2017年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(word版含答案)
河南省郑州市2017届高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．无数2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（）A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y3．要计算1+++…+的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥20174．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．下列命题是真命题的是（）A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件6．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b 有两个相异零点的概率是（）A． B． C． D．7．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为（）A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n8．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．39．已知空间四边形ABCD，满足||=3，||=7，||=11，||=9，则•的值（）A．﹣1 B．0 C．D．10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．24011．已知P为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|•|PB|的值为（）A．4 B．5C．D．与点P的位置有关12．已知函数f（x）=，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（）A．[，]B．[，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为．14．已知幂函数y=x a的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为．15．过点P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为．16．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n+n+1（n∈+1N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log3（﹣a n+1），求数列{}前n项和为T n，求证T n＜．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．19．（12分）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N （200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．20．（12分）已知椭圆x2+2y2=m（m＞0），以椭圆内一点M（2，1）为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．无数【考点】虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．【分析】直接利用复数的幂运算，化简求解即可．【解答】解：复数f（n）=i n（n∈N*），可得f（n）=，k∈Z．集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．故选：A．【点评】本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（）A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解．【解答】解：∵x=30.5=＞1，0=log31＜y=log32＜log33=1，z=cos2＜0，∴z＜y＜x．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意指数函数、对数函数、三角函数的性质的合理运用．3．要计算1+++…+的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017【考点】程序框图．【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，S=1，n=1+1=2，第2次循环，S=1+，n=2+1=3，…当n=2018时，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出S的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2017．故选：B．【点评】本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．5．下列命题是真命题的是（）A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举出反例φ=，可判断A；举出正例α=，β=﹣，可判断B；求出向量的投影，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．【解答】解：当φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，故A为假命题；∃α=，β=﹣∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ=1，故B为真命题；向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为﹣2，故C为假命题；“|x|≤1”⇔“﹣1≤x≤1”是“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题，故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查奇数的奇偶性，特称命题，向量的投影，充要条件等知识点，难度中档．6．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b 有两个相异零点的概率是（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】设所求的事件为A，由方程ax2+x+b=0有两个相异根，即△=1﹣ab＞0求出ab范围，判断出是一个几何概型后，在坐标系中画出所有的实验结果和事件A构成的区域，再用定积分求出事件A构成的区域的面积，代入几何概型的概率公式求解．【解答】解：设事件A={使函数f（x）=ax2+x+b有两个相异零点}，方程ax2+x+b=0有两个相异根，即△=1﹣ab＞0，解得ab＜1，∵在[1，e]上任取实数a，在[0，2]上任取实数b，∴这是一个几何概型，所有的实验结果Ω={（a，b）|1≤a≤e且0≤b≤2}，面积为2（e﹣1）；事件A={（a，b）|ab＜1，1≤a≤e且0≤b≤2}，面积S==1，∴事件A的概率P（A）=．故选A．【点评】本题考查了几何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的个数求出ab的范围，用定积分求不规则图形的面积，考查了学生综合运用知识的能力．7．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为（）A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n 【考点】数列递推式．【分析】a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，可得a n+6=a n．即可得出．【解答】解：∵a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，∴a3=n﹣m，a4=﹣m，a5=﹣n，a6=m﹣n，a7=m，a8=n，…，∴a n+6=a n．则S2017=S336×6+1=336×（a1+a2+…+a6）+a1=336×0+m=m，故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），z=2|x﹣2|+|y|=﹣2x+y+4，化为y=2x+z﹣4．由图可知，当直线y=2x+z﹣4过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知空间四边形ABCD，满足||=3，||=7，||=11，||=9，则•的值（）A．﹣1 B．0 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，代入=，同样方法，代入，，进一步化简即可求出的值．【解答】解：如图，========0．故选B．【点评】考查向量加法和减法的几何意义，向量的数量积的运算．10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．240【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为=120；末尾是4，不同的偶数个数为=120，即可得出结论．【解答】解：由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为=120；末尾是4，不同的偶数个数为=120，故共有120+120=240个，故选D．【点评】本题考查排列、组合知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知P为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|•|PB|的值为（）A．4 B．5C．D．与点P的位置有关【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的模，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣m2=1，即n2﹣4m2=4，由双曲线﹣x2=1的渐近线方程为y=±2x，则由，解得交点A（，）；由，解得交点B（，）．=（，），=（，），则有|PA|•|PB|===．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的模求法，考查运算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（）A．[，]B．[，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，即可得到切线的方程，结合图象，可得k的范围．【解答】解：函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），由f（x）的导数f′（x）==，可得切线的斜率为=，可得切线的方程为y=x，结合图象，可得k≥．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和确定原点为切点，结合图象是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为：1．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】作图分析．【解答】解：如图：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S=6a2；正四面体的边长为则其表面积为4•sin60°=2a2；则面积比为6a2：2a2=：1．故答案为：：1．【点评】考查了学生的空间想象力．14．已知幂函数y=x a的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为112．【考点】二项式系数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】直接利用幂函数求出a的值，然后求出二项式展开式中所求项的系数．【解答】解：幂函数y=x a的图象过点（3，9），∴3a=9，∴a=2，=（﹣1）r C8r28﹣r x，∴=（﹣）8的通项为T r+1令r﹣8=1，解得r=6，展开式中x的系数为（﹣1）6C8628﹣6=112，故答案为：112．【点评】本题考查二项式定理的应用，幂函数的应用，考查计算能力．15．过点P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为5．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】利用过P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，求出B的横坐标，即可求出点B到抛物线的焦点的距离．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设A，B在直线x=﹣1的射影分别为D，E．∵2|PA|=|AB|，∴3（x1+1）=x2+1即3x1+2=x2，3y1=y2，∵A．B两点在抛物线y2=8x上∴3=，解得x1=，x2=3，∴点B到抛物线的焦点的距离为BF=3+2=5．故答案为5【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定B的横坐标．16．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为6．【考点】正弦定理．【分析】设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值．【解答】解：设AB=AC=2x，AD=x．设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ==，∴sinθ====，∴根据公式三角形面积S=absinθ=×2x•2x•=，∴当x2=5时，三角形面积有最大值6．故答案为：6．【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2017•濮阳二模）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n+n+1（n∈N*）．+1（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =log 3（﹣a n +1），求数列{}前n 项和为T n ，求证T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）S n =a n +1+n +1（n ∈N *）．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n +1+n +1﹣，化为：a n +1=3a n ﹣2，可得：a n +1﹣1=3（a n ﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．（II ）b n =log 3（﹣a n +1）=n ，可得=．再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．【解答】（I ）解：∵S n =a n +1+n +1（n ∈N *）．∴n=1时，﹣2=a 2+2，解得a 2=﹣8．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n +1+n +1﹣， 化为：a n +1=3a n ﹣2，可得：a n +1﹣1=3（a n ﹣1）， n=1时，a 2﹣1=3（a 1﹣1）=﹣9，∴数列{a n ﹣1}是等比数列，首项为﹣3，公比为3． ∴a n ﹣1=﹣3n ，即a n =1﹣3n ． （II ）证明：b n =log 3（﹣a n +1）=n ，∴=．∴数列{}前n项和为T n =++…++=＜．∴T n ＜．【点评】本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•濮阳二模）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连接DE，通过证明四边形A1DEF是平行四边形得出EF∥A1D，从而EF∥平面A1CD；（II）过B作BM⊥A1D交延长线于M，连接CM，则可证BM⊥平面A1CD，即∠BCM为所求线面角，设三棱柱棱长为1，利用三角形相似求出BM即可得出sin∠BCM=．【解答】证明：（I）连接DE，∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE AC，∵F是A1C1的中点，∴A1F=A1C1，又AC A1C1，∴A1F DE，∴四边形A1DEF是平行四边形，∴EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴EF∥平面A1CD．（II）过B作BM⊥A1D交延长线于M，连接CM，∵ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，又A1A⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴A1A⊥CD，∴CD⊥平面ABCD，又BM⊂平面ABCD，∴CD⊥BM，又CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，CD∩A1D=D，∴BM⊥平面A1CD，∴∠BCM为直线BC与平面A1CD所成的角，设直三棱柱棱长为1，则BM=，∴sin∠BCM==．【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．19．（12分）（2017•濮阳二模）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N （200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图即可求出a的值，（Ⅱ）根据正态分布的定义即可求出答案，（Ⅲ）根据分段函数的关系式代值计算即可．【解答】解：（Ⅰ）a=0.1﹣（0.002+0.009+0.022+0.024+0.008+0.002）=0.033，（Ⅱ）S2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.08=150所以为质量指标值Z服从正态分布N（200，150），所以P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826，故p（187.8，212.2）上的频率为0.6826；（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，则y=0.4（175+185+195+205）+0.8×215﹣80+0.8×225﹣80﹣0.8×235﹣80=604【点评】本题考查了频率分布直方图和正态分布以及分段函数的问题，属于基础题．20．（12分）（2017•濮阳二模）已知椭圆x2+2y2=m（m＞0），以椭圆内一点M（2，1）为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意，a=，b=，c=，即可求椭圆的离心率；（Ⅱ）CD的中点为M，证明|MA|2=|MB|2=d2+=，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a=，b=，c=，∴=；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入作差，整理可得（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0．依题意，M（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，从而k AB=﹣1．直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．与椭圆方程联立，可得3x2﹣12x+18﹣m=0，∴|AB|=•|x1﹣x2|=．①∵CD垂直平分AB∴直线CD的方程为y﹣1=x﹣2，即x﹣y﹣1=0代入椭圆方程，整理得3x2﹣4x+2﹣m=0．又设C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x0，y0），则x3，x4是方程③的两根，∴x3+x4=，∴M（，﹣）于是由弦长公式可得|CD|=•|x3﹣x4|=．②点M到直线AB的距离为d==．③于是，由①②③式及勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d2+=，此时|AB|＜|CD|故A、B、C、D四点均在以M为圆心，||为半径的圆上．【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．21．（12分）（2017•濮阳二模）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a ∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导，求得f（x）的单调区间，由二次函数的性质即可求得a 的取值范围；（Ⅱ）（i）求导h′（x）=lnx﹣ax，由方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根，方法一：根据函数图象直线y=ax与y=lnx有两个交点，求得y=lnx的切点，即可求得a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=lnx﹣ax，求导，根据函数的单调性，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知：x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，则只需证明lnt＞，t＞1，构造辅助函数，根据函数的单调性，求得g（t）＞g（1）=0，即可证明lnt＞，成立，则x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求导f′（x）=lnx，令f′（x）=0，解得：x=1，则当f′（x）＞0，解得：x＞1，当f′（x）＜0时，解得：0＜x＜1，∴f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），由g（x）=x2﹣ax（a∈R）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，则g（x）开口向上，对称轴x=1，则a＞0，∴a的取值范围（0，+∞）；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax=xlnx﹣x﹣x2的定义域为（0，+∞），求导h′（x）=lnx﹣ax，则方程h′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根．（解法一）转化为，函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．…6分令切点A（x0，lnx0），则k=y′=，又k=，=，解得，x0=1，于是k=，∴0＜a＜；…8分解法二：令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，求导g′（x）=﹣ax=（x＞0）若a≤0，可见g′（x）在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．…5分若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，（）=ln﹣1，…6分从而g（x）的极大值，g（x）极大值=g又在x→0时，g（x）→﹣∞，在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大值＞0，即ln﹣1＞0，∴0＜a＜，…7分综上所述，0＜a＜；…8分（ⅱ）证明：由（i）可知x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=，原不等式x1•x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2，则a（x1+x2）＞2，ln＞，令=t，则t＞1，ln＞，则lnt＞，…10分设g（t）=lnt﹣，t＞1，g′（t）=＞0，∴函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞，成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的最值，考查转化思想，分析法证明不等式成立，属于中档题．四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•濮阳二模）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，展开可得：=0，化为直角坐标方程．曲线C的参数方程是（α为参数），利用平方关系消去参数α可得普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，可得直线l被曲线C截得的弦长=2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．【解答】解：（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，展开可得：=0，化为：y﹣x=0．曲线C的参数方程是（α为参数），消去参数α可得：x2+（y﹣2）2=4，圆心C（0，2），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d==1，∴直线l被曲线C截得的弦长=2=2=2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得：（2x）2+（2y﹣2）2=4，化为：x2+y2﹣2y﹣3=0，可得ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．（2017•濮阳二模）已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由不等式可得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．。
2017年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2017年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．1．（5分）已知集合，N＝{x|y＝log2（2﹣x）}，则∁R（M∩N）＝（）A．[1，2）B．（﹣∞，1）∪[2，+∞）C．[0，1]D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝|1﹣i|（i为虚数单位），则＝（）A．1+i B．1﹣i C．D．3．（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则＝（）A．2B．3C．5D．74．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．35．（5分）甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（）A．144种B．180种C．288种D．360种6．（5分）已知圆C的方程为x2+y2＝1，直线l的方程为x+y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于A，则|P A|的最小值为（）A．B．1C．D．7．（5分）如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P＝（）A．B．C．D．8．（5分）设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为（）A．πB．3πC．8πD．9π9．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）设函数，若a，b满足不等式f（a2﹣2a）+f（2b﹣b2）≤0，则当1≤a≤4时，2a﹣b的最大值为（）A．1B．10C．5D．811．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝﹣，则角A的最大值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数关于x的方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m＝0，有5不同的实数解，则m的取值范围是（）A．B．（0，+∞）C．D．二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．13．（5分）已知角α的始边与x轴非负半轴重台，终边在射线4x﹣3y＝0（x≤0）上，则cosα﹣sinα＝．14．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a22）+（a2a4﹣a32）+（a3a5﹣a42）+…+（a2015a2017﹣a20162）＝．15．（5分）如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC ＝BD．若OA＝1，∠AOB＝120°，则的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2＝4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线P A与椭圆C交于点Q，则的取值范围是．三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，且满足2S n＝（n+1）a n，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝3n﹣λa n2，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．18．（12分）某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．19．（12分）已知三棱锥A﹣BCD，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD＝BD＝2，CD＝2，E，F分别是AC，BC的中点．（1）P为线段BC上一点．且CP＝2PB，求证：AP⊥DE．（2）求直线AC与平面DEF所成角的正弦值．20．（12分）已知动圆M过定点E（2，0），且在y轴上截得的弦PQ的长为4．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）设A，B是轨迹C上的两点，且，F（1，0），记S＝S△OF A+S△OAB，求S 的最小值．21．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣，g（x）＝ax+b．（1）若a＝2，F（x）＝f（x）﹣g（x），求F（x）的单凋区间；（2）若函数g（x）＝ax+b是函数f（x）＝lnx﹣的图象的切线，求a+b的最小值；（3）求证：＞0．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos （θ﹣）＝3．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．（1）求m的最大值；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c＝1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．2017年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．1．（5分）已知集合，N＝{x|y＝log2（2﹣x）}，则∁R（M∩N）＝（）A．[1，2）B．（﹣∞，1）∪[2，+∞）C．[0，1]D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）【解答】解：由题意可得M＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，N＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}＝[1，2），∴∁R（M∩N）＝（﹣∞，1）∪[2，+∞），故选：B．2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝|1﹣i|（i为虚数单位），则＝（）A．1+i B．1﹣i C．D．【解答】解：由（1+i）z＝|1﹣i|，得＝，则＝．故选：D．3．（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则＝（）A．2B．3C．5D．7【解答】解：∵等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，∴a42＝a2a8，∴（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+7d），∴d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，∴＝＝3．故选：B．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A ﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED＝＝，S△ABC＝S△ABE＝＝，S△ACD＝＝，故选：B．5．（5分）甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（）A．144种B．180种C．288种D．360种【解答】解：根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在6个位置中任选一个即可，有C61＝6种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的2个位置中，任选一个，安排乙，有C21＝2种选法；3、将剩余的4个人，安排在其余的4个位置，有A44＝24种安排方法；则这6名同学的站队方法有6×2×24＝288种；故选：C．6．（5分）已知圆C的方程为x2+y2＝1，直线l的方程为x+y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于A，则|P A|的最小值为（）A．B．1C．D．【解答】解：由题意，P A平行于坐标轴，或就是坐标轴．不妨设P A∥y轴，设P（cosα，sinα），则A（cosα，2﹣cosα），∴|P A|＝|2﹣cosα﹣sinα|＝|2﹣sin（α+45°）|，∴|P A|的最小值为2﹣．故选：D．7．（5分）如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2017时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2017，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P＝．故选：C．8．（5分）设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为（）A．πB．3πC．8πD．9π【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O2的半径为r＝2，∴△ABC的边长为2，∴圆锥的底面半径为，高为3，∴V＝＝3π．故选：B．9．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e＝．故选：D．10．（5分）设函数，若a，b满足不等式f（a2﹣2a）+f（2b﹣b2）≤0，则当1≤a≤4时，2a﹣b的最大值为（）A．1B．10C．5D．8【解答】解：函数，定义域为R，且对于任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）＝ln（+x）+ln（﹣x）＝ln（x2+1﹣x2）＝0，∴函数y＝f（x）定义域R上的为奇函数；由f（a2﹣2a）+f（2b﹣b2）≤0可得f（a2﹣2a）≤﹣f（2b﹣b2）由函数为奇函数可得式f（a2﹣2a）≤f（﹣2b+b2）；又∵f′（x）＝＜0恒成立，∴函数f（x）为R上的减函数；∴a2﹣2a≥﹣2b+b2，即a2﹣b2﹣2（a﹣b）≥0，整理可得，（a+b﹣2）（a﹣b）≥0，作出不等式组所表示的平面区域即可行域如图所示的△ABC；令Z＝2a﹣b，则Z表示2a﹣b﹣Z＝0在y轴上的截距的相反数，由图可知，当直线经过点A（1，1）时Z最小，最小值为Z＝2×1﹣1＝1，当直线经过点C（4，﹣2）时Z最大，最大值为2×4﹣（﹣2）＝10．故选：B．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝﹣，则角A 的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝﹣，∴由余弦定理可得：＝﹣3×，∴解得：2a2+b2＝c2，∴cos A＝＝＝≥＝，∵A∈（0，π），∴角A的最大值是．故选：A．12．（5分）已知函数关于x的方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m＝0，有5不同的实数解，则m的取值范围是（）A．B．（0，+∞）C．D．【解答】解：设y＝，则y′＝，由y′＝0，解得x＝e，当x∈（0，e）时，y′＞0，函数为增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＜0，函数为减函数．∴当x＝e时，函数取得极大值也是最大值为f（e）＝．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m＝0化为[f（x）﹣m][2f（x）+1]＝0．解得f（x）＝m或f（x）＝．如图画出函数图象：可得m的取值范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．13．（5分）已知角α的始边与x轴非负半轴重台，终边在射线4x﹣3y＝0（x≤0）上，则cosα﹣sinα＝．【解答】解：角α的始边与x轴非负半轴重台，终边在射线4x﹣3y＝0（x≤0）上，不妨令x＝﹣3，则y＝﹣4，∴r＝5，∴cosα＝＝﹣，sinα＝＝﹣，则cosα﹣sinα＝﹣+＝，故答案为：．14．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a22）+（a2a4﹣a32）+（a3a5﹣a42）+…+（a2015a2017﹣a20162）＝1．【解答】解：a1a3﹣a22＝1×2﹣1＝1，a2a4﹣a32＝1×3﹣22＝﹣1，a3a5﹣a42＝2×5﹣32＝1，…a2015a2017﹣a20162＝1∴（a1a3﹣a22）+（a2a4﹣a32）+（a3a5﹣a42）+…+（a2015a2017﹣a20162）＝1+（﹣1）+1+（﹣1）+…+1＝1．故答案为1．15．（5分）如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC＝BD．若OA＝1，∠AOB＝120°，则的取值范围是．【解答】解：以OA为x轴，O为原点建立如图坐标系，则∵半径OA＝1，且∠AOB＝120°，∴弧AMB的中点M坐标为（，）求得BO方程为：y＝﹣x，设C（1﹣m，0），则D（﹣m，m），（0≤m≤1）∴＝（﹣m，﹣），＝（﹣m﹣，m﹣）因此，•＝（﹣m）（﹣m﹣）﹣（m﹣）＝m2﹣m+＝（m﹣）2+∴当m＝时，•有最小值为；当m＝0或1时，•有最大值为故答案为：16．（5分）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2＝4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线P A与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）．【解答】解：椭圆C：焦点在x轴上，a＝2，b＝，c＝1，右焦点F（1，0），由P在圆x2+y2＝4上，则P A⊥PB，则k AP•k PB＝﹣1，则k PB＝﹣，＝＝﹣，设Q（2cosθ，sinθ），则k AP•k QF＝•，＝，＝，设t＝cosθ，t∈（﹣1，1），则f（t）＝，∴＝＝+∈（﹣∞，1），且不等于0．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）．三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，且满足2S n＝（n+1）a n，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝3n﹣λa n2，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．【解答】解：（1）∵2S n＝（n+1）a n，∴2S n+1＝（n+2）a n+1，两式相减可得2a n+1＝（n+2）a n+1﹣（n+1）a n，即na n+1＝（n+1）a n，∴，∴，∴a n＝n（n∈N*）．（2），.﹣（3n﹣λn2）＝2•3n﹣λ（2n+1）．∵数列{b n}为递增数列，∴2•3n﹣λ（2n+1）＞0，即．令，则．∴{c n}为递增数列，∴λ＜c1＝2，即λ的取值范围为（﹣∞，2）．18．（12分）某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．【解答】解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A的概率为；该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X，则，，，，，则X的分布列为：设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，则X＝0，X＝1，X＝2，…，X＝n，这n+1个互斥事件的和事件，则∵，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%；（2）设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为：18，13，8，P（Y＝18）＝P（X＝0），，；则Y的分布列为：则；故该厂获利的均值为．19．（12分）已知三棱锥A﹣BCD，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD＝BD＝2，CD＝2，E，F分别是AC，BC的中点．（1）P为线段BC上一点．且CP＝2PB，求证：AP⊥DE．（2）求直线AC与平面DEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵PG∥BD，且PG交CD于G，∴，∴，在△ADG中，，∴∠DAG＝30°．AC2＝AD2+CD2＝4+12＝16，∴AC＝4，E为中点，DE＝AE＝2，∴∠ADE＝60°，∴AG⊥DE．∵AD⊥面BCD，∴AD⊥BD，又∵BD⊥CD，AD∩CD＝D，∴BD⊥面ADC，∴PG⊥面ADC，∴PG⊥DE．∵AG∩PG＝G，∴DE⊥面AGP，AP⊂面AGP，∴DE⊥AP．解：（2）以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（2，0，0），，，，，，．设平面EDF的法向量为，则即取．设，的夹角为θ，．所以直线AC与平面DEF所成角的正弦值为．20．（12分）已知动圆M过定点E（2，0），且在y轴上截得的弦PQ的长为4．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）设A，B是轨迹C上的两点，且，F（1，0），记S＝S△OF A+S△OAB，求S 的最小值．【解答】解：（1）设M（x，y），PQ的中点N，连MN，则：|PN|＝2，MN⊥PQ，∴|MN|2+|PN|2＝|PM|2．又|PM|＝|EM|，∴|MN|2+|PN|2＝|EM|2∴x2+4＝（x﹣2）2+y，整理得y2＝4x．（2）设，，不失一般性，令y1＞0，则，∵，∴，解得y1y2＝﹣8③直线AB的方程为：，（y1≠﹣y2），即，令y＝0得x＝2，即直线AB恒过定点E（2，0），当y1＝﹣y2时，AB⊥x轴，，．直线AB也经过点E（2，0）．∴．由③可得，∴S＝＝．当且仅当，即时，．21．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣，g（x）＝ax+b．（1）若a＝2，F（x）＝f（x）﹣g（x），求F（x）的单凋区间；（2）若函数g（x）＝ax+b是函数f（x）＝lnx﹣的图象的切线，求a+b的最小值；（3）求证：＞0．【解答】解：（1）a＝2时，F（x）＝f（x）﹣g（x）＝，，，解F'（x）＞0得0＜x＜1，解F'（x）＜0得x＞1，∴F（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（2）设切点坐标为（x0，lnx0﹣），，切线斜率，又，∴，∴，令，＝＝，解h'（x）＜0得0＜x＜1，解h'（x）＞0得x＞1，∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴h（x）≥h（1）＝﹣1，∴a+b的最小值为﹣1；（3）证法一：令，由（1）知（G（x））max＝G（1）＝0，∴．又由y＝e x﹣x﹣1，y′＝e x﹣1，可得函数y在（0，+∞）递增，在（﹣∞，0）递减，即有函数y有最小值0，即e x≥x+1，∴＝2x﹣3（x＞0）∴，（两个等号不会同时成立）∴．法二：令，显然P'（x）在（0，+∞）上递增，P'（1）＜0，P'（2）＞0∴P'（x）＝0在（0，+∞）上有唯一实根x*，且x*∈（1，2），，∴P（x）在（0，x*）上递减，在（x*，+∞）上递增，∴P（x）≥P（x*）＝＝∴．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos （θ﹣）＝3．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（a为参数），普通方程为＝1，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝3，即ρcosθ+ρsinθ﹣6＝0，直角坐标方程为x+y﹣6＝0；（2）设P（cosα，sinα），则|PQ|的最小值为P到x+y﹣6＝0距离，即＝|sin（α+）﹣3|，当且仅当α＝2kπ+（k∈Z）时，|PQ|取得最小值2，此时P（，）．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．（1）求m的最大值；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c＝1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．【解答】解：（1）因为|x+3|+|x+m|≥|（x+3）﹣（x+m）|＝|m﹣3|．当﹣3≤x≤﹣m或﹣m≤x≤﹣3时取等号，令|m﹣3|≥2m所以m﹣3≥2m或m﹣3≤﹣2m．解得m≤﹣3或m≤1∴m的最大值为1．（2）∵a+b+c＝1．由柯西不等式，≥（a+b+c）2＝1，∴，等号当且仅当2a＝3b＝4c，且a+b+c＝1时成立．即当且仅当，，时，2a2+3b2+4c2的最小值为．。
【精选高中试题】河南省六市高三下学期第二次联考数学(理)试题 Word版含答案
2017年河南省六市高三第二次联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--≤，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（ ）A.()1,3B.(]1,3C.[)1,2-D.()1,2-2.设复数()221iz i +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ）A.1－B.1C.i -D.i3.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）ABCD4.如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH ，MN 是异面直线的图形的序号为（ ）① ② ③ ④ A .①②B.③④C.①③D.②④5.已知圆()()222:10C x y r r -+=>.设条件p ：03r <<，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线30x -+=的距离为1，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若1a -=⎰，则61ax x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项（ ）A.52B.52-C.20D.15-7.若不等式组20510080.x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点()00,x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a的取值范围是（ ） A.1a ≤-B.1a <-C.1a >D.1a ≥8.阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[]1,8上，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A.[)0,2B.[]2,7C.[]2,4D.[]0,79.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线x e =，0y =所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个区间[]0,1上的均匀随机数i y （*i N ∈，110i ≤≤），其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（ ） A.()315e - B.()215e - C.()315e + D.()215e + 10.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（ ） A.54钱 B.43钱 C.32钱D.53钱 11.已知函数()()sin f x x x x R =∈，先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得到的图象关于直线34x π=对称，则θ的最小值为（ ） A.6π B.3π C.512πD.23π 12.已知双曲线()22122:10,0x y a b a b Γ-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆222:186x y Γ+=的离心率为e ，直线MN 过2F 与双曲线交于M ，N 两点，若112cos cos FMN F F M ∠=∠，11F M e F N=，则双曲线1Γ的两条渐近线的倾斜角分别为（ ） A.30︒和150︒B.45︒和135︒C.60︒和120︒D.15︒和165︒ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量()1,1a =-，()1,0b =，若()()2a b a b λ-⊥+，则λ= ． 14.已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且636564S S =，则数列{}2log n a 的前10项和为 ．15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 ．16.若曲线()21:0C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A +=. （1）求角A 的大小；（2）若a =2b =，求ABC △的面积.18.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100的分组做出频率分布直方图如图甲所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图乙所示.（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据利用样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为事件时间发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中成绩为C 等级的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.19.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC EB ∥，DC EB =，4AB =，1tan 4EAB ∠=.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥C ADE -体积最大时，求二面角D AE B --的余弦值.20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点()1,0F .（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 上， 且在第一象限内，直线PQ 与圆222:O x y b +=相切于点M ，且OP OQ ⊥，求点Q 的纵坐标t 的值.21.已知函数()sin cos x f x e x x =-，()cos x g x x x =，（其中e 是自然对数的底数）. （1）10,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，20,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得不等式()()12f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围.（2）若1x >-，求证：()()0f x g x ->.22.在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ=+，点4R π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标. 23.设函数()f x x a =-，a R ∈.（1）当2a =时，解不等式()625f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式()4f x ≤的解集为[]1,7-，且两正数s 和t 满足2s t a +=，求证：186s t+≥.2017年河南省六市高三第二次联考数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CABDC 6-10:BADAB 11、12：AC二、填空题13.3 14.58 15.414π16.2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：（1）在ABC △中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A +=， 即()sin sin cos 0B A A +=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A +=04A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为()0,A π∈，所以34A π=.（2）在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则22044c c ⎛=+-⋅ ⎝⎭，即2160c +-=，解得c =-c =又1sin 2S bc A =，所以1222S =⨯⨯=.18.解：（1）由题意可知，样本容量6500.01210n ==⨯.20.0045010x ==⨯，10.040.10.120.560.01810y ----==.（2）样本中成绩是合格等级的人数为()10.15045-⨯=人，成绩是合格等级的频率为4595010=，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为910. 设从该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为A ，则()3999911101000P A ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.（3）样本中C 等级的学生人数为0.18509⨯=人，A 等级的学生人数为3人，故ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()0P ξ==()3331210220C P C ξ===，()1293312271220C C P C ξ===，()219331210827222055C C P C ξ====，()393128421322055C P C ξ====，所以ξ的分布列为：12757219012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.解：（1）因为AB 是直径，所以BC AC ⊥， 因为CD ⊥平面ABC ，所以CD BC ⊥， 因为CDAC C =，所以BC ⊥平面ACD ，因为CD BE ∥，CD BE =， 所以四边形BCDE 是平行四边形， 所以BC DE ∥，所以DE ⊥平面ACD ，因为DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ACD . （2）因为DC ⊥平面ABC ，DC BE ∥， 所以BE ⊥平面ABC ，BE AB ⊥， 在Rt ABE △中，1tan 414EB AB EAB =⨯∠=⨯=， 由（1）知()2221111114332612123C ADEE ACD ACD V V S DE AC CD DE ACBC AC BC AB --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯≤⨯+=⨯=△，当且仅当AB BC ==时，等号成立.如图所示，建立空间直角坐标系，则()0,0,1D ，()E ，()A ，()B .则()AB =-，()0,0,1BE =，()DE =，()1DA =-. 设平面DAE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1100n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， ∴10y =，取11x =，则(1n =，设平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =， 则2200n BE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22200z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴20z =，取21x =，则()21,1,0n =，∴121212cos ,9n n n nn n ⋅<>===， ∴二面角D AE B --的余弦值为. 20.解：（1）121c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴1c =，2a =，∴b∴椭圆方程为22143x y +=.（2）①当PM x ⊥轴时，P⎭，)Q t ，由0OP OQ ⋅=，解得t =-②当PM 不垂直于x 轴时，设()00,P x y ，PQ 方程为()00y y k x x -=-，即000kx y kx y --+=， ∵PQ 与圆O =∴()220033kx y k -=+，∴22220000233kx y k x y k =+--， 又00,t y kx Q t k -+⎛⎫⎪⎝⎭，所以由0OP OQ ⋅=，得()00000x y kx t x ky -=+， ∴()()()()2222220000000222222222222000000000033233x k x y kx x kx y t x k y kx y x k y k x y k x ky +--===+++++--+()()()220222220033123113334x k k x k x k +==⎛⎫+++---⎪⎝⎭∴t =±综上：t =±21.解：（1）因为不等式()()12f x g x m +≥等价于()()12f x m g x ≥-，所以10,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，20,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得不等式()()12f x g x m +≥成立，等价于()()()12min min f x m g x ≥-，即()()12min max f x m g x ≥-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()'sin cos sin 0x x f x e x e x x =++>，故在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以0x =时，()y f x =取得最小值1-.又()'cos sin x g x x x x =+-，由于0cos 1x ≤≤，sin 0x x ≥x ≥所以()'0g x <，故()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此0x =时，()g x取得最大值所以(1m -≥-，所以1m ≤.所以实数的取值范围为(,1-∞-. （2）当1x >-时，要证()()0f x g x ->，只要证()()f x g x >，只要证sin cos cos x x e x x x x ->-，只要证(()sin 1cos x e x x x +>+，由于sin 0x ，10x +>，只要证1x e x +. 下面证明1x >-时，不等式1x e x >+成立， 令()()11xe h x x x =>-+，则()()()()221'11x x x e x e xe h x x x +-==++， 当()1,0x ∈-时，()'0h x <，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增.所以当且仅当0x =时，()h x 取得极小值也就是最小值为1.令k =，其可看作点()sin ,cos A x x与点()B 连线的斜率，所以直线AB的方程为(y k x =，由于点A 在圆221x y +=，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切.当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 的斜率k 取得最大值为1. 故0x =时，()10k h <=；0x ≠时，()1h x k >≥. 综上所述：时1x >-时，()()0f x g x ->成立. 22.解：（1）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2213x y +=.点R 的直角坐标为()2,2R . （2）设),sin Pθθ，根据题意可得2PQ θ=，2sin QR θ=-，∴()42sin 60PQ QR θ+=-+︒， 当30θ=︒时，PQ QR +取最小值2， 所以矩形PQRS 周长的最小值为4. 此时点P 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭.23.解：（1）不等式即2256x x -+-≥，∴①52256x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-+-≥⎩或②5222526x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-≥⎩或③22526x x x <⎧⎨-+-≥⎩， 由①，得133x ≥；由②得，x ϕ∈；由③，得13x ≤. 所以原不等式的解集为113,,33⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）不等式()4f x ≤即44x a -≤-≤，∴44a x a -≤≤+，∴41a -=-且47a +=，∴3a =. ∴()181181161210106333t s s t s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝。
【河南省郑州、平顶山、濮阳市】2017届高三第二次质量预测数学(理科)二模试卷-答案
河南省郑州、平顶山、濮阳市2017届高三第二次质量预测二模数学（理科）试卷答 案一、选择题1~5．ACBDB 6~10．ACCBD 11~12．CB 二、填空题 13．3:1；14．112； 15．5； 16．6． 三、解答题17．解：（Ⅰ）12a =-，由*111()2n n S a n n +=++∈N ．，得11(2)2n n S a n n -=+≥， 两式相减得+13+2n n a a =，………………3分由+13+2n n a a =得到+13(1)1n n a a -=-，又1130,a -=-≠所以{1}n a -为以-3为首项以3为公比的等比数列11(3)33n nn a --=-=-g ． 故3 1.nn a =-+………………6分 （Ⅱ）33log (1)log 3nn n b a n =-+==，211111()(2)22n n b b n n n n +==-++…………9分 1111111111(1...)23243511211113233(1)221242(1)(2) 4.n T n n n n n n n n n =-+-+-++-+--+++=+--=-++++＜………………12分 18．(Ⅰ)证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11AC AC ∥，且11,AC AC =连结ED ，在ABC △中，因为D ,E 分别为棱AB ,BC 的中点．所以1,2DE AC DE AC =∥． 又F 为11,AC 的中点，可得11112A F AC =，所以11,A F DE A F DE =∥，………………2分 因此四边形1A FED 为平行四边形，所以1EF A C ∥, 又111,EF ACD DA ACD ⊄⊂平面平面， 所以1EF ACD ∥平面．………………4分 (Ⅱ)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥, 又1AA CD ⊥，又1AA AB A =I ，所以11.CD AA BB ⊥平面………………6分在平面11AA BB 内，过点B 作1BG A D ⊥，交直线1A D 于G ，连结CG ,1BG ACD ⊥平面，由此得， BCG ∠为直线BC 与1ACD 平面所成的角．设三棱柱的棱长为a ，可得15=aA D ，由1A AD △∽BGD △，所以5a BG =, 在Rt BGC △中， 5sin BG BGC BC ∠==． 所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为5．………………12分 19．解：（I ）0.033a =．………………4分 （II ）由（I ）知， 2~(200,12.2)Z N ，从而(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826.P Z P Z =-+=＜＜＜＜………………6分由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：组号 1 234567分组 [66,70] (70,74](74,78](78,82](82,92](92,100](100,108]频率 0．020．090．220．330．240．080．02………………9分根据题意，生产该食品的平均成本为700.02740.09780.22820.33920.241000.081080.0284.52.⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………12分20．解：（Ⅰ）将椭圆化成标准方程2221(0),.22x y m e m m +==＞………………3分（Ⅱ）由题意，设1122(,),(,)A x y B x y ，3344(,),(,)C x y D x y 直线AB 的斜率存在，设AB 为(2)1y k x =-+，联立222(0),x y m m +=＞得：22222(12)4(12)2(21)0(0).k x k k x k m m ++-+--=＞1224(21)4,112k k x x k k-+===-+，此时由0△＞得，6,m ＞………………6分 则AB 为30x y +-=，则CD 为10x y --=………………8分则2210,2x y x y m --=⎧⎨+=⎩得23210y y m ++-=3423y y +=-故CD 的中点N 为21(,).33- 由弦长公式可得到 21212(6)||1||2.m AB k x x -=+-=g234128||1(1)||2||m CD y y AB -=+--=g＞，若存在圆，则圆心在AB 上， CD 的中点N 到直线AB 的距离为42.3………………10分222242||64||||()(),329AB m NA NB -==+=又22||112864()(2),249CD m m --==g存在这样的6m ＞，使得,,,A B C D 在同一个圆上． ………………12分 21．解：（Ⅰ）()ln f x x x x =-．函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln ,f x x '= 当1x ＞时，()0f x '＞；当01x ＜＜时，()0f x '＜． 所以，()f x 在(0,1)上单调递减；在(1,)+∞上单调递增． ………………2分22()(2)()22a ag x x a x x a R =-=-∈若在(0,1)上单调递减；在(1,)+∞上单调递增，则0a ＞………………4分(Ⅱ)（ⅰ）依题意，函数()h x 的定义域为(0,)+∞，()ln ,h x x ax '=- 所以方程()0h x '=在(0,)+∞有两个不同根．即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根．………………5分转化为，函数ln y x =与函数y ax =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数ln y x =图像的直线斜率为k ，只须0a k ＜＜ …6分 令切点00(,ln )A x x ，所以001|x x k y x ='==，又00ln x k x =，所以000ln 1x x x =，解得，0e x =，于是1e k =，所以10ea ＜＜．………………8分 （ⅱ）由（ⅰ）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =，不妨设12x x ＞，作差得， 1122ln ()x a x x x =-，即1212ln x x a x x =-． 原不等式212e x x g ＞等价于11212122122()ln ln 2()2lnx x x x x a x x x x x -+⇔+⇔+＞＞＞ 令12x t x =，则1t ＞， 1122122()2(1)ln 1x x x t x x x t --⇔++＞ ……10分 设2(1)()ln ,11t F t t t t -=-+＞，22(1)()0(1)t F t t t -'=+＞，∴函数()F t 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0F t F =＞，即不等式2(1)ln 1t t t -+＞成立，故所证不等式12e x x g ＞成立．……12分22．解：（Ⅰ）直线的直角坐标方程是y =，曲线C 的普通方程是22(2)4x y +-=．易得圆心到直线1l d =的距离，所以所求的弦长为………………5分 （Ⅱ）从极点作曲线C 的弦，各弦中点得轨迹的极坐标方程为2sin ρθ=．…………10分 23．解(Ⅰ)当0a =时，由()g()f x x ≥得|21|||x x +≥，两边平方整理得23+410x x +≥， 解得x ≤-1或13x ≥-∴原不等式的解集为1,)3∞+∞U (-,-1][-．………………5分 （Ⅱ）由()g()f x x ≤得|21|||a x x +-≥，令()|21|||h x x x =+-，则11,,21()31,0,21,0,x x h x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=+-⎨⎪+⎪⎪⎩≤＜＜≥故min 11()()22f x h =-=-，从而所求实数a 的范围为12a -≥．………………10分。
【河南省郑州市、平顶山市、濮阳市】2017年高考二模理科数学试卷-答案
所以 P(187.8＜Z＜212.2) P(200 12.2＜Z＜200 12.2) 0.6826 ，
故 p(187.8,212.2) 上的频率为 0．6826；
（Ⅲ）设生产成本为
y
，质量指标为
x
，生产成本与质量指标之间满足函数关系
y
0.4x, x≤205 0.8x 80, x＞205
a
a
从而
g(x)的极大值,g(x)极大值
g(1) a
ln
1 a
1 ，…6
分
又在 x 0时,g(x) ,在x 时,g(x) ，于是只须：
g ( x)极大值＞0,即ln
1 a
1＞0
，
∴ 0＜a＜1 ，…7 分 e
综上所述， 0＜a＜1 ； e
…8 分
（ⅱ）证明：由（i）可知 x1, x2 ,分别是方程 ln x ax 0 的两个根，
1 n 1
1 n 1
1 n
n
1
) 2
1 2
(1
1 2
1 n 1
n
1
) 2
3 4
2(n
2n 3 1)(n
＜3 2) 4.
∴
Tn＜
3 4
.
18．证明：（I）连接 DE ，
∵ D, E 分别是 AB, BC 的中点， ∴ DE∥AC, DE 1 AC
2
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河南省郑州市、平顶山市、濮阳市 2017 年高考二模理科数学试卷
答案
一、选择题
1~5．AABDB 二、填空题 13． 3 :1； 14．112； 15．5； 16．6． 三、解答题
高考数学二模试题卷(理科)-Word版含解析
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4} B．{﹣1，1，3}C．{1，3}D．{1}2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A．B．1 C．D．3．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．24．四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（）A．10种B．14种C．20种D．24种5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．C．D．6．在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．21 B．35 C．63 D．1267．设F1，F2是双曲线的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|•|PF2|=2，则b=（）A．1 B．2 C．D．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．B．8 C．D．9．有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（）A．（4，2，2，2） B．（9，0，1，0） C．（8，0，1，1） D．（7，0，1，2）10．某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π11．已知数列{αn}的前n项和s n=3n（λ﹣n）﹣6，若数列{a n}单调递减，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，5）12．如图是f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是B．函数g（x）=x的图象可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．函数f（x）图象的一个对称中心是（﹣，0）D．函数f（x）的一个递减区间是（5，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中各项系数的和为256，则该展开式的二项式系数的最大值为．14．已知实数x，y满足，则x+3y的最大值为．15．AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：上的一点，则的取值范围是．16．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知且c＜b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．18．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA1=120o，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．19．（12分）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：甲乙8998993899201042111010（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．20．（12分）如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P（2，t）（t≠0），过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．（Ⅰ）求点Q的坐标；（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．21．（12分）已知函数，，其中a≥1．（Ⅰ）f（x）在（0，2）上的值域为（s，t），求a的取值范围；（Ⅱ）若a≥3，对于区间[2，3]上的任意两个不相等的实数x1、x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|kx﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤3的解集为[﹣2，1]，求实数k的值；（Ⅱ）当k=1时，若对任意x∈R，不等式f（x+2）﹣f（2x+1）≤3﹣2m都成立，求实数m的取值范围．2017年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4}B．{﹣1，1，3}C．{1，3}D．{1}【考点】交集及其运算．【分析】分别让x取﹣1，1，4，然后求出对应的y，从而得出集合B，然后进行交集运算即可．【解答】解：x=﹣1，或1时，y=1；x=4时，y=3；∴B={1，3}；∴A∩B={1}．故选D．【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，元素与集合的关系，对数式的运算，以及交集的运算．2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A．B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1+i）z=（1﹣i）2，∴（1﹣i）（1+i）z=﹣2i（1﹣i），2z=﹣2﹣2i，即z=1﹣i．则|z|==．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．2【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的几何表示．【分析】根据|+|2=，而，均为单位向量，它们的夹角为，再结合向量数量积的公式可得答案．【解答】解：由题意可得：|+|2=，∵，均为单位向量，它们的夹角为，∴|+|2==1+1+2×1×1×cos=3，∴|+|=，故选C．【点评】本题主要考查向量模的计算公式与向量数量积的公式，解决此类问题的关键是熟练记忆公式并且细心认真的运算即可得到全分．属于基础题．4．四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（）A．10种 B．14种 C．20种 D．24种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，按照分配在甲单位的人数分3种情况讨论：即①、甲单位1人而乙单位3人，②、甲乙单位各2人，③、甲单位3人而乙单位1人，由组合数公式求出每一种情况的分配方法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，分3种情况讨论：①、甲单位1人而乙单位3人，在4人中任选1个安排在甲单位，剩余3人安排在甲乙单位即可，有C41=4种安排方法；②、甲乙单位各2人，在4人中任选2个安排在甲单位，剩余2人安排在甲乙单位即可，有C42=6种安排方法；③、甲单位3人而乙单位1人，在4人中任选3个安排在甲单位，剩余1人安排在甲乙单位即可，有C43=4种安排方法；则一共有4+6+4=14种分配方案；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意根据题意进行分类讨论时，一定要做到不重不漏．5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y z 是否继续循环循环前 1 1 0第一圈 1 3 7 是第二圈 3 7 17 否则输出的结果为．故选C【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6．在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．21 B．35 C．63 D．126【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知得a1+4d=a5=7，从而利用数列{a n}的前9项和S9=，能求出结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，∴2（a1+6d）=a1+8d+7，∴a1+4d=a5=7，∴数列{a n}的前9项和S9==63．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．设F1，F2是双曲线的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|•|PF2|=2，则b=（）A．1 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，由此，即可求出b．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，∴4c2﹣4a2=2mn=4，∴b2=c2﹣a2=1，∴b=1，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．B．8 C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】取BC中点M，连结FM，HM，推导出平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，设PA=AB=a，则S梯形EFMH==，求出a=2，由此能求出四棱锥P﹣ABCD 的体积．【解答】解：取BC中点M，连结FM，HM，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，∴EF∥AB∥MH，∴EF⊥EH，MH⊥EH，平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，设PA=AB=a，∵过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，∴S梯形EFMH===，解得a=2，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V===．故选：A．【点评】本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．9．有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（）A．（4，2，2，2）B．（9，0，1，0）C．（8，0，1，1）D．（7，0，1，2）【考点】进行简单的合情推理．【分析】若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可得结论．【解答】解：根据若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可知①号的最佳分配方案是（9，0，1，0），故选B．【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面两直角边长分别为2，2，故斜边长为2，过斜边的侧面与底面垂直，且为高为3的等腰三角形，设其外接球的半径为R，则，解得：R=2，故它的外接球表面积S=4πR2=16π，故选：B【点评】本题考查的知识点是球的表面积和体积，球内接多面体，空间几何体的三视图，难度中档．11．已知数列{αn}的前n项和s n=3n（λ﹣n）﹣6，若数列{a n}单调递减，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，5）【考点】数列的函数特性．【分析】由已知求出a n利用为单调递减数列，可得a n＞a n+1，化简解出即可得出【解答】解：∵s n=3n（λ﹣n）﹣6，①∴s n﹣1=3n﹣1（λ﹣n+1）﹣6，n＞1，②①﹣②得数列a n=3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）（n＞1，n∈N*）为单调递减数列，∴a n＞a n+1，且a1＞a2∴﹣3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）＞3n（2λ﹣2n﹣3），且λ＜2化为λ＜n+，（n＞1），且λ＜2，∴λ＜2，∴λ的取值范围是（﹣∞，2）．故选：A．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力．12．如图是f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是B．函数g（x）=x的图象可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．函数f（x）图象的一个对称中心是（﹣，0）D．函数f（x）的一个递减区间是（5，）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过（0，1），（2，0）求出ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；根据函数解析式之间的关系判断各选项即可得结论．【解答】解：根据图象可知，f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的图象过（0，1），（2，0）可得：f（0）=cos（φ）=1，解得：φ=+2kπ或φ=﹣+2kπ，（k∈Z）f（2）=cos（2ω+）=0，解得ω=+kπ或ω=+kπ．当k=﹣1时，|ω|为：，周期T==．故A对．此时可得f（x）=cos（）．函数g（x）=x的图象图象向右平移个单位可得：=cos（）．故B对．当x=﹣时，函数f（）=cos（）．==1，故C不对．由f（x）=cos（）=cos（）．令0+2kπ≤）≤π+2kπ，可得：，（k∈Z）当k=2时，可得是单调递减．故D对．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中各项系数的和为256，则该展开式的二项式系数的最大值为6．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：令x=1，则（5﹣1）m=256，解得m=4．该展开式的二项式系数的最大值为．【解答】解：由题意可得：令x=1，则（5﹣1）m=256，解得m=4．该展开式的二项式系数的最大值为=6．故答案为：6．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知实数x，y满足，则x+3y的最大值为10．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+3y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（1，3），代入目标函数z=x+3y得z=1+3×3=10故答案为：10．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15．AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：上的一点，则的取值范围是[﹣1，] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由，，得=（）•（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4再结合y的范围即可求出结论【解答】解：设P（x，y），∵，，∴=（）•（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4∵y∈[﹣1，1]，∴﹣3y2﹣2y+4，∴的取值范围是：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，向量数量积的基本运算技巧，选好基底是解决向量问题的基本技巧之一，及二次函数的值域问题，属于中档题，16．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数的图象，求出x≥0时f（x）的最大值，判断零点的范围，然后推出结果．【解答】解：函数f（x）=，图象如图，函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，即方程f（x）=t有三个不同的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞0时，f（x）=，因为x+≥2（x＞0），所以f（x），当且仅当x=1时取得最大值．当y=时，x1=﹣2；x2=x3=1，此时﹣=，由=t（0），可得=0，∴x2+x3=，x2x3=1∴+=＞2，∴﹣=t+∵0，∴﹣的取值范围是．故答案为．【点评】本题考查函数的零点个数的判断与应用，基本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•永州二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知且c＜b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化，即可求出sinC的值，从而求出C；（Ⅱ）根据图形设BC=x，利用余弦定理求出x的值，再求出AB的值，利用正弦定理求出sinA，再计算△ACD的面积．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，，由正弦定理得，，∴，又c＜b，∴；…（6分）（Ⅱ）如图所示，设BC=x，则AB=5﹣x，在△ABC中，由余弦定理得，求得，即，所以，…（8分）在△ABC中，由正弦定理得，∴，…（10分）∴△ACD的面积为=．…（12分）【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．18．（12分）（2017•永州二模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA1=120o，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，推导出B1O⊥AB，B1D⊥AB，从而AB⊥面B1OD，进而AB⊥OD，再求出AC⊥AB，由此能证明AC⊥面ABB1A1．（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，△B1BO中，AB=2，B1B=2，∠B1BA=60°，故△AB1B是等边三角形，∴B1O⊥AB，又B1D⊥AB，而B1O与B1D相交于B1，∴AB⊥面B1OD，故AB⊥OD，又OD∥AC，所以AC⊥AB，又∵侧面ABB1A1⊥底面ABC于AB，AC在底面ABC内，∴AC⊥面ABB1A1．…（6分）解：（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，C（﹣1，2，0），A（﹣1，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），B1（0，0，），∴，，，，设面ADC1的法向量为，依题意有：，令x=1，则y=﹣1，，∴，…（9分）又面ADC的法向量为，…（10分）∴，∴二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2017•永州二模）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：甲乙8 9 9 8 9 9 3 8 9 92 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 0（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天的销售量都大于40的概率．（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，推导出X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（ⅱ）求出甲厂家的日平均销售量，从而得到甲厂家的日平均返利，由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额，由此推荐该商场选择乙厂家长期销售．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，则．…（4分）（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，则当a=38时，X=38×4=152；当a=39时，X=39×4=156；当a=40时，X=40×4=160；当a=41时，X=40×4+1×6=166；当a=42时，X=40×4+2×6=172；∴X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，∴X的分布列为X 152 156 160 166 172p∴．…（9分）（ⅱ）依题意，甲厂家的日平均销售量为：38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5，∴甲厂家的日平均返利额为：70+39.5×2=149元，由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为162元（＞149元），∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．…（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．20．（12分）（2017•永州二模）如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P（2，t）（t≠0），过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．（Ⅰ）求点Q的坐标；（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设AB直线方程，与抛物线C：y2=4x联立，利用韦达定理，求出直线l的方程，即可求点Q的坐标；（Ⅱ）（方法一）A，B，C，D四点共圆，有，即可求直线l的方程．（方法二）利用参数方程求．【解答】解：（Ⅰ）易知AB不与x轴垂直，设AB直线方程为：y=k（x﹣2）+t，与抛物线C：y2=4x联立，消去y得：k2x2+（2tk﹣4k2﹣4）x+（t﹣2k）2=0，∴△=（4k2+4﹣2tk）2﹣4k2×（t﹣2k）2＞0（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程两根，∴x1+x2=，即tk=2，代入（i）中，求得且t≠0，∴直线l的方程为：y﹣t=（x﹣2），令y=0，得x=4，知定点坐标为（4，0）；…（Ⅱ）（方法一）|AB|===，…（7分）CD直线：，与抛物线y2=4x联立，消去y得：t2x2﹣（8t2+16）x+16t2=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=，x3x4=16，…（8分）设CD的中点为M（x0，y0），∴x0=，y0=，|PM|=，∴|CD|====，∴A，B，C，D四点共圆，有，代入并整理得t4﹣12t2+32=0，求得t2=4或t2=8（舍去），t=±2．∴直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x+4．…（12分）（方法二）利用参数方程求：设AB直线的参数方程为：，代入抛物线C：y2=4x得，sin2θm2+2sinθmt﹣4cosθm+t2﹣8=0，，，则直线CD的参数方程为：，或有，，sin2β=cos2θ，依题意有：|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，sin2θ=cos2θ，则有或，∴直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x+4．…（12分）【点评】本题考查直线过定点，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2017•永州二模）已知函数，，其中a ≥1．（Ⅰ）f（x）在（0，2）上的值域为（s，t），求a的取值范围；（Ⅱ）若a≥3，对于区间[2，3]上的任意两个不相等的实数x1、x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（a+1）x+a，令f′（x）=0得x1=1，x2=a，由题意函数f（x）在区间（0，2）无最值，知f（x）在（0，2）上要么有两个极值点或者没有极值点，即可求a的取值范围；（Ⅱ）不妨设2≤x1＜x2≤3，由（Ⅰ）知：当a≥3时，f（x）在区间[2，3]上恒单调递减，有|f（x1）﹣f（x2）|=f（x1）﹣f（x2），分类讨论，构造函数，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（a+1）x+a，令f′（x）=0得x1=1，x2=a，…（1分）依题意函数f（x）在区间（0，2）无最值，知f（x）在（0，2）上要么有两个极值点或者没有极值点，知1≤a＜2，…（3分），，f（0）=﹣1，，（i）若a=1，函数f（x）在区间（0，2）上恒单调递增，显然符合题意；…（4分）（ii）若1＜a＜2时，有，即，，得；综上有．…（6分）（Ⅱ）不妨设2≤x1＜x2≤3，由（Ⅰ）知：当a≥3时，f（x）在区间[2，3]上恒单调递减，有|f（x1）﹣f（x2）|=f（x1）﹣f（x2），…（7分）（i）若3≤a≤4时，在区间[2，3]上恒单调递减，|g（x1）﹣g（x2）|=g（x1）﹣g （x2），则|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|等价于f（x1）﹣g（x1）＞f（x2）﹣g（x2），令函数F（x）=f（x）﹣g（x），由F（x1）＞F（x2）知F（x）在区间[2，3]上单调递减，F′（x）=x2﹣（a+1）x+a﹣（a﹣4）x=x2﹣（2a ﹣3）x+a，当a≥3时，x2﹣（2a﹣3）x+a≤0，即，求得；…（10分）（ii）若a＞4时，单调递增，|g（x1）﹣g（x2）|=g（x2）﹣g（x1），则|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|等价于f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令函数G（x）=f（x）+g（x），由G（x1）＞G（x2）知G（x）在区间[2，3]上单调递减，有G′（x）=x2﹣（a+1）x+a+（a﹣4）x=x2﹣5x+a≤0，故当2≤x≤3时，x2﹣5x+a≤0，即，求得4＜a≤6，由（i）（ii）得．…（12分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，有难度．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•永州二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把参数方程消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C 的极坐标方程．（Ⅱ）利用极坐标方程求得P、Q的坐标，可得线段PQ的长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为：，普通方程为（x﹣1）2+y2=7，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣6=0；（Ⅱ）设P（ρ1，θ1），则有，解得ρ1=3，θ1=，即P（3，）．设Q（ρ2，θ2），则有，解得ρ2=1，θ2=，即Q（1，），所以|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．【点评】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用以及极坐标的意义，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•永州二模）已知函数f（x）=|kx﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤3的解集为[﹣2，1]，求实数k的值；（Ⅱ）当k=1时，若对任意x∈R，不等式f（x+2）﹣f（2x+1）≤3﹣2m都成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论k的范围，求出不等式的解集，从而求出k的值即可；（Ⅱ）令h（x）=f（x+2）﹣f（2x+1），根据h（x）的单调性求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）显然k≠0，k＞0时，f（x）≤3的解集是[﹣，]，∴﹣=﹣2且=1，但k无解，k＜0时，f（x）≤3的解集是[，﹣]，∴=﹣2且﹣=1，解得：k=﹣2，综上，k=﹣2；（Ⅱ）k=1时，令h（x）=f（x+2）﹣f（2x+1）=，由此可得，h（x）在（﹣∞，0]上递增，在[0，+∞）递减，∴x=0时，h（x）取最大值1，由题意得：1≤3﹣2m，解得：m的范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了解不等式问题，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．。
河南省郑州、平顶山、濮阳市2017届高三第二次质量预测(二模)数学(理)试题
2017年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷答案一、选择题1-5:ACBDB 6-10:ACCBD 11、12：CB二、填空题13.3:1 14.112 15.5 16.6三、解答题17.解：（Ⅰ）12a =-，由1112n n S a n +=++（*n N ∈），得112n n S a n -=+（2n ≥），两式相减得132n n a a +=+．由132n n a a +=+，得13(1)1n n a a +-=-,又1130a -=-≠，所以{}1n a -是以3-为首项，3为公比的等比数列11(3)33n n n a --=-⋅=-，故31n n a =-+．（Ⅱ）33log (1)log 3n n n b a n =-+==，211111()(2)22n n b b n n n n +==-++，1111111111(1)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ (1111)(1)2212n n =+--++323342(1)(2)4n n n +=-<++．18.（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ，且11AC AC =，连结ED ，在ABC ∆中，因为D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点，所以//DE AC ，12DE AC =．又F 为11AC 的中点，可得11112A F AC =，所以1//A F DE ，1A F DE =，因此四边形1A FED 为平行四边形，所以1//EF AC ，又EF ⊄平面1ACD ， 1DA ⊂平面1ACD ，所以//EF 平面1ACD ．（Ⅱ）证明：由于底面ABC ∆是正三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，又1AA CD ⊥，又1AA AB A = ，所以CD ⊥平面11A ABB ．在平面11A ABB 内，过点B 作1BG A D ⊥，交直线1A D 于G ，连结CG ，BG ⊥平面1ACD ，由此得，BCG ∠为直线BC 与平面1ACD 所成的角．设三棱柱的棱长为a ，可得152A D a =，由1~A AD BGD ∆∆，所以55BG a =，在Rt BGC ∆中，5sin 5BG BGC BC ∠==，所以直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值为55．19.解：（Ⅰ）0.033a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2~(200,12.2)Z N ，从而(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826P Z P Z <<=-<<+=．由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：组号 1 2 3 4 5 6 7分组 []60,70 (70,74] (74,78] (78,82] (82,92] (92,100] (100,108]频率 0.02 0.09 0.22 0.33 0.24 0.08 0.02根据题意，生产该食品的平均成本为700.02740.09780.22820.33920.241000.081080.0284.52⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（Ⅰ）将椭圆方程化成标准方程221(0)2x ym m m +=>，22e =．（Ⅱ）由题意，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，直线AB 的斜率存在，设AB 为(2)1y k x =-+，联立222(0)x y m m +=>，得222(12)4(12)2(21)0k x k k x k m ++-+--=(0)m >．1224(21)412k k x x k -+==+，1k =-，此时由0∆>，得6m >，则AB ：30x y +-=，CD ：10x y --=．则2210,2,x y x y m --=⎧⎨+=⎩得23210y y m ++-=，3423y y +=-，故CD 的中点N 为21(,)33-．由弦长公式可得到212||1||AB k x x =+-12(6)23m -=⋅．234128||1(1)||23m CD y y -=+--=⋅||AB >，若存在圆，则圆心在AB 上，CD 的中点N 到直线AB 的距离为423．222242||64||||()()329AB m NA NB -==+=，又22||112864()(2)2439CD m m --=⋅=存在这样的6m >，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上．21.解：（Ⅰ）()ln f x x x x =-．函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()ln f x x =，当1x >时，'()0f x >；当01x <<时，'()0f x < .所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．22()(2)22aag x x a x x =-=-()a R ∈若在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则0a >．（Ⅱ）（i ）依题意，函数()h x 的定义域为(0,)+∞，'()ln h x x ax =-，所以方程'()0h x =在(0,)+∞有两个不同根．即方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根，转化为，函数ln y x =与函数y ax =的图象在(0,)+∞有两个不同交点，如图．只需0a k <<.令切点00(,ln )A x x ，所以001'|x x k y x ===，又00ln x k x =，所以000ln1x x x =，解得0x e =，于是1k e =，所以10a e <<.（ii ）由（i ）可知1x ，2x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =，不妨设12x x >，作差得1122ln ()x a x x x =-，即1212ln x x a x x =-，原不等式212x x e >等价于12ln ln 2x x +>，即12()2a x x +>，即112212()ln x x x x x x 2->+，令12x t x =，则1t >，1122122()ln x x x x x x ->+，即2(1)ln 1t t t ->+，设2(1)()ln 1t F t t t -=-+，1t >，22(1)'()0(1)t F t t t -=>+，∴函数()F t 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0F t F >=，即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立，故所证不等式212x x e >成立．22.解：（Ⅰ）直线的直角坐标方程是3y x =，曲线C 的普通方程是22(2)4x y +-=， 易得圆心到直线l 的距离1d =，所以所求的弦长为222123-=．（Ⅱ）从极点作曲线C 的弦，各弦中点的轨迹的极坐标方程为2sin ρθ=．23.解：（Ⅰ）当0a =时，由()()f x g x ≥得|21|||x x +≥，两边平方整理得23410x x ++≥， 解得1x ≤-或13x ≥-，所以原不等式的解集为1(,1][,)3-∞--+∞ ．（Ⅱ）由()()f x g x ≤，得|21|||a x x ≥+-，令()|21|||h x x x =+-，则11,,21()31,0,21,0x x h x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪+≥⎪⎪⎩，故min 11()()22h x h =-=-，从而所求实数a 的取值范围为12a ≥-．。
2017年河南省六市联考高三理科二模数学试卷
2017年河南省六市联考高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 设复数（为虚数单位），则的虚部是A. B. C. D.3. 函数的图象大致为A. B.C. D.4. 如图，，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④5. 已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若，则的展开式中的常数项A. B. C. D.7. 若不等式组所表示的平面区域存在点使成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.8. 阅读算法框图，如果输出的函数值在区间上，则输入的实数的取值范围是A. B. C. D.9. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线，所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了个在区间上的均匀随机数和个区间上的均匀随机数，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是A. B. C. D.10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何?”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱11. 己知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为A. 或B. 或C. 或D. 或二、填空题（共4小题；共20分）13. 向量，，若，则 ______．14. 已知是首项为的等比数列，是其前项和，且，则数列前项和为______．15. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为______．16. 若曲线：与曲线：存在公切线，则的取值范围为______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．18. 某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．百分制分及以上分到分分到分分以下等级为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求和频率分布直方图中的，的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选人，求至少有人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了名学生进行调研，记表示抽取的名学生中为C等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望．19. 如图，是半圆的直径，是半圆上除，外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，，．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且在第一象限内，直线与圆：相切于点，且，求点的纵坐标的值．21. 已知函数，，（其中是自然对数的底数）．（1），使得不等式成立，试求实数的取值范围；（2）若，求证：．22. 在极坐标系中，曲线的方程为，点．（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标；（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标．23. 设函数．（1）当时，解不等式：；（2）若关于的不等式的解集为，且两正数和满足，求证：．答案第一部分1. C2. A3. D4. D5. C6. B7. B8. D9. A 10. D11. A 12. C第二部分13.14.15.16. ．第三部分17. （1）在中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，，所以，即，又因为，所以．（2）在中，由余弦定理得：，则，即，解得（舍）或，又，所以．18. （1）由题意可知，样本容量，，．（2）不合格的概率为，设至少有人成绩是合格等级为事件，所以，故至少有人成绩是合格等级的概率为．（3） C等级的人数为人，A等级的为人，所以的取值可为，，，；所以，，，，所以的分布列为．19. （1）因为是直径，所以．因为平面，所以．因为，所以平面．因为，，所以是平行四边形，，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）依题意，．由（Ⅰ）知，当且仅当时等号成立．如图所示，建立空间直角坐标系，，，，，所以，，，．设面的法向量为，即所以，设面的法向量为，即所以，所以．因为与二面角的平面角互补，所以二面角的余弦值为．20. （1）由题意可得，，解得，，可得椭圆方程为；（2）当垂直于轴时，可得，，由，即有，解得当不垂直于轴时，设，：，即为，由与圆：相切，可得，平方可得，即，又，由，即有，解得，则解得．综上可得，．21. （1）因为，所以，所以，所以，当时，，函数在上单调递增，所以，因为，所以，因为，所以，，，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以，所以，所以实数的取值范围为；（2），要证：，只要证，只要证，只要证，由于，，只要证，下面证明时，不等式成立，令，，所以，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，令，其可看作点与点连线的斜率，所以直线的方程为，由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线的斜率取得最大值为，所以当时，，时，，综上所述，当，．22. （1）由于，，所以曲线的直角坐标方程为，点的直角坐标为．（2）设，据题意可得，，所以，当时，的最小值为，所以矩形周长的最小值为，点的坐标为．23. （1）当时，不等式：，可化为．①时，不等式可化为，所以；②，不等式可化为，所以；③，不等式可化为，所以，综上所述，不等式的解集为；（2）不等式的解集为，所以，所以，当且仅当，时取等号．。
【河南省新乡市】2017年高考二模理科数学试卷(一)-答案
则1CC OA ⊥，11CC OB ⊥， 111OA OB O CC OAB ⊥=∴Q I ，平面，19．解：（1）根据表中数据计算1(9085746863)765x =⨯++++=，113012511095901105y =⨯++++=（），52522222908574686329394ii x=++=++=∑，519013085125741106895639042595iii x y=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑，12221425955761107951.529394576514ni ii n i i x ynx ybx nx==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑$，$110 1.5764ay bx =-=-⨯=-$; ∴x 、y 的线性回归方程是$ 1.54y x =-; 当x=80时，$ 1.5804116y =⨯-=，即某位同学的物理成绩为80分，预测他的数学成绩是116; （2）抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人， X 表示选中的同学中高于100分的人数，可以取1，2，3，12133335533(1),(2)105C C P X P X ======g g ２２２ＣＣＣＣ， 303351(3)10C P X ===g ２ＣＣ;故X 的分布列为： X 123P310 35 110X 的数学期望值为331()123 1.810510E X =⨯+⨯+⨯=． 20．解：（1）由题意可知(0,)A b ，1F 是线段1QF 的中点， 设12,0),0)(3,(0)(F c F c Q c -，，则-，河南省新乡市2017年高考二模理科数学试卷（一）解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【考点】并集及其运算．【分析】求出集合A，B，然后利用并集的求法，求解即可．【解答】解：A={x|x（x﹣2）=0}={0，2}，B={x∈Z|4x2﹣9≤0}={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2}，故选：B．【点评】本题考查并集的定义以及求解，基本知识的考查．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z===﹣i的实部为2，∴=2，∴a=7．则复数z的虚部为﹣=﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据||||+•=0得出cosθ=﹣1，、的方向相反，由此求出m的值．【解答】解：向量=（1，2），=（m，﹣4），且||||+•=0，∴||||+||||cosθ=0，∴cosθ=﹣1，∴、的方向相反，∴=﹣2，∴m=﹣2．故选：C．【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与运算问题，是基础题目．4．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=60．4＞1，b=log0．40．5∈（0，1），c=log80．4＜0，∴a＞b＞C．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，不难得到输出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=0，S=1满足条件i＜4，执行循环体，i=1，S=满足条件i＜4，执行循环体，i=2，S=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=3，S=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=4，S=﹣不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为﹣．故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理），②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型，③解模，本题属于基础题．6．【考点】频率分布直方图．【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．【解答】解：样本容量为：（150+250+100）×20%=100，∴抽取的户主对四居室满意的人数为：100×．故选：A．【点评】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．7．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用右焦点为F（c，0），点B（0，b），线段BF与双曲线C的右支交于点A，=2，确定A的坐标，代入双曲线方程，结合||=4，则双曲线C的方程可求．【解答】解：设A（x，y），∵右焦点为F（c，0），点B（0，b），线段BF与双曲线C的右支交于点A，=2，∴x=，y=，代入双曲线方程，可得=1，∴b=a，∵||=4，∴c2+b2=16，∴a=2，b=，∴双曲线C的方程为=1．故选D．【点评】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的方程，利用向量知识确定A的坐标是关键．8．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，画出直观图如图所示;则几何体的体积为V几何体=V三棱柱+V三棱锥=××2+×××2=．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．9．【考点】正弦函数的图象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x1+x2的值，判断出x3的范围，即可求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：由题意x∈[0，]，则2x+∈[，]，画出函数的大致图象：由图得，当时，方程f（x）=a恰好有三个根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，∴x1+x2=，π≤x3＜，则x1+x2+x3＜，即x1+x2+x3的取值范围是，故选B．【点评】本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数图象对称性的应用，考查整体思想，数形结合思想．10．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最小值，判断目标函数的最优解，求解a即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图，z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，可知目标函数的最优解过点A，由，解得A（，3），﹣=a﹣3，解得m=1;故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最优解是解题的关键，考查计算能力．11．【考点】球的体积和表面积．【分析】设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD，而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=3，O1O=2，∴Rt△O1OC中，O1C=．又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r==，可得截面面积为S=πr2=．故选A．【点评】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．12．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数y=e x的导数，可得切线的斜率，运用φ（A，B），由分离参数法，可得t＜恒成立，求得右边的范围或最值，即可得到t的范围．【解答】解：y=e x的导数为y′=e x，φ（A，B）===＞0，可得==＞1，t•φ（A，B）＜3恒成立，则t＜恒成立，由＞3，即有t≤3．故选：A．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求切线的斜率，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，求最值，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．【考点】二项式系数的性质．【分析】由通项公式可得：T r+1=（﹣2x）r=（﹣2）r x r，分别令r=3，r=2，即可得出．【解答】解：由通项公式可得：T r+1=（﹣2x）r=（﹣2）r x r，令r=3，则a3==﹣80;令r=2，则a2==40．∴==﹣2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义：|BF|=9+，|AF|=1+，根据题意可知求得p，代入椭圆方程，分别求得y1，y2的值，即可求得y12+y2的值．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）焦点在x轴上，焦点（，0），由抛物线的定义可知：|BF|=9+，|AF|=1+，由|BF|=5|AF|，即9+=1+，解得：p=2，∴抛物线y2=4x，将A，B代入，解得：y1=2，y2=6，∴y12+y2=10，故答案为：10．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线方程的应用，属于中档题．15．【考点】数列的应用．【分析】第1关收税金：x;第2关收税金：（1﹣）x=x;第3关收税金：（1﹣﹣）x=x;…，可得第8关收税金．【解答】解：第1关收税金：x;第2关收税金：（1﹣）x=x;第3关收税金：（1﹣﹣）x=x;…，可得第8关收税金：x，即x．故答案为：．【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【考点】余弦定理;正弦定理．【分析】利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．【解答】（本题满分为12分） 解：∵acosB+bcosA=2， ∴a ×+b ×=2，∴c=2，…（6分）∴4=a 2+b 2﹣2ab ×≥2ab ﹣2ab ×=ab ，∴ab ≤（当且仅当a=b=时等号成立）…（8分） 由cosC=，得sinC=，…（10分）∴S △ABC =absinC ≤××=，故△ABC 的面积最大值为．故答案为：．…（12分）【点评】此题考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 三、解答题 17．（12分）【考点】数列的求和;等差数列的性质;数列递推式．【分析】（1）由S n+1+（）n+1=S n +（）n （n ∈N *），可得a n+1=S n+1﹣S n =．可得a n =，b n =（2n+1）a n =（2n+1）×．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．（2）由（1）可得：T 1=，T 2=，T 3=．利用T 1+T 3，mT 2，3（T 2+T 3）成等差数列，即可得出．【解答】解：（1）∵1*111())22(()n n n n S S n +++=+∈N ，∴1111111()()()222n n n n n n a S S ++++==-=﹣ ∴2n ≥时，1()2n n a =，又112a =，因此1n =时也成立． ∴1()2n n a =，∴1(21)(21)()2n n n b n a n =+=+⨯．∴23357212222n nn T +=++++K ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++K ，111OA OB O CC OAB ⊥=∴Q I ，平面，∴1330330m AB x zm AC y z⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩u r u u u u rgu r u u u rg，1(1,3,1)x n==-r取，得，设平面11AB D的法向量(a,b,c)n=r，∵111333333(0,,),(3,,)2222AD B D=-=-u u u u r u u u u r，∴111333223333032n AD b cn B D a b c⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩r u u u u rgr u u u u rg，取1b=，得(3,1,3)n=r，∴3105,==3557n mcos n mn m=⨯r u rr u r gr u rg＜＞由图知二面角C﹣AB1﹣D1的平面角为钝角，∴二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值为10535-．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．【考点】离散型随机变量的期望与方差;线性回归方程;离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据表中数据计算、，求出回归系数、，写出回归方程，利用回归方程计算x=80时的值即可;（2）抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人，X的可以取1，2，3，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：解：（1）根据表中数据计算1(9085746863)765x=⨯++++=，113012511095901105y=⨯++++=（），52522222908574686329394iix=++=++=∑，519013085125741106895639042595i iix y=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑，12221425955761107951.529394576514ni ii n i i x ynx ybx nx==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑$， $110 1.5764ay bx =-=-⨯=-$; ∴x 、y 的线性回归方程是$ 1.54y x =-; 当x=80时，$ 1.5804116y =⨯-=，即某位同学的物理成绩为80分，预测他的数学成绩是116; （2）抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人， X 表示选中的同学中高于100分的人数，可以取1，2，3，12133335533(1),(2)105C C P X P X ======g g ２２２ＣＣＣＣ，303351(3)10C P X ===g ２ＣＣ;故X 的分布列为： X 1 2 3 pX 的数学期望值为331()123 1.810510E X =⨯+⨯+⨯=． 【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列和期望问题，是基础题． 20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知b 2=3c 2，根据点到直线的距离公式，即可求得c 的值，求得a 和b 的值，求得椭圆方程;（2）设直线PQ 方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得M 和N 点的纵坐标，利用斜率公式求得k 1，k 2，利用韦达定理即可求得k 1k 2．【解答】解：（1）由题意可知(0,)A b ，F 1是线段QF 1的中点，设12,0),03,0)()(F c F c Q c ﹣，，则﹣(， ∵90QAF ∠=o，∴223b c =，由题意1Rt QAF △外接圆圆心为斜边的QF 1中点1(,0)F c -，半径等于2c ，由A ，Q ，F 2，三点恰好与直线3470xy =﹣﹣相切，∴1,(0)F c -到直线的距离等于半径2c ，即3725c c --=， 解得：c=1，b 2=3，a 2=4，∴椭圆的标准方程：22143x y +=;（2）设1122(,),(,)E x y F x y ，直线PQ 的方程为32x my =+，代入椭圆方程22143,32x y x my ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩22)4(4336210m y my ++=﹣，12122236214(3m 4)4(3m 4)m y y y y -+=-=-++，， 由B ，E ，M ，三点共线，可知：111114=,823223M M y y y y x x =+++即，同理可得：22143(4)N y y x =+，∴12121236648383494(2)(2)3232N M N M y y y y y y k k x x =⨯==++--，由2121212124(2)(2)(27)(27)41(9)44x x my my m y y m y y ++=++=+++，∴2122222-2164124(3m 4)-211436744(3m 4)4(3m 4)k k m m ⨯+==-⨯⨯-++， ∴k 1k 2是否为定值﹣．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，属于中档题．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数f （x ）的导数，计算f′（1），f （1）的值，求出切线方程即可;（2）令g （x ）=f （x ）﹣（a ﹣3）x 2﹣（2a ﹣13）x+2，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，根据函数的单调性求出a 的最小值即可;(3)得到+（x 1+x 2）=2x 1x 2﹣2ln （x 1x 2）+4，令t=x 1•x 2，令φ（t ）=2t ﹣2lnt+4，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）∵2()611,(1)15,(1)14,f x x f f x''=--=-=- ∴切线方程是：y+14=﹣15（x ﹣1），即y=﹣15x+1;（2）令222()()(3)(213)2(3)(213)22ln (22)2g x f x a x a x a x a x x ax a x =--------+=-+-+，∴222(22)2()2(22)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=00()0()(0,)a x g x g x ∴'+∞Q ≤时，＞，＞，在递增∵(1)222340g a a a =-++=+﹣﹣＞， ∴关于x 的不等式2()(3)(213)2f x a x ax -+-≤﹣不能恒成立， a ＞0时，12()(1)()a x x a g x x--+'=， 令()0g x '=，得1x a=， ∴1(0x a∈，）时，1()0(,)()0g x x g x a'∈+∞'＞，时，＜，故函数1()(0,)g x a 在递增，在1()a+∞，递减， 故函数()g x 的最大值是1111()2ln 2ln 0g a a a a a=+=-≤，令1()2ln h a a a=-，则()h a 在(0,)+∞递减， ∵11(1)10(2)2ln 22ln e 022h h ==＞，﹣＜﹣＜， ∴2a ≥时，()0h a ＜，故整数a 的最小值是2;(3)证明：由22121212((4))()12(4)f x f x x x x x +++++=，得121122222ln ))(((4)x x x x x x ++++=，从而1212122212((22ln()))4x x x x x x x x ++=-++，令12•t x x =，则由()22ln 4t tt ϕ=+﹣， 得2(1)()t t tϕ-'=，可知()t ϕ在区间(0,1)递减，在(1,)+∞递增， 故()(1)6t ϕϕ=≥，- 21 -/ 21。
2017年河南省郑州、平顶山高考数学二模试卷理科
2017年河南省郑州、平顶⼭⾼考数学⼆模试卷理科2017年⾼中毕业年级第⼆次质量预测数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每个⼩题给出的四个选项中，有且只有⼀项符合题⽬要求.1.已知复数()()n f n i n N *=∈，则集合(){}|z z f n =的元素个数为A. 4B. 3C. 2D.⽆数 2.设0.533,log 2,cos2x y z ===，则A. z x y <<B. y z x <<C. z y x <<D.x z y <<3.要计算1111232017++++ 的结果，下⾯的程序框图中的判断框内可以填⼊的是 A. 2017n < B. 2017n ≤ C. 2017n > D.2017n ≥4.某⼏何体的三视图如图所⽰，其中俯视图是扇形，则该⼏何体的体积为 A.163π B. 3π C. 29π D. 169π5.下列命题是真命题的是A. x R ?∈，函数()()sin 2f x x ?=+都不是偶函数B.,R αβ?∈,使得()cos cos cos αβαβ+=+C. 向量()()2,1,1,0a b ==-，则a 在b ⽅向上的投影是2D.“1x ≤”是“1x ≤”的既不充分也不必要条件6.在区间[]1,e 上任取实数a ，在区间[]0,2上任取实数b ，使函数()214f x ax x b =++有两个相异零点的概率为 A.()121e - B. ()141e - C. ()181e - D.()1161e -7.已知数列{}n a 满⾜()11122,,,n n n n a a a n a m a n S +-=-≥==为数列{}n a 的前n 项和，则2017S 的值为A. 2017n m -B. 2017n m -C.mD.n8.已知实数,x y 满⾜261y x x y x ≥+??+≤??≥?，则22z x y =-+的最⼩值是A. 6B. 5C. 4D.39.已知空间四边形ABCD 满⾜3,7,11,9AB BC CD DA ====，则AC BD ? 的值为A. -1B. 0C.212 D.33210.将数字124467重新排列后得到不同的偶数的个数为A. 72B. 120C. 192D.24011.已知P 为双曲线2214y x -=上任意⼀点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂⾜分别为A,B 则PA PB 的值为A. 4B.5C.45 D.与点P 的位置有关 12.已知函数()sin 2cos xf x x=+，如果当0x >时，若函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下⽅，则k 的取值范围是A. 13B.1,3??+∞C. ?+∞D.第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.13.正⽅体的⼋个顶点中，有四个恰好为⼀个正四⾯体的顶点，则正⽅体的表⾯积与正四⾯体的表⾯积之⽐为 .14.已知幂函数y x α=的图象过点()3,9，则8a x ? ?的展开式中x 的系数为 .15.过点()1,0P -作直线与抛物线28y x =相交于A,B 两点，且2PA AB =，则点B 到该抛物线焦点的距离为 .16.等腰ABC ?中，,AB AC BD =为边AC 上的中线，且3BD =，则ABC ?的⾯积的最⼤值为 .三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出必要的⽂字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满⾜()111.2n n S a n n N *+=++∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3log 1n n b a =-，设数列21n n b b +的前n 项和为nT ，求证：3.4n T <18.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均相等，,,D E F 分别是棱11,,AB BC AC 的中点. （1）求证：//EF 平⾯1ACD ；（2）若三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，求直线BC 与平⾯1ACD 所成⾓的正弦值.19.（本题满分12分）某公司研发⽣产⼀种新的零售⾷品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的⼀项质量指标，有测量结果得到如下所⽰的频率分布直⽅图：（1）求直⽅图中a 的值；（2）偶频率分布直⽅图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2200,12.2N ，试计算数据落在()187.8,212.2上的概率；（3）设⽣产成本为y ，质量指标为x ，⽣产成本与质量指标之间满⾜函数关系0.4,2050.880,205x x y x x ≤?=?->?，假设同组中的每个数据⽤该组区间的右端点值代替，试求⽣产成本的平均值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2220x y m m +=>，以椭圆内⼀点()2,1M 为中点作弦AB,设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C,D 两点；（1）求椭圆的离⼼率；（2）试判断是否存在这样的m,使得A,B,C,D 在同⼀圆上，并说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()()2ln ,.2a f x x x x g x x ax a R =-=-∈（1）若()f x 和()g x 在()0,+∞上有相同的单调区间，求a 的取值范围；（2）令()()()()h x f x g x ax a R =--∈，若()h x 在定义域内有两个不同的极值点. （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设两个极值点分别为12,x x ，证明:212x x e ?>.请考⽣在第22、23两题中任选⼀题作答，如果两题都做，则按照所做的第⼀题给分；作答时，请⽤2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂⿊。
2017年河南省商丘市高考数学二模试卷(理科)
2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A.k＞e3B.k≥e3C.k＞e4D.k≥e4【答案】C【解析】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，∴A={2，3，4，…}，∴lnk＞4，∴k＞e4．故选：C．首先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围．本题考查了集合的化简与应用，属于基础题．2.i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2-i）2互为共轭复数，则a-b=（）A.1B.-1C.7D.-7【答案】D【解析】解：∵=，（2-i）2=4-4i-1=3-4i，又（a，b∈R）与（2-i）2互为共轭复数，∴b=3，a=-4，则a-b=-7．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．3.已知f（x）=sinx-x，命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0，则（）A.p是假命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0B.p是假命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0C.P是真命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0D.p是真命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0【答案】C【解析】解：f（x）=sinx-x，x∈（0，），f′（x）=cosx-1＜0，∴f（x）是（0，）上是减函数，∵f（0）=0，∴f（x）＜0，∴命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0，故选：C．直接利用特称命题否定是全称命题写出结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a-a10的值为（）A.6B.8C.12D.13【答案】C【解析】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60，∴a1+7d=12，2a-a10=2（a1+8d）-（a1+9d）=a1+7d=12．故选：C．由已知条件利用等差数列的通项公式求解．本题考查数列的两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）A.15B.31C.63D.127【答案】C【解析】解：∵输入的x=2，n=5，故v=1，i=4，v=1×2+1=3i=3，v=3×2+1=7i=2，v=7×2+1=15i=1，v=15×2+1=31i=0，v=31×2+1=63i=-1，跳出循环，输出v的值为63，故选：C根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．6.一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm【答案】A【解析】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则10-r+10-r=10cm，∴r=10-5≈3cm．故选：A．由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．7.若不等式组表示的区域Ω，不等式（x-）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A.114B.10C.150D.50【答案】A【解析】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC==区域Γ表示以D（，）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．′=．∴芝麻落入区域Γ的概率为∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．本题考查了几何概型的概率计算，不等式与平面区域，作出平面区域计算两区域的公共面积是解题关键．8.若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则•的值为（）A.-B.-2C.D.2【答案】B【解析】解：如图所示，建立直角坐标系：B（0，），A（，0），C（-，0）．=（，），=（3，0）=+=（2，）．=（，），∴=（-1，），=（，-）则•=-=-2．故选：B．如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．本题考查了向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A.18种B.24种C.48种D.36种【答案】B【解析】解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有3×4=12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式，故选：B．分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．10.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A.（1，） B.（1，2） C.（，+∞） D.（2，+∞）【答案】B【解析】解：由于双曲线-=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=-c，因此，设A（-c，y0），B（-c，-y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2-a2，并化简整理，得2a2+ac-c2＞0两边都除以a2，整理得e2-e-2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2-e-2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．11.如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2，则f（-1）=（）A.-2B.2C.-D.【答案】D【解析】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．再根据A、B两点之间的距离为=2，求得T=4，再根据T==4，求得ω=．∴f（x）=2sin（x+），f（-1）=2sin（-+）=，故选：D．根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（-1）的值．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，空间距离公式的应用，属于中档题．12.已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（）A.[4-2ln2，+∞）B.（，+∞）C.（-∞，4-2ln2]D.（-∞，）【答案】D【解析】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，∴f（x）+1≥1，∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1-＞，f（x）+1＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则f（x）+1=e-m，f（x）=e-m-1，有两个根x1，x2，（不妨设x1＜x2），当x≥1是，lnx2=e-m-1，当x＜1时，1-=e-m-1，令t=e-m-1＞，则lnx2=t，x2=e t，1-=t，x1=2-2t，∴x1x2=e t（2-2t），t＞，设g（t）=e t（2-2t），t＞，求导g′（t）=-2te t，t∈（，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，∴g（t）＜g（）=，∴g（x）的值域为（-∞，），∴x1x2取值范围为（-∞，），故选：D．由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1-＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x1x2=e t （2-2t），t＞，设g（t）=e t（2-2t），t＞，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得x1x2的取值范围．本题考查函数零点的判定，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设a=（cosx-sinx）dx，则二项式（a-）6的展开式中含x2项的系数为______ ．【答案】12【解析】解：由于a=（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）|=-1-1=-2，∴（-2-）6=（2+）6的通项公式为T r+1=2r C6r•x3-r，令3-r=2，求得r=1，故含x2项的系数为2C61=12．故答案为：12根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k= ______ ．【答案】8【解析】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）-2k=，y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=-4，∵•=0，（x1，y1-2）（x2，y2-2）=0，即x1x2+y1y2-2（y1+y2）+4=0，解得：k=8．故答案为：1．设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算（x1，y1-2）（x2，y2-2）=0，即可求得k的值．本题考查直线与抛物线位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满足x n+1=x n-，′设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n= ______ ．【答案】2n-2（n∈N*）【解析】解：函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，可得f（x）=a（x-1）（x-2），f′（x）=a（2x-3），则x n+1=x n-′=x n-=，由a1=，x n＞2，则a n+1=ln=ln=2ln=2a n，即有a n=a1q n-1=•2n-1=2n-2．故答案为：2n-2（n∈N*）．由题意可得f（x）=a（x-1）（x-2），求出导数，可得x n+1=，求得a n+1=ln=2ln=2a n，运用等比数列的通项公式即可得到所求．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用化简变形，以及等比数列的定义和通项公式，考查二次函数的解析式的求法和零点的定义，考查运算能力，属于中档题．16.已知f（x）=x3-3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是______ ．【答案】0＜m＜3+4【解析】解：f（x）=x3-3x+3+m，求导f′（x）=3x2-3由f′（x）=0得到x=1或者x=-1，又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2-6m-23＜0，解得3-4＜m＜3+4又已知m＞0，∴0＜m＜3+4．故答案为：0＜m＜3+4．利用导数求得f（x）=x3-3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性求得最值的知识，考查不等式的构造及其求法，属中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cos C）=c（2-cos B）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b（1+cos C）=c（2-cos B），∴由正弦定理可得：sin B+sin B cos C=2sin C-sin C cos B，可得：sin B cos C+sin C cos B+sin B=2sin C，∴sin A+sin B=2sin C，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）∵C=，△ABC的面积为4=absin C=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2-3×16，解得：c=4．【解析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sin A+sin B=2sin C，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：c2=（a+b）2-3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【答案】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×5=190，当a=39时，X=39×5=195，当a=40时，X=40×5=200，当a=41时，X=40×5+1×7=207，当a=42时，X=40×5+2×7=214．所以X的所有可能取值为190，195，200，207，214．故X的分布列为：∴E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=202.2．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为202.2元．因为202.2＜228，故推荐小明去甲公司应聘．【解析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，可得P（M）=．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，X=38×5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，X的值．当a=41时，X=40×5+1×7，同理可得：当a=42时，X=214．所以X的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得X 的分布列及其数学期望．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A-BD-B1的平面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是B1C1、证明：BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=，∵A1A=4，A1E=．∴A1E2+AE2=，∴AE⊥A1E，∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC，∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．易知A1（0，0，），B（，0，0），C（-，0，0），A（0，，0），D（0，-，），B1（，-，），设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取，，．设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取，，．cos＜，＞=又∵该二面角为钝角，∴二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值为-．【解析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可‘’（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合，椭圆E 的离心率为，过点M（m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）设F1（-c，0），∵抛物线y2=-4x的焦点坐标为（-1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=-4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2-c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，，，，，，==（t2+1）y1y2+（tm-t）（y1+y2）+m2-=．要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1-y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s==．∴当t=0，△OAB面积的最大值为，【解析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2-c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0由•为定值，解得m，|AB|=|y1-y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式及面积的最值，属于中档题．21.已知函数f（x）=lnx-2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x-y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．【答案】（Ⅰ）解：因为f′（x）=-2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x-y=0垂直的切线，所以f′（x）=-在（0，+∞）上有解，即-2a=-在（0，+∞）上有解，也即x=在（0，+∞）上有解，所以＞0，得a＞，故所求实数a的取值范围是（，+∞）；（Ⅱ）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx-2ax，因为g′（x）=，①当-1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜-1时，令g′（x）=0，设x2-2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=x12-2ax1+=0，则a=，要证明+＞a，只需要证明x1lnx1+1＞ax12，因为x1lnx1+1-ax12=x1lnx1-+1=--x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=-x3-x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=-x2-+lnx，记P（x）=-x2-+lnx，x∈（0，1），则P′（x）=-3x+=，当0＜x＜时，p′（x）＞0，当＜x＜1时，p′（x）＜0，所以p（x）max=p（）=-1+ln＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为x=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=--x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．22.在直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．【答案】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y-7=0．又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y-3）2=9；（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=4，t1t2=7，∴t1＞0，t2＞0，所以+=．【解析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，结合根与系数的关系进行解答．本题重点考查了直线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．23.已知函数f（x）=|x-2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）解不等式|x-2|+|2x+1|＞5，x≥2时，x-2+2x+1＞5，解得：x＞2；-＜x＜2时，2-x+2x+1＞5，无解，x≤-时，2-x-2x-1＞5，解得：x＜-，故不等式的解集是（-∞，-）∪（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=|x-2|+|2x+1|=，，＜＜，，故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），从而f（x）-4的取值范围是[-，+∞），进而的取值范围是（-∞，-]∪（0，+∞）．根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（-，0]．【解析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
河南省六市2017届高三第二次联考理科综合试题(Word版)
★2017年4月28日2017年河南省六市高三第二次联考理科综合能力测试注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷〔选择题〕和第Ⅱ卷〔非选择题〕两部分。
答卷前，考生务必将自己的、考生号填写在答题卡上。
2．答复第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．答复第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：第Ⅰ卷一、选择题：此题共13小题，每题6分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.盐酸吗啉胍(又名病毒灵，英文缩写ABOB)能抑制病毒的DNA和RNA聚合酶的活性，从而抑制病毒增殖。
以下表达正确的选项是病毒增殖时，DNA中碱基之间的氢键会发生断裂B.在RNA聚合酶的作用下，脱氧核糖核苷酸依次连接形成RNAC.可通过向普通培养基中添加适量的ABOB试剂培养病毒，进而研究ABOB对病毒增殖的抑制作用作用于基因表达的翻译阶段，从而抑制病毒的增殖2.以下图是人体内某些信息分子的合成部位及作用结果示意图，以下说法正确的选项是A.信息分子A只能由突触前膜释放，长时间与突触后膜上的受体结合B.当细胞外液渗透压升高时，下丘脑分泌的B将增加，信息分子A的作用范围较信息分子B的作用范围大C.信息分子D也可以作用于分泌信息分子C的内分泌腺D.在信息分子E的刺激下，B淋巴细胞增殖分化形成的浆细胞和记忆细胞都可以分泌大量的抗体3.以下有关放射性同位素示踪实验的表达，错误的选项是A.小鼠吸入18O2，则在其尿液中可以检测到H218O，呼出的CO2也可能含有18OB.35S标记甲硫氨酸，附着在内质网上的核糖体与游离的核糖体都可能出现放射性C.将某精原细胞中的某条染色体上的DNA的一条链用15N进行标记，正常情况下，在该细胞分裂形成的精细胞中，含15N的精子所占比例为50%D.在缺氧时给水稻提供14CO2，体内可以存在14C的转移途径14CO→14C3→(14CH2O)→(14C2H5OH)4.以下有关生物学实验的描述错误的选项是A.萨顿运用类比推理的方法证明了基因在染色体上B.在“观察DNA和RNA在细胞中的分布”的实验中，可选用洋葱鳞片叶内表皮作为实验材料C.提取绿叶中的色素时加碳酸钙的作用是肪止色素被破坏D.在调查土壤小动物丰富度时，可以用目测估计法或记名计算法进行丰富度的统计5.果蝇有一种缺刻翅的变异类型，这种变异是由染色体上某个基因缺失引起的，并且有纯合致死效应。
2017届河南省豫南五市高三第二次模拟考试理科数学试题及答案
2017年豫南五市高三第二次模拟考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：l. 答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂’如需改动，用橡皮擦干净后'再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
第1卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项，是符合题目要求的．1．已知集合 {}{}|220,1,A x x x B a =-<=，且 A B 有4个子集，则a 的取值范围是A ．(0，1)B ．(0，2) C. (0,1)(1,2) D. (,1)(2,)-∞+∞ 2．已知i 是虚数单位，且 20141()1i z i i-=++的共轭复数为 z ，则 z z ⋅等于A ．2B ．IC ．0D ．-l 3．已知向量 2(2,1),(1,1)a a b k =+=-。
则 2k =是a b ⊥的 A ．充分不必要祭件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线 2219x y m-=的一个焦点在圆 22450x y x +--=上，则双曲线的渐近线方程为A ． 34y x =± B ． 43y x =± C ．3y x =±D ．4y x =±5．设z =x+y ，其中实数x ．y 满足 2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为A ．-3B ．-6C ．3D ．6 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. ．3 C ．．37．某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩2(100,),(120)N P a ξσξ->=，(80100)P b ξ<≤=，则直线 102ax by ++=与圆 222x y +=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．相离或相切D ．相交或相切8．在 ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边长分别为a ，b ，c ，若 2223a b c +=，则cosC 的最小值为A ． 12B ． 14C ． 239．(3n x 的展开式中各项系数之和为A ，所有偶数项的二项式系数为B ，若A+B =96，则展开式中的含有2x 的项的系数为A.- 540B.- 180C. 540D.18010．已知椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为 (0)c c >，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x =+与椭圆交于B,C 两点,若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是 A ．815 B ． 415 C ． 23 D ． 1211．对于给定的实数 1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数，由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子，记出现向上的点数分别为m ，n ，如果m+n 是偶数，则把 1a 乘以2后再减去2；如果m+n 是奇数，则把 1a 除以2后再加上2，这样就可得到一个新的实数 2a ，对 2a 仍按上述方法进行一狄操作，又得到一个新的实数3a 当 3a > 1a 时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为 34，则 1a 的值不可能是 A.0 B ．2 C ．3 D ．4 12.设函数 []()f x x x =-，其中[x]定义为不超过x 的最大整数，如[][]1,22,1,21-=-=，[1] =l ，又函数 ()3xg x =-，函数 ()f x 在区间(0，2)内零点的个数记为m ，函数 ()f x 与g(x)图象交点的个数记为n ，则 ()nm g x dx ⎰的值是A ． 52- B ． 43- C ． 54- D ． 76-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题一第24题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知点 33(sin,cos )44P ππ在角 θ的终边上（角θ的顶点为原点，始边为x 轴非负半轴），则tan()3πθ+的值为_________ ．14.在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据 (14)i x i ≤≤，在如图所示的程序框图中,x 是这4个数据的平均数，则输出的v 的值为______．15.三棱锥P- ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，PA=2AB=6，则该球的表面积为________．16.已知函数 ()f x ，若对给定的△ABC ，它的三边的长a ，b ，c 均在函数()f x 的定义域内，都有 (),(),()f a f b f c 也为某三角形的三边的长，则称 ()f x 是△ABC 的“三角形函数”，下面给出四个命题： ①函数 1()f x x =是任意三角形的“三角形函数”。
河南省郑州市、平顶山市、濮阳市届高考数学二模试卷(理科)Word版含解析
2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．无数2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（）A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y3．要计算1+++…+的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥20174．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．下列命题是真命题的是（）A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件6．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b 有两个相异零点的概率是（）A． B． C． D．7．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为（）A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n8．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．39．已知空间四边形ABCD，满足||=3，||=7，||=11，||=9，则•的值（）A．﹣1 B．0 C．D．10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．24011．已知P为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|•|PB|的值为（）A．4 B．5C．D．与点P的位置有关12．已知函数f（x）=，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（）A．[，]B．[，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为．14．已知幂函数y=x a的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为．15．过点P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为．16．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n+n+1（n∈+1N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log3（﹣a n+1），求数列{}前n项和为T n，求证T n＜．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．19．（12分）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N （200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．20．（12分）已知椭圆x2+2y2=m（m＞0），以椭圆内一点M（2，1）为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．无数【考点】虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．【分析】直接利用复数的幂运算，化简求解即可．【解答】解：复数f（n）=i n（n∈N*），可得f（n）=，k∈Z．集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．故选：A．【点评】本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（）A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解．【解答】解：∵x=30.5=＞1，0=log31＜y=log32＜log33=1，z=cos2＜0，∴z＜y＜x．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意指数函数、对数函数、三角函数的性质的合理运用．3．要计算1+++…+的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017【考点】程序框图．【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，S=1，n=1+1=2，第2次循环，S=1+，n=2+1=3，…当n=2018时，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出S的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2017．故选：B．【点评】本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．5．下列命题是真命题的是（）A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举出反例φ=，可判断A；举出正例α=，β=﹣，可判断B；求出向量的投影，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．【解答】解：当φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，故A为假命题；∃α=，β=﹣∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ=1，故B为真命题；向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为﹣2，故C为假命题；“|x|≤1”⇔“﹣1≤x≤1”是“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题，故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查奇数的奇偶性，特称命题，向量的投影，充要条件等知识点，难度中档．6．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b 有两个相异零点的概率是（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】设所求的事件为A，由方程ax2+x+b=0有两个相异根，即△=1﹣ab＞0求出ab范围，判断出是一个几何概型后，在坐标系中画出所有的实验结果和事件A构成的区域，再用定积分求出事件A构成的区域的面积，代入几何概型的概率公式求解．【解答】解：设事件A={使函数f（x）=ax2+x+b有两个相异零点}，方程ax2+x+b=0有两个相异根，即△=1﹣ab＞0，解得ab＜1，∵在[1，e]上任取实数a，在[0，2]上任取实数b，∴这是一个几何概型，所有的实验结果Ω={（a，b）|1≤a≤e且0≤b≤2}，面积为2（e﹣1）；事件A={（a，b）|ab＜1，1≤a≤e且0≤b≤2}，面积S==1，∴事件A的概率P（A）=．故选A．【点评】本题考查了几何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的个数求出ab的范围，用定积分求不规则图形的面积，考查了学生综合运用知识的能力．7．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为（）A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n 【考点】数列递推式．【分析】a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，可得a n+6=a n．即可得出．【解答】解：∵a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，∴a3=n﹣m，a4=﹣m，a5=﹣n，a6=m﹣n，a7=m，a8=n，…，∴a n+6=a n．则S2017=S336×6+1=336×（a1+a2+…+a6）+a1=336×0+m=m，故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），z=2|x﹣2|+|y|=﹣2x+y+4，化为y=2x+z﹣4．由图可知，当直线y=2x+z﹣4过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知空间四边形ABCD，满足||=3，||=7，||=11，||=9，则•的值（）A．﹣1 B．0 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，代入=，同样方法，代入，，进一步化简即可求出的值．【解答】解：如图，========0．故选B．【点评】考查向量加法和减法的几何意义，向量的数量积的运算．10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．240【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为=120；末尾是4，不同的偶数个数为=120，即可得出结论．【解答】解：由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为=120；末尾是4，不同的偶数个数为=120，故共有120+120=240个，故选D．【点评】本题考查排列、组合知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知P为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|•|PB|的值为（）A．4 B．5C．D．与点P的位置有关【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的模，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣m2=1，即n2﹣4m2=4，由双曲线﹣x2=1的渐近线方程为y=±2x，则由，解得交点A（，）；由，解得交点B（，）．=（，），=（，），则有|PA|•|PB|===．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的模求法，考查运算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（）A．[，]B．[，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，即可得到切线的方程，结合图象，可得k的范围．【解答】解：函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），由f（x）的导数f′（x）==，可得切线的斜率为=，可得切线的方程为y=x，结合图象，可得k≥．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和确定原点为切点，结合图象是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为：1．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】作图分析．【解答】解：如图：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S=6a2；正四面体的边长为则其表面积为4•sin60°=2a2；则面积比为6a2：2a2=：1．故答案为：：1．【点评】考查了学生的空间想象力．14．已知幂函数y=x a的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为112．【考点】二项式系数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】直接利用幂函数求出a的值，然后求出二项式展开式中所求项的系数．【解答】解：幂函数y=x a的图象过点（3，9），∴3a=9，∴a=2，=（﹣1）r C8r28﹣r x，∴=（﹣）8的通项为T r+1令r﹣8=1，解得r=6，展开式中x的系数为（﹣1）6C8628﹣6=112，故答案为：112．【点评】本题考查二项式定理的应用，幂函数的应用，考查计算能力．15．过点P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为5．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】利用过P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，求出B的横坐标，即可求出点B到抛物线的焦点的距离．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设A，B在直线x=﹣1的射影分别为D，E．∵2|PA|=|AB|，∴3（x1+1）=x2+1即3x1+2=x2，3y1=y2，∵A．B两点在抛物线y2=8x上∴3=，解得x1=，x2=3，∴点B到抛物线的焦点的距离为BF=3+2=5．故答案为5【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定B的横坐标．16．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为6．【考点】正弦定理．【分析】设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值．【解答】解：设AB=AC=2x，AD=x．设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ==，∴sinθ====，∴根据公式三角形面积S=absinθ=×2x•2x•=，∴当x2=5时，三角形面积有最大值6．故答案为：6．【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2017•濮阳二模）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n+n+1（n∈N*）．+1（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =log 3（﹣a n +1），求数列{}前n 项和为T n ，求证T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）S n =a n +1+n +1（n ∈N *）．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n +1+n +1﹣，化为：a n +1=3a n ﹣2，可得：a n +1﹣1=3（a n ﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．（II ）b n =log 3（﹣a n +1）=n ，可得=．再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．【解答】（I ）解：∵S n =a n +1+n +1（n ∈N *）．∴n=1时，﹣2=a 2+2，解得a 2=﹣8．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n +1+n +1﹣， 化为：a n +1=3a n ﹣2，可得：a n +1﹣1=3（a n ﹣1）， n=1时，a 2﹣1=3（a 1﹣1）=﹣9，∴数列{a n ﹣1}是等比数列，首项为﹣3，公比为3． ∴a n ﹣1=﹣3n ，即a n =1﹣3n ． （II ）证明：b n =log 3（﹣a n +1）=n ，∴=．∴数列{}前n项和为T n =++…++=＜．∴T n ＜．【点评】本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•濮阳二模）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连接DE，通过证明四边形A1DEF是平行四边形得出EF∥A1D，从而EF∥平面A1CD；（II）过B作BM⊥A1D交延长线于M，连接CM，则可证BM⊥平面A1CD，即∠BCM为所求线面角，设三棱柱棱长为1，利用三角形相似求出BM即可得出sin∠BCM=．【解答】证明：（I）连接DE，∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE AC，∵F是A1C1的中点，∴A1F=A1C1，又AC A1C1，∴A1F DE，∴四边形A1DEF是平行四边形，∴EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴EF∥平面A1CD．（II）过B作BM⊥A1D交延长线于M，连接CM，∵ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，又A1A⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴A1A⊥CD，∴CD⊥平面ABCD，又BM⊂平面ABCD，∴CD⊥BM，又CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，CD∩A1D=D，∴BM⊥平面A1CD，∴∠BCM为直线BC与平面A1CD所成的角，设直三棱柱棱长为1，则BM=，∴sin∠BCM==．【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．19．（12分）（2017•濮阳二模）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N （200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图即可求出a的值，（Ⅱ）根据正态分布的定义即可求出答案，（Ⅲ）根据分段函数的关系式代值计算即可．【解答】解：（Ⅰ）a=0.1﹣（0.002+0.009+0.022+0.024+0.008+0.002）=0.033，（Ⅱ）S2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.08=150所以为质量指标值Z服从正态分布N（200，150），所以P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826，故p（187.8，212.2）上的频率为0.6826；（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，则y=0.4（175+185+195+205）+0.8×215﹣80+0.8×225﹣80﹣0.8×235﹣80=604【点评】本题考查了频率分布直方图和正态分布以及分段函数的问题，属于基础题．20．（12分）（2017•濮阳二模）已知椭圆x2+2y2=m（m＞0），以椭圆内一点M（2，1）为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意，a=，b=，c=，即可求椭圆的离心率；（Ⅱ）CD的中点为M，证明|MA|2=|MB|2=d2+=，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a=，b=，c=，∴=；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入作差，整理可得（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0．依题意，M（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，从而k AB=﹣1．直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．与椭圆方程联立，可得3x2﹣12x+18﹣m=0，∴|AB|=•|x1﹣x2|=．①∵CD垂直平分AB∴直线CD的方程为y﹣1=x﹣2，即x﹣y﹣1=0代入椭圆方程，整理得3x2﹣4x+2﹣m=0．又设C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x0，y0），则x3，x4是方程③的两根，∴x3+x4=，∴M（，﹣）于是由弦长公式可得|CD|=•|x3﹣x4|=．②点M到直线AB的距离为d==．③于是，由①②③式及勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d2+=，此时|AB|＜|CD|故A、B、C、D四点均在以M为圆心，||为半径的圆上．【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．21．（12分）（2017•濮阳二模）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a ∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导，求得f（x）的单调区间，由二次函数的性质即可求得a 的取值范围；（Ⅱ）（i）求导h′（x）=lnx﹣ax，由方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根，方法一：根据函数图象直线y=ax与y=lnx有两个交点，求得y=lnx的切点，即可求得a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=lnx﹣ax，求导，根据函数的单调性，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知：x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，则只需证明lnt＞，t＞1，构造辅助函数，根据函数的单调性，求得g（t）＞g（1）=0，即可证明lnt＞，成立，则x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求导f′（x）=lnx，令f′（x）=0，解得：x=1，则当f′（x）＞0，解得：x＞1，当f′（x）＜0时，解得：0＜x＜1，∴f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），由g（x）=x2﹣ax（a∈R）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，则g（x）开口向上，对称轴x=1，则a＞0，∴a的取值范围（0，+∞）；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax=xlnx﹣x﹣x2的定义域为（0，+∞），求导h′（x）=lnx﹣ax，则方程h′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根．（解法一）转化为，函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．…6分令切点A（x0，lnx0），则k=y′=，又k=，=，解得，x0=1，于是k=，∴0＜a＜；…8分解法二：令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，求导g′（x）=﹣ax=（x＞0）若a≤0，可见g′（x）在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．…5分若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，（）=ln﹣1，…6分从而g（x）的极大值，g（x）极大值=g又在x→0时，g（x）→﹣∞，在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大值＞0，即ln﹣1＞0，∴0＜a＜，…7分综上所述，0＜a＜；…8分（ⅱ）证明：由（i）可知x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=，原不等式x1•x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2，则a（x1+x2）＞2，ln＞，令=t，则t＞1，ln＞，则lnt＞，…10分设g（t）=lnt﹣，t＞1，g′（t）=＞0，∴函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞，成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的最值，考查转化思想，分析法证明不等式成立，属于中档题．四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•濮阳二模）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，展开可得：=0，化为直角坐标方程．曲线C的参数方程是（α为参数），利用平方关系消去参数α可得普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，可得直线l被曲线C截得的弦长=2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．【解答】解：（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，展开可得：=0，化为：y﹣x=0．曲线C的参数方程是（α为参数），消去参数α可得：x2+（y﹣2）2=4，圆心C（0，2），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d==1，∴直线l被曲线C截得的弦长=2=2=2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得：（2x）2+（2y﹣2）2=4，化为：x2+y2﹣2y﹣3=0，可得ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．（2017•濮阳二模）已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由不等式可得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．。
【河南省郑州、平顶山、濮阳市】2017届高三第二次质量预测数学(理科)二模试卷
河南省郑州、平顶山、濮阳市2017届高三第二次质量预测数学（理科）二模试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知复数()i ()n f n n =∈*N ，则集合{|()}z z f n =的元素个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．无数2．设0.533,log 2,cos2x y z ===，则（ ）A ．z x y ＜＜B ．y z x ＜＜C ．z y x ＜＜D ．x z y ＜＜ 3．要计算1111232017++++L 的结果，下面的程序框图中的判断框内可以填入的是（ ） A ．2017n ＜B ．2017n ≤C ．2017n ＞D ．2017n ≥4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．16π3B ．π3 C ．2π9 D ．16π9 5．下列命题是真命题的是A ．x ∀∈R ，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数（ ）B ．,αβ∃∈R ,使得cos()cos cos αβαβ+=+C ．向量(2,1),(1,0)a b ==-r r ，则a r 在b r 方向上的投影是2D ．“||1x ≤”是“1x ≤”的既不充分也不必要条件6．在区间[1,e]上任取实数a ，在区间[0,2]上任取实数b ，使函数21()4f x ax x b =++有两个相异零点的概率为（ ）A ．12(e 1)-B ．14(e 1)-C ．18(e 1)-D ．116(e 1)- 7．已知数列{}n a 满足1112(2),,,n n n n a a a n a m a n S +-=-==≥为数列{}n a 的前n 项和，则2017S 的值为（ ）A ．2017n m -B ．2017n m -C ．mD ．n8．已知实数,x y 满足261y x x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，则2|2|||z x y =-+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．39．已知空间四边形ABCD 满足||3,||7,||11,||9AB BC CD DA ====u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AC BD u u u r u u u r g 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．212D ．33210．将数字124 467重新排列后得到不同的偶数的个数为（ ）A ．72B ．120C ．192D ．24011．已知P 为双曲线2214y x -=上任意一点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A ，B 则||||PA PB 的值为（ ）A ．4B ．5C ．45D ．与点P 的位置有关12．已知函数sin ()2cos x f x x=+，如果当0x ＞时，若函数()f x 的图像恒在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是（ ） A．1[3 B ．1[,)3+∞ C．)+∞ D．[ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．正方体的八个顶点中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为________．14．已知幂函数y x α=的图象过点(3,9)，则8(a x 的展开式中x 的系数为________．15．过点(1,0)P -作直线与抛物线28y x =相交于A ，B 两点，且2||||PA AB =，则点B 到该抛物线焦点的距离为________．16．等腰ABC △中，,AB AC BD =为边AC 上的中线，且3BD =，则ABC △的面积的最大值为____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程．17．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足111()2n n S a n n *+=++∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3log (1)n n b a =-，设数列21{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T ＜． 18．（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均相等，,,D E F 分别是棱11,,AB BC AC 的中点．（1）求证：EF ∥平面1A CD ；（2）若三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值．19．（本题满分12分）某公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标，有测量结果得到如下所示的频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值；（2）偶频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(200,12.2)N ，试计算数据落在(187.8,212.2)上的概率；（3）设生产成本为y ，质量指标为x ，生产成本与质量指标之间满足函数关系0.4,2050.880,205x x y x x ⎧=⎨-⎩≤＞，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试求生产成本的平均值．20．（本题满分12分）已知椭圆222(0)x y m m +=＞，以椭圆内一点(2,1)M 为中点作弦AB ,设线段AB 的中垂线与椭圆相交于,C D 两点；（1）求椭圆的离心率；（2）试判断是否存在这样的m ,使得,,,A B C D 在同一圆上，并说明理由．21．（本题满分12分）已知函数2()ln ,()()2a f x x x x g x x ax a =-=-∈R ． （1）若()f x 和()g x 在(0,)+∞上有相同的单调区间，求a 的取值范围；（2）令()()()()h x f x g x ax a R =--∈，若()h x 在定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设两个极值点分别为12,x x ，证明:212e x x g ＞．请考生在第22．23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)Word版含解析
2017年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．上，则输入的实数x的取值范围是（）A． C． D．9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=c，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数x i和10个区间上的均匀随机数y i（i ∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．（e﹣1）B．（e﹣1）C．（e+1）D．（e+1）10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱11．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．12．已知双曲线Γ1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ2：+=1的离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于M，N两点，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M，=e，则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．15°或165°二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= ．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A ，C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC=EB ，AB=4，tan ∠EAB=． （1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥C ﹣ADE 体积最大时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2017年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=上，则输入的实数x的取值范围是（）A． C． D．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是．故选：D．9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=c，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数x i和10个区间上的均匀随机数y i（i ∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．（e﹣1）B．（e﹣1）C．（e+1）D．（e+1）【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】向矩形区域内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此根据矩形区域的面积为e﹣1，能求出曲边三角形面积的近似值．【解答】解：由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为=．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为（e﹣1）．故选：A10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．11．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，故选：A．12．已知双曲线Γ1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ2：+=1的离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于M，N两点，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M，=e，则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．15°或165°【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】用a，b，c表示出MF1，MF2，NF1，NF2，利用余弦定理计算cos∠F1F2M和cos∠F1F2N，由∠F1F2M+∠F1F2N=0计算出离心率e1，得出a和b的关系即可得出答案．【解答】解：∵cos∠F1MN=cos∠F1F2M，∴∠F1MN=∠F1F2M，∴|MF1|=|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|MF2|=|MF1|﹣2a=2c﹣2a，∵椭圆Γ2： +=1的离心率为e==，∴=，∴|NF1|=4c，|NF2|=4c﹣2a，在△MF1F2中，由余弦定理的cos∠F1F2M==，在△NF1F2中，由余弦定理的cos∠F1F2N==，∵∠F1F2M+∠F1F2N=π，∴cos∠F1F2M+cos∠F1F2N=0，即+=0，整理得2a2+3c2﹣7ac=0，设双曲线的离心率为e1，∴3e12﹣7e1+2=0，解得e1=2或（舍）．∴=4，∴3a2=b2，即=．∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∴渐近线的倾斜角为60°和120°．故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= 3 ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出λ的值．【解答】解：向量=（﹣1，1），=（1，0），∴=2， =1，=﹣1；又（﹣）⊥（2+λ），∴（﹣）•（2+λ）=2+（λ﹣2）•﹣λ=0，即2×2+（λ﹣2）•（﹣1）﹣λ•1=0，解得λ=3．故答案为：3．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为58 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，求出q，可得a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，再求数列{|log2a n|}前10项和．【解答】解：∵{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，∴=，∴1+q3=，∴q=，∴a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，∴|log2a n|=|7﹣2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故答案是：58．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故答案为：．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为[，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=e x2=，可得2x2=x1+2，∴a=，记f（x）=，则f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x=2时，f（x）min=．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，则…即，解得或，…又，所以．…18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C 三级为合格等级，D为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】CS：概率的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图和树形图求解；（2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；（3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可．【解答】解：（1））由题意可知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率为0.1，设至少有1人成绩是合格等级为事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1人成绩是合格等级的概率为；（3）C等级的人数为0.18×50=9人，A等级的为3人，∴ξ的取值可为0，1，2，3；∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…，∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…设面DAE的法向量为，，即，∴，…设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当PM垂直于x轴时，求得P，Q的坐标，运用数量积为0，可得t；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），运用直线和圆相切的条件：d=r，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，解得a=2，b==，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，又Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0，解得t=，则t2=======12，解得t=．综上可得，t=．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．【考点】6P：不等式恒成立的问题．【分析】（1）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（2）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】（1）解：∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣e x，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣e x，∵x∈，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， e x≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=﹣，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（2）证明：x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，只要证e x（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证，下面证明x＞﹣1时，不等式成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，∴直线AB的方程为y=k（x+），由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标．（Ⅱ）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4，点P（）．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为=，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．精品文档2017年5月23日试卷。
河南省郑州、平顶山、濮阳市2017届高三第二次质量预测(二模)数学(理)答案(扫描版)
……………… 10 分
又
存在这样的
，使的
在同一个圆上 . ……………… 12 分
21．解：（Ⅰ）
函数
的定义域为
，
当
时，
；当
时，
.
所以，
在
上单调递减；在
上单调递增 . ……………… 2 分
若在
上单调递减；在
上单调递增，
则
……………… 4 分
(Ⅱ ) （ⅰ）依题意，函数
的定义域为
，
所以方程
在
有两个不同根 .
.……………… 12 分
19.解析： （ I ） （II ）由（ I）知，
……………… 4 分 ，从而
………………６ 分
由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：
组号 1
2
3
4
5
6
7
分组
频率 0.02
0.09
0.22
0.33
0.24
0.08
0.02
根据题意，生产该食品的平均成本为
……………… 9 分
20.解析：（ Ⅰ ）将椭圆化成标准方程
……………… 12 分
，
……………… 3 分
（Ⅱ ）由题意， 设
，
为
，联立
得：
直 线 的斜率存在， 设
，此时由
得，
………………６ 分
则为
，则 为
……………… 8 分
则
得
故 的中点 为
由弦长公式可得到
，若存在圆，则圆心在
上，
的中点 到直线
的距离为
.……………… 4 分
， ……………… 2 分
2017年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)
2017年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．1．（5分）已知集合M ={x|y =√x −1}，N ＝{x |y ＝log 2（2﹣x ）}，则∁R （M ∩N ）＝（ ） A ．[1，2） B ．（﹣∞，1）∪[2，+∞） C ．[0，1]D ．（﹣∞，0）∪[2，+∞）【解答】解：由题意可得 M ＝{x |x ﹣1≥0}＝{x |x ≥1}，N ＝{x |2﹣x ＞0}＝{x |x ＜2}， ∴M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}＝[1，2），∴∁R （M ∩N ）＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）， 故选：B ．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z ＝|1﹣i |（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．√22−√22i D ．√22+√22i 【解答】解：由（1+i ）z ＝|1﹣i |， 得z =|1−i|1+i =√2(1−i)(1+i)(1−i)=√2−√2i2=√22−√22i ，则z =√22+√22i ．故选：D ．3．（5分）已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1+a 5+a 9a 2+a 3=（ ）A ．2B ．3C ．5D ．7【解答】解：∵等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列， ∴a 42＝a 2a 8，∴（a 1+3d ）2＝（a 1+d ）（a 1+7d ）， ∴d 2＝a 1d ， ∵d ≠0， ∴d ＝a 1， ∴a 1+a 5+a 9a 2+a 3=15a 15a 1=3．故选：B ．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．√22B ．√52C ．√62D ．3【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A ﹣BCDE 的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形， 则S △AED =12×1×1=12，S △ABC ＝S △ABE =12×1×√2=√22，S △ACD =12×1×√5=√52， 故选：B ．5．（5分）甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ） A ．144种B ．180种C ．288种D ．360种【解答】解：根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在6个位置中任选一个即可，有C 61＝6种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的2个位置中，任选一个，安排乙，有C 21＝2种选法；3、将剩余的4个人，安排在其余的4个位置，有A 44＝24种安排方法； 则这6名同学的站队方法有6×2×24＝288种； 故选：C ．6．（5分）已知圆C 的方程为x 2+y 2＝1，直线l 的方程为x +y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于A ，则|P A |的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．√2−1D ．2−√2【解答】解：由题意，P A 平行于坐标轴，或就是坐标轴．不妨设P A∥y轴，设P（cosα，sinα），则A（cosα，2﹣cosα），∴|P A|＝|2﹣cosα﹣sinα|＝|2−√2sin（α+45°）|，∴|P A|的最小值为2−√2．故选：D．7．（5分）如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P＝（）A．M2017B．2017MC．4M2017D．20174M【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2017时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2017，所以要求的概率4M2017，所以空白框内应填入的表达式是P=4M 2017．故选：C．8．（5分）设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为（）A．πB．3πC．8πD．9π【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O2的半径为r＝2，∴△ABC的边长为2√3，∴圆锥的底面半径为√3，高为3，∴V=13π×3×3=3π．故选：B．9．（5分）F1、F2分别是双曲线x2a −y2b=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．√2B．√3C．√5D．√7【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e=√7．故选：D．10．（5分）设函数f(x)=ln(√x 2+1−x)，若a ，b 满足不等式f （a 2﹣2a ）+f （2b ﹣b 2）≤0，则当1≤a ≤4时，2a ﹣b 的最大值为（ ） A ．1B ．10C ．5D ．8【解答】解：函数f(x)=ln(√x 2+1−x)，定义域为R ，且对于任意的x ∈R 都有 f （﹣x ）+f （x ）＝ln （√(−x)2+1+x ）+ln （√x 2+1−x ）＝ln （x 2+1﹣x 2）＝0， ∴函数y ＝f （x ）定义域R 上的为奇函数；由f （a 2﹣2a ）+f （2b ﹣b 2）≤0可得f （a 2﹣2a ）≤﹣f （2b ﹣b 2） 由函数为奇函数可得式f （a 2﹣2a ）≤f （﹣2b +b 2）； 又∵f ′（x ）=x√−1√x +1−x0恒成立，∴函数f （x ）为R 上的减函数；∴a 2﹣2a ≥﹣2b +b 2，即a 2﹣b 2﹣2（a ﹣b ）≥0， 整理可得，（a +b ﹣2）（a ﹣b ）≥0， 作出不等式组{(a +b −2)(a −b)≥01≤a ≤4所表示的平面区域即可行域如图所示的△ABC ；令Z ＝2a ﹣b ，则Z 表示2a ﹣b ﹣Z ＝0在y 轴上的截距的相反数，由图可知，当直线经过点A （1，1）时Z 最小，最小值为Z ＝2×1﹣1＝1， 当直线经过点C （4，﹣2）时Z 最大，最大值为2×4﹣（﹣2）＝10． 故选：B ．11．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosB b=−3cosC c，则角A的最大值是（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【解答】解：∵cosB b=−3cosC c，∴由余弦定理可得：a 2+c 2−b 22acb=−3×a 2+b 2−c 22abc ，∴解得：2a 2+b 2＝c 2， ∴cos A =b2+c 2−a 22bc=b 2+c 2−c 2−b 222bc=3b 2+c 24bc ≥2√3bc 4bc =√32， ∵A ∈（0，π）， ∴角A 的最大值是π6．故选：A ．12．（5分）已知函数f(x)={x 2−1(x ＜1)lnx x(x ≥1)关于x 的方程2[f （x ）]2+（1﹣2m ）f （x ）﹣m ＝0，有5不同的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．(−1，1e)B ．（0，+∞）C ．(0，1e)D ．(0，1e]【解答】解：设y =lnxx ，则y ′=1−lnxx 2， 由y ′＝0，解得x ＝e ，当x ∈（0，e ）时，y ′＞0，函数为增函数，当x ∈（e ，+∞）时，y ′＜0，函数为减函数． ∴当x ＝e 时，函数取得极大值也是最大值为f （e ）=1e ．方程2[f （x ）]2+（1﹣2m ）f （x ）﹣m ＝0化为[f （x ）﹣m ][2f （x ）+1]＝0．解得f （x ）＝m 或f （x ）=−12． 如图画出函数图象：可得m 的取值范围是（0，1e ）．故选：C ．二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．13．（5分）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线4x ﹣3y ＝0（x ≤0）上，则cos α﹣sin α＝15．【解答】解：角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线4x ﹣3y ＝0（x ≤0）上， 不妨令x ＝﹣3，则 y ＝﹣4，∴r ＝5，∴cos α=x r =−35，sin α=y r =−45， 则cos α﹣sin α=−35+45=15， 故答案为：15．14．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则（a 1a 3﹣a 22）+（a 2a 4﹣a 32）+（a 3a 5﹣a 42）+…+（a 2015a 2017﹣a 20162）＝ 1 ． 【解答】解：a 1a 3﹣a 22＝1×2﹣1＝1， a 2a 4﹣a 32＝1×3﹣22＝﹣1， a 3a 5﹣a 42＝2×5﹣32＝1， …a 2015a 2017﹣a 20162＝1∴（a 1a 3﹣a 22）+（a 2a 4﹣a 32）+（a 3a 5﹣a 42）+…+（a 2015a 2017﹣a 20162） ＝1+（﹣1）+1+（﹣1）+…+1＝1．故答案为1．15．（5分）如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在线段OA ，OB 上，且OC ＝BD ．若OA ＝1，∠AOB ＝120°，则MC →⋅MD →的取值范围是 [38，12] ．【解答】解：以OA 为x 轴，O 为原点建立如图坐标系，则 ∵半径OA ＝1，且∠AOB ＝120°， ∴弧AMB 的中点M 坐标为（12，√32） 求得BO 方程为：y =−√3x ， 设C （1﹣m ，0），则D （−12m ，√32m ），（0≤m ≤1） ∴MC →=（12−m ，−√32），MD →=（−12m −12，√32m −√32）因此，MC →•MD →=（12−m ）（−12m −12）−√32（√32m −√32）=12m 2−12m +12=12（m −12）2+38∴当m =12时，MC →•MD →有最小值为38；当m ＝0或1时，MC →•MD →有最大值为12故答案为：[38，12]16．（5分）已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆x 2+y 2＝4上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线P A 与椭圆C 交于点Q ，则k PB k QF的取值范围是 （﹣∞，0）∪（0，1） ． 【解答】解：椭圆C ：x 24+y 23=1焦点在x 轴上，a ＝2，b =√3，c ＝1，右焦点F （1，0），由P 在圆x 2+y 2＝4上，则P A ⊥PB ， 则k AP •k PB ＝﹣1，则k PB =−1k AP，k PB k QF=−1k APk QF=−1k AP ⋅k QF，设Q （2cos θ，√3sin θ），则k AP •k QF =√3sinθ2cosθ+2•√3sinθ2cosθ−1，=3sin 2θ4cos 2θ+2cosθ−2， =3(1−cos 2θ)4cos 2θ+2cosθ−2，设t ＝cos θ，t ∈（﹣1，1），则f （t ）=3(1−t 2)4t 2+2t−2，∴k PB k QF=4t 2+2t−23(t 2−1)=43+23⋅1t−1∈（﹣∞，1），且不等于0．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）．三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝（n +1）a n ，（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n ＝3n ﹣λa n 2，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． 【解答】解：（1）∵2S n ＝（n +1）a n ， ∴2S n +1＝（n +2）a n +1，两式相减可得2a n +1＝（n +2）a n +1﹣（n +1）a n ， 即na n +1＝（n +1）a n ， ∴a n+1n+1=a n n， ∴a n n=a n−1n−1=⋯=a 11=1，∴a n ＝n （n ∈N *）． （2）b n =3n −λn 2，.b n+1−b n =3n+1−λ(n +1)2−（3n ﹣λn 2）＝2•3n ﹣λ（2n +1）． ∵数列{b n }为递增数列，∴2•3n﹣λ（2n +1）＞0，即λ＜2⋅3n2n+1．令c n =2⋅3n 2n+1，则c n+1c n =2⋅3n+12n+3•2n+12⋅3=6n+32n+3＞1．∴{c n }为递增数列， ∴λ＜c 1＝2，即λ的取值范围为（﹣∞，2）．18．（12分）某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值． 【解答】解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验， 在一次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13；该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验， 可设出现故障的机器台数为X ，则X ～B(4，13)，P(X =0)=C 40(23)4=1681， P(X =1)=C 41⋅13⋅(23)3=3281， P(X =2)=C 42⋅(13)2(23)2=2481， P(X =3)=C 43⋅(13)3⋅23=881，则X 的分布列为：X 01234P168132812481881181设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X ≤n ， 则X ＝0，X ＝1，X ＝2，…，X ＝n ，这n +1个互斥事件的和事件，则n 01234P （X ≤n ） 16814881728180811∵7281≤90%≤8081，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%；（2）设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为：18，13，8， P （Y ＝18）＝P （X ＝0）+P(X =1)+P(X =2)=7281， P(Y =13)=P(X =3)=881， P(Y =8)=P(X =4)=181； 则Y 的分布列为：Y 18138P7281881181则E(Y)=18×7281+13×881+8×181=140881； 故该厂获利的均值为140881．19．（12分）已知三棱锥A ﹣BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD ＝BD ＝2，CD ＝2√3，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．（1）P 为线段BC 上一点．且CP ＝2PB ，求证：AP ⊥DE ． （2）求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵PG ∥BD ，且PG 交CD 于G ， ∴CG GD=CP PB=2，∴GD =13CD =23√3，在△ADG 中，tan∠GAD =√33，∴∠DAG ＝30°．AC 2＝AD 2+CD 2＝4+12＝16，∴AC ＝4，E 为中点，DE ＝AE ＝2， ∴∠ADE ＝60°，∴AG ⊥DE ． ∵AD ⊥面BCD ，∴AD ⊥BD ，又∵BD ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，∴BD ⊥面ADC ， ∴PG ⊥面ADC ，∴PG ⊥DE ．∵AG ∩PG ＝G ，∴DE ⊥面AGP ，AP ⊂面AGP ， ∴DE ⊥AP ．解：（2）以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，2），B （2，0，0），C(0，2√3，0)，E(0，√3，1)，F(1，√3，0)， DF →=(1，√3，0)，DE →=(0，√3，1)，AC →=(0，2√3，−2)． 设平面EDF 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{DF →⋅n →=0DE →⋅n →=0即{x +√3y =0√3y +z =0 取n =(3，−√3，3)． 设AC →，n →的夹角为θ，cosθ=AC →⋅n→|AC →|⋅|n →|=421√217． 所以直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值为√217．20．（12分）已知动圆M 过定点E （2，0），且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4． （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）设A ，B 是轨迹C 上的两点，且OA →⋅OB →=−4，F （1，0），记S ＝S △OF A +S △OAB ，求S 的最小值．【解答】解：（1）设M （x ，y ），PQ 的中点N ，连MN ，则：|PN |＝2，MN ⊥PQ ， ∴|MN |2+|PN |2＝|PM |2． 又|PM |＝|EM |， ∴|MN |2+|PN |2＝|EM |2∴x 2+4＝（x ﹣2）2+y ，整理得y 2＝4x ．（2）设A(y 124，y 1)，B(y 224，y 2)，不失一般性，令y 1＞0，则S △OFA =12⋅|OF|⋅y 1=12y 1， ∵OA →⋅OB →=−4， ∴y 12y 2216+y 1y 2=−4，解得y 1y 2＝﹣8③直线AB的方程为：y−y 1y 2−y 1x−y 124y 224−y 124，（y 1≠﹣y 2），即y −y 1=4(x−y 124)y 1+y 2，令y ＝0得x ＝2，即直线AB 恒过定点E （2，0），当y 1＝﹣y 2时，AB ⊥x 轴，A(2，2√2)，B(2，−2√2)． 直线AB 也经过点E （2，0）．∴S △OAB =12|OE|⋅|y 1−y 2|=y 1−y 2． 由③可得S △OAB =y 1+8y 1，∴S =12y 1+(y 1+8y 1)=32y 1+8y 1≥2√12=4√3．当且仅当32y 1=8y 1，即y 1=4√33时，S min =4√3． 21．（14分）已知函数f （x ）＝lnx −1x ，g （x ）＝ax +b ．（1）若a ＝2，F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求F （x ）的单凋区间；（2）若函数g （x ）＝ax +b 是函数f （x ）＝lnx −1x的图象的切线，求a +b 的最小值； （3）求证：2ex−52−lnx +1x ＞0．【解答】解：（1）a ＝2时，F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）=lnx −1x −2x −b ， F′(x)=1x +1x 2−2(x ＞0)，F′(x)=x+1−2x 2x 2=(1−x)(1+2x)x 2， 解F '（x ）＞0得0＜x ＜1，解F '（x ）＜0得x ＞1，∴F （x ）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （2）设切点坐标为（x 0，lnx 0−1x 0），f′(x)=1x +1x 2， 切线斜率a =f′(x 0)=1x 0+1x 02，又lnx 0−1x 0=ax 0+b ， ∴b =lnx 0−2x 0−1，∴a +b =lnx 0+1x 02−1x 0−1， 令ℎ(x)=lnx +1x 2−1x−1(x ＞0)， ℎ′(x)=1x −2x 3+1x 2=x 2+x−2x 3=(x+2)(x−1)x 3， 解h '（x ）＜0得0＜x ＜1，解h '（x ）＞0得x ＞1， ∴h （x ）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增． ∴h （x ）≥h （1）＝﹣1，∴a +b 的最小值为﹣1； （3）证法一：令G(x)=lnx −1x−2x +3，由（1）知（G （x ））max ＝G （1）＝0，∴lnx −1x ≤2x −3．又由y ＝e x ﹣x ﹣1，y ′＝e x ﹣1，可得函数y 在（0，+∞）递增，在（﹣∞，0）递减， 即有函数y 有最小值0，即e x ≥x +1， ∴2ex−52≥2[(x −52)+1]=2x ﹣3（x ＞0）∴2e x−52≥2x −3≥lnx −1x ，（两个等号不会同时成立）∴2e x−52−lnx +1x＞0． 法二：令P(x)=2ex−52−lnx +1x ，P′(x)=2e x−52−1x −1x2显然P '（x ）在（0，+∞）上递增，P '（1）＜0，P '（2）＞0 ∴P '（x ）＝0在（0，+∞）上有唯一实根x *，且x *∈（1，2）， 2e x∗−52=1x ∗+1(x ∗)2， ∴P （x ）在（0，x *）上递减，在（x *，+∞）上递增， ∴P （x ）≥P （x *）=2e x ∗−52−lnx ∗+1x ∗=2x ∗+1(x ∗)2−lnx ∗＞22+14−ln2＞0 ∴2e x−52−lnx +1x＞0． 选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =√3sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos （θ−π4）＝3√2．（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =√3sina （a 为参数），普通方程为x 2+y 23=1，曲线C 2的极坐标方程为ρcos （θ−π4）＝3√2，即ρcos θ+ρsin θ﹣6＝0，直角坐标方程为x +y ﹣6＝0；（2）设P （cos α，√3sin α），则|PQ |的最小值为P 到x +y ﹣6＝0距离， 即√3sinα−6|√2=√2|sin （α+π6）﹣3|，当且仅当α＝2k π+π3（k ∈Z ）时，|PQ |取得最小值2√2，此时P （12，32）． 选修4-5：不等式选讲23．已知关于x 的不等式|x +3|+|x +m |≥2m 的解集为R ． （1）求m 的最大值；（2）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a +b +c ＝1，求2a 2+3b 2+4c 2的最小值及此时a ，b ，c 的值．【解答】解：（1）因为|x+3|+|x+m|≥|（x+3）﹣（x+m）|＝|m﹣3|．当﹣3≤x≤﹣m或﹣m≤x≤﹣3时取等号，令|m﹣3|≥2m所以m﹣3≥2m或m﹣3≤﹣2m．解得m≤﹣3或m≤1∴m的最大值为1．（2）∵a+b+c＝1．由柯西不等式，(12+13+14)(2a2+3b2+4c2)≥（a+b+c）2＝1，∴2a2+3b2+4c2≥1213，等号当且仅当2a＝3b＝4c，且a+b+c＝1时成立．即当且仅当a=613，b=413，c=313时，2a2+3b2+4c2的最小值为1213．。
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2017年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．上，则输入的实数x的取值范围是（）A． C． D．9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=c，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数x i和10个区间上的均匀随机数y i（i ∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．（e﹣1）B．（e﹣1）C．（e+1）D．（e+1）10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱11．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．12．已知双曲线Γ1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ2：+=1的离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于M，N两点，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M，=e，则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．15°或165°二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= ．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A ，C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC=EB ，AB=4，tan ∠EAB=．（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥C ﹣ADE 体积最大时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2017年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=上，则输入的实数x的取值范围是（）A． C． D．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是．故选：D．9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=c，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数x i和10个区间上的均匀随机数y i（i ∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．（e﹣1）B．（e﹣1）C．（e+1）D．（e+1）【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】向矩形区域内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此根据矩形区域的面积为e﹣1，能求出曲边三角形面积的近似值．【解答】解：由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为=．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为（e﹣1）．故选：A10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．11．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，故选：A．12．已知双曲线Γ1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ2：+=1的离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于M，N两点，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M，=e，则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．15°或165°【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】用a，b，c表示出MF1，MF2，NF1，NF2，利用余弦定理计算cos∠F1F2M和cos∠F1F2N，由∠F1F2M+∠F1F2N=0计算出离心率e1，得出a和b的关系即可得出答案．【解答】解：∵cos∠F1MN=cos∠F1F2M，∴∠F1MN=∠F1F2M，∴|MF1|=|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|MF2|=|MF1|﹣2a=2c﹣2a，∵椭圆Γ2： +=1的离心率为e==，∴=，∴|NF1|=4c，|NF2|=4c﹣2a，在△MF1F2中，由余弦定理的cos∠F1F2M==，在△NF1F2中，由余弦定理的cos∠F1F2N==，∵∠F1F2M+∠F1F2N=π，∴cos∠F1F2M+cos∠F1F2N=0，即+=0，整理得2a2+3c2﹣7ac=0，设双曲线的离心率为e1，∴3e12﹣7e1+2=0，解得e1=2或（舍）．∴=4，∴3a2=b2，即=．∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∴渐近线的倾斜角为60°和120°．故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= 3 ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出λ的值．【解答】解：向量=（﹣1，1），=（1，0），∴=2， =1，=﹣1；又（﹣）⊥（2+λ），∴（﹣）•（2+λ）=2+（λ﹣2）•﹣λ=0，即2×2+（λ﹣2）•（﹣1）﹣λ•1=0，解得λ=3．故答案为：3．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为58 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，求出q，可得a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，再求数列{|log2a n|}前10项和．【解答】解：∵{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，∴=，∴1+q3=，∴q=，∴a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，∴|log2a n|=|7﹣2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故答案是：58．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故答案为：．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为[，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=e x2=，可得2x2=x1+2，∴a=，记f（x）=，则f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x=2时，f（x）min=．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，则…即，解得或，…又，所以．…18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C 三级为合格等级，D为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】CS：概率的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图和树形图求解；（2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；（3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可．【解答】解：（1））由题意可知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率为0.1，设至少有1人成绩是合格等级为事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1人成绩是合格等级的概率为；（3）C等级的人数为0.18×50=9人，A等级的为3人，∴ξ的取值可为0，1，2，3；∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…，∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…设面DAE的法向量为，，即，∴，…设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当PM垂直于x轴时，求得P，Q的坐标，运用数量积为0，可得t；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），运用直线和圆相切的条件：d=r，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，解得a=2，b==，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，又Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0，解得t=，则t2=======12，解得t=．综上可得，t=．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．【考点】6P：不等式恒成立的问题．【分析】（1）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（2）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】（1）解：∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣e x，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣e x，∵x∈，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， e x≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=﹣，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（2）证明：x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，只要证e x（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证，下面证明x＞﹣1时，不等式成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，∴直线AB的方程为y=k（x+），由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标．（Ⅱ）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4，点P（）．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为=，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．。