2011年新课标版高考题库考点16 正弦定理和余弦定理

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考点16 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则

2sin cos cos A A B +=（ ）

(A)-

12 (B)1

2

(C)-1 (D)1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决. 【精讲精析】选D.

由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B =

所以222

sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=．

二、填空题

2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o

，并且三边长构成公差为4的等差数列，

则ABC ∆的面积为_______________.

【思路点拨】设三角形一边的长为x ，可以用x 表示其他两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ∆的面积.

【精讲精析】设三角形中间边长为x ，则另两边的长为x-4,x+4,那么

所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 6102

1=⨯⨯⨯=∆ ABC S

【答案】

3.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC= D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______. 【思路点拨】结合图形，

∆∠∠ABC 先在中，由余弦定理解出C 与B ，

ABD ∆然后在中，由正弦定理解得AD.

【精讲精析】在ABC ∆中，由余弦定理易得

222

cos

2

AC BC AB

C

AC BC

+-

===

⋅⋅

30,30.

C B ABD

∴∠=︒∴∠=︒∆

在中，

,

1

sin sin

2

AD AB AD

AD

B ADB

=∴=∴

∠

由正弦定理得：

4.（2011·福建卷文科·Ｔ14）若△ABC的面积为3，BC=2，C=︒

60，则边AB的长度等于_____________. 【思路点拨】

AC，然后再用余弦定理求得AB.

【精讲精析】在ABC

∆中，由面积公式得

11

sin2sin60

22

S BC CA C AC

=⋅⋅=⨯⋅⋅︒

2,

AC AC=再由余弦定理，得：

22222

1

+2cos222224

2

AB BC AC AC BC C

-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=

＝，2

AB

∴=.

【答案】2

5.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16）在ABC

V

中，60,

B AC

==

2

AB BC

+的最大值

为 .

【思路点拨】利用三角函数知识，化简2

AB BC

+，统一角变量，然后求最大值.

【精讲精析】令AB c

=，BC a

=，则由正弦定理得

2,

sin sin sin

a c AC

A C B

====2sin,2sin,

c C a A

∴==且120

A C

+=︒，

222sin4sin

AB BC c a C A

∴+=+=+2sin4sin(120)

C C

=+︒-＝2sin C+

1

sin)4sin

2

C C C C

+=

++)

Cϕ

=(

其中tanϕ=

∴当90

Cϕ

+=︒时，2

AB BC

+

取最大值为

【答案】

6.（2011·新课标全国文科·Ｔ15）△ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为________.

【思路点拨】用余弦定理求得边BC的值，由

1

sin

2

ABC

S AB BC B

∆

⨯⨯

＝求得三角形的面积.

【精讲精析】设,,

AB c BC a AC b

===，由余弦定理

2222cos b a c ac B =+-，得21

492525()2

a a =+-⨯⨯-，

解得3a =，11

sin 35sin12022

ABC S ac B ∆∴=

=⨯⨯⨯

︒=

7.（2011·北京高考理科·T9）在ABC ∆中，若5,,tan 24

b B A π

=∠=

=，则s i n A = ；a = .

【思路点拨】先利用切化弦与平方关系联立解出sinA ，再由正弦定理求出a. 【精讲精析】22

sin sin tan 2,cos ,sin ()1,22

A A A A A =∴=

∴+=

(0,),sin 5A A π∈∴=

又.

=

，所以a =

8.（2011·北京高考文科·T9）在ABC ∆中，若1

5,,sin 43

b B A π

=∠==，则a = . 【思路点拨】利用正弦定理求出a . 【精讲精析】

由正弦定理得，

132

a =

，所以3a =.

【答案】

3

三、解答题

9.（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，

，

12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.

【思路点拨】化简12cos()0B C ++=，求出sinA,cosA,再由正弦定理算出sinB,cosC,从而得到sinC,则h=bsinC.

【精讲精析】由12cos()0B C ++=和B+C=π-A,得

,2

3

sin ,21cos ,0cos 21===-A A A