1.2.2 充要条件
课件9：1.2.2 充要条件
尝 试 应 用 1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|. 答案：B
3．集合M∩N＝N是M∪N＝M的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：M∩N＝N⇔N⊆M⇔M∪N＝M. 答案：C
4．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________． 解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2. 答案：1<x<2
5．求关于x的二次方程x2－mx＋m2－4＝0有两个不相等的正实根的充要条件．
典 例 精 析 类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 [例1] 在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由． (1)ห้องสมุดไป่ตู้：|p|≥2，p∈R，B：方程x2＋px＋p＋3＝0有实根； (2)A：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切， B：c2＝(a2＋b2)r2.
2．“b＝c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过原点”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：b＝c＝0⇒y＝ax2，二次函数一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点⇒c＝0，b不一定等于0，故选A. 答案：A
[解] 根据题目叙述，画出p、q、r、s的结构简图如图1所示．
高中数学选修2-1精品教案9：1.2.1 充分条件与必要条件-1.2.2 充要条件教学设计
1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件教学目标1.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；2.会判断命题的充分条件、必要条件.3.正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义.4.正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.教学过程导入新课复习导入判断下列命题是真命题还是假命题?（1）若x>a2+b2,则x>2ab.（2）若ab=0，则a=0.（3）有两角相等的三角形是等腰三角形.（4）若a2>b2，则a>b.【答案】(1)、（3）为真命题；（2）、（4）为假命题.对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？【答案】看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题.1.充分条件和必要条件的定义命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p 是q成立的充分条件.一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p 可推出q，记作：p⇒q.定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p⇒q,那么我们就说p是q的充分条件；q 是p必要条件.上面的命题(1)为真命题，即x＞a2+b2⇒x＞2ab，所以“x＞a2+ b2”是“x＞2ab”的充分条件，“x＞2ab”是“x＞a2+ b2”的必要条件.2. 充要条件的有关概念已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．易知：p⇒q，故p是q的充分条件；又q⇒p，故p是q的必要条件．此时,我们说, p是q的充分必要条件.类比归纳一般地,如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作p⇔q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.例：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（2）p:x＞0,y＞0,q: xy＞0；（3）p: a＞b ,q: a + c＞b + c；（4）p:x＞5, ,q: x＞10；（5）p: a＞b ,q: a2＞b2.解：命题（1）和（3）中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；命题（2）中，p⇒q ,但q≠>p，故p不是q的充要条件；命题（4）中，p≠>q，但q⇒p，故p不是q的充要条件；命题（5）中，p≠>q，且q≠>p，故p不是q的充要条件.归纳：一般地，若p⇒q ,但q≠>p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠>q，但q⇒p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠>q，且q≠>p，则称p是q的既不充分也不必要条件．在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：①若p⇒q ,但q≠>p，则p是q的充分但不必要条件；②若q⇒p，但p≠>q，则p是q的必要但不充分条件；③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ≠>q ，且q ≠>p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.拓展提升1.设∈a R ，则1a >是11a <的（） A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.设,R a b ∈，则不等式a b >与11a b >都成立的充要条件是（） A.0ab > B.0,0a b >< C.0ab <D.0ab ≠ 3.给出下列命题：①0a b >>是22a b >的充要条件；②0a b >>是b a 11<的充要条件； ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中为真命题的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.已知命题:p 40k -<<;命题:q 函数21y kx kx =--的值恒为负.则命题p 是命题q 成立的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.不等式(1||)(1)0x x -+>成立的充要条件是.6.命题:20,01p m n -<<<<；命题:q 关于x 的方程20x mx n ++=有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.【答案】1. A【解析】1a >，则1110a a a --=<，∴11a <，条件充分，反之不真，如1a =-. 2.B 【解析】110b a a b ab ->⇒>，∵a b >，∴0ab <.而a b >，故得0,0a b ><. 3.A【解析】①220a b a b >>⇒>，反之不真；②0a b >>⇒ba 11<，反之不真；③330ab a b >>⇒>，反之不真.4.A【解析】2400,40k k k k -<<⇒<∆=+<；函数21y kx kx =--的值恒为负，不一定有40k -<<，如0k =时，函数21y kx kx =--的值恒为负.5.1x <且1x ≠-【解析】0x ≥时，2(1||)(1)010x x x -+>⇔->,∴01x ≤<；0x <时，2(1||)(1)0(1)0x x x -+>⇔+>,此式当1x ≠-时恒成立.6.解：设关于x 的方程20x mx n ++=有两个小于1的正根12,x x ，则12x x m +=-，12x x n ⋅=，∵1201,01x x <<<<，∴02,01m n <-<<<，∴20,01m n -<<<<，这说明p 是q 的必要条件.设20,01m n -<<<<，关于x 的方程20x mx n ++=不一定有两个小于1的正根，如1,m =-34n =时，方程2304x x -+=没有实数根，这说明p 不是q 的充分条件.综上，p 是q 的必要不充分条件.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第一章 1.2.2 充 要 条 件
变 式 迁 移
解析：(1)在△ABC 中， 显然有∠A >∠B⇔BC > AC，所以 p 是 q 的充要条 件． (2)因为 x＝2 且 y＝6⇒ x＋y＝8，即﹁q⇒ ﹁ p， 但﹁p ﹁q，所以 p 是 q 的充分不必要条件． (3)因为 p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1 或 y＝2}， 所以 A B，所以 p 是 q 的充分不必要条件．
栏 目 链 接
判断，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，
一般运用等价法．
变 式 迁 移 1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不 必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分 又不必要条件”中选出一种作答)．
栏 目 链 接
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.
点评：数学概念的定义具有相称性，即数学概念
的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，
又是概念所具有的性质．
栏 目 链 接
证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立
(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的 必要性)．
变 式 训 练 2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为 2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.
栏 目 链 接
1是x＝1的必要不充分条件；α ＝β 是tan α ＝tan β 的
充分不必要条件；|a|＞|b|是a2＞b2的充要条件．故选B. 答案：B
自 测 自 评 3．用充分条件、必要条件、充要条件填空． 必要条件 (1)x＞3是x＞5的____________________ ． (2)x ＝ 3 是 x2 － 2x － 3 ＝ 0 的 充分条件 ______________________________________________ ． (3) 两 个 三 角 形 全 等 是 两 个 三 角 形 相 似 的 充分条件 __________________ ．
课件12：1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件
当堂检测 1．“x＝3”是“x2＝9”的( ) A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 【解析】 当 x＝3 时，x2＝9；但 x2＝9，有 x＝±3. ∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件． 【答案】A
2．设 p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则 p 是 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当 x2＋3x－4＞0 时，不一定有 x＝2；但当 x＝2 时，必 有 x2＋3x－4＞0，故 p 是 q 的必要不充分条件． 【答案】B
②若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件；若 A B，则 p 是 q 的必要不 充分条件． ③若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件． ④若 A ⊈B，且 A⊉B，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件． (3)等价转化法 当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式 或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决． (4)传递法 充分条件与必要条件具有传递性，即由 p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则可 得 p1⇒pn，充要条件也有传递性．
变式训练 求证：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1 的充要条件是 a＋b＋c＝0. 证明:假设 p：方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1， q：a＋b＋c＝0. (1)证明 p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即 a＋b＋c＝0.
课堂小结 充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法 用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题 中应用极为广泛． (2)集合法 从集合角度看，设集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|满足条件 q}． ①若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件；若 A B，则 p 是 q 的充分不 必要条件．
1.2.2《充要条件》课件
充要 条件; ⑶如图③所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________
既不充分也不必要 ⑷如图④所示,开关A闭合是灯泡B亮的_____________________
条件.
2、用“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”填空
⑴若p:∣2x－3∣≤5, q: -1≤x≤4,则p是q的（ ）条件.
原命题、逆命题都为假.
从集合的角度理解四种关系 设p、q对应的集合分别为P、Q.
(1)若p是q的充分不必要条件， 则P Q (2)若p是q的必要不充分条件, 则P Q 1)
Q P
2)
P
Q
(3)若p是q的充要条件， 则P=Q
(4)若p是q的既不充分也不必要条件,则P Q且P Q 3 )
q: x >4.
练习3：指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0.
q，所以P是q的充分不必要条件； 由于P
（2） p：两条直线平行；q：内错角相等. 由于P q，所以P是q的充要条件； （3） p：a>b；q：a2>b2
q，所以P是q的既不充分也不必要条件； 由于P
q: 函数是奇函数. ④p:函数 f ( x) 满足 f (0) 0
p不是q的充分条件
p不是q的必要条件
1.充要条件:
定义:一般地,如果既有 p q ,又有 q p 我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件， 记作:
pq
说明： （1）符号“ ”称为等价符号， 与“当且仅当”含义相同. （2）若 p q，则p与q互为充要条件.
q，所以P是q的必要不充分条件。 由于P
课件13：1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件；
④“函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数 f(x)为奇函数”
的必要条件．
A．①②
B．②③
C．②④
D．①④
【解析】x>4⇒x>3，故①是真命题；x＝1⇒x2＝1，x2＝1⇏x＝1， 故②是假命题；a＝0⇒ab＝0，ab＝0⇏a＝0，故③是假命题；函 数f(x)的定义域关于坐标原点对称函数f(x)为奇函数，函数f(x)为 奇函数⇒函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故④是真命题， 故选D. 【答案】D
2．在下列横线上填上“充分”或“必要”． (1)a>1是a>2的_必__要__条件． (2)a<1是a<2的_充__分__条件．
知识点2:充要条件 新知导学 1．如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，则 p 是 q 的__充__要__条__件__，记为 ___p_⇔__q____. 2．如果 p⇒/ q 且 q⇒/ p，则 p 是 q 的__既__不__充__分__也__不__必__要__条__件___． 3．如果 p⇒q 且 q⇒/ p，则称 p 是 q 的__充__分__不__必__要___条件． 4．如果 p⇒/ q 且 q⇒p，则称 p 是 q 的___必__要__不__充__分__条件．
跟踪训练
“a＋b>2c”的一个充分条件是( )
A．a>c或b>c
B．a>c或b<c
C．a>c且b<c
D．a>c且b>c
【解析】a>c 且 b>c⇒a＋b>2c，a＋b>2c⇒/ a>c 且 b>c，故选 D.
1.2.2充要条件-课件.ppt
a≠0
时，只要a>0 Δ<0
就满足题意了．即aΔ>＝04－4a<0 ，∴a>1.故 ax2＋2x＋1>0
恒成立的充要条件为 a>1.
1.充分条件、必要条件、充要条件的判断 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件和结论， 然后才能进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：
(1)定义法(直接法)
[解析] ①q：y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同零点⇔Δ＝ m2－4(m＋3)>0⇔m<－2 或 m>6⇔p.
②f(x)＝0 时，q p. ③若 α，β＝kπ＋π2(k∈Z)，此时有 cosα＝cosβ，但没有 tanα＝tanβ. ④p：A∩B＝A⇔A⊆B⇔q：∁UA⊇∁UB， ∴①④中，p 是 q 的充要条件．
最新试题
3．“a＝1”是“函数 f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为
增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当 f(x)＝|x－a|在[1，＋∞)上为增函数时，a≤1， 而 a＝1 时，f(x)＝|x－a|在[1，＋∞)上为增函数．故选 A.
答案：A
4．在△ABC 中，sinA＝sinB 是 a＝b 的__充__要____条件．
解析：在△ABC 中，由正弦定理及 sinA＝sinB 可得 2RsinA＝2RsinB，即 a＝b；反之也成立．
5．求不等式 ax2＋2x＋1>0 恒成立的充要条件．
解：当
a＝0
时，2x＋1>0
不恒成立．当
判断“若 p，则 q”或“若 q，则 p”的真假.
条件 p 与结论 q 的关系
2充要条件 精品课件 公开课一等奖课件
充要条件的判断 例 1 下列各小题中，p 是 q 的充要条件是( ) ①p：m<－2 或 m>6，q：y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同 的零点； f－x ②p： ＝1，q：y＝f(x)为偶函数； fx ③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ； ④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9
5．求不等式 ax2＋2x＋1>0 恒成立的充要条件．
a>0 解： 当 a＝0 时， 2x＋1>0 不恒成立． 当 a≠0 时， 只要 Δ<0 a>0 就满足题意了．即 Δ＝4－4a<0
，∴ a>1.故 ax2＋ 2x＋ 1>0
恒成立的充要条件为 a>1.
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1.充分条件、必要条件、充要条件的判断 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件和结论， 然后才能进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：
答案：B
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2．假设命题“若 p，则 q”为假，逆命题为真，则 p 是 q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不p q； 若 q，则 p 为真，即 q⇒p， 故 p 为 q 的必要不充分条件．
答案：B
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3．“a＝1”是“函数 f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为 增函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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(2)集合法．即用集合的包含关系判断，设命题 p、q 对 应的集合分别为 A、B. 若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件，若 A⊂B，则 p 是 q 的充分不必要条件 若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件，若 B⊂A，则 p 是 q 的必要不充分条件 若 A＝B，则 p，q 互为充要条件 若 A B，且 B A，则 p 既不是 q 的 充分条件，也不是 q 的必要条件
第一章 1.2.2充要条件
本 讲 栏 目 开 关
小结 一般地，证明“p 成立的充要条件为 q”时，在证充 分性时应以 q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结 论”，即 q⇒p；证明必要性时则是以 p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即 p⇒q.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2.2
跟踪训练 2 求证： 方程 x2＋(2k－1)x＋k2＝0 的两个根均大 于 1 的充要条件是 k<－2.
证明 充分性：当 q＝－1 时，a1＝p－1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
an＋1 pnp－1 ∵p≠0 且 p≠1，于是 ＝ ＝p， an pn－1p－1 即数列{an}为等比数列.
当 n＝1 时也成立.
研一研·问题探究、课堂更高效
必要性：当 n＝1 时，a1＝S1＝p＋q.
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1.2.2
1.“lg x>lg y”是“ x> y”的 A.充分不必要条件
本 讲 栏 目 开 关
( A )
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若 lg x>lg y 成立，则 x> y一定成立；而当 x> y成 立时，例如 x＝1，y＝0，此时 lg x>lg y 不成立.
充要条件的判断
已知 p：整数 a 是 6 的倍数，q：整数 a 是 2 和 3 的
∵p⇒q，且 q⇒p，
倍数，那么 p 是 q 的什么条件？q 又是 p 的什么条件？
答案
∴p 是 q 的充分条件也是必要条件；同理，q 是 p 的充分条 件也是必要条件.
结论
一般地，如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q.
1.2.2充分条件与必要条件.充要条件
例2. 已知 p , q 都是 r的必要条件，s 是 r的充分条件， q 是 s的充分条件，那么 （1）s是 q的什么条件？ （2）r是 q的什么条件？ （3）p是 q的什么条件？
方法技巧 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：
(1)记集合 M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)根据以下表格确定集合 M 与 N 的包含关系：条件类别来自集合 M 与 N 的关系
p 是 q 的充分不必要条件
MN
p 是 q 的必要不充分条件
MN
p 是 q 的充要条件
M＝N
p 是 q 的充分条件
是p的必要条件” .
（3）利用命题的传递关系判断：
“p q且 q r，则 p r”.
则p是r的充分条件，r是p的必要条件”.
引申 ①从命题角度看
㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件
q是p的必要条件.
㈡若p则q是真命题，且若q则p为假命题,那么p 是q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件.
0
(m
0)，
若 ┐p是 ┐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围 .
解2：由
|
1p：xP31{|
2得 x | 2
2 x
x 10}
10
由 x2 2x 1 m2 0 (m 0) 得 1 m x 1 m (m 0)
q：Q {x | 1 m x 1 m , m 0}
∵ ┐p是 ┐q的必要而不充分条件，
即 p q 但 q p
即 p q且 q p
1.2.2 充要条件(第一课时)
∴m≥3，即 m 的取值范围是[3，＋∞).
归纳
总结
1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断． (2)等价法：“p⇔q”表示 p 等价于 q，要证 p⇒q，只需 证它的逆否命题¬q⇒¬p 即可；同理要证 p⇐q， 只需证¬q ⇐¬p 即可．所以 p⇔q，只需¬q⇔¬p. (3)利用集合间的包含关系进行判断．
归纳
总结
1.p是q的充分条件包括两种可能,即p是 q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样， p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要 不充分条件或p是q的充要条件. 2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性 和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就 是充分性，由结论推出条件就是必要性. 3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题 的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p 是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.
解 : 记A x | x m, B x | ( x 1)( x 2) 0,
即B x | x 1, 或x 2 由题意知A m 1.
B,
A A B mm B
1
2
3．如果命题“若 A 则 B”的否命题是真命题，而它的逆否
必要不充分 条件． 命题是假命题，则 A 是 B 的______________
Байду номын сангаас
所以有 Δ＝4＋4a<0，解得 a<－1.
反之，若 a<－1，
则 Δ<0，方程 x2－2x－a＝0 无实根，即函数没有零点．
概念
辨析
p是 q
的充分不必要条件
即 : p q, 且q p
1.2.2充要条件
若原命题和 逆命题是假命题。
②从集合角度看
⑴p是q的充分不必要条 件，相当于P Q,如右图
⑵p是q的必要不充分条 件,相当于P Q ,如左图
⑶p q,相当于P=Q ,
即:互为充要条件的两个事物
表示的是——同一事物。如 右图:
练习：下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？
A
B
C
A
CB
A
B
①
① A是B的充 分不必要条件
②
③
② A是B的必要不 ③ A是B充要条件 充分条件
例3、下列各题中,那些p是q的充要条件?
(1)p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数; (xy>0; (3)p: a>b, q: a+c>b+c.
例4 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L 的距离为d.
1.2.2充要条件
复习：条件p与结论q的四种关系
p是q的充分 不必要条件
pq pq
若原命题是真命题, 逆命题是假命题
p是q的必要 不充分条件
p是q的 充要条件
pq
pq
若原命题是假命题, 逆命题是真命题
} pq
pq
p q 若原命题和逆命题
都是真命题
p是q的既不充分 也不必要条件
pq pq
求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.
分析: 设:p:d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充要条件,只需分别证明
充分性q p 和必要性p q 即可
注意点
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相 推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
2.搞清 ①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间 的区别与联系； ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间 的区别与联系
数学北师大版选修1-1导学案-1.2.2充要条件
班级： 小组： 姓名： 第一章二节 阳光总在风雨后5 §1.2.2 充要条件[学习目标]1.知道充要条件的含义；2．针对具体命题,能判断p 是否是q 的充要条件。
一、知识记忆与理解[自主预习]阅读教材P8-P9，完成下列问题 1.什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出“⇒”的含义。
2.指出下列各组命题中，“q p ⇒”及“p q ⇒”是否成立（1）:p 内错角相等 :q 两直线平行 （2）:p 三角形三边相等 :q 三角形三个角相等3.充要条件定义：一般地，如果既有q p ⇒，又有p q ⇒，就记作：q p ⇔。
这时，p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 的 条件，简称充要条件。
[预习检测]1.已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为32<-x ，那么甲是乙的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.课本P9练习题二、思维探究与创新[问题探究]1.充要条件的判断 探究一：判断下列各题中p 是q 的什么条件. （1）2:,1:>>x q x p ； （2）1:,5:->>x q x p（3）()()02:,032:=-=--x q x x p （4）9:,3:2==x q x p （5）1:,1:2=±=x q x p变式1: 从 “充分而不必要条件” “必要而不充分条件” “充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出适当一种填空： (1)“N a ∈”是“Z a ∈”的______________________；(2)“0≠a ”是“0≠ab ”的_____________________； (3)“432+=x x ”是“43+=x x ”的_______________________；(4)“四边相等”是“四边形是正方形”的________________________。
数学选修一课件第一章 1.2.2
1.2.2 充要条件
学习目标
1.理解充要条件的意义. 2.掌握判断充要条件的方法. 3.能证明充要条件，会求简单的充要条件.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 充要条件的概念
新知探究 点点落实
思考1 答案 思考2
命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结
答案
p⇏q，q ⇏ p
1
由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p才是 q的充要条件.
知识点三 有关充要条件的证明或求解
思考1 证明
证明a＝－2是直线ax＋2y＝0平行于直线y＝1＋x的充分条件. ∵a＝－2，∴直线ax＋2y＝0为y＝x，斜率为1，
直线y＝1＋x的斜率也为1，且两直线的截距不等，
解析答案
1
2
3
4
5
－ 3＜k＜ 3 5.圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是_______________.
解析
|2| 当圆 x ＋y ＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点时， 有 2 >1， k ＋1
2 2
即 k2＋1<2，
∴k <3，∴－ 3<k< 3.
2
解析答案
规律与方法
1
2
3
4
5
2. “a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a、b是实数”的( C )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 a＝0且b＝0可
解析答案
1
2
3
4
5
充要 3.设a，b为向量，则“|a· b|＝|a||b|”是“a∥b”的________ 条件. 解析 a，b为向量，设a与b的夹角为θ. 由|a· b|＝||a|· |b|cos θ|＝|a||b|从而得|cos θ|＝1， cos θ＝±1，所以θ＝0或π，能够推得a∥b，反之也能够成立，故为充 分必要条件.
数学：1.2.2《充要条件》课件(新人教a版选修2-1)
问题、探讨下列生活中名言名句的充要关系。
（1） 水滴石穿。 （2）有志者事竟成。 （3）春回大地，万物复苏。 （4）玉不琢，不成器。
以下命题 的逆命题成立吗？
（1）若a是无理数，则a+5是无理数； （2）若a>b,则a+c>b+c; （3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个 不等的实根，则判别式Δ >0．
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妹就是壹各胆大包天之人/连带着奴才也是那么の胆大妄为/别过眼看着王爷气急败坏の样子/排字琦心中很是发怵/只想赶快草草结束/早早逃离那各是非之地：/爷/气大伤身/为咯奴才实在是别值当呢/妾身别晓得您还别晓得那件事情/若是早晓得 の话/妾身就别多那各嘴咯///您就是禀报得太晚咯/您若是早点儿禀报/爷也别至于……/他说到壹半没什么再说下去/虽然气恼/但还没什么气至别管别顾の程度/还记得别能将事态扩大化の问题/于是他朝排字琦挥咯挥手说道：/行咯/您先下去吧 //排字琦壹见可以离开那各火药桶/赶快恭敬地告退下去/见排字琦走远咯/他则立即吩咐秦顺儿/去将年侧福晋请过来/秦顺儿过去传话の时候/水清才晓得他今天回府咯/由于别晓得他是因为啥啊事情找她/于是按照惯例带上月影/主仆两人壹起去 咯书院//给爷请安///您现在胆子真是越来越大咯/那么大の事情/您怎么竟然擅自隐瞒下来？/水清才恭敬地请过安/就遭到他劈头盖脸の壹顿训斥/很是诧异/特别是他们最近以来壹直都是相敬如宾/突然遭到那壹番责难/情绪上壹时半会儿转别过 弯来/好在她也别是第壹次见到他如此暴跳如雷の模样/虽然别晓得他指の是啥啊事情/但是早已经练就咯以别变应万变本领の水清恭敬地问道：/回爷/妾身别晓得您指の啥啊事情/还请您明示///还能有啥啊事情/珊瑚竟然敢吊咯脖子/
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变式训练1:设a､b､c为非零实数,命题甲:a·b=a·c,乙:b=c.则 ( )
A.甲是乙的充分条件,但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件,但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案:C
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例2:已知p､q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条 件,那么(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的 什么条件? 分析:将已知r､p､q､s的关系作一个“⇒”图.
若AB,且BA,则p既不 是q的充分条件,也不 是q的必要条件
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(3)若p⇒q,同时q⇒p,则p与q互为充要条件,它可以表示为 p⇔q(p与q等价).它的同义词还有:“当且仅当”､“须且只 需”､“……,反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言,对 理解数学问题是十分重要的.
2 2
5 4
.
方程①②都有实数根的充要条件是 即 5 4
第32页 共 34 页
5 4
≤ m ≤ 1 且 m 0,
≤ m 0 或 0 m ≤ 1.
品味高考 11.(2010·陕西卷)“a>0”是“|a|>0”的( ) A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当a>0时,|a|=a>0成立,当|a|>0时,a>0或a<0.∴“a>0”是 “|a|>0”的充分不必要条件. 答案:A
∵t=3⇒t2=9,而t2=9⇏t=3,
∴t2=9是t=3的必要不充分条件. 由于原命题与逆否命题等价. 所以p是q的必要不充分条件.
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规律技巧:利用“互为逆否的命题同真同假”,转化为判断它 的逆否命题.
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变式训练3:条件p:x1是方程f(x)=0的一个根或x1是方程g(x)=0 的一个根;条件q:x1是方程f(x)· g(x)=0的一个根,则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:pq,而q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:B
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4.数列{an}前n项和Sn=3n-t,则t=1是数列{an}为等比数列的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
)
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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解 析 : 对 比 等 比 数 列 前 n项 和 公 式 Sn 令t a 1 (1 q )
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典例剖析
(学生用书P11)
题型一 充分条件､必要条件､充要条件的判定 例1:若a､b､c是常数,则“a>0且b2-4ac<0”是“对任意x∈R,有
ax2+bx+c>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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解析:当a>0且b2-4ac<0时,则对任意“x∈R,有ax2+bx+c>0”成 立.即充分性成立.反之,则不一定成立.如a=0､b=0且c>0时, 对任意x∈R,有ax2+bx+c>0成立.因此,“a>0且b2-4ac<0”是 “对任意x∈R,有ax2+bx+c>0”的充分不必要条件. 答案:A
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(2)从集合的观点上理解 首先建立与p､q相应的集合,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)}.
若A⊆B,则p是q的充分条件,若 AB,则p是q的充分非必 要条件
若B⊆A,则p是q的必要条件,若 BA,则p是q的必要非充 分条件
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若A=B,则p､q互为充要 条件
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变式训练4:求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充 要条件是a-b+c=0. 证明:①充分性:∵a-b+c=0
∴a(-1)2+b(-1)+c=0.
∴-1是方程ax2+bx+c=0的一个根. ②必要性:∵ax2+bx+c=0有一个根是-1, ∴a(-1)2+b(-1)+c=0即a-b+c=0. 由①②知,ax2+bx+c=0有一根为-1的充要条件是a-b+c=0.
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名师讲解
(学生用书P11)
对充分条件､必要条件､充要条件的理解. (1)从逻辑关系上理解 条件p与结论q的关系 p⇒q,但qp q⇒p,但pq p⇒q,q⇒p,即p⇔q pq,qp 结论 p是q成立的充分而不必要条件 p是q成立的必要而不充分条件 p是q成立的充要条件 p是q成立的既不充分也不必要条件
1 2
"的 (
)
解 析 : 当 A 1 50 时 , sin A 而 s in A 1 2
1 2
, A 30 ¿ sin A 1 2
1 2
,
A 30 , A 30 是 sin A
的 必 要 不 充 分 条 件.
答案:B
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3.“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直” 的( )
所 以 " 2 是 函 数 y si n x 的 最 小 正 周 期 为 " 的 充 分 不 必 要 条 件.
答案:A
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6.(2008·湖北)若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子 集,则( ) A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要
显然AB,故¬p是¬q的充分不必要条件.
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解法2:命题q:5x-6>x2即x2-5x+6<0, ∴2<x<3. 而p:x>1或x<-3, 设A={x|2<x<3},B={x|x>1或x<-3},
∵AB,故q是p的充分不必要条件.
∴¬p是¬q的充分不必要条件.
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2
c a
0.
所 以 方 程 ax b x c 0 有 两 个 相 异 实 根 , 且 两 根 异 号 , 即 方 程 ax b x c 0 有 一 正 根 和 一 负 根 .
2
误区警示:证明充要条件,必须证明原命题和逆命题都成立.要 注意:“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”两种说法的 差异,分清哪是条件,哪是结论.
(2)∵s⇒r⇒q,q⇒s,∴s是q的充要条件.
(3)共有三对充要条件:q⇔s,s⇔r,r⇔q.
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题型二 充分条件､必要条件的应用 例3:已知p:t≠3,q:t2≠9,判断p是q的什么条件? 分析:p与q都是否定形式,直接判断不易得出答案,可转化为与 之等价的逆否命题来判断. 解:原命题:p:t≠3,q:t2≠9, 它的逆否命题为:¬q:t2=9,¬p:t=3.
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解:(1)由下图知,∵q⇒s,s⇒r⇒q, ∴s是q的充要条件.
(2)∵r⇒q,q⇒s⇒r, ∴r是q的充要条件. (3)∵q⇒s⇒r⇒p,∴p是q的必要不充分条件.
规律技巧:充要条件具有传递性.若A⇒B,B⇒C,则A⇒C.利用
这一结论可以研究多个命题之间的充要关系.
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变式训练2:已知p是q的充分条件,q是r的必要条件,也是s的充 分条件,r是s的必要条件,问: (1)p是r的什么条件?
(2)s是q的什么条件?
(3)p､q､r､s中哪几对互为充要条件?
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解:作出“⇒”图,由右图可知, p⇒q,r⇒q,q⇒s,rs. (1)p⇒q⇒s⇒r,且r⇒q,q能否推出p未知,∴p是r的充分条件.
答案:B
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误区警示:对此题理解错误,选C.例如f(x)=lg(x-1),g(x)=lg(x2),x1=2是f(x)=0的一个根,但x1=2不在g(x)=lg(x-2)的定义域 内,所以x1=2不是方程f(x)g(x)=0的根.而 f(x1)g(x1)=0⇒f(x1)=0或g(x1)=0.
条件
解析:由A∪B=C知,x∈A⇒x∈C,x∈C x∈A. ∴x∈C是x∈A的必要不充分条件. 答案:B
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7.若命题“若p,则q”为真,则¬p是¬q的________条件. 解析:依题意p⇒q,则¬q⇒¬p. ∴¬p是¬q的必要条件. 答案:必要 8.如果命题“若A则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是 假命题,则A是B的________条件.
证 明 : 1 必 要 性 : 由 于 方 程 ax b x c 0 有 一 正 根 和 一 负 根 ,
2
b 4 ac 0, 且 x 1 x 2
2
c a
0, ac 0 .
2
( 2 ) 充 分 性 : 由 ac 0 可 推 得 b 4 ac 0 且 x 1 x 2
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题型三 充要条件的证明 例4:求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要 条件是ac<0.
分析:本题中一正根和一负根包含两层意思,首先是有根,其次