专题七 数学思想方法
七年级数学中常见的思想方法_21744.DOC
七年级数学中常见的思想方法一、思想方法1. 数形结合思想.2. 整体思想.二、知识要点：1. 数形结合思想数形结合思想是通过构建数与形之间的对应关系，在二者的对应和互助中，来分析研究问题并解决问题的一种思想. 常见的数形结合的途径有三种：以形助数、以数助形和数形互助.数轴是数与形结合的桥梁，数与形结合的工具，具有多方面的功能.（1）利用数轴能形象地表示有理数，使抽象的数变得具体.例如有理数的分类，在数轴上，原点右边的是正数，原点左边的是负数，原点是表示0的点，它是正、负数的分界点.（2）利用数轴能直观地解释相反数，能从运动变化的观点说明互为相反数的点，具有关于原点对称的特征.（3）利用数轴理解︱a－b︱的意义，绝对值的定义是从几何角度给出的，即︱a︱是表示数a的点到原点的距离，而原点所对应的数为0，故︱a︱也写成︱a－0︱的形式，它反映了数轴上两点间的距离. 这样自然会想到数轴上任意两点的距离如何表示呢？如图所示，数a、b分别对应点A、B，从数轴的定义，我们知道线段OB、OA的数值分别等于b、a，即OB＝b，OA＝a. 从BA＝OA－OB＝a －b，知B点到A点的距离为︱a－b︱.（4）利用数轴上的点的有序性，可以把复杂的数量关系表示得简明、形象、便于观察解答. 例如，在比较有理数大小的时候，可以把有理数在数轴上表示出来，依据数轴上右边的数总比左边的数大进行比较.2. 整体思想在研究问题时不是以某个或某些组成部分为着眼点，而是有意识地放大考虑问题的视角，将要解决的问题看成一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后，达到顺利而又简洁地解决问题的目的.【典型例题】例1. （1）数轴上的点A表示数2，将点A向左平移5个单位长度得点B，则点B表示的数是__________.（2）（湖南怀化）2008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（）A. 伦敦时间2008年8月8日11时B. 巴黎时间2008年8月8日13时C. 纽约时间2008年8月8日5时D. 汉城时间2008年8月8日19时分析：（1）表示数2的点A向左平移2个单位到原点，再向左平移3个单位到数－3，所以将点A向左平移5个单位长度得到的点B所表示的数是－3. （2）如图所示，纽约、伦敦、巴黎、北京、汉城五城市的时差可以通过它们对应的数字计算出来，北京时间2008年8月8日20时，伦敦时间是2008年8月8日12时；巴黎时间是2008年8月8日13时；纽约时间是2008年8月8日7时；汉城时间是2008年8月8日21时.解：（1）－3（2）B评析：数轴是数形结合思想解题的桥梁.例2. 已知︱a︱＜︱b︱，a＞0，b＜0，把a、b、－a、－b按由小到大的顺序排列.分析：从︱a︱＜︱b︱，及a＞0，b＜0知正数a在原点右侧，负数b在原点左侧，且表示数a的点到原点的距离小于表示数b的点到原点的距离，如图所示. 另一方面，a与－a，b与－b互为相反数，由于︱a︱＝︱－a︱，︱b︱＝︱－b︱，故数轴上表示这四个数从左到右的顺序是b，－a，a，－b.解：b＜－a＜a＜－b.例3. 如图所示，阴影部分的面积是正方形面积的（）A. B. C.D.分析：阴影部分的面积不能求出，考虑把阴影部分通过切割、折叠等方法拼成一个可求面积的图形. 把正方形沿图中对角线对折，阴影部分面积等于三角形面积，等于正方形面积的一半.解：D评析：求图形面积时，常用割补、折叠等方法把不规则的图形拼成一个可求面积的规则图形.例4. 若代数式2y2＋3y＋7的值为2，则代数式－6y－4y2＋9的值为（）A. －1B. 19C. 9D. －9分析：因为2y2＋3y＋7＝2，所以－6y－4y2＋9＝－2（2y2＋3y＋7）＋23＝－2×2＋23＝19.解：B评析：将所给条件不对字母进行分离求值，而是视其为一个整体，直接将其整个代入要求值的式子，然后计算求值.例5. 当x＞0，y＜0，且︱x︱＜︱y︱时，化简︱2x－3y︱－︱3x＋3y︱.分析：把2x－3y、3x＋3y各看作一个“整体”，先确定出这个“整体”的符号，然后再去掉其绝对值符号.解：由x＞0，y＜0，且︱x︱＜︱y︱可知2x＞0，－3y＞0，x＋y＜0.故2x－3y＞0，3x＋3y＜0，因此，原式＝（2x－3y）－[－（3x＋3y）]＝2x－3y＋3x＋3y＝5x.评析：“整体法”是合并同类项时常用的一种方法，同学们要通过细心观察才能够灵活运用此法.。
专题七 “数形结合”在初中数学中的运用
专题七“数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =210y x =+的距离．解：设( 210)P x x +，是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是当4x =-时，OP =最小所以原点到直线210y x =+的距离为【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．例2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ∆的面积（用含m 、n 的代数式表示）．【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：222222222()()(2)(2)(2)m n m n m n mn +--==，也就是说，ABC ∆的三边满足勾股定理，即ABC∆是一个直角三角形．“海伦公式”：三角形三边长为a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积S 为：S =．解：由三边的关系：2222222()(2)()m n mn m n -+=+． 所以ABC ∆是直角三角形． 所以ABC ∆的面积22221()(2)()2m n mn mn m n =⋅-=-． 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．例3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：312111x x x =+． 【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a 、b 、c 的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．解：∵直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ，∴30bx c +=． ∴3c x b=-．31b x c=-． ∵直线y bx c =+与抛物线2y ax =两交点的横坐标分别为1x 、2x ， ∴1x 、2x 为关于x 的一元二次方程20ax bx c --=的两个不等实根．∴12b x x a +=，12cx x a=-． ∴12121211bx x b a c x x x x c a++===--．∴312111x x x =+． 例4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了．【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现．二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如： 正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围； 互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a 与b 在数轴上关于2a b+对称，换句话说，数轴上实数a 关于b 的对称点为2b a -）；利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x 轴的交点； 函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y 轴的交点（函数在0x =时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．例5．已知正实数x，求y =分析整理为即看作是坐标系中一动点( 0)x ，到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题．解：y =令( 0)P x ，、A （0，2）和B （2，1），则y PA PB =+． 作B 点关于x 轴的对称点'(21)B -，，则y 的最小值为'AB例6．已知1tan 2α=，1tan 3β=，求证：45αβ+=︒． 【分析】根据正切函数的意义不难构造出满足条件的角α、β（如图），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键．将图（1）中下面的图翻转到上图的下面，就形成了如图（2）的图形，角αβ+也就构成了．证明：如图（2），连接BC ，易证：ABD ∆≌CBE ∆，从而ABC ∆是等腰直角三角形，于是：45αβ+=︒．图（1）图（2）例7．求函数123y x x x =++-+-的最小值．【分析】如图，设数轴上表示数－1、2、3、x 的点分别为A 、B 、C 、P （P 为动点），则表示P 到A 、B 、C 三点之间的距离之和，即y PA PB PC =++．容易看出：当且仅当点P 和点B 重合时，PA PB PC ++最小，所以4y AB BC =+=最小．例8．若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围．【分析】令2()23f x x kx k =++，其图象与x 轴的横坐标就是方程()0f x =的解．由()y f x =的图象可知，要使两根都在－1和3之间，只须：(1)0f ->，(3)0f >，()()02bf f k a-=-≤同时成立，由此即可解得10k-<≤或3k ≥．其中，(1)f -表示1x =-时的函数值．解：令2()23f x x kx k =++，由题意及二次函数的图象可知：(1)0(3)0()0f f f k ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩即222(1)2(1)3032330()2()30k k k k k k k k ⎧-+-+>⎪+⋅+>⎨⎪-+-+≤⎩ 解得：10k -<≤或3k ≥．【说明】一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、二次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图象来解决常常会起到意想不到的效果．例9．若0a >，且b a c >+，求证：方程20ax bx c ++=有两个相异实数根．【分析】首先可以想到的思路当然是证明240b ac ∆=->，但这并不容易．注意到二次方程与二次函数的关系，把“二次方程有两个相异的实根”这个代数命题“翻译”成几何命题就是“二次函数的图象与x 轴有两个交点”．考虑到此时0a >，抛物线开口向上，这个几何命题可以进一步等价转化成“二次函数的图象有一部分位于x 轴的下方，再把它翻译成代数命题就是“二次函数至少在某一点上的函数值小于0”．证明：考查函数2y ax bx c =++， ∵0a >，∴此抛物线开口向上．又∵b a c >+，即0a b c -+<，x∴当1x =-时，二次函数的值(1)0f -<．故抛物线与x 轴有两个交点，从而方程有两个不等实根．例10．已知：对于满足04p ≤≤的所有实数p ，不等式243x px x p +>+-恒成立，求x 的取值范围．【分析】不等式243x px x p +>+-可以变形为243(1)x x p x -+>--． 考查二次函数22143(2)1y x x x =-+=--和一次函数2(1)y p x =--．原不等式的几何意义是“二次函数1y 的图象在一次函数2y 的图象的上方”．原题条件的几何意义是“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”．把原题所求的问题重新表述一下，就是：当x 取那些实数时，可以保证“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”这个命题正确．现在我们研究这两个函数的图象（如图）：二次函数1y 的图象是一条固定不变的抛物线．但是一次函数2y 的图象随之p 的变化绕（1，0）旋转，当0p =，20y =时，是与x 轴重合的一条直线；当4p =，244y x =-+是一条截距为4的直线，它与抛物线1y 的交点坐标为（－1，8）．当实数q 取遍04p ≤≤之内的所有实数时，直线2y 所过了图中的阴影区域．结合图形，我们再一次把原问题重新表述一下：当x 取哪些实数时，可以保证“二次函数1y 的图象总是在图中的阴影区域的上方”．观察图象，我们不难得到1x <-或3x >，所以原问题的结论就是：x 的取值范围是1x <-或3x >．【说明】本题一开始为什么要对不等式作这样的变形？希望大家在完全理解这道题的解题思路后认真思考一下这个问题，习惯对这类问题的反思在高中数学学习中非常重要．利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较．初三数学“数形结合”习题（1）1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =210y x =+的距离．2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ∆的x面积（用含m 、n 的代数式表示）．3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：312111x x x =+． 4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 5．已知正实数x，求y =6．已知1tan 2α=，1tan 3β=，求证：45αβ+=︒． 7．求函数123y x x x =++-+-的最小值．8．若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围． 9．若0a >，且b a c >+，求证：方程20ax bx c ++=有两个相异实数根．初三数学“数形结合”习题（2）1．设0k b +=，则直线y kx b =+与抛物线2y kx bx =+的位置关系是（）．A ．有两个不重合的交点B ．有且只有一个公共点C ．没有公共点D ．无法确定2．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）．A ．3、3、11、C ．8、15、17D ．3.5、4.5、5.53．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（）．A ．玩具店B ．文具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东边－60米4．已知实数a 、b 在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么（）．A ．ab b <B ．ab b >C ．0a b +>D ．0a b -> 5．函数35y x x =-++的最小值为（）．A ．8B ．5C ．3D ．2 6．已知函数y x =和y =x >的解集为（）．A ．22x -≤<B ．22x -≤≤C ．2x <D ．2x >6题图7题图7．如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，4BD =，AD BC =，3cos 5ADC ∠=，则DC =，sin B =．8．在数轴上数a 和3的对应点分别为点A 和点B ，点A 到原点的距离为1.5，则点A 关于点B 的对称点所对应的数是．9．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米，桥下的水深为2米．为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米．问水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？10．如图，已知ABC ∆内接于圆O ，AD 是圆O 直径交BC 于E ．求证：tan tan AEB CDE⋅=． 11．如图所示，已知矩形AOBC 中，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，A （0，4），60OAB ∠=︒，以AB 为轴对称后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标．12．已知两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），线段AB 中点坐标可用公式（122x x +，122y y +）计算．现已知M （－1，2），N （5，14）．（1）计算MN 中点的坐标；（2）试研究：怎样不画图计算出线段MN 的两个三等分点的坐标？初三数学“数形结合”习题（2）【参考答案】1．B2．D3．B4．D5．A6．A7．6，418．4.5或7.59．2.76米 10．提示：可以作AG BC ⊥于F ，交圆O 于G ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可得．（或连结BD 、CD ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可证得）11．（2）12．（1）（2，8）；（2）（1，6）和（3，10）. 提示:可推得两个三等分点的坐标公式（1223x x +，1223y y +）、（1223x x +，1223y y +）。
高考数学 专题07 直线与椭圆的解题方法(解析版)
专题07 直线与椭圆的解题方法一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)为例(1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【方法总结】（一）直线与椭圆关系求离心率 （二）对称问题 （三）椭圆与圆（四）直线与椭圆的中点弦问题 （五）定点问题 （六）定值问题 （七）范围问题 （八）探索性问题 四．【题型归纳】（一）直线与椭圆关系求离心率例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13 B ．23 C ．83D ．32或83【答案】A【解析】如图 设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M Q 三点共线,MF QF k k = 0000022y y x a c x c-∴=++-,即00002y y c x x a c =++-,002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A.练习1.已知1F ,2F 为椭圆22221(0)x yC a b a b+=>>：的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥,122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程为A.22162x y += B.22184x y += C.22182x y += D.2212016x y += 【答案】A【解析】由题意，过原点O 且倾斜角为30o 的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ， 且12AF AF ⊥，且122F AF S ∆=，则可知OA c =， 设(,)A x y ，则31cos30,sin 302x c y c c ====o o ，即31,)2A c , 代入椭圆的方程可得2222144c c a b+=又由122F AF S ∆=，则211122222S c c c =⨯⨯== ，解答24c =，且222c a b =-， 解得226,2a b ==，所以椭圆的方程为22162x y +=，故选A.方法2，利用焦点三角形面积公式2tan ||||21221θb y F F S A ==（21AF F ∠=θ） 求出坐标31,)2A c ，带入第一个面积公式求c ，利用第二个面积公式2πθ=求b练习2.已知F 1，F 2为椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的两个焦点，过点F 1作x 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点．当△F 2PQ 为等腰直角三角形时，椭圆C 的离心率为e 1，当△F 2PQ 为等边三角形时， 椭圆C 的离心率为e 2，则e 1，e 2的大小关系为e 1______e 2 （用“＞”，“＜”或“=”连接） 【答案】＜ 【解析】把x c =-代入椭圆方程可得：22221c y a b+=，解得：2by a =± ①当2F PQ ∆为等腰直角三角形时，可得：22b c a=，即222a c ac -=化为：211210e e +-=，101e <<解得：1212e -+== ②当2F PQ ∆为等边三角形时，22b c a=)222a c ac -=22220e +=，201e <<解得：2e =则1e ，2e 的大小关系为：12e e <本题正确结果：<（二）对称问题例2. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆:C 22221y x a b+=()0a b >>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若,64ππα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．0,3⎛ ⎝⎦B．0,2⎛ ⎝⎦C．,32⎣⎦D．,33⎣⎦ 【答案】A【解析】OP Q 在y 轴上，且平行四边形中，MN OP P ，∴M 、N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M 、N 两点关于x 轴对称，而MN OP a ==，可设,2a M x ⎛⎫-⎪⎝⎭，,2a N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得：||x =，得,2a N ⎫⎪⎪⎝⎭， α为直线ON的倾斜角，tan aa ==，,,tan 164a ππα⎛⎤∈<≤ ⎥⎝⎦，1<≤，1a b ∴<≤1b a ≤<22113b a ∴≤<，而221ab ac e -==0e ∴<≤． ∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎦．故选A 项．练习1. 设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在直线2a x c =（其中222cb a +=）上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A．0,2⎛ ⎝⎦B．0,3⎛ ⎝⎦ C．3⎫⎪⎪⎣⎭ D．,12⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】由题意得 ()1,0)F c -，2F (),0c ，设点2,a P m c ⎛⎫⎪⎝⎭， 则由中点公式可得线段1PF 的中点221(,22a c K m c - )，∴线段1PF 的斜率与2KF 的斜率之积等于1-，即2221212m m a a c c c c c--⋅=--+-， 22230a a m c c c c ⎛⎫⎛⎫∴=-+⋅-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4224230a a c c ∴--≤，423210e e ∴+-≥，213e ∴≥，或21(e ≤-舍去)，e ∴≥． 又椭圆的离心率 01e <<，故13e ≤<， 故选：C ．练习2. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且85AP PQ =uu u r uu u r， 椭圆C 的离心率为___.【答案】12【解析】：设0(,0)Q x ，由(,0)F c -，(0,)A b 知∵FA AQ ⊥u u u r u u u r ，0FA AQ ⋅=u u u r u u u r ,∴200cx b -=，20b x c= 设11(,)P x y ，由85AP PQ =uu u r uu u r 得21813b x c =，1513y b = 因为点P 在椭圆上，所以222221851313b a c bb +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭整理得2b 2=3ac ，即2（a 2-c 2）=3ac ，2e 2+3e -2=0，故椭圆的离心率12e =（三）椭圆与圆例3.如图，1A ，2A 分别是椭圆2214xy +=的左、右顶点，圆1A 的半径为2，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆于点Q ，则2PQ QA =_______．【答案】34【解析】连结1PO PA 、，可得1POA n 是边长为2的等边三角形，所以1160PAO POA ∠∠==︒， 可得直线1PA 的斜率1603k tan =︒=PO 的斜率为21203k tan =︒=- 因此，直线1PA 的方程为)32y x =+，直线PO 的方程为3y x =， 设()P m n ，，由)323y x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得1m =-， 因为圆1A 与直线2PA 相切于点P ，所以21PA PA ⊥，因此219030PA O PAO ∠∠=︒-=︒， 故直线2PA 的斜率3150k tan =︒=2PA 的方程为)32y x =-，代入椭圆方程2214x y +=，消去y 得271640xx -+=，解得2x =或27x =， 因为直线2PA 交椭圆于()22,0A 与Q 点，设(),Q s t ，可得27s =， 由此可得22213722427Q P A Q x x PQ s m QA x x s +--====---. 故答案为34练习1.祖暅原理：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.比如：设半圆方程为222(0,0)x y r y r +=≥>，半圆与x 轴正半轴交于点A ，作直线x r =，y r =交于点P ，连接OP （O 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y 轴旋转所得半球的体积与OAP ∆绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法，可得半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积是_________. 【答案】223ab π 【解析】如图，这是椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体，所以半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体为：椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理，得出该几何体的体积是V V V =-圆柱圆锥22212=33b a b a b a πππ-=；答案：223ab π练习2.已知O 是椭圆E 的对称中心，1F ，2F 是E 的焦点，以O 为圆心，1OF 为半径的圆与E 的一个交点为A .若¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2:1，则E 的离心率等于______. 【答案】31e =【解析】解法1：如图，设122F F c =，1OF c =，因为¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2：1，故1120AOF ∠=o ，260AOF ∠=o ，所以2AOF △为正三角形，故2AF c =.在等腰1AOF △中，求得13AF c =.根据椭圆的定义，可得)12231a AF AF c =+=，故椭圆的离心率231231c c e a a ====+. 解法2：如图，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，122F F c =.由题意，易知1120AOF ∠=o，260AOF ∠=o，所以2AOF △为正三角形，故13,22A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为点A 在椭圆上，所以22223144c c a b+=，即()222223144c c a a c +=-，即()22231441e e e +=-， 整理，得()22221344e eee -+=-，即42840e e -+=，解得2423e =+2423e =-31e =.练习3.设p 是椭圆2213632x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()2221x y -+=和()22124x y ++=上的点，则PM PN +的取值范围为______【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡227221， 【解析】首先将P 点固定于一处，设两圆心分别为12,C C ，则1211,2r r ==，且12,C C 为椭圆的焦点， 根据圆外一点到与圆上的点的距离的范围可得11221111,22PC PM PC PC PN PC -≤≤+-≤≤+， 从而得到12123322PC PC PM PN PC PC +-≤+≤++，根据椭圆的定义可知1212PC PC +=，所以PM PN +的取值范围为2127[,]22， 故答案是：2127[,]22.（四）直线与椭圆的中点弦问题例4.已知椭圆T ： 22221(>0)x y a b a b +=>的离心率为2，右焦点为()1,0F ,三角形ABC 的三个顶点都在椭圆T 上，设它的三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0。
数学思想方法的
数学思想方法的
数学思想方法主要有：用字母表示数的思想,数形结合的思想,转化思想 (化归思想)，分类思想，类比思想，函数的思想，方程的思想，无逼近思想等等。
1.用字母表示数的思想：这是基本的数学思想之
一 .在代数第一册第二章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。
2.数形结合：是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。
3.转化思想：在整个初中数学中，转化 (化归)思想一直贯穿其中。
高中七种数学思想方法总结
高中七种数学思想方法总结高中数学可以说是数学思想发展的关键时期，学生需要抽象思维能力和逻辑推理能力的提高。
在高中数学学习中，这七种数学思想方法对于学生的数学思维的培养具有重要意义。
下面对这七种数学思想方法进行总结。
首先是归纳与演绎的思想方法。
归纳与演绎是思维的两个基本方面。
归纳是从具体的实例出发，逐步得到普遍规律的一种思维方式。
而演绎是从普遍规律出发，推演出具体实例的一种思维方式。
在高中数学学习中，学生首先需要通过归纳总结知识点中的一般性规律，然后通过演绎推导解决具体问题。
其次是抽象与具体的思想方法。
抽象是从具体的实例中提取出普遍规律的一种思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过抽象将具体问题归纳到一般性问题，从而更好地解决问题。
而具体则是为了更清晰地理解抽象的概念和规律，将抽象的概念具体化。
第三是直观与形式的思想方法。
直观是通过感觉和观察获得的一种思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过直观去理解和感受数学概念和现象。
而形式则是通过符号、符号语言去表达和推演的一种思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过形式化去描述和推演问题，从而更好地解决问题。
第四是逻辑与启发的思想方法。
逻辑是一种通过推理和论证得出结论的思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过逻辑推理去解决问题，并通过逻辑展示问题的解决过程。
而启发则是一种通过直觉和灵感得到的思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过启发去发现和理解问题，并通过启发性解题方法解决问题。
第五是分析与综合的思想方法。
分析是将整体问题分解成各个部分，然后逐个进行研究的一种思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过分析将复杂的问题分解成简单的问题，然后逐个解决。
而综合则是将各个部分的研究结果重新组合成一个整体的思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过综合将各个问题的解决方法组合成一个整体的解决方法。
第六是推理与证明的思想方法。
推理是通过逻辑推理和推断得出结论的一种思维方式。
七年级数学培优专题：整体思想
目 录
• 整体思想概述 • 整体思想的基本概念 • 整体思想在解题中的应用 • 整体思想的培养与提高 • 整体思想在数学竞赛中的应用 • 总结与展望
01
整体思想概述
整体思想的定义
01
整体思想是指从整体的角度出发 ，将多个部分或要素视为一个整 体，对其进行全面、系统的分析 和处理。
促进知识整合
整体思想有助于学生将所 学知识进行整合，形成完 整的知识体系，加深对数 学本质的理解。
整体思想在数学中的应用
代数问题
在代数问题中，整体思想常用于因式 分解、方程组的求解等，通过将问题 看作一个整体，简化计算过程。
几何问题
函数问题
在函数问题中，整体思想常用于分析 函数的性质和图像，通过从整体角度 把握函数的规律，更好地理解函数的 本质。
03
整体思想在解题中的应 用
代数题中的应用
代数方程组的求解
通过将方程组视为一个整 体，利用消元法或代入法 求解，避免了逐一解每个 方程的繁琐过程。
代数式的化简
将复杂的代数式视为一个 整体，运用合并同类项、 提取公因式等技巧进行化 简，简化了解题过程。
代数式的变形
通过观察代数式的整体结 构，运用整体代换、整体 约简等方法，快速找到解 题思路。
06
总结与展望
总结整体思想的内容与意义
整体思想概述
整体思想是一种重要的数学思维方式 ，它强调从整体的角度看待问题，通 过全面分析、综合运用知识点，寻找 解题的突破口。
整体思想的意义
整体思想有助于培养学生的逻辑思维 、创新思维和问题解决能力，对于提 高学生的数学素养和应对复杂问题的 能力具有重要意义。
对未来学习的展望
高考数学：专题七 第一讲 函数与方程思想配套限时规范训练
A．{a|1<a≤2}B．{a|a≥2}
C．{a|2≤a≤3}D．{2,3}
3．(2012·浙江)设a>0，b>0，则下列命题正确的是()
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b
所以x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1，
所以2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
由即(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
又直线与椭圆相交于两点，所以Δ＝(－2a2)2－4(a2＋b2)·a2(1－b2)＞0，整理得a2b2(a2＋b2－1)＞0，即a2＋b2＞1.
12．若数列{an}的通项公式为an＝×n－3×n＋n(其中n∈N*)，且该数列中最大的项为am，则m＝______.
三、解答题
13．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，若椭圆的离心率e∈，求a的最大值．
14．(2012·山东)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
A.B．2C．4D．8
6．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递增，f＝0，则满足f(logx)>0的x的取值范围是()
A．(0，＋∞)B．(0，)∪(2，＋∞)
C．(0，)∪(，2)D.
7．设函数f(x)＝x3＋sinx，若0≤θ≤时，f(mcosθ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围是()
A．(0,1)B．(－∞，0)
C．(－∞，1)D.
总结数学思想方法
总结数学思想方法数学思想方法是数学研究和解决问题的基本思维方式和方法论。
它通常被认为是一种逻辑严谨、推理严密的思考方式。
数学思想方法的核心是抽象、推理和证明。
在数学思想方法中，数学家通过抽象和推理来发现并构造数学对象，通过证明来验证并确立数学结论。
本文将总结数学思想方法的几个重要方面。
首先，数学思想方法的基石是抽象。
数学家通过抽象将问题中的实际对象抽离出来，转化为数学对象。
抽象使问题具有普适性，并且能够让我们从多种角度思考问题。
例如，在几何学中，我们可以将实际的几何对象，如点、线、平面等，抽象为几何空间中的抽象对象。
这种抽象使得我们可以研究几何性质的本质，并且可以构造出一般性的结论。
其次，数学思想方法强调推理。
推理是从已知事实出发，通过逻辑关系来得出新的结论的思维过程。
数学家通过推理来推导出数学对象之间的关系和相互作用。
推理可以分为演绎推理和归纳推理两种。
演绎推理是从一般性的前提出发，通过逻辑推理得出具体的结论。
而归纳推理则是从具体的例子中归纳出一般性的规律。
推理在数学证明中扮演着重要角色，它是数学结论的重要依据。
另外，数学思想方法的重要特点是证明。
证明是数学中最为严谨和重要的环节。
通过证明，我们可以验证数学结论的正确性，并确保其在任何情况下都是成立的。
证明可以采用不同的方法，如直接证明、反证法、数学归纳法等。
直接证明是从已知前提出发，通过逻辑推理逐步得出结论；反证法是先假设结论不成立，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而推翻假设；数学归纳法是通过证明结论在某个基础上成立，并推导出结论在下一个阶段也成立。
证明可以增强我们对数学结论的理解和信心，并为我们提供了解决其他问题的思路和方法。
在数学思想方法中，还存在一些其他重要的思维方式，如递归思维、反思思维和创造思维。
递归思维是将问题分解为更小的子问题，并利用这些子问题的解来求解原始问题。
反思思维是对问题、方法和结论进行深度反思和思考，以便发现潜在的错误或改进的空间。
专题突破检测(七)数学思想方法
专题达标检测七一、选择题1．已知x ，y ∈R ，且2x ＋3y >2－y ＋3－x ，那么 ( ) A ．x ＋y <0B ．x ＋y >0C ．xy <0D ．xy >0 解析：设f (x )＝2x －3－x .因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数 又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.选B.答案：B2．设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取 值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析：易知f (x )为奇函数、增函数，f (m cos θ)＋f (1－m )>0，即f (m cos θ)>f (m －1)，∴m cos θ>m －1，而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0,1]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >m －1，0>m －1得m <1. 答案：C3．方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是 ( ) A ．m ≤－916 B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤52解析：m ＝x 2－32x ＝⎝⎛⎭⎫x －342－916≤52， 又当x ＝34时，m 最小为－916， ∴－916≤m ≤52. 答案：D4．已知函数f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，构造函数F (x )，定义如下：当f (x )≥g (x )时，F (x )＝g (x )；当f (x )<g (x )时，F (x )＝f (x )．那么F (x ) ( )A ．有最大值3，最小值－1B ．有最大值7－27，无最小值C ．有最大值3，无最小值D ．无最大值，也无最小值解析：画图得到F (x )的图象：为射线AC 、抛物线弧AB 及射线BD 三段，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3y ＝x 2－2x 得x A ＝2－7， 代入得F (x )最大值为7－27，由图可得F (x )无最小值，从而选B.答案：B5．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，以下四个图象中，y ＝f (x )的大致图象是 ( )解析：函数y ＝xf ′(x )是y ＝f ′(x )与y ＝x 的复合函数，当y ＝0且x ∈R 时，必有f ′(x ) ＝0.因而其图象与x 轴交点即为f ′(x )＝0两根．由图象提供的信息，函数y ＝f (x )在x ＝1和x ＝－1处取得极值．观察图象，只有C 项合适．答案：C6．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的范围是 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,2] D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只 需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1<a ≤2.答案：C二、填空题7．已知：f (x )＝x 1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1[f n －1(x )](n >1且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式 为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．解析：由f 1(x )＝f (x )和f n (x )＝f n －1[f n －1(x )](n >1且n ∈N *)，得f 2(x )＝f 1[f 1(x )]＝x1－x 1－x 1－x＝x 1－2x ， f 3(x )＝f 2[f 2(x )]＝x1－2x 1－2x 1－2x＝x 1－22x ，…，由此猜想 f n (x )＝x 1－2n －1x(n ∈N *)． 答案：x 1－22x x 1－2n －1x8．若方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )只有一个根，则a 的取值范围是________．解析：原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>03－x >0a －x >0(x －1)(3－x )＝a －x即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2＋5x －31<x <3， 构造函数y ＝－x 2＋5x －3(1<x <3)和y ＝a ，作出它们的图象，易知平行于x 轴的直线 与抛物线的交点情况为：①当1<a ≤3或a ＝134时，原方程有一解； ②当3<a <134时，原方程有两解； ③当a ≤1或a >134时，原方程无解． 因此，a 的取值范围是1<a ≤3或a ＝134. 答案：1<a ≤3或a ＝1349．若曲线y 2＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是________．解析：y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0－x ＋1，x <0，其图象如图所示，对直线y ＝kx ＋b ，k ≠0时，直线与曲 线一定相交，只有当k ＝0，且－1<b <1时无交点．故填k ＝0；－1<b <1.答案：k ＝0，－1<b <110．若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，则实数x 的取值范围为________．解析：∵x 2＋px >4x ＋p －3，∴(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0.令g (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则要使它对0≤p ≤4均有g (p )>0，只要⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0g (4)>0， ∴x >3或x <－1.答案：x >3或x <－1三、解答题11．若函数f (x )＝a ＋b cos x ＋c sin x 的图象经过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫π2，1，且当x ∈[0，π2]时， －2≤f (x )≤2恒成立，试求a 的取值范围解：∵f (x )过(0,1)和⎝⎛⎭⎫π2，1，∴f (0)＝a ＋b ＝1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝a ＋c ＝1，即b ＝c ＝1－a .∴f (x )＝a ＋(1－a )(cos x ＋sin x )＝a ＋2(1－a )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π4≤x ＋π4≤34π. ∴22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1. f (x )的取值范围与1－a 的正负有关系，从而讨论如下：①当a ≤1时，1≤f (x )≤a ＋2(1－a )．∵－2≤f (x )≤2，∴只要a ＋2(1－a )≤2解得a ≥－2，∴－2≤a ≤1.②当a >1时，a ＋2(1－a )≤f (x )≤1，∵－2≤f (x )≤2，只要a ＋2(1－a )≥－2，解得a ≤4＋3 2.∴1<a ≤4＋3 2.结合①②知，实数a 的取值范围为[－2，4＋32]．12．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求c 的取值范围．解：(1)由题意知f (1)＝－3－c ，因此b －c ＝－3－c ，从而b ＝－3.又对f (x )求导得f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )． 由题意f ′(1)＝0，因此a ＋4b ＝0，解得a ＝12.(2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数．因此f (x )的单调递减区间为(0,1)，而f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知，f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3－c ，此极小值也是最小值要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2.即2c 2－c －3≥0，从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1. 所以c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 13．已知函数f (x )＝－x 2＋8x ，g (x )＝6ln x ＋m .(1)求f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值h (t )；(2)是否存在实数m 使得y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)f (x )＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16.当t ＋1<4，即t <3时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，h (t )＝f (t ＋1)＝－(t ＋1)2＋8(t ＋1)＝－t 2＋6t ＋7；当t ≤4≤t ＋1即3≤t ≤4时，h (t )＝f (4)＝16；当t >4时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递减，h (t )＝f (t )＝－t 2＋8t .综上，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋6t ＋7，t <3，16，3≤t ≤4，－t 2＋8t ，t >4.(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，即函数Φ(x )＝g (x )－f (x )的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵Φ(x )＝x 2－8x ＋6ln x ＋m ，∴Φ′(x )＝2x －8＋6x ＝2x 2－8x ＋6x＝2(x －1)(x －3)x(x >0) 当x ∈(0,1)时，Φ′(x )>0，Φ(x )是增函数；当x ∈(1,3)时，Φ′(x )<0，Φ(x )是减函数；当x ∈(3，＋∞)时，Φ′(x )>0，Φ(x )是增函数；当x ＝1或x ＝3时，Φ′(x )＝0.∴Φ(x )极大值＝Φ(1)＝m －7，Φ(x )极小值＝Φ(3)＝m ＋6ln 3－15.∵当x 充分接近0时，Φ(x )<0，当x 充分大时，Φ(x )>0∴要使Φ(x )的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须⎩⎪⎨⎪⎧Φ(x )极大值＝m －7>0，Φ(x )极小值＝m ＋6ln 3－15<0. 即7<m <15－6ln 3.所以存在实数m ，使得函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15－6ln 3)。
初中数学思想方法有哪些
初中数学思想方法有哪些数学作为一门重要学科，对于初中生来说是一个必修课程。
在学习数学的过程中，除了掌握基本的知识和技能外，更重要的是培养学生的数学思维和方法。
那么，初中数学思想方法有哪些呢？接下来，我们将从几个方面进行探讨。
首先，数学思想方法包括逻辑思维。
数学是一门严谨的学科，逻辑思维是数学学习的基础。
在解决数学问题时，学生需要运用逻辑思维，按部就班地分析问题，找出问题的关键点，合理推理，得出正确的结论。
通过数学问题的解决，学生可以培养自己的逻辑思维能力，提高问题分析和解决问题的能力。
其次，数学思想方法还包括抽象思维。
数学是一门抽象的学科，很多数学问题都需要通过抽象思维来解决。
学生需要具备将具体问题抽象为数学问题的能力，通过数学符号和公式来描述和解决实际问题。
抽象思维能力的培养不仅可以提高学生的数学学习能力，还可以培养学生的创新能力和问题解决能力。
另外，数学思想方法还包括直观思维。
有些数学问题需要通过图形和图像来解决，这就需要学生具备一定的直观思维能力。
通过观察和分析图形，学生可以更好地理解和解决数学问题，培养自己的直观思维能力，提高解决实际问题的能力。
最后，数学思想方法还包括创造性思维。
数学是一门富有创造性的学科，学生在学习数学的过程中需要培养自己的创造性思维能力。
在解决数学问题时，学生可以通过不同的方法和思路来解决问题，培养自己的创造性思维能力，提高自己的数学学习能力。
综上所述，初中数学思想方法包括逻辑思维、抽象思维、直观思维和创造性思维。
这些思维方法不仅可以帮助学生更好地学习和理解数学知识，还可以培养学生的创新能力和问题解决能力。
因此，学生在学习数学的过程中，应该注重培养自己的数学思想方法，不断提高自己的数学学习能力。
数学思想方法概述
数学思想方法概述数学是一门探索规律和解决问题的科学，它有着独特的思维方式和方法。
数学思想方法的发展经历了漫长的历史，经过数学家们的探索和总结，形成了一套独特而有效的解题思路和方法。
本文将概述数学思想方法的主要内容，以及它们在实际问题中的应用。
一、归纳法归纳法在数学中起着重要的作用，它是从特例到一般的推理方法。
通过找出并总结一系列特例的规律，可以得到一般情况的结论。
数学中很多定理的证明都采用了归纳法，如数列的递推关系、数学归纳法等。
例如，对于一个等差数列，我们可以通过观察其中的特例（如前几项），发现每一项与前一项之间的差值是相同的，根据这个规律，可以应用归纳法得出该等差数列的通项公式。
二、演绎法演绎法是从一般的已知条件出发，通过逻辑推理得到特殊的结论。
演绎法在数学证明中经常使用，它包括假设、推理和结论三个基本步骤。
例如，在几何学中，我们可以通过已知的几何定理和公理，应用演绎法来推导出新的结论。
通过一系列严密的逻辑推理，我们可以得到几何图形间的相互关系、面积公式等。
三、逆向思维逆向思维是一种重要的解题方法，它与一般的思维方式相反。
在解决难题时，我们可以尝试从结果出发，逆向推理，找到问题的关键。
例如，在解方程时，如果我们难以通过正向的代数运算求解，就可以考虑逆向思维，设定一个未知数的值，反推出满足方程的条件。
逆向思维有时能够帮助我们发现问题的本质和解决的方向，从而得到更简洁的解法。
四、形象思维数学是一门抽象的学科，但在解决问题时，形象思维起着重要的作用。
通过将抽象的数学概念用具体的形象来表示，可以加深对问题的理解，找到解决问题的关键。
例如，在解决几何问题时，我们可以通过画图来加深对几何性质的理解，从而找到问题的解决思路。
形象思维还可以通过数字转化为图形、实物模型等形式来帮助解决问题。
五、推广与应用数学思维方法不仅局限于纯数学领域，它们在各个领域中都有广泛的应用。
数学思维方法能够帮助我们理清问题的逻辑关系，提高分析和解决问题的能力。
数学中的思想方法
数学中的思想方法数学是一门独特的学科，具有独特的思想方法。
数学的思想方法是数学家在解决问题时所采用的思考方式和严密的逻辑推理过程。
下面我将从抽象化、逻辑性、严谨性、综合性、创造性和实用性六个方面阐述数学的思想方法。
首先，数学的思想方法之一是抽象化。
数学家经常将具体的实际问题抽象成符号、代数或几何结构，通过对符号和结构的处理，寻找问题的普遍性规律。
例如，代数方程是将实际问题抽象成符号形式，通过方程求解来得出问题的解。
其次，数学的思想方法是逻辑性。
数学家通过逻辑推理来得出结论，推导每一步都必须符合严格的逻辑规则，确保推导的正确性。
数学的推理过程严密而明确，每一步都有清晰的证明和推导。
逻辑性是数学思维的基础，也是数学的精髓所在。
第三，数学的思想方法是严谨性。
数学家在解决问题时要求严谨，在每一步推理中都符合逻辑规则和数学定义，不留任何疑点。
严谨性是数学的基本要求之一，它保证了数学的正确性和可靠性。
第四，数学的思想方法是综合性。
数学家在解决问题时需要综合运用多个数学概念和方法，将各种方法和工具结合起来进行分析和求解。
数学的综合性要求数学家具备广泛的数学知识和技能，能够从多个角度去分析和解决问题。
第五，数学的思想方法是创造性。
数学家在解决问题时需要具备创造力，创造新的概念、方法和定理。
数学建立在已有知识的基础上，但新的数学成果往往需要创造性的思维和灵感。
创造性是数学家解决复杂问题和推动数学发展的核心。
最后，数学的思想方法是实用性。
虽然数学具有一定的抽象性和理论性，但数学的应用非常广泛。
数学在物理、工程、经济、计算机等领域都有重要的应用。
数学家通过各种数学模型和方法，对实际问题进行分析和求解，提供实用的解决方案。
综上所述，数学具有独特的思想方法，包括抽象化、逻辑性、严谨性、综合性、创造性和实用性。
这些思想方法使得数学能够独立思考和解决问题，推动数学的发展和应用。
数学思维方法的训练和培养是数学教育的重要目标，也是培养学生逻辑思维和创新能力的关键。
高中数学：数学七大基本思想方法汇总
高中数学：数学七大基本思想方法汇总第一：函数与方程思想（１）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（２）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想：（１）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（２）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（１）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（２）从具体出发，选取适当的分类标准（３）划分只是手段，分类研究才是目的（４）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（５）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（１）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（２）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（３）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（１）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（２）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（３）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（４）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（５）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想：（１）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（２）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（３）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（４）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想：（１）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（２）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（３）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。
高中数学数学七大基本思想方法汇总
高中数学数学七大基本思想方法汇总数学是一门精密的科学，它具有严谨的逻辑性和精确的推导能力。
而数学的思想方法也是数学发展的重要基础，它们指导着我们在数学学习和研究中的思考和解决问题的方式。
下面我将对数学七大基本思想方法进行汇总。
第一，抽象与具象思维。
抽象是从具体事物中提取出其特有的、普遍的性质和规律的思维活动，它是数学研究的基本方法。
通过抽象思维，我们能够抓住问题的核心，简化问题，提炼出问题的本质。
具象思维则是从一般规律中归纳特殊情况的思维方法，通过具象思维，我们能够将抽象的数学概念和方法具体化，进而更好地理解和应用。
第二，演绎与归纳思维。
演绎是根据已有的前提和规则，从已知的事实中推导出新的结论的思维方法。
通过演绎思维，我们能够通过逻辑推理，将已知的数学定理和命题应用到新的问题中，进而推出新的结论。
归纳则是通过观察特殊情况，总结规律，进而得出一般性结论的思维方法。
通过归纳思维，我们能够从具体的实例中总结出一般的规律，从而推广到更一般的情况。
第三，直观与符号思维。
直观思维是通过直接观察和感知，理解和表达数学问题的思维方式。
它以图形、图像和物理模型等形式进行思考，能够直观地理解和解决问题。
符号思维则是通过符号、公式、等式等数学符号进行思考和表达的方式。
它能够把问题转化为符号形式，进行精确地推导和计算。
第四，分析与综合思维。
分析思维是将一个复杂的问题分解成若干个较简单的部分，分别进行研究和分析的思维方法。
通过分析思维，我们能够深入理解问题的内部结构和关系，帮助我们理清问题的脉络和解决途径。
综合思维则是将各个部分的分析结果综合起来，得出整体性的结论或解决方案的思维方式。
通过综合思维，我们能够将分析的结果进行整合，得到更全面和完整的理解和解决方案。
第五，直觉与严谨思维。
直觉思维是通过内在的直觉和洞察力，快速而准确地找到问题的关键和解决办法的思维方式。
直觉的好坏往往与对问题的熟悉程度和专业知识的储备有关。
严谨思维则是以逻辑思维为基础，要求严谨的论证和推导过程的思维方法。
数学思想方法
数学思想方法数学思想方法是数学家们为了解决问题而采用的一系列思考方法和策略。
这些方法和策略涉及到逻辑推理、归纳和演绎、分类和比较、抽象和具体、观察和实验、模型和推广等方面。
首先，逻辑推理是数学思想方法中的重要组成部分。
在数学中，逻辑推理是通过合乎逻辑的推导和推理来得出结论。
数学家会使用各种推理方法，如直接推理、间接推理、反证法等来证明定理和解决问题。
其次，归纳和演绎也是数学思想方法中常用的推理方法。
归纳是通过观察已有的例子或情况得出一般规律或结论。
数学家通过对特殊情况的研究和总结，逐步提炼出普遍规律。
演绎则是从一般规律出发，通过逻辑推理得出特殊情况或结论。
另外，分类和比较是数学思想方法中一种重要的策略。
数学家通过将问题或对象进行分类，找出其中的共性和差异，进而解决问题。
比较不同的对象或方法，可以更好地理解数学概念和定理，并找到解题的思路。
此外，抽象和具体也是数学思想方法中的关键因素。
数学家常常通过抽象来简化问题，将其转化为更容易处理的形式。
同时，数学家也会通过具体的例子或实验来验证和巩固理论和结论。
还有，观察和实验也是数学思想方法中的重要环节。
观察可以帮助数学家发现问题的特征和规律，实验则可以验证和验证数学家的猜想和推论。
最后，模型和推广是数学思想方法中的重要策略。
数学家经常使用模型来描述和分析现实世界中的问题，从而得到理论和结论。
然后，数学家还会尝试将已有的理论和结论推广到更一般的情况，以便解决更复杂的问题。
总之，数学思想方法包括逻辑推理、归纳和演绎、分类和比较、抽象和具体、观察和实验、模型和推广等多个方面。
这些方法和策略有助于数学家解决问题、发现规律和推导定理。
数学思想方法有哪些
数学思想方法有哪些数学思想方法是指在数学问题的解决过程中所采用的思维方式和方法论。
数学思想方法的运用不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在数学思想方法的运用过程中，我们可以采用以下几种方法：首先，抽象思维是数学思想方法中非常重要的一种方法。
抽象思维是指将具体的数学问题进行抽象化处理，将其具有普遍性的规律和特征提取出来，从而得到一般性的结论。
通过抽象思维，我们可以将具体的数学问题进行一般化处理，从而更好地理解问题的本质和规律。
其次，逻辑推理是数学思想方法中的另一个重要方法。
逻辑推理是指根据已知的条件和规则，通过一系列的推理和演绎，得出结论的过程。
在数学问题的解决过程中，我们需要运用逻辑推理的方法，通过严密的推理和演绎，得出准确的结论。
另外，数学归纳法也是数学思想方法中的一种重要方法。
数学归纳法是指通过具体的实例和特例，得出一般性的结论。
在数学问题的解决过程中，我们可以通过找到一些具体的例子，通过总结和归纳，得出一般性的结论。
此外，数学建模也是数学思想方法中的一种重要方法。
数学建模是指将实际问题抽象化，建立数学模型，通过数学方法进行求解的过程。
在数学建模的过程中，我们需要将实际问题进行合理的数学抽象，建立数学模型，通过数学分析和计算，得出解决问题的方法和结论。
最后，创新思维是数学思想方法中的一种重要方法。
创新思维是指在数学问题的解决过程中，通过新颖的思路和方法，得出新的结论和定理。
在数学问题的解决过程中，我们需要运用创新思维的方法，通过不断地思考和尝试，寻找新的解决问题的途径和方法。
总的来说，数学思想方法是数学问题解决过程中非常重要的一环，通过合理运用抽象思维、逻辑推理、数学归纳法、数学建模和创新思维等方法，可以更好地解决数学问题，提高数学问题的解决能力和水平。
希望大家能够在学习数学的过程中，加强对数学思想方法的理解和运用，从而更好地掌握数学知识，提高数学解决问题的能力。
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函数思想
【例 5】 (2015· 南通 ) 某网店打出促销广告：最新款服装 30 件 ，
每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次 性购买超过10 件时，每多买1 件，所买的每件服装的售价均降低3
元．已知该服装成本是每件200 元，设顾客一次性购买服装x 件时，
该网店从中获利y元． (1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
专题七
数学思想方法
中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、方程与
函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等．
解题方法
(1)整体思想：整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个 (或 多个)未知量时，可打破常规 ，根据题目的结构特征 ，把一组数或 一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决． (2) 转化思想 ：在研究数学问题时 ， 我们通常是将未知问题转化 为已知的问题 ， 将复杂的问题转化为简单的问题 ， 将抽象的问题 转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题． (3) 分类讨论思想 ：体现了化整为零、积零为整的思想与归类整
(3)结合(1)， (2)中的结果 ，猜想并用等式表示 x1，x2，x0之间的关
系(不要求证明)．
k 解： (1)∵直线 y＝ax＋b 与双曲线 y＝x(x＞0)交于 A(1， 3 )， ∴k＝1×3 3 3 ＝3，∴y＝x，∵B(3，y2)在反比例函数的图象上 ，∴y2＝3＝1，∴ B(3，1)，∵直线 y＝ax＋b 经过 A，B
a＝－1， ∴直线为 b＝4 a＋b＝3， 两点，∴ 解得 3a ＋ b ＝ 1 ，
y＝－x＋4，令 y＝0，则 x＝4，∴P(4，0)
(2)如图，作 AD⊥y 轴于 D，AE⊥x 轴于 E，BF⊥x 轴于 F，BG ⊥y 轴于 G，AE，BG 交于 H，则 AD∥BG∥x 轴，AE∥BF∥y 轴， CD AD PF BF PB 1 x1 PF ∴ ＝ ， ＝ ＝ ， ∵b＝y1＋1， AB＝BP， ∴ ＝ ， OC OP PE AE PA y1＋1 6 PE 6＋x1 1 BF 1 ＝ ＝ ，∴B( ， y1)∵A，B 两点都是反比例函数图象上的点， AE 2 2 2 6＋x1 1 1 x1 ∴x1·y1＝ · y1，解得 x1＝2，代入 ＝ ，解得 y1＝2，∴ 2 2 y1＋1 6 A(2，2)，B(4，1) (3)根据(1)，(2)中的结果，猜想：x1，x2，x0 之间的关系为 x1＋ x2＝x0
转化思想
【例 2】 x 5 (2015· 深圳)解方程： ＋ ＝4. 2x－3 3x－2
解：去分母得：3x2－2x＋10x－15＝4(2x－3)(3x－2)，整理得： 3x2－2x＋10x－15＝24x2－52x＋24，即 7x2－20x＋13＝0，分解因式 13 得：(x－1)(7x－13)＝0，解得：x1＝1，x2＝ 7 ，经检验 x1＝1 与 x2 13 ＝ 7 都为分式方程的解 【点评】 本 题 考 查 了解分式方程 ， 解分式方程的基本思想是 “转
够长 ) ， 中间用一道墙隔开 ， 并在如图所示的三处各留 1 m 宽的 门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成
2. 的饲养室面积最大为__________m 75
数形结合思想
k 【例 6】 (2015· 南昌)如图， 已知直线 y＝ax＋b 与双曲线 y＝x(x ＞0)交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(A 与 B 不重合)，直线 AB 与 x 轴 交于 P(x0，0)，与 y 轴交于点 C. (1)若 A，B 两点坐标分别为(1，3)，(3，y2)，求点 P 的坐标． (2)若 b＝y1＋1，点 P 的坐标为(6，0)，且 AB＝BP，求 A，B 两 点的坐标．
6 (2)过点 M 作 MD⊥CB 于点 D， 由题意得： DM＝BMsinB＝3t· 10 9 8 12 ＝ t(cm)， BD＝BMcosB＝3t· ＝ t(cm)， BM＝3tcm， CN＝2tcm， 5 10 5 ∴ CD ＝ (8 － 12 t)cm ， ∵ AN ⊥ CM ， ∠ ACB ＝ 90 ° ， ∴∠ CAN ＋ 5
解： (1)由题意知， BM＝3tcm， CN＝2tcm， ∴BN＝(8－2t)cm， BM BN 3t BA＝ 6 ＋8 ＝10(cm)， 当△BMN∽△BAC 时， ＝ ， ∴ ＝ BA BC 10
2 2
8－2t 20 BM BN 3t 8－2t ， 解得： t＝ ； 当△BMN∽△BCA 时， ＝ ， ∴ ＝ ， 8 11 BC BA 8 10 32 20 32 解得：t＝ ，∴△BMN 与△ABC 相似时，t 的值为 或 23 11 23
∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，∴∠CAN＝∠MCD，∵ AC MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，∴△CAN∽△DCM，∴ CN 12 8－ t 5 CD 6 13 ＝ ，∴ ＝ ，解得 t＝ DM 2t 9 12 t 5
【点评】分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
方程思想
1)(1－a－b)的值为(
A．－16 B．－8 C．8 D．16 【点评】 本 题 考 查 了代数式求 值． 代数式中的字母表示的数没有 明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式(a＋b) 的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
[对应训练]
1．(2015·龙岩)若4a－2b＝2π，则2a－b＋π＝__________ 2π ．
[对应训练] 4．(2015· 宜宾)如图，某市对位于笔直公路 AC 上两个小区 A， B 的供水路线进行优化改造．供水站 M 在笔直公路 AD 上，测得供 水站 M 在小区 A 的南偏东 60°方向，在小区 B 的西南方向，小区 A，B 之间的距离为 300( 3＋1)米，求供水站 M 分别到小区 A，B 的距离．(结果可保留根号)
2时，四边形EDFG周长的最小值为6 .其中真命题的序号是(
A．C ① B．② C．③ D．④
)
化思想 ” ， 把分式方程 转 化 为 整式方程求解． 解分式方程一定注 意要验根．
分类讨论思想
【例 3】 (2015· 茂名)如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝6 cm，BC＝8 cm.动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 3 cm 的 速度向定点 A 运动， 同时动点 N 从点 C 出发， 在 CB 边上以每秒 2 cm 10 的速度向点 B 运动，运动时间为 t 秒(0＜t＜ 3 )，连接 MN. (1)若△BMN 与△ABC 相似，求 t 的值； (2)连接 AN，CM，若 AN⊥CM， 求 t 的值．
【点评】本题考 查了待定系数法求解析式以及反比例函数和一次 函数的交点问题，数形结合思想的运用是解题的关键．
[对应训练] 6．(2015·嘉兴)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1交x轴与点A(a， 0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P(x1， y1)和 Q(x2， y2)，若 x1＜ 1 ＜ x2，且 x1 ＋ x2＞ 2 ，则 y1＞y2；④点 C关 于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝
理的方法．分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；②
一次分类按一个标准；③分类讨论应逐级进行．正确的分类必须 是周全的，既不重复，也不遗漏．
(4) 方程思想 ：用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、 定理中的已知结论构造方程(组)．这种思想在代数、几何及生活实 际中有着广泛的应用． (5) 函数思想 ：用运动和变化的观点 ， 集合与对应的思想 ， 去分 析和研究数学问题中的数量关系 ， 建立函数关系或构造函数 ， 运 用函数的图象和性质去分析问题、转化问题 ， 从而使问题获得解 决．运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的
2
根据抛物线的对称性得 x＝22 时，y 有最大值 1408.∵1408＞1000，∴顾客 一次购买 22 件时，该网站从中获利最多
【点评】 本题主要考 查 了二次函数的 应用 ，根据 题意得出 y与 x的 函数关系是解题关键，解答时注意函数拟建两间矩形饲养室 ，一面靠现有墙 (墙足
解：过点 M 作 MN⊥AB 于 N，设 MN＝x 米．在 Rt△AMN 中，∵∠ANM＝90°，∠MAN＝30°，∴MA＝2MN＝2x，AN＝ 3MN＝ 3x.在 Rt△BMN 中，∵∠BNM＝90°，∠MBN＝45°， ∴BN＝MN＝x，MB＝ 2MN＝ 2x.∵AN＋BN＝AB，∴ 3x＋x ＝300( 3＋1)，∴x＝300，∴MA＝2x＝600，MB＝ 2x＝300 2. 故供水站 M 到小区 A 的距离是 600 米， 到小区 B 的距离是 300 2米
300x－200x＝100x，（0≤x≤10，且x为整数） 2 解：(1)y＝[300－3（x－10）－200]x＝－3x ＋130x（10＜x≤30， 且x为整数） (2)在 0≤x≤10 时，y＝100x，当 x＝10 时，y 有最大值 1000；在 10 2 ＜x≤30 时，y＝－3x ＋130x，当 x＝21 时，y 取得最大值，∵x 为整数， 3
规律和性质．
(6) 数形结合思想 ：从几何直观的角度 ， 利用几何图形的性质研 究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关
系来研究几何图形的性质，解决几何问题(以数助形)．数形结合思
想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决．
整体思想
【例1】 (2015·十堰)当x＝1时，ax＋b＋1的值为－2，则(a＋b－ A)