专题 利用二次函数性质求最值

★每每问题——售价变化引起销量变化
1．注意自变量x代表销售单价还是代表上涨(下降)的量； 2．根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式； 3．通过配方将函数关系式化为顶点式，再根据函数增减性求得最大值； 4．若自变量x代表上涨(下降)的量，则根据顶点式可求得x的最大值，最后在确 定销售单价时注意找准基础量．
第1题图
解：由题意得y＝x(30－2x＋2)＝－2x2＋32x＝－2(x－8)2＋128， ∵墙长15 m， ∴30－2x＋2≤15，解得x≥8.5. 又∵32－2x>0， ∴x<16. ∴8.5≤x<16. ∵y＝－2(x－8)2＋128， ∴当x≥8时，y随x的增大而减小． ∴当x＝8.5时，y取得最大值，最大值为y＝－2×(8.5－8)2＋128＝127.5. 答：当场地的宽为8.5 m时，矩形场地的面积取得最大值，最大值为127.5 m2.
解：(1)由题意得W＝(x－20)·y＝(x－20)·(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10000， ∵每件护眼台灯的利润不高于成本价的60%， ∴销售单价不能超过20×(1＋60%)＝32， 即W＝－10x2＋700x－10000(20≤x≤32)； (2)由(1)得W＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250， ∵－10＜0，抛物线开口向下， ∴当20≤x≤32时，W随x的增大而增大， ∴当x＝32时，W取得最大值，最大值为－10×(32－35)2＋2250＝2160. 答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
4
x)ห้องสมุดไป่ตู้－
4
x2＋80x＝－
4
(x－50)2＋2000.
∵0<x<100，－
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＜0，
5
5
5
∴当x＝50时，y取得最大值，最大值为2000，
∴DE＝80－ 4×50＝40，
5
答：当矩形的长DG为50米，宽DE为40米时，矩形DEFG的面积最大，最大为
2000平方米．
类型二 销售问题
★利润问题
1．根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”或“总利润＝售价×销 售量－总成本”，列出函数关系式； 2．根据题干信息找自变量x的取值范围及是否为整数； 3．通过配方将函数关系式化为顶点式，根据函数增减性求得在自变量取值范围 内的最大值；若对称轴为小数，则要注意x的取值是否有两个．
专题 利用二次函数性质求最值
微专题 利用二次函数性质求最值 类型一 面积问题
★篱笆问题
设一边长x，结合题意用含x的代数式表示出另一边，利用矩形的面积公式得出S与x 之间的函数关系式，化为顶点式即可求得面积最大值，注意自变量x的取值范围．
1. 如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙(墙长15 m)，另三边除 大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30 m，门宽是2 m，若设这块场地的宽为x m， 养殖场地的面积为y m2，则当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
★几何图形中的面积最值问题
设矩形的一边长为x，结合相似三角形的性质，对应边成比例，用含有x的代数 式表示出另一边长，利用矩形的面积公式得出S与x之间的函数关系式，化为顶 点式即可求得面积最大值，注意自变量x的取值范围．
2. 如图，有一块三角形空地，底边长BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着底 边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC边上，E、F在边BC 上，当矩形DEFG的面积最大时，这个矩形的长与宽各是多少米？最大面积为多 少？
解：(1)观察表格可知，销售单价每增加1元，日均销售量减少40瓶．设在进价基 础上增加x元后，日均销售利润为y元， 这时日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x， 故y关于x的函数解析式为y＝x(520－40x )－200＝－40x2＋520x－200(0＜x＜13)； (2)由(1)得y＝－40x2＋520x－200＝－40(x－6.5)2＋1490， ∵0＜6.5＜13， ∴当x＝6.5时，即销售单价定为11.5，日均毛利润达到最大值1490. 答：销售单价定为11.5元时，日均毛利润最大，最大值为1490元．
第2题图
解：设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y， ∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上， ∴DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∵AH⊥BC， ∴AP⊥DG， ∴AP＝DG ，
AH BC ∴ AP＝ x ，
80 100 ∴AP＝ 4 x，
5
∴DE＝PH＝80－ 4 x，
5
∴y＝DG·DE＝x(80－
3. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量 y(件)与销售单价x(元)之间的关系满足一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中， 销售单价不低于成本价，且每件的利润不高于成本价的60%. (1)设小明每月获得利润为W(元)，求每月获得利润W(元)与销售单价x(元)之间的函 数关系式，并确定自变量x的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
4. 某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销售的饮料每瓶进价为5元．销售单 价与日均销售量的关系如下：
售价单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量(瓶) 480 440 400 360 320 280 240
(1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定 成本)为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围； (2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元？最大日均毛利润为多 少元？