 不同1．y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈R 的图像间的关系(1)函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像是函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一部分． (2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像形状完全一致，因此将y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像．2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐． (2)“五点法”的实质是在函数y ＝sin x 的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的形状．(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的情况下常用此法，要切实掌握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常出现在高考试题中．3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点 (1)应用的前提条件是精确度要求不是太高． (2)五个点必须是确定的五点．(3)用光滑的曲线顺次连接时，要注意线的走向，一般在最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”现象．(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”．用五点法作正弦型函数的图像用五点法画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图． (教材P 27例1)[解] 步骤：①列表：x 0 π2 π 3π22π sin x 0 1 0 －1 0 y －1 1 －1 －3 －1②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－3，(2π，－1)． ③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．方法归纳作形如函数y ＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]的图像的步骤1．(1)函数f (x )＝a sin x ＋b ，(x ∈[0，2π])的图像如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]B ．f (x )＝sin x ＋12，x ∈[0，2π]C ．f (x )＝32sin x ＋1，x ∈[0，2π]D ．f (x )＝32sin x ＋12，x ∈[0，2π](2)用五点法作出下列函数的简图． ①y ＝2sin x ，x ∈[0，2π]； ②y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)选A.将图像中的特殊点代入f (x )＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]，不妨将(0，1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.5代入得⎩⎪⎨⎪⎧a sin 0＋b ＝1，a sin π2＋b ＝1.5，解得b ＝1，a ＝0.5，故f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]．(2)①列表：x 0 π2 π 3π22π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2sin x 0 2 0 －2 0描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．②列表：x 0 π2π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x 2 1232描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：利用正弦函数的图像求函数的定义域求函数f (x )＝lg (sin x )＋16－x 2的定义域． (教材P 30习题1－5 A 组T 4)[解] 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：该函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)．方法归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般情况．2．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域.解：为使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0⇔0<sin x ≤12.根据正弦曲线得，函数定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π6，2k π＋π，k ∈Z .利用正弦函数的图像确定方程解的个数在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图像，根据图像判断出方程sinx ＝lg x 的解的个数．(教材P 30习题1－5 A 组T 1(1))[解] 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，再依次向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图像．作出y ＝lg x 的图像，如图所示．由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．若本例中的函数y ＝lg x 换为y ＝x 2，则结果如何？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝sin x 的图像，如图所示．由图知函数y ＝x 2和y ＝sin x 和图像有两个交点，则方程x 2－sin x ＝0有两个根．方法归纳方程根(或个数)的两种判断方法(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观察与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根．3．(1)函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 的图像的交点有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 (2)研究方程10sin x ＝x (x ∈R )根的个数．解：(1)选B.在同一直角坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图像，由图像可以看出有3个交点．(2)如图所示，当x ≥4π时，x 10≥4π10>1≥sin x ；当x ＝52π时，sin x ＝sin 52π＝1，x10＝5π20，1>5π20，从而x >0时，有3个交点，由对称性知x <0时，有3个交点，加上x ＝0时的交点为原点，共有7个交点．即方程有7个根．思想方法数形结合思想的应用求满足下列条件的角的X 围．(1)sin x ≥12；(2)sin x ≤－22.[解] (1)利用“五点法”作出y ＝sin x 的简图，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作x 轴的平行线，在[0，2π]上，直线y ＝12与正弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，12两点．结合图形可知，在[0，2π]内，满足y ≥12时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π6≤x ≤5π6.因此，当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .(2)同理，满足sin x ≤－22的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪5π4＋2k π≤x ≤74π＋2k π，k ∈Z .[感悟提高] 形如sin x >a (<a )的不等式，求角x 的X 围，一般采用数形结合的思想来解题，具体步骤：(1)画出y ＝sin x 的图像，画直线y ＝a . (2)若解sin x >a ，则观察y ＝sin x 在直线y ＝a 上方的图像．这部分图像对应的x 的X围，就是所求的X 围．若解sin x <a ，则观察y ＝sin x 在直线y ＝a 下方的图像．这部分图像对应的x 的X 围，就是所求的X 围．1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )解析：选B.利用五点法画图，函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的图像一定过点(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2，(2π，1)，故B 项正确． 2．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，b 在函数f (x )＝2sin x ＋1的图像上，则b ＝________． 解析：b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4＋1＝2. 答案：23．若函数f (x )＝2sin x －1－a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个零点，则实数a 的取值X 围是________．解析：令f (x )＝0得2sin x ＝1＋a .作出y ＝2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的图像，如图所示． 要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个零点，需满足3≤1＋a <2，所以3－1≤a <1. 答案：[3－1，1),[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1C ．与y 轴有一个交点D ．关于y 轴对称解析：选D.正弦函数y ＝sin x 的图像如图所示．根据y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．函数y ＝sin x 的图像与函数y ＝－sin x 的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选A.在同一直角坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x 轴对称．3．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x解析：选D.对A ，由于y ＝sin(x ＋π)＝－sin x ，故排除A ；对B ，由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，故排除B ；对C ，由于y ＝sin(－x )＝－sin x ，故排除C ；对D ，由于y＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D.4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：选D .当x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故排除A 、B 、C ，选D . 5．函数y ＝x sin x 的部分图像是( )解析：选A .函数y ＝x sin x 的定义域为R ，令f (x )＝x sin x ，则f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )为偶函数，排除B 、D ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，故排除C ，故选A.6．在[0，2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值X 围为________．解析：在同一直角坐标系内作出y ＝sin x 和y ＝22的图像如图，观察图像并求出交点横坐标，可得到x 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π7.函数y ＝sin x 的图像和y ＝x2π的图像交点个数是________． 解析：在同一直角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：由图可知交点个数是3. 答案：38.已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值X 围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图像知，－1≤sin x ≤1， 即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤29.用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)x 0 π2 π 32π2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x 3 2 3 4 3(2)10.若函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，求k 的取值X 围．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π，作出函数的图像如图：由图可知当1<k <3时函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点．[B.能力提升]1．若y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3，则函数的值域为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 C ．(1，2]D ．[1，2]解析：选B.画出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3的图像如图所示，可知y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.2．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x(0<x <π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值也无最小值解析：选B.f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋asin x.因为0<x <π，所以0<sin x ≤1.所以1sin x≥1.所以1＋asin x≥a ＋1.所以f (x )有最小值而无最大值． 故选B.3．已知f (sin x )＝x 且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ＝12时，x ＝π6， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6＝π6. 答案：π64．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________．解析：不妨设△ABC 中，0<A ≤B ≤C ，得0<A ≤B ，且0<A ≤C ，所以0<3A ≤A ＋B ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π，所以0<3A ≤π，即0<A ≤π3. 若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π3， 由y ＝sin x 图像知y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，32 5．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间．①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值X 围． 解：列表如下：x －π －π2 0 π2π sin x 0 －1 0 1 01－2sin x 1 3 1 －1 1描点连线得：(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分时y >1，在y ＝1下方部分时y <1，所以当x ∈(－π，0)时，y >1；当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1. 所以a 的取值X 围是{a |1<a <3或－1<a <1}．6．(选做题)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上的减函数，f (1－sin α)＋f (1－sin 2α)<0，求α的取值X 围．解：由题意可知f (1－sin α)<－f (1－sin 2α)．因为f (x )是奇函数，所以－f (1－sin 2α)＝f (sin 2α－1)，所以f (1－sin α)<f (sin 2α－1)．又由f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上的减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－12<1－sin α<12，－12<sin 2α－1<12，1－sin α>sin 2α－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12<sin α<32，12<sin 2α<32，sin 2α＋sin α－2<0， 解得22<sin α<1， 所以2k π＋π4<α<2k π＋π2(k ∈Z )或2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )， 所以α的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．。
人教a版必修4学案：1.6三角函数模型的简单应用(含答案)
1.6三角函数模型的简单应用自主学习知识梳理1．三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.2．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质(1)y max＝________，y min＝________.(2)A＝__________，k＝__________.(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．自主探究结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期．(1)y＝|sin x|的周期是________；(2)y＝|cos x|的周期是________；(3)y＝|tan x|的周期是________；(4)y＝|A sin(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是________；(5)y＝|A sin(ωx＋φ)＋k| (Aωk≠0)的周期是____________________________________________________________________；(6)y＝|A tan(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是__________．对点讲练知识点一从实际问题中提炼三角函数模型例1如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．回顾归纳如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．变式训练1 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.知识点二 三角函数模型在物理学科中的应用例2 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．回顾归纳 三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用．在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题．变式训练2 如图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)在同一周期内的图象．(1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？知识点三 三角函数模型在实际问题中的应用t 小时＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)回顾归纳 确定函数关系式y ＝A sin ωt ＋B ，就是确定其中的参数A ，ω，B 等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2.变式训练3 设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课时作业一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或34. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )二、填空题5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 6．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．7．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．三、解答题8. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？§1.6 三角函数模型的简单应用答案知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2 (3)ω＝2πT (4)0 π2 π 32π 2π3．周期 自主探究(1)π (2)π (3)π (4)π|ω| (5)2π|ω| (6)π|ω|对点讲练 例1 解(2)(1)由题意可作图如图(2)所示．过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于M 点．当θ>π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2； 当0≤θ≤π2时，上述解析式也适合．综上所述，h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30，∴t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)． 变式训练1 解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30t＝π15 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10 sin π15t ＋12(t ≥0)． (2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252. 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m. 例2 解 (1)当t ＝0时，E ＝1103(伏)， 即开始时的电压为1103伏．(2)T ＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏．当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得最大值．变式训练2 解 (1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150，∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π.由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.例3 解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．变式训练3 A [在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]课时作业 1．A 2.A3．D [因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴． 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2 ＝±3.因此选D.]4．C [d ＝f (l )＝2sin l2.]5．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 6．80解析 T ＝2π160π＝180(分)．f ＝1T＝80(次/分)．7.g 4π2 解析 T ＝2πgl＝1.∴ g l ＝2π.∴l ＝g4π2.8．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)
1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？ 问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？ 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型 师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型 多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0， 在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。
人教A版新课标高中数学必修4第一章《三角函数》综合练习题(含答案)
第一章《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（ ）A.54-B.53C.54D.53-2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（）A .3πcmB .23πcmC .23πcm D .223πcm 3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（ ）A .3π，2-，4πB .3π，2，12πC .6π，2，12πD .6π，2，4π4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（ ） A .1sin()26y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=-5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称6.如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |7．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．68．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-C .233D .233-11.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ）A.βα<;B.βαsin sin >；C.βαtan tan >；D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( )A. 1B.22C. 0D.22-二、填空题13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________ 14．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α的值是_____________.15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是 ． 16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________.三、解答题17.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．18.已知tan 3α=，求下列各式的值： （1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ；（2）212sin cos cos ααα+．19．（1）画出函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 在一个周期的函数图像；（2）求出函数的对称中心和对称轴方程．20．已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)判断其奇偶性．(2)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最大值，并求取得最大值时的x ；21．已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间； (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象第一章《三角函数》综合练习答案一、选择题1-5 CDCBB 6-10 CBBCA 11-12 BB 二、填空题13、5[2,2],33k k k Z ππππ++∈14、31015、1[]216、13k << 17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---；（2）若31sin()23πα-=-，则有1cos 3α=-，所以()f α=3。
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.6三角函数模型的简单应用
由图象可知：T＝π；y＝|cos x|是偶函数； π 单调递增区间为[－ ＋kπ，kπ]，k∈Z， 2 π 单调递减区间为[kπ， ＋kπ]，k∈Z. 2
根据图象可知，函数 y ＝ |sin x| 的周期是 π ，函数在区间 π π kπ，kπ＋ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， kπ－ ，kπ， k ∈ Z 上递增； 在区间 k∈Z 上递减． 2 2
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.6
探究点二
利用三角函数模型解释自然现象
在客观世界中，周期现象广泛存在．潮起潮落、星月运转、 昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心
填一填·知识要点、记下疑难点 2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
§1.6
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(1)ymax＝ A＋k ，ymin＝ －A＋k . ymax－ymin ymax＋ymin 2 (2)A＝ ，k＝ . 2 2π (3)ω 可由 ω＝ T 确定，其中周期 T 可观察图象获得． π (4)由 ωx1＋φ＝ 0 ，ωx2＋φ＝ 2 ，ωx3＋φ＝ π ，ωx4＋φ 3 ＝ 2π ，ωx5＋φ＝ 2π 中的一个确定 φ 的值． 3．三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模 型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测 其未来等方面都发挥着十分重要的作用.
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理、生理状况都呈现周期性变化．而三角函数模型是刻画 周期性问题的最优秀的数学模型． 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”； (2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形 的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；
高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.6知识点总结含同步练习及答案
21 24 7.9 11.1
经长期观察，函数 y = f (t) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin (ωt + φ) 的图象．下面的函数 中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( A．y = 11 + 3 sin (
)
π π t + ) , t ∈ [0, 24] 12 2 π B．y = 11 + 3 sin ( t + π) , t ∈ [0, 24] 6 π C．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 12 π D．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 6
π π t + ) ， t ∈ [0, 24] 12 2 π B． y = 11 + 3 sin ( t + π) ， t ∈ [0, 24] 6 π C． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 6 π D． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 12
3. 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + A cos
π (x − 6) ( 6
x = 1, 2, 3, ⋯ , 12 ) 来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28∘ C ， 12 月份的月平均气温最
低，为 18∘ C ，则 10 月份的平均气温值为
B．[1, 7]
D．[0, 1] 和 [7, 12]
2π π π 弧度，从而经过 t 秒转了 = t 弧度． 12 6 6 1 √3 π 而 t = 0 时， 点 A ( , ．经过 t 秒后点 A 的纵坐标为 ) ，则 ∠xOA = 2 2 3
1.6第2课时用三角函数模型刻画周期变化规律（例4）学案（人教A版必修4）.doc
1.6 第2课时 用三角函数模型刻画周期变化规律（例4）【课前准备】1．课时目标（1）利用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题，关键是从实际问题中抽象出三角函数模型；（2）明确所给问题是否具有周期现象，能否用三角函数来刻画；认真分析实际问题的意义，如自变量的范围．2．基础预探（1）________作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．（2）我们可以利用搜集到的数据，作出相应的________，通过观察散点图关进行函数拟合而获得具体的________，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．（3）实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用________或________．【知识训练】1．函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．（2π，2π3）B ．（π，2π）C ．（2π3，2π5） D ．（2π，3π）2．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y （米）与时间x （秒）满足函数关系y=Asin （ωx+φ）+2，则有（ ）A ．A=3，ω=152π B ．A=3，ω=π215 C ．A=5，ω=152π D ．A=5，ω=π2153．若x =3π是方程2cos （x +α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=_________． 4．若f （x ）具有性质：①f （x ）为偶函数，②对任意x ∈R ，都有f （4π－x ）=f （4π+x ），则f （x ）的解析式可以是_______．（只写一个即可）5．求下列函数的单调区间： y =－｜sin （x +4π）｜． 6．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离ycm 和时间xs 的函数关系为y=6sin （2πx+6π）．（1）单摆开始摆动（x=0）时，离开平衡位置多少厘米？（2）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ （3）单摆来回摆动一次需要多少时间？ 【学习引领】三角函数能够模拟许多周期现象，在解决实际问题中有着广泛的应用．特别，三角函数在物理中有比较多的应用，物理中的单摆运动、波的传播、交流电等内容都可以用三角函数来分析和理解．特别是如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述．可以利用三角函数的相应理论来解答生产、科研和日常生活中的实际问题．注意结合三角函数的图象与性质加以处理简单的实际问题，关键是体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．掌握数形结合的数学思想．解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后作出结论并回答问题．注意三角函数中的变量的特定的取值等．【典例导析】题型一：变换问题中的三角函数模型例1．估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）的表达式是：D （t ）=2k sin 3652π（t －79）+12，其中t 表示某天的序号，t=0表示1月1日，依次类推，常数k 与某地所处的纬度有关．（1）在波士顿，k=6，试画出函数当0≤t ≤365时的图象； （2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？ （3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时．思路导析：结合给出的三角函数表达式作出相应的函数图象，并结合具体的问题，结合函数图象来分析与判断实际问题．解析：（1）先用“五点法”作出f （t ）=3sin 3652π（t －79）的简图，如下图，由sin 3652π（t －79）=0及sin2π（t －79）=2π，可解得t=79及t=444，列表如下：若t=0，f （0）=3sin365（－79）≈3sin （－1.36）=－2.9， 因为f （x ）的周期为365，所以f （365）=－2.9，将f （t ）在[0，365]上的图象向上平移12个单位，就得到D （t ）的图象；（2）白昼时间最长的一天，即D （t ）取最大值的一天，此时t=170，对应的是6月20日（闰年除外）；类似地，t=365时，D （t ）取最小值，即12月20日白昼最短；（3）D （t ）＞10.5，即3sin 3652π（t －79）+12＞10.5，sin 3652π（t －79）＞－21，t ∈[0，365]，∴49＜t ＜292，由于292－49=243，所以约有243天的白昼时间超过10.5小时．点评：理解题意，建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，用相关的数学知识解答，是解决实际问题的关键，也是三角函数实际应用的表现之一．变式练习1：如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处（点P 与摩天轮中心Ｏ高度相同）时开始计时．（1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米？题型二：拟合问题中的三角函数模型例2．在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA ）的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老韩在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA 均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xOy ，则股价y （元）和时间x 的关系在ABC 段可近似地用解析式y=asin （ωx+φ）+b （0<φ<π）来描述，从C 点走到今天的D 点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D 点和C 点正好关于直线l ：x=34对称．老韩预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里D E 段与ABC 段关于直线l 对称，EF 段是股价延续D E 段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F ．现在老韩决定取点A （0，22），点B （12，19），点D （44，16）来确定解析式中的常数a ，b ，ω，φ，并且已经求得ω=72π． （Ⅰ）请你帮老韩算出a ，b ，φ，并回答股价什么时候见顶（即求F 点的横坐标）；（Ⅱ）老韩如能在今天以D 点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F 点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？思路导析：通过在ABC 段可近似地用解析式y=as in （ωx+φ）+b （0<φ<π）来描述的关系进行待定系数法运算，计算相应的参数值，并结合对称性解决相应的解析式问题和函数值问题．解析：（Ⅰ）由于C 、D 关于直线l 对称，则C 点坐标为（2×34－44，16），即（24，16），把A 、B 、C 的坐标代入解析式y=as in （ωx+φ）+b ，得22s i n 19s i n ()616s i n ()3a b a b a bϕπϕπϕ⎧⎪=+⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩①②③②-①，得a[sin （6π+φ）－sin φ]=－3， ③-①，得a[sin （3π+φ）－sin φ]=－6，则有2 [sin （6π+φ）－sin φ]=sin （3π+φ）－sin φ，展开有cos φ+3sin φ=23cos φ+23sin φ，即（1－23）cos φ=（23－3）sin φ=3（23－1）sin φ，故tan φ=－33，而0<φ<π，则φ=π－6π=65π，代入②，得b=19，再由①，得a=6， 所以a=6，b=19，φ=65π，于是，ABC 段的解析式为y=6s in （72πx+65π）+19，由对称性得，DEF 段的解析式为y=6sin[72π（68－x ）+65π]+19，故72π（68－x F ）+65π=2π，解得x F =92，即当x=92时，股价见顶； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，y F =6+19=25 ，故这次操作老韩能赚5000×（25－16）=45000元． 点评：在解决拟合三角函数模型问题中，往往通过待定系数法，根据已经点的坐标的关系解决相应的方程组先求解对应的参数值，再根据实际问题求解相应的三角函数问题．变式练习2：下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）中画出这些数据的散点图；（Ⅱ）试选用一个．．．．形如y=As in （ωx+φ）+t 的函数来近似描述一年中白昼时间y 与日期位置序号x 之间的函数关系；[注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算]（Ⅲ）用（Ⅱ）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时？【随堂练习】1．方程sinx=lgx 的实根个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．函数f （x ）=2πx －sin x （x ∈R ）的部分图象是（ ）3．为了使y =sin ωx （ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（ ）A ．98πB ．2π197 C ．2π199 D ．100π4．y =xxsin 2sin +的最大值是_________，最小值是_________．5．已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记作y=f （x ），下表是某日各时的浪高数据．函数的解析式为 ．6．设x ∈［0，2π］，f （x ）=sin （cos x ），g （x ）=cos （sin x ），求f （x ）、g （x ）的最大值．【课后作业】1．定义新运算a*b 为：a*b=⎩⎨⎧ a (a≤b )b (a ＞b)，例如1*2=1，3*2=2，则函数f （x ）=sinx*cosx的值域为（ ）A ．[－1，22] B ．[0，22] C ．[－1，2] D ．[－22，22] 2．水平地面上发射的炮弹，初速度大小为v 0，发射角为θ，重力加速度为g ，则炮弹上升的高度y 与飞行时间t 之间的关系式为（ ）A ．y=v 0tB ．y=v 0sin θ·t －21gt 2C ．y= v 0sin θ·tD ．y= v 0cos θ·t 3．y =xxsin cos 2-（0＜x ＜π）的最小值是________． 4．如图，一广告气球被一束入射角为α的平行光线照射，其投影是长半轴长为5 m 的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料为 m 2．5．f （x ）是定义在［－2π，2π］上的偶函数，当x ∈［0，π］时，y =f （x ）=cos x ，当x ∈（π，2π］时，f （x ）的图象是斜率为π2，在y 轴上截距为－2的直线在相应区间上的部分．（1）求f （－2π），f （－3π）； （2）求f （x ），并作出图象，写出其单调区间． 6．已知函数f （x ）=⎩⎨⎧>≥.sin cos cos cos sin sin ）（），（x x x x x x（1）画出f （x ）的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；（2）判断f （x ）是否为周期函数.如果是，求出最小正周期．答案：【课前准备】2．基础预探 （1）三角函数；（2）散点图，函数模型；（3）计算机，计算器； 【知识训练】1．C ；解析：根据各选项，依次排除A 、B 、D ； 2．A ；解析：周期T=15，ω=T π2=152π； 3．3π4；解析：∵x =3π是方程2cos （x +α）=1的解，∴2cos （3π+α）=1，即cos （3π+α）=21，又α∈（0，2π），∴3π+α∈（3π，3π7），∴3π+α=3π5，∴α=3π4； 4．f （x ）=a 或f （x ）=cos4x 或f （x ）=|sin2x |等；解析：开放性问题，只要写出满足条件的函数即可；5．解析：y =－|sin （x +4π）|的图象的增区间为［k π－4π，k π+4π］，减区间为［k π+4π，k π+4π3］，k ∈Z ．6．解析：（1）当x=0时，y=6sin （2π×0+6π）=6sin 6π=3，即此时离开平衡位置3厘米； （2）单摆摆动到最右边时，此时y 取得最大值，即离开平衡位置6厘米； （3）由于T=ωπ2=1，那么f=T1=1，即单摆来回摆动一次需要1s ． 【典例导析】变式练习1：解析：（1）以O 为坐标原点，以OP 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q 处，则在t 秒内OQ 转过的角为202πt=10πt ， 所以t 秒时，Q 点的纵坐标为10πt ， 故在t 秒时此人相对于地面的高度为y=10sin10πt +12（米）； （2）令y=10sin 10πt +12≤12，则sin 10πt ≤－51，由于0≤t ≤20，可得10.64≤t ≤19.36，则19.36－10.64=8.72，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米． 变式练习2：解析：（I ）画散点图见下面：（Ⅱ）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=As in （ωx+φ）+t ， 由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即y max =19.4，y min =5.4， 由19.4－5.4=14，得A=7；由19.4+5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，则ω=T π2=3652π，当x=172时，3652πx+φ=2π，则φ=－730323π， 所以y=7s in （3652πx －730323π）+12.4（1≤x ≤365，x ∈N*）；（Ⅲ）由y>15.9得sin （3652πx －730323π）>21，则有6π<3652πx －730323π<65π，解得12365+4323<x<625365⨯⨯+4323，即112≤x ≤232，∴该地大约有121天（或122天）白昼时间大于15.9小时．【随堂练习】1．C ；解析：根据函数y=sinx 与y=lgx 的图象加以分析与判断，其两图象的交点有3个，故其方程的实根有3个；2．D ；解析：当x→＋∞时，函数值y→＋∞，当x→－∞时，函数值y→－∞，仅选项D 满足；3．B ；解析：4941×T ≤1，即4197×ωπ2≤1，∴ω≥2π197； 4．31，－1；解析：y =x x sin 22sin 2+-+=1－x sin 22+，当sin x =－1时，得y min =－1；当sin x =1时，得y max =31； 5．y=21cos 6πt+1；解析：根据表格中数据可知y 的极差是1.5－0.5=1，则A=21，由此可以判断b=1，结合数据可知周期为T=2×（9－3）=24，则ω=T π2=6π；6．解析：∵在x ∈［0，2π］上，y =cos x 是单调递减的，且cos x ∈［0，1］，而y =sin x 是单调递增的，且sin x ∈［0，1］，∴f （x ）=sin （cos x ）∈［0，sin1］，g （x ）=cos （sin x ）∈［cos1，1］， ∴f （x ）的最大值是sin1，g （x ）的最大值是1． 【课后作业】1．A ；解析：当sinx ≤cosx 时，即2kπ－3π4≤x ≤2kπ+π4（k ∈Z ）时，f （x ）=sinx ∈[－1，22]，当sinx>cosx 时，即2kπ+π4<x<2kπ+3π4（k ∈Z ）时，f （x ）=sinx ∈[－1，22），所以函数f （x ）的值域为[－1，22]； 2．B ；解析：根据实际问题结合选项加以分析与判断；3．3；解析：y 可视为点A （－sin x ，cos x ），B （0，2）连线的斜率k AB ，而点A 的轨迹⎩⎨⎧='-='，，x y x x cos sin x ∈（0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（如下图），易知当A （－23，21）时，y min =k AB =3；4．100πcos 2α；解析：由图知：2R=10cos α，R=5cos α，则S=4πR 2=100πcos 2α； 5．解析：（1）当x ∈（π，2π］时，y =f （x ）=π2x －2，又f （x ）是偶函数，∴f （－2π）=f （2π）=2， 又x ∈［0，π］时，y =f （x ）=cos x ，∴f （－3π）=f （3π）=21；（2）y =f （x ）=[)[](]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈--∈--.2ππ2π2ππcos ππ22π2，，，，，x x x xx x单调区间为［－2π，－π），［0，π），［－π，0］，［π，2π］． 6．解析：（1）实线即为f （x ）的图象：单调增区间为［2k π+4π，2k π+2π］，［2k π+4π5，2k π+2π］（k ∈Z ）， 单调减区间为［2k π，2k π+4π］，［2k π+2π，2k π+4π5］（k ∈Z ）， f （x ）max =1，f （x ）min =－22； （2）f （x ）为周期函数，T =2π．。
高中数学必修四同步练习及答案(新课标人教A版)
高中数学必人修教四A版练习册高中数学人教A 版必修4练习册目录导航人教A 版必修4练习1.1任意角和弧度制 ....................................................... 1 1.2任意角的三角函数 ..................................................... 3 1.3三角函数的诱导公式 ................................................... 5 1.4三角函数的图像与性质 . (7)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 .............. 10 第一章 三角函数基础过关测试卷 ........................................... 12 第一章三角函数单元能力测试卷 .. (14)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 18 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 20 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ........................................ 22 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 25 第二章平面向量基础过关测试卷 ............................................ 27 第二章平面向量单元能力测试卷 .. (29)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 33 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 36 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 . (38)人教A 版必修4练习答案1.1任意角和弧度制 ...................................................... 42 1.2任意角的三角函数 .................................................... 42 1.3三角函数的诱导公式 .................................................. 43 1.4三角函数的图像与性质 (43)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 .............. 44 第一章三角函数基础过关测试卷 ............................................ 45 第一章三角函数单元能力测试卷 .. (45)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 46 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 46 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ........................................ 46 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 47 第二章平面向量基础过关测试卷 ............................................ 48 第二章平面向量单元能力测试卷 .. (48)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 49 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 49 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 . (50)1.1任意角和弧度制一、选择题（每题5分，共50分）1.四个角中，终边相同的角是 （ ）A.,398- 38 B.,398- 142 C.,398- 1042 D.,14210422.集合α{=A ︱ 90⋅=k α,36-}Z k ∈，β{=B ︱180-180<<β},则B A 等于（ ）A.,36{- 54} B.,126{- 144} C.,126{-,36-,54144} D.,126{-54}3.设θ{=A ︱θ为锐角}，θ{=B ︱θ为小于90的角}，θ{=C ︱θ为第一象限角}， θ{=D ︱θ为小于 90的正角}，则 （ ） A.B A = B.C B = C.C A = D.D A =4.若角α与β终边相同，则一定有 （ ） A.180=+βα B.0=+βαC.360⋅=-k βα，Z k ∈ D.360⋅=+k βα，Z k ∈ 5.已知α为第二象限的角，则2α所在的象限是 （ ） A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 6.将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是 （ ）A.3π B.3π- C.2π D.32π7.在半径为cm 2的圆中，有一条弧长为cm 3π，它所对的圆心角为 （ ）A.6πB.3πC.2πD.32π 8.已知角α的终边经过点)1,1(--P ,则角α为 （ ）A.)(45Z k k ∈+=ππα B.)(432Z k k ∈+=ππα C.)(4Z k k ∈+=ππα D.)(432Z k k ∈-=ππα 9.角316π化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式 ( )A.35ππ+B.344ππ+C.326ππ-D.373ππ+10.集合α{=A ︱},2Z k k ∈+=ππα，α{=B ︱},)14(Z k k ∈±=πα，则集合A 与B 的关系是 （ ） A.B A = B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A ≠ 二、填空题（每题5分，共20分）11.角a 小于180而大于-180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角a 的集合为__________.12.写满足下列条件的角的集合.1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合__________； 2）终边在坐标轴上的角的集合__________；3）终边在第一、二象限及y 轴上的角的集合__________； 4）终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合__________.13.设扇形的周长为cm 8，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________. 14.已知a {∈θ︱a =+πk },4)1(Z k k∈⋅-π，则角θ的终边落在第__________象限.三、解答题（15、16每题7分，17、18每题8分）15.已知角a 的终边与y 轴的正半轴所夹的角是30，且终边落在第二象限，又720-<a < 0，求角a .16.已知角45=a ，（1）在区间720[-0,)内找出所有与角a 有相同终边的角β；（2）集合x M {=︱ 1802⨯=k x 45+，}Z k ∈,x N {=︱ 1804⨯=kx 45+}Z k ∈ 那么两集合的关系是什么？17.若θ角的终边与3π的终边相同，在]2,0[π内哪些角的终边与3θ角的终边相同？18.已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值.1.2任意角的三角函数一、选择题（每题5分，共40分）1.已知角α的终边过点()αcos ,2,1-P 的值为 （ ）A.55-B.55C.552 D.252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A.αsin B.αcos C.αtan D.αtan 13.已知角α的终边过点()()03,4<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值是 （ ）A.52B.52- C.0 D.与α的取值有关 4.(),,0,54cos παα∈=则αtan 1的值等于 （ ）A.34B.43C.34±D.43± 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是 （ ）A.()Z k k k ∈+,)12(,2ππB.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)12(,22πππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)1(,2πππ D.[]Z k k k ∈+,)12(,2ππ 6.若θ是第三象限角，且,02cos<θ则2θ是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角7.已知,54sin =α且α是第二象限角，那么αtan 的值为 （ ） A.34- B.43- C.43 D.348.已知点()ααcos ,tan P 在第三象限，则角α在 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 二、填空题（每题5分，共20分）9.已知,0tan sin ≥αα则α的取值集合为__________. 10.角α的终边上有一点(),5,m P 且(),013cos ≠=m mα则=+ααcos sin __________.11.已知角θ的终边在直线x y 33=上，则=θsin __________，=θtan __________. 12.设(),2,0πα∈点()αα2cos ,sin P 在第三象限，则角α的范围是__________. 三、解答题（第15题20分，其余每题10分，共40分） 13.求43π的角的正弦，余弦和正切值.14.已知,51sin =α求ααtan ,cos 的值.15.已知,22cos sin =+αα求αα22cos 1sin 1+的值.1.3三角函数的诱导公式一、选择题（每题5分，共40分） 1.21)cos(-=+απ，παπ223<<,)2sin(απ-值为 ( ) A.23 B.21C.23±D.23- 2.若,)sin()sin(m -=-++ααπ则)2sin(2)3sin(απαπ-++等于 （ ） A.m 32-B.m 23-C.m 32D.m 233.已知,23)4sin(=+απ则)43sin(απ-值为 （ ） A.21B.21-C.23D.23-4.如果),cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ ）A.)](22,22[Z k k k ∈++-ππππB.))(223,22(Z k k k ∈++ππππC.)](223,22[Z k k k ∈++ππππD.))(2,2(Z k k k ∈++-ππππ 5.已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （ ）A.21||aa + B.21aa +C.21aa +-D.211a+-6.设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ）A.33B.33-C.3D.－37.若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （ ） A.0 B.1C.1-D.238.在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是 （ ） A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰或直角三角形D .等腰直角三角形二、填空题（每题5分，共20分）9.求值：︒2010tan 的值为 ．10.若1312)125sin(=-α,则=+)55sin(α ． 11.=+++++76cos 75cos 74cos 73cos 72cos 7cos ππππππ ．12.设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为 ． 三、解答题（每题10分，共40分） 13.已知3)tan(=+απ,求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．14.若32cos =α,α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．15.已知αtan 、αtan 1是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值．16.记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．1.4三角函数的图像与性质一、选择题(每题5分,共50分)1.)(x f 的定义域为[]1,0则)(sin x f 的定义域为 （ ） A.[]1,0 B.)(2,2222,2Z k k k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ πππππππ C.[])()12(,2Z k k k ∈+ππ D.)(22,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡+πππ2.函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是 （ ）A52π B 25π C π2 D π5 3.x x y sin sin -=的值域是 （ ） A ]0,1- B ]1,0 C ]1,1[- D ]0,2[-4.函数)44(tan 1ππ≤≤-=x x y 的值域是 ( ) A.[]1,1- B.(][) +∞-∞-,11, C.[)+∞-,1 D.(]1,∞-5.下列命题正确的是 （ ） A.函数)3sin(π-=x y 是奇函数 B.函数)cos(sin x y =既是奇函数,也是偶函数C.函数x x y cos =是奇函数D.函数x y sin =既不是奇函数,也不是偶函数6.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于 （ ） A 1C.0D.2- 7.函数)3cos(πϖ+=x y 的周期为4π则ϖ值为 ( ) A.8 B.6 C.8± D.48.函数)32sin(π+=x y 的图象 ( )A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6π对称C.关于直线3π=x 对称 D.关于直线6π-=x 对称9.)2sin(θ+=x y 图像关于y 轴对称则 ( ) A.)(,22Z k k ∈+=ππθ B.)(,2Z k k ∈+=ππθC.)(,2Z k k ∈+=ππθD.)(,Z k k ∈+=ππθ 10.满足21)4sin(≥-πx 的x 的集合是 ( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,121321252ππππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,1272122ππππ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,6522πππ 二、填空题(每题5分,共20分) 11.函数)23sin(2x y -=π的单调递增区间是__________.12.函数)21(cos log 2-=x y 的定义域是__________. 13.函数)2sin(x y =的最小正周期为__________.14.若)(x f 为奇函数,且当0>x 时,x x x x f 2cos sin )(+=,则当0<x 时,=)(x f __________.三、解答题(每题10分,共30分) 15.利用“五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图.16.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32tan )(πx x f ，(1)求函数)(x f 的定义域周期和单调区间； (2)求不等式3)(1≤≤-x f 的解集.17.求下列函数的最大值和最小值及相应的x 值. (1)1)42sin(2++=πx y (2)),32cos(43π+-=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,3ππx (3)5cos 4cos 2+-=x x y (4)2sin sin 1-+=x xy1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用一、选择题(每题5分，共35分) 1.函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是 ( )A.13--，πB.13+-，πC.3-，πD.13--，π2 2.若函数)3sin(2πω+=x y 的图像与直线2=y 的相邻的两个交点之间的距离为π,则ω的一个可能值为 ( ) A.3 B.2 C.31 D.21 3.要得到)32sin(π-=x y 的图像,只要将x y 2sin =的图像 ( )A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数1)62sin(2++=πx y 的最大值是 （ ）A.1B.2C.3D.45.已知函数)(x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的解析式可能为 （ ）A.)62sin(2)(π-=x x f B.)44cos(2)(π+=x x fC.)32cos(2)(π-=x x fD.)64sin(2)(π+=x x f6.)23sin(2x y -=π的单调增区间为 （ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππK K B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,125ππππK K C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππK K D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125ππππK K 7.函数[]),0(),62sin(3ππ∈--=x x y 为增函数的区间是 （ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0πB.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,6ππD.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,32ππ二、填空题(每题5分，共15分)8.关于))(32sin(4)(R x x x f ∈+=有下列命题： 1）有0)()(31==x f x f 可得21x x -是π的整数倍； 2）表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；3）函数的图像关于点)0,6(π-对称；4）函数的图像关于直线6π-=x 对称；其中正确的命题序号是__________.9.甲乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为45,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲乙两楼的高度分别为__________.10.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ，则)599(πf 的值为__________. 三、解答题(每题25分，共50分) 11.已知函数)421sin(3π-=x y ，1）用“五点法”画函数的图像；2）说出此图像是由x y sin =的图像经过怎样的变换得到的； 3）求此函数的周期、振幅、初相；4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.12.已知函数)32cos(log )(π-=x ax f （其中)1,0≠>a a 且，1）求它的定义域； 2）求它的单调区间； 3）判断它的奇偶性；4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期.第一章 三角函数基础过关测试卷一、选择题(每题5分，共40分)1.与240-角终边位置相同的角是 （ ） A.240 B.60 C.150 D.480 2.已知()21cos -=+απ,则()απ+3cos 的值为 （ ） A.21 B.23± C.21- D.233.函数x y sin 1-=的最大值为 （ ） A.1 B.0 C.2 D.1-4.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin x y 的最小正周期是 （ ） A.2πB.πC.π2D.π4 5.在下列各区间上，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 2πx y 单调递增的是（ ） A.],4[ππB.]4,0[πC.]0,[π-D.]2,4[ππ 6.函数x y cos 1+=的图象 （ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线2π=x 轴对称7.使x x cos sin <成立的x 的一个区间是 （ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,43ππ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ C.⎪⎭⎫⎝⎛-43,4ππ D.()π,08.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=43sin πx y 的图象，可由x y 3sin =的图象 （ ）A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12π个单位二、填空题（每题5分，共20分）9.已知角β的终边过点()12,5--P ，求=βcos __________．10.函数x y tan lg =的定义域是__________． 11.()R x x y ∈=sin 的对称点坐标为__________． 12.1cos cos -=x xy 的值域是__________．三、解答题(每题10分，共40分) 13.已知2tan =β，求1sin cos sin 2+βββ的值．14.化简：()()()()()()()()πααπαπαπααπααπ6sin sin cos sin 6cos cos cos sin 2222---++---+-++． 15.求证：ααααααααcos sin cos sin 1cos sin 2cos sin 1+=+++++．16.求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+=323cos 2sin 2ππx x x y 的最大值和最小值．第一章三角函数单元能力测试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1.设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于 ( ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列值①)1000sin( -；②)2200cos(-；③)10tan(-；④4sin 是负值的为 （ ）A.①B.②C.③D.④3.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是 （ ）A.0 B4π C 2πD π 4.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 （ ） A.43-B.34-C.43D.34 5.若α是第四象限的角，则πα-是 （ ） A 第一象限的角 B 第二象限的角 C 第三象限的角 D 第四象限的角6.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )A.1sin 2y x = B 1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=-7.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是 ( )A.35(,)(,)244ππππ B 5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D 33(,)(,)244ππππ 8.与函数)42tan(π+=x y 的图像不相交的一条直线是 ( )A.2π=x B 2π-=x C 4π=x D 8π=9.在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中,最小正周期为π的函数的个数是（ ） A.1个 B 2个 C 个 D 4个10.方程1sin 4x x π=的解的个数是（ ） A B C 7 D 811.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 （ ）A.)45,()2,4(ππππ B.),4(ππ C.)45,4(ππ D.)23,45(),4(ππππ12.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是 （ ）A.2π B 4π- C 4πD 34π二、填空题（每小题5分，共20分）13.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________14.若,24παπ<<则αααtan cos sin 、、的大小关系为__________15 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是__________16.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题：①对任意α,()f x 都是非奇非偶函数；②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α,()f x 都是奇函数 其中假命题的序号是__________三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.求下列三角函数值: （1）)316sin(π- （2）)945cos( -18.比较大小:（1） 150sin ,110sin ； （2）200tan ,220tan19.化简：（1）)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(x x x x x x --⋅--⋅--（2）xx x sin 1tan 1sin 12-⋅++20.求下列函数的值域： （1）)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ； (2) 2sin cos 2+-=x x y21.求函数)32tan(π-=x y 的定义域、周期和单调区间.22.用五点作图法画出函数)631sin(2π-=x y 的图象(1)求函数的振幅、周期、频率、相位； (2)写出函数的单调递增区间；(3)此函数图象可由函数x y sin =怎样变换得到2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算一、选择题（每题5分，共40分）1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（ ） A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个孤立点 D.一个圆2.下列说法中，正确的是 （ ）A.>,则b a >B.=，则b a =C.若b a =，则a ∥bD.若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量3.设O 为△ABC 的外心，则AB 、BO 、CO 是 （ ） A.相等向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.起点相等的向量4.已知正方形ABCD 的边长为1，设a AB =，b BC =，c AC =， b ++=（ ） A.0 B.3 C.22+ D.225.58==，的取值范围是 （ ） A.[]8,3 B.()8,3 C.[]13,3 D.()13,36.如图，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中 A B成立的是A.CA BC AB =+ B.BC AC AB =+C.AD BA AC =+D.DC AD AC =+ D C7.在边长为1的正三角形ABC 中，若向量a BA =，b BC =，+= （ ） A.7 B.5 C.3 D.28.向量a 、b 皆为非零向量，下列说法不正确的是 （ ）A.向量a 与b >，则向量b a +与a 的方向相同B.向量a 与b <，则向量b a +与a 的方向相同C.向量a 与b 同向，则向量b a +与a 的方向相同D.向量a 与b 同向，则向量b a +与b 的方向相同二、填空题（每题5分，共20分）9.ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是__________.10.已知C B A ,,是不共线的三点，向量m 与向量AB 是平行向量，与BC 是共线向量，则m =__________.11.在菱形ABCD 中，∠DAB ︒=601==+__________.12.化简=++BO OP PB __________.三、解答题（13题16分，其余每题12分，共40分）13.化简：（1)FA BC CD DF AB ++++. (2)PM MN QP NQ +++.14.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且OC AO =，OB DO =. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.15.一艘船以h km /5的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成︒30 角，求水流速度和船的实际速度.2.2向量减法运算与数乘运算一、选择题(每题5分,共40分) 1.在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是 （ ） A.-=AC AB BC B.-=AD BD AB C.-=BD AC BC D.-=BD CD BC2.下列各式中结果为O 的有 （ ） ①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO ③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QP A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③3.下列四式中可以化简为AB 的是 （ ） ①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OA A.①④ B.①② C.②③ D.③④4. ()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ba b a24822131 （ ）A.2a b -B.2b a -C.b a -D.()b a --5.设两非零向量12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为 （ ） A.1 B.1- C.1± D.06.在△ABC 中，向量BC 可表示为 （ ） ①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CAA.①②③B.①③④C.②③④D.①②④ 7.已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===,,OA a OB b OC c 则EF =( )A.a b +B.b a -C.-c bD.-b c 8.当C 是线段AB 的中点，则AC BC += （ ） A.AB B.BA C.AC D.O二、填空题(每题5分,共20分)9.化简：AB DA BD BC CA ++--=__________.10.一架飞机向北飞行km 300后改变航向向西飞行km 400，则飞行的总路程为__________， 两次位移和的和方向为__________，大小为__________. 11.点C 在线段AB 上，且35AC AB =，则________AC CB =. 12.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________三、解答题(每题10分,共40分)13.已知点C 在线段AB 的延长线上，且2,,BC AB BC CA λλ==则为何值? 14.如图，ABCD 中,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 表示DE 、BF 、CG15.若菱形ABCD 的边长为2，求AB CB CD -+=?16.在平面四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 的形状是什么？AGE F BD2.3平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题（每题5分，共50分）1.已知平面向量),2,1(),1,2(-==b a则向量b a2321-等于（ ） A.)25,21(-- B.)27,21( C.)25,21(- D.)27,21(-2.若),3,1(),4,2(==AC AB 则BC 等于 （ ） A.)1,1( B.)1,1(-- C.)7,3( D.)7,3(--3.21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是 （ ）A.21e e +和21e e -B.2123e e -和1264e e -C.212e e +和122e e +D.2e 和21e e +4.已知平面向量),,2(),3,12(m b m a =+=且b a //，则实数m 的值等于 （ ） A.2或23-B.23C.2-或23D.72- 5.已知C B A ,,三点共线，且),2,5(),6,3(--B A 若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为 A.13- B.9 C.9- D.13 （ ） 6.已知平面向量),,2(),2,1(m b a -==且b a //，则b a 32+等于 （ ） A.)10,5(-- B.)8,4(-- C.)6,3(-- D.)4,2(--7.如果21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么 （ ） A.若实数21,λλ使02211=+e e λλ，则021==λλ B.21,e e 可以为零向量C.对实数21,λλ，2211e e λλ+不一定在平面内D.对平面中的任一向量a ，使=a 2211e e λλ+的实数21,λλ有无数对8.已知向量)4,3(),3,2(),2,1(===c b a ，且b a c 21λλ+=，则21,λλ的值分别为 ( ) A.1,2- B.2,1- C.1,2- D.2,1-9.已知),3,2(),2,1(-==b a 若b n a m -与b a 2+共线（其中R n m ∈,且)0≠n ，则nm 等于 ( )A.21-B.2C.21D.2- 10.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,b BD a AC == 则AF 等于 （ ）A.b a 2141+ B.b a 3132+ C.b a 4121+ D.b a 3231+ 二、填空题（每题5分，共20分）11.已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且b a //，则=x __________12.设向量)3,2(),2,1(==b a ，若向量b a +λ与向量)7,4(--=c 共线，则=λ__________13.已知x 轴的正方向与a 的方向的夹角为3π4=，则a 的坐标为__________ 14.已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AD AB ,分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量AC BC AB ++32的坐标为__________三、解答题(第15题6分,其余每题8分,共30分)15.已知向量a 与b 不共线，实数y x ,满足等式b x a x b y a x 2)74()10(3++=-+，求y x ,的值.16.已知向量21,e e 不共线，（1）若,82,2121e e BC e e AB +=+=),(321e e CD -=则B A ,,D 三点是否共线？（2）是否存在实数k ，使21e e k +与21e k e -共线？17.已知三点),10,7(),4,5(),3,2(C B A 点P 满足)(R AC AB AP ∈+=λλ，（1）λ为何值时，点P 在直线x y =上？（2）设点P 在第一象限内，求λ的取值范围.18.平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a ，（1）求c b a 23-+；（2）求满足c n b m a +=的实数n m ,；（3)若)2//()(a b c k a -+，求实数k .2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例一、选择题（每题5分，共50分）1.若b a ,是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 （ ）A.b a =B.1=⋅b aC.≠D.=2.下面给出的关系始终正确的个数是 （ ）①00=⋅a ②a b b a ⋅=⋅ ③2a = ④()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ b a ⋅≤ A.0 B.1 C.2 D.33.对于非零向量b a ,，下列命题中正确的是 （ ）A.000==⇒=⋅b a b a 或B. b a //a ⇒在bC.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b ac b c a =⇒⋅=⋅4.下列四个命题，真命题的是 （ ） A.在ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是锐角三角形； B.在ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是钝角三角形； C.ABC ∆为直角三角形的充要条件是0=⋅BC AB ； D.ABC ∆为斜三角形的充要条件是.0≠⋅BC AB .5.e ,8=为单位向量，a 与e 的夹角为,60o 则a 在e 方向上的投影为 （ ）A.34B.4C.24D.238+6.若向量b a ,a ,1==与b 的夹角为120，则=⋅+⋅b a a a （ ）A.21 B.21- C.23 D.23-7.a ,631==与b 的夹角为,3π则b a ⋅的值为 （ ）A.2B.2±C.1D.1±8.已知()(),5,5,0,3-==b a 则a 与b 的夹角为 （ ） A.4π B.3π C.43π D.32π9.若O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()(),02=-+⋅-OA OC OB OC OB 则ABC ∆ 的形状为 （ ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.A ，B ，C 均不是10.设向量()(),1,,2,1x b a ==当向量b a 2+与b a -2平行时，b a ⋅等于 （ ）A.25 B.2 C.1 D.27二、填空题（每题5分，共20分）11.(),2,1,3==b 且,b a ⊥则a 的坐标是_____________. 12.若(),8,6-=a 则与a 平行的单位向量是_____________.13.设21,e e 为两个不共线的向量，若21e e a λ+=与()2132e e b --=共线，则=λ________.14.有一个边长为1的正方形ABCD ，设,,,c AC b BC a AB ====b __________. 三、解答题（每题10分，共30分）15.()()61232,34=+⋅-==b a b a ，求a 与b的夹角θ.16.,43==且a 与b 不共线，当k 为何值的时，向量b k a +与b k a -互相垂直？17.平面上三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态，121,226,1F N F N F +==与 2F 的夹角为,45o求：①3F 的大小；②3F 与1F 的夹角的大小.第二章平面向量基础过关测试卷一、选择题（每题5分，共55分）1.如图在平行四边形ABCD 中,,b OB a OA ==,,d OD c OC ==则下列运算正确的是（ ）A.0=+++d c b a B.0 =-+-d c b a C.0 =--+d c b a D.0 =+--d c b a2.已知)1,3(),3,(-==b x a ，且a ∥b ，则x 等于 （ ） A.1- B.9 C.9- D.13.已知a =)1,2(-，b =)3,1(，则－2a +3b 等于 （ ） A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(4.若点P 分有向线段21P P 所成定比为1:3，则点1P 分有向线段P P 2所成的比为 （ ） A.34-B. 32-C.21-D.23- 5.下列命题中真命题是 （ ）A.000 ==⇒=⋅b a b a 或B.a b a b a 上的投影为在⇒//C.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b ac b c a =⇒⋅=⋅6.已知ABCD 的三个顶点C B A ,,的坐标分别为),3,1(),4,3(),1,2(--则第四个顶点D的坐标为 ( ) A.)2,2( B.)0,6(- C.)6,4( D.)2,4(-7.设21,e e 为两不共线的向量，则21e e a λ+=与()1232e e b --=共线的等价条件是 A.23=λ B.32=λ C.32-=λ D.23-=λ （ ） 8.下面给出的关系式中正确的个数是 （ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅ ③22a a = ④)()(c b a c b a ⋅=⋅ ⑤||||b a b a⋅≤⋅A.0B.1C.2D.39.下列说法中正确的序号是 （ ） ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底； ②两个非零向量平行，则他们所在直线平行；ACOD③零向量不能作为基底中的向量； ④两个单位向量的数量积等于零.A.①③B.②④C.③D.②③10.已知()()5,0,1,221P P -且点P 在21P P 延长线上，22PP =，则点P 坐标是（ ） A.)11,2(- B.)3,34( C.)3,32( D.)7,2(-11.若b a k b a b a b a 432,1||||-+⊥==与且也互相垂直，则k 的值为 （ ） A.6- B.6 C.3 D.3- 二、填空题（每题5分，共15分）12.已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是__________.13.若()0,2,122=⋅-==a b a b a，则b a 与的夹角为__________.14.ΔABC 中,)1,3(),2,1(B A 重心)2,3(G ，则C 点坐标为__________. 三、解答题（每题题10分，共30分）15.已知),4,(),1,1(),2,0(--x C B A 若C B A ,,三点共线，求实数x 的值.16.已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a ，求（1）b a b a+⋅,的值；（2）a 与b的夹角的余弦值.17.已知四边形ABCD 的顶点分别为)4,1(),7,2(),4,5(),1,2(-D C B A ,求证：四边形ABCD 为正方形.第二章平面向量单元能力测试卷一、选择题(每题5分，共60分)1.设F E D C B A ,,,,,是平面上任意五点，则下列等式①AB CE AE CB +=+ ②AC BE BC EA +=- ③ED AB EA AD +=+ ④0AB BC CD DE EA ++++= ⑤0AB BC AC +-=其中错误等式的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42.已知正方形ABCD 的边长为1，设c AC b BC a AB ===,,=++b ( ) A.0 B.3 C.22+D.223.设1e 、2e 是两个不共线向量，若向量 a =2153e e +与向量213e e m b -=共线，则m 的值等于 （ ） A.35-B.－59C.53-D.95-4.已知)3,1(),1,2(=-=b a 则b a 32+-等于 ( ) A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(5.设P )6,3(-,Q )2,5(-,R 的纵坐标为9-，且R Q P ,,三点共线，则R 点的横坐标为 A.9-B.6-C.9D.6 （ ）6.在ΔABC 中,若0)()(=-⋅+CB CA CB CA ，则ΔABC 为 ( ) A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定7.已知向量a ，b ，40-=⋅b a =8,则向量a 与b 的夹角为 （ ） A.60B. 60-C.120D.120-8.已知)0,3(=a ,)5,5(-=b ，则a 与b 的夹角为 ( )A.4πB.43π C.3π D.32π 9.若b a b a⊥==,1||||且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则k 的值为 ( )A.6-B.6C.3D.3-NA BDM C10.已知a =(2,3),b =(4-,7),则a 在b上的投影值为 ( )A.13B.513 C.565 D.6511.若035=+CD AB ,且BC AD =，则四边形ABCD 是 ( ) A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形12.己知)1,2(1-P ,)5,0(2P 且点P 在线段21P P 的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为 ( ) A.)11,2(-B.)3,34(C.(3,32) D.)7,2(- 二、填空题(每题5分，共 20分)13.已知|a |=1,|b |=2,且(a －b )和a 垂直,则a 与b的夹角为__________.14.若向量),2(x a -=,)2,(x b -=,且a 与b 同向，则-a b 2=__________.15.已知向量a )2,3(-=,b )1,2(-,c )4,7(-=,且b a cμλ+=，则λ=__________，μ=__________.16.已知|a |=3,｜b ｜=2，a 与b 的夹角为60，则｜a －b ｜=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD BN 31=，求证：C N M ,,三点共线．18.已知C B A ,,三点坐标分别为),2,1(),1,3(),0,1(--AE =31AC ，BF =31BC ， 1）求点E 、F 及向量EF 的坐标； 2）求证：EF ∥AB ．19.24==夹角为120,求：(1)b a ⋅；(2))()2(b a b a +⋅-；(3)a 3+．20.已知)2,3(),2,1(-==b a，当k 为何值时：（1）b a k +与b a 3-垂直；（2）b a k +与b a3-平行，平行时它们是同向还是反向？21.())sin 3cos ),3(sin(,sin ,cos 2x x x b x x a -+==π,b a x f ⋅=)(，求：(1)函数()x f 的最小正周期； (2))(x f 的值域； (3))(x f 的单调递增区间.22.已知点)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ， （1）若1-=⋅BC AC ，求α2sin 的值；（213=+，且),0(πα∈，求OB 与OC 的夹角.3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题(每题5分,共45分)1. 345cos 的值等于 （ ）A.462- B.426- C.462+ D.462+- 2.195sin 75sin 15cos 75cos -的值为 （ ） A.0 B.21 C.23D.21- 3.已知1312sin -=θ，)0,2(πθ-∈，则)4cos(πθ-的值为 （ ）A.2627-B.2627C.26217-D.26217 4.已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为 （ ）A.2519B.2516C.2514D.257 5.若31sin cos ),,0(-=+∈ααπα且, 则α2cos 等于 （ ）A.917 B.917± C.917- D.317 6.已知函数是则)(,,sin )2cos 1()(2x f R x x x x f ∈+= （ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数7.已知71tan =α，βtan =31，20πβα<<<，则βα2+等于 （ ）A.45πB.4πC.45π或4πD.47π8.ΔABC 中，已知αtan 、βtan 是方程01832=-+x x 的两个根，则c tan 等于 ( ) A.2 B.2- C.4 D.4-9.函数56sin2sin 5cos 2cos )(ππx x x f -=的单调递增区间是 （ ） A.)(53,10Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ B.)(207,203Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C.)(532,102Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(10,52Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 二、填空题(每题5分,共20分)10.已知函数的最小正周期是则)(,,sin )cos (sin )(x f R x x x x x f ∈-=__________. 11.135)6cos(-=+πx ,则)26sin(x -π的值是__________. 12.231tan 1tan +=+-αα,则α2sin =__________. 13.已知函数[]则,,0,sin )(π∈=x x x f )2(3)(x f x f y -+=π的值域为__________.三、解答题(14题11分，15、16题12分，共35分) 14.求值：(1))32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ.(2)已知,71tan ,21)tan(-==-ββα且)0,(,πβα-∈，求βα-2的值.15.设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=，（1)求)(x f 的最大值及最小正周期；（2)若锐角α满足323)(-=αf ，求α54tan 的值.16.已知),,0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-= （1)求)tan(βα+的值； （2)求函数)cos()sin(2)(βα++-=x x x f 的最大值.3.2简单的三角恒等变换一、选择题(每题5分，共40分)1.=-︒︒︒︒16sin 194cos 74sin 14sin （ ） A .23 B .23-C .21 D .21- 2.下列各式中，最小的是 （ ） A .40cos 22B .6cos 6sin 2 C .37sin 50cos 37cos 50sin - D .41cos 2141sin 23- 3.函数()R x x y ∈+=2cos 21的最小正周期为 （ ） A .2πB .πC .π2D .π4 4.︒︒︒︒-+70tan 50tan 350tan 70tan 的值为 （ ） A .21 B .23 C .21- D .3-5.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos （ ） A .97-B .31-C .31D .97 6.若函数x x y tan 2sin =，则该函数有 （ ） A .最小值0，无最大值 B .最大值2，无最小值 C .最小值0，最大值2 D .最小值2-，最大值2 7.若παπ223<<，则=++α2cos 21212121 （ ） A .2cosαB .2sinαC .2cosα- D .2sinα-8.若()x x f 2sin tan =，则()=-1f （ ） A .1 B .1- C .21D .21-二、填空题（每题5分，共20分）9.计算=-+75tan 175tan 1__________.10.要使mm --=-464cos 3sin θθ有意义,则m 取值范围是__________.11.sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+＝__________. 12.若函数4cos sin 2++=x a x y 的最小值为1，则a =__________.三、解答题（每题10分，共40分） 13.化简：)10tan 31(40cos ︒+︒.14.求值：︒︒︒︒++46cos 16sin 46cos 16sin 22.15.求函数1cos sin 2cos sin +++=x x x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的最值.16.已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 2cos sin 3sin 22,(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的对称轴； (3)求函数最大值及取得最大值时x 的集合.第三章三角恒等变换单元能力测试卷一、选择题（每题5分 ，共60分）1.︒︒︒︒++15cos 75cos 15cos 75cos 22的值等于 （ ）A.26 B.23 C.45 D.431+2.已知222tan -=θ，πθπ22<<，则θtan 的值为 ( ) A.2 B.22-C.2D.2或22- 3.设︒︒︒︒++=30tan 15tan 30tan 15tan a ，︒︒-=70sin 10cos 22b ，则a ，b 的大小关系 A.b a = B.b a > C.b a < D.b a ≠ （ ）4.函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值 （ ）A.1B.231+ C.23 D.31+5.函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ） A.π,1 B.π,2 C.π2,1 D.π2,2 6.xx xx sin cos sin cos -+= （ ）A.)4tan(π-x B.)4tan(π+x C.)4cot(π-x D.)4cot(π+x 7.函数)3cos()33cos()6cos()33sin(ππππ+++-+=x x x x y 的图像的一条对称轴是A.6π=x B.4π=x C.6π-=x D.2π-=x （ ）8.)24tan 1)(25tan 1)(20tan 1)(21tan 1(++++的值为 （ ） A.2 B.4 C.8 D.169.若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则βαtan tan = （ ）A.2B.21C.1D.010.函数[]0,(cos 3sin )(π-∈-=x x x x f ）的单调递增区间是 （ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--65,ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π 11.已知A 、B 为小于︒90的正角，且31sin =A ，21sin =B ，则)(2sin B A +的值是 A.97B.23C.1832+D.183724+ （ ）12.若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为 （ ） A.27-B.21-C.21D.27 二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知32tan=θ，则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-=__________.14.函数)2sin()3sin(ππ+⋅+=x x y 的最小正周期T =__________. 15.已知xxx f +-=11)(，若),2(ππα∈则)cos ()(cos αα-+f f 可化简为__________.16.若2cos sin -=+αα，则ααtan 1tan +=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.（1）已知54cos =α，且παπ223<<，求2tan α.（2）已知1cos )cos()22sin(sin 3=⋅+--θθπθπθ，),0(πθ∈，求θ的值.18.已知135)43sin(=+πα，53)4cos(=-βπ，且434,44πβππαπ<<<<-， 求)cos(βα-的值.19.已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22， 求：（1）函数)(x f 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （2）函数)(x f 的单调增区间.20.已知α、β),0(π∈，且αtan 、βtan 是方程0652=+-x x 的两根，求：（1）βα+的值；（2）)cos(βα-的值.。
人教版高中数学高一A版必修4例题与探究 1.6三角函数模型的简单应用
典题精讲 例1初速度为v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式（t 是飞行时间）为（ ）A.y=|v 0t|B.y=|v 0|·sinθ·tC.y=|v 0|·sinθ·t -21g·t 2 D.y=|v 0|·cosθ·t 思路解析：本题是与物理相结合的题目，由速度的分解可知炮弹上升的速度为v 0·sinθ，如图1-6-1所示：图1-6-1故炮弹上升的高度为h=|v 0|·sinθ·t -21gt 2ωφ. 答案：C绿色通道：跨学科的题目要注意知识间的内在联系，找出问题的本质转化为数学问题.同时也要注意物理里面公式的正确使用，以及对问题的准确分析.变式训练一根长l 厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球.小球摆动时，离开平衡位置的位移s （厘米）和t （秒）的函数关系是s=3cos(3π+t gt )，其中g 是重力加速度，要使小球摆动的周期是1秒，则l 等于（ ）A.πg B.2πg C.π2g D.24πg 思路解析：因为周期1=l gπ2，所以l g =2π，平方得l=24πg . 答案：D例2在200米高山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）A.3400米B.33400米C.33200米D.3200米 思路解析：如图1-6-2，设塔高为h 米，则200tcos30°=(200-h)tan60°,∴h=3400米.图1-6-2答案：A绿色通道：随着对“加强应用性”要求的不断提高，与三角函数有关的应用性问题受到越来越多的重视.实际问题转化为数学问题时要注意数形结合，利用三角函数列出相等或者不等关系.变式训练一个大风车的半径为8 m ，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2 m （如图1-6-3所示），则风车翼片的一个端点离地面距离h （米）与时间t （分钟）之间的函数关系（用弧度制求解）为____________.图1-6-3思路解析：首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为x 轴，最低点作为坐标原点，如图1-6-4建立直角坐标系.图1-6-4那么，风车上翼片端点所在位置P 可由函数x(t)、y(t)来刻画，而且h(t)=y(t)+2.所以，只需要考虑y(t)的表达式.又设P 的初始位置在最低点即y(0)=0.在Rt △O 1PQ 中，cosθ=8)(8t y -,y(t)=-8cosθ+8. 而122π=t θ，所以θ=6πt,y(t)=-8cos 6πt+8,h(t)=-8cos 6πt+10. 答案：h(t)=-8cos 6πt+10 t(时)0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 据上述数据描成的曲线如图1-6-5所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωt+B 的图象.图1-6-5（1）试根据数据表和曲线，求出y=Asinωt+B 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所用的时间）？思路分析：（1）从拟合曲线可知，函数y=Asinωt+B 的周期；由t=0时的函数值和t=3时函数取得最大值，进而可求得ω、A 、B 的值，即得函数的表达式.（2）根据（1）中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5+7=11.5（米）的时段，从而就可以求出题中的两问.解：（1）从拟合的曲线可知，函数y=Asinωt+B 在一个周期内由最大变为最小需要9-3=6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此ωπ2=12,ω=6π. 又当t=0时，y=10;当t=3时，y max =13.∴b=10,A=13-10=3.于是所求函数解析式为y=3sin 6πt+10. （2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y 应大于等于7+4.5=11.5（米）.令y=2sin6π+10≥11.5，可得sin 6πt≥21. ∴2kπ+6π≤6πt≤2kπ+65π (k ∈Z ). ∴12k+1≤t≤12k+5(k ∈Z ).取k=0，则1≤t≤5;取k=1,则13≤t≤17;而取k=2时，则25≤t≤29(不合题意).所以，船只可以安全进港的时间为上午的1—5点和下午的1—5点；船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时.绿色通道：解答类似的应用题，首先要保持自信的心态，不要被复杂的问题表述吓倒，要耐心的一点点地得到题中的有用信息，然后动脑筋解决问题.三角函数是在解决实际问题的过程中发展起来的，反过来，它又大量用于实际问题的解决之中，利用三角函数的图象和性质，如正、余弦的有界性、单调性、周期性，可以解决相应的综合应用问题.变式训练已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b.（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放.请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：（1）由表中数据，画图分析知周期T=12.∵ω=T π2=122π=6π. 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.①由t=3,y=1.0得b=1.0.②∴A=0.5,b=1,∴振幅为21.∴y=21cos 6πt+1. （2）由题意知，当y ＞1时才可对冲浪者开放.∴21cos 6πt+1＞1. ∴cos 6πt ＞0.∴2kπ2π-＜6πt ＜2kπ+2π， 即12k-3＜t ＜12k+3.③∵0≤t≤24,故可令③中k 分别为0，1，2，得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24.∴在规定上午8：00至晚上20：00之间有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.问题探究问题 把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈，用剪刀斜着将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘是一条波浪形的曲线.你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！你能给出证明吗？试试看.导思：要充分利用空间想象能力，准确作出辅助线.如图1-6-6，设纸筒底面半径为1个单位长，截面（椭圆面）与底面所成的二面角为θ（定值），截口的中心为O′.过O′作圆柱的直截面，交截口曲线于两点，取其中一点为O ，在过点O 且与圆柱侧面相切的平面内，以点O 为坐标原点，建立直角坐标系，使得Oy 轴是圆柱的一条母线.图1-6-6探究：设点P 是截口曲线上任意一点，点Q 是点P 在圆O′所在平面内的射影，过Q 作QH ⊥O′O ，垂足为H ，连结PH ，则∠PHQ=θ.又设∠QO′O=α（变量）.在图1-6-7中，设P 的坐标为(x,y)，以下分别计算P 点的横坐标与纵坐标.图1-6-7x==α,y=QP=QH·tanθ.而在Rt △QHO′中，QH=si nα，所以y=tanθ·sinα.令A=tanθ（定值），则有y=Asinα.这就证明了截口曲线是一条正弦曲线.。
高中数学1-6三角函数模型的简单应用(A卷)习题新人教A版必修4实用资料
高中数学1-6三角函数模型的简单应用(A卷)习题新人教A版必修4实用资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）1.6三角函数模型的简单应用一、选择题1．【题文】与下图所示的曲线相对应的函数是 ( )A ．sin y x =B ．sin y x =C ．sin y x =-D ．sin y x =-2.【题文】如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边，其夹角()ππθθ-<<与时间()s t 满足函数关系式1πsin 222t θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则当0t =时，角的大小及单摆频率分别是 ( )A.12，1π B ．，1π C. 12， D ．，3.【题文】如图是周期为2π的三角函数()y f x =的图象，那么()f x =( )A.()sin 1x +B. ()sin 1x --C. ()sin 1x -D. ()sin 1x -+ 4．【题文】根据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在千元的基础上，按月呈()f x =()sin 0,02,πA x b A ωϕωϕ⎛⎫++>>< ⎪⎝⎭的模型波动(为月份)，已知月份达到最高价千元，月份价格最低，为千元，根据以上条件可确定()f x 的解析式为 ( ) A ．()()ππ2sin 7112,44f x x x x *⎛⎫=-+≤≤∈ ⎪⎝⎭NB ．()()ππ9sin 7112,44f x x x x *⎛⎫=-+≤≤∈⎪⎝⎭NC ．()()π227112,4f x x x x *=+≤≤∈N D ．()()ππ2sin 7112,44f x x x x *⎛⎫=++≤≤∈⎪⎝⎭N5.【题文】设()y f t =是某港口水的深度()m y 关于时间 (时)的函数，其中024t ≤≤，下表是该港口某一天从时至24时记录的时间与水深y 的关系：1215 1821 24y 1215.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观察，函数()y f t =的图象可近似地看成函数()sin y k A t =++的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据的对应关系的函数是 ( )A ．[]π123sin,0,246y t t =+∈ B ．[]π123sin +π,0,246y t t ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C ．[]π123sin,0,2412y t t =+∈ D ．[]ππ123sin +,0,24122y t t ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭6.【题文】一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面米，最高点距地面18米，P 是摩天轮轮周上的定点，点P 在摩天轮最低点开始计时，分钟后P 点距地面高度为 (米)，设()[)()sin 0,0,0,2πh A t B A ωϕωϕ=++>>∈，则下列结论错误的是 ( )A ．8A =B ．π6ω=C ．π2ϕ= D ．10B =7．【题文】车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数()504sin 2tF t =+(其中020t ≤≤)给出，()F t 的单位是辆/分，的单位是分，则车流量增加的时间段是 ( )A ．[]0,5B ．[]5,10C ．[]10,15D ．[]15,208．【题文】如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动()0θθ>角到OB ，设B 点与地面距离为，则与的关系式为（ ）A ． 5.6 4.8sin h θ=+B ． 5.6 4.8cos h θ=+C ．π5.6 4.8cos 2h θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D ．π5.6 4.8sin 2h θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭二、填空题9.【题文】电流()A I 随时间()s t 变化的关系是[)3sin100π,0,I t t =∈+∞，则电流变化的周期是___________.10．【题文】如图，点P 是半径为的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置0P 开始，按逆时针方向以角速度()rad /s ω做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间的函数关系式为________．11．【题文】某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y a =+()()πcos 61,2,3,,126A x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⋯来表示，已知月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.三、解答题12.【题文】如果某地夏天从814～时用电量变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，其图象如图所示．(1)求这一天的最大用电量和最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．13.【题文】已知某地一天从416～时的温度变化曲线近似满足函数π5π10sin 2084y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]4,16x ∈．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？14.【题文】如图，一个水轮的半径为4m ，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点0P )开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度()m h 表示为时间()s t 的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？1.6三角函数模型的简单应用参考答案与解析1.【答案】C【解析】从题图中可以看出函数是偶函数，y 轴左侧的图象与函数sin y x =的图象相同，y 轴右侧的图象与sin y x =的图象关于轴对称，因此，当0x ≥时，sin y x =-， 故选C.考点：根据图象判断三角函数解析式. 【题型】选择题 【难度】较易2.【答案】A【解析】当0t =时，1π1sin 222θ==，由函数解析式易知单摆周期为2ππ2=，故单摆 频率为1π.考点：三角函数解析式的应用. 【题型】选择题 【难度】较易3.【答案】C【解析】图象过点()1,0，排除A ，B ；当()0,1x ∈时，()0f x >，排除D. 考点：利用图象判断三角函数解析式. 【题型】选择题 【难度】较易4.【答案】A【解析】由题意知3x =时，()max 9f x =，排除C 、D ，7x =时，()min 5f x =，排除B ，故选A.考点：三角函数模型的应用. 【题型】选择题 【难度】一般5.【答案】A【解析】∵()y f t =的图象可以近似地看成()sin y k A t ωϕ=++的图象， ∴()y f t =具有周期性．当3t =和15t =时，y 取得最大值，∴15312T =-=，则2π2ππ126T ω===， ∴排除C 、D ．下面将点()3,15.1的坐标分别代入A 、B 验证．将3t =代入A ，得π123sin 3=156y ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭；代入B ，得π123sin 3+π=96y ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，与15.1相差太多．故选A ．考点：三角函数模型的应用. 【题型】选择题 【难度】一般6.【答案】C【解析】由摩天轮最低点距地面米，最高点距地面18米，得18,2,A B A B +=⎧⎨-+=⎩解得8,10,A B =⎧⎨=⎩因此A ，D 都正确；由摩天轮每12分钟旋转一周，得12T =，而2πT ω=，所以π6ω=，则B 正确；由P 是摩天轮轮周上的定点，从P 在摩天轮最低点开始计时，得π8sin 01026ϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，所以sin 1ϕ=-，而[)0,2πϕ∈，所以3π2ϕ=，所以C 错误．考点：三角函数解析式的实际应用. 【题型】选择题 【难度】一般7.【答案】C 【解析】由()ππ2π2π222t k k k -≤≤+∈Z ，得()4ππ4ππk t k k -≤≤+∈Z ， 由于020t ≤≤，所以0πt ≤≤或3π5πt ≤≤，从而车流量在时间段[]10,15内是增加的． 考点：三角函数单调性的应用. 【题型】选择题【难度】较难8.【答案】D【解析】过点O 作平行于地面的直线，再过点B 作的垂线，垂足为P ，则π2BOP θ∠=-，根据三角函数的定义得ππsin 4.8sin 22BP OB θθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， πsin 24.80.8 5.6 4.8h BP θ=++=+⎛⎫- ⎪⎝⎭.考点：三角函数模型的应用. 【题型】选择题 【难度】较难9.【答案】1s 50【解析】由题意知，()2π2π1=s 100π50T ω==. 考点：求三角函数周期. 【题型】填空题 【难度】较易10.【答案】()sin y r t ωϕ=+【解析】当质点P 从0P 转到点P 位置时，点P 转过的角度为t ω，则POx t ωϕ∠=+， 由任意角的三角函数定义知P 点的纵坐标()sin y r t ωϕ=+． 考点：实际问题中的三角函数关系. 【题型】填空题 【难度】一般11.【答案】20.5 【解析】由题意可知281852A -==，2818232a +==. 从而()π5cos 6236y x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦故10月份的平均气温为π5cos 42320.56y ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭℃ 考点：三角函数的解析式的实际应用. 【题型】填空题 【难度】一般12.【答案】(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度 (2)[]ππ10sin 40,8,1466y x x ⎛⎫=++∈⎪⎝⎭【解析】(1)观察题中图象知最大用电量为50万度，最小用电量为30万度． (2)观察图象可知，半个周期为14862T=-=，∴12T =. 2ππ6T ω==，()15030402b =⨯+=，()15030102A =⨯-=， ∴π10sin 406y x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 将8x =，30y =代入上式，解得π6ϕ=.∴所求解析式为[]ππ10sin 40,8,1466y x x ⎛⎫=++∈⎪⎝⎭．考点：利用三角函数图象求物理参数. 【题型】解答题 【难度】一般13.【答案】(1)20℃ (2)83(小时) 【解析】(1)由函数易知，当14x =时函数取最大值，此时最高温度为30℃，当6x = 时函数取最小值，此时最低温度为10℃，所以最大温差为301020-℃℃=℃.(2)令π5π10sin 201584x ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，得π5π1sin 842x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，而[]4,16x ∈，所以x =263.令π5π10sin 202584x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得π5π1sin 842x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而[]4,16x ∈，所以343x =. 故该细菌能存活的最长时间为34268333-=(小时)． 考点：三角函数解析式的应用. 【题型】解答题 【难度】一般14.【答案】(1)ππ4sin 266h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ (2) 4 s 【解析】(1)如图所示建立直角坐标系，设角π02ϕϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭是以Ox 为始边，0OP 为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为52ππ606⨯=，OP 在时间()s t 内所转过的角为 52ππ606t t ⨯⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.由题意可知水轮逆时针转动，得π4sin +26h t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当0t =时，0h =，得1sin 2ϕ=-，即π6ϕ=-. 故所求的函数关系式为ππ4sin 266h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. (2)令ππ4sin 2=666h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，得ππsin =166t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令πππ662t -=，得4t =，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s . 考点：三角函数模型的应用. 【题型】解答题 【难度】较难三角函数模型的简单应用【学习目标】1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题；2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．【要点梳理】要点一：三角函数模型的建立程序收集数据画散点图选择函数模型检验求函数模型用函数模型解决实际问题要点二：解答三角函数应用题的一般步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论．（1）审题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．（2）建模根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．（3）解模利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果．（4）结论将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．要点诠释：实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．【典型例题】类型一：三角函数周期性的应用例1．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动，每3 min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin （ωt+φ）+h．（1）试确定在时间t min时P点距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多少时间P点距离地面超过70 m？【思路点拨】（1）由实际问题求出三角函数中的参数A ，h ，及周期T ，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f （t ）．（2）解不等式()70f t >可得．【答案】（1）2()40sin 5032f t t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭（2）1分钟【解析】（1）以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，由题意可知：A=40，h=50，T=3，23ωπ∴=，即2()40sin()503f t x πϕ=++，又(0)40sin 5010f ϕ=+=，sin 1ϕ∴=-，2πϕ∴=-，所以2()40sin 5032f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（2）令240sin 507032t ππ⎛⎫-+>⎪⎝⎭，所以21sin 322t ππ⎛⎫->⎪⎝⎭，所以25226326k t k ππππππ+<-<+， 所以22422333k t k πππππ+<<+，所以3k+1＜t ＜3k+2． 令k=0，得1＜t ＜2．因此，共有1分钟时间距地面超过70 m ．【总结升华】 实际问题的解决要求我们在阅读材料时读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，将问题数学化，自行假设与设计一些已知条件，提出解决方案，从而最终解决问题．举一反三：【变式1】如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数sin y A x ω=(0,0)A ω>>，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为(3,23)S ；赛道的后一部分为折线段MNP ．为保护参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°．求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离． 【答案】236π5 【解析】 依题意，有23A =，34T=， 又2T πω=，∴6πω=．∴23sin6y x π=，x ∈[0，4]．∴当x=4时，223sin 33y π==．∴M （4，3）．又P （8，0）， ∴2222(84)(03)435MP =-+-=+=（km ）．类型二：三角函数模型在天气中的应用例2. 下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表：（时间近似到0.1小时） 日期 1月1日 2月 28日 3月 21日 4月 27日 5月 6日 6月 21日 8月 13日 9月 20日 10月 25日 12月 21日 日期位置 序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 白昼时间 y （小时）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（1）以日期在365天中的位置序号x 为横坐标，白昼时间y 为纵坐标，在给定坐标（如下图）中画出这些数据的散点图；（2）试选用一个形如sin()y A x t ωϕ=++的函数来近似描述一年中白昼时间y 与日期位置序号x 之间的函数关系；（注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算）（3）用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时？【思路点拨】先作散点图，结合图象求出sin()y A x t ωϕ=++中的,,,A t ωϕ，最后利用函数模型，解不等式可得．【答案】（1）略（2）23237sin 12.4365730y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1≤x ≤365，x ∈N*）（3）121天 【解析】 （1）如图所示．（2）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为sin()y A x t ωϕ=++， 由题中图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4， 即y max =19.4，y min =5.4， 由19.4－5.4=14，得A=7； 由19.4+5.4=24.8，得t=12.4． 又T=365，∴2365πω=． ∴232730πϕ=-（ϕ等于3273π-，323730π-，161365π-，65146π-均可）．∴23237sin 12.4365730y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭（1≤x ≤365，x ∈N*）． （3）由y ＞15.9，得23231sin 3657302x ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， ∴2323563657306x ππππ<-<，3653233655323124264x ⨯+<<+⨯，∴112≤x ≤232． ∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时．【总结升华】现实生产、生活中，周期现象广泛存在，三角函数还是刻画周期现象的重要数学模型，在解决实际问题时要注意搜集数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合，而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决实际问题．举一反三:【变式1】 估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）可由下式计算：2()sin (79)122365k y D t t π⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦，其中t 表示某天的序号、t=0表示1月1日，以此类推，常数k 与某地所处的纬度有关．（1）如在波士顿，k=6，试画出函数D （t ）在0≤t ≤365时的图象． （2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？ （3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？ 【答案】（1）略（2）6月20日 12月20日（3）243天【解析】 （1）k=6时，2()3sin (79)12365D t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦．先用五点法画出2()3sin (79)365f t t π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的简图如图，由2(79)0365t π-=和2(79)2365t ππ-=，得t=79和t=444，列出下表： t79 170.25 261.5 352.75 444 f （t ）3－3若t=0，3(0)3sin (79) 2.9365f π⎡⎤=-≈-⎢⎥⎣⎦． ∵()f x 的周期为365，∴(365) 2.9f ≈-．将()y f t =，t ∈[0，365]的图象向上平移12个单位长度，得到()y D t =，0≤t ≤365的图象，如右图所示．（2）白昼时间最长的一天，即D （t ）取得最大值的一天，此时t=170，对应的是6月20日（闰年除外），类似地，t=353时D （t ）取最小值，即12月20日白昼最短．（3）D （t ）＞10.5，即23sin (79)1210.5365t π⎡⎤-+>⎢⎥⎣⎦，21sin (79)3652t π⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦，t ∈[0，365]．∴292＞t ＞49，292－49=243．约有243天的白昼时间超过10.5小时．类型三：三角函数模型在物理学中的应用例3．已知弹簧上挂着小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离s （cm ）随时间t （s ）的变化规律为：4sin 23s t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，t ∈[0，+∞）． 用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：（1）小球在开始运动（t=0）时，离开平衡位置的位移是多少？（2）小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？ （3）经过多少秒，小球往复运动一次？ 【答案】（1）23 （2）4-（3）3.14 【解析】 列表如下：t12π 3π 712π 56π 23t π+3π2π π 32π 2π s234－4作图（如图）．（1）将t=0代入4sin 23s t π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 得4sin233s π==．以竖直向上作为位移的正向，则小球开始运动时的位移是23，方向为正向．（2）由题图可知，小球上升到最高点离开平衡位置的位移是－4 cm ，负号表示方向竖直向下． （3）由于这个函数的周期22T ππ==，所以小球往复运动一次所需的时间为π≈3.14 s ．反映在图象上，正弦曲线在每一个长度为π的区间上，都完整地重复变化一次．【总结升华】 （1）注意简谐运动中自变量的范围为[0，+∞）．（2）正确理解并识记简谐运动周期、频率、振幅的概念以及实际意义是解决本题的关键． 举一反三：【变式1】一个单摆，如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为αrad ，α与时间t 满足关系式1()sin 222t t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）当4t π=时，α的值是多少？并指出小球的具体位置； （2）单摆摆动的频率是多少？（3）小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少？ 【答案】（1）0（2）1π（3）12【解析】 （1）当4t π=时，11sin 2sin 042422πππαπ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这时小球恰好在平衡位置； （2）因为单摆摆动的周期22T ππ==，所以频率11f T π==； （3）令t=0，得sin 22t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1．故()t α有最大值12rad ，即小球偏离铅垂线方向的最大摆角是12rad ． 例4.如图所示，表示电流I 与时间t 的关系式sin()I A t ωϕ=+（A ＞0，0ω>）在一个周期内的图象．（1）试根据图象写出sin()I A t ωϕ=+的解析式； （2）为了使sin()I A t ωϕ=+中t 在任意一段1100s 时间内I 能同时取得最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数ω的最小值为多少？【思路点拨】由图象，可求出,,,A T ωφ ，因此可写出解析式．（2）要满足题意，则必须1100T <，解之可得． 【答案】（1）300sin 1003I t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）629 【解析】 （1）由图可知，A=300，周期1116030050T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， ∴22100T Tππωπω=⇒==．当1300t =-时，0t ωϕ+=，即11003003t πϕωπ⎛⎫=-=-= ⎪-⎝⎭． 故图象的解析式为300sin 1003I t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）要使t 在任意一段1100s 的时间内能同时取得最大值和最小值，必须使得周期1100T <． 即21200628.3100πωπωω<⇒>⇒>． 由于ω为正整数，故ω的最小值为629．【总结升华】 由三角函数的图象求解析式的方法是：根据函数图象性质，结合“五点法”作图时的对应关系，分别确定A ，ω，ϕ．三角函数模型的简单应用【学习目标】1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题；2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【要点梳理】要点一：三角函数模型的建立程序要点二：解答三角函数应用题的一般步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论． （1）审题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．（2）建模根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．（3）解模利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果． （4）结论将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．要点诠释：实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．【典型例题】类型一：三角函数周期性的应用例1．国际大都市上海继东方明珠电视塔、金茂大厦之后，黄浦江畔的又一座景观性、标志性、文化游乐性建筑是座落于虹口区北外滩汇山码头的“上海梦幻世界摩天轮城”，占地3.46公顷总投资超过20亿元人民币，内有世界最大的摩天轮.其中摩天轮中心O 距离地面200米高，直径170米.摩天轮上将安装36个太空舱，可同时容纳1100多人一览上海风光.(如图)，摩天轮沿逆时针方向做匀速转动，每8分钟转一圈，若摩天轮的轮周上的点P 的起始位置在最低点处(即时刻0t 分钟时的位置).已知在时刻t 分钟时点P 距离地面的高度()f t .(Ⅰ)求20分钟时，点P 距离地面的高度； (Ⅱ)求()f t 的函数解析式.【思路点拨】由周期8T =，可求出距地面的高度，然后求出三角函数中的参数A ，h ，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f （t ）．【答案】（1）285（2）()85cos200,(0)4f t t t π=-+≥【解析】设过摩天轮的中心O 与地面垂直的直线为l ，l 垂直于地面于点H ，PQ l ⊥于点Q ， (1)∵旋转的周期8T =，∴20分钟后点P 在最高点，距地面高度是285米. (2)t 分钟时4HOP t π∠=，∴()20085cos 85cos200,(0).4f t HOP t t π=-∠=-+≥∴()85cos200,(0).4f t t t π=-+≥【总结升华】实际问题的解决要求我们在阅读材料时读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，将问题数学化，自行假设与设计一些已知条件，提出解决方案，从而最终解决问题． 举一反三：【高清课堂：三角函数模型的简单应用394861 例1】【变式1】如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p （2，2-），角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（ ）【答案】C)(t f θOPQ20085地面H类型二：三角函数模型在气象学中的应用例2．如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A t b ωϕ=++． （1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．【答案】（1）20℃（2）310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，x ∈[6，14] 【解析】 （1）由图象知这段时间的最大温差是30－10=20℃．（2）观察图象可知题图中从6时到14时的图象是函数sin()y A t b ωϕ=++的半个周期的图象，∴121462πω⋅=-，解得8πω=． 由图象知1(3010)102A =⨯-=，1(3010)202b =⨯+=，∴10sin 208y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．将（6，10）代入上式，解得34πϕ=． ∴310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，x ∈[6，14]． 【总结升华】 借助图象上标注的各点的坐标，利用五个基本点：（0，0），,12π⎛⎫⎪⎝⎭，（π，0），3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2π，0）求解函数式中的未知量，这种方法种为“五点法”．本题运用“五点法”作图的逆向思维分析此题是解题的关键． 举一反三：【变式1】 估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）可由下式计算：2()sin (79)122365k y D t t π⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦，其中t 表示某天的序号、t=0表示1月1日，以此类推，常数k 与某地所处的纬度有关．（1）如在波士顿，k=6，试画出函数D （t ）在0≤t ≤365时的图象． （2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？ （3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？ 【答案】(1)略 (2) 6月20日 12月20日 (3) 243天【解析】 （1）k=6时，2()3sin (79)12365D t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦．先用五点法画出2()3sin (79)365f t t π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的简图如图，由2(79)0365t π-=和2(79)2365t ππ-=，得t=79和t=444，列出下表：t 79 170.25 261.5 352.75 444 f （t ）3－3若t=0，3(0)3sin (79) 2.9365f π⎡⎤=-≈-⎢⎥⎣⎦． ∵()f x 的周期为365，∴(365) 2.9f ≈-．将()y f t =，t ∈[0，365]的图象向上平移12个单位长度，得到()y D t =，0≤t ≤365的图象，如图所示．（2）白昼时间最长的一天，即D （t ）取得最大值的一天，此时t=170，对应的是6月20日（闰年除外），类似地，t=353时D （t ）取最小值，即12月20日白昼最短．（3）D （t ）＞10.5，即23sin (79)1210.5365t π⎡⎤-+>⎢⎥⎣⎦，21sin (79)3652t π⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦，t ∈[0，365]．∴292＞t ＞49，292－49=243．约有243天的白昼时间超过10.5小时．类型三：三角函数模型在物理学中的应用例 3.一个单摆，如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为αrad ，α与时间t 满足关系式1()sin 222t t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）当4t π=时，α的值是多少？并指出小球的具体位置； （2）单摆摆动的频率是多少？（3）小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少？ 【思路点拨】（1）根据已知条件中的函数解析式，把4t π=代入，即可求出摆角．（2）由1f T=可求出频率．（3）求最大摆角，先求出sin 22t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1，然后求角． 【答案】（1）0（2）1π（3）12rad 【解析】 （1）当4t π=时，11sin 2sin 042422πππαπ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这时小球恰好在平衡位置； （2）因为单摆摆动的周期22T ππ==，所以频率11f T π==； （3）令t=0，得sin 22t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1．故()t α有最大值12rad ，即小球偏离铅垂线方向的最大摆角是12rad ．举一反三：【变式1】一根为lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是3sin ,[0,)6s t π⎫=+∈+∞⎪⎪⎭， (1)求小球摆动的周期和频率；(2)已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？【答案】（1）22）24.8【解析】(1)22g T f l πωω=∴=== (2)2124.84g T l cm π==≈若，即.例4.交流电的电压E （单位：伏）与时间t （单位：秒）的关系可用1006E t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭来表示，求：（1）开始时的电压；（2）电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．【答案】（1）2）0.02（3）1300【解析】（1）当t=0时，6E π==（伏），即开始时的电压为（2）2110050T ππ==（秒），即电压重复出现一次的时间间隔为0.02秒；（3）电压的最大值为10062t πππ+=，即1300t =秒时第一次取得这个最大值．。
高中数学人教版必修4 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用A卷
高中数学人教版必修4 第一章三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017高一上·龙海期末) 已知函数，f（2）=3，则f（﹣2）=（）A . 7B . ﹣7C . 5D . ﹣52. （2分）函数的最小正周期是（）A .B .C .D .3. （2分）函数y=cos4 ﹣sin4 +2的最小正周期是（）A . πB .C . 2πD .4. （2分） (2018高一下·沈阳期中) 函数的最小正周期为（）A .B .C .D .5. （2分）(2016·新课标Ⅰ卷文) 函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A . y=2sin（2x﹣）B . y=2sin（2x﹣）C . y=2sin（x+ ）D . y=2sin（x+ ）6. （2分） (2016高一上·赣州期中) 若函数f（x）= ，则f（f（））=（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 37. （2分）如图所示，点 A（x1 ， 2），B（x2 ，﹣2）是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的图象上两点，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A . -1B . -2C . 1D . 以上答案均不正确8. （2分）已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=loga（x+b）的图象可能是（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）已知函数y=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示，则初相φ的值为________．10. （1分） (2017高二下·新乡期末) 已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤ ）的部分图象如图所示，则cos（5ωφ）=________．11. （1分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.三、解答题 (共3题；共20分)12. （5分）(2018·杭州模拟) 已知函数(Ⅰ）求的最小正周期和最大值;(Ⅱ)求函数的单调减区间.13. （5分）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．（1）求这一天的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．14. （10分） (2018高一下·鹤壁期末) 某实验室白天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：， .（1）求实验室白天的最大温差；（2）若要求实验室温差不高于，则在哪段时间实验室需要降温？参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共20分)12-1、13-1、14-1、14-2、。
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1.6三角函数模型的简单应用一、选择题1．【题文】与下图所示的曲线相对应的函数是 ( )A ．sin y x =B ．sin y x =C ．sin y x =-D ．sin y x =-2.【题文】如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边，其夹角()ππθθ-<<与时间()s t 满足函数关系式1πsin 222tθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则当0t =时，角的大小及单摆频率分别是 ( )A.12，1π B ．，1π C. 12， D ．，3.【题文】如图是周期为2π的三角函数()y f x =的图象，那么()f x =( )A.()sin 1x +B. ()sin 1x --C. ()sin 1x -D. ()sin 1x -+ 4．【题文】根据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在千元的基础上，按月呈()f x =()sin 0,02,πA x b A ωϕωϕ⎛⎫++>>< ⎪⎝⎭的模型波动(为月份)，已知月份达到最高价千元，月份价格最低，为千元，根据以上条件可确定()f x 的解析式为 ( ) A ．()()ππ2sin 7112,44f x x x x *⎛⎫=-+≤≤∈ ⎪⎝⎭NB ．()()ππ9sin 7112,44f x x x x *⎛⎫=-+≤≤∈⎪⎝⎭NC ．()()π227112,4f x x x x *=+≤≤∈N D ．()()ππ2sin 7112,44f x x x x *⎛⎫=++≤≤∈⎪⎝⎭N5.【题文】设()y f t =是某港口水的深度()m y 关于时间 (时)的函数，其中024t ≤≤，下表是该港口某一天从时至24时记录的时间与水深y 的关系：1215 1821 24y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1()()ωϕ数中，最能近似表示表中数据的对应关系的函数是 ( ) A ．[]π123sin,0,246y t t =+∈ B ．[]π123sin +π,0,246y t t ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ C ．[]π123sin,0,2412y t t =+∈ D ．[]ππ123sin +,0,24122y t t ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭6.【题文】一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面米，最高点距地面18米，P 是摩天轮轮周上的定点，点P 在摩天轮最低点开始计时，分钟后P 点距地面高度为 (米)，设()[)()sin 0,0,0,2πh A t B A ωϕωϕ=++>>∈，则下列结论错误的是 ( )A ．8A =B ．π6ω=C ．π2ϕ= D ．10B =7．【题文】车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数()504sin2tF t =+(其中020t ≤≤)给出，()F t 的单位是辆/分，的单位是分，则车流量增加的时间段是 ( )A ．[]0,5B ．[]5,10C ．[]10,15D ．[]15,208．【题文】如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动()0θθ>角到OB ，设B 点与地面距离为，则与的关系式为（ ）A ． 5.6 4.8sin h θ=+B ． 5.6 4.8cos h θ=+C ．π5.6 4.8cos 2h θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D ．π5.6 4.8sin 2h θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭二、填空题9.【题文】电流()A I 随时间()s t 变化的关系是[)3sin100π,0,I t t =∈+∞，则电流变化的周期是___________.10．【题文】如图，点P 是半径为的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置0P 开始，按逆时针方向以角速度()rad /s ω做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间的函数关系式为________．11．【题文】某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y a =+()()πcos 61,2,3,,126A x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⋯来表示，已知月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.三、解答题12.【题文】如果某地夏天从814～时用电量变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，其图象如图所示．(1)求这一天的最大用电量和最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．13.【题文】已知某地一天从416～时的温度变化曲线近似满足函数π5π10sin 2084y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]4,16x ∈．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？14.【题文】如图，一个水轮的半径为4m ，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点0P )开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度()m h 表示为时间()s t 的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？1.6三角函数模型的简单应用参考答案与解析1.【答案】C【解析】从题图中可以看出函数是偶函数，y 轴左侧的图象与函数sin y x =的图象相同，y 轴右侧的图象与sin y x =的图象关于轴对称，因此，当0x ≥时，sin y x =-， 故选C.考点：根据图象判断三角函数解析式. 【题型】选择题 【难度】较易2.【答案】A【解析】当0t =时，1π1sin 222θ==，由函数解析式易知单摆周期为2ππ2=，故单摆 频率为1π. 考点：三角函数解析式的应用. 【题型】选择题 【难度】较易3.【答案】C【解析】图象过点()1,0，排除A ，B ；当()0,1x ∈时，()0f x >，排除D. 考点：利用图象判断三角函数解析式. 【题型】选择题 【难度】较易4.【答案】A【解析】由题意知3x =时，()max 9f x =，排除C 、D ，7x =时，()min 5f x =，排除B ，故选A.考点：三角函数模型的应用. 【题型】选择题 【难度】一般5.【答案】A【解析】∵()y f t =的图象可以近似地看成()sin y k A t ωϕ=++的图象， ∴()y f t =具有周期性．当3t =和15t =时，y 取得最大值，∴15312T =-=，则2π2ππ126T ω===， ∴排除C 、D ．下面将点()3,15.1的坐标分别代入A 、B 验证．将3t =代入A ，得π123sin 3=156y ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭；代入B ，得π123sin 3+π=96y ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，与15.1相差太多．故选A ．考点：三角函数模型的应用. 【题型】选择题 【难度】一般6.【答案】C【解析】由摩天轮最低点距地面米，最高点距地面18米，得18,2,A B A B +=⎧⎨-+=⎩解得8,10,A B =⎧⎨=⎩因此A ，D 都正确；由摩天轮每12分钟旋转一周，得12T =，而2πT ω=，所以π6ω=，则B 正确；由P 是摩天轮轮周上的定点，从P 在摩天轮最低点开始计时，得π8sin 01026ϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，所以sin 1ϕ=-，而[)0,2πϕ∈，所以3π2ϕ=，所以C 错误．考点：三角函数解析式的实际应用. 【题型】选择题 【难度】一般7.【答案】C 【解析】由()ππ2π2π222t k k k -≤≤+∈Z ，得()4ππ4ππk t k k -≤≤+∈Z ， 由于020t ≤≤，所以0πt ≤≤或3π5πt ≤≤，从而车流量在时间段[]10,15内是增加的． 考点：三角函数单调性的应用. 【题型】选择题 【难度】较难8.【答案】D【解析】过点O 作平行于地面的直线，再过点B 作的垂线，垂足为P ，则π2BOP θ∠=-，根据三角函数的定义得ππsin 4.8sin 22BP OB θθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， πsin 24.80.8 5.6 4.8h BP θ=++=+⎛⎫- ⎪⎝⎭.考点：三角函数模型的应用.精选教案【题型】选择题 【难度】较难9.【答案】1s 50【解析】由题意知，()2π2π1=s 100π50T ω==. 考点：求三角函数周期.【题型】填空题【难度】较易10.【答案】()sin y r t ωϕ=+【解析】当质点P 从0P 转到点P 位置时，点P 转过的角度为t ω，则POx t ωϕ∠=+， 由任意角的三角函数定义知P 点的纵坐标()sin y r t ωϕ=+． 考点：实际问题中的三角函数关系. 【题型】填空题 【难度】一般11.【答案】20.5 【解析】由题意可知281852A -==，2818232a +==. 从而()π5cos 6236y x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦故10月份的平均气温为π5cos 42320.56y ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭℃ 考点：三角函数的解析式的实际应用.【题型】填空题 【难度】一般12.【答案】(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度(2)[]ππ10sin 40,8,1466y x x ⎛⎫=++∈⎪⎝⎭【解析】(1)观察题中图象知最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，半个周期为14862T=-=，∴12T =. 2ππ6T ω==，()15030402b =⨯+=，()15030102A =⨯-=， ∴π10sin 406y x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 将8x =，30y =代入上式，解得π6ϕ=.∴所求解析式为[]ππ10sin 40,8,1466y x x ⎛⎫=++∈⎪⎝⎭．考点：利用三角函数图象求物理参数. 【题型】解答题 【难度】一般13.【答案】(1)20℃ (2)83(小时) 【解析】(1)由函数易知，当14x =时函数取最大值，此时最高温度为30℃，当6x = 时函数取最小值，此时最低温度为10℃，所以最大温差为301020-℃℃=℃.(2)令π5π10sin 201584x ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，得π5π1sin 842x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，而[]4,16x ∈，所以x =精选教案263.令π5π10sin 202584x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得π5π1sin 842x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而[]4,16x ∈，所以343x =. 故该细菌能存活的最长时间为34268333-=(小时)． 考点：三角函数解析式的应用. 【题型】解答题 【难度】一般14.【答案】(1)ππ4sin 266h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ (2) 4 s 【解析】(1)如图所示建立直角坐标系，设角π02ϕϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭是以Ox 为始边，0OP 为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为52ππ606⨯=，OP 在时间()s t 内所转过的角为 52ππ606t t ⨯⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.由题意可知水轮逆时针转动，得π4sin +26h t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当0t =时，0h =，得1sin 2ϕ=-，即π6ϕ=-. 故所求的函数关系式为ππ4sin 266h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. (2)令ππ4sin 2=666h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，得ππsin =166t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令πππ662t -=，得4t =， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s . 考点：三角函数模型的应用. 【题型】解答题 【难度】较难。