基于抢渡长江问题的数学思考
数学建模：抢渡长江
抢渡长江摘要：渡河问题在实际生活中十分常见，怎样选择渡河方向以及怎样更多的节省时间，同时又能抵达目的地，那么渡河速度（大小方向）的选择是十分关键的，在此又由于诸多因素的影响（河流的水流速度，运动员体能，风向，水温等）致使要求我们作出合理的规划。
本文通过适当的假设，从不同层次作了多方面分析，排除了一些偶然因素的影响，把游泳者抵达目的地的最小时间作为目标，通过简化的数学模型进行求解抢渡长江这一问题。
主要运用三角函数、运动的等时性、速度的合成与分解、线性关系、解三角形知识、积分知识以及借助MATHEMATICA数学软件进行求解。
最后，我们对模型的优缺点进行了分析，并给出了抢渡长江的推广和运用。
关键词：抢渡长江运动等时性线性关系三角函数 MATHEMATICA 积分求解数学模型问题重述：“渡江”是武汉城市的一张名片。
早从1934年，武汉市就曾举行大型渡江比赛，随后好几年都一直延续这个比赛。
由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。
现就如何根据自身情况最大效率地渡过河建成一个数学模型。
假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000 米，见示意图。
通过数学建模来分析上述情况并回答：1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大 小和方向不变，且竞渡区域每 点的流速 均为 1.89米/秒。
试说明2002 年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。
如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度 能保持在1.5 米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。
2、在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据数学模型说明为什么 1934 年 和2002 年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。
3、若流速沿离岸边距离的分布为 ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<≤≤=米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(y y y y v(设从武昌汉阳门垂直向上为 y 正向) ：游泳者的速度大小（1.5 米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。
抢渡长江的数学模型_数学建模论文
抢渡长江的数学模型摘 要本文就竞渡策略问题建立了竞渡路线优化模型.模型一根据问题一给出的条件为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择了游泳方向，并算出了他的成绩为15分10秒，游泳方向为和正河岸成︒86.121，并且求出了冠军的速度大小为1.54米/秒，和正河岸的夹角为︒46.117。
然后分析了1934年和2002年能到达终点的人数的百分比差别之大的原因，并给出了能够成功到达终点的选手的条件，其中2002年达到终点的选手的最小速度为1.43米/秒。
在对随后问题的分析过程中，我们提出了依据水速的变化来变竞渡者速度的方向的思路， 然后基于此思路建立了模型二，模型三，在保证能到达终点的前提条件下，提出了竞渡策略,使得到达终点的时间最短。
而模型四又提出了一种比较理想化的竞渡策略，即依据水速的变化随时变换人的速度方向，并根据所得的结果提出了一个较合理的水速分布函数，而根据实际情况分析了水速的另一个更为合理的分布函数，建立了改进后的模型五。
利用LINGO 和MATHMATIC 数学软件较好地解决了问题，得到了问题优化解，提出了竞渡策略。
在模型二中，求出三个不同区域的速度方向分别为︒︒︒===11.126,09.118,11.126321ααα最小时间s T 0228.904min =，并画出最优路线如图3。
在模型三中，也求出了三个不同区域的速度方向分别为︒︒︒===26.127,59.114,26.127321ααα，最小时间秒4776.892min =T ，也绘出最优路线如图4所示）。
在模型四中，求得最小时间为885.747秒。
在最后又将本文所建立的模型做了一些推广，它们可以应用到航空,航天和航海等。
一、问题提出中国第一大江——长江万里奔腾龙跃武汉，引出了一道亮丽的风景“渡江大赛”。
在看似简单的渡江大赛中玄机不断，奥妙百出。
玄机一：同一条江为何在1934年的横渡长江游泳竞赛活动中，44人参加就有40人到达终点，而在2002年的“武汉抢渡长江挑战赛”中186名选手（其中专业人员近一半），仅34人到达终点，相差如此悬殊，其中奥秘耐人寻味。
渡河问题的数学模型解决方法
渡河问题的数学模型解决方法内容摘要：本文通过对1934年和2002年两次武汉抢渡长江挑战赛的资料分析，对在抢渡过程中涉及到的水流速度，人的游泳速度、方向和起终点路程的关系等因素建立了数学模型，并以此进行了几个问题的研究。
分析两次比赛路线的不同对选手到达终点成功率的影响，阐述了两次的成功人数百分比有很大差异的原因。
然后考虑诸多因素的复杂变化，包括水流速度的分段或线性变化等，对模型进一步优化，找出人的游速的大小和方向与水流的关系，并提出几种可行性方案。
最后将模型应用到实际问题中，通过对诸如空投、宇宙飞船对接等涉及到多个速度和位移关系的设想，将模型进一步验证和推广。
通过数学模型及相关数据，可算得：①2002年第一名的游泳路线为从起点到终点的直线路程，游泳速度的大小为v=1.54m/s ，方向为与平行河岸上游方向夹角︒6.62；一个游泳速度为1.5m/s 的人应选择的方向为与平行河岸上游方向夹角︒2.58，他的成绩大约为s 4.910；②如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则他们无法到达终点。
由于1934年和2002年两次比赛在水平方向（即水流方向）上路程的差异，计算出1934年选手的理论成功概率为81.1%，实际概率为90.9%；2002年的理论成功概率为19.3%，实际概率为18.3%，从而说明了为何两次比赛能到达终点人数的百分比有如此大的差异。
最后得出能够成功到达终点的选手的条件为θθsin cos 0⋅≥⋅-v d v v s ③当水流速度沿离岸边距离分段变化时，游泳速度为 1.5m/s 的选手应选择的方向是与平行河岸上游方向夹角︒2.58 ，路线为从起点到终点的直线距离，预计时间为784.5s ④当水流速度沿离岸边距离呈线性变化时，人的游泳方向从垂直河岸开始逐渐向θ减小方向偏离，中间一段水流速度恒定是θ也恒定，最后一段θ逐渐增大，当到达对岸时︒90恰为 θ。
由此可最终求总共经历时间约为 810s一．基本模型建立设水速为v 0，垂直于岸边的距离为d,平行于岸边的位移为s ，人的速度为v,出发方向与河岸平行方向夹角为θ，整个运动时间为t ，起点至终点的直线距离为l ，如图所示：若人要恰好从起点到达终点，则有： θθsin cos 0⋅==⋅-v d t v v s 二．模型假设1．不考虑温度（气温、水温）及水中除水速外其他因素对选手速度的影响；2．由于在实际情况中，风力对人的影响比对水的影响要小得多，而风对水的影响在水速中已经体现，因此不考虑风力对人的直接影响；3．假设1934年和2002年两次比赛具有相同的外界条件，即具有相同的水流速度；4．开始人以某一初速度沿固定方向向对岸游，则只要满足人刚到达对岸的地点在终点的上游，就可以认为此人能够到达终点；5．θ的范围是]180,0[︒，在开始时所有选手向各个方向起跳的机率相同。
抢渡长江
800
1000
1200
2 2
关于问题三
全局最优一定是局部最优，或数值寻优。
A
B
C
o
必须游过200米处的C点，记C（x,200） 根据对称性得 B（500,580）
v1Toc uToc cos c x Toc u sin c 200
(v u )T 2v1xToc ( x 40000) 0
咀，江面宽约 1160米。当日的平均水
温16.8℃，江水的平均流速为1.89米/
秒。参赛的国内外选手共186人 ，仅
34人到达终点，第一名的成绩为14分 8秒。
问题简化：
假设在竞渡区域两岸为平行直线, 两岸的 垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对 岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见下图。 请借助数学模型解决如下问题：
即
u(sec sec 0 ) v v0 0
v sec sec 0 0 u v sec sec 0 u
引理是这个结论的特例
记
sec1 sec (200) sec 0 1.52
380(u cos1 v(200)) x 500 u sin 1
游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变， 试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。
问题四
2.28 y ， 0 y 200 m 200 v( y ) 2.28， 200 y 960 m 2.28 (1160 y )， 960 y 1160m 200
2
对微分方程改变形式
dy u sin dt dy d 2 2 d dt u sec sin sec u sin ku sin k
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)D题(抢渡长江)参考答案
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)D题(抢渡长江)参考答案参考答案2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)D题(抢渡长江)参考答案本题考查的是大学生数学建模竞赛中的抢渡长江问题。
该问题描述了在抢渡长江时，船只的数量和速度等参数，要求求解最短的渡河时间。
本文将针对该问题进行详细的分析和解答。
问题描述：抢渡长江问题中，有n艘船需要运送k辆汽车和m名乘客，航速分为上行速度和下行速度，求解最短的渡河时间。
解题思路：1. 确定问题的数学模型。
2. 利用已知条件和问题要求，建立数学模型。
3. 分析模型并求解。
数学模型：设n艘船分别为船1、船2、...、船n，上行速度分别为a1、a2、...、an，下行速度分别为b1、b2、...、bn，每艘船的运力分别为ci（载重量或人数）。
k辆汽车的载重量分别为w1、w2、...、wk，m名乘客的人数分别为p1、p2、...、pm。
设渡河的最短时间为T。
建立模型求解：首先，考虑乘客和汽车分开运输的情况。
由于每艘船的运力不同，可以将n艘船进行组合，使每组船的总运力等于或略大于汽车和乘客的总重量。
然后计算每组船来回渡河的总时间，最后选择时间最短的组合作为答案。
具体步骤如下：Step 1:将m名乘客和k辆汽车分别按照降序排列。
Step 2:遍历所有可能的船的组合方式。
每种组合方式都计算来回渡河的总时间。
Step 3:选择时间最短的组合方式作为答案。
实例分析：假设有5艘船，船的速度分别为[15, 20, 22, 25, 30]，每艘船的运力分别为[50, 60, 70, 80, 90]，有3辆汽车，汽车的载重量依次为[25, 35, 45]，有5名乘客，乘客的人数依次为[50, 45, 40, 35, 30]。
Step 1:乘客和汽车按照降序排列得到：[50, 45, 40, 35, 30]和[45, 35, 25]。
Step 2:遍历所有可能的船的组合方式：船1, 船2运送乘客和汽车，船3运送乘客和汽车，船4运送乘客，船5运送乘客和汽车。
江河竞渡的优化模型
抢渡长江“渡江”是武汉城市的一张名片。
1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。
有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。
2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。
2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。
由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。
2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。
据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。
参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。
除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。
假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。
请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题:1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。
试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。
如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。
2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。
3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y 轴正向) ： 1160m长江水流方向 终点: 汉阳南岸咀 起点: 武昌汉阳门⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<≤≤=米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(y y y y v游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。
抢渡长江问题 第二次作业
抢渡长江问题一．问题重述2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160m．据报载，当日的平均水温16.8℃，江水的平均流速为1.89 m/s．参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14`8``除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点．假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米。
需要解决的问题：1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89 米/秒。
试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。
如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。
2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。
3. 若流速沿离岸边距离的分布为，每个区域有固定的水流速度(设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向) ，游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。
4. 若流速沿离岸边距离为连续分布，如何处理这个问题。
5. 用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。
6. 你们的模型还可能有什么其他的应用二．提出问题1．游泳者的速度大小与方向应该怎样，才能使游到终点的时间最短；2．考虑游泳者在水中水温，对气候的适应程度，个人身体素质等因素在比赛中的影响。
三．问题假设1.对于问题（1），（2）在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变；2.对于问题（1）（2）竞渡区域每点的流速均相等；3.江面宽度不变，即两岸是保持平行的；4.游泳过程中游泳者之间互不影响。
数学建模 2003年抢渡长江
抢渡长江决胜策略摘要本文解决了在抢渡长江比赛中，如何选择正确的路径使得到达终点的时间最短，同时解释了1934年和2002年成功游到终点人数的百分比相差悬殊的问题。
通过建立非线性规划模型，采用三角函数，Taylor定理和逼近法等，运用Matl ab6.5求解得到以下结果：2002年某参赛选手是以的速度沿与岸成的方向获得了第一名,当游泳者以且与水流速度成的方向行进时能取得最好成绩秒;另外，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游,则不能到达终点，1934年的游泳者速度方向与水流方向可以成锐角，而2002年同样游速的游泳者至少要以才能到达终点，因此，1934年的游泳者到达终点的人数的百分比远远超过2002年；若考虑竞渡区域中心水流速度较快，则在竞渡过程中需变换两次方向。
本模型具有广泛的实用性，可推广到航海、航天、军事等领域。
关键词非线性规划三角函数 Taylor定理逼近法问题的重述1934年9月9日，武汉举办横渡长江游泳竞赛活动，全程约5000米。
有4 4人参加横渡，40人到达终点。
2002年5月1日，“武汉国际抢渡长江挑战赛”再现江城。
当日江水的平均流速为1.89米/秒。
参赛选手共186人，仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。
由于路线选择错误，大部分选手被江水冲到下游，未能准确到达终点。
假设竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从起点的正对岸到终点的距离为 1000米。
试通过数学建模分析上述情况, 并回答以下问题：1）假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。
试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。
如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。
2）在1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？用数学模型说明为什么 1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。
简单抢渡长江
题目：抢渡长江摘要：渡河问题在实际生活中十分常见，怎样选择渡河方向以及怎样更多的节省时间，同时又能抵达目的地，那么渡河速度（大小方向）的选择是十分关键的，在此又由于诸多因素的影响（河流的水流速度，运动员体能，风向，水温等）致使要求我们作出合理的规划。
本文通过适当的假设，从不同层次作了多方面分析，排除了一些偶然因素的影响，把游泳者抵达目的地的最小时间作为目标，通过简化的数学模型进行求解抢渡长江这一问题。
主要运用三角函数、速度的合成与分解、线性关系、时间的相等性以及借助MATLAB数学软件进行求解。
最后，我们对模型的优缺点进行了分析，并给出了抢渡长江的推广和运用。
关键词：抢渡长江线性关系三角函数MATLAB 数学模型问题重述：“渡江”是武汉城市的一张名片。
1934 年9 月9 日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000 米。
有44 人参加横渡，40 人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。
2001 年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。
2002 年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5 月1 日进行。
由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。
2002 年5 月1 日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。
据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89 米/秒。
参赛的国内外选手共186 人（其中专业人员将近一半），仅34 人到达终点，第一名的成绩为14 分8 秒。
除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。
假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000 米，见示意图。
请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题:1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89米/秒。
02年第二组D题
D 题 抢渡长江摘 要本问题是根据2002年“武汉国际抢渡长江挑战赛”而提出的，由于水情、水性的不可预测性使得该赛事具有挑战性。
我们就该问题的六个小问题逐一进行了解答。
对于问题一、问题二、我们认为由于水速是确定的，而且参赛队员的速度也一定。
所以，这时参赛队员要想取得较好的成绩，只有选取起点和终点的直线作为他们的运动轨迹，才能节省时间。
故而他们所要做的只是确定一个固定的游泳角度使得人在水流的方向上抵消江水的作用，从而可以使得他们沿着既定的路线行进，对于这两个问题我们给出了具体的结果；问题三是对问题二的延伸，此时问题还是一个离散问题，只须按题目中水的速度分段解决；问题四是一个连续问题，但是由于当游泳角度一定时，人在与河岸垂直的方向上的位移是可以由θsin 人v r y =来表示，所以我们引入了矢性函数的概念用来将不同方向的位移和速度通过导数关系联系起来，同时我们认为游泳角是水流速度的函数，而水流速度却与时间t 有关，所以我们认为θ是时间t 的函数。
但是由于θ与t 的函数表达式我们没有确切的给出，只能用一个一次函数来逼近才使得问题有了较好的解决。
问题重述“渡江”是武汉城市的一张名片。
1934年9月9日，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。
有44人参加横渡，40人达到终点。
2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。
据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。
参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。
假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米。
并回答以下问题:1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。
抢渡长江
抢渡长江作者：曾科（12003113）闻永华（12003122）褚衍卫（12003128）封海波（12003319） 张昌盛（12003329）问题提出：“渡江”是武汉城市的一张名片。
1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。
有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。
2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。
2002年正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，定于每年的5月1日进行。
由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。
2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约 1160米。
当日的平均水温16.8℃，江水的平均流速为1.89米/秒。
参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。
除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江假设在竞渡区域两岸为平行直线 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见图1。
下面借助数学模型解决如下问题： （1）假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。
如果2002年第一名是按最优路径游泳的，试说明她是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。
（2）在（1）的假设前提下，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择最佳的游泳方向，并估计他的成绩。
（3）在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？并说明为什么 1934年和2002 年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。
（4）流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y 轴正向)：⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤<<≤≤米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(y y y y v (1) 游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的1160m长江水流方向终点: 汉阳南岸咀图1 起点: 武昌汉阳门成绩。
抢渡长江模型
抢渡长江模型杨明;季盛叶;刘子敬【期刊名称】《桂林航天工业学院学报》【年(卷),期】2004(009)002【摘要】本模型对抢渡长江问题的研究,根据江面水流速度的各种情况,给出了若干个抢渡长江的模型,根据问题中所提供的具体数据,利用Mathematica对数值问题解的精确性、正确性、有效性,得出在各种情况下渡过长江所需的最小时间Tmin.首先给了长江流速呈离散分布,且游泳者的速度大小不变(方向可变)的情况下从起点游到终点所需时间的模型,模型如下:MinT(d)=2×t1+t2/s.t./v2x1+v2y1=v2/v2x2+v2y2=v2/(vx1+1.47)×t1=d/( vx2+2.11)×t2=100-2×d/vy1×t1=200/vy2×t2=760/t1>0,t2>0,vx1<0,vx2<0,vy1>0,vy2>0/0<d< 500利用上述模型,在假设水流速度为问题3中所给的数据,游泳者的速度为1.5米/秒时,求得游泳者到达终点的最小时间为Tmin=904秒.其次给出了长江流速呈连续分布,且游泳者的速度大小不变(方向可变)的情况下从起点游到终点所需时间的模型,模型如下:MinT(d)=2t1+t2/s.t./d=vx1×t1+2.28vy1×t21/400/vy1×t1=200/(2.28+vx 2)×t2=1000-2d/vy2×t2=760/v2x1+v2y1=v2/v2x2+v2y2=v2/t1>0,t2>0,vx1<0,vx2<0,vy1 >0,vy2>0/0<d<500rn利用上述模型,在假设水流速度为问题4中所给的数据,游泳者的速度大小保持不变,且速度方向在各区域内保持不变,区域之间有变化时,可求得到达终点的最小时间Tmin=892.5s.最后我们还就游泳者的速度连续变化的情形,给出了一个改进的模型.【总页数】4页(P25-28)【作者】杨明;季盛叶;刘子敬【作者单位】桂林航天工业高等专科学校计算机系,计算数学与应用软件专业2001级;桂林航天工业高等专科学校计算机系,计算数学与应用软件专业2001级;桂林航天工业高等专科学校计算机系,计算数学与应用软件专业2001级【正文语种】中文【中图分类】O221.1【相关文献】1.关于抢渡长江的数学模型 [J], 邢益冰;仇科磊;陈坚;朱伟东2.抢渡长江优化模型 [J], 夏志华;李懿亮;周畅3.抢渡长江数学模型及应用 [J], 王兵4.抢渡长江的数学模型 [J], 卢天辉;周进华;柳伟;周金城;陈旭松;张兴鹤5.数学建模竞赛"抢渡长江"问题的分段模型 [J], 宣明因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
长江抢渡
抢渡长江问题的探讨摘要渡河问题在实际生活中十分常见，通过对实际问题的分析、解答，在可以抵达目的地的前提下，给出合理选择渡河方向的模型，同时可以节省时间。
由于渡河速度受诸多因素的影响（河流的水流速度，运动员体能，风向，水温等），需要忽略这些影响，作出合理的规划。
本文通过适当的假设，从不同层次作了多方面分析，排除了一些偶然因素的影响，把游泳者抵达目的地的最小时间作为目标，通过简化的数学模型进行求解抢渡长江这一问题。
主要运用速度的合成与分解、三角函数、运动的等时性、线性关系、解三角形知识、积分知识同时借助Lingo软件进行求解。
最后，对模型的优缺点进行了分析，并给出了抢渡模型的推广和运用。
关键词速度的合成与分解三角函数积分求解运动等时性线性关系Lingo软件一、 问题重述“渡江”是武汉市的一张名片。
由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。
1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，曾在武汉举办横渡长江游泳竞赛活动。
2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。
5月1日，抢渡起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。
据报载，当日平均水温16.8度，江水平均流速为1.89米/秒。
假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为1160米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，如图所示：图1通过建模来分析下述情况并回答：（1）假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89米/秒。
说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。
如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5 米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。
（2）在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据数学模型说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。
强渡长江
< yn = H , yi = yi − yi −1 (i = 1,… , n ) .
已知当 yi −1 < y < yi 时, v = v ( y ) = vi 为常数.直线 y = yi (i = 1,… n − 1) 将水域分成 n 个条形区 域.设 S 是从 O 点到 A 点的一条最优路径,直线 y = yi 与 S 的交点为 Pi (i = 1, … n) .由引理 1 可
时, u =| OM | 取最小值 u0 .设 OM 0 ⊥ DM ,因 ∆OM 0 D ∼ ∆OCA ,故
u0 =
Hv H 2 + L2
.
设 u0 < u < v ,以 O 为原心,以 u 为半径画圆弧交 DE 于 M 和 M 1 两点,这里 M 1 在 D 与 M 之间.显然,人按照 OM 方向游泳将获得最大的垂直方向的分速度,能以最少时间游到 A 点.此 时,不难求得运动偏角 φ = arctan .若人的游泳方向介于 OM 1 和 OM 方向之间 L u 他将在 A 点的上游某点处到达对岸. 由条件 H = 1160, v = 1.89 .在 2002 年,L=1000 米,于是
Fφ′ =
sin φ u cos φ
2
+λ⎜
1 ⎞ v 1 ⎞ ⎛ v sin φ ⎛ − = 0, 化简即得 csc φ − = C , ⎜ C = ⎟. ⎟ 2 2 λu ⎠ u ⎝ ⎝ u cos φ cos φ ⎠
反之,若 φ 满足上式,这里 C 由约束条件确定,则 φ 由 v = v ( y ) 确定,该曲线就是最优路径. 若 v 恒等于常数,由（3）式知 φ 恒等于常数,于是合速度 w 的方向不变,最优路径一定是 一条直线,故引理 1 是定理 2 的特殊情形. 尽管(3)式中有尚未确定的常数 C,但并不影响它在以下求解中所起的作用.如果能确定入 水时的偏角 α 0 ,则(3)式可表述成下列形式：
渡江问题
“泳”保青春摘要针对温州冬泳横渡瓯江共渡中华名族新春佳节这一传统健身表演项目，我们根据游渡路线图，瓯江水流以及游泳者的体能等特点，对游泳者渡江的游泳路线作出以下研究。
对于问题一，针对渡江过程中潮水的方向及速度改变的问题，将整个抢渡过程分为前2/3L阶段和剩余1/3L两个阶段。
根据物体运动的合成与分解的等时性与独立性，利用全程垂直距离偏移量等于80米，建立一个渡江模型。
解得游泳时间为4.44分钟和速度为1.8米/秒，根据世界游泳比赛记录中可知，400米自由泳世界纪录的极限速度为1.82米/秒，考虑到此次竞渡是冬泳，游泳者的体能有限，因此 1.8米/秒的速度不符合实际，该游泳者不能达终点。
对于问题二，针对游泳者的速度保持不变的问题，求解游泳者的最佳路线，通过建立以游完全程时间最短为目标的线性规划，求最优解，建立一个渡江模型。
利用Lingo解得游泳者在阶段一中的最佳游泳方向为北偏东8.4度，在阶段二中的最佳游泳方向为北偏西25.5度，到达终点时的时间为13.9分钟。
对于问题三，针对求解游泳者在8分02秒到达终点的一种游泳方向和速度大小的问题，我们应该考虑到游泳者消耗的体能最少。
利用以速度最小为目标线性规划，建立一个在8分02秒到达终点的渡江模型。
利用Lingo解得游泳者在第一阶段的游泳方向为=0.1130889，在阶段二中的游泳方向为=0.1626932。
最小游泳速度为1.004561米/秒。
关键词：渡江最优解 Lingo 最佳路线一问题重述“渡江”由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。
对于冬泳者来说，游渡时江水越冷越刺激，越冷越有挑战性，每年春节正月初一冬泳横渡瓯江已成为温州市的传统健身表演项目，是冬泳爱好者的年度检阅。
第27届“福达杯”横渡瓯江冬泳活动在星河广场举行，当天阴冷的天气给横渡增添了难度，据现场测定，瓯江水温为7.8摄氏度，气温约为4摄氏度。
参加抢渡的选手们无所畏惧纷纷跃入茫茫瓯江，奋力向对岸游进，此次瓯江抢渡，与标准游泳池的竞技大有不同，除了游泳技能，还需要丰富的冬泳经验、过硬的心理素质和抗寒能力，同时还受到偶然因素的影响。
以一道经典例题谈初中数学渡河问题
以一道经典例题谈初中数学渡河问题
徐峰
【期刊名称】《数理天地:初中版》
【年(卷),期】2022()8
【摘要】数学知识与生活联系十分紧密,在现实生活中很多知识也运用数学知识来求解,尤其是初中数学,与生活更贴近,求解河流的宽度问题是初中数学中十分经典的问题,本篇文章接下来将通过一道例题帮助同学们掌握求解的不同方法,拓展同学们的思维,培养同学们的知识迁移能力.
【总页数】2页(P14-15)
【作者】徐峰
【作者单位】江西省抚州市金溪县锦绣中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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终点: 汉阳南岸咀
米/秒。试说明 2002 年第一名是沿着怎样的路线
前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据
1000m
游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度
1160m
能保持在 1.5 米/秒的人选择游泳方向，并估计
长江水流方向
他的成绩。
2、在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边
垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据
的两段合并起来，并将其置于直角坐标系中讨论。
1160
960
760
2.11m/s
600
γ
400
200
γ
1.47m/ s
0
代入数据,经整理得:
ϖ b
=
(v水1
−
x1)
400
+
(v水2
−
x2)
760
y1
y2
已知： 根据模型得：
V 人=1.5m/s
1000 = 2 × (1.47 + X1) ×
2.28
(1160
−
y)，
960
≤
y
≤
1160
⎩ 200
或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。 5、用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。 6、你们的模型还可能有什么其他的应用?
三、模型假设
假设竞渡区域两岸为平行直线。 忽略风向,水温,漩涡等对游泳者的影响。 假设游泳者在比赛中没有遇到任何事故，比赛正常进行。
四、符号约定
1、合力方向与水流方向夹角为 α 2、水流的反方向方向与游泳者方向夹角 β 3、游泳者方向与水流方向夹角为 γ
V 合、V 水、V 人分别表示合速度，水流速度和游泳者的速度
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五、模型求解
（一）问题 1 求解 本问中在流动的江水中游泳者游向对面的岸边，游泳者既要沿着水流方向运动,
根据公式 1 解得：
V 合=1.68m/s
t1=912s
所以成绩为 912 秒
(二)问题 2 求解 1）关于游泳者始终以和岸边垂直的方向游的问题——归谬法
利用三角函数关系得 1160/1000=V 人/V 水 1160/1000=V 人/1.89 V 人=2.1924m/s
如果该人以 2.1924m/s 的速度游完 100 米,那么他所用的时间为 45.61 秒。但是 在 2003 年世界游泳锦标赛中，美国选手科洛克在男子 100 米蝶泳决赛中获得冠 军，还以 50 秒 98 的成绩打破了世界纪录。在男子 50 米仰泳决赛中，德国选手 鲁普拉什特以 24 秒 80 的成绩刷新了沉寂四年之久的原世界纪录 24 秒 99……。 我们可以得出世界冠军也不可能游出 45.61 秒的成绩,因此利用归谬法,就可证 明该人以垂直河岸的方向游不可能到达终点。 2）解释 1934 年 和 2002 年能游到终点的人数的百分比相差悬殊的原因
不难得出以下关系式（1 ≤ n ≤ +∞）： 别为
t1
=
aϖ1 y1
T = ∑tn
α1 = arccos vxϖ11
t2
=
aϖ2 y2
α 2 = arccos vxϖ22
tn
=
aϖn yn
α n = arccos vxϖnn
aϖ1 = t1 y1 aϖ2 = t2 y2 aϖn = tn yn
上面的模型适用于人在 n 段不同的水流速度中游泳，根据本题条件可得：
β=62.7°
则
γ=180° -β=117.3°
所以第一名以 1.54 m/s 的速度,以与水平方向成 117.3°的角的路线前进。
2)速度为 1.5m/s 的游泳者的成绩
已知:
V 水=1.89m/s V 人=1.5m/s cosα=0.6529
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(三)问题 3 的解决 本问是关于在一定约束条件下速度为 1.5m/s 的选手渡江的最好成绩、路线
的问题。
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我们先给出一个一般模型。可以看到，为了顺利到达终点，随着 vϖ水、vϖ人、之间的大小 关系：vϖ人的方向该随之变化。所以，研究时应对其进行分类讨论，为了简便过程， 我们想到了将其放入直角坐标系中，并分别设 vϖ人的坐标为（x, y）,vϖ水的坐标为（m,0）, 如图所示：
dx = x1 = − a
x2 1
+
y2 1
+
x1
dy y1
by
y1
从而求出游泳者轨迹的方程。
最后我们结合模型，用清晰明了的语言给有意参加竞渡的爱好者提供了战术上的
建议，并对模型进行了推广。
基于抢渡长江问题的数学思考
一、问题重述
“渡江”是武汉城市的一张名片。1934 年 9 月 9 日，武汉警备旅官兵与体育界 人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头， 终点设在汉口三北码头，全程约 5000 米。有 44 人参加横渡，40 人达到终点， 张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。 2001 年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002 年，正式命名为“武汉国际抢 渡长江挑战赛”，于每年的 5 月 1 日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种 竞赛更富有挑战性和观赏性。
t1=14×60+8=848s
V 合=AB/t1=1531.535178/848≈1.81 m/s cosα=BC/AB=1000/1531.535178/848≈0.6529
由以上得出
查表可得
V 人≈1.54 m/s cosβ= (V 人 2+V 水 2- V 合 2)/2 V 人 V 水≈0.459
m1=1.47m/s
a1=400
m2=2.11m/s
a2=760
根据题意作图
d
1.47m/s c
200m 2.11m/s
760m
b
1.47m/s a
200m
由图可知 a—b 和 c—d 的情况是一样的，为了简化计算，我们把水速为 1.47m/s
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假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉
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阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000 米，见示意图。
请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题:
1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大 小和方 向不变，且竞渡区域每 点的流速 均为 1.89
在这一问中，根据勾股定理 AB2 =BC2+AC2 求出 AB
则：
V 合=AB/t1
cosα=BC/AB
由以上得出 V 人
cosβ= (V 人 2+V 水 2- V 合 2)/2 V 人 V 水
查表可得β，则γ=1800-β
1 ）第一名游泳速度的大小和方向。 AC=1160m
BC=1000m
则：
V 水=1.89m/s AB=1531.535178 m
又要向着自身的方向运动,并最终抵达对面岸边的目的地，所以游泳者的实际运
动状态是上述两个运动的合运动。合运动的位移速度等于两个分运动的位移速度
矢量和。
图如下：
C
终点 B
1000m
1160m
V合
V人
γα β
V水
A 起点
根据勾股定理
V 人 2=V 合 2+V 水 2
由以上分析并根据余弦定理得：
V 人 2=V 水 2+ V 合 2-2V 水 V 合 cosα
( 1) (2) (3) (4)
设人在 n 段不同的水流速度中,人的速度即： V 人=(ｘ1，ｙ１)，（ｘ２，ｙ２）……（ｘｎ，ｙｎ）
其速度与ｘ轴的夹角为 αN，经过ｎ段的时间分别为ｔ１，ｔ２……ｔｎ，水流速分
(m,0),(m,0)……（m,0）, n段横向的位移是aϖ1, aϖ2,……aϖn,根据（1），（2），（3），（4），
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于芳 吕新霞 梁丰 指导老师:谭欣欣 刘广智等
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基于抢渡长江问题的数学思考
摘要
本文是基于实际中的一个具体问题，即“武汉国际抢渡长江挑战赛”， 讨论游泳者如何选择方向，路线和确定行程速度等相关问题，具有很强的推广性。 第一问，求游泳者的速度。用简单的三角函数，余弦定理以及物理学关系式，得 出第一名的速度为 1.54m/s,以与水平方向成 117.3°的角度前行，并利用平行四 边形法则作出速度的示意图；速度为 1.5m/s 的游泳者的成绩为 912 秒。
由已知条件中：1934 年 44 人参加，40 人到达终点；2002 年 186 人参加仅 34 人 到达终点，得: 1934 年到达终点百分比 40/44×100%=91% 2002 年到达终点百分比 34/186×100%=18% 由于长江在 1934 年 9 月份与 2002 年 5 月份均处于汛期，我们可以将两时期的长 江水流速度近似认为是相等的，故环境因素可忽略。同时，由于体能问题而无法 到达的游泳者是一个不稳定因素，在这里也不考虑。这样，游泳者能否到达主要 由他选择路线的正确与否来确定。1934 年的全程距离为 5000 米，2002 年只有 1000 米。很明显，对于选手们来说，1934 年游完全程需要用更多的时间。所以， 假设最初选错了方向，1934 年的选手调整方向，重新到达终点的机率比 2002 年 要大的多。这就是 1934 年 和 2002 年能游到终点的人数的百分比相差悬殊的原 因。 3）成功到达终点的条件 （ 1 ） 根 据 资 料 ， 我 们 得 知 参 加 这 次 抢 渡 赛 的 运 动 员 速 度 为 0.906m/s — 1.538m/s ， 有 许 多 游 泳 者 的 速 度 没 有 达 到 当 天 情 况 下 所 要 求 的 最 小 速 度 1.301m/s。所以，要成功到达终点必须保证速度大于 1.301m/s。 （2）另据资料，大多数人没有联系具体情况，而盲目采用传统的渡江方案。所 以，游泳者要注意具体问题具体分析，根据参赛地实际情况选择方案。 （3）当然体能问题也会影响选手的发挥，故为防止发生体力不支，游泳者应合 理选择初始角度，保证能够到达终点。