高中数学选修4-4极坐标课件
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高中数学选修4-4 《直角坐标与极坐标的互化》课件 (1)
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标. 解: (1) x cos 5cos 2 5 ,
32
y sin 5sin 2 5 3 .
32
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标. 解: (1) x cos 5cos 2 5 ,
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
ρ
θ
x
y
x
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
x cos
24
2
半径为 5 的圆。 2
课堂小结
1、极坐标化为平面直角坐标 2、平面直角坐标化为极坐标
课外作业
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标. 解: (1) x cos 5cos 2 5 ,
32
y sin 5sin 2 5 3 .
32
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标. 解: (1) x cos 5cos 2 5 ,
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
ρ
θ
x
y
x
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
x cos
24
2
半径为 5 的圆。 2
课堂小结
1、极坐标化为平面直角坐标 2、平面直角坐标化为极坐标
课外作业
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
人教A版选修4-4极坐标系ppt课件
24
2
半径为 5 的圆。 2
7、把极坐标 ＝2方 －c4程 os化为直角坐
解：方程可化为 2－ cos 4 即2＝4＋x 两边平方得：4 2＝(x 4)2
4x2 4 y2 x2 8x 16 3x2 8x 4 y2 16
9、确定极坐标方程 4sin( )与
3
3cos sin 80所表示的曲线
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和 计算角度的正方向（通 常取逆时针方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上异于极点的任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示以OX为始边、 OM为终边 的角度。 叫做M的极径， 叫 做点M的极角，有序实数对（，）就叫做M 的极坐标。记作M （，）。
问题：如何规定ρ、θ的范围，使平 面内确定的一点的极坐标是唯一的？
ρ>0，θ∈ [0，2π）时点的极坐 标与平面上的点一一对应（极点除 外）。
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定极坐标M（，）,在平面上 可以确定唯一一点。
[2]给定平面上一点，却有无数个极 坐标。
特别的，极点（0，θ），θ取一切 实数。
A、 10cos( ),B、 10cos( )
6
6
C、 10cos( ),D、 10cos( )
32
点M的直角坐标为_______.
【解析】∵tanθ= - ,4 ＜θ＜π,
32
∴cosθ= - ，3 sinθ= , 4
5
5
∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4,
∴点M的直角坐标为(-3,4).
人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
高中数学选修4-4极坐标与参数方程(人教版共5份)精选教学PPT课件
所以，经过伸缩变换后，直线 2x＋4y＝1 变成直线 x′＋y′＝1. (2)将 ①代入 x ＋ y ＝ 4，得到经过伸缩变换后的图形的方程为 x′2 y′2 ＋ ＝4. 4 16
2 2 x ′ y ′ 所以，圆 x2＋y2＝4 经过伸缩变换后变成椭圆 ＋ ＝1. 16 64 2 2
x ′ y′ 答案：(1)x′＋y′＝1 (2) ＋ ＝4 4 16
2
2
5x＇＝x 例 3 在平面直角坐标系中，经过伸缩变换 曲线 C 变 4y＇＝y，
为曲线 x′2＋y′2＝1，求曲线 C 的方程． 解析：设曲线 C 上任意一点为(x，y)，经过伸缩变换后对应点的 坐标为(x′，y′)，
5x′＝x， 由 得 4y′＝y
x y 1 代入 x′ ＋y′ ＝1，得25＋16＝1. y′＝4y.
题型二 伸缩变换
例 2 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过伸缩
x＇＝2x， 变换 后的图形． y′＝4y
(1)2x＋4y＝1；(2)x2＋y2＝4.
x′＝2x， 解析：由伸缩变换式 得 y′＝4y
1 y＝4y′.
1 x＝ x′， 2
①
(1)将①代入 2x＋4y＝1，得到经过伸缩变换后的图形方程为 x′ ＋y′＝1.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换 就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换. (2)设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ������' = ������������(������ > 0), φ: 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P'(x',y'),称 φ 为平面直 ������' = ������������(������ > 0) 角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
1.3.2 直线的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程中，ρ的取值范围是什么？
提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
即(x－1)2＋y2＝1. 直线 l 的直角坐标方程为 x－y－4＝0. 圆心 C(1,0)， 所以过点 C 与 l 垂直的直线方程为 x＋y－1＝0. 化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ－1＝0， π 2 即 ρcos (θ－4)＝ 2 .
[悟一法]
解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐
[研一题] [例 3] 已知⊙C：ρ＝2cos θ，直线 l：ρcos θ－ρsin θ＝4，求
过点 C 且与直线 l 垂直的直线的极坐标方程．
[精讲详析]
本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐
标方程的求法．解答本题需要先求出直线的一般方程，然后化一 般方程为极坐标方程即可． ⊙C 的直角坐标方程是 x2＋y2－2x＝0，
x＋y＝1 由 y－x＝1 x＝0， 得 y＝1.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1，2)．
直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置 关系的判断是高考模拟的重点内容.2012 年陕西高考以填空题的 形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
选修4-4-极坐标系》课件(共22张PPT)
6
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
2023最新整理收集 do
something
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
感 谢 阅
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
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高二数学选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换与极坐标系上课用-公开课课件ppt.ppt
19
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
探索
•已知一点, 与它关于极轴所在直线对称的点如何表示？
Ø若M的坐标为 ( , ) ,则M’的坐标可以是 (,).
M(,)
O
x
M (,)
20
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
x’=x 2
y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变 换。
3
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写 出其坐标变换。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=
1 2
x
y’=3y
通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标 伸缩变换。
4
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意 一点，在变换
x=ρcosθ, y=ρsinθ
26
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
与直角坐标系的联系与区别
•极坐标系与直角坐标系的异同是什么？ Ø都是用有序实数对来表示平面上的点. Ø其中的有序实数对意义不同. Ø直角系的坐标与平面上点是一一对应的;
极坐标系的坐标与平面上点多对一的; •有没有办法使极坐标与点之间一一对应？
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
探索
•已知一点, 与它关于极轴所在直线对称的点如何表示？
Ø若M的坐标为 ( , ) ,则M’的坐标可以是 (,).
M(,)
O
x
M (,)
20
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
x’=x 2
y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变 换。
3
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写 出其坐标变换。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=
1 2
x
y’=3y
通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标 伸缩变换。
4
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意 一点，在变换
x=ρcosθ, y=ρsinθ
26
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
与直角坐标系的联系与区别
•极坐标系与直角坐标系的异同是什么？ Ø都是用有序实数对来表示平面上的点. Ø其中的有序实数对意义不同. Ø直角系的坐标与平面上点是一一对应的;
极坐标系的坐标与平面上点多对一的; •有没有办法使极坐标与点之间一一对应？
北师大版高中数学选修4-4《点的极坐标和直角坐标的互化》课件(共13张PPT)
3.已知A，B两点的极坐标A(2, )，B(4, 5 )，求A, B两点间
3
6
距离和AOB的面积。
4.已知两点的极坐标A(3, )，B(3, )，求A, B两点间
2
6
距离和AB与极轴正方向的夹角.
课时小结
1.点的极坐标的理解，极坐标的不唯一性； 2.点的极坐标与直角坐标的互化； 3.极坐标系下，两点间距离公式及应用。
(1)当极径 0，以OX为始边作角，在角的终边上截取| OM | ; (2)当极径 0,以OX为始边作角，在角的终边的反向延长线上 截取 | OM || |； （3）极点的极坐标为（0，），其中为任意角。
M
O
X
° O
x
(, )
3.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平
M (ρ,θ)
面内确定唯一的一点M；
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
（，），(， 2k ), (, 2k )(k Z)表示同一点
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
(ρ,θ)
(ρ,θ +2kπ)
(-ρ,θ +π) (-ρ,θ +（2k+1）π)
[3]对称性：
点（，）关于极轴的对称点为(，2 ); 点(, )关于极点对称点为(, ); 点(， )关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(, ).
新课探究
1.点的极坐标与直角坐标的互化：
(
R);
(2)点M的直角坐标(x, y)为极坐标(, )的关系式：
人教版选修4-4 极坐标与参数方程(精品课件)共24张PPT
三、极坐标的正式应用和扩展
◆1736年出版的《流数术和无穷级数》一书中，牛顿 第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛 顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。 ◆在1691年出版的《博学通报》一书中伯努利正式使 用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射 线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定 点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标 系对曲线的曲率半径进行了研究。
（2）点P（ρ，θ）与点（ρ，2kπ+θ）（k∈Z）
所表示的是同一个点，即角θ与2kπ+θ的终边是 相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极 坐标之间不是一一对应而是一对多的对应
(ρ，θ)，（ρ，2kπ+θ），（-ρ，（2k+1）π+θ）均 表示同一个点
3.极坐标和直角坐标的互化
y
（1）互化背景：把直角坐标系 的原点作为极点，x轴的正半轴 作为极轴，并在两种坐标系中取 相同的长度单位，如图所示：
极坐标系和参数方程虽为选修内容，高中学生也 应该重视对本专题的学习，既可以体会其中的数 学思想，也能提高对数学的认识，而且可以与已 学知识融会贯通
极坐标系
定义：平面内的一条有规 定有单位长度的射线0x,0 为极点，0x为极轴，选定 一个长度单位和角的正方 向(通常取逆时针方向)， 这就构成了极坐标系。
关于教材编排
参数方程是选修4-4专题的一个重要内容。这一专 题包含、涉及了很多高中内容。利用高二学生已掌 握的直线、圆和圆锥曲线曲线方程为基础，鼓励学 生利用参数的思想对它们进行探究解析，以及能学 习掌握如何优化参数的选择推出已知曲线方程的参 数形式，能等价互化参数方程与普通方程；借助实 际生活例子或相应习题体会参数方程的优势，理解 学习参数方程的缘由。
选修4-4极坐标与参数方程全套课件.ppt
t表示任意一点到
M
的距离，
0
? 则表示直线的倾斜角， 它的范围是[0,? )
? 随堂演练----求直线参数方程标准形式
1、已知直线过A(?2,3)，且倾斜角为 ?
4 2、已知直线过B(1,? 2)，且斜率为2
3、已知直线过C(0,1)，且斜率为 ? 3 2
4、已知直线的普通方程 为y ? ? 3x ? 4 5、已知直线普通方程为 x ? 1 6、已知直线普通方程为 y ? 1
? 直线参数方程----非标准形式化为标准形式
? x ? x0 ? at
? ?
y
?
y0
?
bt
非标准形式
b? 0 b? 0
? ??
x
?
x0
?
?
?y? ??
y0
?
at a2 ? b2
bt a2 ? b2
? ??
x
?
x0
?
?
?
?y? ??
y0
?
?
a t
a2 ? b2 bt a2 ? b2
标准形式
? 直线参数方程----非标准形式化为标准形式
4、? ? 2 sin? 5、? ? 2 cos? 6、? 2 ? 2? cos? ? 8 ? 0
9、? sin(? ? ? ) ? 2
42
10、? sin(? ? ? ) ? 1
6
? 随堂演练----高考真题
【2018北京卷10】
在极坐标系中，直线 ?cos? ? ?sin? ? a 与圆? ? 2cos?相切，则a ? _____ .
3
2
3
D(2,? ) E(3, 4? ) F (3, 5? )
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标和直角坐标的互化课件
第一讲坐标系 二极坐标系
2.极坐标和直角 坐标的互化
人民教育出版社 高中 |选修4-4
基础知识：
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思考：
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老师点拨：
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老师点拨：
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人民教育出版社 高中 |选修4- ： 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件
2.互换的公式
3.互换的基本方法
典型例题1 ：
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分析：
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学生思考，老师总结 ：
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典型例题2 ：
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分析：
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2.极坐标和直角 坐标的互化
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基础知识：
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人民教育出版社 高中 |选修4- ： 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件
2.互换的公式
3.互换的基本方法
典型例题1 ：
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第1讲-极坐标系
课 前 自 主 导 学
，x 轴的
当 堂 双 基 达 标
正半轴作为 极轴 ， 并在两种坐标系中取相同的 长度单位 ， 如图 1－2－1 所示．
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
图 1－2－1
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
(2)互化公式：设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是
课 前 自 主 导 学
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用 到求角 θ 的正弦值和余弦值， 熟练掌握特殊角的三角函数值， 灵活运用三角恒等变换公式是关键．
欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
π 【自主解答】 如图所示， 关于极轴的对称点为 B(2， －3)．
课 前 自 主 导 学 当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2 关于直线 l 的对称点为 C(2，3π)． 2 关于极点 O 的对称点为 D(2，－ π)． 3 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式 如表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) ρ2＝ x2＋y2 y tan θ＝ (x≠0) x
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
，x 轴的
当 堂 双 基 达 标
正半轴作为 极轴 ， 并在两种坐标系中取相同的 长度单位 ， 如图 1－2－1 所示．
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
图 1－2－1
菜
单
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(2)互化公式：设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是
课 前 自 主 导 学
课 时 作 业
菜
单
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课 前 自 主 导 学
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用 到求角 θ 的正弦值和余弦值， 熟练掌握特殊角的三角函数值， 灵活运用三角恒等变换公式是关键．
欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
π 【自主解答】 如图所示， 关于极轴的对称点为 B(2， －3)．
课 前 自 主 导 学 当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2 关于直线 l 的对称点为 C(2，3π)． 2 关于极点 O 的对称点为 D(2，－ π)． 3 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式 如表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) ρ2＝ x2＋y2 y tan θ＝ (x≠0) x
当 堂 双 基 达 标
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高中数学选修4-4直线的极坐标方程课件
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， 在MOA 中有
a sin( ) sin( ) 即
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
5、在极坐标系中，已知 一个圆的方程为 6 直线的极坐标方程是( C
＝12 sin( )，则过圆心与极轴垂直 的
)
A、 sin 3 3B、 sin 3 3 C、 cos 3D、 cos 3
6、在极坐标系中，与圆 ＝4 sin 相切的一条 直线的方程是 ( B ) A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
BXΒιβλιοθήκη sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
选修4-4极坐标课件
极坐标函数的图像可以转化为 直角坐标函数的图像，通过极 坐标到直角坐标的转换实现。
极坐标函数的图像可以通过观 察其形状、对称性、周期性等 特征来理解其性质。
03 极坐标方程
极坐标方程的定义与特点
01
02
03
极坐标系
极坐标系是一种平面坐标 系，其中每个点由一个距 离和一个角度确定。
极坐标方程定义
在极坐标系中，曲线可以 用极坐标方程表示，形式 为$rho = f(theta)$或 $theta = g(rho)$。
利用极坐标的对称性进行积分 计算
利用极坐标的参数方程进行积 分计算
极坐标中的积分应用实例
01
02
03
04
利用极坐标的面积公式 计算圆环的面积
利用极坐标的体积公式 计算球体的体积
利用极坐标的线积分公 式计算电场线的长度
利用极坐标的曲面积分 公式计算球面的面积
05 极坐标在几何中的应用
极坐标在平面几何中的应用
极坐标系中的函数性质
极坐标函数描述了极坐标系中点与原点的距离和射线与正x轴的角度之间的关系。 极坐标函数的性质可以通过其直角坐标函数的性质来推断，如奇偶性、周期性等。
极坐标函数可以用于解决一些物理问题，如电场、磁场等。
极坐标系中的函数图像
极坐标函数的图像是极坐标系 中的点集，可以通过描点法或 参数方程法绘制。
通过极坐标研究旋转体的体积，可以简化计算过程。
球面和圆锥面的方程
在极坐标下，球面和圆锥面的方程可以表示为ρ和θ的函数。
空间曲线的方程
通过极坐标，可以更方便地表示和研究空间曲线的方程。
极坐标在解析几何中的应用
参数方程
参数方程是极坐标的一种表现形 式，可以用来表示和研坐标中，可以对ρ和θ进行微 积分运算，简化计算过程。
人教版高中数学选修4-4极坐标系一等奖优秀课件
复习回顾
1. 直角坐标系 数 轴 平面直角坐标 系 空间直角坐标 系
R
（ x , y)
（ x , y , z)
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满 足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确 定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中飞猛进，他们之间也 开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直 角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛 卡尔创立的解析几何学的雏形。在笛卡尔的带领下，克里斯汀 走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也 使他们彼此产生了爱慕之心。在瑞典这个浪漫的国度里，一段 纯粹、美好的爱情悄然萌发。然而，没过多久，他们的恋情传 到了国王的耳朵里。国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。在克 里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。 当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国 后不久，便染上重病。
4 )，F ( 3.5,
2
数学运用
3
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)
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5 6
她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。 言谈中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴 趣。和女孩道别后，笛卡尔渐渐忘却了这件事，依旧每天坐在 街头写写画画。几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小 公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起 来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到了从远处传来的银铃 般的笑声。转过身，他看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。慌 忙中，他赶紧低头行礼。从此，他当上了公主的数学老师。
办公楼
E
45o
50m A 教学楼
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极 坐 标 系
1.极坐标系：在平面上取一个定点O,自点O 引一条射线OX,同时确定一个单位长 度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系。
（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴）
极坐标系基本要素：极点O ；极轴Ox ；长度单位,角度单位(通常取弧度)及其正方向 2.点的极坐标
（1）极径:设M 是平面上的任一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ； （2）极角:以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角,记为θ.
有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标,记作M(ρ,θ)． ①若0<ρ,则0>-ρ,
规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称， ②极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. （3）平面直角坐标与极坐标的区别
在平面直角坐标系内:点P 与（x ，y ）是一一对应的， 极坐标系中:一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应, 但一个点P 与无数多个有序实数对
0,),2,(>∈+ρθπρZ k k 或0,),2,(>∈++-ρθππρZ k k 对应。
极坐标系中：如果规定0ρ≥,πθ20<≤，那么除极点外，平面内的点与有序实数对极坐标),(θρ是一一对应的. 例题：
1.已知点M 的极坐标为)3
,5(π
-,下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是（ ）
)3,5.(π-A )34,5.(πB )32,5.(π-C )35,5.(π--D
2.极坐标系中,点A 的极坐标是)6,3(π
,则(规定: )0(>ρ[)πθ2,0∈
（1）点A 关于极轴对称的点是_______.
（2）点A 关于极点对称的点的极坐标是 . （3）点A 关于直线2
π
θ=
的对称点的极坐标是________.
3.在极坐标中，求两点间的距离：A(3,
)12
π
，5B(8,
)12
π 4.判断点)35,21(π-是否在曲线2
cos θ
ρ=上。
结论：在极坐标中,
（1）点P(,)ρθ关于极轴的对称点的坐标为),(θρ-P 或),(θπρ--P ； （2）点P(,)ρθ关于极点的对称点的坐标为),(θπρ+P 或),(θρ-P 。