大地测量学第四章 8将椭球面上的元素化算至高斯平面

的奇函数，而且l 愈大，γ也愈大 也愈大； (1)γ为l 的奇函数，而且l 愈大，γ也愈大； (2)γ 有正负 ， 当描写点在中央子午线以东时 ， γ 为正 ； 有正负， 当描写点在中央子午线以东时， 为正； 在西时，γ为负； 在西时， 为负； (3)当l 不变时，则γ随纬度增加而增大 当 不变时，
(2 + 5 t 2 + 3t 4 ) y 5 f f
B f 先 由 x计 算 出
二、方向改化计算公式
大地线描写形曲线与其弦线之间的夹角， （一）定义：大地线描写形曲线与其弦线之间的夹角， 叫方向改化。 曲改直” 叫方向改化。 “曲改直” 椭球面△网归算到平面上，所有的方向都必须加方向改化
（二）方向改化公式推导
2
dx 2 + dy 2 m2 = 2 r (dq )2 + (dl )2
2
E (dq )2 + 2 F (dq )(dl ) + G (dl )2 m = r 2 (dq )2 + (dl )2
2
E cos 2 A + 2 F sin A cos A + G sin 2 A m = r2
上一讲应掌握的内容
5、高斯投影坐标正算推导思路（续） 、高斯投影坐标正算推导思路（ 由恒等式两边对应系数相等， 由恒等式两边对应系数相等，得：
m1 = dm 0 dq m2 = − 1 dm 1 2 dq m3= 1 dm 2 3 dq L
• 由第二条件可知： 由第二条件可知： 位于中央子午线上的点， 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应该等于投影 前从赤道量至该点的子午弧长。 即当 l=0 时, 前从赤道量至该点的子午弧长。 m0 = X
2、公式推导 、
2）平面坐标 x, y 计算平面子午线收敛角 的公式 ） 计算平面子午线收敛角γ的公式 将高斯投影反算公 式中的 l 代入上式， 且用Bf代替B即可。
l= 1 1 (1 + 2t 2 + η 2 ) y 3 + y− f f N f cos B f 6 N 3 cos B f f 1 (5 + 28t 2 + 6η 2 + 24t 4 + 8t 2η 2 ) y 5 f f f f f 120 N 5 cos B f f
'' δ 21 =
ρ ''
6R
ρ ''
2 m
平均边长为13km，ym＜ 平均边长为 ， 250km时，计算精度为 时 0.01″,用于二等测量 用于二等测量
( x 2 − x1 )( 2 y 2 + y1 )
δ
'' 12
δ
'' 21
=
2 ym ( x 1 − x 2 ) ( 2 y1 + y 2 − )+ = 2 2 6 Rm Rm 若ym＜250km时，用此 时 ρ ''η 2 t 2 ( y1 − y 2 ) y m 公式，计算精度达到 公式， 3 Rm 0.001″,用于一等测量 用于一等测量 2 '' ym ρ
L = L0 + l = L0 + n1 y + n3 y3 + n5 y5 + L
椭球面元素化算到高斯投影面的内容
椭球面三角系归算到高斯投影面的计算 1）将起始点P的大地坐标 ，B)归算为高斯平面 ）将起始点 的大地坐标 的大地坐标(L， 归算为高斯平面 直角坐标 x,y；为了检核还应进行反算，亦即根据 x,y ；为了检核还应进行反算， 高斯投影坐标计算。 反算B， ，这项工作统称为高斯投影坐标计算 反算 ，L，这项工作统称为高斯投影坐标计算。 2）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面 ） 上相应边P’K’的坐标方位角，这是通过计算该点的子 的坐标方位角， 上相应边 的坐标方位角 这是通过计算该点的子 午线收敛角γ及方向改化δ实现的 实现的。 午线收敛角 及方向改化 实现的。 3) 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由 相应直线组成的三角形内角。这是通过计算方向的曲 相应直线组成的三角形内角。这是通过计算方向的曲 率改化即方向改化来实现的 即方向改化来实现的。 率改化即方向改化来实现的。
由恒等式两边对应系数相等， 由恒等式两边对应系数相等，得： n dn0 M N cos B dx 1 N c o s B d n1 n2 = − 2 M dx dn2 M n3 = 3 N cos B dx
1
=
n0=?
• 由第二条件可知： 由第二条件可知： 子午弧长）； 当y=0时，x=X（ 等于投影前从赤道量至该点的子午弧长）； 时 （ 等于投影前从赤道量至该点的子午弧长 此时对应的点称为底点，其纬度称为底点纬度， 此时对应的点称为底点，其纬度称为底点纬度，用Bf（n0）
x = X + N N s in B c o s B l 2 + s i n B c o s 3 B ( 5 - t + 9η 2 24
2
+ 4η 4 ) l 4 +
N s in B c o s 5 B ( 6 1 - 5 8 t 2 + t 4 )l 6 720 y = N cos B l + N c o s 3 B (1 − t 2 + η 2 ) l 3 + 6
ab
= 2δ
ba
1 = ε 2
p '' ε= 2ρ R
方向改化公式推导
AD + BE P= DE 2 ⇒ ε ′′ = ( ya + yb ) ( xa − yb ) 2 R 2
ρ ′′
δ ab = δ ba =
ρ ′′
2R
ρ ′′
2R
2
2
ym ( xa − xb )
计算误差小于0.1″ 计算误差小于
1、方向改化近似公式的推导 、 在球面上四边形ABED的内角之和等于 °+ε 的内角之和等于360° 在球面上四边形 的内角之和等于 由于是等角投影， 由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该 相等，即 相等，
3 6 0 0 + ε = 3 6 0 + δ ab + δ ba
ε = 2δ
δ ab = δ ba
y = m 1l + m 3 l 3 + m 5 l 5 + L
• 由第三个条件可知： 由第三个条件可知：
dm 0 dm 2 2 dm 4 4 m 1 + 3m 3l 2 + 5m 5l 4 + L = l + l +L + dq dq dq 2m l + 4m l 3 + L = − dm 1 l − dm 3 l 3 − dm 5 l 5 − L 2 4 dq dq dq
§4.9.5-7 将椭球面上的元素化算至高斯平面 一、平面子午线收敛角计算公式
1、平面子午线收敛角的定义 、 过某点的子午线与坐标纵轴正 向之间的夹角
一、平面子午线收敛角计算公式 2、公式推导 、
1）由大地坐标L、B计算平面子午线收敛角γ的公式 ）由大地坐标 、 计算平面子午线收敛角
∂x d x ∂l tan r = = d y ∂y ∂l
2、柯西.黎曼条件 柯西.
正形条件长度比m与方位角 无关 即满足： 正形条件长度比 与方位角A无关，即满足： F = 0 与方位角 无关，
∂x ∂y , = ∂q ∂l ∂x ∂y = − ∂l ∂q
E =G
上一讲应掌握的内容
3、什么是高斯投影坐标正、反算？ 、什么是高斯投影坐标正、反算？ 高斯投影坐标正 4、高斯投影必须满足以下三个条件 、高斯投影必须满足以下三个条件 (1)中央子午线投影后为直线，两侧的投影对称于中央子午线 中央子午线投影后为直线， 中央子午线投影后为直线 (2)中央子午线投影后长度不变 中央子午线投影后长度不变 中央子午线投影后长度不变 ∂y ∂x ∂x ∂y (3)投影具有正形性质，即正形投影条件 投影具有正形性质， 投影具有正形性质 , = = − ∂l ∂q ∂l ∂q 5、 5、高斯投影坐标正算推导思路 • 由第一个条件可知： 由第一个条件可知： x = m 0 + m 2l 2 + m 4l 4 + L
1 γ = sin B ⋅ l + sin B cos 2 Bl 3 (1 + 3η 2 + 2η 4 ) + 3 1 sin B cos 4 Bl 5 (2 − t 2 ) +L 15
经整理得：
γ =
tf Nf
y−
tf 3N 3 f
(1 + t − η ) y +
2 f 2 f 3
tf 15 N 5 f
上一讲应掌握的内容
7、高斯投影坐标正、反算公式几何解释 、高斯投影坐标正、反算公式几何解释 坐标正
x = X + ( m2 l 2 + m4 l 4 + L) = X+ ∆ X
y = m1l + m3 l 3 + m5 l 5 + L
B = Bf − (n2 y2 + n4 y4 +L) = Bf − ∆B
2、顾及方向，方向改化公式为: 、顾及方向，方向改化公式为
δ ab =
ym ( xa − xb )
2
δ ba = −
ρ ′′
2R
ym ( xa − xb )
1 式中： ym = ( ya + yb ) 2
3、方向改化较精密公式
'' δ 12 =
ρ ''
2 6 Rm