2016_2017学年高中数学第一章导数及其应用1.2.1常见函数的导数课件苏教版选修2_2
导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
高中数学第一章导数及其应用1.2.1_2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件新
1. 能根据定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x， y＝ x的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导 数.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．几个常用函数的导数
函数 导数 函数
导数
f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝1x f′(x)＝－x12
3．函数 f(x)＝sinx，则 f′(6π)＝________.
解析：f′(x)＝cosx，所以 f′(6π)＝1. 答案：1
【解析】 (1)因为 y＝sinx，所以 y′＝cosx，
曲线在点 Pπ6，12处的切线斜率是
y′|x＝π6＝cosπ6＝
3 2.
所以过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为－
2， 3
故所求的直线方程为 y－12＝－ 23x－π6，
即 2x＋ 3y－ 23－π3＝0.
(2)因为 y′＝(x2)′＝2x， 设切点为 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0＝2x0， 又因为直线 PQ 的斜率为 k＝42－ ＋11＝1，而切线平行于直线 PQ，
切线方程为 y－14＝－x＋12， 即 4x＋4y＋1＝0.
|素养提升|
1．基本初等函数的导数公式可分为四类 第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝αxα－1(注意幂指数 α 可推广到全体 非零实数)； 第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函 数的导数为正弦函数的相反数； 第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝axlna，当 a＝e 时，y＝ex 的导 数是指数函数的导数的一个特例； 第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝xl1na，也可写为(logax)′＝ 1x·logae，当 a＝e 时，y＝lnx 的导数是对数函数的导数的一个特例．
第一章 导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则三
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)明目标、知重点1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．1．概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．探究点一复合函数的定义思考1 观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答A⊆B.小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例1 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y ＝ln x ；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝cos (3x ＋1)．解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ；(2)y ＝e u ，u ＝sin x ；(3)y ＝cos u ，u ＝3x ＋1.探究点二 复合函数的导数思考 如何求复合函数的导数？答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝1(1－2x )1－2x； (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3) ＝－2cos(2x －π3)． (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋3)3；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)．解 (1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝－0.05x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π＝π cos(πx ＋φ)．探究点三 导数的应用例3 求曲线y ＝e2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程． 解 ∵y ′＝e2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1， ∴y ′|12x ＝2，∴曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程为 y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0.反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．跟踪训练3 曲线y ＝esin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解 设u ＝sin x ，则y ′＝(esin x )′＝(e u )′(sin x )′. ＝cos x e sin x .y ′|x ＝0＝1.则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1. 故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝(3x －2)2的导数为( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2) 答案 D解析 y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝6(3x －2)．2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x 答案 A解析 y ′＝2sin x ·(sin x )′＝2sin x ·cos x ＝sin 2x .3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2) 答案 A解析 设x 2＝u ，则y ′＝f ′(u )·u x ′＝f ′(x 2)·(x 2)′＝2xf ′(x 2)．4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意知y ′|x ＝0＝a e ax |x ＝0＝a ＝2.呈重点、现规律]求简单复合函数f (ax ＋b )的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.一、基础过关1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos(x ＋π4) C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4 答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．函数y ＝1(3x －1)2的导数是( ) A.6(3x －1)3 B.6(3x －1)2 C ．－6(3x －1)3 D ．－6(3x －1)2 答案 C 解析 y ′＝1(3x －1)2]′＝－2(3x －1)3·(3x －1)′＝－6(3x －1)3，故选C. 3．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.答案 1ln 3解析 f ′(x )＝log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln 3， ∴f ′(2)＝1ln 3. 4．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2·(－2sin 2x )＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .5．函数y ＝(2 015－8x )3的导数y ′＝________.答案 －24(2 015－8x )2解析 y ′＝3(2 015－8x )2×(2 015－8x )′＝3(2 015－8x )2×(－8)＝－24(2 015－8x )2.6．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为______． 答案 －2解析 ∵y ′＝－2sin(2x ＋π6)， ∴切线的斜率k ＝－2sin(2×π6＋π6)＝－2. 7．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．答案 1解析 y ′＝(1－ax )2＋x (1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x 2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )．由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.二、能力提升8．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案 B解析 设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )， 又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1， 即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.9．曲线y ＝12e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2 答案 D解析 ∵y ′＝12e x ·12，∴y ′|x ＝4＝12e 2. ∴曲线在点(4，e 2)处的切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，切线与坐标轴的交点分别是(0，－e 2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积 S ＝12|－e 2||2|＝e 2.10．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．解 f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1＝2ax 2＋(2a －2)x －1x ＋1， f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为s ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715s 时的导数，并解释它的实际意义． 解 函数s ＝5－25－9t 2可以看作函数s ＝5－x 和x ＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得s x ′＝－1212x -，x t ′＝－18t . 故由复合函数求导法则得s t ′＝s x ′·x t ′＝(－1212x -)·(－18t )＝9t 25－9t2， 将t ＝715代入s ′(t )，得s ′(715)＝0.875 (m/s)． 它表示当t ＝715s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 三、探究与拓展13．曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程． 解 y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，∴b＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。
高中数第一章导数及其应用1.2.1常见函数的导数课件苏教版选修22
解
3
y′＝
1 1＝－xln1 3.
xln 3
解析答案
题型二 利用导数公式求曲线的切线方程
例2 求过曲线y＝sin x上点P π6，12 且与过这点的切线垂直的直线方程. 解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x，
曲线在点 Pπ6，12处的切线斜率是：
y'
|xபைடு நூலகம்6
cos
6
=
3. 2
∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为－ 23，
解析答案
5.求下列函数的导数： (1)y＝x13； 解 y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4. (2)y＝3 x.
解 y'=(3x)'=(x1 3)'=1x1 311x2 3. 33
12345
解析答案
课堂小结
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是 牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地 进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. 如求 y＝1－2sin2 2x的导数.因为 y＝1－2sin2 2x＝cos x，所以 y′＝(cos x)′ ＝－sin x.
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 常见函数的导数
原函数 f′(x)＝kx＋b (k，b为常
数) f(x)＝C(C为常数)
1
f(x)＝x f(x)＝x2x
导函数
k
f′(x)＝_0 _
1
ff′′((xx))＝＝－2__x1x2__
1
f′(x)＝2_x_
自主学习
答案
思考 (1)函数f(x)＝C，f(x)＝x，f(x)＝x2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？ 答案 常数函数f(x)＝C：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y轴， 斜率为0；当y＝C表示路程关于时间的函数时，y′＝0可以解释为某物体的瞬时 速度始终为0，即一直处于静止状态. 一次函数f(x)＝x：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y＝x 表示路程与时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动； 一般地，一次函数y＝kx：导数y′＝k的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为 k，|k|越大，函数变化得越快. 二次函数f(x)＝x2：导数y′＝2x，几何意义为函数y＝x2的图象上点(x，y)处的切 线斜率为2x，当y＝x2表示路程关于时间的函数时，y′＝2x表示在时刻x的瞬时速 度为2x.
2015-2016学年高中数学 第一章 导数及其应用 2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件
【例1】用导数公式求下列函数的导数. (1) y x9 (3) y sin (2) y 5x
2
(4) f ( x)
x
答案： (1) y 9 x8 (3) y 0
(2) y 5x ln 5 1 (4) y ( x ) x 4
1 4 3 4
变式练习1:求下列函数的导数. (1) y x 20 (3) y cos x
即y对x的导数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
由此可得, y ln3x 2对x的导数等于y ln u对u的 导数与u 3x 2对x的导数的乘积 ,即 1 3 y y u ln u 3x 2 3 . u 3x 2
' x ' u ' x ' '
（3）以e为底的指数函数的导数是其本身，以e的对数函数的 导数是反比例函数（这有点特殊）； （4）以 a 为底的指数函数或对数函数的导数较为难记，要格外注 意它们都有 ln a 这个部分，只是对数函数的导数中 ln a 在分母上； （5）要特别注意指数函数、对数函数的求导中，以e为底的是以
a 为底的特例.
( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) (3) y ( x 1)2 2 (x 1) 2
所以，函数y x 1 2 的导数是y x 1 ( x 1)2
(ln x) x (ln x) ( x) (4) y x2 1 ln x x2
解：由导数公式：p '(t ) 1.05t p0 ln1.05
p '(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元/年）
答:在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。
高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数优
1.2 导数的运算常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.f(x)=0的导数是（ ）A.0B.1C.不存在D.不确定答案：A解析：f(x)=0是常数,常数的导数是0.2.函数y=sinx 的导数为（ ）A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx答案：B解析：由常用函数的导数公式可知(sinx)′=cosx.3.函数y=3x-4的导数是（ ）A.3B.-4C.-1D.12答案：A解析：由函数导数的运算法则知y′=3.4.函数y=x-(2x-1)2的导数是_____________.解析：y=x-4x 2+4x-1=-4x 2+5x-1.∴y′=-8x+5.答案：5-8x10分钟训练 （强化类训练，可用于课中） 1.y=32x 的导数是（ ）A.3x 2B.13x 2C.3131--x D.3132-x 答案：D解析：∵y=32x =32x ， ∴y′=(32x )′=23132-x =2331-x . 2.y=cosx 在x=6π处切线的斜率为（ ） A.23B.23- C.-12D.12 答案：C解析：y′6|π=x =-sin 6π=21-. 3.函数y=sinxcosx 的导数是（ ）A.sin 2xB.cos 2xC.sin2xD.cos2x答案：D解析：y′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′=cos 2x-sin 2x=cos2x.4.函数y=x 2·cosx 的导数为___________.解析：y′=(x 2·cosx)′=(x 2)′·cosx+x 2·（cosx ）′=2x·cosx -x 2·sinx.答案：2x·cosx -x 2·sinx5.过原点作曲线y=e x 的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为___________.解析：将e x 求导知(e x )′=e x .设切点坐标为(x 0,0x e ),则过该切点的直线的斜率为0x e .∴直线方程为y-0x e =0x e (x-x 0).∴y -0x e =0x e ·x -x 0·0x e .∵直线过原点,∴(0,0)符合上述方程.∴x 0·0x e =0x e .∴x 0=1.∴切点为(1,e),斜率为e.答案:(1,e) e6.求下列函数的导数.(1)y=x 4-3x 2-5x+6;(2)y=x·tanx; (3)y=11+-x x ; (4)y=(x+1)(x+2)(x+3).解：(1)y′=(x 4-3x 2-5x+6)′=(x 4)′-3(x 2)′-5x′+6′=4x 3-6x-5. (2)y′=(x·tanx)′=(xx x cos sin •)′ =x x x x x x x 2cos )'(cos sin cos )'sin (-• =xx x x x x x 22cos sin cos )cos (sin +•+ =xx x x x x x 222cos sin cos cos sin ++• =xxx x x x 222cos sin cos 2sin 21++ =xx x 2cos 222sin +. (3)解法一：y′=(11+-x x )′ =2)1()'1)(1()1()'1(++--+-x x x x x=2)1()1()1(+--+x x x =)1(2+x .解法二：y=112+-x , y′=(112+-x )′=(12+-x )′ =2)1()'1(2)1()'2(++-+-x x x =2)1(2+x .(4)解法一：y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x 2+12x+11.解法二：y=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.若y=sint,则y′|t=6π等于（ ）A.1B.-1C.0D.cost答案：A解析：y′|t=6π=cos6π=1.2.曲线y=2x 3-6x 上切线平行于x 轴的点的坐标是…（ ）A.（-1，4）B.（1，-4）C.（-1，-4）或（1，4）D.（-1，4）或（1，-4）答案：D解析：y′=(2x 3-6x)′=6x 2-6,由y′=0,得x=1或x=-1.代入y=2x 3-6x,得y=-4或y=4.即所求点的坐标为(1,-4)或(-1,4).3.曲线f(x)=x 3+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)答案：A4.设y=-2e x sinx,则y′等于( )A.-2e x cosxB.-2e x sinxC.2e x sinxD.-2e x (sinx+cosx)答案：D解析：y′=-2(e x sinx+e x cosx)=-2e x (sinx+cosx).5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f′(0)等于…( )A.100B.0C.100×99×98×…×3×2×1D.1答案：C解析：∵f(x)=x(x -1)(x-2)…(x-100),∴f′(x)=(x -1)(x-2)…(x-100)+x·［(x-1)·(x -2)…(x-100)］′.∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.6.曲线y=x 3在点(a,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为61,则a=_______________.解析：∵y=x 3,∴y′=3x 2.∴y=x 3在(a,a 3)点的切线斜率k 为3a 2.∴切线方程为y-a 3=3a 2(x-a),y=3a 2x-2a 3.令3a 2x-2a 3=0,得x=32a,即y=3a 2x-2a 3与x 轴交点横坐标为32a. 令x=a,得y=3a 2×a -2a 3=a 3,即y=3a 2x-2a 3与x=a 交点纵坐标为a 3.∴S △=21×(a 32-a)×a 3=61.∴a=±1. 答案：±1 7.已知直线l 是曲线y=31x 3+x 的切线中倾斜角最小的切线，则l 的方程是_______________. 解析：∵y′=x 2+1≥1，∴过点（0，0）且斜率为1的切线倾斜角最小.∴直线l 的方程是y=x.答案：y=x8.已知f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).解：由f(2x+1)=4g(x),得4x 2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x 2+4cx+4d.于是有⎩⎨⎧=++=+)2(,41)1(,22d b a c a由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c.③由f(5)=30,得25+5a+b=30.④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=21-. ∴g(x)=x 2+2x 21-. 故g(4)=16+821-=247. 9.设直线l 1与曲线y=x 相切于P,直线l 2过P 且垂直于l 1,若l 2交x 轴于Q 点,又作PK 垂直于x 轴于K,求KQ 的长.解：先确定l 2的斜率,再写出方程,设P(x 0,y 0),则1l k =y′| x=x0=021x . 由l 2和l 1垂直,故2l k =-20x ,于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0),令y=0,则-y 0=-20x (x Q -x 0),即-0x =-20x (x Q -x 0).解得x Q =21+x 0.易得x K =x 0. ∴|KQ|=|x Q -x K |=21. 10.已知抛物线C 1:y=x 2+2x 和C 2:y=-x 2+a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线,称l 是C 1和C 2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a 取什么值时,C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.(2)若C 1和C 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.答案：(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线C 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数y′=-2x,曲线C 2在点Q(x 2,-x 22+a)的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线,则①式和②式都是l 的方程，⎩⎨⎧+=--=+,,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).由Δ=0,得a=21-,解得x 1=21-,此时P 与Q 重合,即当a=21-时,C 1和C 2有且仅有一条公切线. 由①得公切线方程为y=x-41. (2)证明:由(1)可知当a<21-时,C 1和C 2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),其中P 在C 1上,Q 在C 2上,则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点为(21-,21a +-). 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是(21-,21a +-),所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.。
高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2
第三十四页，共四十八页。
2.求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量(biànliàng)求层，这是
求复合函数导数时的易错点．
(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．
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第三十五页，共四十八页。
跟踪练习 3
1.2.2 基本(jīběn)初等函数的导数公式及导数的
运算法则
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第一页，共四十八页。
情景导入
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工
具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程
s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数为 s
＝f(t)，求它的瞬时速度，就是求 f(t)的导
数．根据导数的定义，就是求当 Δt→0 时，ΔΔyt所趋近的
写出下列函数的导数： (1)y＝lnsixnx，y′＝__x_c_o_xs_xsi－ _n_xs_i_n_x__；
(2)y＝ 1－x x，y′＝__2_1x_－_12_(_1_－__x_)_－_32 __；
(3)y＝sin2x1－2cos24x，y′＝___－__12_c_o_s_x___.
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∴f ′4π＝6cos34π＋π4＝－6.
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பைடு நூலகம்
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命题方向1 ⇨导数公式(gōngshì)的应 例 1 求用下列函数的导数： (1)y＝x14；(2)y＝x14；(3)y＝5 x3；(4)y＝(13)x.
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解：(1)y′＝(x14)′＝14x13.(2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软
故f′(x)>1时,有0<x< 1 .
ln 3
答案: ( 0， 1 )
ln 3
1199
类型一 利用导数公式求函数的导数
【典例】1.下列函数求导运算正确的个数为
①(3x)′=3xlog3e;
② (log2x)′=
③ l n 1=x x ;
;1
x ln 2
()
2200
④若y= 1,则在x=3处的导数为- . 2
1133
【自我检测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)(sinx)′=-cos x. ( )
(2)
(1 x
).
1 x2
(
)
(3)(log5x)′=
. 1(
5 ln x
)
(4)(lnx)′= . ( 1 )
x
1144
提示:(1)×.(sin x)′=cos x.
(2)×. ( ′1=) (x-1)′=-x-2=- . 1
x
1 x2
1111
2.关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)幂函数f(x)=xα中的α可以由Q*推广到任意实数. (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号) 正同余反”.
1122
(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然 对数. (4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. (5)注意区分幂函数f(x)=xα与指数函数f(x)=ax的导数.
44
(4)若y=f(x)=x3,则f′(x)=___. 3x2
(5)若y=f(x)= (6)若y=f(x)=
1
,则1x f′(x)=____= ____x(x2 ≠0). -x-2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2基本初等函数的导数公式及导
2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2。
1 几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）学业分层测评(建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．下列结论正确的是( )A．若y＝cos x，则y′＝sin xB．若y＝sin x，则y′＝－cos xC．若y＝1x,则y′＝－错误!D．若y＝错误!，则y′＝错误!【解析】∵(cos x）′＝－sin x,∴A不正确；∵（sin x）′＝cos x，∴B不正确；∵（错误!）′＝错误!，∴D不正确．【答案】C2．(2016·济南高二检测）在曲线f(x)＝错误!上切线的倾斜角为错误!π的点的坐标为( )A．（1,1) B．(－1，－1）C．（－1，1）D．（1,1)或(－1，－1)【解析】切线的斜率k＝tan 错误!π＝－1，设切点为(x0，y0），则f′(x0）＝－1，又f′（x）＝－错误!，∴－错误!＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为(1,1）或(－1，－1）．故选D。
高中数学第一章导数及其应用1.2.1常见函数的导数课件苏教版选修22
[构建·体系]
第二十四页，共30页。
1．已知函数f(x)＝x12，则f′(2)＝________. 【解析】 ∵f′(x)＝x12′＝(x－2)′＝－2x－3 ∴f′(2)＝－14. 【答案】 －14
第二十五页，共30页。
2．下列结论中不正确的是________．
①若y＝3，则y′＝0；
第十一页，共30页。
[再练一题] 1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝__________. 【解析】 ∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝xln1 3， ∴f′(x)－g′(x)＝3x2－xln1 3. 【答案】 3x2－xln1 3
第十二页，共30页。
利用(lìyòng)公式求函数在某点处的导数
【精彩点拨】 求导数f′(x0)→计算f′π3→所求直线斜率k＝－f′1π3→ 利用点斜式写出直线方程
第二十页，共30页。
【自主解答】 因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，则曲线f(x)＝cos x在点 Pπ3，12的切线斜率为
f′π3＝－sin π3＝－ 23， 所以所求直线的斜率为2 3 3， 所求直线方程为y－12＝2 3 3x－π3， 即y＝2 3 3x－2 9 3π＋12.
第十六页，共30页。
【解】
(1)∵f′(x)＝31x′＝(x－13)′＝－13x
＝－ 1 ， 33 x4
∴f′(1)＝－
1 3
＝－13.
31
(2)∵f′(x)＝－sin x，
∴f′π4＝－sin π4＝－ 22.
第十七页，共30页。
[探究共研型] 导数(dǎo shù)公式的应用 探究1 f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝ x均可表示为y＝xα(α为常数)的形式，其导数 有何规律？
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念课件 a选修22a高二选修22数学课件
• C．6 D．－6
• [解析] 令Δt＝0，该质点在t＝1时的瞬时速度为－6，故选D．
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3．(2018·儋州校级期末)设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，且Λlixm→0
• A．2．1
B．1．1
• C．2
D．0
[解析] ∵函数 f(x)＝x2－1 的自变量 x 由 1 变成 1．1，所以 Δx＝1．1－1＝0．1，
Δy＝(1．12－1)－(12－1)＝0．21，
∴ΔΔyx＝00.2.11＝2．1．故选 A．
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第二十八页，共三十三页。
• 2．(2018·洛阳高二检测)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该 质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度(pínɡ jūn sù dù)为－3Δt－6 D，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
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第一页，共三十三页。
第一章
导数 及其应用 (dǎo shù)
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第二页，共三十三页。
1．1 变化率与导数(dǎo shù)
1．1.2 导数(dǎo shù)的概念
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第三页，共三十三页。
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2－2＋ΔΔxx，所以ΔΔyx＝4＋Δx－4＋12Δx，所以 y′|x＝2＝Δlixm→0
Δy Δx
＝Δlixm→0 4＋Δx－4＋12Δx
＝4＋0－4＋12×0＝145．
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第十七页，共三十三页。
『规律总结』 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤： (1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)求极限Δlixm→0 ΔΔyx．
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整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1.
当x0＝2时，f′(x0)＝1，此时所求切线方程为x－y－4＝0；
当x0＝1时，f′(x0)＝0，此时所求切线方程为y＋2＝0.
故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
解析答案
易错易混
在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错
答案
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题型探究
重点突破
题型一
运用求导公式求常见的基本初等函数的导数
例1 求下列函数的导数： 1 (1)y＝x5； 1 5 －5 －6 解 y′＝x5′＝(x )′＝－5x ＝－x6；
(2) y log 1 x;
2
1 解 y′＝ 1＝－xln2； xln2
解析答案
1
π (3)y＝cos 4；
跟踪训练2
已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； 解 ∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1.
又∵f(2)＝－2，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，
即x－y－4＝0.
解析答案
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
解
y′＝ cos
π ′＝0； 4
(4)y＝22x. 解 y′＝(22x)′＝(4x)′＝4x· ln 4.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
(1)y＝x8； 解
求下列函数的导数：
y′＝8x7； 1 x (2)y＝ ； 2 1 1 1 x x 解 y′＝ ln ＝－ ln 2； 2 2 2
常见函数的导数
原函数
f′(x)＝kx＋b (k，b为常数) f(x)＝C(C为常数) f(x)＝x f(x)＝x2
1 f(x)＝ x
导函数
k f′(x)＝__ 0 f′(x)＝__
f′(x)＝__
2x f′(x)＝__ 1 －x2
1
1
f′(x)＝____
x
f(x)＝
f′(x)＝___
2 x
答案
思考 答案
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝
axln a
(a>0，且a≠1)
ex
1f′(x)＝__ xln a f′(x) ＝(a>0 1，且a≠1) x
f′(x)＝___
答案
思考
由函数y＝x，y＝x2的导数，你能得到y＝xα(α为常数)的导数吗？
如何记忆该公式？ 答案 因y＝x，得y′＝1； y＝x2，得y′＝2x， 故y＝xα的导数y′＝αxα－1， 结合该规律，可记忆为“求导幂减1，原幂作系数”.
例3错解Βιβλιοθήκη 求函数 y＝ x2的导数.
∵y＝ x2， y x , 3
3 2
3
3 1 故 y' x 2 . 2
错因分析
出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，
2 3 1 3
从而导致得到错误的结果.
正解
2 y x x , y ' x . 3
3 2
防范措施
准确把握根式与指数幂的互化： n
2 解 设切点坐标为(x0，x3 － 4 x 0 0＋5x0－4).
∵f′(x0)＝3x2 0－8x0＋5，
∴切线方程为 y－(－2)＝(3x2 0－8x0＋5)(x－2).
2 又∵切线过点(x0，x3 － 4 x 0 0＋5x0－4)，
2 2 ∴x3 － 4 x ＋ 5 x － 2 ＝ (3 x 0 0 0 0－8x0＋5)(x0－2).
二次函数f(x)＝x2：导数y′＝2x，几何意义为函数 y＝x2的图象上点(x，y)处的切
线斜率为2x，当y＝x2表示路程关于时间的函数时，y′＝2x表示在时刻x的瞬时速
度为2x.
答案
1 (2)函数 f(x)＝x 导数的几何意义是什么？
1 1 答案 反比例函数 f(x)＝x ：导数 y′＝－x2，
第 1章
1.2
导数的运算
1.2.1 常见函数的导数
学习 目标
1.能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1 ，y＝ x 的 x 导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
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知识梳理
自主学习
知识点一
1 1 几何意义为函数 y＝x的图象上某点处切线的斜率为－x2.
答案
知识点二
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝xα(α为常数)
导函数
α－1 αx f′(x)＝_____
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
cos x f′(x)＝_____
f′(x)＝______
－sin x
f(x)＝ax
(3)y＝x x；
3 y x x x , y' = x ; 解 2 (4) y log 1 x. 3 1 1 解 y′＝ 1＝－xln 3. xln 3
解析答案
3 2
1 2
利用导数公式求曲线的切线方程 π 1 例2 求过曲线y＝sin x上点P ， 且与过这点的切线垂直的直线方程. 2 6 解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x，
(1)函数f(x)＝C，f(x)＝x，f(x)＝x2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？
常数函数f(x)＝C：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y轴，
斜率为0；当y＝C表示路程关于时间的函数时，y′＝0可以解释为某物体的瞬时 速度始终为0，即一直处于静止状态. 一次函数f(x)＝x：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y＝x 表示路程与时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为 1的匀速运动； 一般地，一次函数y＝kx：导数y′＝k的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为 k，|k|越大，函数变化得越快.
曲线在点
π 1 P6，2 处的切线斜率是：
题型二
2 ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为－ ， 3 π 1 2 故所求的直线方程为 y－2＝－ x－6 ， 3 3 π 即 2x＋ 3y－ 2 －3＝0.
反思与感悟 解析答案
3 y' | cos = . x 6 2 6
x x ,
m
m n
1
n
x
m
x .
解析答案 返回
m n
防范措施
当堂检测
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1.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝ 3 .