高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法课堂导学案

2.1.3 向量的减法
课堂导学
三点剖析
一、向量减法的定义及作图法
1.向量减法有两种定义
(1)将减法运算转化成加法运算:a-b=a+(-b).
(2)将减法运算定义为加法运算的逆运算,即若b+x=a,则x=a-b.
2.向量减法的几何作法
在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
【例1】如下图,已知向量a、b,求作向量a-b.
解法一:在平面内任取一点O,作=a,=b,连结AB,则=a-b.(如下图)
解法二:在平面内任取一点O,作OA=a,AB=-b,连OB,则OB=a+(-b)=a-b.(如下图)
各个击破
类题演练 1
已知向量a,b,c与d,求a-b,c-d(如下图).
思路分析:a-b可以由向量减法的三角形法则(或平行四边形法则)直接作出,也可以看作a+(-b),先作出-b,再利用加法的三角形法则(或平行四边形法则)作出.
解:作OA=a,OB=b,作BA,
则a-b=-=;
作=c,=d,作,
则c-d=-==.
变式提升 1
化简:(-)-(-)=___________.
解法一:(-)-(-)=--+
=AB+DC+CA+BD=(AB+BD)+(DC+CA)
=AD+DA=0.
解法二:(-)-(-)
=--+
=(-)+(-)=+
=0.
答案:0
温馨提示
解法一是将向量减法转化为加法运算进行化简的.解法二是根据向量减法的几何意义进行化简的.
二、用已知向量表示其他向量
用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是,第一步:观察各向量位置;第二步:寻找(或作)相应的平行四边形和三角形;第三步:运用法则找关系;第四步:化简结果.
【例2】已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,用a,b,c表示.
思路分析:利用三角形法则,把向量互相表示.
解：
方法一:如图所示,
=+=a+
=a+(-)=a+c-b.
方法二:OD=OA+AB+BC+CD=OA+BC+(AB+CD)=OA+BC+0=OA+(BO+OC)
=a+(-b+c)=a-b+c.
类题演练 2
已知一个点O到平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为a,b,c,则向量OD=_______.
思路分析:可结合图形,利用向量相等的知识解决.
解:如图,=a,=b,=c,
则OD=OA+AD=OA+BC=OA+(OC-OB)=a+(c-b)=a+c-b.
答案:a+c-b
变式提升 2
如下图,在ABCD中,已知=a,=b,用a、b表示向量,.
解析:由于AD=AB+BD,而BD=-b,
所以=a-b.
由于四边形ABCD为平行四边形,
所以AC=AB+AD=a+a-b=2a-b.
三、向量减法的综合应用
【例3】如图,ABCD中,=a,=b,用a,b表示向量,.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b,a-b互相垂直?
(2)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?
(3)a+b,a-b有可能是相等的向量吗?为什么?
思路分析:运用向量减法的几何意义作图求解.
解：
a+b,a-b恰对应ABCD的两条对角线,.
(1)由a+b与a-b相互垂直,即ABCD的两条对角线互相垂直,
所以ABCD为菱形,
故相邻边相等,即|a|=|b|.
(2)由|a+b|=|a-b|,知ABCD两条对角线相等,此时ABCD为矩形,所以a与b相互垂直.
(3)不可能.因为ABCD中两条对角线不可能平行,故对应两向量的方向不可能相同.
温馨提示
把向量的加,减法,向量的模与四边形的边的概念综合起来,拓广了思维的范围.
类题演练 3
给出下列命题,其中正确的是( )
①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
②△ABC中,必有++=0
③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=
④若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a,b之一方向相同
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
思路分析:一定要注意零向量的特别之处.
解:①中当a=0时,命题不正确.
④中当a+b=0时,命题不正确.故选D.
答案:D
温馨提示
记住常用关系、常用数据.如△ABC中,AB+BC+CA=0,以向量a、b为邻边的平行四边形中,a±b表示的是两条对角线所在的向量.
变式提升 3
试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知:如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于O,AO=CO,DO=BO.求证:四边形ABCD为平行四边形.
证明:设=a,=b.
则AB=OB-OA=b-a,
DC=OC-OD=-a-(-b)=b-a.
所以=.
因此,四边形ABCD为平行四边形.。