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2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷(十三)理科数学

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2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试(一)理科数学

2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试(一)理科数学

2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试（一)理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数22i+1iz=+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A. B. C. D. 2 【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可．【详解】复数2z2i1i=++＝2i+()()()21i1i1i-+-＝2i+1﹣i＝1+i,则|z|故选C．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．2.设集合201x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B I =( )A. {}21x x -≤<- B. {}11x x -<≤C. {}21x x -≤<D. {}11x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】对集合,A B 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案. 【详解】因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或1}x <-，所以{}21A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A.【点睛】本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力. 3.已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =( ) A. 14±B. 14C. 116±D.116【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-， 解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±. 故选：A.【点睛】本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.4.若,x y满足111yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y+的最大值为（）A. 2B. 5C. 6D. 7 【答案】B【解析】画出x，y满足约束条件111yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11yy x=⎧⎨=-⎩，解得()2,1A，由2z x y=+可知直线过()2,1A时，z最大，得2215z=⨯+=，故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.53π B. 7πC.323πD. 13π【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案. 【详解】如图所示，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ， 因为2CD AD BD =⋅，所以2(3)31BD BD =⋅⇒=，所以31222AD BD R ++===， 所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力. 6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，解方程1003(100)3nn =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3nn =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环. 故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.7.若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ） A. //a β且αβ⊥ B. a β⊂且αβ⊥C. a b ⊥且//b αD. a β⊥且//αβ【答案】D 【解析】考点：平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：若a ⊥β且α∥β，则有a ⊥α，反之不成立，于是，“a ⊥β且α∥β”是“a ⊥α”成立的充分不必要条件． 解答：解：若a ⊥β且α∥β，则有a ⊥α， 反之不成立，于是，“a ⊥β且α∥β”是“a ⊥α”成立的充分不必要条件， 故选D ．点评：本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 8.若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y ==，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A. x <y <z B. x <z <y C. z <x <y D. z <y <x【答案】C 【解析】 【分析】令23log log 2(0)z x y k k ===>，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【详解】令23log log 2(0)z x y k k ===>，则2,3k kx y ==，因为0k >，由2,3xxy y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2xy =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z x k k ==>，所以z x <， 综上所述：z x y <<. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( ) A. 3或13B. 0C.13D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立， 解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x =+，且||AB =点C 到直线AB的距离231|3|k k d +--+所以12|1||1|02k k k ⋅=⇒-=+⇒=. 故选：B.【点睛】本题考查点关于直线对称、点到直线距离、三角形面积公式，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.10.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( )A.B. C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值. 【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ，整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+，所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+，圆22222230()42px y py p x y p +--=⇒+-=， 圆心为(0,)2p，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以2226p pk p k +=⇒=故选：A.【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=u u u u r u u u r ，则A 的值为( ) A. 3 B. 2C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=u u u u r u u u r 得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π， 所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，则(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=u u u u r u u u r ，所以PN uuu r 在MN u u u u r 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==u u u u r u u u ru u u ur ，所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫⎪⎝⎭，所以3sin(2)32A A π⋅=⇒=故选：C.【点睛】本题考查平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便. 12.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点； ②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增； ④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立． 其中的真命题为( ) A. ②③ B. ①④C. ①②D. ③④【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项.【详解】因为'1(n )si x f x x x a =++， 对③，当0a =时，'1(n )si x f xx =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ； 对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x =+，因为0a <，所以函数1y ax x=+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A.故选：D【点睛】本题查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进行求解，可使问题的求解更高效.第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答． 第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(1,2)=-r a ，(,1)b m m =-r ，若//a b r r ，则a b ⋅r r=_______．【答案】5- 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积.【详解】因为//a b r r，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-，所以(1,2)=-r a ，(1,2)b =-r，所以145a b ⋅=--=-r r .故答案为：5-.【点睛】本题考查向量平行与数量积的坐标运算，考查基本概念的理解，属于基础题.14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则()()1115f f +=_______．【答案】12【解析】 【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-， 所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-， 所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考查函数与方程思想和运算求解能力，求解时注意(0)0f =的运用.15.若sin()2cos )4αααπ+=+，则sin 2α=_______． 【答案】35-【解析】【分析】 由两角和的正弦展开并对等式进行化简得tan α的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值.【详解】因为sin()2cos )4αααπ+=+，αααα+，整理得：tan 3α=-，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35-【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为_______．【解析】【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2，则点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，则03≤≤y ， 取CD 的中点M ，连接,EM PM ，则222216PE PM ME PM =+=+，当PM 最小时，则PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，则22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ， 对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=，所以PE .21【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n a n =；（2）21n n + 【解析】【分析】 （1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式； （2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和.详解】（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又Q 0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥， 当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去）， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12， 所以12n a n = ． （2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅， 所以123n n T b b b b =++++L11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+L ] 122(1)11n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查数列中的基本量法，考查运算求解能力.18.如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC ?，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】【分析】（1）取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，求出1(1,0,0)n =u u r 为平面ABCD 的一个法向量，2(1,0,3)=u u rn 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点， 所以1//,2FN CD FN CD =,因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，所以四边形AMNF 为平行四边形，所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD I 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =u u r为平面ABCD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =u u r 为平面AED 的法向量，因为(0,2,0)AD =u u u r ，(3,1,1)AE =--u u u v， 所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u u v ，得2030y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩， 故可取2(1,0,3)=u u r n ，则1212121cos ,2⋅<>==⋅u u r u u r u u r u u r u u r u u r n n n n n n ， 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系. 19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos b c a C -=⋅，22c = （1）求A ； （2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围． 【答案】（1）4A π=；（2）(5,10) 【解析】 【分析】 （122cos b c a C -=⋅中的边化成角得到2cos A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.【详解】（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=， 又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=，sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos 2A =0A π<<， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=， 根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，， 解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B =，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Cπ++===+， 因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞， 所以(24)b ∈，. 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r ， 所以221()4AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r 21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为. 【点睛】本题考查正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）916π 【解析】【分析】（1）由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程； （2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】（1）Q 离心率为12c e a ==，∴2a c =， Q 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅， 又Q 22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-， 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-==，设1t =≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++， 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增， 所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用.21.已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值；（2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．【答案】（1）2a =-；（2）【解析】【分析】（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，则(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()x h x x +=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当0b =时，21()ax f x x e ax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=， 得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=，解得1a =-或2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-.（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e +=，设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x a x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x -'=，故()h x 的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞，所以()h x 的最小值为h = 故a 的最小值为【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅=，求α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=．【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++= 将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得：22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<，24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=， 又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C e 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈， 则21sin 2t α-=，所以t 224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去）， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23.已知11212x x m++-?在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ；（2）若,a b 均为正数，且11a M b +=-,求2a b -的取值范围.【答案】(1)2(2) (,)-∞-⋃+∞．【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11a M b +=-将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可.【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-， Q 1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-， 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b +=-．0,0a b >>Q ，1232011b a b b -∴=-=>--，32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b -=--=-+--．当01b <<时，011b <-<，2a b -? 当且仅当12(1)1b b -=-，即1b =-时取“=”； 当32b >时，112b ->，122(1)1a b b b 轾犏-=--+?-犏-臌 当且仅当12(1)1b b -=-，即12b =+时取“=”． 所以2a b -的取值范围是(,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。

2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷及答案

2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷及答案

| 4 - x 22河北衡水中学 2020 年高考押题试卷理数试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A = {x ∈ Z 1≥ 0}， B = {x | ≤ 2x ≤ 4} ，则 A I B =（ ）x + 2 4A ． {x | -1 ≤ x ≤ 2}B ．{-1,0,1,2}C ． {-2, -1,0,1,2}D ．{0,1,2}2.已知 i 为虚数单位，若复数 z = 1 - ti1 + i在复平面内对应的点在第四象限，则 t 的取值范围为（ ）A ． [-1,1]B ． (-1,1)C ． (-∞, -1)3.下列函数中，既是偶函数，又在 (-∞,0) 内单调递增的为（）D ． (1,+∞)A. y = x 4 + 2 x B ． y = 2|x|C. y = 2 x - 2- x D ． y = log | x | -11 24.已知双曲线 C ： 1 x2 x2- y 2 = 1与双曲线 C：- y 2 = -1 ，给出下列说法，其中错误的是（ ） 2A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列 {a } 中，“ a ， a 是方程 x 2 + 3x + 1 = 0 的两根”是“ a = ±1 ”的（）n 4128A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.执行如图的程序框图，则输出的 S 值为（）A.1009 B ．-1009 C.-1007 D ．10087.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πA．(-52B．a2+b2≥2ab(a>0,b>0)1ππ1π1+B．+1C．+D．+6312123438.已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示，则函数g(x)=A c os(ϕx+ω)图象的一个对称中心可能为（）1111,0)B．(,0) C.(-,0)D．(-,0)26269.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，B C=b，则该图形可以完成的无字证明为（）A.a+b≥ab(a>0,b>0)2abC.≤ab(a>0,b>0)a+b D．a+b a2+b2≤22(a>0,b>0)10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A．720B．768 C.810D．81611.焦点为F的抛物线C：y2=8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当|MA||MF|取得最大值时，f ( x) = ⎨ x 2 + 2g ( x) = ax + 1 ，对 ∀x ∈ [-2,0] ， ∃x ∈ [-2,1]，使得 g ( x ) = f ( x ) ，则实数 ,3 < x ≤ 4, ⎪A ． (-∞, - 1 14.已知实数 x ， y 满足不等式组 ⎨ x + 2 y - 5 ≥ 0, 且 z = 2 x - y 的最大值为 a ，则 ⎰ a cos 2 ⎪ y - 2 ≤ 0,直线 MA 的方程为（）A ． y = x + 2 或 y = - x - 2C. y = 2 x + 2 或 y = -2 x + 2B ． y = x + 2D ． y = -2 x + 212.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2) = 2 f ( x ) ，且当 x ∈ [2,4] 时，⎧- x 2 + 4 x ,2 ≤ x ≤ 3, ⎪ 1 2 2 1⎩ xa 的取值范围为（）1) U[ , +∞)8 8B ． [- 1 1,0) U (0, ]4 8C. (0,8]1 1D ． (-∞, - ] U[ , +∞)4 8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.r r r r r r r13.已知 a = (1,λ ) ， b = (2,1) ，若向量 2a + b 与 c = (8,6) 共线，则 a 和 b 方向上的投影为．⎧ x - y - 2 ≤ 0,⎪ π ⎩0 x 2dx = ．15.在 ∆ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， b tan B + b tan A = -2c tan B ，且 a = 8 ， ∆ABC的面积为 4 3 ，则 b + c 的值为．16.已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） A - BCD 的外接球， BC = 3 ，AB = 2 3 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD = 3BE ，过点 E 作圆 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知 (1+ x) + (1+ x)2 + (1+ x)3 + L + (1+ x)n 的展开式中 x 的系数恰好是数列 {a } 的前 n 项和 S .n n（1）求数列 {a } 的通项公式；n（2）数列{b}满足b=n n(22a nan-1)(2a n+1-1)，记数列{b}的前n项和为T，求证：T<1.n n n18.如图，点C在以AB为直径的圆O上，P A垂直与圆O所在平面，G为∆AOC的垂心.（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；（2）若P A=AB=2A C=2，求二面角A-OP-G的余弦值.19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20.已知椭圆C：x2y240+=1(a>b>0)的长轴长为6，且椭圆C与圆M：(x-2)2+y2=的公共弦长a2b29为4103.（1）求椭圆C的方程.（2）过点P(0,2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得∆ADB为以AB为底边的等腰三角形.若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.21.已知函数f(x)=2ln x-2mx+x2(m>0).（1）讨论函数f(x)的单调性；23 ⎪ x =4 + 已知直线 l 的参数方程为 ⎨（2）当 m ≥ 3 2时，若函数 f ( x ) 的导函数 f '(x) 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，其横坐标分别为 x ，1x ( x < x ) ，线段 AB 的中点的横坐标为 x ，且 x ， x 恰为函数 h( x ) = ln x - cx 2 - bx 的零点，求证：212122( x - x )h '(x ) ≥ - + ln 2 . 1 2 0请考生在第 22、23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分 .22.选修 4-4：坐标系与参数方程⎧ 2 ⎪ 2⎪ y = 2 t ⎪⎩ 2 t,（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ = 4cos θ ，直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点.（1）求圆 C 的直角坐标方程及弦 AB 的长；（2）动点 P 在圆 C 上（不与 A ， B 重合），试求 ∆ABP 的面积的最大值.23. 选修 4-5：不等式选讲.已知函数 f ( x ) =| 2 x - 1| + | x + 1| .（1）求函数 f ( x ) 的值域 M ；（2）若 a ∈ M ，试比较 | a - 1| + | a + 1| ，3 7， - 2a 的大小.2a 2即S=122参考答案及解析理科数学（Ⅰ）一、选择题1-5:BBDDA6-10:BCCDB11、12：AD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.3514.3π15.4516.[2π,4π] 5三、解答题17.解：（1）(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+L+(1+x)n的展开式中x的系数为C1+C1+C1+L+C1=C2+C1+C1+L+C1=C2= 123n223n n+11n2+n，n 11n2+n，22所以当n≥2时，a=S-Sn n n-1=n；当n=1时，a=1也适合上式，1所以数列{a}的通项公式为a=n.n n（2）证明：b=n2n11=-(2n-1)(2n+1-1)2n-12n+1-1，所以Tn111111=1-+-+L+-=1-3372n-12n+1-12n+1-1，所以T<1.n18.解：（1）如图，延长OG交AC于点M.因为G为∆AOC的重心，所以M为AC的中点.因为O为AB的中点，所以OM//B C.因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，所以OM⊥AC.因为P A⊥平面ABC，OM⊂平面ABC，所以P A⊥OM.又P A⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，P A I AC=A，所以OM⊥平面PAC.即OG⊥平面PAC，又OG⊂平面OPG，所以平面OPG⊥平面PAC.z 13 1 3 3 1 ⎧ 3⎪ n ⋅ O M = - x = 0, ⎪ 2⎪n r ⋅ O P r = - 3 x + 1 y + 2 z = 0,H = CH cos ∠HCB = 3H = CH sin ∠HCB = uuur r| CH ⋅ n | 设二面角 A - OP - G 的大小为 θ ，则 cos θ = uuu r r = =uuur uuur uuur（2）以点 C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为 x ，y ，轴正方向建立空间直角坐标系 C - xyz ，则 C (0,0,0) ，A(0,1,0) ，B( 3,0,0) ，O( uuuur uuur , ,0) ，P(0,1,2) ，M (0, ,0) ，则 OM = (- ,0,0) ，OP = (- , , 2) .2 2 2 2 2 2r uuuur r平面 OPG 即为平面 OPM ，设平面OPM 的一个法向量为 n = ( x , y , z) ，则 ⎨ uuu ⎪⎩ 2 2r令 z = 1，得 n = (0, -4,1) .过点 C 作 CH ⊥ AB 于点 H ，由 P A ⊥ 平面 ABC ，易得 CH ⊥ P A ，又 P A I AB = A ，所以 CH ⊥ 平面 P AB ，uuur即 CH 为平面 P AO 的一个法向量.1 3在 Rt ∆ABC 中，由 AB = 2 A C ，得 ∠ABC = 30︒ ，则 ∠HCB = 60︒ ， CH = CB =2 2 .所以 x3 ， y4 4.uuur 所以 CH = (3 3, ,0) . 4 43 3 | 0 ⨯ -4 ⨯ + 1⨯ 0 | 4 4| CH | ⋅ | n | 3 9+ ⨯ 42 + 12 16 162 5117.19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则P( A ) = C 3 3 = C 3 101 120，C2C17=3所以E(X)=0⨯1~B(3,3所以4得∆ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DE⊥AB.由⎨x2y2得(8+9k2)x2+36kx-36=0，故⎪+所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P(A)⋅P(A)=114400.（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000.P(X=0)=C33=C31017，P(X=600)=，120C34010P(X=700)=C1C237=C31021C3，P(X=1000)=7=40C310724，故X的分布列为，72171+600⨯+700⨯+1000⨯=764（元）.1204040246若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z=1000-200Y，由已知可得Y39)，故E(Y)=3⨯=，101010所以E(Z)=E(1000-200Y)=1000-200E(Y)=820（元）.因为E(X)<E(Z)，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20.解：（1）由题意可得2a=6，所以a=3.由椭圆C与圆M：(x-2)2+y2=可得椭圆C经过点(2,±210)，340=1，解得b2=8.+99b2x2y2所以椭圆C的方程为+=1.98409410的公共弦长为，恰为圆M的直径，3（2）直线l的解析式为y=kx+2，设A(x,y),B(x,y)，AB的中点为E(x,y).假设存在点D(m,0)，使112200⎧y=kx+2,⎪=1,⎩989k 2 + 8 9k 2 + 8- 09k 2 + 8-18k k 9k + 8 < x <x + x =- 1 2 36k 9k 2 + 8，-18k 16所以 x = ， y = kx + 2 =0 0 0. 因为 DE ⊥ AB ，所以 k DE =- 1 k，161 即 =- ，- m9k 2 + 8所以 m = -2k -2 =9k 2 + 8 k.8当 k > 0 时， 9k + ≥ 2 9 ⨯ 8 = 12 2 ，k所以 -2 ≤ m < 0 ；12当 k < 0 时， 9k + 8 k≤ -12 2 ，所以 0 < m ≤ 2 12 .综上所述，在 x 轴上存在满足题目条件的点 E ，且点 D 的横坐标的取值范围为 [- 2 2,0) U (0, ] .12 122( x 2 - mx + 1)21. 解：（1）由于 f ( x ) = 2ln x - 2mx + x 2的定义域为 (0, +∞) ，则 f '(x) = .x对于方程 x 2 - mx + 1 = 0 ，其判别式 ∆ = m 2 - 4 .当 m 2 - 4 ≤ 0 ，即 0 < m ≤ 2 时， f '(x) ≥ 0 恒成立，故 f ( x ) 在 (0, +∞) 内单调递增.m ± m 2 - 4当 m 2 - 4 > 0 ，即 m > 2 ，方程 x 2 - mx + 1 = 0 恰有两个不相等是实根 x =，2m - m 2 - 4 m + m 2 - 4令 f '(x) > 0 ，得 0 < x < 或 x > ，此时 f ( x ) 单调递增；2 2m - m 2 - 4 m + m 2 - 4 令 f '(x) < 0 ，得 ，此时 f ( x ) 单调递减.2 2综上所述，当 0 < m ≤ 2 时， f ( x ) 在 (0, +∞) 内单调递增；当 m > 2 时， f ( x ) 在 ( m - m 2 - 4 m + m 2 - 4, )2 2xxx - xx x + x x - x 2 2 1 2 xt因为 m ≥ 3 2内单调递减，在 (0, m - m 2 - 4 m + m 2 - 4) ， ( , +∞) 内单调递增.2 22( x 2 - mx + 1)（2）由（1）知， f '(x) = ，所以 f '(x) 的两根 x ， x 即为方程 x 2 - mx + 1 = 0 的两根.因为1 2m ≥ 3 22，所以 ∆ = m 2 - 4 > 0 ， x + x = m ， x x = 1 .1 2 1 2又因为 x ， x 为 h( x ) = ln x - cx 2 - bx 的零点，1 2所以 ln x - cx 2 - bx = 0 ， ln x - c 2 - bx = 0 ，两式相减得 ln 1 11 2 22x1 - c( x - x )( x + x ) - b ( x - x ) = 0 ，得1 2 1 2 1 2 2x ln 1xb == c( x + x ) . 1 2 12而 h '(x) =1- 2cx - b ，所以xxln 11 2 x( x - x )h '(x ) = ( x - x )( - 2cx - b ) = ( x - x )[ - c( x + x ) -+ c( x + x )] 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 12 12x1 - 12( x - x ) x x= - ln 1 = 2 ⋅ 2 x + x x x 1 2 2 1 + 1 x2x - ln 1 .x 2令x1= t (0 < t < 1) ，由 ( x + x )2 = m 2 得 x 2 + x 2 + 2 x x 12121 22= m 2 ，因为 x x = 1 ，两边同时除以 x x ，得 t +1+ 2 = m 2 ，1 2 1 21 5 1 1，故 t + ≥ ，解得 0 < t ≤ 或 t ≥ 2 ，所以 0 < t ≤ .2 t 2 2 2设 G(t ) = 2 ⋅ t - 1 t + 1- ln t ，所以 G '(t ) =-(t - 1)2 t (t + 1)2 < 0 ，则 y = G(t ) 在 (0, 1 2] 上是减函数，所以 G(t ) min 1 2= G( ) = - + ln 2 ， 2 33 圆 C 的参数方程为 ⎨ （ θ 为参数），y = 2sin θ ,123. 解：（1） f ( x ) = ⎨2 - x, -1 ≤ x ≤ ,2 ⎪⎩ 2 2 2 2即 y = ( x - x )h '(x ) 的最小值为 - 1 2 0 2 3 + ln 2 .2所以 ( x - x )h '(x ) ≥ - + ln2 .1 2 0 22.解：（1）由 ρ = 4cos θ 得 ρ 2 = 4ρ cos θ ，所以 x 2 + y 2 - 4 x = 0 ，所以圆 C 的直角坐标方程为 ( x - 2)2 + y 2 = 4 .将直线 l 的参数方程代入圆 C : ( x - 2)2 + y 2 = 4 ，并整理得 t 2 + 2 2t = 0 ，解得 t = 0 ， t 1 2 = -2 2 .所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 | t 1 - t |= 2 2 .2（2）直线 l 的普通方程为 x - y - 4 = 0 .⎧ x = 2 + 2cos θ ,⎩可设曲线 C 上的动点 P(2 + 2cos θ ,2sin θ ) ，则点 P 到直线 l 的距离d = | 2 + 2cos θ -2sin θ - 4 |2 2 + 2 .π π=| 2cos(θ + ) - 2 | ，当 cos(θ + ) = -1 时，d 取最大值，且 d 的最大值为4 4所以 S∆ABP 1 ≤ ⨯ 2 2 ⨯ (2 + 2) = 2 + 2 2 ，2即 ∆ABP 的面积的最大值为 2 + 2 .⎧⎪ -3x, x< -1,⎪⎪ ⎪⎪1 3x, x > .根据函数 f ( x ) 的单调性可知，当 x = 1 1 3时， f ( x ) = f ( ) = . min所以函数 f ( x ) 的值域 M 3 = [ , +∞) .23 3（2）因为 a ∈ M ，所以 a ≥ ，所以 0< 2 2a又 | a - 1| + | a + 1| = a - 1 + a + 1 = 2a ≥ 3 ， ≤ 1.所以a≥32，知a-1>0，4a-3>0，(a-1)(4a-3)37所以>0，所以>-2a，2a2a237所以|a-1|+|a+1|>>-2a.2a2。

2020届河北省衡中同卷新高考原创精准模拟考试(十三)理科数学试卷

2020届河北省衡中同卷新高考原创精准模拟考试(十三)理科数学试卷

2020届河北省衡中同卷新高考原创精准模拟考试（十三）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一.选择题.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别将两集合化简，再求并集即可.【详解】因，解得，所以，而，所以，即，故选C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，同时也考查了一元二次不等式的求解，属于基础题.2.命题“，”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可.【详解】命题“，”的否定是:,故选：B【点睛】本题考查全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，首先把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），然后把后面结论改否定即可.3.若复数是纯虚数，则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果.【详解】若复数是纯虚数，则且，所以，，所以，故．故选C．【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4.已知，满足约束条件，若，若的最大值为4，则实数的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】根据不等式组，画出可行域，在可行域内根据求得m的值即可。

2020届河北省衡水中学新高考原创精准模拟考试(十)理科数学试卷

2020届河北省衡水中学新高考原创精准模拟考试(十)理科数学试卷

2020届河北省衡水中学新高考原创精准模拟考试（十）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合2{|20}A x x x x =--≤，21{|0}1x B x x +=≥-，则R A C B =I1111.[1) .[,1] .[1] .(,1]2222A B C D ------，，2. 设(2)4,a i bi +=+其中i 为虚数单位，,,a b R ∈则a bi -=.2 .4A B C D 3. 设已知等比数列{}n a 的前5项的积为243，49,a =则2019a =2016201620172017.3 .23.3.43A B C D ⋅⋅4. 已知平面向量a r，b r满足||2a =r，||1b =r，且(2)(3)10a b a b +∙-=r rrr，则a r 在b r方向上的投影是11. 1 ..1.22A B C D --5．高考临近，小张和小谭两人约定6月5日下午4:00至下午5:00之间在校门口乘公共汽车一起去看考场，在这段时间内有3班公共汽车，公共汽车准时到达时刻分为为下午4:20,4:40,5:00。

2020届河北省衡水金卷新高考原创精准模拟考试(十三)理科数学试卷

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2020届河北省衡水金卷新高考原创精准模拟考试（十三）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

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3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

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4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

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不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

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第I 卷（选择题）一．单选题。

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则AB =A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()12i 1i z +=-，则z =A ．25B ．35C D3．在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．65．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为A ．212-B ．92-C ．92D ．212 6.第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图， 会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正 方形．设直角三角形的一个锐角为θ，且tan θ＝2，若在大正方形 内随机取一点，则改点取自小正方形区域的概率为（ ） A． B． C．D．7 .已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为A ．ln 2B ．1C ．1ln 2-D ．1ln 2+8. 某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A ．36种B ．24种C ．22种D ．20种9.()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A ．6π B ．12πC ．4πD ．3π 10.如图所示，某几何体由底面半径和高均为3的圆柱与半径为3的 半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的 上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ） A ．π27 B ．π32 C ． π45 D ．π6411．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为AB．3C．1 D．2+12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()2e 1xf x x =--；()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪= ⎨>⎪⎩()411,0,2120,0.xx x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若a b ，则向量a 的模为________．14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若2018a =，则2017201912a a +的最小值为________． 15．过抛物线C ：22(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若6AF =，3BF =，则p 的值为________．16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，cos (2)cos a B c b A =-．（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．18.（本小题满分12分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为52． (Ⅰ)求b a ,的值；(Ⅱ)从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望ξE ．19.（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45，求二面D CE P --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以短轴的一个过椭圆C 的右焦点作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 相较于A B 、两点，线段AB 的中点为P . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P 垂直于AB 的直线与x 轴交于点1,07D ⎛⎫⎪⎝⎭，求k 的值. 21．已知函数x ax x x f -++=2)1ln()()0(>a ， （1）讨论函数)(x f 的单调性. （2）若对于任意的[]2,1∈a ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 时，不等式m a x f ≤+ln )(恒成立，求实数m 的取值范围. （二）选考题：EDCAP22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =+．（1）当1=a 时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围．理科数学试题答案及评分参考一．选择题13．10 14．4 15．4 16．11π 三、解答题17．（1）解法1：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=…………………………1分 即sin()2sin cos A B C A +=．…………………………………………………2分sin 2sin cos C C A =． ………………………………………4分因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =． ……………………………………5分 因为0A <<π，所以 3A π= …………………………………………6分解法2：由已知根据余弦定理，得()222222222a c b b c a a c b ac bc+-+-⨯=-⨯． ……………………1分即222b c a bc +-=． ………………………………………………3分所以2221cos 22b c a A bc +-==．…………………………………………5分因为0A <<π， 所以3A π=………………………………………………6分 （2）解法1：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+，………………………………7分即2()34b c bc +=+．…………………………………………………8分因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，…………………………………………………………9分所以223()()44b c b c +≤++．即4b c +≤（当且仅当2b c ==时等号成立）．……11分 所以6a b c ++≤．故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………12分 解法2：因为2sin sin sin a b c R A B C ===，且2a =，3A π=，所以sin 3b B =，3c C =．………………………8分所以)2sin sin 3a b c B C ++=++22sin sin 3B B π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦……9分 24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．……………………………………10分因为203B π<<，所以当3B π=时，a b c ++取得最大值6． 故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………12分18． 解析：(Ⅰ)设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62()205a P A +==．解得 2a =． …………… 3分 所以4b = ……………5分 (Ⅱ) ξ的可能取值为0，1，2． …………… 6分20位学生中有8人是运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===， 2822014(2)95C P C ξ===． ……… 10分所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯33951+⨯48952+⨯1495764955==． …………… 12分 19.（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OFPA ，且12OF PA =，因为DE PA ，且12DE PA =， 所以OF DE ，且OF DE =．…………1分平行四边形OFED，所以ODEF ，即BD EF ．……………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．………………………………4分 因为BDEF ，所以EF ⊥平面PAC ． …………………………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………6分 (2)：因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45，且⊥PA 平面ABCD ，所以45PCA ∠=，所以2==AC PA ．…………………………7分 因为2AB BC ==，所以∆ABC 为等边三角形． 因为⊥PA 平面ABCD ，由（1）知//PA OF ， 所以⊥OF 平面ABCD ．因为⊂OB 平面ABCD ，⊂OC 平面ABCD ，所以⊥OF OB 且⊥OF OC ．在菱形ABCD 中，⊥OB OC ．以OB ，OC ，OF 为轴，建立坐标系-O xyz 如图则(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),((-O P C D E ，则(0,2,2),(3,1,1),(3,1,0)=-=--=--CP CE CD ．…………………9分 设平面PCE 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,CP CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11111220,0.y z y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 则法向量()0,1,1=n ． ……………10分 设平面CDE 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,CE CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 222220,0.y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ ()1,=m ．…………………………………………11分设二面角--P CE D 的大小为θ，由于θ为钝角，则cos cos ,4θ⋅=-=-==-⋅n m n m nm．所以二面角--P CE D 的余弦值为4-．…………………………12分20．（1）设焦距为2c ，则222,1,2{ c a bca b c ===+ 解得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （2）设过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为()1y k x =-，将其代入22143x y +=中得， ()22223484120k x k x k +-+-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，……………7分z OyxPACBDE∴()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，∵P 为线段AB 的中点，∴点P 的坐标为22243,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，……………8分 又直线PD 的斜率为1k-， 直线PD 的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，……………9分 令0y =得， 2234k x k =+，由点D 的坐标为22,034k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，……………10分 则221=347k k +，解得1k =±. ……………12分21，（1）,因为的定义域是，①当时，在，单调递增；在单调递减.②当时，，在单调递增.③当时，在，单调递增；在单调递减.（2）由（2）可知当时，在单调递增，所以在单调递增.所以对于任意的的最大值为，要使不等式在上恒成立，须，记，因为，所以在上递增，的最大值为，所以.故的取值范围为.22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．…………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=．………………………………………3分所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．……………………………………4分 所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．………………………………5分 （2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．……………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l 的距离+)10|d απ-==．…………8分 当cos +=14απ⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2．……9分 当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+10分 解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．……………………………………………6分 因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ，………………7分因为225>，所以圆2C 与直线l 相离．……………………………8分所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．………………………………1分 ①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．………2分 ②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………4分 综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．……………………………5分（2）解法1：①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．……………………………7分- 11 - ②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．……………………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………10分 解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，…………………7分 所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ．所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………8分 因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥． 所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………10分。

2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷含答案

2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷含答案

河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数122z =--，则||z z +=（ ） A．122-- B．122i -+ C．122+ D．122- 2.集合2{|30}A x x x =-≤，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B I =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|13}x x ≤<C ．{|23}x x <≤D ．{|02}x x <≤3.已知函数()cos()6f x x ωπω=-(0)ω>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移3π个单位而得 B 可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移6π个单位而得D ．可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移6π个单位而得4.已知实数x ，y 满足约束条件33,24,34120,y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A.2 B ．3 C.4D ．55.一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于M ，若2AB AE =u u u r u u u r，3AD AF =u u u r u u u r ，AM AB AC λμ=-u u u u r u u u r u u u r (,)R λμ∈，则52μλ-=（ ）A ．12-B ．1 C.32D ．-36.在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（ ）A.906 B ．1359 C.2718 D.34137.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．808π+B ．804π+C ．808π-D ．804π- 8.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ ）A ．2016?n ≤B ．2017?n ≤ C.2015?n < D ．2017?n < 9.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A.3 B ．72 C.185D ．4 10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00(2)()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =3|MA ，若=2，则||AF =（ ） A ．32B ．1 C.2 D ．311.若定义在R 上的可导函数()f x 满足(1)1f =，且2'()1f x >，则当3[,]22x ππ∈-时，不等式23(2cos )2sin 22xf x >-的解集为（ ） A. 4(,)33ππ B ．4(,)33ππ- C.(0,)3π D ．(,)33ππ-12.已知0x 是方程222ln 0xx ex +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01x e< C.002ln 0x x += D ．002ln 0x e x += 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若26()baxx+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ． 14.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，16bc =，则ABC ∆的面积为 ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B 两点，点)C ，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 16.已知下列命题：①命题“x R ∀∈，235x x +<”的否定是“x R ∃∈，235x x +<”； ②已知p ，q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(2)(1)n n na n S n n +=+++，*n N ∈. （1）证明：数列{1}nS n+为等比数列； （2）求12n n T S S S =+++L .18.如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，6BC =，43AB =,30ABC ∠=︒.（1）求证：AC BE ⊥；（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2. 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165,180)的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165,180)学生的人数，求X 的分布列及数学期望.20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，||32BC =其周长为632+，若点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若M ，N 是射线OC 上不同的两点，||||1OM ON ⋅=，过点M 的直线与E 交于P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R ，证明：MPR ∆是等腰三角形.21. 已知函数2()xf x e x a =-+，x R ∈，曲线()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当x R ∈时，求证：2()f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=，曲线2C ：(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C ，2C 的直角坐标方程；（2）C 与1C ，2C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为H ，I ，J ，K ，求||||||HI JK -的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知a ，b 为任意实数.（1）求证：42242264()a a b b ab a b ++≥+；（2）求函数4224()|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-的最小值.参考答案及解析理科数学一、选择题1-5:CADBA 6-10:BBBBB 11、12：DC二、填空题13.2 14.② 三、解答题17.解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=，故数列{1}n S n+为等比数列.（2）由（1）知111(1)221n nn S S n -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-，故2(12222)(12)nn T n n =⨯+⨯++⋅-+++L L . 设212222nM n =⨯+⨯++⋅L ， 则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅L ，所以212222n n M n +-=+++-⋅=L 11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n nn n T n ++=-⋅+-.18.解：（1）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=g 2=解得AC = 所以222AC BC AB +=， 所以ACBC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE I 平面ABC BC =，BC AC ⊥，所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥.（2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥. 又因为BCAC ⊥，平面ACE I 平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥，AC BE ⊥， 所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角. 因为在Rt ACE ∆中，sin 4532BE BC =︒=，所以在Rt BAE ∆中，6sin BE BAE AB ∠==. 19.解：（1）设高一女学生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为5141363142+++++=，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165,180)的概率为423705=. 因此，可估计该校学生身高在[165,180)的概率为35.（3）由题意可得X 的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45. 所以412(0)(1)(1)5315P X ==-⨯-=，41419(1)(1)(1)535315P X ==-+-⨯=，414(2)5315P X ==⨯=.所以X 的分布列为：所以9417()012151515E X =+⨯+⨯=. 20.解：（1）以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则||||6||AB AC BC +=>， 所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆.所以26a =，232c =所以3a =，2c =， 所以22292ba c =-=， 所以点A 的轨迹方程为221(0)992x y y +=≠. 设(,)T x y ，点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =，所以(3,3)A x y ，代入221992x y +=，整理可得点T 的轨迹E 的方程是221(0)12y x y +=≠. （2）证明：设(,0)(0)M m m >，由||||1OM ON ⋅=得1(,0)N m，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，33(,)R x y .由题意，直线QM 不与坐标轴平行，11QM y k x m =-，直线QM 的方程为11()y y x m x m=--.与椭圆方程联立，消去y ，得22211(12)2(1)m mx x m x x +---+222111(2)0mx x m x --=.所以2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222111131221212mx x m x x x x x m mx --==+-， 所以23x x =，或10x =. 当23x x =时，PR x ⊥轴.当10x =时，2221m x m =+，322212211()1mmx x m m⋅===++，PR x ⊥轴， 所以||||MP MR =， 所以MPR ∆是等腰三角形.21. 解：（1）根据题意，得'()2xf x e x =-，则'(0)1f b ==. 由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入()y f x =，得1a =-，故2()1x f x e x =--.（2）令2()()1xg x f x x x e x =+-=--. 由'()10xg x e =-=，得0x =，当(,0)x ∈-∞，'()0g x <，()y g x =单调递减； 当(0,)x ∈+∞，'()0g x >，()y g x =单调递增. 所以min ()(0)0g x g ==，所以2()f x x x ≥-+. （3）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立. 令()()f x x x ϕ=，0x >，得2'()()'()xf x f x x xϕ-==22(2)(1)x x x e x e x x ----=2(1)(1)x x e x x ---. 由（2）可知，当(0,)x ∈+∞时，10xex -->恒成立，令'()0x ϕ>，得1x >；令'()0x ϕ<，得01x <<.所以()y x ϕ=的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，故min ()(1)2x e ϕϕ==-，所以min ()2k x e ϕ<=-.所以实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.22.解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.由(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）不妨设四点在C 上的排列顺序由下而上依次为H ，I ，J ，K ，它们对应的参数分别为，1234,,,t t t t ，如图.连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以||1IJ =，故||||||||||||||HI JK HI IK IJ -=-+=1414|||||1||()1|t t t t -+=-++.把1 2,23 2x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x=，得23824t t=-，即238320t t+-=，故1483t t+=-，所以11||||||3HI JK-=.23. 解：（1）42242264()a ab b ab a b++-+=2222222()4()4a b ab a b a b+-++⋅=222(2)a b ab+-4()a b=-，因为4()0a b-≥，所以42242264()a ab b ab a b++≥+.（2）4224()|2(16)|f x x a a b b=-+--332|(221)|x a b ab+-+-=4224|2(16)|x a a b b-+--+ 33|22(221)|x a b ab-+-≥33|[22(221)]x a b ab-+--4224[2(16)]|x a a b b-+--=4|()1|1a b-+≥.即max()1f x=.。

2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷(一)理科数学

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2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P ＝{0,1,2}，Q ＝{x |x <2}，则P ∩Q ＝( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{1,2} D ．{0,2}答案 B解析 因为集合P ＝{0,1,2}，Q ＝{x |x <2}，所以P ∩Q ＝{0,1}．2．已知复数z 满足|z |＝2，z ＋z －＝2(z －为z 的共轭复数)(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．1＋i 或1－iD ．－1＋i 或－1－i答案 C解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，z ＋z －＝2a ， 所以⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝2，2a ＝2，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝±1，所以z ＝1＋i 或z ＝1－i.3．若a>1，则“a x>a y”是“log a x>log a y”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由a>1，得a x>a y等价为x>y，log a x>log a y等价为x>y>0，故“a x>a y”是“log a x>log a y”的必要不充分条件．4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为() A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b答案 A解析因为a＝log52<log55＝1 2，b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，0．51<c＝0.50.2<0.50，即12<c<1，所以a<c<b.5．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为()A．4 B．5C．6 D．7答案 C解析由题可得S＝3，i＝2→S＝7，i＝3→S＝15，i＝4→S＝31，i＝5→S＝63，i＝6，此时结束循环，输出i＝6.6．已知{a n}，{b n}均为等差数列，且a2＝4，a4＝6，b3＝9，b7＝21，则由{a n}，{b n}公共项组成新数列{c n}，则c10＝()A．18 B．24C．30 D．36答案 C解析 (直接法)由题意，根据等差数列的通项公式得，数列{a n }的首项为3，公差为1，a n ＝n ＋2，数列{b n }的首项为3，公差为3，b n ＝3n ，则易知两个数列的公共项组成的新数列{c n }即为数列{b n }，由此c 10＝b 10＝30，故选C.7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO →·AB →＝32，则实数m ＝( )A ．±1B ．±32C ．±22D ．±12答案 C解析 联立⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，∵直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，∴Δ＝－4m 2＋8＞0，解得－2<m <2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，AO →＝(－x 1，－y 1)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∵AO →·AB →＝32，∴AO →·AB →＝x 21－x 1x 2＋y 21－y 1y 2＝1－m 2－12－m 2－12＋m 2－m 2＝2－m 2＝32，解得m ＝±22.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的面积为S ，且43S ＝(a ＋b )2－c 2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4＝( )A ．1B ．22C ．6－24D ．6＋24 答案 D解析 由43S ＝(a ＋b )2－c 2，得43×12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴23ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即3sin C －cos C ＝1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝12，∵0<C <π， ∴－π6<C －π6<5π6，∴C －π6＝π6，即C ＝π3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24.9．关于函数f (x )＝x －sin x ，下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增C ．x ＝0是f (x )的唯一零点D ．f (x )是周期函数 答案 D解析 f (－x )＝－x －sin(－x )＝－x ＋sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故A 正确；由于f ′(x )＝1－cos x ≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，故B 正确；根据f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，f (0)＝0，可得x ＝0是f (x )的唯一零点，故C 正确；根据f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，可知它一定不是周期函数，故D 错误．10．已知log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，则2a ＋b 取到最小值时，ab ＝( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．9答案 D解析 由log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，可得a －2>0，b －1>0且(a －2)(b －1)≥2.所以2a ＋b ＝2(a －2)＋(b －1)＋5≥22(a －2)(b －1)＋5≥22×2＋5＝9，当2(a －2)＝b －1且(a －2)(b －1)＝2时等号成立，解得a ＝b ＝3.所以2a ＋b 取到最小值时，ab ＝3×3＝9.11．已知实数a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－1＋a2，x <0，e x －1＋a 2x 2－(a ＋1)x ＋a 2，x ≥0，若关于x 的方程f [－f (x )]＝e －a ＋a2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋2e B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2＋2eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2＋1e答案 B解析 当x ＜0时，f (x )为增函数，当x ≥0时，f ′(x )＝e x －1＋ax －a －1， f ′(x )为增函数，令f ′(x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为f (1)＝0. 由此画出函数f (x )的大致图象如图所示．令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧f (t )＝e －a＋a 2，f (t )＝e t －1＋a 2，解得－a ＝t －1，所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1. 所以方程要有三个不同的实数根， 则需a 2＜a －1＜1e ＋a2， 解得2＜a ＜2e ＋2.12．已知△ABC 的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α同侧，且AB ＝2，AC＝3，若AB ，AC 与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC 长度的取值范围为( )A ．[2－3，1]B ．[1，7]C ．[7， 7＋23]D ．[1,7＋23]答案 B解析 如图，过点B ，C 作平面的垂线，垂足分别为M ，N ，则四边形BMNC为直角梯形．在平面BMNC内，过C作CE⊥BM交BM于点E.又BM＝AB·sin∠BAM＝2sin π3＝3，AM＝2cosπ3＝1，CN＝AC·sin∠CAN＝3sin π6＝32，AN＝3cosπ6＝32，所以BE＝BM－CN＝32，故BC2＝MN2＋34.又AN－AM≤MN≤AM＋AN，即12＝AN－AM≤MN≤AM＋AN＝52，所以1≤BC2≤7，即1≤BC≤7，故选B.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a＝(1，λ)，b＝(3,1)，c＝(1,2)，若向量2a－b与c共线，则向量a在向量c方向上的投影为________．答案0解析向量2a－b＝(－1,2λ－1)，由2λ－1＝－2，得λ＝－12.∴向量a＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，∴向量a在向量c方向上的投影为|a|cos〈a，c〉＝a·c|c|＝1－2×125＝0.14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2ab sin C＝3(b2＋c2－a2)，若a＝13，c＝3，则△ABC的面积为________．答案3 3解析 由题意得2ab sin C2bc ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ， 即a sin Cc ＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A,所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.15．已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________．答案 2解析 设A (2，t )，M (cos θ，sin θ)，则AM→＝(cos θ－2，sin θ－t )，AO →＝(－2，－t )，所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－t sin θ. 又(2cos θ＋t sin θ)max ＝4＋t 2， 故AM →·AO→≥4＋t 2－4＋t 2. 令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2， 当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min＝2. 16．已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m ＋2，g (x )＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 当m >0，x <1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(－∞，1)上有解，则⎩⎨⎧f (1)<0，m >0或⎩⎨⎧m >0，Δ>0，f (1)≥0，m <1，即m >3或⎩⎨⎧m >0，m 2－m －2>0，3－m ≥0，m <1，故m >3.当m <0，x >1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(1，＋∞)上有解， 所以⎩⎨⎧f (1)<0，m <0，此不等式组无解．综上，m 的取值范围为(3，＋∞)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (3sin x －cos x )＋12.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，不等式c <f (x )<c ＋2恒成立，求实数c 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1.(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.由不等式c <f (x )<c ＋2恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧c <－12，c ＋2>1，解得－1<c <－12.所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 18．(本小题满分12分)如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)是否存在实数λ，使得平面BEF⊥平面ACD.解(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD.由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，BE⊂平面BEF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC⊂平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan60°＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝7.由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝67，∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.19．(本小题满分12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21.产值负增长的企业频率为2100＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y－＝1100×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝1100i＝15n i(y i－y－)2＝1100×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296，s＝0.0296＝0.02×74≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知|DF1|＝5 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标．解 (1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，所以|F 1F 2|＝2，c ＝1.又因为|DF 1|＝52，AF 2⊥x 轴，所以|DF 2|＝|DF 1|2－|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－22＝32， 因此2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝4，从而a ＝2.由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝3.因此，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)解法一：由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 23＝1，a ＝2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x ＝1代入圆F 2的方程(x －1)2＋y 2＝16，解得y ＝±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1,4)．又F 1(－1,0)，所以直线AF 1：y ＝2x ＋2.由⎩⎨⎧y ＝2x ＋2，(x －1)2＋y 2＝16，得5x 2＋6x －11＝0， 解得x ＝1或x ＝－115.将x ＝－115代入y ＝2x ＋2，得y ＝－125，因此B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，－125.又F 2(1,0)，所以直线BF 2：y ＝34(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝34(x －1)，x 24＋y 23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以x ＝－1.将x ＝－1代入y ＝34(x －1)，得y ＝－32.因此E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32. 解法二：由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 23＝1.如图，连接EF 1.因为|BF 2|＝2a ，|EF 1|＋|EF 2|＝2a ，所以|EF 1|＝|EB |，从而∠BF 1E ＝∠B .因为|F 2A |＝|F 2B |，所以∠A ＝∠B ，所以∠A ＝∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴．因为F 1(－1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，x 24＋y 23＝1，得y ＝±32.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以y ＝－32.因此E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －x e x ＋ax (a ∈R )．(1)若函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝1，求f (x )的最大值．解 (1)由题意知，f ′(x )＝1x －(e x ＋x e x )＋a ＝1x －(x ＋1)e x ＋a ≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以a ≤(x ＋1)e x －1x 在[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)e x －1x ，则g ′(x )＝(x ＋2)e x ＋1x 2>0， 所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2e －1，所以a ≤2e －1.(2)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x e x ＋x (x >0)．则f ′(x )＝1x －(x ＋1)e x ＋1＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －e x ， 令m (x )＝1x －e x ，则m ′(x )＝－1x 2－e x <0，所以m (x )在(0，＋∞)上单调递减．由于m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，m (1)<0，所以存在x 0>0满足m (x 0)＝0，即e x 0＝1x 0. 当x ∈(0，x 0)时，m (x )>0，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，＋∞)时，m (x )<0，f ′(x )<0. 所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．所以f (x )max ＝f (x 0)＝ln x 0－x 0e x 0＋x 0，因为e x 0＝1x 0，所以x 0＝－ln x 0， 所以f (x 0)＝－x 0－1＋x 0＝－1，所以f (x )max ＝－1.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝2＋t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝8sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求|MN |.解 (1)因为ρcos 2θ＝8sin θ，所以ρ2cos 2θ＝8ρsin θ，即x 2＝8y ，所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y 轴的抛物线．(2)设点M (x 1，y 1)，点N (x 2，y 2)，直线l 过抛物线的焦点(0,2)，则直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝2＋t化为一般方程为y ＝12x ＋2，代入曲线C 的直角坐标方程，得x 2－4x －16＝0，所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－16，所以|MN |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(x 1－x 2)2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·42－4×(－16)＝10. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋4|，不等式f (x )>8－|2x －2|的解集为M .(1)求M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (2a )－f (－2b )．解 (1)将f (x )＝|x ＋4|代入不等式，整理得|x ＋4|＋|2x －2|>8.①当x ≤－4时，不等式转化为－x －4－2x ＋2>8，解得x <－103，所以x ≤－4；②当－4<x <1时，不等式转化为x ＋4＋2－2x >8，解得x <－2，所以－4<x <－2；③当x ≥1时，不等式转化为x ＋4＋2x －2>8，解得x >2，所以x >2.综上，M ＝{x |x <－2或x >2}．(2)证明：因为f (2a )－f (－2b )＝|2a ＋4|－|－2b ＋4|≤|2a ＋4＋2b －4|＝|2a ＋2b |， 所以要证f (ab )>f (2a )－f (－2b )，只需证|ab ＋4|>|2a ＋2b |，即证(ab ＋4)2>(2a ＋2b )2，即证a2b2＋8ab＋16>4a2＋8ab＋4b2，即证a2b2－4a2－4b2＋16>0，即证(a2－4)(b2－4)>0，因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，所以(a2－4)(b2－4)>0成立，所以原不等式成立．。

2020年河北衡水中学理科数学高考模拟试卷(含答案)

2020年河北衡水中学理科数学高考模拟试卷(含答案)

2 2✓)20如图，椭圆吓兰+.L = l (a > h > 0)的左右焦点分别为八，九，离心率为—,a b 2 2 7 过抛物线C 2:x 1 =4b y 住点J,的直线交抛物线千M,N两点，当I M们＝－时，M 4点在x轴上的射影为F;。

连接NO,MO并延长分别交c l 于A,B两点，连接AB,� LlOMN与Ll OAR的曲积分别记为S"a,,JN禾11S !,OAB '设/4=兰罕兰s!,OAB (l)求椭圆(_'\和抛物线C \的方程；(2)求入的取值范围x7 解：(1)由抛物线定义可得M (-c,--h),:. 点M在抛物线2=4by J:,47 :.c 1 =4b(--b), 即c 2=7h-4h�(D 4心一又由.:.=—，得c 2= 3b 2, 将上式代入＠，得7b:=7b,解得b = I , .". c =✓3,a 2:. a= 2,X 2 所以仙线c l 的方程为—+y 2 = 1, 曲线c 2的方程为x 2=4y 4 (2)设直线M N的方程为y =kx+I,由｛y =kx + 1 消去Y挔理得x 2-4kx—4= 0, x -= 4y 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则X 1X 2=-4,V, y 1 I 1 1 设从=m,k 。

�1= n 1', 则mm'=.:....=.—=—X1X 2=--, 所以n1'=-—-, ®x 2 x 1 164 4m 设直线ON 的方程为y =mx (m>O),叶y,=mx , 解得x 0=4m, 所以jO N!=✓一x -=4y l+m lx N l =4m五言了，1 I 山＠可知，用—一代替m ,可得IOMI=上✓l+(-上)2 I X ,11 = - 1 + '1 4m m 4m m厂二第14页由｛勹'�I '解得x ,:J.;, 气，所以iOA i :汇伈I :2汇4五＇用-i,;;代替m,可行1081:三1,./j三1 4m✓I 言�-I+ 1 m 言s 所以A,=�竺=I ON I I OM 仁1S !!.O忠I OAIIOBI 2�_2厂二=�言归丿二厂41111 1 1 4nt 2 + 2+—=2m+—:2: 2'当目仅当m=1时等号成立4m 2 2m 所以入的取伯范围为[2,+吩21已知函数f(x)= x 2 -a e x -1.(1)若f(x)有两个不同的极值点X 1,X 2, 求实数a 的取值范围；4 (2)在(l)的条件下，求证：e -''+e·'0 >一雇(1)函数f (x ) =x 2 -ae 入-1' ．寸(x)=2x -ae 入，守(x)有两个不同的极值点X1,X2, 习(x)=2.x -ae 入'=O有两个根，即a =尘，e x 即y=a与y=g (x ) =坠－有两个交点，e x :.g '(x) = 2 (1-x) X ' ea 当x<I时，g'(x)>O, 函数g (x)单调递增，当x>l H寸，g'(x)<O, 函数g (x )单调递减，: .g (x) mcu•=g (1) =乌当X ---->一动时，g Cx) ---->十心，当X---->十心时，g (x)一O ,第15页。

2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷(一)理科数学

2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷(一)理科数学

2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一.选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1.在等比数列{}n a 中,22a =,43=a ,则=5aA.2B.16C.32 D .64 2.下列函数中,在区间)1,1(-上为减函数的是 A.xy -=11 B.x y cos = C.)1ln(+=x y D.xy -=2 3.已知向量a =)2,1(,b =),1(λ,若λ为实数且a //b ,则λ= A.1 B.1- C.2D.2-4.在ABC ∆中,31=,若=AB a ,＝b ,则AD ＝ A.23a ＋13b B.13a ＋23b C.13a －23b D.23a －13b5.若{}n a 为等差数列,其公差为2-,且4a 是2a 与5a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 和,则10S 的值为A.10-B.9-C.9D.106.若非零向量a ,b 满足=a ,且()(32)-⊥+a b a b ,则a 与b 的夹角为 A.4π B.2πC.34πD.π7.设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =1sin 2B =,6C π=,则b =A.3B.1C.21D.238.已知m ()cos ,sin x x =,n )1,3(-=,R x ∈,则||n -m 的最大值是 A.1 B.1-C.3D.3-9.为得到函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32cos πx y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象 A.向右平移125π个单位长度 B.向左平移125π个单位长度 C.向右平移65π个单位长度 D.向左平移65π个单位长度10.在ABC ∆中,已知c b a ,,分别为角C B A ,,的对边且60=A ,若,233=∆ABC SC B sin 3sin 2=,则ABC ∆的周长为A.75+B.12C.710+D.725+11.已知函数x x ax x f ln 2)(+=,12)(23--=x x x g ,如果对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21,n m ,都有)()(n g m f ≥成立,则实数a 的取值范围是A.),1[+∞-B.),1(+∞-C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21 12.已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =,120FB F B ⋅=,则C 的离心率为 A.2 B.22C.2D.3第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二.填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应的位置上）13.若函数)0(3tan >⎪⎭⎫⎝⎛-=ωπωx y 的最小正周期为2π,则=ω .1 14.等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若11a =,12k a =-,则k =_________. 1 15.在等腰ABC ∆中,底边6=AB ,底边上的高为3.若,D E 分别是边BC 的两个三等分点,则⋅＝ .16.在ABC ∆中,角CB A ,,所对应的边分别为cb a ,,,且abc A b B a c b a =+-+)cos cos )((222,若2=+b a ,则c 的取值范围为________.三.解答题（本题共6小题,第22小题满分10分,第17至21小题每题满分12分,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 满足11=a ,且321+=+n n a a . （1）求{}n a 的通项公式;（2）记)3(+=n n a n b ,求n b 的前n 项和n S .18.某商店试销某种商品20天，获得如下数据:试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）,设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充．．至3件,否则不进货．．．,将频率视为概率.（1）求当天商品不进货．．．的概率; （2）记X 为第二天开始营业时该商品的件数,求X 的分布列和数学期望.19.如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知122DC DD AD AB ===,AD DC ⊥,DC AB //.（1）设E 是DC 的中点,求证://1E D 平面BD A 1; （2）求二面角11A BD C --的余弦值.20.设1F ,2F 分别是椭圆C:12222=+by a x )0(>>b a 的左,右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a ,b .21.设函数3()(1)f x x ax b =---,,R x ∈其中.,R b a ∈ （1）求)(x f 的单调区间;（2）若)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f =,其中01x x ≠,求证:1023x x +=.22.在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,332),0,2(π,圆C 的参数方程为θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）.（1）设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; （2）判断直线l 与圆C 的位置关系.(理科数学)试题参考答案一、选择题二.填空题13. 2 14. 10 15. 22 16.)2,1[ 三.简答题17.【解析】（1）由321+=+n n a a 得)3(2)3(1+=++n n a a又11=a ，所以431=+a ，故数列{}3+n a 是以4为首项，2为公比的等比数列。

2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试(十三)理科数学

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2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试（十三)数学（理科）试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =（ ）A.B.C.52D.4【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数z ，再利用复数模的求法,即可得到z 的值. 【详解】()312i i 2211i z ⎛⎫=+- ⎪=+⎝⎭，||z ==故选：B.【点睛】本题主要考查的是复数的四则运算，复数模的求法，主要考查的是学生的计算能力，是基础题. 2.已知集合{|0A x x =≤或}2x ≥，{}|12B x x =-≤≤，则（ ） A. A B Ü B. B A Ü C. A B =∅I D. A B R =U【答案】D 【解析】 【分析】根据集合间的关系逐个判断即可.【详解】集合,A B 并无包含关系,故A,B 均错误.又{|10A B x x =-≤≤I ,或}2x =故C 错误.A B R =U 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.3.执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的n =（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,,a b n 的值，当272a =，16b =时，满足条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为4 . 【详解】第一次循环， 3462a =⨯=，4b =，2n =，此时a b >. 第二次循环3692a =⨯=，8b =，3n =，此时a b >. 第三次循环327922a =⨯=，2816b =⨯=，4n =，此时a b <，因此4n =. 故选：C .【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的,,a b n 的值是解题的关键，属于基本知识的考查，是基础题.4.已知向量(2,),(,2)r r λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)r r r-a a b ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先算出2a b -rr，再利用向量平行的坐标运算得出λ的值，即可判断.【详解】2(22,4)a b λλ-=--r r ，(2)a a b -r r r‖，28(22)0λλλ∴---=，228λ∴=，2λ∴=±.因此“2λ=”是“//(2)-r r ra ab ”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查的是充分不必要条件的判断，涉及向量平行的坐标运算，属基础题. 5.若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =（ ） A. 32- B. 2-C. 1D. 32【答案】D 【解析】 【分析】取2x =，即可得到0a .【详解】5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-Q∴取2x =，032a ∴=.故选：D .【点睛】本题考查二项式定理及通项公式的运用，“赋值法"普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，是基础题.6.若实数,a b 满足201,a b a <<<<且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为（ ）A. m p n >>B. p n m >>C. n p m >>D. p m n >>【答案】B 【解析】 【分析】已知201a b a <<<<，所以根据对数函数的性质可知()0,∞+上为单调递减函数，得出1log 2a b << 接下来利用作差法比较,,m n p 大小，由此可以判断答案. 【详解】201a b a <<<<Q ，22log log log 1a a a a b a =>>=Q ，()()2log log log log 10a a a a n m b b b b -=-=->， n m ∴>， 2log a p b =，()2log 2log a a n p b b -=-log (log 2)0a a b b =-<，p n ∴>，因此p n m >>. 故选：B.【点睛】本题主要考查的是对数的大小比较，掌握对数函数的性质是解题的关键，是基础题. 7.若2cos21sin2x x =+，则tan x =（ ） A. 1- B.13C. 1-或13D. 1-或13或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简求解即可.【详解】由2cos21sin2x x =+可得()()2222cos sin sin cos x x x x -=+()()sin cos 2cos 2sin sin cos 0x x x x x x ⇒+---=()()sin cos cos 3sin 0x x x x ⇒+-=.故sin cos 0x x +=或cos 3sin 0x x -=.即tan 1x =-或1tan 3x =. 故选：C【点睛】本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数的公式等.属于中等题型. 8.若,x y 满足约束条件31,933,x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩则z x y =+的最小值为（ ）A. 1B. 3-C. 5-D. 6-【答案】C【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值，z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】画出不等式组所表示的可行域如上图（阴影部分）， 由z x y =+，得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图像可知当直线y x z =-+经过B 时，直线y x z =-+的截距最小， 此时z 最小，由139x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ，解得23x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,3B --， 将()2,3B --代入目标函数z x y =+得5z =-， 因此z x y =+的最小值为5-. 故选：C .【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是基础题. 9.把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则（ ） A. ()22g x x = B. ()322g x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭C. ()15221g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭D. ()13228g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由已知中函数()sin cos f x x x =+，根据辅助角公式，易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，然后根据周期变换及平移变换法则，即可得到函数()g x . 【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，函数()f x 图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到： 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ，再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()222g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故选：A .【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像的平移和伸缩变换，考查学生对函数的理解，同时考查辅助角公式、诱导公式的应用，是基础题.10.已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接,,EF FB BE ，点H 为BF 的中点，有下述四个结论：①DE BF ⊥； ②EF 与CH 所成角为60︒；③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①②③C. ①③④D. ①②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标，利用向量法可以判断出正确的结论.【详解】由题意得，所得几何体可以看成一个正方体，因此,,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AD DC DG ===，(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)G ，(2,0,2)E ， (0,2,2)F ，(2,2,0)B ，(1,2,1)H ， ①(2,0,2)DE =u u u r ，(2,0,2)BF =-u u u r，4040DE BF ∴⋅=-++=u u u r u u u r，DE BF ∴⊥u u u r u u u r，DE BF ∴⊥，①是正确的. ②(2,2,0)EF =-u u u r ，(1,0,1)CH =u u u r，设EF u u u r 与CH u u ur 所成的角为θ，1cos 2||||EF CH EF CH θ⋅∴==⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ， [0,]θπ∈60θ︒∴=，②是正确的.③(2,2,2)EC =--u u u r Q ，(2,2,0)DB u u u r =，(0,2,2)DF =u u u r， 设(,,)n x y z 是平面DBF 的一个法向量，DB n DF n ⎧⋅⊥∴⎨⊥⎩u u u v u u u v ，00DB n DF n ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩u u u v u u u v 00x y y z +=⎧⇒⎨+=⎩取1x =，(1,1,1)n ∴=-，2EC n =-u u u r Q ，//EC n u u u r， EC ∴⊥平面DBF ，③是正确.④(2,0,2)BF =-u u u rQ ，由图像易得：(1,1,0)m =r是平面 ACEFF 的一个法量， 设BF 与平面 ACFE 所成的角为θ，0,2πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，sin cos ,BF m θ∴=u u u v r12||||BF m BF m ⋅==⋅u u u r r u u u r r， 30θ︒∴=，④不正确，综上：①②③正确. 故选：B .【点睛】本题考查异面直线、直线与平面所成角的求法，直线与直线、直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是中档题．11.已知双曲线2222:1x y E a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF u u u r u u u u r 夹角的取值范围为2π,π3轾犏犏臌，则E 的离心率取值范围是（ ）A.B. ⎤⎦C. []3,5D. []7,9【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及122AF AF =，可得出12,AF AF ，在12AF F △中由余弦定理以及向量12,AF AF u u u r u u u u r夹角的取值范围可得到关于离心率的不等式，即可得到E 的离心率取值范围. 【详解】由双曲线定义得：122AF AF a -=，2||2AF AF =Q ，22AF a ∴=， 14AF a ∴=，在12AF F △中由余弦定理得：22212121212cos 2AF AF F F F AF AF AF +-∠=⨯⨯2224164224a a c a a +-=⨯⨯ 22254a c a-=， 由题意得：122,3F AF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦， 121cos 1,2F AF ⎡⎤∴∠∈--⎢⎥⎣⎦，22251142a c a -∴-≤-…， 2511442e ∴---剟， 279e ≤≤，e ∴∈.故选：B .【点睛】本题主要考查是正弦函数图像，将函数化简是关键，考查学生对图像变换的理解和应用，是基础题.12.已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +=（ ）A.B. C.D. 【答案】A【解析】 【分析】先分别求出函数()(),f x g x 在,A B 点的切线方程，再根据题意可得出4118x a x =-，构造函数4()8x h x x =-，求出()h x 的最小值即可求出1x ，从而得到12x x +.【详解】2()2,f x x ax =+Q∴ ()22f x x a '=+， ∴()1122f x x a '=+，又()21112f x x ax =+，过A 点切线方程为：()21122y x a x x =+-，①又1()g x x=-Q ，∴21()g x x '=，即()2221g x x '=，又()221g x x =-， 因此过B 点的切线方程为：22212y x x x =-，② 由题意知①②都为直线AB ,1222121222x a x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 4118x a x =-，令4()8x h x x =-，332()122x x h x '-=-=， 令()0h x '=，x =(,0)x ∈-∞和时，()h x 单调递减，且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=，恒成立，)x ∈+∞时，()h x 单调递增，x ∴=()min h x ，1x ∴=，则2212x x==12x x ∴+=故选：A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.函数,0,()1,0,x x x f x e x <⎧=⎨-≥⎩则()(2)1f f +-=____．【答案】22e - 【解析】 【分析】将2,1-分别代入分段函数，即可求得. 【详解】20>Q ,()221f e ∴=-,由10-<Q ，()11f -=-， ()2(2)12f f e ∴+-=-.故答案为：22e -.【点睛】本题考查的是分段函数求值的应用，采用直接代入法求函数值，是基础题.14.设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为____．【答案】3【解析】 【分析】根据抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，可判断3d 最大，即可求出p 的值. 【详解】根据抛物线的几何性质可得12323,1,23222p p p d d d =+=+=+，由题意可得0p >， 因此可判断3d 最大，故33322p d =+=，解得3p =. 故答案为：3.【点睛】本题考查抛物线的知识，掌握抛物线的定义和性质是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力.15.已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S =____． 【答案】83【解析】 【分析】由数列的递推公式及152a =，依次计算出数列的前5项，可得数列{}n a 是周期为4的数列，则()21123415S a a a a a =++++,即可求得.【详解】由()122n n a a +-=，得122n na a +=-，又152a =， 得21242a a ==--，322123a a ==-，432625a a ==-，5142522a a a ===-， 数列{}n a 是周期为4的数列，()21123415165855423523S a a a a a ⎛⎫=++++=-+++= ⎪⎝⎭.故答案为：83.【点睛】本题主要考查的是利用递推关系求数列的和，考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力，是中档题.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【答案】 (1). 26(2). 86π【解析】 【分析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.【详解】(1)每个三角形面积是1331224S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的， 236133⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故四面体体积为13623= 因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是26； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ，所以213666349R R ⎛⎫=⨯⨯⇒= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以球的体积334468633V R ππ===⎝⎭. 故答案为：2686π【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在ABC ∆中，1,AC BC = （1）若150A =︒，求cos B ；（2）D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC ∆的面积． 【答案】（1（2. 【解析】 【分析】(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出sin B ，再利用同角三角函数基本关系式可求出cos B ； (2)根据题意知ACD ∆为等腰三角形，再利用余弦定理得出ACD ∆为等边三角形可得60A =︒，从而求出ABC ∆的面积．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理及题设得sin sin AC BC B A=，故1sin B =，解得sin B =又030B ︒<<︒，所以cos 14B ==. （2）设AD CD x ==，则2BD x =． 在ABC ∆中，由余弦定理得， 2`222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即27916cos x x A =+-，①在等腰ACD ∆中，有112cos 2ACA AD x ==，② 联立①②，解得1x =或1x =-（舍去）． 所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．解法二：（1）同解法一．（2）设AD x =，则,2,CD x BD x ==因为ADC BDC ∠=π-∠， 所以cos cos ADC BDC ∠=-∠，由余弦定理得，得22222472142x x x x x +--=-，所以21x =，解得1x =或1x =-（舍去）． 所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算,是中档题.18.等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和． 【答案】（1）2n a n =，2nn b =； （2）2022201928⨯+.【解析】 【分析】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和. 【详解】(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++ 解得1 2.a = 2.n a n ∴=设等比数列{}n b 的公比为q ，所以342282,4b a q b a ==== 又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++= ① 当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+= ② 由①-②得，2n nnc a =，即12n n c n +=⋅， 又当1n =时，31122c a b ==不满足上式，18,12,2n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩. 数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ③， 则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ④， 由③-④得：234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯2202020222(12)2020212-=-⨯-2022420192=--⨯ ，所以20222020201924T =⨯+， 所以2020S =202220204201928T +=⨯+.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ．（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°． 【答案】（1）见解析； （2）点F 为BC 中点. 【解析】【分析】(1)利用直线与平面垂直的性质、判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明即可.(2)找建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 与平面PCD 的法向量，利用数量积求出法向量间夹角，进而得到二面角的余弦值。

2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷(一)理科数学

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2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P＝{0,1,2}，Q＝{x|x<2}，则P∩Q＝()A．{0} B．{0,1}C．{1,2} D．{0,2}答案 B解析因为集合P＝{0,1,2}，Q＝{x|x<2}，所以P∩Q＝{0,1}．2．已知复数z满足|z|＝2，z＋z－＝2(z－为z的共轭复数)(i为虚数单位)，则z ＝()A．1＋i B．1－iC．1＋i或1－i D．－1＋i或－1－i答案 C解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi，z＋z－＝2a，所以a2＋b2＝2，2a＝2，得a＝1，b＝±1，所以z＝1＋i或z＝1－i.3．若a>1，则“a x>a y”是“log a x>log a y”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由a>1，得a x>a y等价为x>y，log a x>log a y等价为x>y>0，故“a x>a y”是“log a x>log a y”的必要不充分条件．4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为() A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b答案 A解析因为a＝log52<log55＝1 2，b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，0．51<c＝0.50.2<0.50，即12<c<1，所以a<c<b.5．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为()A．4 B．5C．6 D．7答案 C解析由题可得S＝3，i＝2→S＝7，i＝3→S＝15，i＝4→S＝31，i＝5→S＝63，i＝6，此时结束循环，输出i＝6.6．已知{a n}，{b n}均为等差数列，且a2＝4，a4＝6，b3＝9，b7＝21，则由{a n}，{b n}公共项组成新数列{c n}，则c10＝()A．18 B．24C．30 D．36答案 C解析(直接法)由题意，根据等差数列的通项公式得，数列{a n }的首项为3，公差为1，a n ＝n ＋2，数列{b n }的首项为3，公差为3，b n ＝3n ，则易知两个数列的公共项组成的新数列{c n }即为数列{b n }，由此c 10＝b 10＝30，故选C.7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO →·AB→＝32，则实数m ＝()A ．±1B ．±32C ．±22D ．±12答案 C 解析联立y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，∵直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，∴Δ＝－4m 2＋8＞0，解得－2<m<2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，y 1y 2＝(x 1＋m)(x 2＋m)＝x 1x 2＋m(x 1＋x 2)＋m 2，AO →＝(－x 1，－y 1)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∵AO →·AB →＝32，∴AO →·AB →＝x 21－x 1x 2＋y 21－y 1y 2＝1－m 2－12－m 2－12＋m 2－m 2＝2－m 2＝32，解得m ＝±22.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的面积为S ，且43S ＝(a ＋b)2－c 2，则sin C ＋π4＝() A ．1 B ．22C ．6－24D ．6＋24答案 D解析由43S ＝(a ＋b)2－c 2，得43×12absinC ＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，∵a 2＋b2－c 2＝2abcosC ，∴23absinC ＝2abcosC ＋2ab ，即3sinC －cosC ＝1，即2sin C －π6＝1，则sin C －π6＝12，∵0<C<π，∴－π6<C －π6<5π6，∴C －π6＝π6，即C ＝π3，则sin C ＋π4＝sin π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 9．关于函数f(x)＝x －sinx ，下列说法错误的是()A ．f(x)是奇函数B ．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增C ．x ＝0是f(x)的唯一零点D ．f(x)是周期函数答案 D解析f(－x)＝－x －sin(－x)＝－x ＋sinx ＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故A 正确；由于f ′(x)＝1－cosx ≥0，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故B 正确；根据f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(0)＝0，可得x ＝0是f(x)的唯一零点，故C 正确；根据f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，可知它一定不是周期函数，故D 错误．10．已知log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，则2a ＋b 取到最小值时，ab ＝()A ．3B ．4C ．6D ．9答案 D解析由log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，可得a －2>0，b －1>0且(a －2)(b －1)≥2.所以2a ＋b ＝2(a －2)＋(b －1)＋5≥22a －2b －1＋5≥22×2＋5＝9，当2(a －2)＝b －1且(a －2)(b －1)＝2时等号成立，解得a ＝b ＝3.所以2a ＋b 取到最小值时，ab ＝3×3＝9.11．已知实数a>0，函数f(x)＝ex －1＋a2，x<0，ex －1＋a 2x 2－a ＋1x ＋a2，x ≥0，若关于x 的方程f[－f(x)]＝e －a＋a2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是()A.1，2＋2e B ．2，2＋2e C.1，1＋1e D ．2，2＋1e答案 B解析当x ＜0时，f(x)为增函数，当x≥0时，f′(x)＝e x－1＋ax－a－1，f′(x)为增函数，令f′(x)＝0，解得x＝1，故函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为f(1)＝0. 由此画出函数f(x)的大致图象如图所示．令t＝－f(x)，因为f(x)≥0，所以t≤0，则有f t＝e－a＋a2，f t＝e t－1＋a2，解得－a＝t－1，所以t＝－a＋1，所以f(x)＝a－1. 所以方程要有三个不同的实数根，则需a2＜a－1＜1e＋a2，解得2＜a＜2e＋2.12．已知△ABC的顶点A∈平面α，点B，C在平面α同侧，且AB＝2，AC＝3，若AB，AC与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC长度的取值范围为()A．[2－3，1] B．[1，7] C．[7，7＋23] D．[1, 7＋23]答案 B解析如图，过点B，C作平面的垂线，垂足分别为M，N，则四边形BMNC 为直角梯形．在平面BMNC 内，过C 作CE ⊥BM 交BM 于点E.又BM ＝AB ·sin ∠BAM ＝2sin π3＝3，AM ＝2cos π3＝1，CN ＝AC ·sin ∠CAN ＝3sin π6＝32，AN ＝3cos π6＝32，所以BE ＝BM －CN ＝32，故BC 2＝MN 2＋34.又AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ，即12＝AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ＝52，所以1≤BC 2≤7，即1≤BC ≤7，故选B.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(1，λ)，b ＝(3,1)，c ＝(1,2)，若向量2a －b 与c 共线，则向量a 在向量c 方向上的投影为________．答案0解析向量2a －b ＝(－1,2λ－1)，由2λ－1＝－2，得λ＝－12.∴向量a ＝1，－12，∴向量a 在向量c 方向上的投影为|a |cos 〈a ，c 〉＝a ·c|c |＝1－2×125＝0. 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2absinC ＝3(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________．答案3 3解析由题意得2absinC 2bc ＝3·b 2＋c 2－a22bc，即asinC c＝3cos A ，由正弦定理得sinA ＝3cos A,所以tanA ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3bcos π3，解得b ＝4，故面积为12bcsinA ＝12×4×3×32＝3 3.15．已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________．答案 2解析设A(2，t)，M(cos θ，sin θ)，则AM →＝(cos θ－2，sin θ－t)，AO →＝(－2，－t)，所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－tsin θ. 又(2cos θ＋tsin θ)max ＝4＋t 2，故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2，当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min ＝2.16．已知函数f(x)＝x 2－2mx ＋m ＋2，g(x)＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f(x 0)<0且g(x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析当m>0，x<1时，g(x)<0，所以f(x)<0在(－∞，1)上有解，则f 1<0，m>0或m>0，Δ>0，f 1≥0，m<1，即m>3或m>0，m2－m－2>0，3－m≥0，m<1，故m>3.当m<0，x>1时，g(x)<0，所以f(x)<0在(1，＋∞)上有解，所以f1<0，m<0，此不等式组无解．综上，m的取值范围为(3，＋∞)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cosx(3sinx－cosx)＋1 2.(1)求f π3的值；(2)当x∈0，π2时，不等式c<f(x)<c＋2恒成立，求实数c的取值范围．解(1)f(x)＝3sinxcosx－cos2x＋1 2＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6，所以f π3＝1.(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6，所以－12≤sin2x－π6≤1.由不等式c<f(x)<c＋2恒成立，得c<－12，c＋2>1，解得－1<c<－1 2.所以实数c的取值范围为－1，－1 2 .18．(本小题满分12分)如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)是否存在实数λ，使得平面BEF⊥平面ACD.解(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF?平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD.由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，BE?平面BEF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC?平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan60°＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝7.由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝67，∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD.19．(本小题满分12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组[－0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602. 解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21.产值负增长的企业频率为2100＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y －＝1100×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s 2＝1100i ＝15n i (y i －y －)2＝1100×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7] ＝0.0296，s ＝0.0296＝0.02×74≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D.连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点E ，连接DF 1.已知|DF 1|＝52.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以|F1F2|＝2，c＝1.又因为|DF1|＝52，AF2⊥x轴，所以|DF2|＝|DF1|2－|F1F2|2＝522－22＝32，因此2a＝|DF1|＋|DF2|＝4，从而a＝2. 由b2＝a2－c2，得b2＝3.因此，椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)解法一：由(1)知，椭圆C：x24＋y23＝1，a＝2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为 1. 将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)．又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.由y＝2x＋2，x－12＋y2＝16，得5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－11 5 .将x＝－115代入y＝2x＋2，得y＝－125，因此B点坐标为－115，－125.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝34(x－1)．由y＝34x－1，x24＋y23＝1，得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝13 7 .又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.将x＝－1代入y＝34(x－1)，得y＝－32.因此E点坐标为－1，－3 2 .解法二：由(1)知，椭圆C：x24＋y23＝1.如图，连接EF1.因为|BF2|＝2a，|EF1|＋|EF2|＝2a，所以|EF1|＝|EB|，从而∠BF1E＝∠B.因为|F2A|＝|F2B|，所以∠A＝∠B，所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A. 因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．因为F1(－1,0)，由x＝－1，x24＋y23＝1，得y＝±32.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－3 2 .因此E点坐标为－1，－3 2.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－xe x＋ax(a∈R)．(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a＝1，求f(x)的最大值．解(1)由题意知，f′(x)＝1x－(e x＋xe x)＋a＝1x－(x＋1)e x＋a≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以a≤(x＋1)e x－1x在[1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝(x＋1)e x－1x，则g′(x)＝(x＋2)e x＋1x2>0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2e－1，所以a≤2e－1.(2)当a＝1时，f(x)＝ln x－xe x＋x(x>0)．则f′(x)＝1x－(x＋1)e x＋1＝(x＋1)1x－e x，令m(x)＝1x－e x，则m′(x)＝－1x2－e x<0，所以m(x)在(0，＋∞)上单调递减．由于m 12>0，m(1)<0，所以存在x0>0满足m(x0)＝0，即ex0＝1x0.当x∈(0，x0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，m(x)<0，f′(x)<0. 所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．所以f(x)max＝f(x0)＝ln x0－x0e x0＋x0，因为e x0＝1x0，所以x0＝－ln x0，所以f(x0)＝－x0－1＋x0＝－1，所以f(x)max＝－1.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为x＝2t，y＝2＋t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ.(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求|MN|.解(1)因为ρcos2θ＝8sinθ，所以ρ2cos2θ＝8ρsinθ，即x2＝8y，所以曲线C表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y轴的抛物线．(2)设点M(x1，y1)，点N(x2，y2)，直线l过抛物线的焦点(0,2)，则直线的参数方程x＝2t，y＝2＋t化为一般方程为y＝12x＋2，代入曲线C的直角坐标方程，得x2－4x－16＝0，所以x1＋x2＝4，x1x2＝－16，所以|MN|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋122·x1－x22＝1＋122·x1＋x22－4x1x2＝1＋122·42－4×－16＝10.23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋4|，不等式f(x)>8－|2x－2|的解集为M.(1)求M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(2a)－f(－2b)．解(1)将f(x)＝|x＋4|代入不等式，整理得|x＋4|＋|2x－2|>8.①当x≤－4时，不等式转化为－x－4－2x＋2>8，解得x<－103，所以x≤－4；②当－4<x<1时，不等式转化为x＋4＋2－2x>8，解得x<－2，所以－4<x<－2；③当x≥1时，不等式转化为x＋4＋2x－2>8，解得x>2，所以x>2.综上，M＝{x|x<－2或x>2}．(2)证明：因为f(2a)－f(－2b)＝|2a＋4|－|－2b＋4|≤|2a＋4＋2b－4|＝|2a＋2b|，所以要证f(ab)>f(2a)－f(－2b)，只需证|ab＋4|>|2a＋2b|，即证(ab＋4)2>(2a＋2b)2，即证a2b2＋8ab＋16>4a2＋8ab＋4b2，即证a2b2－4a2－4b2＋16>0，即证(a2－4)(b2－4)>0，因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，所以(a2－4)(b2－4)>0成立，所以原不等式成立．。

2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷(四)理科数学

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2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷（四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U为实数集R，已知集合M＝{x|x2－4>0}，N＝{x|x2－4x＋3<0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{x|x<－2} B．{x|x>3}C．{x|1≤x≤2} D．{x|x≥3或x<－2}答案 D解析由题可得M＝{x|x2－4>0}＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，又图中阴影部分所表示的集合是(?U N)∩M，即为{x|x≥3或x<－2}，故选D.2．若复数z满足z2＝－4，则|1＋z|＝()A．3 B. 3 C．5 D. 5答案 D解析设z＝x＋yi(x∈R，y∈R)，则(x＋yi)2＝－4，即x2－y2＋2xyi＝－4，所以x2－y2＝－4，2xy＝0，解得x＝0，y＝±2，所以z＝±2i，|1＋z|＝|1±2i|＝5，故选D.3．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科合计男131023女72027合计203050根据表中数据，得到K2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，若已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为()A．25% B．5% C．1% D．10%答案 B解析由K2≈4.844，对照临界值得 4.844＞3.841，由于P(K2≥3.841)≈0.05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%.故选B.4．以下程序框图的功能是解方程12＋22＋…＋n2＝(n＋1)(n＋2)，则输出的i 为()A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析执行程序框图，i＝1，S＝12＝1，N＝(1＋1)(1＋2)＝6，S≠N；i＝2，S ＝1＋22＝5，N＝(2＋1)(2＋2)＝12，S≠N；i＝3，S＝5＋32＝14，N＝(3＋1)(3＋2)＝20，S≠N；i＝4，S＝14＋42＝30，N＝(4＋1)(4＋2)＝30，S＝N.输出的i为4，结束，故选 B.5．已知f(x)＝ln xx，其中e为自然对数的底数，则()A．f(2)>f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2) C．f(e)>f(2)>f(3) D．f(e)>f(3)>f(2) 答案 D解析f(x)＝ln xx，f′(x)＝1－ln xx2，令f′(x)＝0，解得x＝e，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，故f(x)在x＝e处取得最大值f(e)，f(2)－f(3)＝ln 22－ln 33＝3ln 2－2ln 36＝ln 8－ln 96<0，∴f(2)<f(3)，则f(e)>f(3)>f(2)，故选D.6．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O为圆心的大圆直径为1，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形(图中阴影部分)区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是()A.13πB.12π＋1C.1π＋1D.2π答案 B解析阴影部分的面积等于π16－π16－12×12×12＝18，所以根据几何概型得阴影所示月牙形区域的概率P＝1818＋π4＝11＋2π.故选B.7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝12，a2a6＝8(a4－2)，则S2020＝()A．22019－12B．1－122019C．22020－12D．1－122020答案 A解析由等比数列的性质及a2a6＝8(a4－2)，得a24＝8a4－16，解得a4＝4.又a4＝12q3，故q＝2，所以S2020＝121－220201－2＝22019－12，故选A.8．将函数y＝2sin x＋π3cos x＋π3的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为()A.π12B.π6C.π4D.π3答案 B解析根据题意可得y＝sin2x＋2π3，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y＝sin2x＋2π3＋2φ的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π3＋2φ＝kπ（k∈Z)，φ＝kπ2－π3(k∈Z)，又φ>0，所以当k＝1时，φ取得最小值，且φmin＝π6，故选B.9．设a＝log20182019，b＝log20192018，c＝201812019，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a答案 C解析因为1＝log20182018>a＝log20182019>log20182018＝12，b＝log20192018<log20192019＝12，c＝201812019>20180＝1，故c>a>b，故选C.10．已知函数f(x)＝x3－2x＋1＋e x－1e x，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤2，则实数a的取值范围是()A.－1，32 B.－32，1C.－1，12 D.－12，1答案 C解析令g(x)＝f(x)－1＝x3－2x＋e x－1e x，x∈R.则g(－x)＝－x3＋2x＋1e x－e x＝－g(x)，∴g(x)在R上为奇函数．∵g′(x)＝3x2－2＋e x＋1e x≥0－2＋2＝0，∴函数g(x)在R上单调递增．∵f(a－1)＋f(2a2)≤2可化为f(a－1)－1＋f(2a2)－1≤0，即g(a－1)＋g(2a2)≤0，即g(2a2)≤－g(a－1)＝g(1－a)，∴2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤12.∴实数a的取值范围是－1，12.故选C.11.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为()A.23 B.49 C.269 D.827答案 B解析设圆锥底面圆的半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，如图所示，所以r＝33R，S球＝4πr2＝4π·33R2＝4π3R2，S圆锥＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球与圆锥的表面积之比为S球S圆锥＝4π3R23πR2＝49，故选B.12．已知函数f(x)为R上的奇函数，且图象关于点(2,0)对称，且当x∈(0,2)时，f(x)＝x3，则函数f(x)在区间[2018,2021]上()A．无最大值B．最大值为0C．最大值为 1 D．最大值为－1答案 C解析因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(4－x)＝－f(x)．又函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(－x)．令t＝－x，得f(4＋t)＝f(t)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．又函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，f(－2)＝－f(2)，由函数f(x)的周期为4，得f(－2)＝f(2)，所以－f(2)＝f(2)，解得f(2)＝0.所以f(－2)＝0.依此类推，可以求得f(2n)＝0(n∈Z)．作出函数f(x)的大致图象如图所示，根据周期性，可得函数f(x)在区间[2018,2021]上的图象与在区间[－2，1]上的图象完全一样. 观察图象可知，函数f(x)在区间(－2,1]上单调递增，且f(1)＝13＝1，又f(－2)＝0，所以函数f(x)在区间[－2,1]上的最大值是1，故函数f(x)在区间[2018,2021]上的最大值也是 1.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知单位向量e 1，e 2，且〈e 1，e 2〉＝π3，若向量a ＝e 1－2e 2，则|a |＝________.答案3解析因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3，所以|a |2＝|e 1－2e 2|2＝1－4|e 1||e 2|cos π3＋4|e 2|2＝1－4×1×1×12＋4＝3，即|a |＝ 3.14．已知实数x ，y 满足x －y ＋1≥0，3x －y －3≤0，x ＋y －1≥0，目标函数z ＝ax ＋y 的最大值M ∈[2,4]，则实数a 的取值范围为________．答案－12，12解析可行域如图阴影部分所示，当a ≥0时，平移直线y ＝－ax ＋z 至(2,3)时，z 有最大值2a ＋3，故2≤2a ＋3≤4，得0≤a ≤12.当－1<a<0时，平移直线y＝－ax ＋z 至(2,3)时，z 有最大值2a ＋3，因2≤2a ＋3≤4，故－12≤a<0.当a ≤－1时，平移直线y ＝－ax ＋z 至(0,1)时，z 有最大值1，不符合题意，故舍去．综上，a ∈－12，12.15．在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为________．答案24解析由三视图可得，该几何体为如图所示的五面体ABCEFD，其中，底面ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，侧棱DB，EC，FA与底面垂直，且DB＝2，EC＝F A＝5.过点D作DH∥BC，DG∥BA，交EC，FA分别于H，G，连接GH，则棱柱ABC－DHG为直棱柱，四棱锥D－EFGH的底面为矩形EFGH，高为BA.所以V五面体ABCEFD＝V ABC－DHG＋V D－EFGH＝12×4×3×2＋13×32×4＝24.16．对任一实数序列A＝{a1，a2，a3，…}，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为a n＋1－a n.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________.答案100解析令b n＝a n＋1－a n，依题意知数列{b n}为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b1＋(n－1)×1，a1＝a1，a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，…a n－a n－1＝b n－1，累加得a n＝a1＋b1＋…＋b n－1＝a1＋(n－1)b1＋n－1n－22＝(n－1)a2－(n－2)a1＋n－1n－22，分别令n＝12，n＝22，得11a2－10a1＋55＝0，21a2－20a1＋210＝0，解得a1＝2312，a2＝100.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；(2)从[4,6)，[6,8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在[6,8)组中的概率．解(1)由直方图可得，0.06×2＋0.08×2＋0.2×2＋2m＋0.06×2＝1，所以m ＝0.1，该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间为1×0.12＋3×0.16＋5×0.4＋7×0.2＋9×0.12＝5.08.故m的值为0.1，该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均时间为 5.08 h.(2)由直方图可得，[4,6)中有20人，[6,8)中有10人，根据分层抽样，需要从[4,6)中抽取4人分别记为A1，A2，A3，A4，从[6,8)中抽取2人分别记为B1，B2，再从这6人中抽取2人，所有的抽取方法有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2，共15种，这15种情况发生的可能性是相等的．其中恰有一人在[6,8)组中的抽取方法有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，共8种，所以，从这6人中抽取2人，恰有1人在[6,8)组中的概率为8 15.18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cacos B＝tanA＋tanB.(1)求角A的大小；(2)设AD为BC边上的高，a＝3，求AD的取值范围．解(1)在△ABC中，∵3cacos B＝tanA＋tanB，∴3sinCsinAcosB＝sinAcosA＋sinBcos B，即3sinCsinAcosB＝sinAcosB＋sinBcosAcosAcosB，∴3sinA＝1cosA，则tanA＝3，∴A＝π3.(2)∵S△ABC＝12AD·BC＝12bcsinA，∴AD＝12bc.由余弦定理得cos A＝12＝b2＋c2－a22bc≥2bc－32bc，∴0<bc≤3(当且仅当b＝c时等号成立)，∴0<AD≤32.19．(本小题满分12分)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置(P?平面ABCE)．(1)证明：AE⊥PB；(2)当四棱锥P－ABCE体积最大时，求点C到平面P AB的距离．解(1)证明：如图，在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O. ∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE为等边三角形．在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝π3，∠DAB＝∠ABC＝2π3，在△ABD中，AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝π6，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝π2，∴BD⊥BC，∴BD⊥AE，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE.又∵OP?平面POB，OB?平面POB，OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，∵PB?平面POB，∴AE⊥PB.(2)当四棱锥P－ABCE的体积最大时平面P AE⊥平面ABCE，又∵平面P AE∩平面ABCE＝AE，PO?平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.∵OP＝OB＝32，∴PB＝62，∵AP＝AB＝1，∴cos∠P AB＝1＋1－322＝14，∴sin∠P AB＝15 4，∴S△P AB＝12AP·ABsin∠P AB＝158.又∵V三棱锥P－ABC＝13OP·S△ABC＝13×32×34＝18，设点C到平面P AB的距离为d，∴d＝3V三棱锥C－PABS△P AB＝38158＝155.所以当四棱锥P－ABCE体积最大时，点C到平面P AB的距离为15 5.20．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且y1y2＝－4.(1)求抛物线C的方程；(2)如图，点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD⊥EF，求△ABD 面积的最小值及此时直线AD的方程．解(1)依题意F p2，0，当直线AB的斜率不存在时，y1y2＝－p2＝－4，p＝2.当直线AB的斜率存在时，设AB：y＝k x－p2，由y2＝2px，y＝k x－p2，化简得y2－2pky－p2＝0.由y1y2＝－4得p2＝4，p＝2.综上所述，抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设D(x0，y0)，B t24，t，易知t≠0，则E(－1，t)，又由y1y2＝－4，可得A 4t2，－4t.因为k EF＝－t2，AD⊥EF，所以k AD＝2t，故直线AD：y＋4t＝2tx－4t2，化简得2x－ty－4－8t2＝0.由y2＝4x，2x－ty－4－8t2＝0，化简得y2－2ty－8－16t2＝0，所以y1＋y0＝2t，y1y0＝－8－16 t2.所以|AD|＝1＋t24|y1－y0|＝1＋t24·y1＋y02－4y1y0＝4＋t2t2＋16t2＋8.设点B到直线AD的距离为d，则d＝t22－t2－4－8t24＋t2＝t2＋16t2＋824＋t2.所以S△ABD＝12|AD|·d＝14t2＋16t2＋83≥16，当且仅当t4＝16，即t＝±2时△ABD的面积取得最小值16.当t＝2时，直线AD：x－y－3＝0；当t＝－2时，直线AD：x＋y－3＝0.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－x＋a(其中a∈R，e为自然对数的底数，e＝2.71828……)．(1)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围；(2)设t为整数，对于任意正整数n，1nn＋2nn＋3nn＋…＋nnn<t，求t的最小值．解(1)因为f(x)＝e x－x＋a(x∈R)，所以f ′(x)＝e x－1.令f ′(x)＝e x－1＝0，得x ＝0；f ′(x)＝e x－1>0时，x>0；f ′(x)＝e x－1<0时，x<0.所以f(x)＝e x －x ＋a 在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝e x－x ＋a 的最小值为f(0)＝e 0－0＋a ＝1＋a.由f(x)≥0对任意的x ∈R 恒成立，得f(x)min ≥0，即1＋a ≥0，所以a ≥－1，即实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．(2)由(1)知e x－x －1≥0，即1＋x ≤e x，令x ＝－k n (n ∈N *，k ＝0,1,2，…，n －1)，则0<1－kn≤e－k n，所以1－k nn≤(e－k n)n ＝e －k，1n n ＋2n n ＋3n n ＋…＋n n n ≤e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －2＋e －1＋e 0＝1－e －n1－e －1<11－e －1＝e e －1＝1＋1e －1<2，所以1n n ＋2n n ＋3n n ＋…＋n n n<2，又133＋233＋333>1，所以t 的最小值为 2.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线M 的参数方程为x ＝1＋cos φy ＝1＋sin φ(φ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A ，B 两点，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当α∈0，π4时，求|OA|＋|OB|的取值范围．解(1)由题意可得，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，所以M的极坐标方程为ρ2－2(cosθ＋sinθ)ρ＋1＝0.(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数，将θ＝α代入ρ2－2(cosθ＋sinθ)ρ＋1＝0，得ρ2－2(cosα＋sinα)ρ＋1＝0，当α∈0，π4时，Δ＝4sin2α>0，所以ρ1＋ρ2＝2(cosα＋sinα)，根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径．从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2(cosα＋sinα)＝22sinα＋π4.当α∈0，π4时，α＋π4∈π4，π2，故|OA|＋|OB|的取值范围是(2,22]．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－5|.(1)解不等式：f(x)＋f(x＋2)≤3；(2)若a<0，求证：f(ax)－f(5a)≥af(x)．解(1)不等式化为|x－5|＋|x－3|≤3.当x<3时，原不等式等价于－2x≤－5，即52≤x<3；当3≤x≤5时，原不等式等价于2≤3，即3≤x≤5；当x>5时，原不等式等价于2x－8≤3，即5<x≤11 2 .综上，原不等式的解集为52，112.(2)证明：由题意，得f(ax)－af(x)＝|ax－5|－a|x－5| ＝|ax－5|＋|－ax＋5a|≥|ax－5－ax＋5a|＝|5a－5|＝f(5a)，所以f(ax)－f(5a)≥af(x)成立．。

2020届河北衡水密卷新高考押题仿真模拟(二)理科数学

2020届河北衡水密卷新高考押题仿真模拟(二)理科数学

2020届河北衡水密卷新高考押题仿真模拟（二）数学（理科）试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U =R ,{}220M x x x =+≤,则U C M =（ ）A. {}x|2x 0-<<B. {}x|2x 0-≤≤C. {}x|x 2x 0-或D. {}x|x 2x 0或≤-≥【答案】C 【解析】 【分析】解出集合M ，然后取补集即可.【详解】2{|2}M x x x =-≥={}|20x x -≤≤,全集U =R则{|20}U C M x x x =-或 故选C【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题.2.已知是i 虚数单位，z 是z 的共轭复数，若1i(1i)1i z -+=+，则z 的虚部为（ ） A.12B. 12-C. 1i 2D. 1i 2-【答案】A 【解析】 由题意可得：()2111111222221ii z i i i i --===-=--+， 则1122z i =-+，据此可得，z 的虚部为12. 本题选择A 选项.3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D【解析】 【分析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 对于选项A.2015年一本达线人数0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误；对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B 【解析】用128,,,a a a L 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列128,,,a a a L 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴1878179962a ⨯+⨯=， 解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ． 5.已知椭圆2241mx y +=,则实数m 等于（ ）A. 2B. 2或83C. 2或6D. 2或8.【答案】D 【解析】若焦点在x 轴时，2211,4a b m == ，根据222222221112222c c a b b e a a a a -==⇒=⇒=⇒= ，即1224m m =⇒= ，焦点在y 轴时，2211,4a b m == ，即1284m m=⇒= ，所以m 等于2或8，故选D. 6.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 【此处有视频，请去附件查看】7.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =u u u r u u u r ，则ED =u u u r（ ）A. 1233AD AB -u u ur u u u rB. 2133AD AB +u u ur u u u rC. 2133AD AB -u u ur u u u rD. 1233AD AB +u u ur u u u r【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，以,?AB AD u u u v u u u v 为基底将向量ED u u u v进行分解后可得结果．【详解】画出图形，如下图．选取,?AB AD u u u v u u u v为基底，则()211333AE AO AC AB AD ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，∴()121 333ED AD AE AD AB AD AD AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v =-=-+=-． 故选C ．【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．8.在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，若向该矩形内随机投一点P ，那么使△ABP 与△ADP 的面积都小于4的概率为（ ） A.136B.112C.19D.49【答案】A 【解析】 【分析】以AB 为底边，由△ABP 与△ADP 的面积都小于4，得到两个三角形的高即为P 点到AB 和AD 的距离，得到对应区域，利用面积比求概率．【详解】以AB 为底边，要使面积都小于4， 由于12ABP S n =AB×h＝4h ＜4， 则点P 到AB 的距离h ＜1，同样，12ADP S =n AD×d＝3d ＜4， ∴P 点到AD 的距离要小于43，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是14433⨯=．∴使得△ABP与△ADP的面积都小于4概率为：p4138636 ==⨯．故选A．【点睛】本题考查几何概型、面积比求概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a＝219，则I（a）＝129，D（a）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A. 792B. 693C. 594D. 495【答案】D【解析】试题分析：A，如果输出的值为792，则792a=，279972972279693I a D a b D a I a===-=-=（），（），（）（），不满足题意．B，如果输出的值为693，则693,a=，369963963369594I a D a b D a I a===-=-=（），（），（）（），不满足题意．C ，如果输出的值为594，则594a =，459954954459495I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），，不满足题意． D ，如果输出的值为495，则495a =，，459954954459495I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），满足题意．故选D ． 考点：程序框图10.过点（0，1）的直线l 被圆22(1)4x y -+=所截得的弦长最短时，直线的斜率为（ ） A. 1 B. -1C.2 D. 2-【答案】A 【解析】试题分析：点()0,1在()2214x y -+=圆内，要使得过点()0,1的直线l 被圆()2214x y -+=所截得的弦长最短，则该弦以()0,1为中点，与圆心和()0,1连线垂直，而圆心和()0,1连线的斜率为01110-=--，所以所求直线斜率为1，故选择A ． 考点：直线与圆的位置关系．11.已知函数()()(0,0)2f x sin x πωϕωϕ=+><<，12()1,()0f x f x ==，若12min x x -12=，且11()22f =，则()f x 的单调递增区间为（ ） A. 15[2,2],66k k k Z -++∈B. 51[2,2],66k k k Z -++∈ C. 51[2,2],66k k k Z ππ-++∈D. 17[2,2],66k k k Z ++∈【答案】B 【解析】 【分析】 由已知条件12min12x x -=求出三角函数()f x 的周期，再由1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ的值，结合三角函数的单调性求出单调增区间【详解】设()f x 的周期为T ，由()11f x =，()20f x =，12min 12x x -=，得122422T T πωπ=⇒=⇒==，由1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得11sin 22πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1cos 2ϕ=，又02πϕ<<，∴3πϕ=，()sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭． 由22232k x k ππππππ-+≤+≤+，得5122,66k x k k Z -+≤≤+∈．∴()f x 的单调递增区间为512,2,66k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．故选B ．【点睛】本题主要考查利用()()sin f x A x ωϕ=+的图象特征的应用，解析式的求法．属于基础题 12.已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线(0)x a a =>对称，且当x a ≥时,()2x af x e-=.若A ,B 是函数()f x 图像上的两个动点，点(),0P a ，则当PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值为0时，函数()f x 的最小值为（ ） A. 12e - B. 1e -C. 32e -D. 2e -【答案】B 【解析】 【分析】首先根据数量积最小值为 0，得到相切且垂直，再利用切点导数为斜率， 入手求得a 值,问题得解 ． 【详解】解：如图， 显然,PA PB u u u r u u u r的模不为 0 ，故当PA PB uu r uu rg 最小值为0时,只能是图中的情况，此时，PA PB ⊥，且PA ,PB 与函数图象相切，根据对称性， 易得45BPD ∠=︒， 设0(B x ，0)y ，当x a …时， 2()x a f x e -'=， ∴020()1x a f x e -'==02x a ∴= (,0)P a QPD a ∴=，BD a ∴=，即(2,)B a a ，22a a e a -∴=，1a \=，∴当1x …时，2()x f x e -=，递增，故其最小值为：1e -，根据对称性可知， 函数()f x 在R 上最小值为1e -． 故选B ．【点睛】此题考查了数量积，导数,指数函数单调性等，综合性较强，难度适中 ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若实数x y ，满足不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，，，则z x y =+的最小值为______．【答案】-13 【解析】 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z ＝2x +y 对应的直线进行平移，可得当x ＝y ＝1时，z ＝2x +y 取得最小值．【详解】作出不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由y 2350x y =-⎧⎨-+=⎩解得B （﹣11，﹣2）设z ＝F （x ，y ）＝x +y ，将直线l ：z ＝x +y 进行平移，当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值＝F （﹣11，﹣2）＝﹣13． 故答案为﹣13【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.若函数()y f x =的定义域是1[,2]2，则函数2()y f log x =的定义域为_________． 【答案】2,4] 【解析】 【分析】由函数y=f （x ）的定义域为[12，2]，知12≤log 2x≤2，由此能求出函数y=f （log 2x ）的定义域即可． 【详解】∵函数y=f （x ）的定义域为[12，2]，∴12≤log 2x≤2，∴2≤x≤4．故答案为：2,4⎡⎤⎣⎦【点睛】本题主要考查函数的定义域和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =．当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S =_______ 【答案】1010 【解析】 【分析】由题意可得：112,21n n n n a S n a S n -++=+=+，整理变形可知当2n ≥时，数列任意连续两项之和为1，据此求解2019S 的值即可.【详解】由题意可得：112,21n n n n a S n a S n -++=+=+， 两式作差可得：121n n n a a a +-+=，即11n n a a ++=, 即当2n ≥时，数列任意连续两项之和为1， 据此可知：20192018110102S =+=. 【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .16.如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3PA =．2PB =，1PC =．设M 是底面ABC 内一点，定义()(f M m =，n ，)p ，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(2f M =，x ，)y ，且18a x y+…恒成立，则正实数a 的最小值为___________．【答案】1 【解析】【详解】∵PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．∴1132132P ABC V -=⨯⨯⨯==12+x+y 即x+y=12则2x+2y=1，又1122()(22)22228a a y ax x y a a x y x y x y +=+⋅+=+++≥++，解得a≥1∴正实数a 的最小值为1三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b ccos sin C c A =. （1）求C ；（2）若c =，ABC ∆的，求ABC ∆的周长．【答案】（1）3C π=;（2.【解析】 【分析】（1sinCsinA =，则tanC =C 的值即可；（2）由题意结合面积公式可得4ab =，结合余弦定理可得a b +=△ABC 的周长即可.【详解】（1csinA =sinCsinA =， ∵0sinA ≠sinC =，可得：tanC =∵()0,C π∈，∴3C π=.（2）∵c =3C π=，ABC ∆12absinC ==， ∴可得：4ab =，∵由余弦定理可得：()()222218312a b ab a b ab a b =+-=+-=+-， ∴解得：a b +=∴ABC ∆的周长3032a b c ++=+.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.注：年份代码17~分别表示对应年份20122018~.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数r （0.75r >线性相关较强）加以说明；（2）建立y 与t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量. 【参考数据】719.32ii y==∑，()()712.89i i i t ty y =--≈∑，()7210.55i i y y =-≈∑，()7212 2.646i i t t =-≈⨯∑，()72128i i t t =-≈∑，2.890.992 2.6460.55≈⨯⨯，2.890.10328≈.【参考公式】相关系数()()()()12211niii nni i i i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑，在回归方程$$y bta =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.【答案】（1）见解析；（2）1.744 【解析】【分析】(1)根据题中所给的公式得到r=0.99>0.75,进而得到结论；（2）根据公式计算得到回归方程，再将2019年所对应的t=8代入方程可得到估计值..【详解】(1)由题意得,)()()()71772211i ii i i tty y r tty y ===--=--∑∑∑∴0.75>所以与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由已知得()()()71721 2.890.10328ˆi i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.3310.10340.ˆ92ˆay bt =-=-⨯≈， 所以，y 关于t 的回归方程为：0.92010ˆ.3yt =+ 将2019年对应的8t =代入回归方程得：0.920.1038ˆ 1.744y=+⨯=. 所以预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.744万吨.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线方程的计算，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.19.如图所示的几何体中，ABC-A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ， AA 1=AC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD=2CD=4，∠ADC=60°.（Ⅰ）求证：111AC A B CD ⊥平面； （Ⅱ）求三棱锥11C ACD -的体积． 【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）推导出AC 1⊥A 1C ，AC ⊥AB ，AA 1⊥AB ，从而AB ⊥平面ACC 1A 1，进而A 1B 1⊥AC 1，由此能证明AC 1⊥平面A 1B 1CD ．（2）由CD ＝2，得AD ＝4，AC ＝AA 1164=-=23，三棱谁C 1﹣A 1CD 的体积：1111C A CD D A C C V V --=，由此能求出结果．【详解】(1)∵111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC o ∠=．11AAC C ∴是正方形，11AC AC ∴⊥， 设CD a =，则2AD a =，22422cos603AC a a a a a =+-⨯⨯⨯=o ，222CD AC AD ∴+=，AC DC ∴⊥，AC AB ∴⊥，1AA AB ⊥Q ，1AC AA A ⋂=Q ，AB ∴⊥平面11ACC A ，111A B AC ∴⊥，1111A B AC A ⋂=Q ，1AC ∴⊥平面11A B CD ．解：(2)∵2CD =，4AD ∴=，1AC AA === ∴三棱谁11C A CD -的体积：11111113C A CD D A C C A C C V V CD S --==⨯⨯V ，112432=⨯⨯⨯=． 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知动圆C 过定点()F 1,0，且与定直线x 1=-相切． （1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；（2）过点()M 2,0-的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点P,Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N （异于点M ），使得QNM PNM π∠∠+=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 24y x =，（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解；（2）假设存在点()0,0N x 满足题设条件，由题意可得直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即0PN QN k k +=，设()()1122,,,P x y Q x y ，121020PN QN y y k k x x x x +=+--，设:2PQ x my =-,再由直线与抛物线联立，利用韦达定理代入求解即可.【详解】（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等， 由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以()1,0F 为焦点，1x =-为准线的抛物线， 其中2p =．∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24y x =．解法2：设动圆圆心C (),x y 1x =+.化简得：24y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程 （2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数， 即0PN QN k k += ①直线PQ 的斜率必存在且不为0，设:2PQ x my =-,由242y x x my ⎧=⎨=-⎩得2480y my -+=．由()24480m ∆=--⨯>,得m >m <设()()1122,,,P x y Q x y ，则12124,8y y m y y +==． 由①式得121020PN QN y y k k x x x x +=+--()()()()12021010200y x x y x x x x x x -+-==--, ()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．消去12,x x ，得()22122101211044y y y y x y y +-+=,()()1212012104y y y y x y y +-+=, 120,y y +≠Q 012124x y y ∴==,∴存在点()2,0N 使得QNM PNM π∠+∠=．【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1[,)e+∞. 【解析】 【分析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()21x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞∵()()()21x x e ax f x x --'=，0a <，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭()1xb x e lnx =-- 由题意，()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10xb x e lnx --≤恒成立；不符题意.②若0b >，记()()1xh x b x e lnx =--，则()1xh x bxe x'=-, 显然()h x '在[)1,+∞单调递增， （i ）当1b e≥时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥= （ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1110b h e b e b ⎛⎫=-> ⎝'->⎪⎭∴存在01x >，使()0h x '=.当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意 综上所述，所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（二）选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=a sin θ（a ≠0）． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标系方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 截圆C 的弦长等于圆C倍，求a 的值．【答案】(1)圆C的直角坐标方程为22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；直线l 的普通方程为4380x y +-=.(2)32a =或3211a =. 【解析】试题分析：（Ⅰ）将t 参数消去可得直线l 的普通方程，根据222cos x sin y x y ρθρθρ===+，， 带入圆C 可得直角坐标系方程；（Ⅱ）利用弦长公式直接建立关系求解即可．试题解析：（1）圆C 的直角坐标方程为22224a a x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭； 直线l 的普通方程为4380x y +-=．（2）圆2221:24a C x y a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，直线:4380l x y +-=， ∵直线l 截圆C的弦长等于圆C∴圆心C 到直线的距离3812522aa d -==⨯， 解得32a =或3211a =．23.已知关于x 的不等式|x －3|＋|x －5|≤m 的解集不是空集，记m 的最小值为t ． （1）求t ；（2）已知a ＞0，b ＞0，c ＝max {1a ，22a btb+}，求证：c ≥1． 注：max A 表示数集A 中的最大数． 【答案】(1) 2t = (2)见证明 【解析】 【分析】（1）根据绝对值三角不等式求出|x ﹣3|+|x ﹣5|的最小值即可求出t ；（2）由（1）得：c =221,a b a tb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭根据基本不等式的性质求出即可．【详解】解：（1）因为()()35352x x x x -+-≥---=. 当35x ≤≤时取等号，故2m ≥，即2t =.（2）由（1）知221max ,2a b c ab ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则222221122a b a b c a b ab ++≥⋅=≥， 等号当且仅当22112a b a b+==， 即1a b ==时成立.∵0c >，∴21c ≥.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题．。

2020届河北衡水密卷新高考押题信息考试(一)理科数学

2020届河北衡水密卷新高考押题信息考试(一)理科数学

2020届河北衡水密卷新高考押题信息考试（一）理科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知,m n R ∈，集合{2,lg }A m =，{},2nB m =，若{1}A B ⋂=，则m n +=（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D 【解析】集合{}2,lg A m =，{},2nB m =，若{}1A B ⋂=.所以lg 1m =，解得10m =. 所以21n =，解得0n =. 所以10m n +=. 故选D. 2.已知复数3412iZ i-=- ，则复数Z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】341121255i z i z i -==+-Q 在复平面内对应的点Z 坐标为112(,)55在第一象限，故选A. 3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱 【答案】B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】由正视图与侧视图可知，该几何体可以为如图所示的正方体截去一部分后的四棱锥P ABCD -，如图所示，由图知该几何体的俯视图为D ，故选D.5.若实数,x y 满足521x y x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值是（ ）A. 9B.203C.103D. 2【答案】B 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图所示，其中()10514,33A B ⎛⎫⎪⎝⎭，，.作直线:20l x y +=，平移直线l ，当其经过点B 时，z 取得最小值，min 105202333z =+⨯=， 故选B.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（ ）种 A. 12 B. 36C. 72D. 108【答案】B 【解析】试题分析：第一步从4名实习教师中选出2名组成一个复合元素，共有246C =种，第二步把3个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有336A =,根据分步计数原理不同的分配方案有6636⨯=种，故选B ．考点：计数原理的应用．7.数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A 【解析】四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙与丁中有一个是正确的；若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A. 8.执行如图的程序框图，则输出的n =( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的m ，n 的值，当5m =，4n =时满足条件9m n +=，退出循环，输出n 的值为4，从而得解.【详解】模拟程序的运行，可得：1m =，1n = 执行循环体，不满足条件m n >，3m =，2n =不满足条件9m n +=，执行循环体，满足条件m n >， 2m =，3n = 不满足条件9m n +=，执行循环体，不满足条件m n >，5m =，4n = 满足条件9m n +=，退出循环，输出n 的值为4. 故选：A .【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题.9.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若30MNA ∠=︒，则C 的离心率为( ) A. 3 B.3C. 2D.2【答案】C 【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A (a ,0)，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点． 若30MNA ∠=︒,可得A 到渐近线bx +ay =0的距离为：sin 302bb =o， 可得：222b a b =+,即222223,3,2c b a c a a e a=-=∴==. 10.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =,16AA =.若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A.26B.210C.3 D.310【答案】B 【解析】试题分析：以C 为原点，CA 为x 轴，在平面ABC 中过作AC 的垂线为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA 1=6， E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，且BE=B 1E ，C 1F=13CC 1， ∴A 1（4，0，6），E （2，233），F （0，0，4），A （4，0，0），1A E u u u r =（-2，23-3），AF u u u r=（-4，0，4）， 设异面直线A 1E 与AF 所成角所成角为θ，则11·2cos 10425A E AF A E AF θ===⨯u u u r u u u ru u u r ．∴异面直线A 1E 与AF 所成角的余弦值为210考点：异面直线及其所成的角11.若曲线()ln (1)f x x a x =-+存在与直线210x y -+=垂直的切线，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1(,)2-+∞ B. 1[,)2+∞C. (1,)+∞D. [1,)+∞【答案】C 【解析】函数()()ln 1f x x a x =-+，0x >，则()11f x a x'=--，若函数()f x 存在与直线210x y -+=垂直的切线，可得1 12a x --=-有大于0的解，则1 10a x=->，解得1a >，则实数a 的取值范围是()1,+∞，故选C.点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查存在性问题的解法，注意运用参数分离法，考查运算能力，属于中档题；求出函数()()ln 1f x x a x =-+的导函数，结合与直线210x y -+=垂直的切线斜率为2-，可得112a x--=-有大于0的解，分离参数，求出实数a 的取值范围.12.已知ABC V 是腰长为4的等腰直角三角形，AB AC =，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为( ) A. 4- B. 43-C. 0D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】如图建立坐标系，设(,)P x y ，运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示，得出()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r关于x ，y 的表达式，配方即可得出结论.【详解】如图建立坐标系，(0,2)A ，(2,0)B -，2,0)C ，设(,)P x y ， 则(,22)PA x y =-u u u r ，2(2,2)PB PC PO x y +==--u u u r u u u r u u u r，∴2222()242222(2)44PA PB PC x y x y ⋅+=-+=+-≥-u u u v u u u v u u u v，∴最小值为4-， 故选：A .【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，运用坐标法解题是关键，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试(一)理科数学

2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试(一)理科数学

2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试（一)数学•理★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1.集合{}2|560A x x x =-+≥，{}|210B x x =->，则A B =I （ ）A. (][),23,-∞⋃+∞B. 1,32⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D. [)1,23,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由题意得{}{}{}21|560|23,2102A x x x x x x B x x x x⎧⎫=-+≥=≤≥=-=⎨⎬⎩⎭或， ∴1|232A B x x x ⎧⎫⋂=<≤≥⎨⎬⎩⎭或．选D ． 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足132z ii i⋅=-+，则3z +=（ ）A.B.C.D. 5【答案】A 【解析】 【分析】利用复数乘法和除法运算求得z ，进而求得3z +的模. 【详解】依题意()()()()()3215515i i i i i z ii i i i +----====--⋅-，所以325z i +=-==故选：A【点睛】本小题主要考查复数乘法和除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题. 3.计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A.12B. 12-C.2D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin 43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可.【详解】sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin 43sin17=-︒︒︒︒1cos 43cos17sin 43sin17)co (s602=︒︒-︒︒=-︒--=故选：B【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.4.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是( )A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．【详解】解：对于A ，AB 为体对角线，MN ，MQ ，NQ 分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB 垂直于MN ，MQ ，NQ ，可得AB 垂直于平面MNQ ；对于B ，AB 为上底面的对角线，显然AB 垂直于MN ，与AB 相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ 垂直，可得AB 垂直于平面MNQ ；对于C ，AB 为前面的面对角线，显然AB 垂直于MN ，QN 在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB 所在的面，即有AB 垂直于QN ，可得AB 垂直于平面MNQ ；对于D ，AB 为上底面的对角线，MN 平行于前面的一条对角线，此对角线与AB 所成角为60o ， 则AB 不垂直于平面MNQ ． 故选D ．【点睛】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．5.若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( ) A. a b c >> B. b c a >>C. a c b >>D. c b a >>【答案】D 【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x xx=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系. 详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D .点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.6.已知,x y 满足不等式组240,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则1z x y =+-的最小值为（ ）A. 2B.2 C.2D. 1【答案】D 【解析】不等式组对应的可行域如图所示，因为122x y z +-=所以z 表示可行域内一点到直线x+y-1=02倍，由可行域可知点A （2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故min 1.z =故选D.点睛：本题的关键是找到1z x y =+-的几何意义，要找到1z x y =+-的几何意义，必须变形，12,2x y z +-=⋅所以z 表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的2倍.突破了这一点，后面的解答就迎刃而解了.7.电路从A 到B 上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是（ ）A.1027B.448729C.100243D.4081【答案】B 【解析】 【分析】先求,A C 连通的概率，再求,B D 连通的概率，然后求,A B 连通的概率. 【详解】先考虑,A C 没有连通的情况，即连个灯泡都断路，则其概率为111339P =⨯=. 所以,A C 连通的概率18=199P -=. ,E F 连通，则两个灯泡都没有断路，则其概率为224339P =⨯=, 所以,E F 没有连通的概率为：45=199P -=. 则,B D 之间没有连通的概率5525=9981P =⨯所以,B D 连通的概率255618181P =-=， 所以,A B 连通的概率. 568448=819729P =⨯ 故选：B【点睛】本题考查概率的求法，注意并联电路和串联电路的性质的合理运用．解题时要认真分析，属于基础题.8.有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ）A. 8种B. 16种C. 32种D. 48种【答案】B 【解析】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧， 选出一人排在左侧，有：1122C A 种方法， 另外一人排在右侧，有12A 种方法，余下两人排在余下的两个空，有22A 种方法，综上可得：不同的站法有1112222216C A A A =种.本题选择B 选项.9.已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的最小正周期是π，若()1f α=，则32f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.12B. 12-C. 1D. -1【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 的最小正周期求得ω，由()1fα=列方程，利用诱导公式求得32f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由于()f x 的最小正周期为π，所以()2ππ0T ωω==>，所以2ω=.所以()()sin 2f x A x ϕ=+.由()1f α=得()()sin 21f A ααϕ=+=.所以[]()33sin 2sin 23πsin 2122f A A A ππααϕαϕαϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期求参数，考查诱导公式，属于基础题.10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（ ）A. 22πB.82C.142D. 2π【答案】B 【解析】 【分析】根据11B A ACC -体积的最大值求得此时,AC BC 的长，判断出球心的位置，求得111ABC A B C -的外接球的半径，进而求得球的体积. 【详解】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b==，则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=，当且仅当2AC BC ==.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径221111222OB A B AA AB ==+=所以外接球的体积为34π82π23⋅=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球的体积的求法，考查四棱锥体积最大值的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查中国古代数学文化，属于基础题.11.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2233S a S +=-，则423a a +的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，结合基本不等式求得423a a +的最小值. 【详解】由2233S a S +=-得232333a S S a =--=-，所以2111233,01a q a q a q q q=-=>⇒>-.所以423a a +()()323112333331q q q a q a q q qq ++=+==--()()2121431q q q -+-+=⨯-()43161q q ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦()43216181q q ≥⨯-⋅=-.当且仅当41311q q q -=⇒=>-时取得最小值. 故选：D【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法属于中档题.12.若关于x 的方程0xx xx em e x e++=-有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，2.718e =为自然对数的底数，则3122312111x x x xx xe e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A. eB. 1m -C. 1m +D. 1【答案】D 【解析】 【分析】 设x x t e =即101t m t ++=-所以2(1)10t m t m +-+-=,令g()x x x e=,求出导数，讨论其单调性，画出图像，结合图像可得关于t 的方程2(1)10t m t m +-+-=一定有两个不等的实数根12,t t ，且120t t <<，且则31231212,x x x x x x t t e e e ===即可求解. 【详解】由方程0x x x x e m e x e++=-，有101xxx m x e e ++=- 设x xt e =即101t m t ++=- 所以2(1)10t m t m +-+-= 令g()xx x e =，则1()x x g x e '-= 所以g()x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减, 且g(0)0=，1(1)g e=，当0x >时，()0>g x 其大致图像如下.要使关于x 的方程0xx xx em e x e++=-有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ， 且1230x x x <<<.结合图像可得关于t 的方程2(1)10t m t m +-+-=一定有两个不等的实数根12,t t且120t t <<, 12121,1t t m t t m +=-⋅=- 则31231212,x x x x x x t t e e e===. 所以()()31222231212111=11x x x x x x t t e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2212121211][+1][t t t t t t -+=--=2[1(1)+1]1m m =---=故选：D【点睛】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，考查转化思想，是一道综合题．属于难题.二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置， 书写不清，模棱两可均不得分.13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，则：13S =__________. 【答案】52 【解析】 【分析】利用根与系数关系，等差数列前n 项和公式，求得13S 的值.【详解】由于4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，所以4108a a +=，所以113410138131********a a a a S ++=⨯=⨯=⨯=. 故答案为：52【点睛】本小题主要考查根与系数关系，考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.14.已知向量a r 与b r 的夹角是56π，且a a b =+r r r ，则向量a r 与a b +r r 的夹角是_____.【答案】23π【解析】 【分析】首先根据a a b =+r r r ，求得3b a =r r ，由此利用夹角公式计算出向量a r 与a b +r r的夹角的余弦值，由此求得向量a r 与a b +r r的夹角. 【详解】由a a b=+r r r 两边平方并化简得22222,20a a a b b a b b =+⋅+⋅+=r r r r r r r r ，即25π2cos 06a b b ⋅⋅+=r r r ，即3b a =r r .所以()cos ,a a b a a b a a b ⋅++=⋅+r r r r r r r r r 2225πcos 61a b a a b a a⋅⋅+⋅==+r r r r r r r 31122=-=-，由于[],0,πa a b +∈r r r ，所以2π,3a a b +=r r r .故答案为：2π3【点睛】本小题主要考查向量模、数量积的运算，考查向量夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题.15.已知()()()()()921120121112111x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ，则1211a a a +++L 的值为 . 【答案】 【解析】 试题分析：令，得，令，得，联立得：，故答案为.考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题考查二项式定理应用之通过赋值法求展开式的系数和问题，属于常规题，难度中等；常见的通法是通过赋值使得多项式中的变为和，在本题中要使即给等式中的赋值，求出展开式的常数项；要使即给等式中赋值求出展开式的各项系数和即，两式相减得到要求的值．16.已知函数()2x xx xe ef x e e---=++，若有()(2)4f a f a +->，则实数a 取值范围是__________．【答案】()1,+∞ 【解析】∵222221(1)22()2223111x x x x x x x x x e e e e f x e e e e e ----+-=+=+=+=-++++， ∴函数()f x 在R 上为增函数，由题意得()()2(2)4x x x xx xx x e e e e f x f x e e e e-------+=+++=++， ∴()4()f x f x =--， ∵()()24f a f a +->，∴()()42(2)f a f a f a >--=-． ∴2a a >-，解得1a >． ∴实数a 的取值范围是()1,+∞． 答案：()1,+∞点睛：本题考查了用函数单调性解不等式的问题，同时也考查了学生观察问题分析问题的能力，由题意得到()4()f x f x =--是解题的关键，在此基础上将不等式化为()f a >(2)f a -的形式，下一步需要由函数的单调性求解，在分析可得函数()2x xx x e e f x e e---=++为增函数，所以根据单调性的定义将函数不等式转化为一般不等式求解．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+. （1）证明{}1n a +为等比数列；（2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）成等差数列，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由递推关系求得1a ，通过计算1121n n a a ++=+，证得数列{}1n a +为等比数列.（2）由（1）求得数列{}n a 的通项公式，由分组求和法求得n S ，证得2n n n S a +=，所以n ，n a ，n S 成等差数列.【详解】（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =， 由题意得10n a +≠，1122211n n n n a a a a +++==++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nn a +=，∴21n n a =-.∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查分组求和法，考查等差数列的证明，属于基础题.18.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . （1）若cos :cos :cos 2:2:7A B C =，求sin B ；（2）若sin :cos :tan 2:2:7A B A =，试判断ABC ∆的形状. 【答案】（1）sin B = （2）直角三角形 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得2ac =，再利用余弦定理求得cos B 的值，结合同角三角函数的基本关系式求得sin B 的值.（2）结合已知条件得到sin cos A B =，2tan 7sin A A =， 结合A 为锐角，求得π2A B +=，由此证得三角形ABC 是直角三角形.【详解】（1）∵cos :cos :cos 2:2:7A B C =，∴a b =，222222:2:722b ca abc bc ab +-+-=，∴22222:2:722c a c ac a-=， ∴224720a ac c --=， ∴()()420a c a c +-=， ∴2ac =或4c a =-（舍去）， ∴2221cos 24a cb B ac +-==，∴215sin 1cos B B =-=. （2）∵sin :cos :tan 2:2:7A B A =， ∴sin cos A B =，2tan 7sin A A =， ∴2A B π+=或2A B π-=，2cos 07A =>，A 为锐角. ∴2A B π-=（舍去）， ∴2A B π+=，∴ABC ∆为直角三角形.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19.如图，在三棱台ABC DEF -中，二面角B AD C --是直二面角，AB AC ⊥，3AB =，112AD DF FC AC ====．（1）求证：AB ⊥平面ACFD ；（2）求二面角F BE D --的平面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】分析：（1）由勾股定理可得CD AD ⊥，由面面垂直的性质可得CD ⊥平面ABED ，从而可得AB CD ⊥，结合AB AC ⊥，由线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面ACFD ；（2）在平面ACFD 内，过点A 作AH AC ⊥，由（1）可知AB AH ⊥，以A 为原点，AB u u u v ，AC u u uv ，AH u u u v 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，330,,2CD =-u u u v（）是平面BED 的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面FBE 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）连接CD ，在等腰梯形ACFD 中，过D 作DG AC ⊥交AC 于点G ，因为112AD DF FC AC ====，所以12AG =，3DG =，32CG =，所以3CD =，所以222AD CD AC +=，即CD AD ⊥，又二面角B AD C --是直二面角，CD ⊂平面ACFD ，所以CD ⊥平面ABED ，又AB ⊂平面ABED ，所以AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，AC CD C ⋂=，AC 、CD ⊂平面ACFD ，所以AB ⊥平面ACFD ．（2）如图，在平面ACFD 内，过点A 作AH AC ⊥，由（1）可知AB AH ⊥，以A 为原点，AB u u u v ，AC u u u v，AH u u u v的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -． 则3,0,0B （），130,2D （，3302F （，，，0,2,0C （），所以=3,2,0)BC -u u u v （，10,2CF ⎛=- ⎝⎭u u u v ，设(),,n x y z =v是平面FBE 的一个法向量，则n BC n CF⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ，所以320x y y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 取2x =，则3y =，z =即n v，由（1）可知CD ⊥平面BED ，所以30,,22CD =-u u u v（）是平面BED 的一个法向量， 所以cos ,n CD n CD n CD ⋅=⋅u u u v v u u u v vu u uv v==， 又二面角F BE D --的平面角为锐角， 所以二面角F BE D --点睛：本题主要考查证明线面垂直、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20.已知函数()()2xf x e ex ax a R =-+∈.（1）若()f x 在()0,1上单调，求a 的取值范围.（2）若()ln y f x ex x =+的图像恒在x 轴上方，求a 的取值范围. 【答案】（1）(][),1,e -∞-+∞U （2）()0,∞+ 【解析】 【分析】(1)求出()2xf x e ex a '=-+，()f x 在()0,1上单调，则()0f x '≥或()0f x '≤在()0,1上恒成立，只需要讨论出函数()f x '在()0,1上的单调性，求出其最值即可.(2) ()ln y f x ex x =+的图像恒在x 轴上方,即ln x ea ex e x x>--在()0,x ∈+∞上恒成立，设()ln xe h x ex e x x=--，再对函数()h x 求导讨论出在()0,∞+的单调性，求出其最大值即可.【详解】（1）由题意得x ∈R ，()()2xf x e ex a a R '=-+∈.()f x 在()0,1上单调，即()()2x f x e ex a a R '=-+∈在()0,1上大于等于0或者小于等于0恒成立.令()()2xg x e ex a a R =-+∈，则()2xg x e e '=-.()0g x '=时，ln 2x e =.当01ln 2x e <<<时，()0g x '<，∴()g x 在()0,1上单调递减， ∴由题意得()10g ≥，或()00g ≤. ∴a 的取值范围是(][),1,e -∞-+∞U .（2）2ln x y e ex ax ex x =-++的图像恒在x 轴上方，也即当()0,x ∈+∞时，0y >恒成立.也即ln xe a ex e x x>--在()0,x ∈+∞上恒成立.令()ln x e h x ex e x x =--，()()()()22211xx ex e x ex ex e x x h x x-----='=， 由()10h '=可得：当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减；当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增； ∴()10h =为极大值. 所以()(1)0h x h ≤=.∴a 的取值范围是()0,∞+.【点睛】本题考查已知函数单调性求参数的范围和不等式恒成立求参数的范围问题，用分离参数的方法是常用方法,属于中档题.21.某种零件的质量指标值为整数，指标值为8时称为合格品，指标值为7或者9时称为准合格品，指标值为6或10时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的100个零件，不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示；使用该机器制造的一个零件成本为5元，合格品可以以每个x 元的价格出售给批发商，准合格品与废品无法岀售.（1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；（2）若该单位接到一张订单，需要该零件2100个，为使此次交易获利达到1400元，估计x 的最小值； （3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费2元可以被加工一次，加工结果会等可能出现以下三种情况：①质量指标值增加1，②质量指标值不变，③质量指标值减少1.已知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）的条件下，估计x 的最小值（精确到0.01） . 【答案】（1）7.9个 （2）9 （3）8.67 【解析】 【分析】(1)用样本的平均值估计总体的平均数，即求出100个样本的平均数即可. (2) 一个零件成本为5元，x 的价格出售，可得式子：602100210051400100x ⎛⎫⋅-÷⨯≥ ⎪⎝⎭可解出答案. (3) 设为满足该订单需制作y 个零件，则有601812121001001003y +⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭,求出需要制作的零件总数，然后再计算满足利润条件x 的值.【详解】解：（1）设机器制造零件的质量指标值的平均数为m ；由题意得：()1667188609121047.9100m =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， ∴机器制造零件的质量指标值的平均数为7.9个.（2）一个零件成本为5元，x 的价格出售，可得式子：602100210051400100x ⎛⎫⋅-÷⨯≥ ⎪⎝⎭，解得：9x ≥， ∴x 的最小值为9；（3）依题意得，准合格品加工后有13能合格，用于销售， 设为满足该订单需制作y 个零件，则有601812121001001003y +⎛⎫+⨯=⎪⎝⎭， 解得3000y =，故要使获利达到1400元，需要3210052140010x y y ⋅-⋅-⋅⋅≥， 解得263x ≥， ∴x 的最小值为8.67.【点睛】考查利用样本估计总体，考查利用样本平均数估计总体平均数，属于中档题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中,曲线221C :x y 1+=经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩后得到曲线2C .以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C 的极坐标方程为ρ2sin θ=-. (1)求曲线23C ,C 的参数方程;(2)若P,Q 分别是曲线23C ,C 上的动点,求PQ 的最大值.【答案】（1）2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，cos 1sin x y ββ=⎧⎨=-+⎩（2【解析】(1)曲线221:1C x y +=经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩,可得曲线2C 的方程为2214x y +=,∴其参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数);曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-,即22sin ρρθ=-,∴曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-,即()2211x y ++=,∴其参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=-+⎩为参数). (2)设()2cos ,sin P αα,则P 到曲线3C 的圆心()0,1-的距离d ===,∵[]sin 1,1α∈-,∴当1sin 3α=时,max d =.∴max max1PQ d r =+=+=. 选修4-5：不等式选讲23.已知3a b c ++=，且a 、b 、c 都是正数. （1）求证：2223a b c ++≥； （2）求证：11132a b b c c a ++>+++. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)将3a b c ++=两边平方，在由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，可证.(2)由111111=6a b b c a c a b b c a c a b b c a c +++++⎛⎫++++⨯ ⎪++++++⎝⎭可证. 【详解】（1）证明：由已知得()239a b c a b c ++=⇒++=，2222229a b c ab ac bc ⇒+++++=，又222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，∴()()22222a b c ab bc ac ++≥++，∴()22222229a b c a b c +++++≥， ∴2223a b c ++≥.（2）证明：由已知得3a b c ++=， ∴()11116a b b c a c a b b c a c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭11116a ba b b c b c a c a c b c a c a b a c c b b c ++++++⎛⎫=++++++++ ⎪++++++⎝⎭(1131119662≥+++=⨯=.【点睛】本题考查利用重要不等式证明不等式，属于中档题.。

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2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷（十三）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－3，3] B ．[－1，3] C ．∅ D ．(－1，3]答案 B解析 因为集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{x |y ＝3－x 2}＝{x |－3≤x ≤3}，则M ∩N ＝[－1，3]．2．设命题p ：∃x ∈Q,2x －ln x <2，则綈p 为( ) A ．∃x ∈Q,2x －ln x ≥2 B ．∀x ∈Q,2x －ln x <2 C ．∀x ∈Q,2x －ln x ≥2 D ．∀x ∈Q,2x －ln x ＝2 答案 C解析 綈p 为∀x ∈Q,2x －ln x ≥2.3．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．13B ．3C ．－13D ．－3答案 A解析 设f (x )＝x α(α为常数)， ∵满足f (4)f (2)＝3，∴4α2α＝3，∴α＝log 23.∴f (x )＝x log 23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log23＝13.4．已知下列四个命题：①存在a ∈R ，使得z ＝(1－i)(a ＋i)为纯虚数；②对于任意的z ∈C ，均有z ＋z －∈R ，z ·z －∈R ；③对于复数z 1，z 2，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2；④对于复数z ，若|z |＝1，则z ＋1z ∈R .其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，若z 为纯虚数，则a ＋1＝0,1－a ≠0，得a ＝－1，故①正确；②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，那么z ＋z －＝2a ∈R ，z ·z －＝a 2＋b 2∈R ，故②正确；③令z 1＝3＋i ，z 2＝－2＋i ，满足z 1－z 2>0，但不满足z 1>z 2，故③不正确； ④设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 不同时为0，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，则z ＋1z ＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b i a 2＋b 2＝2a ∈R ，故④正确．5．(2019·安徽江淮十校第一次联考)勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的．其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图所示，现要在勒洛三角形中随机取一点，则此点在正三角形ABC 内的概率为( )A ．2π－332(π－3)B ．32(π－3)C ．32(π＋3)D ．2π－332(π＋3)答案 B解析 可令BC ＝2，则以B 为圆心的扇形面积S 扇形ABC ＝π×226＝2π3，△ABC 的面积S △ABC ＝12×2×2×32＝3，由题图可知，勒洛三角形的面积为3个扇形ABC 的面积减去2个正三角形ABC 的面积，即2π3×3－23＝2π－23，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点在正三角形ABC 内的概率是32π－23＝32(π－3)，故选B.6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( )A ．3B ．9C ．10D ．13答案 C解析 因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，设等比数列{a n }的公比为q ，则6a 4＝a 4q 2－a 4q ，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2,0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，则椭圆的标准方程为( )A ．y 28＋x 24＝1 B ．x 28＋y 24＝1 C ．y 216＋x 212＝1 D ．x 216＋y 212＝1答案 B解析 由左焦点为F 1(－2,0)，可得c ＝2，即a 2－b 2＝4， 过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x ＋2)， 圆心(0,0)到直线的距离d ＝233＋9＝1， 由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ， 可得2b 2－1＝3b ，解得b ＝2，a ＝22， 则椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.8．(2019·北京东城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，C (－1,0)，若∠BOC ＝π6，则cos(β－α)的值是( )A ．3－4310B ．3＋4310C ．4－3310D ．4＋3310答案 C解析 依题意，得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－32，sin β＝12，所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－32×35＋12×45＝4－3310.故选C.9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n＝()A．50 B．53C．59 D．62答案 B解析模拟程序运行，变量n值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n＝53.10．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50 B．0C．2 D．50答案 C解析因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2.选C.11．已知数列{a n}，定义数列{a n＋1－2a n}为数列{a n}的“2倍差数列”，若{a n}的“2倍差数列”的通项公式为a n－2a n＝2n＋1，且a1＝2，若数列{a n}的前n项＋1和为S n，则S33＝()A．238＋1 B．239＋2C．238＋2 D．239答案 B解析 根据题意，得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2， ∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差d ＝1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n ， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， ∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1， ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1＝－2＋(1－n )2n ＋1， ∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.12．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A ．334B ．233C ．324D ．32答案 A解析 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与线AA 1，A 1B 1，A 1D 1所成的角是相等的，所以平面AB 1D 1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C 1BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB 1D 1与C 1BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，边长为22，所以其面积为S ＝6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334.故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．答案 660解析 根据题意，设高三年级抽取x 人， 则高一抽取(180－x －65)人，由题意可得2(180－x －65)＝x ＋65，解得x ＝55. 高一学生有720人， 则高三年级学生人数为720×55180－65－55＝660.14．(2019·江苏南通高三模拟)已知实数x ，y 满足(x ＋y －2)(x －2y ＋3)≥0，则x 2＋y 2的最小值为________．答案 95解析 由(x ＋y －2)(x －2y ＋3)≥0， 得⎩⎨⎧ x ＋y －2≥0，x －2y ＋3≥0 或⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋3≤0，不等式组表示的平面区域如图所示，x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，又原点到x ＋y －2＝0的距离为d ＝|0＋0－2|2＝2，原点到x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|0－2×0＋3|5＝35＝355， 所以x 2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫3552＝95. 15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，且a ＋b ＝7，则该双曲线的离心率为________．答案 54解析 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，∵PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9， ∴12mn ＝9，即mn ＝18，∵在Rt △PF 1F 2中，根据勾股定理，得m 2＋n 2＝4c 2， ∴(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝4c 2－36， 结合双曲线的定义，得(m －n )2＝4a 2，∴4c 2－36＝4a 2，化简整理，得c 2－a 2＝9，即b 2＝9， 可得b ＝3.结合a ＋b ＝7得a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝5， ∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.16．(2019·北京东城综合练习一)设函数f (x )＝⎩⎨⎧e x－2x ，x <a ，ax －1，x ≥a .若a ＝1，则f (x )的最小值为________；若f (x )有最小值，则实数a 的取值范围是________．答案 0 [0，＋∞)解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －2x ，x <1，f ′(x )＝e x －2，由f ′(x )>0，得ln 2<x <1，由f ′(x )<0，得x <ln 2，故f (x )min ＝f (ln 2)＝2－2ln 2；当f (x )＝x －1(x ≥1)，f (x )单调递增，故f (x )min ＝f (1)＝0，又2－2ln 2>0，所以f (x )的最小值为0.(2)①当a <0时，由(1)知f (x )＝e x －2x ，x <a 单调递减，故f (x )>f (a )；f (x )＝ax －1(x ≥a )单调递减，故f (x )≤f (a )，故f (x )无最小值，舍去．②当a ＝0时，f (x )最小值为－1，成立．③当a >0时，f (x )＝ax －1(x ≥a )单调递增，故f (x )≥f (a )；对f (x )＝e x －2x ，x <a .当0<a ≤ln 2，由(1)知f (x )>f (a )，此时f (x )＝⎩⎨⎧e x－2x ，x <a ，ax －1，x ≥a ，最小值在x ＝a处取得，成立．当a >ln 2，由(1)知f (x )≥f (ln 2)，此时f (x )＝⎩⎨⎧e x－2x ，x <a ，ax －1，x ≥a ，最小值为min{f (ln2)，f (a )}，即f (x )有最小值．综上a ≥0.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值． 解 f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).4分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).5分(2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得，2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3，7分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，所以bc ＝18，9分所以cos A ＝12＝(b ＋c )2－a 22bc－1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，所以a ＝3 2.12分18．(2019·云南昆明1月诊断测试)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝BD ＝2，AB ＝22，E 是棱PC 上的一点．(1)若P A ∥平面BDE ，证明：PE ＝EC ；(2)在(1)的条件下，棱PB 上是否存在点M ，使直线DM 与平面BDE 所成角的大小为30°？若存在，求PM ∶MB 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：连接AC 交BD 于点F ，连接EF ，则EF 是平面P AC 与平面BDE 的交线．因为P A ∥平面BDE ，P A ⊂平面P AC ，所以P A ∥EF .又因为F 是AC 的中点，所以E 是PC 的中点．所以PE ＝EC .4分(2)由已知条件可知AD 2＋BD 2＝AB 2，所以AD ⊥BD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,2)，C (－2,2,0)，E (－1,1,1)，DE→＝(－1,1,1)，DB →＝(0,2,0)． 假设在棱PB 上存在点M ，设PM→＝λPB →(0≤λ≤1)，得M (0,2λ，2－2λ)，DM→＝(0,2λ，2－2λ)．记平面BDE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DE →＝0，n 1·DB →＝0，即⎩⎨⎧－x 1＋y 1＋z 1＝0，y 1＝0，取z 1＝1，则x 1＝1， 所以n 1＝(1,0,1).8分要使直线DM 与平面BDE 所成角的大小为30°，则|DM →·n 1||DM →||n 1|＝sin30°， 即|1×0＋0×2λ＋1×(2－2λ)|12＋02＋12·02＋(2λ)2＋(2－2λ)2＝12，解得λ＝12∈[0,1]．所以在棱PB 上存在点M 使直线DM 与平面BDE 所成角的大小为30°.即PM ∶MB ＝1∶1.12分19．(2019·湖南师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(23，－3)，右焦点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ，使得QM →·QN→＝－13516恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)因为椭圆C 过点(23，－3)，所以12a 2＋3b 2＝1，又抛物线的焦点为(2,0)，则c ＝2，所以12a 2＋3a 2－4＝1，解得a 2＝3(舍去)或a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.4分 (2)假设在x 轴上存在定点Q (m,0)， 使得QM →·QN→＝－13516. ①当直线l 的斜率不存在时，则M (2,3)，N (2，－3)，QM →＝(2－m,3)，QN →＝(2－m ，－3)，由QM →·QN→＝(2－m )2－9＝－13516， 解得m ＝54或m ＝114；②当直线l 的斜率为0时，则M (－4,0)，N (4,0)，QM →＝(－4－m,0)，QN →＝(4－m,0)，由QM →·QN→＝m 2－16＝－13516， 解得m ＝－114或m ＝114.由①②可得m ＝114，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫114，0.7分下面证明：当m ＝114时，QM →·QN→＝－13516恒成立．当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立．当直线l 的斜率存在且不为0时，设方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线与椭圆联立得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16(k 2－3)＝0，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且x 1＋x 2＝16k 24k 2＋3，x 1x 2＝16(k 2－3)4k 2＋3.y 1y 2＝k (x 1－2)·k (x 2－2)＝k 2x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2，8分所以QM →·QN→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－114，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－114，y 2 ＝x 1x 2－114(x 1＋x 2)＋12116＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2－⎝⎛⎭⎪⎫2k 2＋114(x 1＋x 2)＋12116＋4k 2＝(1＋k 2)16(k 2－3)4k 2＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋11416k 24k 2＋3＋12116＋4k 2 ＝－13516恒成立．综上所述，在x 轴上存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫114，0，使得QM →·QN→＝－13516恒成立.12分20．(2019·福建龙岩5月月考)(本小题满分12分)国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元，国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”，有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p (0<p <1)，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立．(1)记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f (p )，求f (p )；(2)若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其他费用总计为100万元．现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由．解 (1)因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 23p 2(1－p )＋C 33p 3，一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 13p (1－p )2[1－(1－p )2]，2分所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f (p )＝C 23p 2(1－p )＋C 33p 3＋C 13p (1－p )2[1－(1－p )2]＝3p 2(1－p )＋p 3＋3p (1－p )2[1－(1－p )2]＝－3p5＋12p 4－17p 3＋9p 2.4分(2)设每篇学位论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900,1500.P (X ＝1500)＝C 13p (1－p )2， P (X ＝900)＝1－C 13p (1－p )2，所以E (X )＝900×[1－C 13p (1－p )2]＋1500×C 13p (1－p )2＝900＋1800p (1－p )2.7分令g (p )＝p (1－p )2，p ∈(0,1)，g ′(p )＝(1－p )2－2p (1－p )＝(3p －1)(p －1)． 当p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，g ′(p )>0，g (p )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，当p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，g ′(p )<0，g (p )在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，所以g (p )的最大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427.10分所以实施此方案，最高费用为100＋6000×⎝ ⎛⎭⎪⎫900＋1800×427×10－4＝800(万元)．综上，若以此方案实施，不会超过预算.12分21．(2019·陕西榆林二模)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x ln x.(1)若函数g(x)＝f(x)x2－1x，求g(x)的极值；(2)证明：f(x)＋1<e x－x2.(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，e 32≈4.48，e2≈7.39)解(1)因为g(x)＝f(x)x2－1x＝ln xx－1x(x>0)，所以g′(x)＝2－ln xx2，当x∈(0，e2)，g′(x)>0，当x∈(e2，＋∞)，g′(x)<0，∴g(x)在(0，e2)上单调递增，在(e2，＋∞)上单调递减，∴g(x)在x＝e2取得极大值，极大值为1e2，无极小值.4分(2)证明：要证f(x)＋1＜e x－x2.即证e x－x2－x ln x－1＞0，先证明ln x≤x－1，5分取h(x)＝ln x－x＋1，则h′(x)＝1－xx，易知h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(1)＝0，即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”，故x ln x≤x(x－1)，e x－x2－x ln x－1≥e x－2x2＋x－1，故只需证明当x＞0时，e x－2x2＋x－1＞0恒成立，7分令k(x)＝e x－2x2＋x－1(x≥0)，则k′(x)＝e x－4x＋1，令F(x)＝k′(x)，则F′(x)＝e x－4，令F′(x)＝0，解得x＝2ln 2，因为F′(x)单调递增，故x∈[0,2ln 2]时，F′(x)≤0，F(x)单调递减，即k′(x)单调递减，x∈(2ln 2，＋∞)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，即k′(x)单调递增，且k′(2ln 2)＝5－8ln 2＜0，k′(0)＝2＞0，k′(2)＝e2－8＋1＞0，由零点存在定理，可知∃x1∈(0,2ln 2)，∃x2∈(2ln 2，2)，使得k′(x1)＝k′(x2)＝0，故0＜x＜x1或x＞x2时，k′(x)＞0，k(x)单调递增，当x 1＜x ＜x 2时，k ′(x )＜0，k (x )单调递减，故k (x )的最小值是k (0)＝0或k (x 2)，由k ′(x 2)＝0，得e x 2 ＝4x 2－1，10分k (x 2)＝e x 2 －2x 22＋x 2－1＝－(x 2－2)(2x 2－1)，因为x 2∈(2ln 2,2)，所以k (x 2)＞0，故x ＞0时，k (x )＞0，即e x －x 2－x ln x －1>0，所以原不等式成立.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(2019·福建省师大附中模拟)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 由OP →＝aOM →，得⎩⎨⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x a ，y 0＝ya .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa ＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎨⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)， 消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a,0)为圆心，以2a 为半径的圆.5分 (2)解法一：A 点的直角坐标为(1，3)，∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0， 设B 点的坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)， 则B 点到直线3x －y ＝0的距离 d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3， ∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23， ∴a ＝2.10分解法二：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得， ρ＝4a cos θ，令θ＝α得ρ＝4a cos α， ∴B (4a cos α，α)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝4a cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin2α－3cos2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3.∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ， 依题意，有(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分23．(2019·上饶三模)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值范围．解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎨⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4.解得x ≤0或x ≥43，∴所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43.5分(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1，有3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4， 故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立，即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94， 而k >－1，故－1<k ≤94. ∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94.10分。

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