浙江省余姚中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1．已知椭圆=1与x轴交于A、B两点，P为椭圆上一动点（不与A、B重合），则k PA•k PB=（）

A．B．﹣C．D．﹣

2．下列命题一定正确的是（）

A．三点确定一个平面

B．依次首尾相接的四条线段必共面

C．直线与直线外一点确定一个平面

D．两条直线确定一个平面

3．边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）

A．B．1C．D．8

4．设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）

A．充分必要条件B．必要而不充分条件

C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件

5．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）

A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）

6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β

C．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n

7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）

A．①②B．③④C．②③D．①③

8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）

A．MC⊥AN B．GB∥平面AMN

C．面CMN⊥面AMN D．面DCM∥面ABN

9．已知A，B，C是椭圆+=1（a＞b＞0）上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆右焦点F，若BF⊥AC，且|BF|=4|CF|，则椭圆的离心率是（）

A．B．C．D．

10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点Q为对角面A1BCD1内一动点，点M、N分别在直线AD和AC 上自由滑动，直线DQ与MN所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（）

A．若θ=15°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分

B．若θ=30°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分

C．若θ=45°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分

D．若θ=60°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11．（6分）已知原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式，它是（填写”真命题”或”假命题”）．

12．（6分）某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于；表面积等于．

13．（6分）已知椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为；若F为C的右焦点，B为C的上顶点，P为C上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值为．

14．（6分）已知椭圆C：=1与动直线l：y=x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为．

15．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、

A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．

16．已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，

设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是．

17．已知a＞0，b∈R，当x＞0时，关于x的不等式（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0恒成立，则b+的最小值是．

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知：条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义；条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0

（1）若命题￢p为真，求实数t的取值范围；

（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，

（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；

（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；

（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．

20．（14分）设椭圆方程=1（a＞b＞0），F1，F2是椭圆的左右焦点，以F1，F2及椭圆短轴的

一个端点为顶点的三角形是面积为的正三角形．

（I）求椭圆方程；

（II）过F1，F2分别作直线l1，l2，且l1⊥l2，设l1与椭圆交于A，C两点，l2与椭圆交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．

21．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G是△ABC重心，E是线段PC上一点，且CE=λCP．

（1）当EG∥平面PAB时，求λ的值；

（2）当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为时，求λ的值．

22．（16分）如图，已知椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；

（2）若过点P（，1）作圆C：（x﹣）2+y2=r2（0）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．

2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1．已知椭圆=1与x轴交于A、B两点，P为椭圆上一动点（不与A、B重合），则k PA•k PB=（）

A．B．﹣C．D．﹣

【分析】选取P为上顶点，然后求解即可．

【解答】解：由题意，本题是选择题，选项是常数，所以，选取P为上顶点（0，），

则A（﹣，0），B（，0），

所以k PA•k PB==﹣．

故选：D．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，选择题的解法的应用，可以直接求解，间接求解快速得到结果．

2．下列命题一定正确的是（）

A．三点确定一个平面

B．依次首尾相接的四条线段必共面

C．直线与直线外一点确定一个平面

D．两条直线确定一个平面

【分析】根据确定一个平面的条件，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．

【解答】解：对于A，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴A错误；

对于B，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，∴B错误；

对于C，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，

直线与直线外一点确定一个平面，C正确；

对于D，两条相交或平行直线确定一个平面，

两条异面直线不能确定一个平面，∴D错误．

故选：C．

【点评】本题考查了确定平面的条件与应用问题，是基础题．

3．边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）