康托尔集合论-推荐下载

康托尔集合论-罗素悖论-公理化集合论-不完全性定理

1. 第二次数学危机的解决---集合论成了全部数学的基础。

(第二次数学危机详细见参考中三次数学危机.)

19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，

它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极

限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，19世纪70年代初，外尔斯特

拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理.从而把

无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。从而使数学分析建立在实数理论的严格基

础之上。而严密的实数理论可以由集合论推出。集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立

在一种无限观——“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如，在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽

的序列1，2，3，…，n，…就是如此。集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的

数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集

合这个概念。

2. 康托尔集合论(现在有人也称之为朴素集合论)面料挑战.

从康托尔创立了数学领域中的“集合论”，用集合论中的观点来诠释各个数学概念之间的逻辑关系，真可谓是“天

衣无缝”。因此集合论被誉为“数学大厦的基石”。然而事情并非总是顺利的。1900年左右，正当康托尔的思想逐

渐被人接受，并成功地把集合论应用到了许多别的数学领域中去，大家认为数学的“绝对严格性”有了保证的时候，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把

它们看成数学中的奇特现象。1897年意大利数学家布拉里.福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论。1899年，康托尔发现了 “康托尔悖论”，亦称“最大基数悖论”。福尔蒂和康托的悖论只涉及到集合论中的结果，没有引起当时数

学家们的足够重视。但罗素于1901年5月发现了一个悖论。它除了涉及集合概念本身外不需要别的概念。此后

又有其他朴素集合论的悖论出现, 例如理查德悖论, 培里悖论, 格瑞林和纳尔逊悖论等. 集合论的现代悖论与逻辑

的几个古代悖论还有关系。例如，公元前4世纪的欧伯利得悖论：“我现在正在做的这个陈述是假的。”埃皮门尼

德（公元前6世纪，克利特人）悖论：“克利特人总是说谎的人。”

3. 罗素悖论和理发师悖论

罗素悖论的数学表达：设性质P(x)表示“x不属于x ”，现假设由性质P确定了一个类A----也就是说“A全集P(x) (x属于A 与 x不属于A 性质不能同时成立 )”。那么现在的问题是：A属于A 是否成立？首先，若A属于A ，

则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A ；其次，若A不属于A ，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A不属于A 。

罗素悖论的普通表达:“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果说是，即包含自身，属于

这个集合，那么它就不包含自身；如果说否，它不包含自身，那么它理应是这个集合的元素，即包含自身。

可能有人看不懂罗素悖论，没关系，罗素本人就用通俗的“理发师悖论”作了比喻；理发师自称，他给所有自己

不刮胡子的人刮胡子，但不给任何自己刮胡子的人刮胡子。试问理发师该不该给自己刮胡子？如果他从来不给

自己刮胡子，就属于“自己不刮胡子的人”。根据他的自称，他就应该给自己刮胡子，但是，一旦他给自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。还是根据他的自称，他就不应该给自己刮胡子。所以不管理发师的胡子由

谁来刮，都会产生矛盾。

罗素悖论的详细解释:把集合分成两类，凡是不以自身作为元素的集合称为正常集P(x) 表示“x不属于x ”.(或称一种叫自吞的,一种叫非自吞的,或说自包含的,非自包含的.或说正常的,非正常的.)，（例如，自然数集合N本身不是自然数, 数学表达N不属于N. 因此N是正常集。再例如:所有彩虹网友的集合不是彩虹网友. 所有男人的集合不是男人）凡是以自身作为元素的集合称为异常集。（例如，所有的非生物的集合F并非生物，数学表达F属于F.因此F是异常集。所有非植物的集合不是植物.所有非质数的集合不是质数.等等）每个集合或者为正常集或者为异常集。设A为全体正常集(性质P)所组成的集合，那么A是不是正常集？

如果A是正常集，由正常集P的定义知A不属于A，又因A是全体正常集的集合，所以正常集A属于A.但这说明A不是正常集，是异常集；反之，如果A不是正常集，是异常集，那么由异常集的定义知A属于A，这说明A是全体正常集组成的集合A的元素，因而A又应该是正常集。

4. 公理化集合论的建立和完善.

集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从悖论被发现之后，关于这一课题发表了大量的文章，为解决它们作过了大量的尝试。

激进的是以荷兰数学家布劳威尔为代表的直觉主义学派，他们对集合论采取了全盘否定的态度，并认为“实无限”的观念是集合论悖论产生的根源。

还有以罗素为代表的逻辑主义.

特别突出的是以希尔伯特为代表的形式主义数学学派。这方面的代表性成果是公理集合论，它已成为现代数学的一个重要分支。公理集合论采用公理化的方法来刻画集合和集合的运算，并对康托尔集合论中的“概括原则”作了修正。

就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的。以后还有多人进行加工。但是，此种方式曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论；此外，它不能保证将来不出现别种悖论。

策梅罗的公理化集合理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七条公理：决定性公理(外延公理)、初等集合公理(空集公理、单元素公理、对集公理)、分离公理、幂集公理、并集公理、选择公理、无穷公理(稍稍改变一下原来形式)。

受到的批评：

1)、为了讨论集合，我们必须从对象“域”开始，也就是用某种方法构成的域；2)、策梅罗关于确定的命题要有一个定义使得它精确化；3)、在所有完全的公理化中，集合论的概念不可避免地是相对的；4)、策梅罗的公理系统不足以提供通常集合论的基础；5)、当人们打算证明公理的无矛盾时，谓语句所引起的困难；6)、对象域B的不唯一性；7)、数学归纳法对于抽象给出的公理系统的必要性；8)、选择公理的问题。

兰克尔改进的策梅罗集合论公理系统，再加上选择公理是足够数学发展所需的，但是还需要加一条限制性的公理，即除了满足这些公理的集合之外没有其他的集合。

为排除一个悖论涉及所谓基础集合，为了排除这种集合，冯•诺依曼引进公理9(基础公理).

对改进后的ZF集合论公理系统的批评:

这样施加限制有点不必要地过分严格，使得数学家在论证过程中失掉一些有时有用的论证方式，而这些论证方式似乎是没有恶性循环的。

仍然存在许多问题，例如：不可达基数和序数是不是存在？；连续统假设是否能够证明；公理系统的协调性和独立性，……从三十年代之后，为了解决这些问题，公理集合论掀开了新的一页。

5.公理系统的最后努力遇到了不完全性定理:

1930年前，整个数学界是非常乐观的：希尔伯特的思想占统治地位；数学是建立在集合论和数理逻辑两块基石之上；康托尔的朴素集合论已被公理集合论所代替，从而消除了悖论；选择公理是一个很好的工具，数学中许多部门都要用到它；连续统假设仍然是悬案，不过希尔伯特多次觉得自己已接近解决这个难题，看来前景是乐观的；大部分数学可以建立在谓词演算的基础上，而一阶谓词演算的公理系统是无矛盾的，尽管其完全性仍有