2021年新高考数学一轮复习单元检测试卷：第六单元 立体几何初步(A卷过关检测)(解析版)

『高考一轮复习精品』『单元检测试卷AB双卷』
第六单元 立体几何初步
A 卷 基础过关检查
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.【2020嘉祥县第一中学月考】在如图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点,则异面直线AC 和MN 所成的角为( )
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
【答案】C
【解析】连接1111,,AC BC A B 如下图所示，由于,M N 分别是棱BC 和棱1CC 的中点，故1//MN BC ，根据正方体的性质可知11//AC A C ，所以11AC B ∠是异面直线,AC MN 所成的角，而三角形11A BC 为等边三角形，故1160A C B ∠=. 故选C.
2. 【2020宁阳县第四中学期末】对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：
623OP OA OB OC =++，则（ ）
A ．四点O ，A ，
B ，
C 必共面
B ．四点P ，A ，B ，
C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面
D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面 【答案】B
【解析】由已知得111
632
OP OA OB OC =++， 而
111
1632
++=， ∴四点P 、A 、B 、C 共面．
故选B ．
3. 【2019山东高考】在空间中，已知l ，m ，n 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A ．若l α
β=，m α，m β⊥，则αβ⊥ B ．若m α，n β，αβ∥，则m n
C ．若m α⊥，n β，αβ⊥，则m n ⊥
D ．若m αβ=，m γ⊥，n m ⊥，则∥γn
【答案】A
【解析】对于A 选项，因为m α，m β⊥，根据面面平行的判定定理，即可得出αβ⊥；A 正确；
对于B 选项，若m α，n β，αβ∥，则m n 或m
n 、异面；B 错误； 对于C 选项，若m α⊥，αβ⊥，则m β或m β⊂，又n β，所以m n 或m
n 、异面或m n 、相交；C 错误； 对于D 选项，若m αβ=，m γ⊥，n m ⊥，则∥γn 或γ⊂n ；D 错误.
故选A
4. 【2019山东泰安高三一模（理）】直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )
A ．
1
10
B ．
25
C ．
10
D ．
2
【答案】C
【解析】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为z 轴，则设CA=CB=1，则 (0,1,0)B ，11
(,,1)22M ，A （1，0，0），1(,0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-
，1
(,0,1)2
AN =-，所以
cos ,BM AN BM
AN BM AN
⋅〈〉=
=
⋅3465=
⋅30， 故选C.
5.【2020山东高考真题】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）
A ．20°
B ．40°
C ．50°
D ．90°
【答案】B
【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，
所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故选B
6. 【2020山东枣庄八中考试】在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱B 1B 、B 1C 中点，点G 是棱CC 1的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为（ ）
A ．矩形
B ．三角形
C ．正方形
D ．等腰梯形
【答案】D
【解析】取BC 的中点H ，如图连接AH 、GH 、1D G 、1AD ，由题意得：//GH EF ，1//AH A F ，
GH 不在平面1A EF 内，EF ⊆平面1A EF 内，∴||GH 平面1A EF .
AH 不在平面1A EF 内，1A F ⊆平面1A EF 内，∴||AH 平面1A EF .
GH
AH H =，,GH AH
⊆平面1AHGD ，
∴平面1//AHGD 平面1A EF ，
过线段AG 且平行于平面AEF 的截面图形为等腰梯形1AHGD ． 故选D ．
7. 【2020全国高三课时练习（理）】已知正四棱锥P －ABCD 内接于一个半径为R 的球，则正四棱锥P －ABCD 体积的最大值是（ ）
A ．316R 81
B ．332R 81
C ．364R 81
D ．R 3
【答案】C
【解析】如图，记O 为正四棱锥P －ABCD 外接球的球心，O 1为底面ABCD 的中心，则P ，O ，O 1三点共线，连接PO 1，OA ，O 1A.
设OO 1＝x ，则O 1A 22R x -，AB 2·22R x -，PO 1＝R ＋x ，所以正四棱锥P －ABCD 的体积:(
)()()()()2
22
11112223
3
3
V AB PO R x
R x R x R x R x ⨯⨯⨯＝＝－＋＝－＋＋ ()()()3
3
2-2++++1643381R x R x R x R ⎡⎤≤=
⎢⎥⎣⎦
， 当且仅当22R x R x -=+，即3
R
x =时取等号.
所以正四棱锥P －ABCD 的体积的最大值为
3
6481
R . 故选C.
8.【2019诸城市教育科学研究院】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，E 、F 、
G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的正弦值是( )
A. 1 B ．
105
C ．
22
D ．0
【答案】A 【解析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点， ∴A 1（1，0，2），E （0，0，1），G （0，2，1），F （1，1，0），。